МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ государственное профессиональное образовательное автономное учреждение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ
государственное профессиональное образовательное
автономное учреждение
«Райчихинский индустриальный техникум»
Методические рекомендации
по выполнению внеаудиторной самостоятельной
работы по дисциплине «Математика»
(на базе 9 классов)
для студентов специальностей
13.02.11 Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и
электромеханического оборудования (по отраслям)
21.02.15. Открытые горные работы
13.02.06. Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем
г. Райчихинск
2015 г.
РАССМОТРЕНО
УТВЕРЖДАЮ
На заседании МО ______________________
Зам.директора по УПР
Протокол
№
____
от
_______________А.И.Баль
«____»______________20_____ г.
____________/_________________________ «____»__________20____ г.
(подпись)
(ФИО рук-ля МО)
Автор:
Ершова Е. В.,
преподаватель
2
Пояснительная записка
Цель преподавания математики в техникуме – ознакомить студентов с
основами
математического
теоретических
самостоятельно
и
аппарата,
практических
изучать
учебную
необходимого
задач;
привить
литературу
для
решения
студентам
по
умение
математике
и
ее
приложениям; развить логическое мышление и повысить общий уровень
математической
культуры;
выработать
навыки
математического
исследования прикладных вопросов математики и умение перевести задачу
на математический язык.
Изучая литературу, студент усваивает чужие мысли; решая задачу, он
думает сам. Это принцип положен в основу самостоятельной работы по
математике.
Главной
целью
самостоятельной
работы
является
не
только
закрепление, расширение и углубление получаемых знаний, умений и
навыков, но и самостоятельное изучение нового материала без посторонней
помощи.
Общие рекомендации
Лекции и практические занятия, проводимые в течение всего семестра,
дают необходимый материал для выполнения самостоятельной работы.
Кроме того, для выполнения самостоятельной работы необходимо
пользоваться рекомендуемой литературой и Интернет - ресурсами.
Все самостоятельные работы по математике выполняются в рабочей
тетради.
Программой
дисциплины
«Математика»
для
специальностей
«Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем»
«Открытые горные работы»
и
«Техническая эксплуатация и обслуживание
электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)»
предусмотрено 118 часов, из них 30 часов отводится на выполнения проекта.
3
Виды самостоятельной работы
№
Виды самостоятельной работы
Кол-во
п/п
1
часов
Работа со справочной литературой по теме «Признаки
делимости чисел».
2
Написание конспекта по теме «Делимость многочлена»
3
Подготовка сообщения по темам:
4
4
2
1. О происхождении терминов и обозначений.
2. Из истории логарифмов.
4
Решение тестовых заданий по теме: «Логарифмы».
5
Решение задач и упражнений по образцу по
4
теме:
4
«Показательные уравнения и неравенства».
6
Графическая
работа
«Построение
сечения
куба
6
плоскостью».
7
Решение
тестовых
заданий
по
теме:
4
«Тригонометрические формулы».
8
Графическая
работа
по
теме:
«Графики
4
тригонометрических функций».
9
Решение задач и упражнений по образцу по
теме:
4
«Действия над векторами».
10
Подготовить сообщение по теме: «Развитие понятия
2
функции».
11
Решение задач по теме «Функции и графики».
12
Подготовить сообщение на темы: «Параллелепипед и его
основные
элементы»
и
«Тетраэдр
и
его
4
2
основные
4
элементы»
13
Изготовление модели многогранника.
4
14
Изготовление модели цилиндра по заданным размерам.
4
15
Составление кроссворда по теме «Круглые тела».
6
16
Решение
производных
тестовых
заданий
функций, на
на
вычисление
нахождение
значений
4
производной в точках.
17
Решение задач и упражнений по образцу по теме:
4
«Применение производной к исследованию функций».
18
Графическая работа по теме: «Вычисление площадей
4
фигур с помощью интеграла».
19
Решение уравнений по образцу.
4
20
Решение неравенств по образцу.
4
21
Решение задач по подготовке к итоговой аттестации.
10
22
Выполнение проекта
30
Всего:
118
5
Критерии оценивания задач и графической работы:
Оценка «5» ставится, если:
 работа выполнена полностью и в отведенные сроки;
 правильно выбран способ решения;
 решение сопровождается необходимыми объяснениями;

