Применение теории параметрического регулирования для класса СGE моделей

Применение теории параметрического регулирования для класса СGE моделей
А.А. Ашимов, Б.Т. Султанов, Ж.М. Адилов, Ю.В. Боровский, Н.Ю. Боровский, Ас.А. Ашимов
Kazakh National Technical University named after K. Satpayev, 22 Satpaev str., Almaty city, 050013, Kazakhstan
(Tel: +7-727-2925818; e-mail: аshimov37@mail.ru, yuborovskiy@rambler.ru)
Abstract: В работе представлены некоторые результаты по применению элементов
теории параметрического регулирования на базе CGE модели, являющейся дискретной
динамической системой (полукаскадом) и показана эффективность этого применения.
Предложен и апробирован метод параметрической идентификации макроэкономических
моделей с большим количеством оцениваемых параметров. Определены оптимальные (в
смысле некоторого критерия) значения регулируемых параметров экономической
политики на базе рассматриваемой математической модели.
Keywords: discrete-time systems; Economic systems, Mathematical models, Model control,
Nonlinear models, Parameter identification, Parameter optimization
1. INTRODUCTION
Как известно (Tarasevich L.S. et al, 2006), в рамках проведения макроэкономической политики
требуется оценка значений экономических инструментов, обеспечивающих равномерный рост
(динамическое равновесие), при котором достигается такое развитие экономики, когда увеличивающиеся от
периода к периоду объемы спроса и предложения на макроэкономических рынках всегда равны друг другу
при полном использовании труда и капитала. Отмеченное в какой-то мере является требованием к
математическим моделям, используемым для оценки рациональных значений экономических инструментов
государственной политики в сфере экономического роста.
В настоящее время проблема экономического роста покрыта большим количеством феноменологических и
эконометрических моделей (Шараев Ю.В., 2006.).
На основе базового уравнения регрессии для оценки детерминант экономического роста
g  a 0   a l x l   b p z p   c r ДИТ r   ,
l
p
r
(где g – темп экономического прироста основных показателей национального продукта (ВВП, ВНП) в
стране; a0 – константа; al – коэффициенты при экономических переменных; хl - экономические переменные;
bp – коэффициенты при дополнительных переменных; zp – дополнительные переменные (политические,
социальные, географические и др.); cr – коэффициенты при фиктивных переменных; ДИТ r – фиктивные
переменные, отражающие групповой эффект; ε – случайная составляющая) получены различные
эконометрические модели зависимостей экономического роста от различного рода детерминант для оценки
широкого спектра гипотез, предположений об их влиянии на экономический рост и эконометрические
динамические межотраслевые модели, эконометриче6ские макроэкономические модели (Cass, 1965;
Diamond P., 1965. ; Koopmans T. , 1965.) которые в основном предназначены для прогноза и не отвечают
ранее указанным требованиям. Широкий круг феноменологических моделей (Шараев, 2006.), начиная от
математической модели неоклассической теории Солоу (Solow, 1956), Свана (Swan, 1956. ) (дополненная
динамическими оптимизационными моделями на основе включения проблемы Рамсея) до таких
математических моделей эндогенного экономического роста, в которых, например, представлены:
производство инноваций как продукта, производимого особым сектором экономики (например, модель
Гроссмана и Хелпмана (Grossman, Helpman, 1991); деятельность, направленная на развитие самого
человека (например, модель Роберта Лукаса (Lukas, 1998); международная торговля и распространение
технологий (например, модель Лукаса (Lukas, 1993,) и др. дают ответы на вопросы по источникам
экономического роста, но также не покрывают выше отмеченные требования к математическим моделям
для оценки рациональных значений экономических инструментов государственной политики в сфере
экономического роста.
В рамках балансовых моделей (Leontief, 1966; Колемаев, 2002), где межотраслевые связи
представляются через систему материальных балансов для некоторого набора продуктов в совокупности
охватывающих все национальное хозяйство, можно заметить то, что система материальных балансов
выражающая межотраслевые связи формируется без рыночных отношений агентов, и в них отсутствуют
1
описания таких важнейших агентов, как государство, банковский сектор и совокупный потребитель.
Поэтому балансовые модели в меньшей степени отвечают ранее указанному требованию.
В книге (Makarov, 2007) предложены ряд вычислимых моделей общего равновесия, которые в
большей степени удовлетворяют обозначенному выше требованию к математическим моделям,
применяемым для оценки рациональных значений экономических инструментов государственной политики
в сфере экономического роста.
В настоящей работе приводятся результаты регулирования экономического роста национального
хозяйства на базе вычислимых моделей общего равновесия с учетом ограничений на уровень цен, что
позволяет в определенной мере учесть требования по антиинфляционной политике.
2. ОПИСАНИЕ CGE МОДЕЛЕЙ
CGE-модель (Makarov, 2007) в общем виде можно записать с помощью системы соотношений,
которую можно разбить на подсистемы следующих видов.
1) Подсистема разностных уравнений, связывающая значения эндогенных переменных для двух
последовательных лет
xt 1  F ( xt , y t , z t , u,  )
(1)
Здесь t – номер года, дискретное время, t  0,1,2,... ; ~
x t  ( x t , y t , z t )  R n - вектор эндогенных переменных
системы;
n
xt  ( xt1 , xt2 ,...,xtn1 )  X 1 , yt  ( yt1 , yt2 ,...,ytn2 )  X 2 , z t  ( z t1 , z t2 ,..., z t )  X 3 .
3
Здесь n1  n2  n3  n , переменные
(2)
x t включают в себя значения основных фондов, остатки средств
агентов на счетах в банках и др.; y t включают в себя значения спроса и предложения агентов на различных
рынках и др., z t - различные виды рыночных цен и доли бюджета на рынках с экзогенными ценами для
различных экономических агентов;
u и  - векторы экзогенных параметров, u  (u 1 , u 2 ,..., u l )  W  R l - вектор управляемых
(регулируемых)
параметров;
X1,
X2, X3,
W –
компактные
множества
c
непустыми
внутренностями - Int ( X i), i  1,2,3 и Int (W ) соответственно;
  1 , 2 ,...,m    R m - вектор неуправляемых параметров,  - открытое связное множество;
F : X1  X 2  X 3  W    R n1 - непрерывная функция.
2) Подсистема алгебраических уравнений, описывающих поведение и взаимодействие агентов на
различных рынках в течение выбранного года, эти уравнения допускают выражение переменных yt .через
экзогенные параметры и остальные эндогенные переменные
y t  G( x t , z t , u,  ) ,
(3)
Здесь G : X1  X 3  W    R n2 непрерывная функция.
3) Подсистема рекуррентных соотношений для итеративных вычислений равновесных значений
рыночных цен на различных рынках и долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных
экономических агентов.
(4)
z t [Q  1]  Z ( z t [Q], y t [Q], L, u,  )
Здесь Q  0,1,2,... - номер итерации. L – набор из положительных чисел (настраиваемые константы
итераций). При уменьшении их значений экономическая система быстрее приходит в состояние равновесия,
однако
при
этом
увеличивается
опасность
ухода
цен
в
отрицательную
область.
Z : X 2  X 3  (0, ) n3  W    R n3 - непрерывное отображение (являющееся сжимающим при
фиксированных xt  X 1 , u W ,    и некоторых фиксированных L. В этом случае отображение Z имеет
единственную неподвижную точку, к которой сходится итерационный процесс (4, 3).
CGE - модель общего равновесия (1, 3, 4) при фиксированных значениях экзогенных параметров
для каждого момента времени t определяет значения эндогенных переменных ~
x t , соответствующие
равновесию цен спроса и предложения на рынках товаров и услуг агентов в рамках следующего алгоритма.
1) На первом шаге полагается t=0 и задаются начальные значения переменных x0
2
2) На втором шаге для текущего t задаются начальные значения переменных z t [0] на различных
рынках и для различных агентов; с помощью (3), вычисляются значения y t [0]  G( x t , z t [0], u,  ) (начальные
значения спроса и предложения агентов на рынках товаров и услуг).
3) На третьем шаге для текущего t запускается итерационный процесс (4). При этом для каждого Q
текущие значения спросов и предложений находятся из (3): yt [Q]  G( xt , zt [Q], u,  ) через уточнения
рыночных цен и долей бюджетов экономических агентов.
