Стать студентом МГУ – это реально - Osipova

Е. А. Осипова
МОУ «Средняя общеобразовательная школа
с углубленным изучением отдельных предметов№6», г. Курск
Стать студентом МГУ – это реально
Как поступить в МГУ? Ответ на этот вопрос можно дать сразу: «Надо
просто хорошо подготовиться и сдать экзамены ЕГЭ отлично». Но,
«введение ЕГЭ – это не самое сильное решение последних лет, - уверен
ректор МГУ В. Садовничий. – Союз ректоров предлагает альтернативу
единому госэкзамену – олимпиады. Мы считаем, что поиск талантливых
ребят через олимпиады должен быть расширен и стать более мощным. Мы
возглавили олимпиадное движение, рассмотрели около 120 олимпиад
России, и они уже начинают работать. То есть наряду с ЕГЭ для
талантливых ребят появится возможность поступить в вуз по результатам
олимпиады.»
По мнению В. Садовничего, олимпиады станут хорошим дополнением
ЕГЭ, которое позволит не растерять таланты. «ЕГЭ не замечет особо
одаренных, больно бьёт по талантам из-за возможных технических ошибок»,
- считает он.
СУНЦ МГУ
Для
учащихся
9-10-х
классов
школ.
Специализированный
Учебно-Научный
Центр
Московского
Государственного Университета (СУНЦ) МГУ (школа имени академика А.
Н. Колмогорова)проводит набор учащихся в 10 классы (двухгодичное
обучение) на физико-математическое и химико-биологическое отделения и в
11 классы (одногодичное обучение) на физико-математическое отделение. В
рамках двухгодичного физико-математического отделения кроме основного
профиля выделяется компьютерно-информационный класс. Зачисление в
школу проводится на конкурсной основе. Первый тур экзаменов – заочный
письменный экзамен по математике и физике или химии. Успешно
выдержавшие заочный экзамен в апреле-мае приглашаются в областные
центры Российской Федерации на второй тур. Однако допускается участие в
очном туре школьников, не участвовавших в заочном туре.
СУНЦ принимает в 10-е и 11-е классы без вступительных экзаменов
победителей Всероссийских олимпиад по математике, физике, информатике,
химии и биологии.
Команда СУНЦ МГУ - неоднократный чемпион России во
Всероссийских командных олимпиадах, Московских городских командных
олимпиадах, призеры студенческих четвертьфинальных соревнований и
многих других соревнований по программированию. На Всероссийской
олимпиаде команда СУНЦ - одна из самых больших и успешных - не менее
5-7 человек, редко кто из команды СУНЦ остается без диплома. Такие
результаты возможны благодаря отличной математической подготовке, а
также многочисленным теоретическим и практическим занятиям подготовке к олимпиадам.
Программа вступительных экзаменов в СУНЦ МГУ
на 2008-2009 учебный год
по математике
Вступительные экзамены в СУНЦ МГУ проводятся в устной или письменной
форме и состоят в решении задач. Таким образом, в отличие от устных
вступительных экзаменов в некоторые ведущие ВУЗы, основной упор
делается именно на умение школьников решать задачи, а не на знание
теоретического материала. В соответствии с Положением о Приёме,
экзамены проводятся по программе средней общеобразовательной школы.
Однако, в настоящее время обучение в школах происходит по нескольким
заметно различающимся программам и, к тому же, нередко допускаются
отступления от официально утвержденных программ.
В связи с этим ниже приводятся программы вступительных экзаменов в
СУНЦ МГУ, основанные на программах для средней общеобразовательной
школы, утвержденных Министерством образования РФ.
На сайте http://pms.ru вы можете найти также варианты экзаменационных
задач прошлых лет, которые позволят Вам почувствовать стиль задач
вступительных экзаменов и помогут при подготовке.
Для поступающих в 10 класс
Числа и вычисления.





Натуральные числа. Десятичная система счисления. Арифметические
действия с натуральными числами. Свойства арифметических
действий. Степень с натуральным показателем.
Делители и кратные числа. Признаки делимости. Простые числа.
Разложение числа на простые множители.
Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными
дробями. Нахождение части числа и числа по его части.
Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Арифметические
действия с десятичными дробями. Представление обыкновенных
дробей десятичными.
Среднее арифметическое.







Отношения.
Пропорции.
Основное
свойство
пропорции.
Пропорциональные и обратно пропорциональные величины.
Проценты. Основные задачи на проценты.
Решение текстовых задач арифметическими приемами.
Положительные и отрицательные числа. Противоположные числа.
Модуль числа. Сравнение чисел. Арифметические действия с
положительными
и
отрицательными
числами,
свойства
арифметических действий.
Рациональные числа. Изображение чисел точками на координатной
прямой. Иррациональные числа.
Приближенные значения. Абсолютная и относительная погрешности.
Округление натуральных чисел и десятичных дробей. Прикидка и
оценка результатов вычислений. Запись чисел в стандартном виде.
Квадратный корень. Десятичные приближения квадратного корня.
Корень третьей степени.
Выражения и их преобразования.





Буквенные выражения. Числовые подстановки в буквенные
выражения. Вычисления по формулам. Буквенная запись свойств
арифметических действий.
Свойства степени с натуральным показателем. Многочлены.
Приведение подобных слагаемых. Сложение, вычитание и умножение
многочленов. Разложение многочленов на множители. Квадратный
трехчлен: выделение квадрата двучлена, разложение на множители.
Теорема Виета.
Алгебраические дроби. Основное свойство алгебраической дроби.
Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление
алгебраических дробей. Степень с целым показателем и ее свойства.
Свойства арифметического квадратного корня и их применение к
преобразованию выражений.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена
и суммы n первых членов арифметической и геометрической
прогрессий.
Уравнения и неравенства.


Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное
уравнение. Квадратное уравнение. Формула корней квадратного
уравнения. Решение рациональных уравнений.
Система уравнений. Решение системы двух линейных уравнений с
двумя переменными. Решение нелинейных систем. Графическая

интерпретация решения систем уравнений с двумя переменными.
Решение текстовых задач методом составления уравнений.
Числовые неравенства и их свойства. Линейные неравенства с одной
переменной и их системы. Квадратные неравенства с одной
переменной.
Функции.




Прямоугольная система координат на плоскости.
Функция. Область определения и область значений функции. График
функции. Возрастание, убывание функции, сохранение знака на
промежутке, наибольшее и наименьшее значения.
Функции: их свойства и графики.
Таблицы и диаграммы. Графики реальных процессов.
Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических
величин.







Представление о начальных понятиях геометрии и геометрических
фигурах. Равенство фигур.
Отрезок. Длина отрезка. Расстояние между точками.
Угол. Виды углов. Смежные и вертикальные углы и их свойства.
Биссектриса угла и ее свойства. Градусная мера угла.
Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые. Теорема о
параллельных и перпендикулярных прямых. Свойства серединного
перпендикуляра к отрезку. Расстояние от точки до прямой. Расстояние
между параллельными прямыми.
Треугольник и его элементы. Признаки равенства треугольников.
Высота,
медиана,
биссектриса
треугольника.
Свойства
равнобедренного и равностороннего треугольников. Сумма углов
треугольника. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника и ее
свойства. Неравенство треугольника. Синус, косинус, тангенс угла от 0°
до 180°. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. Решение
прямоугольных треугольников. Метрические соотношения между
элементами произвольного треугольника: теорема синусов и теорема
косинусов. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников.
Площадь треугольника.
Четырехугольники. Параллелограмм. Прямоугольник, ромб, квадрат.
Трапеция. Средняя линия трапеции и ее свойства. Площади
четырехугольников.
Многоугольники. Правильные многоугольники. Сумма углов выпуклого
многоугольника.




Окружность и круг. Касательная к окружности и ее свойства.
Центральные и вписанные углы. Окружность, описанная около
треугольника. Окружность, вписанная в треугольник. Длина
окружности. Длина дуги окружности. Площадь круга.
Построения циркулем и линейкой.
Осевая симметрия. Центральная симметрия.
Вектор. Угол между векторами. Координаты вектора. Сложение
векторов. Умножение вектора на число. Скалярное произведение
векторов.
Для поступающих в 11 класс
Помимо тем, указанных выше в Программе для поступающих в 10 класс, в
программу включены следующие темы:



Корень степени n. Степень с рациональным показателем. Правила
действий со степенями.
Рациональные неравенства.
Использование графиков для решения уравнений и неравенств.
Вступительное задание заочного тура
Журнал "Квант", 2008 №6
Математика
Для поступающих в 10 класс
1. Можно ли число
представить в виде суммы: а) трех; б) четырех
чисел, обратных различным нечетным числам?
2. Конференция началась между 10 и 11 часами утра, когда часовая и
минутная стрелки лежали на одной прямой, но были направлены в
разные стороны, а закончилась между 16 и 17 часами того же дня,
когда стрелки часов совпали. Сколько времени длилась конференция?
3. Решите уравнение
4. Ортоцентр (точка пересечения высот) остроугольного треугольника
ABC делит высоту, выходящую из точки С, в отношении 3:1, считая от
вершины С. Пусть М – середина этой высоты. Чему равен угол AMВ?
5. Числа х, у, z таковы, что
может принимать выражение
Какие значения
Для поступающих в 11 класс
1. Можно ли число
представить в виде суммы: а) двух; б) трех; в) n
различных чисел, обратных натуральным, т.е. чисел вида , где а –
натуральное число?
2. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, центр O которой лежит
внутри него. Найдите площадь четырехугольника, если углы BAO и
DAC равны, а диагонали АС и BD равны m и n соответственно.
3. Решите систему уравнений
4. Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, если сумма его
тупых углов равна 3000° ?
5. Пусть f (х) = ах2 + bх + с , где a, b и с — целые числа. Найдите
наибольшее значение |b|, если |f(x)| ≤ 1 при всех x принадлежащих [0;1].
Всем учащимся школы за символическую сумму (~30$ в месяц)
предоставляется проживание в хорошо обустроенном общежитии и 5-разовое
питание в столовой. Также на все потоки возможно поступление со сдачей
вступительных экзаменов по математике и физике. Экзамены проходят в
регионах и в Москве в марте-мае. По окончании школы, выпускники
получают аттестат одной из лучших физ-мат школ России, и не имеют
проблем с поступлением в МГУ, т.к. их уровень математической и
физической подготовки позволяет успешно сдавать экзамены на выбранный
ими факультет или университет. Кроме того, существует система
рекомендаций, когда сдача вступительных экзаменов проходит вместе со
сдачей выпускных, а также поступление по результатам Всероссийских
олимпиад. Контактная информация: www.pms.ru, e-mail: priem@pms.ru,
телефон: (095)445-11-08.
В 2009 году в СУНЦ МГУ были зачислены следующие учащиеся
города Курска: в 10 класс – Аксенов Дмитрий Игоревич, Дулаева Людмила
Гейбуллаевна, Остриков Константин Сергеевич, в 11 класс – Облаухова Инга
Вячеславовна, Шабров Михаил Николаевич.
Малый мехмат МГУ
Заместитель декана механико-математического факультета МГУ имени
М. В. Ломоносова Александр Владимирович Бегунц: «В последние годы
произошло существенное расширение возможностей для поступления на
факультет. Известно, что Московский университет в целом выступает за
многовариантность форм отбора талантливой молодежи для зачисления в
число студентов, за проведение различных олимпиад и конкурсов. Так, в
последние годы по результатам собственно летних экзаменов на факультет
зачислялась лишь малая доля абитуриентов: подавляющее большинство мест
занимали победители олимпиад. Причем это не обязательно олимпиады,
проводимые именно Московским университетом: например, без экзаменов
зачислялись победители и призеры олимпиады «Юниор», а школьникам,
успешно выступившим на региональных математических олимпиадах, мы
зачисляли наивысший балл за летний экзамен по математике, и почти все они
зачислялись как медалисты с отметкой «5» за первый экзамен.
…Конечно, желательно готовиться к поступлению заранее. Изучать
математику на более глубоком уровне, читать популярную литературу для
школьников, участвовать в разнообразных творческих мероприятиях. Очень
жаль, что некоторые родители начинают действовать только тогда, когда
ребенок учится уже в 11 классе, и им остаётся лишь устроить его на какиенибудь подготовительные курсы или нанять репетитора. Однако за такое
небольшое время не то что подготовить, но даже ликвидировать пробелы в
овладении школьной программой не всегда оказывается возможным. При
мехмате нет подготовительных курсов… но функционирует Малый мехмат,
для иногородних действует заочное отделение».
Заочное отделение
Обучение на заочном отделении осуществляется по переписке: школьники
выполняют задания по рассылаемым им методическим разработкам Малого
мехмата и отправляют свои решения для проверки. За год учащийся
выполняет 6–9 заданий. Преподаватели, проверяющие работы, указывают на
ошибки в рассуждениях или вычислениях и дают указания, помогающие
школьникам самостоятельно исправить эти ошибки. Указаниями снабжаются
и нерешенные задачи. После проверки работы отсылаются обратно.
Школьники, получившие неудовлетворительную оценку за какое-либо
задание, имеют возможность, ознакомившись с замечаниями и указаниями
преподавателя, повторно выполнить и выслать для проверки это задание.
Ученики, успешно выполнившие все обязательные задания, автоматически
переводятся по окончании учебного года в следующий класс; очные сессии
или экзамены на заочном отделении не предусмотрены. Методические
разработки заочного отделения содержат необходимый для изучения данной
темы теоретический материал и решения типовых задач, а также задачи для
самостоятельного решения. Тематика заочного отделения приближена к
школьной программе, хотя на заочном отделении есть и методические
разработки, посвященные олимпиадным задачам и темам, почти не
рассматриваемым в школе. Ниже приведены основные темы, входящие в
программу заочного отделения.




Проценты.
Делимость.
Наибольший общий делитель.
Простые числа, основная теорема арифметики.

















Многочлены.
Последовательности.
Модули.
Тождественные преобразования.
Метод интервалов.
Замена переменной.
Иррациональные уравнения и неравенства.
Тригонометрические уравнения и неравенства.
Логарифмы.
Комплексные числа.
Неравенство треугольника.
Вписанные углы.
Теоремы синусов и косинусов, решение треугольников.
Площади многоугольников.