верно выполнены нужные вычисления и преобразования;
 аккуратная запись решения;
Оценка «4» ставится, если:
 работа выполнена полностью;
 решение не сопровождается необходимыми объяснениями;
 допущена одна-две ошибки (в зависимости от количества решаемых
задач);
Оценка «3» ставится, если:
 работа выполнена не полностью;
 решение не сопровождается необходимыми объяснениями;
 допущены более двух ошибок (в зависимости от количества решаемых
задач).
Конспект –
способ изложения содержания книги или статьи в
логической последовательности.
Методические рекомендации по составлению конспекта
1. Внимательно прочитайте текст.
2. Выделите главное, составьте план.
3. Кратко
сформулируйте
основные
положения
текста,
отметьте
аргументацию автора.
4. Законспектируйте материал, четко следуя пунктам плана. При
конспектировании старайтесь выразить мысль своими словами. Записи
следует вести четко, ясно. Записи должны распределяться в определенной
последовательности, отвечающей логической структуре произведения.
6
5. Используйте один из следующих видов конспектов: плановый
(создается на основе составленного плана первоисточника, состоит из
пунктов и подпунктов; каждый заголовок дополняется коротким текстом, а в
итоге
получается
небольшой
план-конспект),
схематически-плановый
(пункты плана – вопросы, на которые даются краткие ответы), текстуальный
(составляется из цитат источника, для этого нужно уметь правильно
выделять основные мысли текста), тематический (при составлении конспекта
на определенную тему используется несколько источников), свободный
(комбинирует остальные типы).
Сообщение – это вид изложения материала, краткое выступление по
определенной теме. Отражает основные моменты данной темы. Главная цель
которого - обнародовать новые факты, предварительные результаты,
представленные в доступной форме. Найдите информацию по определенной
теме с разных источников: интернет - ресурсы, энциклопедии, практические
пособия, изучите ее и систематизируйте в сообщение.
Кроссворд — игра, состоящая в разгадывании слов по определениям.
Правила составления кроссвордов
1) В общем случае определение должно состоять из одного предложения.
2) Определения должны быть по возможности краткими. Следует
избегать
перечислений,
не
злоупотреблять
причастными
и
деепричастными оборотами, не перегружать текст прилагательными.
Определение кроссворда - своего рода компромисс между краткостью
и содержательностью.
3) Запрещается использование в одной сетке двух и более одинаковых
слов, даже с различными определениями.
4) В вопросах следует избегать энциклопедических определений. В целом
работа должна быть авторской, а не перепечаткой статей из словаря.
7
5) Нежелательно начинать формулировку вопроса с цифры, глагола,
деепричастия.
6) Запрещается использование однокоренных слов в вопросах и ответах.
7) Не
используются
слова,
пишущиеся
через
тире
и
имеющие
уменьшительно-ласкательную окраску.
8
Самостоятельная работа № 1
Тема: Работа со справочной литературой по теме «Признаки
делимости чисел».
Цель: Повторить признаки делимости чисел и законспектировать в
рабочую тетрадь.
Основные моменты:
1. Сформулируйте признак делимости на 2.
2. Сформулируйте признак делимости на 3.
3. Сформулируйте признак делимости на 5.
4. Сформулируйте признак делимости на 10.
5. Сформулируйте признак делимости на 9.
Самостоятельная работа № 2
Тема: Написание конспекта по теме «Делимость многочлена»
Цель: Научиться делить многочлен на многочлен уголком.
Основные моменты:
При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен в
частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней
делимого и делителя.
Самым простым способом деления многочленов является способ
деления столбиком или «уголком» по аналогии с делением натуральных
чисел.
Деление многочлена на многочлен столбиком (уголком)
Алгоритм деления многочлена на многочлен столбиком (уголком):
1. Записываем оба многочлена по убыванию степеней.
2. Старший член делимого делим на старший член делителя. Полученный
одночлен является очередным членом частного.
3. Вычитаем из делимого произведение первого члена частного на
делитель. Полученный в результате многочлен является остатком.
9
4. Если степень остатка больше или равна степени делителя, то в качестве
делимого используем этот остаток и переходим к пункту 2 для
получения следующего члена частного.
5. Если же степень остатка меньше степени делителя, то процесс деления
завершен, последний остаток и будет остатком от деления исходных
многочленов.
6. Если при этом остаток равен нулю, значит, многочлены разделились
нацело, без остатка.
Рассмотрим работу алгоритма деление многочленов столбиком на
примерах.
Пример
1:
Разделить
многочлен
