ЗАДАНИЯ B5: ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятием уравнение, область определения уравнения, знание основных типов простейших уравнений, умение решать уравнения. Ориентировочное время выполнения учащимися, изучающими математику на базо-вом уровне: 5—10 минут. Типы заданий: Линейные и квадратные уравнения. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения. Показательные уравнения. Логарифмические уравнения. Тригонометрические уравнения. Линейные уравнения. Уравнение ax= b, где x — неизвестное, a и b — любые действительные числа, называется линейным уравнением относительно x. Квадратные уравнения. Квадратным уравнением называется уравнение вида , где x - переменная, a,b,c - постоянные (числовые) коэффициенты. В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта: Формула дискриминанта: . О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) : D>0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня D=0 - уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня D<0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей - корней не имеет) В общем случае корни уравнения равны: . Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны . Иррациональные уравнения Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень. Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие п р и е м : «уединение» корня в одной из частей уравнения и возведение в соответствующую степень; Показательные уравнения Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением. Самое простое показательное уравнение имеет вид ax = b, где a > 0, a ≠ 1. Логарифмические уравнения Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида loga x = b. Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab. Тригонометрические уравнения Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции. Виды тригонометрических уравнений Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнение sin x = a Если | a | > 1, то уравнение sin x = a не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней. Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ( —1)n arcsin a + πn, n ∈ Z. Частные случаи: 1. sin x = 0 ⇒ x = πn, n ∈ Z. 2. sin x = 1 ⇒ x = π/2 + 2πn, n ∈ Z. 3. sin x = -1 ⇒ x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z. Уравнение cos x = a Если | a | > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos x = —1,5 не имеет корней. Если | a | ≤ 1, то корни уравнения выражаются формулой x = ±arccos a + πn, n ∈ Z. Частные случаи: 1. cos x = 0 ⇒ x = π/2 + πn, n ∈ Z. 2. cos x = 1 ⇒ x = 2πn, n ∈ Z. 3. cos x = -1 ⇒ x = π + 2πn, n ∈ Z. Уравнение tg x = a Уравнение tg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arctg a + πn, n ∈ Z. Уравнение ctg x = a Уравнение ctg x = a имеет корни при любом значении a. Корни уравнения выражаются формулой x = arcctg a + πn, n ∈ Z. Дробно рациональное уравнение Схема решения дробного рационального уравнения 1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение. 2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. 3. Решить полученное целое уравнение. 4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель.