Документ 137258

Приложение 1
Готовимся к проверочной работе по алгебре (10А класс)
Решить следующие тригонометрические уравнения:
1) 3 cos x = π
2) cos²x - sin²x = 0,5
3) sin x = -3 cos x
4) Найти наибольший корень уравнения 8 sin x cos x + 3 cos ²x = 0 на [0;

]
2
5) Найти наименьший корень уравнения cos²x – 6 cos x + 5 = 0 на [ 0; 2π]
6) sin x + cos 2x +2 = 0
sin x
 1  cos x
7)
1  cos x
8) 2 cos x (cos x - 8 tg x) = 5
9) cos x cos 6x = -1
10) 3 sin x - cos x =2
11) 2 (sin x + cos x) + sin 2x + 1 = 0
12) cos 2 x  1  2 sin x
13) 6  cos 0,25x  cos 0,25x  6  1  16 x 2  64 x  71
14) Сколько корней имеет уравнение 2 cos x  12 sin 10x  1  0 на  0,2;0,3 ?



Ответы:
1) нет решений

2) ±  ,   
6
3) – arctg 3 + πκ,   

4)
2
5) 0

6)   2,   
2

 2,   2,   
7)
2
 1 
 ,   
8)  1
4

 ,  
9)
3
2
 2,   
10)
3

11)   ,   
4
2
12) - arctg + πκ, ,   
3
13) 2
14) 4 корня
1
Решения.
1. Решить уравнение 3 cos x = π .
Решение:


cos x = . Т.к.
> 1, то решений нет. cos   1.
3
3
2. Решить уравнение cos²x - sin²x = 0,5.
Решение:
cos 2x = 0,5;
2x = ± arccos 0,5 + 2πκ,    ;

2x = ±
+ 2πκ,    ;
3

x=±
+ πκ,    ;
6
Ответ: нет решений.
Ответ: ±

+ πκ,   
6
3. Решить уравнение sin x = -3 cos x.
Решение:
Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не
произойдёт, т.к. , если cos x = 0 , то sin x =0.. Но это противоречит основному
тригонометрическому тождеству cos²x + sin²x = 1. Получим tg x = - 3. Откуда
x = - arctg 3 + πκ,    ;
Ответ: - arctg 3 + πκ,   
4. Найти наибольший корень уравнения 8 sin x cos x + 3 cos² x = 0 на [0;

].
2
Решение:
cos x ( 8 sin x + 3 cos x ) = 0;
Произведение двух множителей равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, а
другой при этом не теряет смысла.
cos x = 0
или
8 sin x + 3 cos x = 0 | : cos x

x = + πκ,   
8 tg x + 3 = 0,
2
3
tg x = - ,
8
3
x = - arctg + πκ,   
8
Ответ:

3
+ πκ, - arctg + πκ,   
8
2
5.Найти наименьший корень уравнения cos²x – 6 cos x + 5 = 0 на [ 0; 2π].
Решение:
Пусть cos x = t, где | t |  1. Получим уравнение t² - 6 t + 5 = 0.
t1  1,
cos x  1,
Второе уравнение корней не имеет. Корни первого
t  5;
cos x  5

2
уравнения x = 2 πκ,    .
Найдём наименьший корень уравнения на промежутке [ 0; 2π].
2
0  2  2 ,
0    1.
Т.к.    , то   0;1.
к = 0, т. е. х = 0.
Наименьший корень уравнения на промежутке [ 0; 2π] при
Ответ: 0.
6. Решить уравнение sin x + cos 2x +2 = 0.
Решение:
sin x + cos 2x +2 = 0,
sin x + 1 – 2 sin²x + 2 = 0,
2 sin²x - sin x – 3 = 0.
Пусть sin x = t, где | t |  1.
Получим уравнение 2 t² - t – 3 = 0 .
3
t1  - не удовлетворяет условию | t |  1.
2

+ 2 πκ,    .
t 2  1, откуда sin x = -1, и x = 2
Ответ: -
7. Решить уравнение

+ 2 πκ,    .
2
sin x
 1  cos x .
1  cos x
Решение:
sin x
 1  cos x .
Найдём О.Д.З.: cos x  1, т. е. x  2 πκ,    .
1  cos x
sin x = 1 – cos²x,
sin x = sin²x ,
sin x (sin x – 1) = 0. Откуда
sin x = 0
sin x = 1

x = πκ,   
x=
+ 2 πκ,    .
2

С учётом О.Д.З. получим, что x = π + 2 πκ, x =
+ 2 πκ,    .
2

Ответ: π + 2 πκ,
+ 2 πκ,   
2
8. Решить уравнение 2 cos x (cos x Решение:
2 cos x (cos x -
8 tg x) = 5.
8 tg x) = 5
О.Д.З.: x 

+ πκ,    .
2
2 cos²x - 4 2 sin x = 5,
2 (1 - sin²x) - 4 2 sin x – 5 = 0,
2 – 2 sin²x - 4 2 sin x – 5 = 0,
2 sin²x + 4 2 sin x + 3 = 0; Пусть sin x = t, где | t |  1. Получим уравнение:
2 t² + 4 2 t + 3 = 0.
3 2
t1 
не удовлетворяет условию | t |  1.
2
3
t2  
2
2
 1 
. Поэтому sin x = - ; x   1
 ,   .
2
2
4
Ответ:  1
 1