Метод координат.
Олимпиадные задачи (принцип Дирихле, инварианты, метод
математической индукции)
Задачи вступительных экзаменов на мехмат МГУ.
За годы своего существования заочное отделение Малого мехмата выпустило
свыше 10000 учащихся, многие из которых стали студентами механикоматематического и других факультетов МГУ. Обучение на Малом мехмате
не даёт формальных преимуществ при поступлении в высшие учебные
заведения, однако полученные учениками знания и приобретенные ими
навыки решения задач могут существенно помочь при сдаче вступительных
экзаменов. В последние годы около четверти учащихся, закончивших
заочное отделение с оценкой «хорошо» или «отлично», подают документы на
мехмат МГУ и успешно сдают вступительные экзамены.
Преподавателями Малого мехмата являются в основном студенты мехмата
МГУ, для которых работа по проверке заданий является хорошей
педагогической практикой. Работу преподавателей заочного отделения
контролируют старшие преподаватели – студенты старших курсов и
аспиранты.
На заочном отделении существует возможность обучения нескольких
учеников из одной школы по форме «Коллективный ученик». Группа
работает под руководством своего школьного преподавателя и может
включать не более 15 учащихся из одной параллели (если учащихся,
желающих заниматься, больше, то можно сформировать несколько групп).
Как правило, группы изучают материалы методических разработок во время
факультативных (кружковых) занятий. Отзывы учителей показывают, что
такая форма обучения достаточно эффективна. Группа «Коллективный
ученик» обучается как один учащийся, т. е. оформляет по каждому заданию
одну работу и оплачивает обучение всей группы как обучение одного
учащегося.
Школьники, прошедшие полный курс обучения (трех- или четырехлетний) и
успешно закончившие обучение на заочном отделении (с итоговой оценкой
«хорошо» или «отлично»), получают свидетельства об окончании Малого
мехмата. Школьники, прошедшие неполный курс обучения, или
закончившие заочное отделение с оценкой «удовлетворительно», получают
справки об окончании Малого мехмата.
Более подробную информацию о Малом мехмате можно найти на сайте
http://mmmf.math.msu.ru.
Вступительная работа в 2008 году
1. Волк побежал за Зайцем по кольцевой дороге, увидев его на 1/3 круга
впереди себя. Скорость Зайца, который в тот же момент помчался прочь от
Волка, составляет 5 кругов в час. Скорость Волка равна 7 кругов в час. Через
какое время после начала движения Волк догонит Зайца?
2. Докажите, что число 11…1 + 22…2 + … + 99…9 (каждое слагаемое
состоит из 2008 цифр) делится на 9.
3. Решите неравенство x2(x2 – 1)(x2 + 3) ≥ 0.
4. В выпуклых четырехугольниках ABCD и A1B1C1D1 выполняются равенства
AB = A1B1 , BC = B1C1 , CD = C1D1 , DA = D1A1. Кроме того, известно, что
наименьшая сторона четырехугольника ABCD равна наибольшей стороне
четырехугольника A1B1C1D1. Верно ли, что четырехугольники ABCD и
A1B1C1D1 равны (две фигуры называются равными, если их можно
совместить наложением)?
5. Переменные x1, x2, …, x100 могут принимать значения 0 или 1. Обозначим
через S сумму x1·x2·x3 + x1·x2·x4 + … + x98·x99·x100 (в сумму входят по одному
разу все слагаемые вида xi·xj·xk , где 1 ≤ i < j < k ≤ 100). Может ли S равняться
5?
6. По кругу расставлены цифры 1, 2, 3, …, 9 в произвольном порядке (каждая
цифра встречается один раз). Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой
стрелке, образуют трехзначное число. Чему равна сумма всех девяти таких
чисел? Укажите все возможные варианты.
7. Найдите все решения ребуса
(одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, разными –
разные).
8. В выпуклом четырехугольнике ABCD известны три угла: A = 60°, B = 40°,
C = 120°; известно также, что стороны CD и AD равны. Докажите, что BC +
CD = AB.
9. Решите систему уравнений:
10. Несколько друзей решили устроить турнир по игре в «камень-ножницыбумагу». Каждый сыграл с каждым по одному поединку. За победу в каждом
поединке игроку начислялось одно очко, за поражение одно очко
вычиталось, а ничья число набранных очков не изменяла. Оказалось, что
один из участников набрал +7 очков, а другой набрал (–2) очка. Верно ли, что
хотя бы одна игра на турнире завершилась вничью?
Вступительная работа в 2009 году
1.
Рабочий обрезал фанерный лист прямоугольной формы, уменьшив его
размеры на 5% по вертикали и на 10% по горизонтали. На сколько процентов
уменьшилась площадь листа?
2. Решите неравенство (2x2 − 1)4 − (x2 + 8)4 ≥ 0.
3. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Докажите, что AB > AD.
4. Решите в натуральных числах уравнение
числа — это целые положительные числа: 1, 2, 3, ...).
(натуральные
5. Какое количество простых чисел может быть среди пяти подряд идущих
пятизначных натуральных чисел (напомним, что простым называется
натуральное число, большее 1 и не имеющее делителей, отличных от 1 и
самого себя)? Укажите все возможные варианты и докажите, что другие
варианты невозможны.
6.Витя готовится к важной контрольной работе по теме «Параллельные
прямые». За каждый из вопросов контрольной работы можно получить 0, 1,
2, 3 или 4 балла. Витя посчитал, что если за половину вопросов он получит 3
балла, а за оставшуюся половину 2 балла, то этого как раз хватит для того,
чтобы успешно сдать тему «Параллельные прямые». Если же Витя за треть
вопросов получит 4 балла, а за остальные вопросы 3 балла, то он наберет на
10 баллов больше, чем необходимо для сдачи этой темы. Сколько вопросов
содержит контрольная работа? За какое количество баллов ставят зачет по
теме «Параллельные прямые»?
7. Катя и Миша играют в игру. Перед началом игры на доске написано число
1. За один ход разрешается умножить записанное число на любое
натуральное число от 2 до 9. Первой ходит Катя, далее ходят по очереди.
Выигрывает тот, кто первым получит число, большее 1000. Кто из ребят
выиграет при правильной игре? Укажите выигрышную стратегию.
8. В прямоугольной трапеции ABCD углы A и B — прямые. Известно, что BC
= q, AD = r, CD = q + r. Пусть T — точка пересечения биссектрис углов C и D.
Найдите длины всех высот треугольника TCD.
9. Пусть S — сумма цифр числа a, T — сумма цифр числа b. Докажите, что
если число S + T делится на 9, то число a + b также делится на 9.
10. Несколько друзей устроили шахматный турнир по круговой системе
(каждый сыграл с каждым по одному разу). За победу в шахматах дается 1
очко, за ничью — пол-очка, за поражение — 0 очков. Известно, что среди
участников мальчиков было втрое больше, чем девочек. После завершения
турнира оказалось, что ничьих не было, а число очков, набранных всеми
мальчиками, равно числу очков, набранных всеми девочками. Кто победил в
турнире: мальчик или девочка?
«В 2009 году правила приема снова изменились, причем изменился и список
олимпиад, дающих льготу при поступлении, и набор вступительных
испытаний, и сама процедура подачи документов и зачисления в число
студентов. Подробную информацию по всем интересующим вопросам можно
найти
на
сайте
приемной
комиссии
мехмата
http://mech.math.msu.su/admission.