2x4 - 11x3 + 19x2 - 13x + 3
на
многочлен 2x2 - 3x + 1.
Решение:
Деление
многочлена
на
многочлен
столбиком
(уголком)
Многочлен 2x4 - 11x3 + 19x2 - 13x + 3 делится на многочлен 2x2 - 3x + 1
без остатка.
Ответ: 2x4 - 11x3 + 19x2 - 13x + 3 = (x2 - 4x + 3)∙(2x2 - 3x + 1).
Пример 2: Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
Решение:
Выполняем действия по алгоритму.
10
Здесь
остаток
от
деления
равен
нулю:
.
Ответ:
.
Задание: Найти и законспектировать два любых примера по данной
теме (примеры не должны повторяться).
Самостоятельная работа № 3
Тема: Подготовка сообщения по темам:
1) О происхождении терминов и обозначений.
2) Из истории логарифмов.
Цель: Подготовить сообщение по теме: «О происхождении терминов
и обозначений» или «Из истории логарифмов».
Информация из сети интернет.
Самостоятельная работа № 4
Тема: Решение тестовых заданий по теме: «Логарифмы».
Цель: закрепить понятие логарифма и свойства логарифма.
Тест по теме «Логарифмы»
A1. Найдите значение логарифма: log5 125
а) 25; б) 5; в) 3; г) 8
A2. Найдите значение логарифма: log7 49
а) 0,5; б) 2; в) 7; г) 3
11
A3. Найдите значение логарифма: log4 1
а) 0; б) 1; в) 4; г) 3
A4. Найдите значение логарифма: log 1 9
3
а) 0,5; б) - 2; в) 2; г)- 3
A5. Найдите значение логарифма: log4 64
а) 0; б) 1; в) 4; г) 3
A6. Найдите значение логарифма:log 3
1
243
а) 0,5; б) 7; в) - 7; г) 3
A7. Найдите значение логарифма: log0,2 0,008
а) 0,5; б) 2; в) 7; г) 3
A8. Найдите значение логарифма: log 1 1
3
а) 0,5; б) 0; в) 1; г) - 3
C1 Найдите значение выражения: log8 64 − log3 81
C2 Найдите значение выражения: log2 32 + log5 125
C3 Найдите значение выражения: log3 9 − log7 343
C4 Найдите значение выражения: log5 625 + log0,1 0,01
Самостоятельная работа № 5
Тема: Решение задач и упражнений по образцу по
теме:
«Показательные уравнения и неравенства».
Цель: Научиться решать различными способами показательные
уравнений и неравенства.
Методы решения показательных уравнений:
 метод уравнивания показателей;
 метод введения новой переменной;
 метод вынесения общего множителя за скобки;
 метод почленного деления;
12
 метод группировки.
Неравенства вида 𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑎 𝑔(𝑥)
Образец решения уравнений:
1) 5𝑥 = 625
2) 0,2𝑥−0,5 ∙ 0,20,5 = 0,2−1 ∙ 0,22(𝑥−1)
5 𝑥 = 54
0,2𝑥 = 0,22𝑥−3
𝑥=4
𝑥 = 2𝑥 − 3
Ответ: 𝑥 = 4.
−𝑥 = −3
𝑥=3
Ответ: 𝑥 = 3.
3) 9𝑥 − 5 ∙ 3𝑥 + 4 = 0
32𝑥 − 5 ∙ 3𝑥 + 4 = 0
введем замену 3𝑥 = 𝑡, получим
4) 7𝑥+2 + 4 ∙ 7𝑥+1 = 539
7𝑥 ∙ 49 + 28 ∙ 7𝑥 = 539
7𝑥 ∙ (49 + 28) = 539
𝑡 2 − 5𝑡 + 4 = 0
7𝑥 ∙ 77 = 539
𝐷 = 25 − 16 = 9, √𝐷 = 3
7𝑥 =
𝑡1 = 4,
𝑥
𝑡2 = 1
3 = 4,
⇒
𝑥1 = log 3 4
3𝑥 = 1,
⇒ 𝑥2 = 30 ⇒ 𝑥2 = 0
Ответ: 𝑥1 = log 3 4, 𝑥2 = 0
539
77
7𝑥 = 7
𝑥=1
Ответ: 𝑥 = 1.
13
Образец решения неравенств:
1)
2)
3)
Задания для самостоятельной работы:
1. 43−2𝑥 = 42−𝑥 ;
2.
22𝑥
3
=
27
8
;
3. 22𝑥 + 2𝑥 − 2 = 0;
4. 16𝑥 + 4 ∙ 4𝑥 − 5 = 0;
5. 3𝑥+2 + 4 ∙ 3𝑥+1 = 21;
6. 4𝑥 − 2𝑥+1 − 24 < 0;
7. 2𝑥 < 6;
14
8. 0,42𝑥+1 ≥ 0,16;
9. 5𝑥
2 −2𝑥−1
< 25.
Самостоятельная работа № 6
Тема: Графическая работа «Построение сечения куба плоскостью».
Цель: закрепить умения построения сечения куба плоскостью.
Критерии оценки:
«5» - выполнены 2 задания с полным обоснованием построения
(пошаговым описанием);
«4» -
выполнено
только второе задание с полным обоснованием
построения (пошаговым описанием);
«3» - выполнено первое задание, и построено только одно сечения без
описания;
«2» - ни сделано ничего.
Задание для графической работы:
Вариант 1:
Задание
1.
Постройте
сечения,
проходящие через указанные точки.
Задание 2. Самостоятельно отметьте точки на кубе и постройте сечение
(расположение точек должно отличаться от расположения точек в задании
№1).
15
Вариант 2:
Задание
1.
Постройте
сечения,
проходящие через указанные точки.
Задание 2. Самостоятельно отметьте точки на кубе и постройте сечение
(расположение точек должно отличаться от расположения точек в задании
№1).
Самостоятельная работа № 7
Тема: Решение тестовых заданий по теме: «Тригонометрические
формулы».
Цель: закрепить знания тригонометрических формул.
Тест по теме «Тригонометрические формулы»
I вариант
А 1. Упростить выражение
а) sin α ;
1  сos 2
 ctg
sin 2
б) -1; в) 1; г) - cos α .
А 2. Найдите значение выражения 96 sin 330° cos 120°.
а) 20; б) -1; в) 24; г) 96.
А 3. Найдите значение выражения
1 tg 2
 sin  , если    ,   
6
3
2  ctg 2
а) 0,5; б) -1; в) 0,3; г) 6.
А 4. Упростите выражение
𝑠𝑖𝑛4 𝛼−𝑐𝑜𝑠 4 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼
.
а) 2𝑡𝑔2𝛼; б) −2𝑐𝑡𝑔2𝛼 ; в) 2𝑐𝑡𝑔2𝛼; г) −2𝑡𝑔2𝛼.
А 5. Найти значение sin 2α , если cos α - sin α = 0,5
16
а) 0,75;
б) 0,15;
в) -0,75;
г) -0,15.
А 6. Найти значение выражения -1,5sin(π +α) –1,3cos( 3 +α), если sin α = -0,1
2
а) 0,02;
б) -0,02;
в) 0,28;
г) -0,28
11
;
15

