ВарДомЗадДискрМат - Высшая школа экономики

ВарДомЗадДискрМат СавватеевВВ
ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Московский институт электроники и математики
Национального исследовательского университета
«Высшая школа экономики»
Кафедра высшей
математики
ВАРИАНТЫ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ
ПО КУРСУ «Дискретная математика»
С РАЗБОРОМ ТИПИЧНЫХ ЗАДАЧ
(Для специальности 230700.62 Прикладная информатика)
Методические указания
для самостоятельной работы студентов
Москва 2013
Составитель канд. техн. наук В.В. Савватеев
Варианты домашней работы по курсу «Дискретная математика» с разбором типичных задач (для гр. ПИ-31 ФПМиК). Методические указания для самостоятельной работы
студентов. /Моск. ин-т электроники и математики Национального исследовательского
университета «Высшая школа экономики». Сост. В.В. Савватеев. М., 2013. – 28 с.
Методические указания содержат 12 вариантов домашнего задания по курсу
«Дискретная математика» для студентов 2-го курса ФПМиК специальности 230700.62. На
конкретных примерах изложены способы решения этих задач. Приводятся необходимые
для выполнения задания определения и формулировки теорем.
ISBN 978-5-94506-311-2
Учебное издание
Варианты домашней работы по курсу «Дискретная математика» с разбором
типичных задач
Составитель САВВАТЕЕВ Владимир Васильевич
Редактор Е.С. Резникова
Технический редактор О.Г.Завьялова
Подписано в печать __.__.2013. Формат 60×84/16. Бумага офсетная № 2.
Печать – ризография. Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд.л. ___. Тираж 40 экз. Изд.№ 9. Заказ
.
Бесплатно.
Московский институт электроники и математики Национального исследовательского
университета «Высшая школа экономики»
109028, Москва, Б.Трехсвятительский пер., 3.
Редакционно-издательский отдел Московского института электроники и математики
Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики»
2
ПРЕАМБУЛА
В связи с инкорпорацией Московского института электроники и математики (МИЭМ) в состав Высшей школы экономики (ВШЭ), произошедшей
в 2012 году, в учебном процессе бакалавриата произошли коренные изменения, которые коснулись и преподавания дисциплины «Дискретная математика» (ДМ), опыт изложения которой давно уже был отработан в МИЭМ.
Настоящее пособие написано для бакалавров 2-го курса, изучающих этот
предмет в течение осеннего семестра. Дисиплины «Матанализ» и «Линейная
алгебра», твердое знание которых необходимо для успешного изучения ДМ,
были прослушаны студентами в рамках МИЭМ, но количество часов, отведённое бакалаврам для знакомства с матанализом, безусловно, является
слишком малым, чтобы у них возникли чёткие и осмысленные знания по
теме «Функциональные ряды». А без этой темы невозможно изложить и
обосновать понятие производящей функции, являющееся одним из центральных при изучении ДМ. Аналогичное замечание можно сделать и по
теме «Комплексные числа», изучавшейся ими в линейной алгебре: попытка
использовать их как рабочий инструмент при изучении линейных
рекуррентных уравнений показала, что у многих студентов действия с
комплексными числами вызывают большие затруднения (даже на уровне
решения квадратных уравнений). Вдобавок, при реорганизации МИЭМ в
подразделение МИЭМ НИУ ВШЭ приходится считаться с тем, что в ВШЭ
давно внедрена модульная система обучения и 10-балльная оценка знаний в
каждом модуле. Хотя формально всем группам, набор в которые делался ещё
в МИЭМ, разрешено продолжить учебный процесс по семестровой системе,
целесообразно постепенно приучать студентов к новой регламентации
учебного процесса как более современной.
Попытка излагать ДМ «как ни в чём не бывало» (точнее, как бывало во
времена, когда ещё не было набора бакалавров), то есть с аккуратным и связным изложением классических разделов ДМ, сопровождаемым полными доказательствами, хотя и была бы более привычной для лектора, но не привела
бы к достижению основной цели: обеспечить бакалавров понятным и надёжным аппаратом для изучения дальнейших дисциплин. Неприемлем также и
полный отказ от доказательств и замена их общим описанием ситуации и
рассмотрением простеньких примеров «на уровне техникума» – ведь одной
из целей бакалавриата является не только получение диплома бакалавра, но и
продолжение образования самыми сильными студентами в магистратуре.
Автор настоящего пособия, готовясь читать курс ДМ в таких «переходных» условиях, счёл целесообразным рассмотреть с полной строгостью теорему Кантора о несчётности континуума, теорию ДНФ, формулы комбинаторики, решение рекуррентных уравнений и теорему Кэли о количестве деревьев с помеченными вершинами. С такой же строгостью эти утверждения
спрашивались и со студентов (на коллоквиуме и на письменном экзамене), –
чтобы ими был усвоен эталон математической строгости и создан должный
уровень математической культуры. Прочие темы и утверждения рассматривались более описательно и закреплялись решением соответствующих
3
примеров (доступных бакалаврам, но не тривиальных). При этом была сделана попытка дать «взгляд сверху» на математику как науку, изучающую различные структуры на множествах. Соответствующие определения иногда
давались с полной строгостью, а иногда упрощённо (но с добавлением оговорки: этот вопрос более полно изучается в магистратуре). На этом уровне
удалось изложить такие понятия, как «упорядочение множества», «топологическое пространство», «гомеоморфизм», «вектор», «группа», «поле» и т.д.
– избегая загромождать память студентов этими непривычными для них терминами. Так, вместо «аксиомы поля» говорилось «9 основных свойств числовых систем», а понятие гомеоморфизма пояснялось на уровне занятия математического кружка (как преобразование точек множества «без разрезов и
без склеек»). А затем при изучении темы «теория графов» не возникало традиционной заминки при изложении формулировки теоремы Понтрягина–
Куратовского (ведь в ней идёт речь не об изоморфизме, а именно о гомеоморфизме графа и подграфа), и она легко усваивалась студентами (конечно,
без доказательства).
Большое внимание было уделено автором (который, по счастью, вёл в
группе ПИ-31 и лекции, и семинары) борьбе с неспешной «раскачкой» студентов после летних каникул, которая совершенно недопустима в условиях
модульной системы обучения. Для этого применялся метод, известный из
арабских сказок: в конце очередной лекции перед студентами ставились
задачи, которые они пока не могут решить, и говорилось, что на следующей
лекции будут сообщены методы их решения. (Например, такая тема, как
построение ДНФ, рассматривалась на лекциях трижды, пока не была изложена и усвоена на должном уровне строгости). Ещё один стандартный способ
активизировать студентов – как можно быстрее дать им на дом персональные
письменные задания и неуклонно проверять их выполнение. Есть две крайние точки зрения на письменные домашние задания студентов: 1)устная сдача заданий вообще не нужна; 2)устная сдача гораздо лучше письменной. В
организации контрольных точек эти два подхода были гармонизированы
следующим образом: семестр был разбит на два воображаемых «модуля», и
итог по первому модулю состоял из двух десятибалльных оценок: накопленной оценки и оценки за коллоквиум. Эти две оценки не складывались с весами, как подразумевается в рамках ВШЭ для настоящих модулей, а обе сообщались студентам (причём каждый знал не только свои оценки, но и оценки
своих товарищей). Коллоквиум проходил в виде сдачи 6-и основных тем, изученных в 1-м «модуле»: Тема1 «Символы теории множеств. Сравнение
мощностей»; Тема 2 «Символы и функции 2-значной логики»; Тема 3 «Метод математической индукции»; Тема 4 «Определение и построение ДНФ»;
Тема 5 «Мощность, связность, расстояние между множествами, диаметр
множества, гомеоморфизм: пояснение этих понятий и решение задач с их
использованием»; Тема 6 «Формулы комбинаторики».
По каждой из этих шести тем были составлены типовые задачи для
домашнего решения (в письменном виде, с пояснениями), и из них сформированы 12 различных вариантов. Путем незначительного изменения вариан4
тов можно легко обеспечить каждого студента группы персональным заданием. Был назначен разумный срок, в который каждый должен был сдать на
проверку хотя бы три задачи из шести. У студентов, не соблюдавших эти
сроки, уменьшалась накопленная оценка за 1-й «модуль». Студенты, правильно решившие три задачи, приглашались на коллоквиум, который проходил
на каждой неделе в часы дежурства преподавателя для консультаций (и доделывали дома оставшиеся три задачи).
Коллоквиум начинался с проверки знания основных определений (студенты, не знающие их, отправлялись их доучивать по стандартным учебникам, которые выдавались в библиотеке). Потом в присутствии преподавателя студент решал простую задачу на понимание данного понятия (более
простую, чем в домашней работе), подтверждая тем самым, что домашнее
решение им было получено самостоятельно. По Теме 3 (индукция) задача
решалась дома, а теоретически решение обосновывалось на коллоквиуме. В
общей сложности студенты-отличники получали в срок шесть «плюсов» за
решение задач дома, и шесть «плюсов» – за беседу по каждой теме на коллоквиуме. Первые 6 «плюсов» служили основой для оценки по первой контрольной работе (домашней). Некоторые не смогли сдать коллоквиум до начала
экзамена, и тогда коллоквиум «поглощался» результатом изложения теоретических вопросов по экзаменационному билету (Список из 24-х экзаменационных билетов (по 3 вопроса в каждом) сообщался студентам заранее). Если
в письменном решении приводился только ответ или рисунок без пояснений,
такая задача не засчитывалась.