Олимпиада "Ломоносов"
Олимпиада проводится ежегодно Московским государственным
университетом имени М.В.Ломоносова по согласованию с Министерством
образования и науки РФ, Департаментом образования города Москвы и
Советом ректоров Москвы и Московской области.
Основными целями и задачами олимпиады являются выявление наиболее
талантливых учащихся образовательных учреждений, развитие у них
творческих способностей, поддержка одаренных детей, пропаганда научных
знаний.
В 2009 году олимпиада "Ломоносов" проводилась по следующим предметам
или комплексам предметов: математика, физика, литература,
иностранный язык, химия, биология, история, география, журналистика,
экономика, психология, обществознание, механика, русский язык, право,
философия, политология, информатика, регионоведение, международные
отношения и глобалистика.
В соответствии с действующим законодательством в 2009 году принимать
участие в олимпиаде могли только учащиеся образовательных учреждений,
осваивающие программы среднего (полного) общего образования.
Победителями и призерами считаются участники олимпиады, показавшие
лучшие результаты и награжденные дипломами 1 и 2 или 3 степени
соответственно.
Победителям и призерам олимпиады по предметам (комплексам предметов),
включенным в Перечень олимпиад школьников, предоставляются льготы
при поступлении в МГУ имени М.В.Ломоносова в соответствии с
действующим законодательством.
Задания олимпиады «Ломоносов-2008»
Задача 1.
1
1.
Найдите k, если
2.
Найдите k, если 4 −
1
+4
1
+4
√5−2𝑘
1
4−
Найдите k, если
4.
Найдите k, если 4 −
= 2 − √3. Ответ: 1
1
4− 1
2𝑘−√3
1
3.
+ 4 = √5 + 2. Ответ: -1
1
−4
1
−4
√5+2𝑘
− 4 = √5 − 2. Ответ: -1
1
4−
= 2 + √3.
1
4− 1
2𝑘+√3
Решение. Последовательно находим (уединяем в левой части)
«многоэтажную дробь» и сравниваем знаменатели левой и правой части.
Имеем:
−
1
4−
= 2 + √3 − 4 <=>
1
1
4−
2𝑘+√3
1
4−
1
= 2 − √3 =
1
4−
2𝑘+√3
1
2+√3
.
(здесь учтено, что 2 − √3 =
(2−√3)(2+√3)
2+√3
Сравнение знаменателей дает: 4 −
=
1
4−
1
1
).
2+√3
1
2𝑘+√3
= 2 + √3 <=>
√3 = 2+ 3.
√
Сравнение полученных новых знаменателей дает: 4 −
1
2𝑘+√3
= 2 − √3 =
1
.
2+√3
Значит, 2𝑘 + √3 = 2 + √3 <=> 𝑘 = 1.
4−
1
2𝑘+√3
1
1
2𝑘+√3
=2−
= 2 + √3 <=>
Проверка не обязательна, так как каждый раз знаменатель приравнивается
числу, не равному нулю.
Задача 2.
1. Какое наибольшее число раз можно последовательно взять
логарифм по основанию 3 от числа 2781 (первый логарифм берется от этого
числа, а затем всякий раз – от числа, полученного в предыдущий раз)?
Ответ: 5.
2. Какое наибольшее число раз можно последовательно взять
логарифм по основанию 2 от числа 1664 (первый логарифм берется от этого
числа, а затем всякий раз – от числа, полученного в предыдущий раз)?
Ответ: 6.
3. Какое наибольшее число раз можно последовательно взять
логарифм по основанию 3 от числа 940,5 (первый логарифм берется от этого
числа, а затем всякий раз – от числа, полученного в предыдущий раз)?
Ответ: 5.
4. Какое наибольшее число раз можно последовательно взять
логарифм по основанию 5 от числа 6251,5 (первый логарифм берется от этого
числа, а затем всякий раз – от числа, полученного в предыдущий раз)?
Решение.
1) Исходное число 6251,5=(54)1,5=56. Поэтому log556=6.
2) Далее берем логарифм от числа 6 и его оцениваем: 1<log56=A<2, так
как функция y= log5t возрастает и 51<6<52.
3) Аналогично берем и оцениваем логарифм от числа А: 0<log5A=В<
log52<1.
4) Логарифм от числа В отрицателен, так как В∈(0;1): С= log5В<0.
Логарифм от отрицательного числа С не существует.
Ответ: 4.
Задача 3.
1.
При каких значениях a существует единственное решение
𝑥 2 + 𝑦 2 = 4,
системы {
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 4)2 = 𝑎?
Ответ: a=9 или a=49.
При каких значениях a существует единственное решение
𝑥 2 + 𝑦 2 = 9,
системы {
(𝑥 + 4)2 + (𝑦 + 3)2 = 𝑎?
Ответ: a=4 или a=64.
2.
При каких значениях a существует единственное решение
𝑥 2 + 𝑦 2 = 4,
системы {
(𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 𝑎?
Ответ: a=9 или a=49.
3.
При каких значениях a существует единственное решение
𝑥 2 + 𝑦 2 = 9,
системы {
(𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 𝑎?
4.
Решение.
Множество решений первого уравнения образует фиксированную
окружность с центром в точке О(0; 0) и радиусом R1 = 3, множество решений
второго уравнения — семейство окружностей с центром в точке Q(4; 3) и
радиусом R2=√𝑎, где а > О, причем QO = √42 + 32 =5. Единственное
решение системы возможно только в двух случаях.
1. При внешнем касании окружностей (рис. 1). Точка касания Т1 лежит на
OQ и QT=QO-OT1, √𝑎=5–3, а = 4.
Рис. 1
2. При внутреннем касании окружностей (см. рис. 1). Точка
касания Т2 лежит на прямой OQ и
QT2 = QO + OT2, √𝑎 =5 + 3, а = 64.
Ответ: при a = 4 и при a = 64.
Задача 4.
1. Лиса преследовала кролика по прямолинейной дорожке, ведущей
к норе кролика. Их скорости были постоянны. В некоторый момент
расстояние от кролика до норы было равно 7 м, а до лисы — 13 м. В
некоторый следующий момент расстояние между кроликом и норой стало
вдвое меньше расстояния между ним и лисой. Успела ли лиса догнать
кролика прежде, чем тот юркнул в нору?
Ответ: не успела.
2. Кот преследовал мышку по прямолинейной дорожке, ведущей к
норке мышки. Их скорости были постоянны. В некоторый момент
расстояние от мышки до кота было равно 11 м, а до норки — 4 м. В
некоторый предыдущий момент расстояние между мышкой и котом было
втрое больше расстояния между ней и норкой. Успел ли кот догнать мышку
прежде, чем та юркнула в норку?
Ответ: успел.
3.
Лиса преследовала кролика по прямолинейной дорожке,
ведущей к норе кролика. Их скорости были постоянны. В некоторый момент
расстояние от кролика до норы было равно 8 м, а до лисы — 17 м. В
некоторый следующий момент расстояние между кроликом и норой стало
вдвое меньше расстояния между ним и лисой. Успела ли лиса догнать
кролика
прежде,
чем
тот
юркнул
в нору?
Ответ: успела.
