Разработки уроков&quot

Урок с использованием информационно-коммуникационных
технологий.
9 класс
Тема .Тригонометрические функции любого угла.
(урок изучения нового материала)
Цель. Закрепить определение и свойства тригонометрических функций. Назначение
тригонометрических функций, необходимость их возникновения. История возникновения
тригонометрических функций.
Оборудование: электронный учебник-справочник «Алгебра7-11классы», электронное
пособие «Рефераты для школьников» , мультимедиа проектор ,компьютеры ( 1машина на
2 ученика)
Ход урока.
1. Организационный момент.
2. Вводная беседа учителя.
На доске приготовить строки следующего
содержания:
Чтоб водить корабли,
Чтобы в небо взлететь,
Надо многое знать,
Надо много уметь.
Почему корабли
Не садятся на мель,
А по курсу идут
Сквозь туман и метель?
Капитанам помогают
Расчеты…
Почему с этих строк? Изменение курсов полета, положение кораблей в открытом море
или каравана в пустыне, связаны с определением времени. Тень, солнце и другие точки
позволяли рассматривать треугольник. В треугольнике стороны, углы. Для того чтобы
решать, треугольник необходимы связи элементов: углов и сторон. Такие связи мы
изучаем и в геометрии. Знаменитые теоремы, изученные нами, помогали нам решать
треугольники. Попробуем вспомнить их.
Ответ учащихся. Теорема синусов, теорема косинусов. Есть треугольник прямоугольный,
то - теорема Пифагора.
Итак, выяснили ,что стороны и углы треугольника связывают тригонометрические
функции угла: синус, косинус, тангенс, котангенс. А само слово «тригонометрия»
означает «измерение треугольников».
Обратимся к компьютерам и выясним историю развития тригонометрии:
3.Исторические сведения о развитии тригонометрии
Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии: и в
течении долгого времени тригонометрия развивалась, изучалась как один из отделов
астрономии.
Насколько известно, способы решения треугольников (сферических) впервые были
письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середине 2 века до н.э.
Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птоломею (2
век н.э.) , создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника.
Греческие астрономы не знали синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих
величин они употребляли таблицы: позволяющие отыскать хорду окружности по
стягиваемой дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах; хорды тоже измерялись
градусами (один градус составлял шестидесятую часть радиуса) , минутами и секундами.
Это шестидесятеричное подразделение греки заимствовали у вавилонян.
Значительных высот достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов.
Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд синусами, что позволило
вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного
треугольника. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учения
о тригонометрических величинах.
Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в
том числе и теми, которые в современной форме выражается как sin a + cos a = 1, sin a =
cos (90 - a) sin (a + B) = sin a. cos B + cos a. sin B.
Индийцы также знали формулы для кратких углов sin na, cos na, где n=2,3,4,5.
Тригонометрия необходима для астрономических расчетов, которые оформляются в
виде таблиц. Первая таблица синусов имеется в “Сурья-сиддханте” и у Ариабхаты. Она
приведена через 3 45. Позднее ученые составили более подробные таблицы: например,
Бхаскара приводит таблицу синусов через 1. .
В 8 в. ученые стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами индийских
математиков и астрономов и перевели их на арабский язык. В середине 9 века
среднеазиатский ученый аль-Хорезми написал сочинение “Об индийском счете”. После
того, как арабские трактаты были переведены на латынь, многие идеи индийских
математиков стали достоянием европейской, а затем и мировой науки. Вот с тех пор и
работают эти тригометрические функции.
4.Устная работа.
1. Дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла а
2.Для каких значений а имеет смысл каждое из выражений sin a , cos a ,tg a ,ctg a?
3.Назвать область значений каждой из тригонометрических функций?
4. Углом какой четверти является угол а ,если:
А)1850
б)-1850
в) 1020 г)-2500 д) 3750
е) 3000
5.Выполнение упражнений.
Мы будущие капитаны, ученые, космонавты. Следовательно ,нам знания необходимы.
Сегодня мы повторим и закрепим единицы измерения углов, свойства
тригометрических функций. Внимание на экран:( свойства функций проецируется на
экран) электронный учебник –репетитор по алгебре
О:
Тригонометрическим кругом
(окружностью) называется окружность
радиуса
1
с центром в начале
координат, на которой выбрана точка
начала отсчета аргументов
( 1 ;0 )
и
положительное направление (против
часовой стрелки).