Вторая контрольная (аудиторная, на 90 минут) была посвящена теории
графов и решению линейных рекуррентных уравнений (уравнения, сделанные неверно, переписывались 2-3 раза до полного понимания вопроса,
ввиду важности этой темы для математики (как известно, она же встречается
и в курсе дифференциальных уравнений)).
Для повышения эффективности обучения и контроля была успешно
использована интернет-система управления учебным процессом LMS, внедряемая в настоящее время в ВШЭ. А именно, сначала была заполнена папка
ГЛОССАРИЙ, в которую были помещены основные определения дисциплины ДМ. Затем были подготовлены ТЕСТЫ по теме «Конструирование
логических функций». Студентам регулярно сообщались текущие методические разъяснения по трудным вопросам курса (файлы с учебными материалами), происходил обмен сообщениями между студентами и преподавателем.
По теме «Перечисление деревьев» был разработан Проект 1, который успешно был выполнен большинством студентов. И, наконец, указанная выше
разветвлённая система текущего (и итогового) контроля знаний регулярно
отражалась в документе «УСПЕВАЕМОСТЬ СТУДЕНТОВ».
В результате был достигнут высокий уровень успеваемости студентов.
Из группы численностью 23 человека двое были освобождены от экзамена,
восемь человек получили оценку не ниже восьми баллов, из троих неуспевающих двое быстро пересдали оценку в 3 балла на более высокую.
Ниже приведены тексты 12-и вариантов домашней работы по ДМ.
5
Домашняя работа по дискретной математике (гр. ПИ-31)
Вариант № 1
Письменная работа к коллоквиуму
Тема 1 Доказать формулы 1) (АUВ)ПС = (АПС)U(ВПС) и 2) (АПВ)UС =
(АUС)П(ВUС), а также 3) АПВ = А\ (А\В) <где П - пересечение> и
4) АΔВ = (АUВ)\ (АПВ) . Доказать, что неверно АU(B\C) = (AUB)\ (AUC).
Доказать, что пересечение двух открытых множеств открыто. Может ли
объединение двух замкнутых множеств оказаться открытым?
Тема 2 Записать с помощью логических функций И, ИЛИ, НЕ факт принадлежности элемента универсального множества (в котором выделены множества А, В, С) 1)ко множеству АU(B\C); 2)ко множеству (АUB)\(AUC) .
Доказать, что логические функции, описывающие первое и второе множество, различны.
Тема 3 Методом математической индукции доказать, что все квадратные
матрицы, у которых по диагонали поставлены четверки (кроме самого
последнего элемента, равного двум), над диагональю и под диагональю
поставлены числа (-2), а прочие элементы нулевые, имеют не равный нулю
определитель.
Тема 4 Построить логическую функцию (дизъюнктивную нормальную
форму), которая выделяет среди чисел 0,1,2,…, 31 точные кубы чисел.
Тема 5 Написать определение, что называется расстоянием между двумя
множествами на плоскости. Найти расстояние от множества x/5 + y/7 = 1
до множества x2 + y2 = x + y (ответ обосновать вычислениями).
Тема 6 Решить уравнения (одно из них может не иметь решений, но это надо
доказать или проверить):
1) (Число сочетаний с повторениями из пяти элементов по «х»
элементов) = 126 C5 х (то есть сочетаний с повторениями в 126 раз больше,
чем сочетаний без повторений)
2) C4+х 4 = 621 C5 х .
Домашняя работа по дискретной математике (гр. ПИ-31)
Вариант № 2
Письменная работа к коллоквиуму
Тема 1 Доказать, что объединение семейства множеств Ai , пересеченное со
множеством В, равно объединению пересечений каждого из Аi с В (для
счетного семейства множеств на плоскости). Доказать, что А\ (В\ С) = (А\ В)
U (AПС). Доказать, что неверно A\ (BUC) = (A\ B)U(A\ C). Доказать, что
пересечение двух замкнутых множеств замкнуто. Может ли объединение
двух замкнутых множеств на плоскости оказаться открытым ? (Подсказка:
вся плоскость является и открытой, и замкнутой одновременно)
6
Тема 2 Записать с помощью логических функций И, ИЛИ, НЕ факт
принадлежности элемента универсального множества У (в котором
выделены множества А, В, С) ко множеству АU(BUC) и ко множеству
(АUB)П(AUC) . (П – пересечение). <Рассмотреть У в виде всех двоичных 6разрядных наборов и задать некоторые конкретные подмножества этих
наборов, называемые А,В,С. Рассмотреть функции fA , fB , fC от шести
двоичных переменных, равные 1 («истина») только для наборов,
принадлежащих заданным А, В, С> .
Тема 3 Методом математической индукции доказать, что все квадратные
матрицы, у которых по диагонали поставлены четверки (кроме самого
последнего элемента, равного двум), над диагональю и под диагональю
поставлены числа (-2), а прочие элементы нулевые, имеют положительный
определитель.
Тема 4 Построить логическую функцию (дизъюнктивную нормальную
форму), которая выделяет среди чисел 0,1,2,…, 15 числа, делящиеся на пять.
Тема 5 Написать определение, что называется расстоянием между двумя
множествами на плоскости. Найти расстояние от множества |x|/5 + |y|/7 = 1
до множества x2 + y2 = 1 (ответ обосновать вычислениями).
Тема 6 Решить уравнения (одно из них может не иметь решений, но это надо
доказать или проверить):
1) Количество костей в х-домино равно 99х. Чему равно «х» ?
2) 2 C4+х 4 = 7 C5 х .
Домашняя работа по дискретной математике (гр. ПИ-31)
Вариант № 3
Письменная работа к коллоквиуму
Тема 1 Даны множества А,В,С. С помощью изученных операций записать
множество элементов, принадлежащих к 1)всем трем множествам; 2)по
крайней мере двум из них; 3)любым двум из них, но не всем трем. Доказать,
что не всегда верно равенство: А Δ (ВΔС) = (АΔВ) Δ (АΔС).
На плоскости взято множество всех точек с рациональными координатами, которые (обе координаты) лежат в пределах от 2 до 3. Что является
границей этого множества?
Тема 2 Записать с помощью логических функций И, ИЛИ, НЕ функцию
«Разделяющее ИЛИ». <Рассмотреть универсум У в виде всех двоичных 6разрядных наборов и задать некоторые конкретные подмножества этих
наборов, называемые А и В. Рассмотреть функции fA , fB от шести двоичных
переменных, равные 1 («истина») только для наборов, принадлежащих
заданным А, В> .
Тема 3 Методом математической индукции доказать, что 1 + 3 + 5 + 7 + … +
+(2n-1) = n2.
7
Тема 4 Построить логическую функцию (дизъюнктивную нормальную
форму), которая выделяет среди чисел 0,1,2,…, 7 нечетные числа.
Тема 5 Написать определение, что называется расстоянием между двумя
множествами на плоскости. Найти расстояние от множества x2 + y2 = 10 до
множества x2 + y2 = x + y (ответ обосновать вычислениями).
Тема 6 Решить уравнения (одно из них может не иметь решений, но это надо
доказать или проверить):
1) х! = 40320х . Чему равен «х»?
2) C4+х 4 = 14 C5 х .
Домашняя работа по дискретной математике (гр. ПИ-31)
Вариант № 4
Письменная работа к коллоквиуму
Тема 1 Пусть Га – множество точек графика функции y = x–a, где
0<x<бесконечности. Нарисовать множество: 1)Пересечение всех Га , где
а >=1; 2)Объединение всех Га , где а >=1; 3) Га Δ Гb , где a > b > 0.
Может ли пересечение двух множеств быть границей каждого из них?
Указание. Попробуйте взять множества, лежащие по разные стороны от
границы в виде окружности.
Тема 2 Записать с помощью логических функций И, ИЛИ, НЕ функцию
«ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ».
Тема 3 Методом математической индукции доказать, что 12 + 32 + 52 + 72 +
… + (2n-1)2 = … <догадайтесь сами, что тут за формула, добавив к левой
части квадраты всех четных чисел от 2 до 2n>.
Тема 4 Построить логическую функцию (дизъюнктивную нормальную форму), которая выделяет среди чисел 0,1,2,…, 31 квадраты простых чисел.
Тема 5 Написать определение, что называется прямым произведением трех
множеств А, В, С. Пусть А – бесконечная полоса на плоскости, а именно: 5<
x+y<6; В – отрезок длины 2, С – три точки на оси «х» с координатами -10, 0,
10. Как Вы представляете себе АхВхС ?
Тема 6 Решить задачи (одна из них может не иметь решений, но это надо
доказать или проверить):
1) 28 [x!(3x)!] = (4x)! Чему равен «х»?
2) Выписаны все 6-значные комбинации цифр 0,1,2, … ,9. Сколько раз в
них встречается 8?
