sin x + cos x

Математический бой.
План математического боя:
1.
2.
3.
4.
5.
Вступительное слово
Правила боя (5 мин)
Представление жюри
Разминка (15 мин)
Математический бой (1ч-1ч10мин)
Математический бой по теме «Тригонометрия».
Математический бой – рыцарский турнир, борьба по честным правилам.
II этап. Правила мат. боя:
1. Команды получают одинаковые задачи и решают их в течение 45 минут (подготовка к бою)
2. Для определения порядка защиты задач проводится конкурс капитанов. Команда, капитан
которой победил , имеет право первой сделать вызов любой из остальных команд. Если
вызов принят, то капитан решает сам, кто может защищать задачу. Вызов – сообщение
номера задачи, решение которой нужно рассказать
3. Для защиты вызванная команда определяет докладчика, а вызывающая оппонента.
Сначала докладчик сообщает решение, затем ему задают вопросы; сначала – оппонент.
Затем – все остальные и жюри. Время на обдумывание вопросов у доски 1 минута
(докладчику чтобы ответить, оппоненту чтобы задать вопрос)
4. Команды могут помогать докладчику во время минутного перерыва. Во время минутного
перерыва можно заменить докладчика или оппонента.
5. Предельное количество выходов к доске одного и того же человека не более 2-х. в начале
боя каждая команда подает в жюри список команды
6. Если команда, принявшая вызов, не смогла рассказать решение, то это делает команда,
вызвавшая на бой.
7. Если команда не приняла вызов, то проверяется корректность вызова, то есть команда
сама рассказывает решение задачи
8. Каждая стоит 12 баллов – эти баллы распределяются между докладчиком, оппонентом и
жюри.
Ведущий представляет команды, жюри и объясняет правила, по которым проводится мат.бой.
IV этап. Разминка (для определения порядка боя). «Открытый бой».
1.
2.
3.
(15 минут)
Сообщаются тир темы (по количеству команд).
Участники распределяются, кто на какую тему выходит (один человек выходит один
раз)
В каждой теме 3 вопроса (10, 20, 30 баллов за правильный ответ; -10, -20, -30 - за
неправильный)
Тема 1. Формулы приведения.
10б. 1. tg(3π/2-α)=ctgα
20б. 2. sin 22π/3=-√3/2
30б. 3. tg 200 *tg 300* tg 400* tg 500* tg 700=1
Тема 2. Формулы двойного угла.
10б. 1. sin150 * sin 1050 = 0,25
20б. 2. 1 – 8sin2(α/4)*cos2(α/4) = cos α
30б. 3. cos 200 * cos 400 * cos 800 = 1/8
Тема 3. Обратные тригонометрические функции.
10б. 1. arccos (-√2/2) = 3π/4
20б. 2. cos(arcsin 1/3) = 2√2/3
30б. 3. Найти ОДЗ arcsin (5-2x) [2;3]
Номер задачи
Очки команды
школы №
Вызов
№→№
Очки команды
школы №
V этап. Математический бой
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2sin x – 3cosx = 2
tg4 x + ctg4x + tg2x + ctg2x = 4
1+sin x = ctg x + cos x
sin x + cos x - √2 sin 2x = 0
sin x + sin 5x = 2
cos2(2 π/√3 sin 3x) = 1
7. вычислить y =
sin 𝑥+cos 𝑥+sin 𝑥
cos 𝑥+sin 𝑥
, если tg x=2
4
5
8. вычислить sin2(1/2 arcsin - 2arctg (-2))
9. (cos πx + 4 sin
𝜋𝑥
2
+ 5)√8 + 2𝑥 − 𝑥 =0
√3
cos 𝑥 ∗ cos 𝑦 = − 4
10. Решите систему уравнений: {
√3
sin 𝑥 sin 𝑦 = − 4
В ответ запишите значение y∈[-600;0] в градусах.
Очки жюри
Решение задач.
1. 2 sin x – 3 cos x=2
I способ (с помощью вспомогательного угла).
R=√22 + 32 = √13
√13(
2
√13
sin x -
3
√13
cos x) = 2
√13(cos y * sin x – sin y * cos x) = 2
√13 sin(x - y) = 2, где y = arccos
sin (x - y) =
2
√13
2
√13
x – y=(-1)karcsin
2
√13
+ πk
x =(-1)karcsin
2
√13
+ y + πk
x =(-1)karcsin
2
√13
+ arccos
2
√13
+ πk
II способ (универсальная тригонометрическая подвтановка).