Условием остановки итерационного процесса является равенство значений спросов и предложений
на различных рынках. В результате определяются равновесные значения рыночных цен на каждом рынке и
долей бюджета на рынках с государственными ценами для различных экономических агентов. Индекс Q для
таких равновесных значений эндогенных переменных мы опускаем.
4) На следующем шаге по полученному равновесному решению для момента t с помощью
разностных уравнений (1) находятся значения переменных
xt 1 для следующего момента времени. Значение
t увеличивается на единицу. Переход на шаг 2.
Количество повторений шагов 1, 3, 4 определяются в соответствии с задачами калибровки, прогноза
и регулирования на заранее выбранных интервалах времени.
3 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ CGE МОДЕЛИ
Задача идентификации (калибровки) экзогенных параметров модели в данном случае сводится к
отысканию глобального минимума некоторой целевой функции, задаваемой с помощью самой CGE модели.
При этом ограничения на множество оптимизации, также, задается с помощью модели. Задача поиска
глобального экстремума в общем случае большой размерности достаточно сложна, для ее решения
применяются методы случайного поиска, параллельные алгоритмы расчетов и др (Evtushenko, 2009; Koplyk,
2009). Обзор многочисленных публикаций по поиску глобальных экстремумов приведен в (Strongin, 2000).
В настоящей работе представлен не отмеченный в литературе алгоритм параметрической идентификации
модели, учитывающий особенности макроэкономических моделей большой размерности и позволяющий в
некоторых случаях находить глобальный минимум целевой функции большого числа переменных (более
тысячи). В алгоритме используется две целевые функции (два критерия идентификации - основной и
дополнительный), что позволяет добиваться выхода значений идентифицируемых параметров из
окрестностей точек локальных (и неглобальных) экстремумов, продолжить поиск глобального экстремума,
сохраняя при этом условия согласованного движения к глобальному экстремуму.
В качестве области   W    X 1 для оценки возможных значений экзогенных параметров
рассматривалась область вида  
l  m  n1
 [ai , bi ] ,
i 1
где [ai , bi ] - промежуток возможных значений параметра
 i , i  1  (l  m  n1 ) . При этом оценки параметров, для которых имелись наблюдаемые значения, искались
в промежутках [ai , bi ] с центрами в соответствующих наблюдаемых значениях (в случае одного такого
значения) или в некоторых промежутках, покрывающих наблюдаемые значения (в случае нескольких таких
значений). Прочие промежутки [ai , bi ] для поиска параметров выбирались с помощью косвенных оценок их
возможных значений. Для нахождения минимальных значений непрерывной функции нескольких
переменных F :   R с дополнительными ограничениями вида (2) на эндогенные переменные в
вычислительных экспериментах использовался алгоритм направленного поиска Нелдора - Мидда (Nelder,
1965). Применение этого алгоритма для начальной точки  1   можно интерпретировать в виде


сходящейся к локальному минимуму F0  arg min F функции F последовательности  1 ,  2 ,  3 ,... , где
, ( 2)
F ( j 1 )  F ( j ) ,  j  , j  1, 2, ... В описании следующего алгоритма мы будем считать, что точка  F0
может быть найдена достаточно точно.
Для оценки качества ретроспективного прогнозирования на основе данных экономики Республики
Казахстан за 2000-2004 годы для некоторой начальной точки  1   решалась задача (задача A) оценки
параметров модели и начальных условий для разностных уравнений с помощью нахождения минимума
критерия K IA , характеризующего среднеквадратичное отклонение расчетных значений от наблюдаемых
основных макроэкономических показателей модели, например, ВВП и индекс потребительских цен.
Наряду с задачей A для точки 1 решается и аналогичная задача (задача B) с использованием
расширенного критерия K IB вместо критерия K IA . Критерий K IB характеризует среднеквадратичное
отклонение расчетных значений от наблюдаемых для
3
большего, чем в критерии K IA количества
эндогенных переменных. В этот критерий кроме переменных критерия K IA добавляются переменные,
относящиеся к секторам-производителям CGE модели, например, добавленные стоимости, выпуск,
количество работающих.
Задачу параметрической идентификации для модели (1), (3), (4) будем считать решенной, если
найдется такая точка  0   , что K IB ( 0 )   для некоторого достаточно малого  .
В связи с наличием нескольких локальных минимумов функций K IA и K IB при решении задачи
параметрической идентификации для каждого из этих критериев по отдельности достаточно сложно
добиться близких к нулю значений этих критериев.