Домашняя работа по дискретной математике (гр. ПИ-31)
Вариант № 5
Письменная работа к коллоквиуму
Тема 1 Доказать, что для любых множеств А,В,С верны равенства:
8
1)(АПВ)\С = (А\С) П (В\С); 2)(А\В)\С = (А\С) \ (В\С). Проверить, что такое
равенство не всегда верно: А Δ (В\С) = (АΔВ) \ (АΔС).
На плоскости взято объединение всех окружностей, у которых обе
координаты каждой их точки лежат в пределах от 2 до 3. Что является
границей множества, состоящего из всех точек всех этих окружностей?
Тема 2 Построить таблицу истинности для следующей логической функции
4-х переменных: x13x3۞ x4x22, где ۞ означает сложение по модулю 2.
Тема 3 Методом математической индукции доказать, что Сn17 = Cn-117 + Cn-116
для n = 18,19,20, … .
Тема 4 Построить логическую функцию (дизъюнктивную нормальную
форму), которая выделяет среди чисел 0,1,2,…, 127 числа 13 и 66.
Тема 5 Написать определение, что называется расстоянием между двумя
множествами на плоскости. Найти расстояние от множества x – y = 16 до
множества x2 + y2 = x + y (множества нарисовать; ответ обосновать
вычислениями).
Тема 6 Решить уравнения (одно из них может не иметь решений, но это надо
доказать или проверить):
1) х! = 2х . Чему равен «х»? (Указание: покажите, что при х>5 левая
часть больше правой).
2) С7 x + C2x 7= 141.
Домашняя работа по дискретной математике (гр. ПИ-31)
Вариант № 6
Письменная работа к коллоквиуму
Тема 1 Верно ли, что АΔВ = (AUB) \ (AПВ) ? Для множеств А,В,С доказать:
если С = АΔВ , то АΔС = В. Проверить, что А\ (ВΔС) не обязательно равно
(А\В) Δ (А\С). На прямой взято множество всех точек с рациональными
координатами, которые лежат в пределах от 2 до 3. Что является границей
дополнения этого множества? А что является дополнением этой границы?
Тема 2 Написать таблицы истинности для «штриха Шеффера» и «стрелки
Пирса» (см. задачник Гаврилова и Сапоженко). Является ли вторая из них
инверсией по отношению к первой? Какой из изученных функций равна
сумма этих функций по модулю 2?
Тема 3 Методом математической индукции доказать, что (1 + 1/1) + (3 + 1/3)
+ (5 + 1/5) + (7 + 1/7) + … + [(2n-1)+1/(2n-1)] > n2+(1/n2) , начиная с
некоторого места. Уточнить, с какого именно места.
Тема 4 Построить логическую функцию (дизъюнктивную нормальную
форму), которая выделяет среди чисел 0,1,2,…, 127 простые числа p в
интервале от 30 до 50.
Тема 5 Написать определение, что называется расстоянием между двумя
множествами на плоскости. Найти расстояние от множества x2 + y2 = 10 до
9
множества |x| + 2|y| = 2 (множества нарисовать; ответ обосновать
вычислениями).
Тема 6 Решить задачи (одна из них может не иметь решений, но это надо
доказать или проверить):
1) х! = 120 + 13400(х-5). Чему равен «х»? (Указание. 9! = 362880).
2) Записаны в столбец трехзначные группы десятичных цифр от 000 до 499
включительно (получились последовательные числа от 0 до 499), а ниже
записали те же группы, но цифры изменены в зеркальном отражении
относительно средней цифры (то есть вместо 421 записано 124, вместо 220
записано 022, и т.д. Получилось 1000 чисел. Найти их сумму.
Домашняя работа по дискретной математике (гр. ПИ-31)
Вариант № 7
Письменная работа к коллоквиуму
Тема 1 Пусть Га – множество точек графика функции y = x–a, где
0<x<бесконечности. Нарисовать множество: (Га Δ Гb) Δ Гc , где a,b,c –
различные числа. Верно ли для множеств А,В,С, что А Δ (ВПС) = (АΔВ) П
(АΔС) ? (П – пересечение).
Множество А состоит из точек кривой x4 + y4
= 1, В – из точек кривой x2 + y2 = a2 . При каких «а» эти кривые пересекаются? Может ли пересечение состоять из восьми точек?
Тема 2 Записать с помощью логических функций И, ИЛИ, НЕ функцию
(x|y)V(y۞z), где | и ۞ – «штрих Шеффера» и «стрелка Пирса»(в нестандартном изображении); см. задачник Гаврилова и Сапоженко.
Тема 3 Методом математической индукции доказать, что 12 + 22 + 32 + 42 +
… + (2n+1)2 = (n+1)(2n+1)(4n+3)/3. <Обратите внимание: при n=0 сумма в
левой части состоит из одного слагаемого, при n=1 – из трех слагаемых, при
n=2 – из пяти, и так далее>.
Тема 4 Построить логическую функцию (дизъюнктивную нормальную
форму), которая выделяет среди чисел 0,1,2,…, 7 четные числа (в том числе и
нуль).
Тема 5 Написать определение, что называется расстоянием между двумя
множествами на плоскости. Найти расстояние от множества x2 + y2 = 10 до
множества x2 + y2 = 2x + 4y (множества нарисовать; ответ обосновать
вычислениями).
Тема 6 Решить уравнения (одно из них может не иметь решений, но это надо
доказать или проверить):
1) х! = 3x – 9 . Чему равен «х»?
2) C4+х х = 0,5 C2х х .
10
Домашняя работа по дискретной математике (гр. ПИ-31)
Вариант № 8
Письменная работа к коллоквиуму
Тема 1 Пусть Га – множество точек графика функции y = е –ах, где -1 =< x <
бесконечности. Нарисовать множество: 1)Пересечение всех Га , где а >= 1;
2)Объединение всех Га , где а >= 1; 3) Га Δ Гb , где a > b >0. Доказать, что
равенство неверно: A Δ (BUC) = (AΔB) U (AΔC). Множество А состоит из
длин сторон некоторого треугольника (в сантиметрах), а множество В – из
значений его углов (в градусах). Оба множества состоят из трех элементов
(трех чисел; они все разные, т.к. если бы какие-то два были равны, то
элементов множества было бы не три, а меньше) . Могут ли множества А, В
совпадать? (Можно решить более простую задачу: треугольники берем
только равнобедренные, а оба множества состоят из двух элементов)
Тема 2 Записать с помощью логических функций И, ИЛИ, НЕ функцию
(x|y)V(yz), где | – «штрих Шеффера»; см. задачник Гаврилова и Сапоженко.
Тема 3 Студент пытался методом математической индукции доказать, что
12 + 22 + 32 + 42 + … + (2n+1)2 = (n+1)(2n+1)(4n+1)/2, но не смог, потому что
формула справа неверна. Доказать тем же методом индукции, что с
некоторого места эта формула превосходит левую часть более, чем на 100
единиц.
Тема 4 Что такое «полином Жегалкина»? Что такое квадратичная функция
Жегалкина? (см. задачник Гаврилова и Сапоженко). Решить уравнение
x1۞x1x2 = ЛОЖЬ (восьмиугольник означает сложение по модулю 2).
Тема 5 Написать определение, что называется четырехмерным кубом. А
пятимерным кубом? Найти в обоих случаях количество вершин, количество
рёбер, а для 4-куба найти также количество квадратных граней.
Тема 6 Найти общее количество очков на костях 17-домино. Делится ли это
число на 17? <обычное домино – это 7-домино>
Домашняя работа по дискретной математике (гр. ПИ-31)
Вариант № 9
Письменная работа к коллоквиуму
Тема 1 Пусть Гk – множество точек графика функции y = kx2, где -2 < x <
бесконечности. Нарисовать множество: 1)Пересечение всех Га , где а >= 1;
2)Объединение всех Га , где а >= 1; 3) Га Δ Гb , где a >b>0. На плоскости
дана окружность x2 + y2 = 1. Множество W состоит из точек, лежащих внутри
этой окружности или на ней самой. Множество N состоит из всех точек
плоскости, не лежащих строго внутри данной окружности. Чему равна
симметричная разность множеств W и N ?
11
Множество А состоит из длин сторон некоторого равнобедренного
треугольника (в сантиметрах), а множество В – из значений его углов (в
градусах). Оба множества состоят из двух разных элементов (двух чисел) .
Могут ли эти два числовых множества совпадать? <Учтите, что правильный
треугольник не называют равнобедренным>.
Тема 2 Что такое функция? Что такое логическая функция логического
переменного? Пояснить, почему общее количество логических функций от
трех логических переменных равно 256.
Тема 3 Студент пытался методом матиндукции доказать, что 12 + 22 + 32 + 42
+ … + n2 = 3n3 – 2, но не смог, потому что формула справа неверна. Доказать
тем же методом индукции, что с некоторого места эта формула превосходит
левую часть более, чем на 100 единиц.
Тема 4 Прочесть в задачнике Гаврилова и Сапоженко про метод неопределенных коэффициентов для нахождения многочлена Жегалкина, и решить
задачу: логическая функция f(x1,x2,x3) принимает значения (01101000) для
восьми возможных наборов двоичных значений, расположенных в естественном порядке. Записать ее в виде многочлена Жегалкина A+B x1+C x2+
+D x3+E x1x2 +F x2x3+G x3x1+H x1 x2 x3 .
Тема 5 Написать определение, что называется четырехмерным кубом. Найти
расстояние между множеством вершин 3-куба {0<x<1, 0<y<1, 0<z<1} и
множеством вершин 2-куба {7, 5<y<7, 5<z<7} (оба куба лежат в 3-мерном
пространстве; 2-куб – это фактически квадрат).
Тема 6 Трамвайные билеты имеют 4-значные номера от 0000 до 9999 (всего
10000 разных билетов). Билет принято называть «счастливым», если сумма
первых двух цифр его номера равна сумме оставшихся двух цифр.
Подсчитать общее количество «счастливых билетов» (или хотя бы ответить
с обоснованием, будет ли их количество больше, чем 50).
Домашняя работа по дискретной математике (гр. ПИ-31)
Вариант № 10
Письменная работа к коллоквиуму
Тема 1 Пусть Гk – множество точек графика функции y = kx3, где -2 < x <
бесконечности. Нарисовать множество: 1)Пересечение всех Га , где а >= 1;
2)Объединение всех Га , где а >= 1; 3) Га Δ Гb , где a >b>0.
На плоскости дана парабола x2 + y = 1. Множество W состоит из точек,
лежащих внутри этой параболы или на ней самой. Множество N состоит из
всех точек плоскости, не лежащих строго внутри данной параболы. Чему
равна симметричная разность множеств W и N ?
Множество А состоит из длин сторон некоторого равнобедренного
треугольника (в сантиметрах), а множество В – из значений его углов (в
градусах). Оба множества состоят из двух разных элементов (двух чисел) .
Могут ли эти два числовых множества пересекаться по одному из
12
элементов? <Учтите, что правильный треугольник не называют равнобедренным>.
Тема 2 Что такое функция? Что такое логическая функция логического
переменного? Пояснить, почему общее количество логических функций от
четырех логических переменных равно 216.
Тема 3 Студент пытался методом математической индукции доказать, что
12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 = 3n2 – 2, но не смог, потому что формула справа
неверна. Доказать тем же методом индукции, что с некоторого места эта
формула будет меньше, чем левая часть.
Тема 4 Прочесть в задачнике Гаврилова и Сапоженко про метод неопределенных коэффициентов для нахождения многочлена Жегалкина, и решить
задачу: логическая функция f(x1,x2,x3) принимает значения (01101100) для
восьми возможных наборов двоичных значений, расположенных в
естественном порядке. Записать ее в виде многочлена Жегалкина A+B x1+
C x2+D x3+E x1x2 +F x2x3+G x3x1+H x1 x2 x3 .
Тема 5 Написать определение, что называется четырехмерным кубом. Найти
расстояние между множеством вершин 3-куба {0<x<2, 0<y<2, 0<z<2} и
множеством вершин 2-куба {7, 5<y<7, 0<z<7} (оба куба лежат в 3-мерном
пространстве; 2-куб – это фактически квадрат).
Тема 6 Трамвайные билеты имеют 4-значные номера от 0000 до 6666 (всего
6667 разных билетов). Билет принято называть «счастливым», если сумма
первых двух цифр его номера равна сумме оставшихся двух цифр.
Подсчитать общее количество «счастливых билетов» (или хотя бы ответить
с обоснованием, будет ли их количество больше, чем 40).
Домашняя работа по дискретной математике (гр. ПИ-31)
Вариант № 11
Письменная работа к коллоквиуму
Тема 1 Пусть Гk – множество точек графика функции y = k|x|, где -2 < x <
бесконечности. Нарисовать множество: 1)Пересечение всех Га , где а >= 1;
2)Объединение всех Га , где а >= 1; 3) Га Δ Гb , где a >b>0. На плоскости
дан квадрат |x| +|y| = 1. Множество W состоит из точек, лежащих внутри
этого квадрата или на нем самом. Множество N состоит из всех точек
плоскости, не лежащих строго внутри данного квадрата. Чему равна
симметричная разность множеств W и N ? И чему равно N \ W ?
Множество А состоит из длин сторон равнобедренного треугольника с углом
при вершине 45 градусов (в сантиметрах), а множество В – из значений его
углов (в градусах). Оба множества состоят из двух разных элементов (двух
чисел) . Могут ли эти два числовых множества пересекаться по одному из
элементов? <Учтите, что правильный треугольник не называют равнобедренным>.
13
Тема 2 Что такое функция? Чем отличается «образ» от «прообраза»?
Пояснить, почему общее количество логических функций от четырех
логических переменных превышает число 24.
Тема 3 Студент пытался методом математической индукции доказать, что
12 + 22 + 32 + 42 + … + n2 = 300n2 – 299, но не смог, потому что формула
справа неверна. Доказать тем же методом индукции, что с некоторого места
эта формула будет меньше, чем левая часть.
Тема 4 Прочесть в задачнике Гаврилова и Сапоженко про метод неопределенных коэффициентов для нахождения многочлена Жегалкина, и решить
задачу: логическая функция f(x1,x2,x3) принимает значения (01101100) для
восьми возможных наборов двоичных значений, расположенных в естественном порядке. Можно ли записать ее в виде многочлена Жегалкина A+B
x1+C x2+D x3?
Тема 5 Написать определение, что называется четырехмерным кубом. Найти
расстояние между множеством вершин 3-куба {0<x<20, 0<y<20, 0<z<20} и
множеством вершин 2-куба {5, 5<y<7, 0<z<7} (оба куба лежат в 3-мерном
пространстве; 2-куб – это фактически квадрат).
Тема 6 Трамвайные билеты имеют 4-значные номера от 0000 до 5555 (всего
5556 разных билетов). Билет принято называть «счастливым», если сумма
первых двух цифр его номера равна сумме оставшихся двух цифр.
Подсчитать общее количество «счастливых билетов» (или хотя бы ответить
с обоснованием , будет ли их количество больше, чем 40).
Домашняя работа по дискретной математике (гр. ПИ-31)
Вариант № 12
Письменная работа к коллоквиуму
Тема 1 Множество А состоит из всех точек окружности x2 + y2 = 16,
множество В – из всех точек окружности (x-4)2 + y2 = 4, множество С – из
всех точек (x-6)2 + y2 = 1. Нарисовать на одном чертеже разными цветами:
A, B, C, (АПВ)U( ВПС)U( СПА) <П = пересечение>; на другом чертеже:
(АΔВ)ΔС и АΔ(ВΔС). Доказать, что каждая точка множества С – граничная
(в этой задаче «Универсум» - это все точки плоскости)
Тема 2 При каких двоичных А,В,С логическая функция (A+B x1+C x2)( x1+x3)
равна логической функции max (x1,х2,х3) ? Указание. Исходная функция –
многочлен Жегалкина (подразумевается, что сложение выполняется по модулю 2;
знак конъюнкции опущен). Функция max (x1,х2,х3) тоже может быть выражена через
многочлен Жегалкина, но он может быть не такого вида, как исходная функция.
(Тогда у этой задачи нет решения).
Тема 3 Доказать методом математической индукции, что начиная с n = –2
(n-1)n(n+1)(n+2) + 1 = (n2+n – 1)2 . (Случай n< -2 не исследовать).
Тема 4 Найти ДНФ для логической функции (x|y)۞(y|z)۞(z|w), где ۞ = «сумма
по модулю 2».
14
Тема 5 Найти расстояние от «ковра Серпинского», нижний край которого
находится на оси иксов на участке -3 < x < 3, до «канторова множества»,
построенного на отрезке [0;π] и затем поднятого над осью иксов на 10 единиц.
Одинаковы ли мощности этих множеств?
Тема 6 Проверить, что полное количество граней 4-мерного куба, включая сюда
и сам этот куб, равно 34.
Структура и особенности курса дискретной математики, разработанного и прочитанного доц. Савватеевым В.В. на факультете прикладной математики и кибернетики МИЭМ НИУ ВШЭ в осеннем семестре
2012/13 учебного года, отражены в Преамбуле (стр.3). Автор выражает
искреннюю благодарность Бурдюковой Е.В. за постоянную помощь в
освоении системы LMS.
ПОЯСНЕНИЯ К ОПРЕДЕЛЕНИЯМ И ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ВОПРОСАМ КУРСА
1.Два бесконечных множества называются равномощными, если между элементами этих множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие (в.о.с.).
Это определение отнюдь не исключает, что можно также установить
в.о.с. между элементами одного из этих множеств и элементами некоторой
части другого множества. В качестве примера можно взять расселение
жильцов в «Космической гостинице со счётным количеством номеров» (см.
лекцию 1).
2.Как это ни странно, мощность множества всех точек на числовой оси
(бесконечной в обе стороны) равна мощности точек всех точек на отрезке
[0,1] (это доказано в лекции 1). Каждая из этих мощностей называется
«континуумом». Множество [0,1] в лекциях принято в качестве стандартного примера континуума, а всех точек на оси – нестандартного.
