ЕРЕМЕЕВА МАРИНА ЛЕОНИДОВНА Учитель математики МБОУ «Гимназия №4» ЕМР

ЕРЕМЕЕВА МАРИНА ЛЕОНИДОВНА
Учитель математики МБОУ «Гимназия №4» ЕМР
ТЕМА: «СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС СУММЫ И РАЗНОСТИ
ДВУХ УГЛОВ. СИНУС И КОСИНУС ДВОЙНОГО УГЛА»
Учебные задачи: формирование умений применять формулы сложения и
формулы двойного угла в вычислениях и тождественных преобразованиях выражений и при решении уравнений.
Ход урока:
Часто при преобразовании тригонометрических выражений и решении
уравнений применяются формулы, выражающие тригонометрические функции
суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.
cos( –β)= cos α cos β + sin α sin β (1) – формула косинуса разности.
cos( +β)= cos α cos β – sin α sin β (2) – формула косинуса суммы.
sin( +β)= sin α cos β + cos α sin β (3) – формула синуса суммы.
sin( –β)= sin α cos β – cos α sin β (4) – формула синуса разности.
Формулы (1)-(4) – формулы сложения для косинуса и синуса.
tg (   ) 
tg (   ) 
tg  tg 
(5) – формула тангенса суммы.
1  tg tg 
tg  tg 
(6) – формула тангенса разности.
1  tg tg 
Формулы сложения позволяют получить формулы двойного угла.
Положим β = α, получим тождества:
sin 2 α= 2 sin α cos α (7)
cos 2 α= sin2 α – cos2 α (8)
tg 2 
2tg
(9)
1  tg 2
Рассмотрим примеры их использования при выполнении заданий ЕГЭ части В.
Пример 1) Упростить выражение
sin 3α cos 2α+ cos 3α sin 2α– cos (2π–α).
Решение. По формуле (3) получим
sin 3α cos 2α+ cos 3α sin 2α– cos (2π–α) = sin 5α – cos α.
Ответ. sin 5α – cos α.
Пример 2) Упростить выражение
4sin2 α +5 –4 cos2 α.
Решение.
4sin2 α +5 –4 cos2 α=4sin2 α–4 cos2 α+5=4(sin2 α– cos2 α) + 5= 4 cos2 α +5.
Применили формулу (8).
Ответ. 4 cos2 α +5.
Пример 3) Найти значение выражения
6 (sin2 х – cos2 х), если sin 2 x 
1
,
3

3

x .
4
2
Решение.
6 ( sin2 х – cos2 х)= – 6 cos 2 α.
Найдем cos 2 α.
1
3
cos 2 α=– 1  sin 2 2 = – 1   
2
.
3
Значит,
 2
6 ( sin2 х – cos2 х)= – 6 ·  
 =2.
 3
Ответ. 2.
Пример 4) Решить уравнение sin2 х —sin 2х = 0.
После замены sin 2х на 2 sin х cos х по формуле (7) уравнение приводится к
виду
sin2 х –2 sin х cos х = 0.
Разложим левую часть на множители
sin х (sin х – 2 cos х) = 0,
откуда
sin x=0, т. е. х=πn, n Z,
или
sin х –2 cos х = 0,
откуда
tg х = 2 и x = arctg 2 +πk, k  Z.
Можно было разделить обе части уравнения на cos2 х и получить уравнение
t g 2 x - 2 t g x = 0.
Если же делить на sin2 х, то нужно учесть, что те х, при которых sin х = 0,–
также решения данного уравнения. Поэтому к корням полученного после деле1
2
ния на sin2 х уравнения ctg х– =0 надо добавить корни уравнения s i n x = 0.
Ответ. πn, n  Z, arctg 2 +πk, k  Z.
Пример 5. Найти произведение целых значений функции
y
15  4 cos x  3sin x
.
5
Запишем функцию в виде
4
3
y  3  cos x  sin x .
5
5
2
2
4
3
Т.к. выполняется равенство       1 , то применим метод вспомога5 5
тельного аргумента. Положим sin φ=
4
3
, cos φ= . Тогда
5
5
4
3
3  cos x  sin x = 3+ sin φ cos x– cos φ sin x= 3+ sin(φ–x).
5
5
Имеем,
1  sin(  x)  1  2  3  sin(  x)  4 .
Найдем произведение целых чисел из промежутка [2;4].
Получаем 2·3·4=24.
Ответ. 24.
Перед выполнением самостоятельных заданий и тестов, повторите пройденный
материал
с
помощью
http://www.openclass.ru/node/25459,
http://www.openclass.ru/dig-resource/44994
Литература.
1.
Лаппо, Л.Д. ЕГЭ. Тематические тренировочные задания. Уровень А,
В, С/ Л.Д. Лаппо, М.А. Попов.– М.: Издательство «Экзамен», 2008. –93 с.
2.
Подготовка к ЕГЭ – 2009. Вступительные испытания / Под ред.
Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион, 2008. – 400 с.
3.
Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского.
– 11-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 270 с.
4.
Кочагин В.В. ЕГЭ – 2009. Математика: сборник заданий/ В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: Эксмо, 2008.– 208 с.
5.
Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:
2009: Математика / авт.-сост. В.И. Ишина, В.В. Кочагин, Л.О. Денищева и др. –
М.: АСТ: Астрель, 2009.– 124 с. – (ФИПИ)
6.
Сергеев, И.Н. ЕГЭ. Математика. Задания типа С / И.Н. Сергеев. – 2е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. –318 с.
7.
Самые новые реальные задания: ЕГЭ – 2009: Математика / авт.сост. В.И. Ишина, Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков и др. – М.: АСТ: Астрель,
2009.– 125 с. – (ФИПИ)