О:
Радианом называется величина
центрального угла, опирающегося
на дугу, длина которой равна
радиусу окружности.
Обозначение:
Ф:
рад
=
1
180
рад.
=
;
180
рад.
Свойства синуса
Т: D ( sin x ) = (
Т:
Функция
;+
y = sin x
является периодической с наименьшим
положительным периодом
Т:
) ; E ( sin x ) = [ 1 ; 1 ] .
T = 2
.
sin x > 0
при
x
(2 k; +2 k) ;
sin x < 0
при
где
Т:
x
( +2 k; 2 +2 k) ,
k
Z.
Функция
y = sin x
является нечетной.
Свойства косинуса
Т: D ( cos x ) = (
Т:
Функция
;+
y = cos x
) ; E ( cos x ) = [ 1 ; 1 ] .
является периодической с наименьшим
положительным периодом
Т:
cos x > 0
(
x
cos x < 0
Т:
x
(
где
k
2
.
при
+2 k;
2
T = 2
2
+2 k) ;
при
3
+2 k) ,
2
+2 k;
Z.
Функция
y = cos x
является четной.
Свойства тангенса
Т:
Т:
1.
D ( tg x ) = (
2.
E ( tg x ) = (
Ф ункция
y = tg x
+
k;
; +
).
2
tg x > 0
x
(
k;
2
tg x < 0
x
где
Т:
(
2
k
Ф ункция
+
Z
+
k),
где
T =
.
при
+
k)
;
при
k;
(k+1))
,
.
y = tg x
k
Z
;
является периодической с наименьшим
положительным периодом
Т:
2
является нечетной.
Свойства котангенса
Т:
Т:
1.
D ( ctg x ) = (
2.
E ( ctg x ) = (
y = ctg x
Функция
k;
; +
ctg x > 0
(
x
k;
2
ctg x < 0
(
x
где
Т:
2
k
+
где
k
Z;
).
является периодической с наименьшим
положительным периодом
Т:
k),
+
T =
.
при
+
k) ;
при
k;
(k+1) ,
Z.
y = ctg x
Функция
является нечетной.
6. Выполнение упражнений с учебника.
1. №736. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:
1)0,5 2)10 3)π/5 4)π/9 5)3/4π 6)-5/6π 7)-9/12π 8)12π
2. №738. Найдите радианную меру угла, равного:
1)1350 2)2100 3)360 4)1500 5)2400 6)3000
7) -1200 8)-225ĕ
3.743. Определите знак выражения:
1) sin5π/6 2) cos3π/4 3)sin 1 4)cos 0,9 5)tg π/4 6)tg 3 7)ctg 2π/3 8)ctg 0,2 9)sin 6π/5
4. самостоятельно заполнить таблицу: (учащимся выдаются ксерокопии таблиц)
α
0
π/6
π/4
π/3
π/2
π
3π/2
2π
Sin а
Cos а
Tg а
Ctg а
—
7. Самостоятельная работа в 2 варианта. (ответы проверяюся с помощью
компьютера)
Вычислите: В-1
1. 2 sin300 +6 sin600-3 ctg300+9tg300
2. sin(-450)+cos(-450)+2sin(-300) -4cos(-600)
3. 4sin(-300)+tg(-450)*ctg(-450)-3cos900
В-2
1.6cos 600-4sin300+6ctg600-8ctg300
2.cos(-600)+sin(-300)-4tg(-300)*ctg(-600)
3.15sin(-450)+10cos(-450)-3 tg(-300) +2sin(-300)
5. №745. Найдите значение выражения:
1) 2sin π -2cos 3π/2 +3tg π/4 –ctg π/2
2) sin (- π/4) +3 cos π/3 – tg π/6 + tg π
3) 2sin π/4 -3 tg π/6 +ctg (-3π/2) -tg π
4) 3 tg(-π/4)+2sin π/4 -3tg0- 2ctg π/4
8. Итог урока.:
Контрольные вопросы.
1. Какие знаки имеют синус и косинус, тангенс, котангенс в координатных
четвертях.
2. Какие из тригонометрических функций являются четными и нечетными.
3. Выразите в радианах углы: 300, 450, 600, 900, 1800, 2700, 3600.
9. Домашнее задание:
Свойства функций повторить.
Выполнить №737,№739,741,753(а)