4. Кот преследовал мышку по прямолинейной дорожке, ведущей к
норке мышки. Их скорости были постоянны. В некоторый момент
расстояние от мышки до кота было равно 13 м, а до норки -— 4 м. В
некоторый предыдущий момент расстояние между мышкой и котом было
втрое больше расстояния между ней и норкой. Успел ли кот догнать
мышку прежде, чем та юркнула в норку?
Рис. 2
Решение, На рисунке 2 изображены траектории движения кота (прямая КК2)
и мышки (прямая MN) в координатной плоскости (s; t), где t — время, s —
расстояние до норки. В момент t = 0 расстояния между мышкой и котом,
мышкой и норкой отличались в 3 раза: МК = 3а, МО = а, где а > 0. В момент
13
1
t1 эти расстояния отличались больше, чем в 3 раза, а именно в = 3 раза:
4
4
𝑀1 𝐾1
1 𝑀𝐾
𝑀1 𝐾1 = 13,
𝑀1 𝑂1 = 4,
=3 >
= 3.
𝑀1 𝑂1
4 𝑀𝑂
Значит, мышка добежит до норки быстрее кота: tм<tк. Чтобы кот добежал
до норки одновременно с мышкой (то есть в момент tм), траектория его
движения должна совпадать с прямой KN, то есть в момент t1 должна
проходить через точку К0 такую, что
𝑀1 𝐾0
= 3 ⟹ 𝑀1 𝐾0 = 3 ∙ 𝑀1 𝑂1 = 12 < 13.
𝑀1 𝑂1
Вывод. Скорость кота недостаточна, чтобы догнать мышку.
Ответ: не успел.
Задача 5
1. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного
треугольника с основанием 6, если синус одного угла равен косинусу
другого.
Ответ: 3 и 2√3
2. Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к
его боковой стороне, равной 2, если синус одного его угла равен косинусу
другого.
Ответ: 2 и √3
3. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного
треугольника с боковой стороной 2√2 , если синус одного его угла равен
косинусу другого.
Ответ: 2 и 2√2
4. Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную из
вершины его основания, равного 2√2, если синус одного его угла равен
косинусу другого.
Решение. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC АС —
основание, ∠𝛼 = ∠𝛾, 0 < 𝛼 < 90°, 0 < γ < 90° (рис. 3).
1-й случай.
sin γ = cos α => sin γ = cos γ .
𝜋
Значит, t g γ = l и γ = . В треугольнике ADC DC = AD = h, отсюда 2h2=8,
4
h = 2.
2-й случай.
sin β = cos γ => sin (π- 2γ) = cos γ => => sin 2γ - cosγ = 0.
2sin γ • cos γ - cos γ = 0, cos γ (2sin γ - 1) = 0.
1
𝜋
2
6
Так как cos γ ≠ 0, то sin γ = , γ = ; h =
2√2
2
= √2.
3-й случай.
cos β = sin γ. Покажем, что в этом случае решений нет.
Способ I.
cos β = sin γ => cos (π - 2 γ) = sin γ => -cos 2 γ = sin γ,
то есть sin2 γ - cos2 γ - sin γ = 0, 2sin2 γ - sin γ - 1 = 0.
1±√1+8
,
4
sin γ =
1
(sin γ)1 = 1, (sin γ)2 =− .
2
Противоречие: 0 < γ < 90°.
Способ II.
cos β = sin γ. Поскольку sin γ > 0, то cos β > 0, 0 < β < 90°. Далее:
𝜋
𝛽
𝜋
𝛽
𝛽
𝛽
β = π–2 γ, γ = − и sin ( − ) = 𝑐𝑜𝑠 , откуда получаем: cos β – cos ,
2
2
2
2
2
2
β=
𝛽
2
=> β = 0.
Противоречие.
Ответ: 2 и √2.
Задача 6
𝑥
1.
Решите неравенство √25𝑥 − 23−𝑥 < 7 ∙ 2−2 − 2 ∙ 5𝑥
Ответ: log50 8 ≤ х < log50 9.
𝑥
2. Решите неравенство √9𝑥 − 5 · 2−𝑥 < 23−2 − 2 ∙ 3𝑥
Ответ: log18 5 ≤ х < log18 9.
𝑥
3. Решите неравенство √4𝑥 − 8 · 7−𝑥 < 71−2 − 2𝑥+1 .
Ответ: log28 8≤ х < log28 9.
𝑥
4. Решите неравенство √4𝑥 − 51−𝑥 < 8 ∙ 5−2 − 2𝑥+1 .
Решение. Пусть в исходном неравенстве
√22𝑥 −
5
5𝑥
<
𝑥
8
𝑥
𝑥
𝑥 − 2 ∙ 2 , 2 = 𝑎, 𝑎 > 0, 52 = 𝑏, 𝑏 > 0.
52
Тогда √𝑏 2 = |𝑏| = 𝑏 и √𝑎2 −
5
𝑏2
8
< − 2𝑎, √(𝑎𝑏)2 − 5 < 8 − 2𝑎𝑏.
𝑏
𝑥
2
Пусть 𝑎𝑏 = 2𝑥 ∙ 5 = (2√5)𝑥 = 𝑡.
𝑡 > 0,
Тогда { 2
В последнем неравенстве левая часть
√𝑡 − 5 < 8 − 2𝑡.
возрастает (при 𝑡 ≥ √5), правая — убывает. Решим уравнение (найдем
точку пересечения графиков левой и правой части):
t2 - 5 = 64 - 32t + 4t2, 3t2 - 32t + 69 = 0,
16 ± √256 − 207
16 ± 7
23
,
𝑡1,2 =
. 𝑡1 =
, 𝑡 = 3.
3
3
3 2
Заметим, что в неравенстве √𝑡 2 − 5 < 8 − 2𝑡 обе части больше нуля;
23
следовательно, 𝑡1 =
не входит в область определения неравенства.
𝑡=
3
Равенство достигается при t = 3 (√32 − 5 = 8 − 2 · 3 <=>2 = 2).
Значит (рис. 4),
𝑥
√5 ≤ (2√5) < 3 ⟺ 𝑙𝑜𝑔2√5 √5 ≤ 𝑥 < 𝑙𝑜𝑔2√5 3. Так как 2√5 = √20, то
𝑙𝑜𝑔2√5 √5 = 𝑙𝑜𝑔√20 √5 = 𝑙𝑜𝑔20 5,
𝑙𝑜𝑔2√5 3 = 𝑙𝑜𝑔√20 3 = 𝑙𝑜𝑔20 9
и получим ответ: log20 5 ≤ х < log20 9.
Ответ: log20 5 ≤ х < log20 9.
Задача 7
3𝑥
1. Решите уравнение 2 + cos x = √3 |𝑠𝑖𝑛 | 𝑠𝑖𝑛𝑥.
Ответ: х =
4
2𝜋
+ 4𝜋𝑛, п = 0, ±1, ±2, ...
3
Решите уравнение √2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = |𝑐𝑜𝑠
2.
Ответ: х =
3𝜋
3
| 𝑠𝑖𝑛𝑥.
+ 6𝜋𝑛, п = 0, ±1, ±2, ...