4
 ,   
9. Решить уравнение cos x cos 6x = -1.
Решение:
В силу того, что cos   1, данное неравенство равносильно совокупности двух
систем уравнений:
 x    ,   ,

cos x  1,
 x    2,   ,
 x    ;


cos
6
x

1
;
6
x

2

,



,

3



cos x  1,
 x  2,   ,
 x  2,   ;



 
cos 6 x  1;
6 x    2,   ;
 x    ,   .
6 3


Вторая система уравнений корней не имеет. Решения первой системы:  ,   
3

Ответ:  ,   
3
10. Решить уравнение
Решение:
3 sin x - cos x =2.
Разделим обе части уравнения на 2. Получим


sin x - sin cos x = 1,
6
6

sin (x - ) = 1;
6


x=
+ 2 πκ,    ;
6
2
2
x=
+ 2 πκ,    ;
3
3
1
sin x  cos x  1.
2
2
cos
Ответ:
2
+ 2 πκ,   
3
11. Решить уравнение 2 (sin x + cos x) + sin 2x + 1 = 0.
Решение:
2 (sin x + cos x) + sin 2x + 1 = 0,
2 (sin x + cos x) + 2 sin x cos x + 1 = 0.
Пусть sin x + cos x =t. Возведём обе части уравнения в квадрат:
(sin x + cos x)² = t²,
1 + 2 sin x cos x = t²,
2 sin x cos x = t²- 1,
t 2 1
sin x cos x =
.
2
4
Заменим sin x + cos x на t, а sin x cos x на
t 2 1
+ 1 = 0,
2
2t + t² -1 + 1 = 0,
t² + 2 t = 0,
t ( t + 2) = 0. Получим t =0 или t = - 2.
sin x + cos x =0
tg x = - 1

x = - + πκ,   
4
t 2 1
. Получим уравнение:
2
2t + 2
sin x + cos x = - 2
нет решений
Ответ: -

+ πκ,   
4
cos 2 x  1  2 sin x .
12. Решить уравнение
Решение:
Данное уравнение равносильно системе:
cos 2 x  1  2 sin x 2 ,
1  2 sin 2 x  1  4 sin x  4 sin 2 x,
 6 sin 2 x  4 sin x  0,



1  2 sin x  0;
2 sin x  1;
1  2 sin x  0;
3 sin 2 x  2 sin x  0,
sin x3 sin x  2   0,




1
1
sin x   ;
sin x   2 ;
2

Решим уравнение sin x ( 3 sin x + 2) = 0.
2
1
sin x = 0 или sin x = - . Условию sin x   удовлетворяет только первое уравнение.
3
2
Отсюда следует, что x  ,   .
Ответ: πκ,   
13. Решить уравнение
Решение:



6  cos 0,25x  cos 0,25x  6  1  16 x 2  64 x  71 .
cos 0,25x  6 cos 0,25x  6   16 x
2
 64 x  70,
cos 2 0,25x  6  16 x 2  64 x  70,
cos 2 0,25x  16 x 2  64 x  64,
cos 2 0,25x  4 x  8 .
2
Т. к. cos 2 0,25x  0 , a  4 x  8  0, то уравнение имеет решение при условии, когда
обе части уравнения одновременно равны 0.
4 x  8  0, x  2.
2
При x  2 cos 2 0,25x  cos 2 0,25  2  cos 2 0,5  0.
Ответ: 2
5
14. Сколько корней имеет уравнение 2 cos x  12 sin 10x  1  0 на  0,2;0,3 ?
Решение:
Произведение двух множителей равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, а
другой при этом не теряет смысла.
1)
2 cos x  1  0,
2 cos x  1,
1
cos x  .
2
1
x   arccos  2,   ,
2
x  

3
 2,   ,
1
x    2 ,   .
3
Выберем корни из промежутка  0,2;0,3.
1
x   2 ,   ,
3
1
 0,2   2  0,3;
3
 0,6  1  6  0,9;
 1,6  6  0,1;
16
1

   .
60
60
Целых значений  нет, значит и
корней на заданном промежутке нет.
1
x    2 ,   .
3
1
 0,2    2  0,3;
3
 0,6  1  6  0,9;
0,4  6  1,9;
4
19
  .
60
60
Целых значений  нет, значит и
корней на заданном промежутке нет.
6
2)
2 sin 10x  1  0;
1
sin 10x   ;
2
 1

10x   1 arcsin     ,   ;
 2
10x   1
 1
x   1
 1

6
 ,   ;
1
1
  ,   ;
60 10
1
2
 n, n  .
60 10
1
2
 0,2    n  0,3;
60 10
Если   2n, n  , то  12  1  12n  18;
 11  12n  19;
11
19
 n .
12
12
n  0;1.
На указанном промежутке при n  0;1 2 корня.
x
Если   2n  1, то
1
1
 2n  1;
60 10
1
1
2
x
  n;
60 10 10
7
2
x
 n.
60 10
7
2
 0,2 
 n  0,3;
60 10
 12  7  12n  18;
x
 19  12n  11;
19
11
 n .
12
12
n  1;0.
На указанном промежутке будет ещё два корня: при n = -1; 0.
Ответ: 4 корня.
7