Поэтому окончательный алгоритм решения задачи параметрической идентификации модели был
выбран в виде следующих этапов.
1. Параллельно, для некоторого вектора начальных значений параметров  1   , решаются задачи
А и В, в результате находятся точки  K0 IA и  K0 IB .
2. Если K IB ( K0 IA )   или K IB ( K0 IB )   , то задача параметрической идентификации модели (1, 3, 4)
решена.
3. В противном случае, используя в качестве начальной точки  1 точку  K0 IB , решается задача A, и
используя в качестве начальной точки  1 точку  K0 IA решается задача B. Переход на этап 2.
Достаточно большое число повторений этапов 1, 2, 3 дает возможность выходить искомым
значениям параметров из окрестностей точек неглобальных минимумов одного критерия с помощью
другого критерия и, тем самым, решить задачу параметрической идентификации.
В результате применения приведенного выше алгоритма для решения задач параметрической
идентификации CGE моделей с сектором знаний и секторов экономики (Makarov, 2007) на основе
статистических данных Республики Казахстан за 2000-2008 годы были получены оценки неизвестных
значений параметров моделей, обеспечивающие значение критерия K IB  0.01 . Это означает, что
среднеквадратичное отклонение расчетных значений основных макроэкономических показателей от
соответствующих наблюдаемых значений для указанных моделей не превысила 1%.
4 РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ДЛЯ КЛАССА ВЫЧИСЛИМЫХ
МОДЕЛЕЙ ОБЩЕГО РАВНОВЕСИЯ ВИДА (1, 3, 4)
В (Ashimov, 2008a; Ashimov, 2009) представлены элементы теории эффективного параметрического
регулирования развития рыночной экономики описываемой системой обыкновенных дифференциальных
(или разностных) и алгебраических уравнений. Показана эффективность применения подхода
параметрического регулирования на базе ряда моделей (Ashimov, 2007;. Ashimov, 2008b; Ashimov, 2008c).
В рамках предложенного подхода, оптимальные (в смысле некоторого критерия) значения
параметров находились двумя способами:
- с помощью семейства функций, зависящих от эндогенных показателей математической модели и
настраиваемых коэффициентов;
- путем оценки значений регулируемых параметров в некотором заданном множестве.
Ниже приводятся краткое изложение элементов теории параметрического регулирования с учетом
особенностей определения CGE моделей.
Рассматриваемая CGE-модель вида (1, 3, 4) может быть представлена в виде непрерывного
отображения f : X  W    R n , задающего преобразование значений эндогенных переменных системы
для нулевого года в соответствующие значения следующего года согласно приведенному выше алгоритму.
Здесь компакт X в фазовом пространстве эндогенных переменных определяется множеством возможных
значений переменных x (компакт X1 c непустой внутренностью) и соответствующими равновесными
значениями переменных y и z рассчитываемых с помощью соотношений (3) и (4).
Будем предполагать, что при для выбранной точки x0  Int( X 1 ) верно включение
xt  f t ( ~
x 0 ) X  Int( X 1 ) при фиксированных u  Int (W ) и    для t  0  N (N – фиксированное
1
натуральное число). Это отображение f определяет дискретную динамическую систему (полукаскад) в
множестве X.
f
t

, t  0,1,...
(5)
Такое описание экономической системы (1, 3, 4, 5)страны отличается от описания экономической
системы с помощью непрерывной динамической системы в (Ashimov, 2009 ) и обосновывает необходимость
развития теории параметрического регулирования на дискретный случай полукаскада.
4
Для выбранного
u*  Int (W ) точки соответствующей траектории
~
xt  f t ( ~
x0 )
полукаскада
x*t .
обозначим через ~
Обозначим замкнутое множество в пространстве
R ( nl )( N 1) ((N+1) наборов переменных ( ~x t , ut) для
t  0, N ), определяемое ограничениями
~
xt  X , ut  W , ~
xt j  ~
x*tj   j ~
x*tj ,
через
(6)
 . Последние неравенства в (6) используется для некоторых значений j  1, n , и при положительных
x ,  j 0.
j
*t
Для оценки эффективности эволюции экономической системы на промежутке времени t  0, N , (N
фиксировано) будем использовать критерий вида K  K ( ~
x0 , ~
x1 ,..., ~
x N ) , где K – непрерывная в XN+1 функция.