 
2
В 1. Найти значение выражения
15 sin α, если cos α = -
В 2. Найти значение выражения
3sin2 α - 7 cos2 α , если cos α = -0,1
В 3. Найти значение выражения sin(  +α) – 4cos (π - α),
если cos α = -0,4
2
В 4. Найти значение выражения 13tg(π - α) - 8ctg (  +α), если tg α = -1,1.
2
II вариант
А 1. Упростить выражение
1  sin 2  cos 2
1  sin 2  cos 2
а) sin α ; б) tg α; в) ctg α; г) - cos α
А 2. Найдите значение выражения 54√2 sin 315° cos 300°.
а) 54; б) -27; в) 27; г) 96.
А 3. Найдите значение выражения

,
1tg 2
 cos  
2

3 ctg 2
если    ,    .
6
3
а) 0,5; б) 0,7; в) 0,3; г) 1.
А 4. Упростите выражение
1−(sin 𝛼−cos 𝛼)2
1−𝑐𝑜𝑠 2 𝛼
.
а) −𝑡𝑔2𝛼; б) 𝑡𝑔2𝛼 ; в) −𝑐𝑡𝑔2𝛼; г) с𝑡𝑔2𝛼.
А 5. Найти значение cos 2α , если sin α = 0,6
а) 0,64;
б) 0,08;
в) 0,28;
г) 0,36.
А 6. Найти значение выражения 13cos(2π - α) – 4sin(α + 3 ), если cos α = 0,1
2
а) 1,7;
б)0,17
в) 0,9
г) -0,9 .
17
3
;
19
В 1. Найти значение выражения
19 sin α, если cos α = -
В 2. Найти значение выражения
2sin2 α + 6 cos2 α , если sin α = -0,2
В 3. Найти значение выражения 4sin(  +α) – cos (π - α),
2
  