3.Множество всех рациональных точек на числовой оси равномощно
множеству чисел 1, 2, 3, 4, … , хотя интуитивно «чувствуется», что второе
составляет лишь весьма малую «часть» первого. Для доказательства этого на
лекциях все рациональные числа m/n (где m-целое, n-натуральное) были записаны в матрице с бесконечным числом строк и бесконечным числом столбцов и затем пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, … . Множество 1, 2, 3, 4, …
обычно считается стандартным примером счётного множества.
4.Множество А имеет мощность больше, чем множество В, если можно установить в.о.с. между В и А (или частью множества А), но нельзя
установить в.о.с. между А и В (или частью множества В).
Математик Г. Кантор придумал метод («метод диагональной нумерации Кантора»), позволяющий строить множества всё большей и большей
мощности. Им также доказана очень важная теорема (см. ниже).
5.Теорема Кантора. Кантор сумел строго логически доказать (методом
«от противного»), что мощность стандартного континуального множества
15
БОЛЬШЕ мощности стандартного счётного множества. Основные этапы
доказательства:
а)Каждая точка на [0,1] изображается в виде бесконечной двоичной
дроби вида 0,abcdef… , где каждая из этих латинских букв равна либо 0,
либо 1, причём в этой дроби ни с какого места после 0, стоящего после
запятой, не следуют сплошные единицы. Разным точкам соответствуют
разные дроби, а разным дробям – разные точки. (Очевидно, что 0 = 0,00000…
и 1 = 0,11111… ).
б)Допустим «от противного», что множество двоичных дробей, указанное выше, можно перенумеровать числами 1, 2, 3, 4, … . Тогда континуум
оказался бы равномощен счётному множеству. Это сейчас приведёт нас к
противоречию.
в)Рассмотрим матрицу, бесконечную вправо и вниз. В первой её строке
запишем дробь, нумерованную числом «1». Во второй – дробь,
нумерованную числом «2». ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: не следует считать, что
две точки, соответствующие этим двум дробям, расположены «рядом» на
[0,1]. В 3-й строке запишем дробь, которой достался номер «3», и так далее
без конца. Так мы учтём все до единой дроби, то есть все до единой точки на
отрезке [0,1].
г)Опираясь на уже упомянутый «диагональный процесс Кантора»,
начнём строить дробь, которая наверняка не входит в эту бесконечную
матрицу. А именно, посмотрим, какая цифра (нуль или один) оказалась на
1-м месте после запятой в первой строке матрицы, и возьмём ОТЛИЧНУЮ
ОТ НЕЕ ЦИФРУ. Затем посмотрим, какая цифра (нуль или один) оказалась
на 2-м месте после запятой во второй строке матрицы, и возьмём ОТЛИЧНУЮ ОТ НЕЕ ЦИФРУ. Затем посмотрим, какая цифра (нуль или один)
оказалась на 3-м месте после запятой в третьей строке матрицы, и возьмём
ОТЛИЧНУЮ ОТ НЕЕ ЦИФРУ (и так далее до бесконечности). Постепенно у
нас получится дробь, отличная от любой дроби, записанной в матрице. Но
можно ли использовать эту «от всех отличающуюся» дробь для изображения
чисел на отрезке [0,1]? А что, если в этой дроби, как назло, после какого-то
нуля следуют сплошь одни единицы? Тогда она не годится как пример для
завершения доказательства от противного.
д)К счастью, эту трудность можно преодолеть, если использовать не
двоичную, а любую другую позиционную систему счисления для изображения чисел на отрезке от 0 до 1. Например, десятичную! Тогда можно
придумать очень и очень много десятичных дробей, отличных от всех чисел,
записанных по строкам бесконечной матрицы. И одна из них обязательно
будет такой, что в ней ни с какого места после нуля не идут сплошные… <не
подумайте, что единицы!> …сплошные девятки. (То есть самые старшие
цифры этой системы счисления). Полученная дробь противоречит нашему
исходному предположению, значит, точки отрезка от 0 до 1 никаким
способом не удастся перенумеровать.
16
6.В то, что будет сказано ниже, очень трудно поверить, но это ТАК.
Рассмотрим два точечных множества: А (состоит из одной точки) и В
(состоит из всех точек числовой оси). Они не равномощны, так как А –
конечное множество, а В – бесконечное (а именно, континуальное).
Изобразим точечные множества А и В на плоскости и через каждую точку
каждого из множеств проведём бесконечный в обе стороны перпендикуляр к
плоскости. Получилось два новых множества: вместо А – бесконечная в обе
стороны прямая (мощность её точек континуальна), вместо В – плоскость.
Эти два новых множества РАВНОМОЩНЫ. Но доказательство этого факта
не следует включать в программу для бакалавров. Хотя знать его очень
полезно для правильной ориентации в мире математики.
7.Стало быть, и множество всех действительных чисел, и множество
всех комплексных чисел имеют мощность континуума.
8.На этом не кончаются чудеса в мире математики. Известный польский математик В. Серпинский придумал КОВЕР СЕРПИНСКОГО, затмевающий по своим свойствам все сказочные ковры-самолёты.
Начнем со множества точек на квадрате {0<=x<=1, 0<=y<=1}. Это –
замкнутое множество континуальной мощности, и площадь его равна единице. Мысленно разобьём этот «ковёр» на 9 равных квадратов со сторонами,
параллельными осям координат.
Теперь «вырежем» центральный квадрат площади 1/9, но точки его
границы оставим. Остальные квадратики мы тоже не пощадим. Каждый из
них аналогичным образом разрежем на 9 равных более мелких квадратиков
(площадь каждого из них, очевидно, равна 1/81), после чего из каждого из
восьми оставшихся квадратиков «вырежем» центральную часть, но точки их
границ оставим. Итого из квадрата площади 1 выкинуты девять кусков
суммарной площади 1/9 + 8/81. Дальше этот процесс вырезания всё более
мелких кусков (с оставлением точек границы) продолжим до бесконечности.
Вся выкинутая из квадрата площадь будет выражаться суммой бесконечно
убывающей геометрической прогрессии 1/9 + 8/81 + 64/729 + 512/6561 + … .
Легко видеть, что это число равно 1.
В результате получится такой вот невообразимый «ковёр»:
1.Это - замкнутое множество.
2.Около любой его точки (как угодно близко к ней) можно найти как
выкинутую из исходного ковра точку, так и невыкинутую из него.
3.Площадь этого множества РАВНА НУЛЮ. В самом деле, сумма
площадей всех выкинутых кусков равна единице.
4.Несмотря на равную нулю площадь, мощность «ковра Серпинского»
равна континууму. Это видно уже из того, что отрезок оси иксов от
0 до 1 никак не пострадал при бесконечном процессе вырезания кусков, а
ведь мощность этого отрезка уже равна континууму.
17
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ по темам 1,2,3,4,5,6
И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ (домашняя контрольная работа)
Тема 1
При первом знакомстве с множествами рекомендуется элементы
множеств представлять себе в виде точек, а сами множества – в виде фигур
на плоскости, состоящих из этих точек (например, кругов вместе с их
граничными точками). Простейшие формулы, выведенные с помощью такого
подхода, оказываются верными и для более сложных множеств – например,
множество М всех непрерывных функций на отрезке от 0 до 1 и множество К
всех ограниченных функций на том же отрезке. Верно ли, что М – подмножество К? ВЕРНО, так как любая непрерывная на отрезке функция является
ограниченной, а обратное неверно. Значит, в «точечном» изображении надо
рисовать фигуру, изображающую М, внутри фигуры, изображающей К. Если
те же множества рассматривать не на отрезке, а на интервале от 0 до 1, М не
будет подмножеством К, и фигуры для них надо рисовать по-другому.
Любой треугольник даёт нам пример двух конечных числовых множеств С и Р, состоящих из длин его сторон в сантиметрах и величин его
углов в градусах. Вообще говоря, в С и в Р имеется 3 элемента, но их может
быть 2 и даже 1. Интересен вопрос: в каких случаях С и Р совпадают?
Например, если треугольник был равнобедренным (но не правильным), и С, и
Р содержат по ДВА элемента. А может ли объединение С и Р в этом случае
иметь тоже ровно ДВА элемента? Небольшое исследование с помощью
теоремы синусов показывает, что тогда косинус угла при вершине обязан
быть равен 60 градусов, то есть треугольник обязательно будет ПРАВИЛЬНЫМ. То есть объединение С и Р не может иметь ровно два элемента,
но может иметь ровно один. (Треугольник со сторонами 60, 60 и 60 см).
Рассмотрим теперь задачу из варианта 7. «Множество А состоит из
точек кривой x4 + y4 = 1, В – из точек кривой x2 + y2 = a2 . При каких «а» эти
кривые пересекаются? Может ли пересечение состоять из восьми точек?».
Так как А имеет форму квадратного блюдечка со скруглёнными краями, а В –
это окружность, то, конечно, такое может быть. Более интересно, что при
надлежащем выборе «а» точки пересечения образуют ПРАВИЛЬНЫЙ 8угольник. (Эту задачу можно предложить бакалаврам с «замахом на магистратуру»).
Задачи на нахождение граничных точек достаточно решать для точечных множеств на плоскости. Например: «Может ли граница счётного множества иметь мощность континуума?» . Границу множества можно определить
как множество таких точек, в любой окрестности которых имеются как точки
ИЗ этого множества, так и «ЧУЖИЕ» для него точки. Множество всех точек
на плоскости с рациональными координатами, как известно, является счётным. В то же время ВСЕ точки плоскости являются для него граничными. А
плоскость имеет континуальную мощность.