Постановка задачи нахождения оптимального значения регулируемого вектора параметров для
полукаскада (4) имеет следующий вид. При фиксированном    найти набор из N значений управляемых
параметров u t , t  1  N , который обеспечивает нижнюю грань значений критерия (6) –
K  inf
(7)
ut , t 1 N
при ограничениях (5). Аналогичная задача ставится и для случая максимизации критерия K.
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Для указанного полукаскада (5) при ограничениях (6) существует решение задачи (5-7)
нахождения нижней грани критерия K.
Доказательство этой теоремы c некоторыми изменениями, учитывающими особенности CGE
моделей, повторяет доказательство теоремы для случая потока (Ashimov, 2009 ). Доказательство основано
на существовании верхней грани значений непрерывной функции определенной в некотором компакте.
5 Нахождение оптимальных значений регулируемых параметров на базе CGE модели отраслей
экономики
Рассматриваемая модель представлена 16 экономическими агентами (секторами) производителями,
а также непроизводительными секторами: совокупный потребитель, правительство и банковский сектор.
Рассматриваемая модель представляется в рамках общих выражений:
соотношения (1) - n1  67 выражениями;
соотношения (3) - n2  597 выражениями;
соотношения (4) - n3  34 выражениями.
Эта модель также содержит 2045 экзогенных параметров и 698 эндогенных переменных.
Ниже продемонстрированы некоторые результаты применения подхода теории параметрического
регулирования.
В вычислительных экспериментах в качестве критерия оптимизации использовался критерий K среднее значение ВВП страны за 2010-2015 годы в ценах 2000 года:
K
1 2015 g
 Yt  max .
5 t 2010
(7)
Значение этого критерия для базового расчетного варианта (с использованием значений экзогенных
параметров, полученные в результате идентификации модели) равно 5837.4 млрд. тенге (тенге – денежная
единица Казахстана, Yt g - ВВП страны в год t в ценах 2000 года).
При всех экспериментах c критерием оптимизации (7) в ограничения вида (2) включались
ограничения на рост уровня потребительских цен следующего вида
Pt  1.09Pt , t  2010  2015.
Здесь Pt расчетный уровень потребительских цен без параметрического регулирования, Pt расчетный уровень потребительских цен с параметрическим регулированием.
5
В первых двух экспериментах осуществлялось регулирование 1536 экзогенных параметров - долей
бюджета j-го агента-производителя, идущих на покупку товаров и услуг, производимых i-ым агентомпроизводителем для 2100-2015 г.г.:
Oi ,jt ; t  2010  2015 ; i, j  1  16 . Здесь
16
 Oi,jt  1 . Базовые значения
i 1
указанных долей, полученные в результате решения задачи параметрической идентификации модели по
данным 2000-2008 г.г. будем обозначать через Oi j ; i, j  1  16 .
Рассматривались следующие три задачи нахождения оптимальных значений регулируемых
векторов параметров.
1. На базе CGE модели секторов экономики найти значения долей бюджетов агентовпроизводителей ( Oi ,jt ; t  2010  2015 ; i, j  1  16 ), которые обеспечивали бы верхнюю грань критерия K при
дополнительных ограничениях на эти доли следующего вида:
0.5  Oi ,jt / Oi j  2; i, j  1  16; t  2010  2015 .
Решения этой и следующих оптимизационных задач проводились с помощью алгоритма НелдераМида (Nelder, 1965).
После применения параметрического регулирования долей бюджетов агентов-производителей
значение критерия (7) оказалось равным K=6312.8, значение критерия увеличилось на 8,14% по сравнению с
базовым вариантом.
2. На базе CGE модели секторов экономики найти значения долей бюджетов агентовпроизводителей ( Oi ,jt ; t  2010  2015 ; i, j  1  16 ), которые обеспечивали бы верхнюю грань критерия K при
дополнительных ограничениях на эти доли следующего вида:
Oi j  Oi ,jt ; i, j  1 16; t  2010  2015
В результате решения этой задачи значение критерия (7) оказалось равным K=6373.6, значение
критерия увеличилось на 9.19% по сравнению с базовым вариантом.