3
2
если cos α = -0,9
В 4. Найти значение выражения 6,5 сtg( 3 - α) - 0,3tg (π + α), если tg α = 10.
2
Самостоятельная работа № 8
Тема: Графическая работа по теме: «Графики тригонометрических
функций».
Цель: Построить графики тригонометрических функций.
Задание:
в
одной
системе
координат
построить
графики
тригонометрических функций.
Вариант 1
Вариант 2
1. 𝑦 = sin 𝑥
1. 𝑦 = cos 𝑥
2. 𝑦 = sin 2𝑥
2. 𝑦 = cos 3𝑥
3. 𝑦 = 4 sin 2𝑥
3. 𝑦 = 3 cos 4𝑥
Самостоятельная работа № 9
Тема: Решение задач и упражнений по образцу по теме: «Действия
над векторами».
Цель: Знать правила действия над векторами и уметь их применять при
вычислениях.
Теоретический материал
Отложим вектор так, чтобы его начало совпало с началом координат.
Тогда координаты его конца называются координатами вектора. Обозначим
⃗⃗ векторы с координатами (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) соответственно. Их
𝑖⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑗, 𝑘
длины равны единице, а направления совпадают с направлениями
18
соответствующих
осей
координат.
Будем
изображать
эти
векторы,
отложенными от начала координат и называть их координатными векторами.
Теорема. Вектор 𝑎⃗ имеет координаты (x, y, z) тогда и только тогда,
⃗⃗ .
когда он представим в виде 𝑎⃗ = 𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ + 𝑧𝑘
№п/п
1
Название операции
Найти
Формулы
координаты
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ (𝑥2 − 𝑥1 ; 𝑦2 − 𝑦1; 𝑧2 − 𝑧1 )
вектора
2
Найти
сумму ⃗𝑎⃗⃗ + ⃗𝑏⃗ = (𝑥1 + 𝑥2 ; 𝑦 + 𝑦 ; 𝑧1 + 𝑧2 )
1
2
векторов
3
Найти
разность
⃗⃗⃗ − ⃗𝑏⃗ = (𝑥1 − 𝑥2 ; 𝑦1 − 𝑦2 ; 𝑧1 − 𝑧2 )
𝑎
векторов
4
Найти произведение
𝑘𝑎⃗ = (𝑘𝑥; 𝑘𝑦 ; 𝑘𝑧)
вектора на число
5
Найти длину вектора
6
Вычислить
координаты
середины отрезка
⃗⃗⃗| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
|𝑎
𝑥1 + 𝑥2
,
2
𝑧 + 𝑧2
𝑧𝑀 = 1
2
𝑥𝑀 =
𝑦𝑀 =
𝑦1 + 𝑦2
,
2
19
Задания для самостоятельной работы:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
Даны координаты точек. Определите координаты векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷, 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
длины векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷, 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
сумму и разность векторов 3𝐴𝐵
𝐴𝐶 ,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
координаты середины отрезка 𝐵𝐶
Вариант 1
Вариант 2
А(3; 2; –1), В(–2; 2; 8), С(–4; 1; –1), А(–3; 2; 1), В(2; –3; 8), С(–4; –1; 2),
Д(0; 5; 1)
Д(1; –3; 0)
Образец решения задания:
Даны координаты точек А (-3; 4; –5), В(2; -4; 8), С(4; 2; 1), Д (-2; 6; 0).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
1. Определим координаты векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷, 𝐴𝐶
По формуле ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
АВ = (𝑥2 − 𝑥1 ; 𝑦2 − 𝑦1; 𝑧2 − 𝑧1 ) получим:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = (2 − (−3); −4 − 4; 8 − (−5)) = (5; −8; 13)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 = (−2 − (−3); 6 − 4; 0 − (−5)) = (1; 2; 5)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴С = (4 − (−3); 2 − 4; 1 − (−5)) = (7; −2; 6).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
2. Определим длины векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷, 𝐴𝐶
⃗⃗⃗| = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 получим:
По формуле |𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √52 + (−8)2 + 132 = √25 + 64 + 169 = √258
|𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √12 + 22 + 52 = √1 + 4 + 25 = √30
|𝐴𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √72 + (−2)2 + 62 = √49 + 4 + 36 = √89.
|𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ и 4 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3. Определим сумму и разность векторов 3𝐴𝐵
𝐴𝐶.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 4 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3(5; −8; 13) + 4(7; −2; 6) = (15; −24; 39) + (28; −8; 24)
3𝐴𝐵
= (43; −32; 63)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 4 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3(5; −8; 13) − 4(7; −2; 6) = (15; −24; 39) − (28; −8; 24) =
3𝐴𝐵
= (−13; −16; 15).
20
4. Определим координаты середины отрезка ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐶 .
По формулам 𝑥𝑀 =
𝑥𝑀 =
2+4
2
= 3; 𝑦𝑀 =
−4+2
2
𝑥1 +𝑥2
2
,
𝑦𝑀 =
= −1; 𝑧𝑀 =
𝑦1 +𝑦2
8+1
2
2
, 𝑧𝑀 =
𝑧1 +𝑧2
2
получим:
= 4,5
Точка 𝑀(3; −1; 4,5).
Самостоятельная работа № 10
Тема: Развитие понятия функции.
Цель: Подготовить сообщение по теме: «Развитие понятия функции».
Информация из сети интернет.
Самостоятельная работа № 11
Тема: Решение задач по теме «Функции и графики».
Цель: закрепить умения осуществлять преобразование графиков
функций.
Задание: Постройте в одной системе координат графики следующих
функций:
1. 𝑦 = 𝑥 2
2. 𝑦 = 0,5𝑥 2
3. 𝑦 = −𝑥 2 − 6
4. 𝑦 = (𝑥 + 4)2
5. 𝑦 = (𝑥 − 3)2 + 5
Самостоятельная работа № 12
Тема: Параллелепипед и его основные элементы. Тетраэдр и его
основные элементы.
Цель: Подготовить сообщение по данным темам.
Информация из сети интернет.
21
Самостоятельная работа № 13
Тема: Изготовление модели многогранника.
Цель:
Закрепить
понятие
правильных
многогранников,
при
изготовлении моделей, используя развертки.
Одним из способов изготовления правильных многогранников является
способ с использованием, так называемых, развёрток.
Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого
нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель
можно разрезать по нескольким рёбрам и развернуть так, что она
превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник
называют развёрткой поверхности многогранника. Для получения модели
многогранника удобно сначала изготовить развёртку его поверхности. При
этом необходимыми инструментами являются клей и ножницы. Модели
многогранников можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой
будут расположены все грани. Однако в этом случае все грани будут одного
цвета.
22
Самостоятельная работа № 14
Тема: Изготовление модели цилиндра по заданным размерам.
Цель: Закрепить понятие цилиндра, при изготовлении моделей,
используя развертки.
Задание:
Изготовить из бумаги модель цилиндра по следующим
размерам: радиус основания равен 2 см, высота 5 см.
Самостоятельная работа № 15
Тема: Составление кроссворда по теме «Круглые тела».
Цель:
Развитие
интереса
к
предмету,
интуиции,
логического
мышления.
Кроссворд состоит из 10 – 12 слов.
Самостоятельная работа № 16
Тема: Решение тестовых заданий
на вычисление производных
функций, на нахождение значений производной в точках.
Цель:
проверить
умения
находить
производные
элементарных
функций.
Тест по теме: «Нахождение производных функций»
1. Найдите производную функции: f(x) = 4x-5
a) 4; б) 9; в) -5.
2. Найдите производную функции: f(x)=6x4-3x3-2x2-8
а) 6х3-3х2-2х;
б) 24х3-9х2-2х2-8; в) 24х3-9х2-4х.
3.Найдите производную функции: f(x)=5x3-4 x
а) 15 x 2  4 ; б) 15x 2 
2
x
;
в) 15x 2 
4.Найдите производную функции: f x  
4
x
.
4x  1
2x  5
23
а)
22
;
(2 x  5) 2
б)
18
16 x
; в)
2x  5
(2 x  5) 2 .
5. Найдите производную функции: 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ cos 𝑥
а) cos 𝑥 + 𝑥 ∙ sin 𝑥; б) sin 𝑥 + 𝑥 ∙ cos 𝑥;
в) cos 𝑥 − 𝑥 ∙ sin 𝑥 .

