2014 Домашнее задание

Домашнее задание по курсу
«Динамическая оптимизация в экономике и финансах»
Домашнее задание присылает на адрес dinoptef@yandex.ru в виде архива, содержащего 2 файла
(текстовый документ и либо таблица, либо код из R). Архив и его содержимое должны содержать
в названии номер группы и фамилию автора.
Проверяющий оставляет за собой право на экзамене задать студенту, сдавшему задание в R,
вопрос по коду. В случае невразумительного ответа, баллы за задание снимаются.
Все задачи оцениваются одинаково (в 10 баллов). Для получения итоговой оценки в 10 баллов
требуется решить 5 задач. Для решения любой задачи может использоваться как Excel, так и R.
В домашнем задании используются следующие параметры: a1 , a2 , a3 - номер первой, второй и
третьей буквы фамилии в алфавите соответственно, b1 , b2 , b3 - номер первой, второй и третьей
буквы имени в алфавите соответственно, c1 , c2 , c3 - номер первой, второй и третьей буквы
отчества (или снова имени, если таковое отсутствует) в алфавите соответственно. За основу
используется алфавит, представленный здесь:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%83%D1%81%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D
0%BB%D1%84%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%82
1.
Численно найдите экстремум функционала
2
v  y     y2  a1 yy  b1 y 2  c1 ye 2t  dt ,
y  0   b2 ; y  2   b3
0
2.
Численно найдите экстремум функционала
2

V    b1 y  b2u  dt
0

y  a y u
3

 y  0  a ;
y  2  свободно
1

u  t   U   c1 , c2 
3.
Технологическая мощность предприятия M(t) в начале планового периода (5 лет,
планирование осуществляется с шагом месяц) оценивалась в M (0)  100a1  10a2  a3 денежных
единиц. В течение периода изменение мощности описывается по закону
d
M (t )  J (t )   M (t ) ,
dt
где J (t ) - инвестиции текущего месяца,   1 (5  c1 ) - норма амортизации. Имеющаяся в
текущем месяце мощность генерирует доход  (t )  a1  M (t )  , который без остатка делиться на
0.6
 (t )  J (t )  CF (t )  Tax(t ) , где CF (t ) - выводимый денежный поток (не может быть
1
 (t ) - налог на доходы предприятия. Месячная безрисковая
отрицательным), Tax (t ) 
5  c2
процентная ставка в течение всего период равна 0,3%. Рассчитайте оптимальную стратегию
наращивания технологической мощности, инвестиций и денежных потоков, максимизирующую
NPV. Как изменится стратегия, если
1)
В начале 4 года безрисковая процентная ставка вырастет до 0,5%,
1
 (t ) ,
2  5  c2 
2)
Налог на доходы снизится в 2 раза, то есть Tax(t ) 
3)
Норма амортизации увеличится в 2 раза, то есть   2 (5  c1 ) .
4.
Рассматривается задача управления портфелем активов российского резидента в течение
36 месяцев (начиная с января 2004  округл(a1 4,5) года до 31 декабря 2006  округл(a1 4,5)
года), максимизирующего
приведенную стоимость будущих денежных потоков (cash flow) с
дисконт-фактором в экспоненциальной форме   1 (5  c1 ) . В портфель входят депозитный счет
в долларах и депозитный счет в евро. Начальное состояние счетов – 100000a1  10000a2  1000a3
долларов и 100000b1  10000b2  1000b3 евро. К концу планового периода предполагается
закрыть оба счета. Рассчитанное в рублях изменение остатков на счетах сопряжено с
дополнительными издержками, описываемыми функциями f1 и f 2 соответственно для счета в
долларах и евро. Считается, что f1 ( x)  0, 0001x 2 , f 2 ( x)  0, 0001x 2 .
Данные
о
курсах
валют
можно
найти
на
сайте
ЦБ:
http://www.cbr.ru/statistics/print.aspx?file=credit_statistics/ex_rate_ind_14.htm&pid=svs&sid=analit
При планировании предполагается, что темпы роста курсов валют в течение оставшегося отрезка
времени будут равны их темпам роста за предыдущий год. На момент планирования известны все
предыдущие значения курсов. Планирование осуществляется каждое полугодие, начиная с 1
января 2005  округл(a1 4,5) года. Требуется
1)
Для каждого этапа планирования построить оптимальные траектории остатков на
валютных счетах до 31 декабря 2006  округл(a1 4,5) года,
2)
Сопоставить траекторию, реализованную по результатам полугодового планирования с
траекторией, оптимальной в условиях полного знания динамики курсов.
5.
В течение четырехлетнего планового периода (с шагом в 1 месяц) банк управляет объемом
выданных кредитов L (t ) и привлеченных депозитов S (t ) . К началу планового периода банк
имел
задолженность
в
размере
S (0)  1000  100b1  10b2  b3
и
портфель
кредитов
L(0)  1000  100c1  10c2  c3 . Процентная ставка по безрисковому инструменту составляет 1%.
Изменение текущего портфеля за счет выдачи кредитов K (t ) 
депозитов V (t ) 
d
L (t ) или привлечения
dt
a
d
S (t ) сопровождается расходами C (t )  1  K (t ) 2  V (t ) 2  . Цель политики
dt
1000
банка – максимизация суммарного показателя прибыли, рассчитываемой по формуле
 (t )  rl (t ) L(t )  rs (t )S (t )  C (t ) .
Проведите
тестирование
возможности
безубыточности
деятельности банка. Для этого процентные ставки описываются как случайные величины,
имеющие
равномерное
распределение
на
отрезках:
по
депозитам
b1
c2
b1
c2 

0, 4  33  100 ;0, 4  33  100  , по кредитам
b1 b2
c1
b1 b2
c1 

0, 4  33  100  100 ;0, 4  33  100  100  .
Проведите 5 симуляций.
6.
В процедуре поиска решений Hill Climbing требуется рандомизировать шаг смещения,
 a
a a 
2
считая, что он равномерно распределен на интервале  1 ; 1
 . Новым методом
10000
10000

рассчитать численное решение для вариационной задачи из пункта 1, полученное после 100,
1000, 10000 и 100000 итераций. Для 100 и 1000 итераций в отчете представить графики
реализации случайного шага.
7.
Использую процедуру GenSA, найдите численное решение задачи из пункта 1 при разных
стартовых точках. Стартовая точка генерируются как функция y , значения которой в каждый
момент времени генерируются как нормально распределенные случайные величины, имеющие
b2  b3
b  b3
b1 . В ответе представить
и стандартное отклонение 2
2
2
среднюю по 100 реализациям траекторию y . Выбрать наиболее близкое решение к решению,
математическое ожидание
полученному методом Hill Climbing (или методом из пункта 6).
8.
Найдите решение пункта 2, если в качестве ограничения управления задано множество
U  c1  e2t  1 , c2  e2t  1