4
3𝑥
3. Решите уравнение 2 + cos x + √3 |𝑠𝑖𝑛
Ответ: х =−
4𝑥
2𝜋
3
4
| 𝑠𝑖𝑛𝑥=0
+ 4𝜋𝑛, п = 0, ±1, ±2, ...
4. Решите уравнение √2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + |𝑐𝑜𝑠
4𝑥
3
| 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0.
4𝑥
Решение. Исходное уравнение
𝑐𝑜𝑠𝑥 + |𝑐𝑜𝑠 | 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −√2 в
3
соответствии с методом вспомогательного угла разделим почленно на
√1 + 𝑐𝑜𝑠 2
4𝑥
3
и оценим левую и правую части уравнения; получим:
1
√1 + 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥
3
𝑐𝑜𝑠𝑥 +
|𝑐𝑜𝑠
4𝑥
|
3
√1 + 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥
3
𝑠𝑖𝑛𝑥 = −
𝑠𝑖𝑛𝜑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −
1
где 𝜑 = arcsin
√1+𝑐𝑜𝑠 2
√1 + 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥
3
3
4𝑥
3
√1 + 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥
3
√2
, −1 ≤ sin(𝑥 + 𝜑) = −
4𝑥
(здесь учтено, что√1 + 𝑐𝑜𝑠 2
√2
√2
√1+𝑐𝑜𝑠 2
4𝑥
3
,
≤ −1
∈ [1; √2]). Значит, исходное уравнение
sin(𝑥 + 𝜑) = −1,
√2
равносильно системе {−
√1+𝑐𝑜𝑠 2
4𝑥
3
= −1.
Решаем второе ее уравнение:
𝑐𝑜𝑠 2
4𝑥
3
= 1 𝑠𝑖𝑛
4𝑥
3
=0 ⟺
4𝑥
3
Решаем первое ее уравнение.
,
= 𝜋𝑛 ⟺ 𝑥 =
3𝜋𝑛
4
, 𝑛 = 0, ±1, ±2, …
Так как sin 𝜑 =
1
√1+𝑐𝑜𝑠 2
=
4𝑥
1
√1+1
=
1
√2
𝜋
𝜋
и 𝜑 ∈ (0; ), то 𝜑 = ,
2
4
3
π
π
π
3π
sin (x + ) = −1 ⟺ x + = − + 2πk ⟺ 𝑥 = −
+ 2πk,
4
4
2
4
где 𝑘 = 0, ±1, ±2, …
Решаем систему {
𝑥=−
3π
4
𝑥=
+ 2πk,
3𝜋𝑛
4
.
Способ I (с помощью тригонометрического круга).
Первое множество на нем изображается единственной точкой (рис. 5).
Второе — с помощью нескольких точек (рис. 6). Совпадение — при п = –1 и
при п = 7, а значит, с периодом 7–(–1) = 8, то есть при п = —1+8m (где m = 0,
±1, ±2, ...). Получаем решение системы:
𝑥=
3𝜋
4
(−1 + 8𝑚) = −
3𝜋
4
+ 6𝑚, m = 0, ±1, ±2, ...
Способ II (с помощью уравнения).
3𝜋𝑛
3𝜋
8𝑘
=−
+ 2𝜋𝑘 ⟺ 3𝑛 = 8𝑘 − 3 ⟺ 𝑛 =
− 1.
4
4
3
8∙3𝑚
Ясно, что k должно быть кратно трем: 𝑘 = 3𝑚, 𝑛 =
− 1, 𝑛 = 8𝑚 − 1.
3
Получаем тот же отвел: 𝑥 = −
Ответ: 𝑥 = −
3𝜋
4
3𝜋
4
+ 6𝑚, m = 0, ±1, ±2, ...
+ 6𝑚, т = 0, ±1, ±2, ...
Задача 8
1. Основанием прямой призмы АБСА'В'С' служит прямоугольный
треугольник с катетами АВ = 3 и АС = 4. Через середину бокового ребра
ВВ' = 10 параллельно АС проведена прямая l. Какие значения может
принимать площадь параллелограмма, у которого две вершины — точки А и
B, а остальные две вершины лежат на прямых А'С и l соответственно?
Ответ: 3√29 и 3√61.
2. Основанием прямой призмы ABCА'В'С' служит прямоугольный
треугольник с катетами АВ = 6 и АС = 5. Через середину бокового ребра
СС'=4 параллельно АВ проведена прямая l. Какие значения может принимать
площадь параллелограмма, у которого две вершины — точки А и С,
а остальные две вершины лежат на прямых А'В и l соответственно?
Ответ: 5√13 и 5√85.
3. Основанием прямой призмы ABCА'В'С' служит прямоугольный
треугольник с катетами АВ = 3 и АС = 2. Через середину бокового ребра
ВВ' = 10 параллельно АС проведена прямая l. Какие значения может
принимать площадь параллелограмма, у которого две вершины — точки А'
и В', а остальные две вершины лежат на прямых АС и l соответственно?
Ответ: 3√26 и 3√34.
4. Основанием прямой призмы ABCА'В'С' служит прямоугольный
треугольник с катетами АВ = 6 и АС = 5. Через середину бокового ребра
СС'=2 параллельно АВ проведена прямая l. Какие значения может принимать
площадь параллелограмма, у которого две вершины — точки А' и С', а
остальные две вершины лежат на прямых АВ' и l соответственно?
Решение. Достроим исходную призму ABCА'В'С' до прямоугольного
параллелепипеда ABDCA'B'D'C', проведя плоскости CC'D'D || АА'В'В,
BB'D'D || АА'С'С (рис. 7). Скрещивающиеся прямые l = EF (где F — середина
ребра DD') и АВ' лежат в параллельных плоскостях CC'D'D и АА'В'В
соответственно. Прямая А'С' перпендикулярна им. Значит, прямая А'С'
перпендикулярна прямым l и АВ'.
1. Пусть А и С' являются соседними вершинами искомого
параллелограмма (см. рис. 7). Тогда две другие его вершины К ∈ АВ' и L∈l
являются концами общего перпендикуляра KL к скрещивающимся прямым
АВ' и l. Из единственности общего перпендикуляра KL следует
единственность искомого параллелограмма в рассматриваемом случае.
Построить отрезок KL можно разными способами. Вот один из них.
Параллельным переносом прямой l на вектор С'А' получим прямую l'= HG,
проходящую через середины H и G ребер АА' и ВВ'. Прямые l' и АВ'
пересекаются в точке К — центре грани АВВ'А'.
За точку L примем центр грани CC'D'D. Тогда KL — общий перпендикуляр в прямым l и АВ' (так как KL || А'С'), A'C'LK— искомый
параллелограмм. Он является прямоугольником, так как параллельные
прямые А'С' и KL перпендикулярны плоскостям ABB', CDD', а значит и
прямым А'К и CL. Его площадь равна
1
1
S = C'A' ·A'K = C'A' · √(𝐴′𝐵′)2 + (В′В)2 = 5 ∙ ∙ √62 + 22 = 5√10
2
2
2. Пусть А' и С' являются противоположными вершинами
параллелограмма (рис. 8). Тогда две другие его вершины N∈l и N1∈А'В
должны быть симметричными относительно середины Q отрезка А'С'. Для
построения точки N:
—построим прямую 𝐴̅N, симметричную прямой АВ' относительно
точки Q; прямая 𝐴̅N лежит в плоскости CC'D', так как плоскости ABB' и
CC'D' симметричны относительно точки Q;
— найдем точку N пересечения прямых 𝐴̅N и l; точка N существует, так
как эти прямые лежат в одной плоскости и не параллельны в силу
непараллельности прямых l и АВ'.
