39_Матанализ Меньших

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
(жирным шрифтом указаны вопросы и задания для контроля остаточных знаний)
I.
Функция нескольких переменных
Понятия функции нескольких переменных. Примеры.
Понятия области на плоскости.
Определение функции двух переменных.
Способы задания функций двух переменных.
График функций двух переменных.
Обзор поверхностей второго порядка.
Естественная область определения функции двух переменных.
Линии уровня.
Поверхности уровня.
Предел функции двух переменных.
Пример разрывной функции
Частные производные функции двух переменных первого и высшего порядков.
Полный дифференциал функции нескольких переменных.
Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
Дифференциал второго порядка d2z.
Неявная функция F(x,y)=0.
Теорема о существовании неявной функции.
Дифференцирование неявных функций двух и трёх переменных.
Производные сложной функции.
Инвариантность формулы dz.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности F(x,y,z)=0.
Производная по направлению.
Градиент скалярного поля. Связь между ними.
Формула Тейлора для функции двух переменных.
Экстремум функции двух переменных.
Необходимые и достаточные условия.
Условный экстремум для функции двух переменных в простейшем случае z= f(x,y);  (x,y).
Метод Лагранжа.
II.
Некоторые понятия теории функций и функционального онализа
Линейное векторное пространство. Примеры.
Нормированное пространство.
Аксиомы нормы.
Неравенство Коши - Буняковского для сумм и интегралов.
Евклидово пространство.
Аксиомы скалярного произведения.
Ортогональность векторов.
Угол между двумя элементами евклидова пространства.
Метрическое пространство. Примеры метрических пространств.
Сходимость в метрическом пространстве.
Отображение метрических пространств.
Принцип сжимающих отображений (без доказательства).
Применение принципа сжимающих отображений к решению числовых уравнений вида x=  (x);
(|  |(x)|  k<1).
III. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Понятие обыкновенного дифференциального уравнения
Порядок уравнения.
Частное решение.
Общее решение.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка.
2
Задача Коши.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Примеры.
Геометрический смысл обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Изоклины.
Типы уравнения первого порядка, которые интегрируются в квадратурах: уравнения с разделяющимися
переменными , однородные линейные уравнения, уравнение Бернулли, уравнения в полных
дифференциалах.
Приближенны методы вычисления задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка: метод
Эйлера , метод последовательных приближений.
Основные понятия, относящиеся к уравнениям высшего порядка.
Интегрирование линейных однородных уравнений второго и высших порядков с постоянным
коэффициентами.
Алгебраический характер задачи.
Линейные неоднородные уравнения второго и высших порядков с постоянными коэффициентами с правыми
частями специального вида.
Метод вариаций произвольных постоянных для дифференциальных уравнений второго порядка.
Понятие системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
dx
 a11 x  a12 y
dt
Исследование системы
(1)
dy
 a 21 x  a 22 y
dt
методом Эйлера.
Типы особых точек системы (1).
Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка.
Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Пример
 y"y  0

 y (0)  0, y (l )  0
0<x<1
 -параметр.
\/|. Ряды
Числовые ряды.
Основные понятия: понятие частичной суммы ряда, остатка ряда, суммы ряда.
Необходимое условие сходимости числового ряда. Пример: геометрическая прогрессия.
Числовые ряды с положительными членами.
Расходимость гармонического ряда.
Признаки сравнения для числовых рядов с положительными членами: признак Даламбера,
радиальный признак Коши, интегральный признак Коши.
Знакочередующиеся ряды.
Признак Лейбница.
Оценки остатка для признака Лейбница.
Знакопеременные ряды.
Условная и абсолютная сходимость знакопеременных рядов.
Функциональные ряды.
Мажорирующие и их свойства.
Степенные ряды.
Область сходимости степенного ряда.
Ряды Тейлора и Маклорена.
Разложение элементарных функций в ряды Маклорена (sin x, cos x, e, ln (1+x), arctg x, (1+x)).
Применение рядов Тейлора для нахождения значений функций, для вычисления определенных интегалов и
для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Ряды Фурье.
Ортогональность тригонометрической системы функций
Cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,…cos 4x,sin 4x…
Понятие ряда Фурье на отрезке
Вычисление коэффициентов Фурье.
Сходимость ряда Фурье в точке.
3
Ряд Фурье для четных и для нечетных функций.
Разложение в ряд Фурье функции, заданной на
(четное и нечетное продолжение фунций).
Ряд Фурье функции на [-1,1).
Решение задачи о колебании структуры, закрепленной в двух точках. Постановка задачи
1 Вычислить cos10 с точностью до 0,0001
2 Решить задачу Коши y”=e
2y
; y(0)=0 y’(0)=1
3 Найти общее решение уравнения y’+
0 ,8
4 Вычислить
dx
1
0
x
5
y
 2 lnx+1
x
с точность до 0,001
5 Найти общее решение системы
dx
=2x-y
dt
dy
=4x+6y
dt
и определить тип особой точки x=0 , y=0
2
6 Разложить в ряд Маклорена функцию y=sin 3x + e
 x2
7 Решить дифференциальное уравнение
(10xy-8y+1)dx + (5x
2
-8x+3)dy=0
8 Исследовать на сходимость и на абсолютную сходимость ряд

 (1)
n 1
n
n3
2n
9 Решить задачу Коши y'=
y x2
+
x y
при y(1)=1

10 Исследовать сходимость ряда
1
 (n  2) ln
n e
11 Решить диф-ое уравнение y” tg y =2(y’)
12 Решить методом итераций уравнение -
2
(n  4)
2
x
=lg x . Найти корень с точностью до 0,001
2
13 Найти интегральную кривую диф-го уравнения y”-y=0 , касающуюся в точке О(0,0) прямой
14 Найти экстремумы функции двух переменных
z=xy+
50 20
+
x
y
(x>0,y>0)
y=x
4
15 Методом вариации произв-х пост-х решить диф-е уравнение
1
e 1
 z z
xy
16 Найти
и
, если z ln(x+z)-=0
 x y
z
y”+3y’+2y=
x
17 Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
2
2
2
x +2y -3z +xy+yz-2xz+16=0 в точке M(1,2,3)
x
18 Разложить функцию
e
t 2
dt в степенной ряд по степеням x
0
19 Найти
 z z
3
2
и
в точке (1,2,3), если z -4xz+y -4=0
 x y
2
20 Найти общее решение уравнения 4y””+4y”+y=x +1
21 Найти
y
2 z  2 z 2z 2z
,
,
,
, если z=arctg
(x 
 0 ).Показать , что z xx +z yy =0
2
2
x
x y yx xy
22 Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряда

(1) n
n
n 1
n
23 Найти решение задачи Коши xy’=y ln
y
; y(1)=1
x
24 Найти область определения функции двух переменных
z=arccos
x
x y
25 Найти dz ,если z=ln(y+
x2  y2 )
26 Решить дифференциальное уравнение y’=y ctg x +
y3
sin x
2
2
27 Найти полное приращение и дифференциал функции z=x -xy+y ,если x изменяется от 2 до 2,1 ; dy --- от
1 до 1,2
( x  3) 2 n
28 Найти область сходимости степенного ряда 
n
n 1 ( 2n  1)3

3
2
2
29 Найти экстремум функции двух переменных z=2x -xy +5x +y
30 Решить краевую задачу y”+y=1 ; y(0)=0 ; y(

) =0
2
2
5
z
z
2 2
31 Найти
и
, если z=u v , x=u+v , y=u-v
x
y
x
32 Разложить функцию F(x)=
ln( 1  t 2 )
0 t dt в ряд по степеням x
2
2
33 Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=x -xy+y -4x в замкнутой области, ограниченной
прямыми x=0 , y=0 , 2x+3y-12=0
34 Вычислить ln 1,04 с точностью до 0,001
35 Найти общее решение уравнения y””-13y”+36y=0
2
2
2
36 Составить уравнения касательных плоскостей к поверхности x +2y +3z =21,
параллельных плоскости x+4y+6z=0
37 Типы особых точек системы
dx
=d x + d 12 y
dt 11
dy
=d x + d 22 y
dt 21
при x=0, y=0----устойчивые и неустойчивые точки

38 Исследовать сходимость ряда
1
2
n 1
n
1 2
(1  ) n
n
2
39 Решить уравнение 1+(y') =yy"
40 z = x + arctg
y
z
Найти
zx
x
41 Вычислить
1,06 с точностью до 0,001
42 Найти общее решение уравнения y" + y' - 2y = cos x - 3 sin x
0,5
44 Вычислить
 x ln( 1  x
2
)dx с точностью до 0,001
0
45 Решить краевую задачу с параметром y" +
 y = 0 , y(0)=0, y(2)=0 , где  -- Параметр
Литература
1. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление» Т1, Т2. М.:
1978.
6
2. Я.С. Бугров, С.Н. Никольский «Высшая математика. Дифференциальные
уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного». М.:
1981.
3. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» Т1, Т2. М.: 1981.
4. М.В. Федорюк «Обыкновенные дифференциальные уравнения». М.: 1980.
5. Е.М.Гмурман «Основы теории вероятностей и математической статистики».
М.,1999.
6. Е.С.Вентцель «Основы теории вероятностей», М., 2000.