Задача из вар. 10: «На плоскости дана парабола x2 + y = 1. Множество
W состоит из точек, лежащих внутри этой параболы или на ней самой.
Множество N состоит из всех точек плоскости, не лежащих строго внутри
18
данной параболы. Чему равна симметричная разность множеств W и N ?».
Эту задачу надо категорически требовать РЕШИТЬ В УМЕ. Тогда некоторые и вправду решат её в уме. (Остальные – на бумаге). Ответ: WΔN = {все
точки плоскости, кроме точек, лежащих на параболе}.
Тема 2
Основные определения объектов 2-значной логики (в том числе строгое
определение ДНФ) студентам надо прочесть по Главе 1 задачника Гаврилова
и Сапоженко (и читать до тех пор, пока не станет понятно). Задачник славен
тем, что читать его – всё равно что продираться через густую колючую изгородь. Но этим-то он и хорош для бакалавров, привыкших к школьному
разжёвыванию материала.
Задача из вар.12: «При каких двоичных А,В,С логическая функция
(A+B x1+C x2)( x1+x3) равна логической функции max (x1,х2,х3) ?»
Перебираем восемь различных возможных наборов для коэффициентов
А,В,С: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Ясно, что первый из них не годится.
Взяв второй, получим многочлен x2( x1+x3), который для 1(1+1) равен нулю по
модулю 2 – значит, это не может быть max (x1,х2,х3). И так далее до победного
конца. (Этот пример как бы является ТРЕНАЖЁРОМ по действиям с двоичной
логикой).
Задача из вар.6: «Написать таблицы истинности для «штриха
Шеффера» и «стрелки Пирса» (см. задачник Гаврилова и Сапоженко).
Является ли вторая из них инверсией по отношению к первой?» Другими
словами, верно ли, что отрицание стрелки Пирса даёт штрих Шеффера?
КОНЕЧНО, НЕТ. И это видно сразу… если студент знает, что такое таблицы
истинности.
Из варианта 9: «Пояснить, почему общее количество логических функций от трех логических переменных равно 256». Потому, что так говорит
формула «Два в степени два в степени эн». А пояснения даны в задачнике
ГС. Для лучшего усвоения вопроса на коллоквиуме можно спросить у
студента, как всё это выглядит для ТРЁХЗНАЧНОЙ логики.
Тема 3
Индукция только тогда будет хорошо усвоена, когда каждый студент
решит свою «личную» задачу. Так как математическую индукцию в школе не
изучают, студентам была роздана следующая «листовка».
Метод Математической Индукции
Метод математической индукции (ММИ) позволяет сразу доказать
счетное количество однотипных теорем. Пример. Доказать, что при всех
натуральных “n” (n+1) + (n+2) + (n+3) + … +(3n) = n(4n+1) (1). Беря для
примера n=4, видим, что левая часть равна 5+6+7+8+9+10+11+12, правая
часть равна 4*17. Легко убедиться, что эти числа равны. Попытаемся
теперь сделать переход от “ n” к “n+1”, что позволило бы нам переходить
от 4 к 5, затем от 5 к 6, и так далее до бесконечности. Поменяем в формуле
(1) всюду “n” на “n+1” и получим
(n+2) + (n+3) + (n+4) + … +(3n+3) =
19
(n+1)(4n+5) (2). Вычтем из равенства (2) равенство (1), чтобы узнать, какая
часть сильнее изменилась при переходе от “ n” к “n+1” – левая или правая.
Если формула (1) действительно справедлива, то левая и правая части при
любом “n” будут изменяться одинаково. Но разность новой и старой левой
части равна (3n+3) + (3n+2) + (3n+1) – (n-1), что дает 8n+5. Разность новой и
старой правой части равна (n+1)(4n+5) – n(4n+1) = 4n2 + 9n + 5 – 4n2 – n.
Доказательство завершено успешно – слева и справа разности одинаковы.
Итак, с помощью ММИ (состоящего из двух шагов – начального шага
индукции и перехода от n к n+1) мы доказали формулу (1) начиная с n=4 и
для всех более поздних n. Если бы мы догадались начать проверку не с n=4 ,
а сразу с n=1, то задача была бы полностью завершена. Но если бы мы
попробовали взять n=0, нас ждал бы неприятный сюрприз: справа получается
нуль, а слева положительные числа. Так что начинать ММИ можно не с
каждого n. А если вообще забыть сделать первый шаг ММИ, вас может
ждать более крупная неприятность. Например, вы сможете «доказать» с помощью ММИ такую (заведомо неверную!) теорему: ВСЕ НАТУРАЛЬНЫЕ
ЧИСЛА БОЛЬШЕ ТЫСЯЧИ. В самом деле, для нее переход от n к n+1
очевиден: если верно неравенство n>1000, то верно n+1 > 1001 (значит, и
подавно будет n+1 > 1000). Остался пустячок: проверить, что 1 > 1000. Но
вот его-то проверить и не удастся.
Бывает и наоборот: при n=1 (и даже при 2,3,4 и многих других)
утверждение выполняется, но переход от n к n+1 сделать никак не удается.
В таком случае надо задуматься над вопросом: а может, утверждение
неверно? Пример. Решить неравенство 100n4 > 0,001 en . При n=1,2,3,4,5 оно
выполняется, и возникает мысль доказать его с помощью ММИ. Но переход
от n к n+1 никак не удается сделать, по той причине, что начиная с n=25
оно перестает выполняться. И вот это уже легко доказать с помощью ММИ.
Пусть выполнено неравенство 100n4 < 0,001 en для какого-то n. Проверим,
что и для n+1 оно тоже будет выполнено, то есть выполнится и неравенство
100(n+1)4 < 0,001 en+1 . Сравним, на сколько процентов возросли левая и
правая часть. Ясно, что правая часть стала больше в «е» раз (то есть в 2,71828
раз). Левая часть стала больше в (1+1/n)4 раз. При n=25 это число равно 1,044
= 1,1698 (то есть меньше «е»). При n=50 оно равно 1,0824 и так далее (все
числа будут меньше «е»). Значит, переход от n к n+1 произошел успешно.
Образно можно выразиться так: ММИ никогда не помогает доказать
неверные теоремы, но всегда готов (при умелом его применении) доказать
верную. ММИ – это что-то вроде Робин Гуда, помогающего честным людям
(и добросовестным студентам). А теперь настала пора лично познакомиться с
ММИ.
Несколько задач для решения их методом индукции.
Доказать следующие равенства и неравенства: (звёздочка – это знак
умножения)
1)с некоторого места (с какого именно?) выполняется неравенство 10en <
0,001 *3n
2)1*1 + 3*3 + 5*5 + … + (2n-1)2 = n(4n2–1)/3
20
3)понять, как устроена нижеследующая таблица из натуральных чисел:
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11 12 13
…………………………………
и доказать, что сумма чисел по строкам равна 1, 9, 25, 49 и так далее.
4)подумайте, как найти сумму квадратов всех четных чисел от 2 до (2n) и
сумму квадратов всех нечетных чисел от 1 до (2n-1); проверить, что первая
сумма превышает вторую на (600n+300)/(4n2 – 1) процентов.
5)сумму 04 + 14 + 24 + … + n4 можно записать в виде an5 + bn4 + cn3 + dn2 +
en + f , где a, b, c, d, e, f можно подобрать так, что сумма 4-х степеней будет
выражаться этой формулой при n=0, 1, 2, 3, 4, 5. Доказать методом индукции,
что и при всех прочих натуральных “n” сумма 4-х степеней будет выражаться той же формулой, и при тех же значениях a,b,c,d,e,f.
В качестве примера решим здесь пример №4 из вышеприведённой
листовки (а №5 разбирать не будем, так как он доступен только более подготовленным студентам). Пример же №4 опирается на данную на лекциях
формулу для суммы квадратов первых n натуральных чисел: n(n+1)(2n+1)/6.
Только в этой формуле надо заменить n на 2n.
Тема 4
Синтез ДНФ на основе заданной логической функции многих переменных является чисто технической операцией, и настоящие трудности (к тому
же и не решаемые до конца) начинаются тогда, когда переменных много.
Следует иметь в виду, что когда в таблице истинности МНОГО НУЛЕЙ,
лучше брать за основу ДНФ, а если МНОГО ЕДИНИЦ, то КНФ (и затем
использовать соображения двойственности).
Из вар. 12: «Найти ДНФ для логической функции (x|y)۞(y|z)۞(z|w), где
۞ = сумма по модулю 2». Рассмотрим таблицу, состоящую из 17-и строк и 5и столбцов:
xyzw
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
x|y
1
1
1
1
1
1
1
1
y|z
1
1
1
1
1
1
0
0
z|w
1
1
1
0
1
1
1
0
f
1
1
1
0
1
1
0
1
21
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Первая строка содержит заголовки столбцов. В первом столбце
перечислены в естественном порядке все возможные двоичные наборы из
четырёх цифр (на лекциях пояснялось, как заносить их быстро и без ошибок).