3. В настоящей работе рассматривалась также следующая задача нахождения оптимальных
значений ежегодных финансовых вложений из государственного бюджета следующим 6 приоритетным
отраслям (1, 3, 4, 5, 6, 9) общим объемом 6700 млрд. тенге в течение 2010-2015 г.г.
На базе CGE модели секторов экономики найти значения дополнительных инвестиций Gt j (
j  1,3,4,5,6,9 ; t  2010  2015 ) из государственного бюджета в бюджеты указанных отраслей, которые
обеспечивали бы верхнюю грань критерия K при дополнительном ограничении на суммарный объем этих
инвестиций следующего вида:
2015

G
j
t
t  2010 j1,3, 4,5, 6,9
 6700
В результате решения этой задачи значение критерия (7) оказалось равным K=6133.0 значение
критерия увеличилось на 5.06% по сравнению с базовым вариантом.
REFERENCES
Tarasevich, L.S., Grebennikov, P.I., and Leusskiy, A.I. (2006). Macroeconomics. High education, Moscow
(in Russian).
Шараев, Ю.В. (2006). Теория экономического роста. Издательский дом ГУ ВШ, Moscow.
Cass D. (1965). Optimum growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation. Review of Economic
Studies, Vol. 32, 233-240.
Diamond, P. (1965). National Debt in a Neoclassical Growth Model. American Economic Review, Vol. 55,
1126-1150.
Koopmans, T. (1965). Capital Accumulation and Economic Growth. Pontificae Academiae Scientiarum
Scripta Varia. Vol. 28, 225-300.
Solow, R.A. (1956). Contribution to the Theory of Economic Growth. Quarterly Journal of economics,
Vol. 70, 65-94.
Swan, T. (1956) Economic Growth and Capital Accumulation. Economic Record, 1956. Vol. 32(2), 334361.
Grossman, G., Helpman, E. (1991). Innovation and Growth in the Global Economy. MIT Press,
Cambridge, MA, USA.
6
Lukas, R. (1988). On the Mechanics of Economic Development. Jornal of monetary Economics, No. 2, 342.
Lukas, R. (1993). Making a Miracle. Econometrica, Vol. 61(2), 251-271.
Leontief, W. (1966). Essays in Economics: Theories and Theorizing. Oxford University Press, London.
Колемаев, В.А. (2002). Математическая экономика. Юнити, Москва (in Russian).
Makarov, V.L., Bakhtizin, A.R., and Sulakshin, S.S. (2007). The application of computable models in state
management. Scientific expert, Moscow ( in Russian).
Evtushenko, Yu.G., Malkova, V.U., Stanevichyus, A.A. (2009). Parallel global optimization of functions of
several variables. Journal of calculus mathematics and mathematical physics, 49(2), 246-260.
Koplyk, I.V. et al. (2009). The search of a global extremum of the function set by imitating model. Bulletin
SumGU. "Engineering science" series, No. 2, 105-112 (in Russian).
Strongin, R.G., Sergeyev, Y.D. (2000). Global Optimization with Non-Convex Constraints. Sequential and
Parallel Algorithms. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London.
Nelder, J.A., Mead, R. (1965). A simplex method for function minimization. The Computer Journal, No. 7,
308-313.
Ashimov, A.A., et al (2007). Multi-targeted parametrical regulation of market economy development with
the account of non-controlled parameters influence. In Proc. of the 10th IASTED International Conference on
Intelligent Systems and Control, Cambridge, MA, USA, 280-284.
Ashimov, А.А., et al (2008a). On the market economy development parametrical regulation theory.
Kybernetes, The international journal of cybernetics, systems and management sciences. 37(5), 623-636.
Ashimov A.A., et al (2008b). On the development of usage of the market economy parametrical regulation
theory on the basis of one-class mathematical models. In Proc. of 19th International Conference on Systems
Engineering ICSEng 2008, Las Vegas, Nevada, USA, 43-48.
Ashimov А.A, et al (2008c). Development of the market economy evolution parametrical regulation theory
on the growth model basis. In Proc. of 27th IASTED International Conference on Modelling, Identification and
Control, Innsbruck, Austria. 83-86.
Ashimov, A.A., et al (2009). The elements of parametrical regulation theory of economical system
evolution of a country, Physmathlit, Moscow, (in Russian).
7