6. Найдите производную функции: f x   sin  5 x  

𝜋
3
𝜋
а) 5 cos 5𝑥; б) 5 sin (𝑥 − ); в) 5 cos (5𝑥 − ) .
3
3
7. Найдите производную функции: f(x)=(1+3x)20
а) (1+3x)19 ; б) 20(1+3х)19 ; в) 60(1+3х)19.
8. Дана функция 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥. Найдите значение производной в точке
х=4.
а) 12; б) 4; в) 8.

9. Найдите f ( ), если f(x)=3cosx.
4
а)
3
2
2;
б)
3
2
3;
в)
3
2
2.
Самостоятельная работа № 17
Тема: Решение задач и упражнений по образцу по теме: «Применение
производной к исследованию функций».
Цель: научить студентов применять производную при исследовании
функций.
Теоретический материал
Общая схема исследования функций с помощью производной
1. Нахождение области определения функции.
2. Проверка того, является ли функция четной, нечетной, периодической
или эта функция – функция общего вида.
3. Определение точек пересечения с осями координат.
24
4. Нахождение критических точек (точек, в которых производная равна
нулю или не существует).
5. Определение промежутков знакопостоянства функции.
6. Определение
(промежутков,
промежутков
на
возрастания
которых
и
производная
убывания
функции
положительна
или
отрицательна).
7. Определение экстремумов функции.
8. Исследование функции на выпуклость, вогнутость, определение точек
перегиба (исследование проводится по второй производной функции).
9. Нахождение асимптот функции.
10. Уточнение графика функции по точкам (произвести окончательное
уточнение графика, в особенности на участках, где информация о нем
недостаточна).
Данную схему можно варьировать в зависимости от конкретных
особенностей функции, переставлять отдельные этапы, некоторые из них
опускать, какие-то, наоборот, добавлять.
Образец решения:
Исследовать функцию 𝑦 = 3𝑥 2 − 𝑥 3 и построить её график.
25
на промежутках (−∞; 0)и (2; ∞) функция убывает;
на промежутке [0;2] функция возрастает.
5) y(0) = 0 - минимум функции. Е(0;0);
y(2) = 4 - максимум функции. F(2;4).
Постоим график функции:
Задания для самостоятельной работы:
Вариант 1
Вариант 2
Исследуйте функцию с помощью
Исследуйте функцию с помощью
производной и постройте ее
производной и постройте ее график:
график: f(x) = 3x – x3
f(x) = x3 – 12x
26
Самостоятельная работа № 18
Тема: Графическая работа по теме: «Вычисление площадей фигур
с помощью интеграла».
Цель: закрепить навыки применения определенного интеграла к
вычислению площадей плоских фигур.
Задания для самостоятельной работы:
Вариант 1
1.
Найти
Вариант 2
площадь
фигуры 1.
Найти
площадь
ограниченной линиями у= - х2,
ограниченной линиями
у=х - 2,у=0
у= х2 - 2 ,у=х
2. Найти площадь
фигуры,
2.
ограниченной
графиками
функций y=x2-2x+3, y=3x-1.
Найти
площадь
фигуры,
фигуры,
ограниченной графиками функций
y=4/x2, x=1,y=x-1.
Самостоятельная работа № 19
Тема: Решение уравнений по образцу.
Цель: закрепить навык решения уравнений.
Образец решения:
1. Решите рациональное уравнение:
27
3х-3+4х = 5х
7х-5х = 3
2х = 3
х = 3:2
х = 1,5
Ответ: 1,5.
2. Решить иррациональное уравнение  2 х  1 = х 2  36
 2х  1 =
х 2  36
 х  5
 2 х  1  х 2  36
 х 2  2 х  35  0



  х  7
 2 х  1  0
2 х  1
 х  0,5

 х = - 7.
Ответ: - 7.
3. Решить иррациональное уравнение 22  2 х = х + 1
 х  1
х  1  0
 х  1


 2
  х  3
2
22  2 х  ( х  1)
 х  4 х  21  0
 х  7

 х =3.
Ответ: 3.
4. Решить показательное уравнение: 0,4 x1  6,256 x5 .
Учтем, что
2
вид:  
5
x 1
0,4 
12 x 10
5
 