𝑥
2
𝑥
1+𝑡𝑔2
2
2𝑡𝑔
sin x =
𝑥
2
𝑥
1+𝑡𝑔2
2
1− 𝑡𝑔2
cos x =
x
2
x
1+tg2
2
2tg
2 *(
𝑥
2
4 𝑡𝑔 − 3+3 𝑡𝑔2
1+ 𝑡𝑔2
𝑥
2
𝑥
2
𝑥
2
𝑥
2
𝑥
1+ 𝑡𝑔2
2
𝑡𝑔2 + 4 𝑡𝑔 − 5
𝑡𝑔2
𝑥
2
x
2
x
1+tg2
2
1− tg2
)–3*(
)=2
=2
=0
+ 4 𝑡𝑔
𝑥
2
− 5=0
𝑥
2
1 + 𝑡𝑔2 ≠ 0
𝑥
Пусть tg 2 = a
𝑎2 + 4 − 5 = 0 => a = 1 или a = -5
𝑥
𝑥
tg 2 = 1
tg 2 = -5
𝑥
2
𝑥
2
𝜋
= 4 + πn
𝑥=
𝜋
2
+ 2𝜋𝑛
= −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 5 + 𝜋𝑛
𝑥 = −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 5 + 2𝜋𝑛
2. 𝒕𝒈𝟒 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈𝟒 𝒙 + 𝒕𝒈𝟐 𝒙 + 𝒄𝒕𝒈𝟐 𝒙 = 𝟒
Пусть: 𝑡𝑔2 𝑥 = a , a≥0
𝑡𝑔4 𝑥 = a2
𝑐𝑡𝑔2 𝑥 =
1
𝑎
𝑐𝑡𝑔4 𝑥 =
1
𝑎2
1
a2
a2 +
, тогда
+ a+
1
𝑎
Пусть : 𝑎 +
1
𝑎2
𝑎2 +
1
a
− 4=0
=𝑏
= 𝑏 2 − 2 , тогда
𝑏2 − 2 + 𝑏 − 4 = 0
𝑏2 + 𝑏 − 6 = 0
b1 = -3
𝑎+
1
𝑎
b2 = 2
= −3
𝑎2 + 3𝑎 + 1 = 0
a1,2 =
−3±√5
2
<0
𝑎+
1
𝑎
=2
𝑎2 − 2𝑎 + 1 = 0
a = 1 =>
tg2 x = 1
tg x = ± 1
tg x =1
𝜋
x = 4 + 𝜋𝑛
tg x = -1
𝜋
x = − 4 + 𝜋𝑛
3. 1 +sin x = ctg x +cos x
1
1 + sin x = cos x (sin 𝑥 + 1)
1+sin 𝑥
)
sin 𝑥
1 + sin x = cos x (
(1 + sin x) (1 – ctg x) = 0
1 + sin x = 0
1 – ctg x = 0
sin x = -1
ctg x = 1
𝜋
𝜋
x = − 2 + 2𝜋𝑛
x = 4 + 𝜋𝑛
4. sin x + cos x - √𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝒙 = 0
(sin 𝑥 + cos 𝑥)2 = 1 + sin 2𝑥, если sin x +cos x =t, то sin 2x = t2 – 1
t - √2(𝑡 2 − 1) = 0
√2𝑡 2 − 𝑡 − √2 = 0
t1 = −
√2
2
t2 = √2
Подставим в исходное уравнение:
sin x + cos x = −
1
sin 𝑥
√2
+
𝜋
√2
2
1
cos 𝑥
√2
sin x + cos x = √2
1
sin (x + 4 ) = - 2
𝜋
𝜋
1
= −2
x = (-1)k+16 − 4 + 𝜋𝑘
1
sin 𝑥
√2
+
1
cos 𝑥
√2
𝜋
sin (x + 4 ) = 1
𝜋
x = 4 + 2𝜋𝑛
= 1
5. 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝒙 = 𝟐 (1)
Т.к. |sin 𝑥| ≤ 1, то =>
𝜋
+ 2𝜋𝑛 (2)
2
sin 𝑥 = 1
{
{
𝜋
2
sin 5𝑥 = 1
𝑥=
+ 𝜋𝑘 (3)
10 5
𝑥=
Все корни (2) являются корнями (3):
𝜋
𝜋
2
+ 2𝜋𝑛 =
+ 𝜋𝑘
2
10 5
1
1
2
+ 2𝑛 =
+ 𝑘
2
10 5
k =5n +1
Ответ : 𝑥 =
𝜋
2
+ 2𝜋𝑛
𝟐𝝅
6. 𝒄𝒐𝒔𝟐 (
𝟑
𝐬𝐢𝐧 𝟑𝒙) = 𝟏
2𝜋
Т.к. 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1, то 𝑠𝑖𝑛2 ( 3 sin 3𝑥) = 0 =>
2𝜋
𝑠𝑖𝑛 ( sin 3𝑥) = 0
3
2𝜋
sin 3𝑥 = 𝜋𝑛
3
sin 3𝑥 =
sin 3x = -
√3
𝑛,
2
т.к. sin 3 x 𝜖[−1; 1], то n = 0; ±1
√3
2
x = (−1)𝑘+1
sin 3x = 0
𝜋
9
+
𝜋𝑘
3
x=
𝜋𝑛
3
sin 3x =
√3
2
x = (−1)𝑚
𝜋
9
+
𝜋𝑚
3
7. Вычислить 𝒚 =
𝒔𝒊𝒏𝟓 𝒙+𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒙+𝐬𝐢𝐧 𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙+ 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙
, если tg x = 2
