1. 8.01.01.1 #Сумма числового ряда 2 n 3n 5 n Найти сумму S ряда . n 6 n 1 7 1) S 1 2) S 6 / 7 3) S 5 / 6 4) S 0 2. 8.01.01.2 #Сумма числового ряда Найдите сумму ряда 18 6 2 2 2 . 3 9 27 3. 8.01.02.1 #Достаточный признак расходимости числового ряда Если для ряда 2n n 1 известен предел общего члена lim an k , то n 100 n 7 n 1 верно утверждение… 1) k 0,02 ; ряд расходится 2) k 0,02 ; ряд сходится 3) k 0 ; ряд сходится 4) k 1 ; ряд сходится 7 4. 8.01.03.1 #Необходимый признак сходимости Числовой ряд an - сходится. Тогда lim n n 1 2an an2 1 равен … 1) 1 2) 0 3) 2 4) 5. 8.01.04.1 #Достаточный признак расходимости числового ряда Для ряда 2n 3 sin n можно утверждать, что… n 1 1) a6 7,5 ; ряд расходится 2) a6 15 ; ряд расходится 3) a6 7,5 ; ряд сходится 4) a6 7 ,5 3 ; ряд расходится 6. 8.01.05.1 #Сумма числового ряда Если an 5, an 0 и Sn a1 a2 ... an , то верно утверждение… n 1 1) lim S n 5 n 2) lim S n 5 n 3) lim a n 5 n 4) lim S n 0 n 7. 8.01.06.2 #Сумма числового ряда 2 nn 1 по определению. Найдите сумму ряда n 1 2 8. 8.01.07.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов 36 sin / n можно утверждать, что… 2 n 3 n 1 2, ряд сходится 0, ряд сходится 2, ряд расходится 2 = , ряд сходится 3 Для ряда 1) a6 2) a6 3) a6 4) a6 9. 8.01.08.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов Числовой ряд 5 рядов n 1 an n 1 an 1 и сходится an 0. Что можно сказать о сходимости an соответственно? n n 1 1) сходится, сходится 2) сходится, расходится 3) расходится, расходится 4) расходится, сходится 10. 8.01.09.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов e 2 n 1 Исследуйте на сходимость ряд an , где an и вычислите значение n! n 1 a d lim n1 2 . n an 1) сходится, d 2 2) расходится, d 2 3) сходится, d 2 3e 4) расходится, d 2 e 11. 8.01.09.2 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов e 2n 2 Если ряд сходится, то вычислите его первый член a1 , если же n ! n 1 расходится, то вычислите значение 4a1 4. 1 12. 8.01.10.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов Выпишите номера рядов, к которым целесообразно применить признак 2n 1 n2 1 1 Даламбера: 1 , 2 , 3 n , 4 , n ln n 3 n 100 2 n 1 ! 2 n 2 n 1 n 1 n 1 5 2 sin . 4 n 1 n 1 n 1) 3, 4 2) 1, 3, 5 3) 1, 5 4) 1, 2, 4 13. 8.01.11.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов Выпишите номера рядов, к которым целесообразно применить интегральный признак Коши: 1 1) , 2) n ln n n 2 n n 2n 1 , 3) n 1 n 1 e n n , 4) n5 n 1 5n , 5) ln e n 1 1 . 2 n 1) 1, 3 2) 2, 5 3) 2, 4 4) 2, 4, 5; 14. 8.01.12.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов Выпишите номера рядов, к которым целесообразно применить радикальный признак Коши: 5n 1 1) , 2) 4 n 3 n 1 . n 2 n sin n 1 1) 3, 4 2) 1, 2 2n ! , n n 1 5 1 n 3n 4 3) , 4) 5 n n 1 2 n 1 n n n 2 n 1 ln n , 5) 3) 1, 5 4) 1, 2, 5 15. 8.01.13.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов n n Исследуйте ряд на сходимость и вычислите значение n 1 3n 1 d lim an 6 n na n . 1) сходится, d 2 2) расходится, d 3) расходится, d 1 4) сходится, d 1 3 16. 8.01.13.2 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов n 10n 5 Если ряд сходится, то вычислите значение d lim (an 12a1), n 1 11 n n 1 если же расходится, то вычислите значение l lim 11 n an n 15 17. 8.01.14.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов Если ряд 1 2n 1ln 2n 1 сходится, то вычислите значение a2 , если n 1 расходится, то вычислите значение l lim an a1 . n 1 3 ln 3 1 2) 5 ln 5 1) 3) 0 4) 1 2 ln 2 18. 8.01.15.1 #Знакочередующиеся ряды Исследуйте на сходимость ряд 1 n 1 6a n1 . n a n предел lim 1) сходится абсолютно, 3 n 1 an , где an n3 2 n , и вычислите 2) сходится абсолютно, 1 3 3) расходится, 3 4) сходится условно, 3 19. 8.01.16.1 #Знакочередующиеся ряды Для членов ряда 1n 1 an n 1 выполняются условия: an 0, lim an 0. n Тогда для ряда верно утверждение… 1) расходится 2) сходится абсолютно 3) сходится условно 4) о сходимости ничего нельзя сказать 20. 8.01.17.2 #Знакочередующиеся ряды (признак Лейбница) Проверьте, что ряд 1n 3 n 1 n 1 сходится. Укажите количество членов ряда, достаточное для вычисления его суммы с точностью 0,01. 4 21. 8.01.18.1 #Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов Для данного ряда n 1 2n sin укажите ряд для применения признака сравнения. 1 1) n 1 2 n n 2) n 1 2 1 3) n 1 n 4) 1 n 1 n 2 22. 8.02.01.1 #Радиус сходимости степенного ряда Найдите радиус сходимости степенного ряда n 1 1 2 3 2) 2 1) 2 x 3n . 3n 1 1 3 2 4) 3 23. 8.02.02.1 #Интервал сходимости степенного ряда 3) Найдите интервал сходимости степенного ряда 3x 2n . n 1 3 1, 13 13 , 13 13 , 1 2n 1 1) 1, 1 2) 3) 4) 24. 8.02.02.2 #Интервал сходимости степенного ряда Радиус сходимости степенного ряда an 2 x 6n равен 2. Найдите сумму n 1 всех целых x из его интервала сходимости. 9 25. 8.02.03.1 #Область сходимости степенного ряда x 2n 1 Найдите область сходимости степенного ряда . n 2 ln n 1) 1,1 2) 1;1 3) 1,1 4) 1,1 26. 8.02.03.2 #Область сходимости степенного ряда Укажите количество целых значений x в области сходимости степенного 2 x 15n ряда . n 2 n 1 5 n 1 5 27. 8.02.04.1 #Интервал сходимости степенного ряда Степенной ряд an x 4n n 1 сходится в точке x1 1. Тогда верно утверждение… 1) ряд сходится при 9 x 1 2) ряд сходится при x 1 3) ряд расходится при x 1 4) ряд сходится при x 1 28. 8.02.05.1 #Ряды Маклорена Найдите третий член ряда Маклорена для функции f x sin x 2 x10 1) 5! x10 2) 5! x10 3) 10 ! x5 4) 5! 29. 8.02.06.1 #Ряды Маклорена (интервал сходимости) Укажите интервал сходимости ряда Маклорена для функции f x 1) 4 / 3, 4 / 3 2) 2 / 3, 2 / 3 3) 0, 4 / 3 4) 3 / 4, 3 / 4 30. 8.02.07.1 #Ряды Тейлора 2x . 3x 4 Найдите третий член ряда Тейлора для функции f x e 2 x в точке x0 2. e 4 x 22 1) 2! 2) x 2 2 2! e 4 x 2 2 3) 2! x 2 2 4) 2! 31. 8.02.07.2 #Ряды Тейлора Вычислите при x 1 значение третьего члена ряда Тейлора для функции f x 1 8 x 1 в точке x0 1. x3 32. 8.02.08.2 #Приближенное вычисление интегралов (подынтегральная функция разложена в степенной ряд) Укажите количество первых членов ряда для вычисления интеграла 1/ 2 1n x n 1 dx с точностью 0,01. 0 n 1 n 3 33. 8.02.09.1 #Приближенное вычисление интегралов x sinx 1 Вычислите интеграл x dx с точностью 0,001 . 0 1) 0,245 2) 0,250 3) 0,255 4) 0,939 34. 8.02.10.1 #Приближенное решение дифференциальных уравнений Найдите три первых члена разложения в ряд Маклорена решения y (x) задачи Коши: y y 2 x 2 0 , y0 1. 1) 1 x 2 x 2 2) 1 x 2 x 2 3) 1 x x 2 4) 1 x x 2 35. 8.02.10.2 #Приближенное решение дифференциальных уравнений Вычислите при x 2 третий член разложения в ряд Маклорена решения y x задачи Коши: y 2e y 1 ln x 1 , y0 1. 6 36. 8.02.11.2 #Сумма cтепенного ряда Решите уравнение 1 16 1 x x 2 x3 при x 1 и найдите сумму x 3 корней или корень, если он единственен. 1 37. 8.03.01.1 #Ряд Фурье для четных и нечетных функций Можно утверждать, что ряд Фурье для функции f x x sin x на интервале , будет содержать… 1) только cos nx 2) только sin nx 3) и sin nx , и cos nx 4) не содержит ни sin nx , ни cos nx 38. 8.03.02.1 #Коэффициенты ряда Фурье Укажите значение свободного члена f x x 3 3 на интервале , . 1) 3 a0 ряда Фурье для функции 2 2) 3) 6 3 4) 6 39. 8.03.02.2 #Коэффициенты ряда Фурье Для разложения в ряд Фурье на интервале 3, 3 функции f x (см. рис.) найдите коэффициент a0 . y 2 y f x -3 0 3 x 3 40. 8.03.03.2 #Ряд Фурье. Теорема Дирихле Функция f x x 2 3x 2 разложена на интервале 0, 17 в ряд Фурье по синусам. S (x) - сумма ряда Фурье. Найдите значение S (0) . 0 41. 8.03.04.1 #Ряд Фурье функции, заданной графически. Теорема Дирихле Функция f x (см. рис.) разложена в ряд Фурье по синусам. S x - сумма ряда Фурье. Найдите значение S 7 . y y f x 2 0 2 4 x 1) 2 2) 2 3) 1 4) 1 42. 8.03.05.1 #Коэффициенты ряда Фурье функции, заданной графически. Для разложения в ряд Фурье на интервале 2, 2 функции f x (см. рис.) запишите выражение ненулевых коэффициентов Фурье. y 2 -2 y f x 0 -2 2 x 2 1) bn x 2 sin 0 nx 2 dx 1 2 nx 2) an x 2 cos dx 2 2 2 2 3) an x 2 cos nx 0 2 dx 2 nx 2 2 4) bn x 2 sin dx