ТРИГОНОМЕТРИЯ Формулы сложения аргументов sin (x y) = sin x cos y cos x sin y cos (x y) = cos x cos y sin x sin y tgx tgy ctgxctgy 1 tg (x y) = ctg (x y) = 1 tgxtgy ctgy ctgx Формулы понижения степени 1 + cos 2x = 2 cos2x 1 – cos 2x = 2 sin2x 1 cos 2 x 1 cos 2 x cos2x = sin2x = 2 2 Формулы половинного угла x 1 cos x x 1 cos x sin cos 2 2 2 2 x sin x x 1 cos x x 1 cos x tg tg tg 2 1 cos x 2 sin x 2 1 cos x Универсальная тригонометрическая подстановка sin x 2tg x 2 1 tg 2 x 2 cos x x 1 tg 2 2 1 tg 2 x 2 Формулы двойного угла sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2x – sin2x cos 2x = 2 cos2x – 1 cos 2x = 1 – 2 sin2x ctg 2 x 1 2tgx tg 2x = ctg 2x = 1 tg 2 x 2ctgx Аsin x + В cos y = С sin x t , где С С cos x t , где С B А В , t arcsin C B 2 2 А В , t arccos C 2 2 6. Метод оценки. sin x + sin 3x = 2 7. Универсальная тригонометрическая подстановка. Преобразование суммы в произведение x y x y sin x sin y 2 sin cos 2 2 x y x y cos x cos y 2 cos cos 2 2 x y x y cos x cos y 2 sin sin 2 2 sin x y tgx tgy cos x cos y sin x y ctgx ctgy sin x sin y Преобразование произведения в сумму sin x y sin x y sin x cos y 2 cosx y cos x y cos x cos y 2 cos x y cos x y sin x sin y 2 Решение тригонометрических уравнений sin x = a , x = (– 1)narcsin a + n , где | a | < 1 nZ cos x = a , x = arccos a + 2 n , где | a | < 1 nZ tg x = a x = arctg a + n Частные случаи x = 2n sin x = 1 2 sin x = 0 x=n 2n x = sin x = – 1 2 n x = cos x = 0 2 cos x = 1 x = 2 n cos x = – 1 x = + 2 n Методы решения тригонометрических уравнений 1. Уравнения, приводимые к квадратным. а) 2 sin2x + sin x – 1 = 0 б) tg x + 2 ctg x = 3 2. Разложение левой части на множители. а) sin 2x – cos x = 0 б) cos 3x + sin 2x – cos x = 0 в) sin x sin 5x = sin 2x sin 4x 3. Однородные уравнения. a) 3 cos 7x – 5 sin 7x = 0 б) 5 cos2x + sin2x = 4 sin x cos x 1 4. Понижение степени. а) sin2(х + ) = 2 3 x x б) 4 cos4 2 = 4 cos x cos2 2 + sin 2x – sin x 5. Метод дополнительного угла. 4 sin3x + 3 cos 3x = 5,2 x а) sin x + ctg 2 = 2 б) 3 sin 4x = (cos 2x – 1) tg x 8. Уравнения вида F (sin x cos x ; sin 2 x) = 0 ( замена : t = sin x cos x ; sin 2 x = (t – 1)) а) 2 sin 2x + sin x + cos x = 1 б) sin3x – cos3x = 3 sin x cos x – 1 2 0 /6 /3 /4 sin 1 2 cos 3 2 3 3 3 3 2 1 2 2 2 2 2 1 tg ctg 3 3 3 1