Т.к. не знаем в какой четверти лежит угол х, то не можем вычислить sin x и cos x по значению tg x
=> числитель и знаменатель можно сделать однородными выражениями относительно sin x и
cosx
2
𝑠𝑖𝑛5 𝑥 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
+
+
(
)
5
5
𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + sin 𝑥(𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥)
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 cos 𝑥
=
=
𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
(𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥)(𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)
(
)
(
)
𝑐𝑜𝑠 3 𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
5
5
2
2
2
𝑡𝑔5 𝑥 + 1 + 𝑡𝑔 𝑥(𝑡𝑔2 𝑥 + 1)2
25 + 1 + 2(4 + 1)2
31 + 1 + 50
83
=
=
=
2
3
3
2
(1 + 𝑡𝑔 𝑥)(1 + 𝑡𝑔 𝑥)
(1 + 2 )(1 + 2 )
9∗5
45
𝟏
𝟒
𝟐
𝟓
8. Вычислить 𝒔𝒊𝒏𝟐 ( 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 − 𝟐𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(−𝟐))
Пусть
arcsin
4
5
= 𝛼, тогда sin 𝛼 =
4
5
𝜋
2
𝛼𝜖(0; )
𝜋
2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−2) = 𝛽 , тогда 𝑡𝑔 𝛽 = −2 𝛽𝜖(− ; 0)
𝑥
Используя формулу понижения степени 𝑠𝑖𝑛2 2 =
1−cos 𝑥
2
Найдем cos(𝛼 − 4𝛽) :
cos(𝛼 − 4𝛽) = cos 𝛼 cos 4𝛽 + sin 𝛼 sin 4𝛽
4
5
Т.к. sin 𝛼 =
sin 𝑥 =
, то cos 𝛼 = √1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 =
𝑥
2
𝑥
1+ 𝑡𝑔2
2
2 𝑡𝑔
cos 𝑥 =
𝑡𝑔 2𝛽 =
2 𝑡𝑔 𝛽
4
=
2
1 + 𝑡𝑔 𝛽
3
sin 4𝛽 =
24
25
cos 4𝛽 = −
7
25
Получили, что cos(𝛼 − 4𝛽) =
𝛼
Поэтому : 𝑠𝑖𝑛2 ( 2 − 2𝛽) = 0,2
3
5
3
5
, т.к. 𝛼𝜖(0; 2 )
𝑥
2
𝑥
1+ 𝑡𝑔2
2
1− 𝑡𝑔2
𝜋
𝛼
, получим 𝑠𝑖𝑛2 ( 2 − 2𝛽) =
1−cos(𝛼−4𝛽)
2
9. (𝐜𝐨𝐬 𝝅𝒙 + 𝟒 𝐬𝐢𝐧
𝝅𝒙
𝟐
+ 𝟓) √𝟖 + 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 = 𝟎
ОДЗ: 8 + 2𝑥 − 𝑥 2 ≥ 0
𝑥 𝜖[−2; 4]
1) cos 𝜋𝑥 + 4 sin
𝜋𝑥
2
cos 𝜋𝑥 = 1 − 2 𝑠𝑖𝑛2
𝑠𝑖𝑛2
+ 5=0
𝜋𝑥
2
𝜋𝑥
𝜋𝑥
− 2 sin
− 3=0
2
2
sin
𝜋𝑥
= 𝑡 𝑡 ∈ [−1; 1]
2
t2 – 2t – 3= 0
t1=- 1 t2=3
sin
𝜋𝑥
= −1
2
𝜋𝑥
𝜋
= − + 2𝜋𝑘
2
2
x = -1 + 4k, т.к. 𝑥 𝜖[−2; 4] , то k=0, k=1
x1=-1 x2=3
2) X2 – 2x – 8=0
x1=-2
x2=4
ответ : {−2; −1; 3; 4}
10.Решить систему, в ответ записать значение 𝒚 ∈ [−𝟔𝟎°; 𝟎] в градусах.
√3
(1)
4
√3
sin 𝑥 ∗ sin 𝑦 = −
(2)
4
{
cos 𝑥 ∗ cos 𝑦 = −
(1)+(2)-> cos (x-y) = −
√3
2
(1)-(2)-> cos(𝑥 + 𝑦) = 0
5𝜋
𝑥−𝑦 = ±
+ 2𝜋𝑘
6
{
𝜋
𝑥 + 𝑦 = + 𝜋𝑛
2
𝜋
5𝜋
𝑥 − 𝑦 = − 6 + 2𝜋𝑘
1) {
𝜋
𝑥 + 𝑦 = 2 + 𝜋𝑛
5𝜋
𝑥 − 𝑦 = 6 + 2𝜋𝑘
2) {
𝜋
𝑥 + 𝑦 = + 𝜋𝑛
2
{
𝜋
(2𝑘 + 𝑛)
2
2𝜋
𝜋
𝑦=
+ (𝑛 − 2𝑘)
3
2
2𝜋
𝜋
𝑥 = 3 + 2 (2𝑘 + 𝑛)
{
𝜋
𝜋
𝑦 = − 6 − 2 (2𝑘 − 𝑛)
𝑥 = −6+