Во 2-м, 3-м и 4-м столбце заполнение произведено на основании таблицы
истинности штриха Шеффера (он даёт нуль только тогда, когда оба
аргумента равны 1). В последнем столбце произведено сложение по модулю 2.
Так как f равна единице 12 раз, то в ДНФ будет 12 однотипных
слагаемых дизъюнкции (каждое из которых является конъюнкцией четырёх
переменных x, y, z, w; если в первом столбце таблицы на месте переменного
стоит нуль, то в ДНФ это переменное записывается с чертой наверху (знак
отрицания)). Для удобства чтения вместо переменной с чертой наверху ниже
использована соответствующая заглавная буква. Итак, ДНФ =
V XYZw V XYzW V XyZW V XyZw V Xyzw V
xYZW V xYZw V xYzW V xyZW V xyZw V xyzW
XYZW
В то же время КНФ состоит всего из четырёх сомножителей по четыре
слагаемых дизъюнкции в каждом из них:
КНФ = (XVYVzVw) (XVyVzVW) (xVYVzVw) (xVyVzVw)
Из варианта 9:
«Прочесть в задачнике Гаврилова и Сапоженко про метод неопределенных
коэффициентов для нахождения многочлена Жегалкина, и решить задачу:
логическая функция f(x1,x2,x3) принимает значения (01101000) для восьми
возможных наборов двоичных значений, расположенных в естественном
порядке. Записать ее в виде многочлена Жегалкина A+B x1+C x2+D x3+E x1x2
+F x2x3+G x3x1+H x1 x2 x3».
Составим таблицу, какие формулы получаются из многочлена Жегалкина для
каждого из 8 двоичных наборов:
000
001
010
011
A=0
A+D = 1
A+C = 1
A+C+D+F = 0
22
100
101
110
111
A+B = 1
A+B+D+G = 0
A+B+C+E = 0
A+B+C+D+E+F+G+H = 0
Каждая из формул приравнена к значению функции для этого набора
аргументов. Очевидно, что получилось 8 линейных уравнений для восьми
неизвестных (неопределенных коэффициентов A,B,C,D,E,F,G,H ). Эта
система уравнений решается почти без вычислений: А=0, поэтому B=C=D=
=1. Следовательно, F= -2 (что равно нулю по модулю 2). По этой же
причине G=E=0. Значит, Н= -3 (то есть 1 по модулю 2).
ОТВЕТ: f = x1+ x2+ x3+x1 x2 x3.
Тема 5
Из варианта 9:
«Написать определение, что называется четырехмерным кубом. Найти
расстояние между множеством вершин 3-куба {0<x<1, 0<y<1, 0<z<1} и
множеством вершин 2-куба {7, 5<y<7, 5<z<7} (оба куба лежат в 3-мерном
пространстве; 2-куб – это фактически квадрат).»
Стандартным 4-мерным кубом называется множество, задаваемое
системой четырёх неравенств {0=<x=<1, 0=<y=<1, 0=<z=<1, 0=<w=<1}.
Допуская нестрогость, можно допустить, чтобы все неравенства были
строгими – это всё равно будет, по сути, 4-мерный куб («открытый куб»).
Добавляя ещё одну координату и фиксируя её значение, а также прибавляя к
правой и левой части каждого неравенства одно и то же число, можно
получить много других (нестандартных) 4-мерных кубов, вложенных в
пятимерное пространство и подвергшихся параллельному переносу.
Например, {7=<x=<8, 0=<y=<1, -2=<z=<-1, 7, 0=<v=<1}.
Обратите внимание, что расстояние от множества вершин 3-куба до
множества вершин 2-куба НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что расстояние от 3-куба до
2-куба. Если внимательно прочесть условие этой задачи, то можно понять:
оба куба НЕ СОДЕРЖАТ ни одной из своих вершин. Тем не менее, все эти
вершины можно абсолютно точно определить. Кстати, сторона 2-куба в два
раза больше стороны 3-куба. Его (2-куба) вершины суть (7, 5, 5), (7, 7, 7),
(7, 5, 7) и (7, 7, 5). Они образуют квадрат, перпендикулярный оси иксов и
смещённый по ней на 7 вправо. Самая ближняя к этому квадрату вершина
куба имеет координаты (1, 1, 1). Самая близкая к этой вершине куба вершина
квадрата имеет координаты (7, 5, 5). Значит, квадрат расстояния между этими
двумя множествами вершин равен 36 + 16 + 16 = 68.
В данной задаче таким же будет и расстояние между самим 3-кубом и
самим 2-кубом (а могло бы быть и разным). Но теперь его надо понимать как
НИЖНЮЮ ГРАНЬ расстояний между точками 3-куба и 2-куба. Ведь эти
кубы не содержат вершин (1, 1, 1) и (7, 5, 5)!
23
Полезно также найти также ВЕРХНЮЮ ГРАНЬ расстояний между
точками этих кубов. Легко понять, что оно равно диаметру множества,
представляющего собой объединение 3-куба с 2-кубом. Квадрат этого
диаметра равен 7*30,5 .
Из варианта 1: «Найти расстояние от множества x/5 + y/7 = 1 до
множества x2 + y2 = x + y (ответ обосновать вычислениями)».
Первое множество является прямой, проходящей через точки (5, 0) и
(0, 7). Второе множество является окружностью, проходящей через четыре
точки (0, 0), (1, 1), (1, 0), (0, 1). Поэтому её центр находится в точке (½ , ½).
Квадрат расстояния от центра окружности до прямой равен (x/5 + y/7 – 1)2 /
(1/25 + 1/49) , где х=у= ½ . Это число равно 292/74. Квадрат радиуса окружности равен ½ . Следовательно, расстояние от окружности до прямой равно
29/(корень из 74) – 1/(корень из 2) , что приближённо равно 2,664.
Отметим попутно, что оба множества замкнуты, одно из них ограничено, а другое – нет. Каждое из них имеет мощность континуума. Каждая
точка каждого множества является граничной, и других граничных точек у
них нет. Каждое из этих множеств совпадает со своей границей. Эти два
множества негомеоморфны. Первое множество можно упорядочить, а второе
не поддаётся естественному упорядочению. В самом деле, взяв точку на
окружности справа от фиксированной точки А этой окружности и двигая её
вдоль окружности, мы «незаметно» окажемся слева от точки А. Каждое из
этих множеств является подмножеством метрического пространства (а
именно, плоскости), поэтому и само оно обладает метрикой (так называемая
«индуцированная метрика»). Диаметр прямой бесконечен, а диаметр данной
окружности равен корню из двух. <Все выделенные курсивом термины
рассматривались на лекциях>. Каждое из множеств является плоской кривой.
Длина окружности составляет 51,6% от длины куска прямой, лежащей в
первом квадранте.
Из варианта 12: «Найти расстояние от «ковра Серпинского», нижний
край которого находится на оси иксов на участке -3 < x < 3, до «канторова
множества», построенного на отрезке [0;π] и затем поднятого над осью иксов
на 10 единиц».
Расстояние между этими множествами не может быть меньше зазора
между прямыми y = 6 (верхний край «ковра Серпинского») и y = 10 (прямая,
на которой лежит «канторово множество»), то есть меньше четырёх. Но оно
вполне могло бы быть и больше четырёх (например, если сильно сдвинуть
«канторово множество» вдоль прямой у=10). Попытаемся найти на каждом
из этих множеств точку так, чтобы расстояние между точками точно равнялось четырём (тогда и расстояние между множествами тоже будет равно
четырём). Такими точками являются (0, 6) и (0, 10). В самом деле, «ковёр
Серпинского» строится так, что ни на каком этапе периметр исходного
квадрата 6х6 не повреждается. А точка (0, 6) как раз лежит на периметре. По
24
той же причине ни на каком этапе не выбрасывается самая левая точка «канторова множества», то есть (0, 10). Что и требовалось найти.
Интересен вопрос, чему равна суммарная длина всех границ выкинутых
квадратиков при построении «ковра Серпинского». Она выражается суммой
4*2 + 4*(2/3)*8 + 4*(2/9)*64 + 4*(2/27)*512 + … = 8*(1 + (8/3) + (8/3)2 + (8/3)3 + …),
то есть равна бесконечности. Более подготовленным студентам можно
предложить следующие вопросы по теме 5:
1)Верно ли, что прямое произведение «канторова множества» на себя даёт
«ковёр Серпинского»?
2)Ровно посередине каждого из интервалов, выбрасываемых при построении
«канторова множества», проводится плоскость, перпендикулярная прямой,
на которой строится это множество, и в ней рисуется «ковёр Серпинского», сторона которого равна стороне выбрасываемого отрезка. Замкнуто
ли множество, которое получилось? Что является его границей?
3)Описать прямое произведение «канторова множества» на «ковёр
Серпинского» со стороной, равной диаметру «канторова множества».
Равен ли нулю объём этого произведения?
4)При каком «а» расстояние от окружности x2+y2=a(x+y) до кривой
x4+y4=16 равно единице?
Задача 4 требует исследования на компьютере. Решим её в следующей
формулировке: найти расстояние от окружности x2+y2 = x+y до кривой
x4+y4 =16.
Будем «раздувать» исходную окружность с центром (0,5; 0,5) и
радиусом 0,707 до тех пор, пока она не коснётся второй кривой. Пусть это
произошло при значении радиуса окружности Z. Очевидно, что тогда
расстояние от исходной окружности до кривой x4+y4=16 равно Z – 0,707.
Момент касания задаётся уравнением (x4+y4 – 16)2 +(x2+y2–x–y+0,5
–0,5a2)2 =0 (2). В этом уравнении 0,5a2 = Z2. Начальное значение «а»
получим, потребовав, чтобы окружность коснулась горизонтальной прямой
у=2, приближённо изображающей верхний участок кривой четвёртого
порядка в окрестности точки х=0,5. Это значение равно 2,12. Начальные
значения «х» и «у» берём равными 0,5 и 2. Применяя «Поиск решения»,
заставляем оптимизировать значения (х, у, а) таким образом, чтобы левая
часть уравнения (2) оказалась как можно ближе к нулю. В итоге получаем
значение a=2,118554 (одна из двух симметричных точек соприкосновения
двух кривых такова: (0,500052; 1,998045)). Радиус «раздутой» окружности
равен 1,498. Отнимая от него радиус исходной окружности 0,707, получаем
расстояние между двумя множествами: 0,791.
Ещё одно интересное развитие задачи 4. Доказать, что следующая
система уравнений (см. ниже систему (3)) имеет ровно 8 различных решений,
расположенных в вершинах правильного 8-угольника. Рассмотрим
множество, состоящее из 1-го, 3-го, 5-го и 7-го решения (эти решения
образуют вершины квадрата). Найти расстояние от этого множества до
множества оставшихся четырёх вершин 8-угольника.
25
Система (3): x4 + y4 = 1; x2 + y2 = a2 , где а = (корень четвёртой
степени из 4/3).
Тема 6
В школе когда-то изучались элементы комбинаторики (перестановки,
размещения и сочетания). Все они предполагались не имеющими повторений. На втором курсе МИЭМ в дисциплине «Дискретная математика» допускаются повторения элементов. Казалось бы, общее количество основных
формул комбинаторики должно быть равно шести. Но в задачнике ГС из них
указывается только четыре, так как перестановки с повторениями практически ничем не отличаются от размещений с повторениями. И для тех, и для
других полное их количество выражается формулой mn (где только случайно может оказаться m = n). Полезно рассмотреть и обсудить удачное обозначение (а)n , где а – любое действительное число, n – целое положительное
число. Например, (3,75)7 равно произведению семи сомножителей:
3,75*2,75*1,75*0,75*(-0,25)*(-1,25)*(-2,25) .
Если считать, что в любом произведении всегда «незримо присутствует» множитель 1, то можно и считать, что (а)0 = 1. Очевидно также, что (n)n
= n! (эн-факториал). Можно придумать и решить такие забавные задачи:
1) Что больше: (корень из 3)2 или (корень из 5)3 ?
2) Что больше: (2n)n или (3n)2n ?
3) Решить уравнение (х)4 = (х)6 . <Оно имеет два иррациональных
корня>. Можно придумать более сложное уравнение, но искать у него
только ЦЕЛЫЕ корни. Например, (х)х =(х/2)х – 41. Подбором легко получить
один из целых корней (х = 6). Наличие других целых корней исследуется с
помощью теорем о порядке роста и метода математической индукции. В
вариантах 1-12 в задачах по теме 6 имеется много задач, решаемых «почти
подбором». Например, найти «х» из уравнения 28[х!(3х)!] = (4х)! (Очевидно,
что х – число целое неотрицательное (так как от него вычисляется факториал) и что х=0 и х=1 не являются решениями). Проба показывает, что х=2
является решением. Из формулы Стирлинга (которую полезно сообщить на
лекциях) следует, что при «больших» х 3х примерно равно 4е (е=
2,71828…).Уже при х=5, 6, 7, … решений быть не может. Чтобы всё было
строго, можно применить индукцию начиная с х=5).
Полезно запомнить, что количество
(размещений без повторений из А элементов по В) = (А)В
(размещений с повторениями из А элементов по В) = АВ
(сочетаний без повторений из А элементов по В) = (А)В /В!
(сочетаний с повторениями из А элементов по В) = (А+В-1)В-1 /(В-1)!
Последние две формулы служат неиссякаемым источником для вопросов
типа «а не может ли последняя формула быть ровно в 17 раз больше
предпоследней?».
26
Из варианта 2: «Решить уравнения (одно из них может не иметь решений,
но это надо доказать или проверить):
1) Количество костей в х-домино равно 99х. Чему равно «х» ?
2) 2 C4+х 4 = 7 C5 х »
1)Рассмотрим кости 3-домино: дубли 3-3, 2-2, 1-1, 0-0 и не дубли: 3-2,
3-1, 3-0, 2-1, 2-0, 1-0. Разместим все эти кости в клетках поля 4х4. По
диагонали запишем дубли, а прочие кости запишем над диагональю.
Количество костей в 3-домино равно сумме 4 + 3 + 2 + 1 (первое слагаемое =
количеству костей вида «3-х», второе равно числу костей вида «2-х» и т.д.).
Очевидно, что для х-домино эта сумма равна х(х +1)/2. Приравняв её к 99х,
мы легко получим, что х=197.
2)Фактически задача поставлена так: может ли случиться, что число
сочетаний с повторениями в 3,5 раза больше числа сочетаний без повторений? Икс может принимать только 6 значений (от 0 до 5). Оказывается,
значение х=3 подходит. Простая проверка показывает, что прочие пять «х»
не подходят. Задача тривиальна и служит отработке навыка вычислений по
четырём перечисленным выше формулам.
Рассмотрим теперь подсчёт «симметричных» выборок (вар. 8).
«Записаны в столбец трехзначные группы десятичных цифр от 000 до 499
включительно (получились последовательные числа от 0 до 499), а ниже
записали те же группы, но цифры изменены в зеркальном отражении (то есть
вместо 421 записано 124, вместо 220 записано 022, и т.д). Получилось 1000
чисел. Найти их сумму»
Сначала рассмотрим эту задачу в случае, когда взяты ВСЕ трёхзначные
десятичные цифры (то есть от 000 до 999).
В такой формулировке задача тривиальна, и сумма, очевидно, равна
(999*1000/2)*2, т.е. 999000. Если студент действительно мгновенно решил
её, можно поставить ограничение, чтобы в сумме от 000 до 499 была
вычислена подсумма, составленная только из симметричных слагаемых. В
неё, во-первых, входят числа 000,111, 222, 333, 444. Во-вторых, числа вида
хух, где х=0, 1, 2, 3, 4 и у=0, 1, … , 9. (Всего 5*10 вариантов; в них содержатся и предыдущие 5 чисел с тремя совпадающими цифрами). Сумму всех
таких чисел легко найти, выписав их мысленно в виде столбца и суммируя
отдельно сотни, десятки и единицы.
Перейдём теперь к наиболее интересной формулировке. Если были
взяты только числа от 000 до 499, то зеркальное отражение числа может не
попасть в диапазон от 0 до 499 (и тогда оно обязательно попадёт в диапазон
от 500 до 999). Сколько имеется чисел, выпадающих из диапазона от 0 до
499 после зеркального отражения, и чему равна их сумма?
Очевидно, что выпадающими из диапазона будут те и только те числа,
у которых последняя цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9. Первая цифра может
принимать любое из значений 0, 1, 2, 3, 4 (независимо от последней цифры),
27
что даёт 25 вариантов. И в каждом из них средняя цифра может быть любой
из десяти. Итого таких чисел имеется ровно 250 штук. Чтобы подсчитать
сумму их зеркальных отражений, выпишем мысленно их все в столбец по
такому правилу: сначала выписываем первые 25 чисел, у которых средняя
цифра равна нулю. Причем правые цифры всё время идут в таком порядке:
01234, 01234, и так далее пять раз. Левые же цифры идут в таком порядке:
55555, 66666, и так далее пять раз. После этого процесс повторяется, но
средней цифрой уже является 1, затем 2, и так далее до 9 включительно.
Общая сумма всех не попавших в диапазон от 0 до 499 «зеркальных» чисел
равна (сумме единиц)*1 + (сумме десятков)*10 + (сумме сотен)*100.
Сумма сотен равна (5+6+7+8+9)*5*10*100, то есть 175000. Сумма
десятков равна (0+1+2+…+9)*25*10 = 11250. Сумма единиц равна
50*(0+1+2+3+4)*1 = 500.
ОТВЕТ: 175000+11250+500 = 186750.
ПРИМЕЧАНИЕ. Эта задача может быть сформулирована так, что
из неё получится много однотипных задач с разными ответами (например,
20 задач – по количеству студентов в учебной группе).
«Универсальная задача» по комбинаторике.
Базовая задача:
Записаны в столбец трехзначные группы десятичных цифр от 000 до
499 включительно (получились последовательные числа от 0 до 499), а ниже
записали те же группы, но цифры изменены в зеркальном отражении (то есть
вместо 421 записано 124, вместо 220 записано 022, и т.д.). Найти сумму
пятисот исходных чисел и сумму пятисот новых, зеркально отражённых
чисел. