ТЕМА подстановки и интегрирования по частям. Простым

ТЕМА: Определенный интеграл. Интегрирование по частям и способом
подстановки.
ЦЕЛЬ: Отработать навыки нахождения определенного интеграла способом
подстановки и интегрирования по частям.
Вычисления определенного интеграла
1.Формула Ньютона – Лейбница
Простым
и
удобным
методом
вычисления
определенного
𝒃
интеграла ∫𝒂 𝒇(х)𝒅х непрерывной функции является формула Ньютона – Лейбница:
𝒃
∫𝒂 𝒇(х)𝒅х = 𝑭(𝒙)| 𝒂𝒃 = F(b) – F(a)
Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная
функции F(x) для подынтегральной функции 𝑓(х).
Основные свойства определенного интеграла
1. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак
определенного интеграла:
𝒃
𝒃
∫𝒂 𝒄 · 𝒇(𝒙)dx = 𝒄 · ∫𝒂 𝒇(𝒙)dx
2. Определенный интеграл от суммы функций равен сумме их определенных
интегралов:
𝒃
𝒃
𝒃
∫𝒂 (𝒇(𝒙) + 𝒉(𝒙))dx = ∫𝒂 𝒇(𝒙)dx +∫𝒂 𝒉(𝒙)dx
Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.
3. Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
𝒃
∫𝒂 𝒇(𝒙)dx =0
4. При перестановке пределов интегрирования изменяется знак определенного
интеграла на противоположный:
𝒃
𝒂
∫𝒂 𝒇(_)dx =− ∫𝒃 𝒇(𝒙)dx
5. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
𝒃
𝒄
𝒃
∫𝒂 𝒇(𝒙)dx =∫𝒂 𝒇(𝒙)dx + ∫𝒄 𝒇(𝒙)dx
Алгоритм нахождения определенного интеграла
1. Найти первообразную функцию F(x) для функции f(x)
2. Вычислить значение F(x) при х= b ( b - называется верхним пределом)
3. Вычислить значение F(x) при х=a ( a - называется нижним пределом)
4. Вычислить разность F(b) – F(a)
Пример 𝟏.
п
Вычислить определенный интеграл ∫0 sin х 𝑑𝑥
Решение
Применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим:
п
∫0 sin х 𝑑𝑥 = - cos х| 0п = - (cos п − cos 0) = 2
Ответ: 2
Пример 2.
3
Вычислить определенный интеграл ∫1 (х + 1) dx
Решение
Применяя формулу Ньютона – Лейбница и свойства определенного интеграла,
получим:
3
х
3
(−1)
∫1 (х3 + 1) dx = ( 4 + х)| 31 = (4 +3) – (
4
1
1
4
4
+ (-1)) = (20 +3) – ( - 1) =24.
Ответ: 24.
2.Методические рекомендации по вычислению определенного интеграла
способом подстановки (замены переменной)
При
вычислении
переменной)
определенного
определенный
интеграла
интеграл
способом
𝒃
∫а 𝒇(х)𝒅х
подстановки
преобразуется
с
(замены
помощью
подстановки u=h(x) или x = g(u) в определенный интеграл относительно новой
переменной u. При этом старые пределы интегрирования заменяются на новые,
которые находятся из исходной подстановки.
Отметим, что:
при вычислении определенного интеграла способом подстановки (замены
переменной) возвращаться к старой переменной не требуется.
Пример 3.
3
Вычислить определенный интеграл ∫2 (2х − 1) 3 dx
Решение
Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки
2х – 1 = u. Дифференцируя, получим 2dx = du, откуда dx =
𝟏
𝟐
du. Находим новые
пределы интегрирования. Подставляя в соотношение 2х – 1 = u значения х=2 и х=3,
соответственно получим uх=2 =2·2-1=3, uх=3 =2·3-1=5.
Следовательно,
3
∫2 (2х
3
− 1) dx =
5 3
u
∫
2 3
1
du
1 u4 5
=
|
2 4 3
1
= (54- 34) = 68
8
Ответ: 68
Пример 4.
Вычислить определенный интеграл
1
∫0 (2х + 1)4 х2 dx
Решение
Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки
2х3 + 1 = u. Дифференцируя, получим 6х2 dx = du, откуда х2dx =
𝟏
𝟔
du. Находим
новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение 2х 3 + 1 = u значения х=0
и х=1, соответственно получим uх=0 =2·03+1 =1, uх=1 =2·13+1=3.
Следовательно,
1
∫0 (2х +
1) х dx =
4
2
1
∫ u4
6 0
1
du
1 u5 1
1
=
| 0 = (356 5
30
Ответ: 8
1
15
15) = 8
1
15
3. Интегрирование по частям
Теорема
Если функции u= u(х) и v=v(х) имеют непрерывные производные на отрезке [𝒂; 絽],
то имеет место формула
𝒃
𝒃
∫𝒂 𝐮 𝐝𝐯 = uv| 𝒂𝒃 − ∫𝒂 𝐯 𝐝u
Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного
интеграла.
Пример 5.
Вычислить определенный интеграл
п
∫0 х sin х dх
Решение
Интегрируем по частям.
Положим u=х, → du = dх и dv= 𝐬𝐢𝐧 х dх, → v = - 𝐜𝐨𝐬 х, тогда
п
п
∫0 х sin х dх = -хcos х | 𝟎п + ∫𝟎 cos х dх = - п · (-1) + 0 + sin х| 0п = п.
Ответ: П.
Пример 6.
Вычислить определенный интеграл
е
∫1 х 𝑙𝑛 х dх
Решение
Интегрируем по частям.
Положим
u=lnх, → du =
𝟏
𝐱
dх и dv=x dх,
→
𝐱
v = , тогда применив формулу
𝟐
интегрирования по частям получим:
е
𝐱
е𝐱
𝟏
е
1
х
е
е
1
1
∫1 х ln х dх = 𝟐 ln х | 1е - ∫1 𝟐 · 𝐱 dх = 2 - 0 - 2 · 2 | 1е = 2 - 4 + 4 = 4 ( е2 + 1)
Ответ:
1
4
(е2 + 1)
После завершения практической работы сделать вывод о результатах.
Историческая справка
Английский физик и математик Исаак Ньютон (1643-1727) и немецкий математик
и физик Готфрид Лейбниц (1646 – 1716) являются основоположниками
дифференциального и интегрального исчисления. Этим ученым удалось установить
связь операций дифференцирования и интегрирования. Ньютон и Лейбниц
независимо друг от друга открыли факт, известный под названием формулы
Ньютона – Лейбница.
Методы математического анализа активно развивались в XVIII-м столетии (в
первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое
исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии
интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В. Остроградский
(1821 – 1892), В.Я. Буняковский (1804 – 1889), П.Л. Чебышев (1821 – 1894).
Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего,
что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.
Строгое изложение теории интеграла появилось только в XIX-м веке. Решение этой
задачи связано с именем крупного французского математика О. Коши (1789 – 1857),
одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 – 1866),
французского математика Г. Дарбу (1842 – 1917).
Различные обобщения понятия интеграла в начале XX-ого столетия были
предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 – 1941) и А. Данжуа
(1884-1971), советским математиком А.Я. Хинчиным (1894 – 1959).