Из единственности третьей вершины — точки N — следует
единственность параллелограмма в рассматриваемом случае. Так как А'С'⊥
CC'D', то А'С'⊥ 𝐴̅N. Прямоугольный треугольник A'C'N является половиной
параллелограмма, площадь которого равна
1
S =2𝑆∆𝐴′ = 2 ∙ ∙ 𝐴′ 𝐶 ′ ∙ 𝐶 ′ 𝑁 = 𝐴′ 𝐶 ′ ∙ 𝐶 ′ 𝑁.
2
Длину C'N найдем из прямоугольного треугольника C'NM (см. рис. 8):
1
C'N =√(𝐶 ′ 𝑀)2 + (𝑀𝑁)2 = √(6 + 3)2 + ( ∙ 2)2 = √82.
2
Значит, S= 5√82. Итак, условиям задачи удовлетворяют лишь два
параллелограмма. Площади их найдены.
Ответ: 5√10 и 5√82.
Задача 9
1. Найдите все натуральные значения п, удовлетворяющие уравнению
2002[𝑛√10012 + 1] = 𝑛[2002√10012 + 1],
где [х] — наибольшее целое число, не превосходящее числа х.
Ответ: п = 1, 2, 3, …, 2002.
2. Найдите все натуральные значения п, удовлетворяющие уравнению
2004[𝑛√10022 + 1] = 𝑛[2004√10022 + 1],
где [х] — наибольшее целое число, не превосходящее числа х.
Ответ: п = 1, 2, 3,…, 2004.
3. Найдите все натуральные значения п, удовлетворяющие уравнению
2006[𝑛√10032 + 1] = 𝑛[2006√10032 + 1],
где [х] — наибольшее целое число, не превосходящее числа х.
Ответ: п = 1,2, 3, …, 2006.
4. Найдите все натуральные значения п, удовлетворяющие уравнению
2008[𝑛√10042 + 1] = 𝑛[2008√10042 + 1],
где [х] — наибольшее целое число, не превосходящее числа х.
Решение. 1. Оценим разность между числами √10042 + 1 и 1004.
Имеем:
=
0 < 𝛼 = √10042 + 1 − 1004 =
1
√1004 2 +1+1004
<
1
√1004 2 +1004
=
1
2008
(√1004 2 +1−1004)(√1004 2 +1+1004)
√1004 2 +1+1004
1
. Итак, α∈ (0;
2008
=
).
2. Зная оценку на α, найдем целую часть из правой части уравнения:[2008 ∙
√10042 + 1] = [2008(1004 + 1)] = [2008 ∙ 1004 + 2008α] = 2008 ∙ 1004,
так как 2008· α∈ (0; 1).
3. Теперь найдем целую часть из левой части уравнения:
2008[𝑛√10042 + 1] = 𝑛 ∙ 2008 ∙ 1004 ⟺ [𝑛√10042 + 1] = 1004𝑛. (1)
В силу определения целой части [х] числа х имеем: х < [х] + 1. Поэтому для
числа x= 𝑛√10042 + 1 с учетом (1) получаем неравенство для искомых п:
𝑛√10042 + 1 < 1004𝑛 + 1 ⟺ 𝑛(√10042 + 1 − 1004) < 1 ⟺
⟺ 𝑛<
1
∙
√1004 2 +1+1004
√1004 2 +1−1004 √1004 2 +1+1004
⟺ 𝑛 < √10042 + 1 +
1
+1004 = (1004 + α) + 1004 ⟺ 𝑛 < 2008 + α, где α∈ (0;
) => n = 1, 2, 3,
2008
…, 2008.
Ответ: п = 1, 2, 3, …, 2008.
Задача 10
1. На числовой прямой отмечены 4 синие точки, соответствующие
левым членам геометрической прогрессии с первым членом -2 и
знаменателем -2, а также 4 зеленые точки, соответствующие первым членам
некоторой арифметической прогрессии с первым членом -5. Какова при этом
наименьшая возможная сумма длин четырех отрезков с разноцветными
концами, включающими все 8 отмеченных точек? (Каждая из 8 точек
является концом одного из отрезков.)
Ответ: 12.
2. На числовой прямой отмечены 4 красные точки, соответствующие
первым членам геометрической прогрессии с первым членом 3 и знаменателем -2, а также 4 зеленые точки, соответствующие первым членам
некоторой арифметической прогрессии с первым членом -12. Какова при
этом наименьшая возможная сумма длин четыре отрезков с разноцветными
концами, включающими все 8 отмеченных точек? (Каждая из 8 точек
является концом одного из отрезков.)
Ответ: 15.
3. На числовой прямой отмечены 4 синие точки, соответствующие
первым членам геометрической прогрессии с первым членом 2 и
знаменателем -2, а также 4 желтые точки, соответствующие первым членам
некоторой арифметической прогрессии с первым членом -7. Какова при этом
наименьшая возможная сумма длин четырех отрезков с разноцветными
концами, включающими все 8 отмеченных точек? (Каждая из 8 точек
является концом одного из отрезков.)
Ответ: 12.
4. На числовой прямой отмечены 4 желтый, точки, соответствующие
первым членам геометрической прогрессии с первым членом -3 и знаменателем -2, а также 4 зеленые точки, соответствующие первым членам
некоторой арифметической прогрессии с первым членом -9. Какова при этом
наименьшая возможная сумма длин четырех отрезков с разноцветными
концами, включающими все 8 отмеченных точек? (Каждая из 8 точек является концом одного из отрезков.)
Решение. Четыре желтые точки имеют фиксированные координаты:
b1=-3, b2=b1q=(-3)·(-2)=6, b3=b1q2=-12, b4=b1q3=24, где b1=-3, q = -2 –
первый член и знаменатель геометрической прогрессии. Упорядочим их по
возрастанию (рис. 9):
x1=-12, x2=-3, x3=6, x4=24.
Координаты зеленых точек не зависят от разности d арифметической
прогрессии (рис. 10 и 11):
у1 = -9, у2 = -9 + d, у3 = -9 +2d, у4 = -9 + 3d.
Они упорядочены по возрастанию при d ≥ 0 (тогда у1 ≤ у2 ≤ у3 ≤ у4) или
по убыванию при d < 0 (тогда у4 ≤ у3 ≤ у2 ≤ у1).
Числа х1 и yi (i = 1,2, 3 или 4) примем за координаты концов первого
отрезка. Его длина 𝜌1𝑖 = |𝑥1 − 𝑦𝑖 | может принимать 4 значения в зависимости от выбора индекса i. Аналогично, длина второго отрезка ρ2j = | х2 –
–уj|. может принимать три значения, так как координата уj выбирается из трех
оставшихся; длина третьего отрезка 𝜌1𝑘 = |𝑥3 − 𝑦𝑘 | может принимать лишь
два значения, так как координата yk выбирается из двух оставшихся; длина
четвертого отрезка равна𝜌1𝑙 = |𝑥4 − 𝑦𝑙 |. Искомой является наименьшая возможная сумма длин четырех отрезков, то есть минимум функции
f=|𝑥1 − 𝑦𝑖 | + | х2 – у𝑗 | + |𝑥3 − 𝑦𝑘 | + |𝑥4 − 𝑦𝑙 | → 𝑚𝑖𝑛
(1)
на множестве всех 24 (4 · 3 · 2 ·1 = 24) четверок индексов {i; j; k; l}.