2

2
5
, 6,25  , тогда первоначальное уравнение примет
5
2
2
 
5
x 1
2
 
5
12 x 10
 x  1  10  12 x 
x
11
.
13
28
Ответ:
x
11
.
13
5. Решить логарифмическое уравнение: lg( 2 x  5) 2  0 .
Исходное уравнение равносильно уравнению lg( 2 x  5) 2  lg 1, которое в
свою очередь равносильно квадратному уравнению (2 x  5) 2  1 .
Находим корни этого уравнения : х1=3, х2=2.
Ответ: х1=3, х2=2.
6. Решить логарифмическое уравнение:
x4
 log 2 x 2  5;
x
( x  4) x 2
log 2
 log 2 32;
x
log 2
ОДЗ:
x4
 0 , т.е. x   ;4  0;
x
(x+4)х=32;
х2 + 4х – 32 = 0;
D= 16+128=144;
D>0, значит, уравнение имеет два различных действительных корня.
х1=- 8 и x2= 4. Согласуем полученное решение с ОДЗ.
Ответ: - 8 и 4.
Задания для самостоятельной работы:
4.
х  2  х2  8  0
5.
у  10  2  у
2
6. log 3 x  log 3
x
3
x6
.
29
Самостоятельная работа № 20
Тема: Решение неравенств по образцу.
Цель: закрепить навык решения неравенств.
Образец решения:
1. Сколько целочисленных решений имеет неравенство?
(2𝑥 − 6)2 ∙ (𝑥 + 2)
≤0
2𝑥 − 1
Решим неравенство методом интервалов.
Отметим на числовой прямой точки 𝑥1 = 0,5 ; 𝑥2 = −2; 𝑥3 = 3 и
определим знаки.
+
-2
+
0,5
+
3
𝑥 ∈ [−2; 0,5]. Следовательно, неравенство имеет целочисленные решения:
-2, - 1, 0. Таких решений 3.
Ответ: 3.
2. Сколько целочисленных решений имеет неравенство?
1 2𝑥
( )
7
2 −3𝑥
≥
2
1 2𝑥 −3𝑥
(7)
1
49
1 2
1 𝑡
≥ ( ) , так как функция 𝑦 = ( ) убывающая, то
7
7
2𝑥 2 − 3𝑥 ≤ 2
2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 ≤ 0
Введем функцию 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 и приравняем ее к нулю, получим
2𝑥 2 − 3𝑥 − 2 = 0
𝐷 = 9 + 16 = 25;
𝑥1,2 =
√𝐷 = 5
−𝑏 ± √𝐷
2𝑎
30
𝑥1,2 =
3±5
⇒ 𝑥1 = 2,
4
𝑥2 = −0,5
Отметим точки на числовой оси и решим методом интервалов, получим
𝑥 ∈ [−0,5; 2]. Следовательно, неравенство имеет целочисленные решения: 0,
1, 2. Таких решений 3.
Ответ: 3.
3. Решить логарифмическое неравенство:
log 0, 25 ( x  1)  log 0, 25 ( x  1)  log 0, 25 3
 х  1  0;  x  1;
т.е. x  1;

 x  1  0;  x  1.
ОДЗ: 
log 0, 25 ( x  1)( x  1)  log 0, 25 3; так как функция у = log0,25t убывающая и
большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то
приходим к неравенству:
х2 -1 ≤ 3;
х2 -4 ≤ 0;
( х – 2 )( х + 2 ) ≤ 0
x   2;2 .
Согласуем полученное решение с ОДЗ
(1; 2] – решение данного
неравенства.
Ответ: 𝑥 ∈ (1; 2].
Задания для самостоятельной работы:
1.
1 𝑥
( )
3
Сколько
2 −𝑥
≥
целочисленных
решений
имеет
неравенство?
1
9
2. Решите логарифмическое неравенство log 7 (2𝑥 + 3) ≥ log 7 (4 − 3𝑥).
3. Сколько целочисленных решений имеет неравенство?
(𝑥−4)2 ∙(𝑥+3)
3−2ч
≥ 0.
31
Самостоятельная работа № 21
Тема: Решение задач по подготовке к итоговой аттестации.
Цель: подготовиться к итоговой аттестации.
Выполнение заданий с сайтов:
РЕШУ ЕГЭ - http://reshuege.ru/;
Открытый банк заданий ФИПИ - http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bankzadaniy-ege.
Самостоятельная работа № 22
Тема: Выполнение проекта.
Тема проекта
Срок
выполнения
1. Правильные многогранники.
май 2016
2. Загадки пирамиды.
3. Построение сечений куба (создание учебного
пособия).
4. Построение сечений пирамиды (создание учебного
пособия).
5. Симметрия и все ее секреты.
6. Красота математических линий.
Базовой
образовательной
технологией,
поддерживающей
компетентностно-ориентированный подход в образовании, является метод
проектов. Проектная деятельность
особую
форму
обучающихся представляет собой
учебно-познавательной
активности
обучающихся,
психологический смысл которой заключается в обеспечении единства и
преемственности различных сторон процесса обучения, что позволяет
рассматривать ее как значимое средство развития личности.
32
Метод проектов — это дидактическая категория, обозначающая
систему приемов и способов овладения определенными практическими или
теоретическими знаниями, той или иной деятельностью. Метод проектов –
способ
эффективного
выстраивания
какого-либо
типа
деятельности,
позволяющий спланировать исследование, конструкторскую разработку,
управление с тем, чтобы достичь результата оптимальным способом.
Проектная деятельность обучающихся — совместная учебно-познавательная,
творческая или игровая деятельность учащихся, имеющая общую цель,
согласованные методы, способы деятельности, направленная на достижение
общего
результата
деятельности.
Непременным
условием
проектной
деятельности является наличие заранее выработанных представлений о
конечном продукте деятельности, этапов проектирования (выработка
концепции, определение целей и задач проекта, доступных и оптимальных
ресурсов
деятельности,
создание
плана,
программ
и
организация
деятельности по реализации проекта) и реализации проекта, включая его
осмысление и рефлексию результатов деятельности.
Основные требования к учебному проекту.
Работа над проектом всегда направлена на разрешение конкретной,
причем
социально-значимой
проблемы
-
исследовательской,
ин-
формационной, практической. В идеальном случае проблема ставится перед
проектной группой внешним заказчиком. Планирование действий по
разрешению проблемы - иными словами, выполнение работы всегда
начинается с проектирования самого проекта, в частности - с определения
вида продукта и формы презентации. Наиболее важной частью плана
является операционная разработка проекта, в которой приводится перечень
конкретных действий с указанием результатов, сроков и ответственных.
Однако некоторые проекты (творческие, ролевые) не могут быть сразу четко
спланированы от начала до конца.
Исследовательская работа обучающихся как обязательное условие
каждого проекта. Отличительная черта проектной деятельности - поиск
33
информации,
которая
затем
обрабатывается,
осмысливается
и
представляется участниками проектной группы.
Результатом работы над проектом, иначе говоря, его выходом, является
продукт, который создается участниками проектной группы в ходе решения
поставленной проблемы.
Представление заказчику и (или) общественности готового продукта с
обоснованием,
что
это
наиболее
эффективное
средство
решения
поставленной проблемы. Иными словами, осуществление проекта требует на
завершающем этапе презентации продукта и защиты самого проекта.
Цели работы над проектом:
- научить самостоятельному достижению намеченной цели;
- научить предвидеть мини-проблемы, которые предстоит при этом
решить;
- сформировать умение работать с информацией, находить источники,
из которых ее можно почерпнуть;
- сформировать умения проводить исследования, передавать и
презентовать полученные знания и опыт;
- сформировать навыки совместной работы и делового общения в
группе.
Этапы работы над проектом:
- предпроект;
- этап планирования работы над проектом;
- аналитический этап;
- этап обобщения;
- презентация полученных результатов.
Предпроект — это обмен знаниями по теме, интересами; высказывания
пожеланий,
вопросов;
обсуждение
возникших
идей;
перечисление
возможных тем проекта; формулирование темы проекта для группы
учащихся; формулирование тем для работы подгрупп.
34
Основная
цель
этапа
планирования
—
получение
общего
представления о будущем направлении исследовательской работы.
Грамотно сформулировать цели – особое умение. С постановки целей
начинается работа над проектом. Именно эти цели являются движущей силой
каждого проекта, и все усилия его участников направлены на то, чтобы их
достичь.
Преимущества этого метода заключаются в том, что проект как метод
обучения
представляет
собой
реально
существующую
проблемную
ситуацию, выбранную обучающихся совместно с педагогом, потому что им
интересно найти пути ее решения. Такая форма создает условия для развития
у обучающихся общеучебных компетенций: самостоятельного мышления,
системного анализа,
потребности в более высокой самоорганизации
деятельности. Приобретаются навыки технологии принятия решений, умения
планировать работу, управлять проектом, достигать нужных результатов, что
в свою очередь способствует широкому развитию коммуникативных связей,
расширению
информационного
поля.
Обучающиеся
действуют
самостоятельно, в реальной практической деятельности, опирающейся на
многие научные дисциплины, соединяют теорию с практикой
35
Литература
1. Апанасов Т. П. , Орлов М. И. Сборник задач по математике: Учеб.
Пособие для техникумов. – М.: Высш. Шк. , 1987. – 303 с,: ил.
2. Башмаков М. И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред.
проф. образования / М. И. Башмаков. – 7-е изд., стер. – М.:
Издательский центр «Академия», 2013. – 256 с.
3. Башмаков М. И.
Математика:
учебник / М. И. Башмаков. – М.:
КНОРУС, 2013. – 400 с. – (Начальное и среднее профессиональное
образование).
4. Башмаков М. И. Математика. Задачник: учеб. пособие для образоват.
учреждений нач. и сред. проф. образования / М. И. Башмаков. – 2-е
изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 416с.
5. Богомолов Н.В. Практические занятия по высшей математике – М:
Высшая школа, 1989.
36