(2)
Здесь каждый индекс принимает одно из четырех значений из
множества {1; 2; 3; 4}, в каждой четверке (2) нет равных чисел. Каждая такая
четверка (2) называется перестановкой из четырех элементов.
Рассмотрим сначала аналогичную задачу типа (1)-(2) для двух желтых
и двух зеленых точек. Докажем, что при х1 ≤ х2, у1 ≤ у2
|𝑥1 − 𝑦1 | + | х2 – у2 | ≤ |𝑥1 − 𝑦2 | + |𝑥2 − 𝑦1 |,
(3)
то есть что минимум суммы длин двух отрезков достигается при совпадении
индексов координат у разноцветных точек.
Доказательство проведем, например, сравнением длин. Без
ограничения общности положим, что х1 ≥ у1 (иначе эти координаты можно
поменять местами). Точка D с координатой у2 может находиться: на отрезке
АС; отрезке АВ; правее точки В (рис. 12-14). В первом случае (см. рис. 12) из
(3) имеем верное неравенство, так как
AC+BD ≤ AD+BC  AD + DC + AB +AD ≤ AD+AB +AD + DC 
 0 ≤ 0 (верно).
Во втором случае (см. рис. 5) аналогично:
AC + BD ≤ AD + BC  АС + BD ≤ AD + BD + AD + АС 
 0 ≤ 2AD (верно).
В третьем случае аналогично (см. рис. 6): AC + BD ≤ AD + BC 
 АС + BD ≤ АВ + BD + АВ + АС  0≤2АВ (верно).
Из доказанного неравенства (3) вытекает: если для перестановки
(i; j; k; l) в (1) хотя бы в одном месте не выполняется неравенство i<j<k<l, то,
меняя местами соответствующую пару у, мы не увеличим значение f в (1).
Проделав это несколько раз, придем к перестановке (1; 2; 3; 4). Отсюда
вытекает правило: для достижения наименьшей суммы длин отрезков надо:
— соединить крайние слева желтую и зеленую точки и получить:
ρ11 = | х1 — у1 |;
— из оставшихся снова соединить крайние левые желтую и зеленую
точки и получить: ρ22 = | х2 — у2 |;
— аналогично получить: ρ33 = | х3 — у3 | и ρ44 = | х4 — у4 |.
Другими словами, минимум суммы (1) достигается при совпадении
индексов координат у каждой пары разноцветных точек:
fmin=|𝑥1 − 𝑦1 | + | х2 – у2 | + |𝑥3 − 𝑦3 | + |𝑥4 − 𝑦4 |
Для школьников, знакомых с теорией перестановок, приведем более
общее утверждение:
Если х1 < х2 < ... < хп и у1 < у2 < ... < уп, то для любой перестановки а
чисел 1, 2,…, п
𝑛
𝑛
∑|𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 | ≤ ∑|𝑥𝑖 − 𝑦𝜎(𝑖) |
𝑖=1
𝑖=1
В нашей задаче n = 4. Если d ≥ 0, то из (4) имеем:
f(d) = |-9 + 12| + |-9 + d + 3| + | -9 + 2d - 6 | + | -9 + 3d - 24 | = 3 + | d - 6 | +
+ |2d - 15 | + | 33 - 3d | ≥ 3 +| d - 6 + 2d - 15 + 33 - 3d | = 3 + |12 | = 15.
Здесь учтено, что |a |+ |b| +| с | ≥ | a + b + с |, |-a| = | a |.
15
Значение f(d) = 15 достигается при всех 𝑑 ∈ [ ; 11], так как
2
15
3 21
𝑓( ) = 3+ +
= 15 и 𝑓(11) = 3 + 5 + 7 = 15.
2
2 2
Действительно, если сумма трех модулей минимальна, то хотя бы один
15
из них равен нулю. Поэтому проверили значения d =
и d = 11.
2
Если d < 0, то из (4) имеем (так как | t | ≥ 0): f(d) = | -9 + 3d + 12 | + | -9 +
+2d + 3 | + | -9 + d - 6| + | -9 - 241 >|9 + 24| = 33> 15.
Ответ: 15.
Задания олимпиады «Ломоносов-2009»
1. На сколько одно из двух положительных чисел больше другого,
если их среднее арифметическое равно 2√3, а среднее геометрическое √3?
2. В свежих грибах содержание воды колеблется от 90% до 99%, а в
сушеных – от 30% до 45%. В какое наибольшее число раз при этих
ограничениях может уменьшиться все грибов в результате сушки?
3. При каждом значении a найдите все значения x,
(𝑥+1)2
(𝑥+1)2
удовлетворяющие уравнению 𝑙𝑜𝑔5 (
− 𝑎) = 𝑙𝑜𝑔5
− 𝑙𝑜𝑔5 𝑎.
𝑥
𝑥
4. Можно ли данный двугранный угол величиной 900 пересечь
плоскостью так, чтобы в полученном сечении образовался угол в 1100?
5. Какие значения может принимать наибольший общий делитель
натуральных чисел m и n, если при увеличении числа m на 6 он увеличится в
4 раза?
6. Сколько решений на отрезке [0; 𝜋] имеет уравнение
5𝑠𝑖𝑛𝑥 + 4 = |5𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2| ?
7. Две окружности касаются внешним образом: друг друга в точке
А, а третьей окружности – в точках В и С. Продолжение хорды АВ первой
окружности пересекает вторую окружность в точке D, продолжение хорды
АС пересекает первую окружность в точке Е, а продолжение хорд ВЕ и СD –
третью окружность в точках F и G соответственно. найдите ВG, если ВС=5 и
ВF=12.
8. Настенные часы сломались, отчего минутная стрелка стала в
произвольные моменты времени мгновенно менять направление своего
движения на противоположное, вращаясь со своей прежней угловой
скоростью. Все потенциальные показания (в минутах) этой стрелки целиком
заполняют промежуток [0; 60).
а) Может ли такая стрелка в течение одного часа бесконечно много раз
показать каждое из двух чисел 15 и 45?
б) Какое наибольшее количество раз в течение суток может
встретиться самое редкое показание такой стрелки (из всех потенциальных
показаний за эти трое суток)?
9. Найдите все пары (x;y), при каждой из которых для чисел 𝑢 =
√4 + 𝑥 2 − 9𝑥 − 𝑥 − 3𝑦 и 𝑣 = 2 − 𝑥 − 3𝑦 справедливы все три следующих
высказываний
сразу:
если |𝑢| > |𝑣|, то 𝑢 > 0, если |𝑢| < |𝑣|, то 0 >
𝑣, если |𝑢| = |𝑣|, то 𝑢 > 0 > 𝑣.
Ответы к заданиям олимпиады «Ломоносов-2009»
1 6
4 да
2 70
5 2,6
1
3
6 1
𝑥 = 𝑎 − 1,
при 𝑎 > 1
𝑎−1
7
8
9
13
а) да; б) да
-3<x<0, x>3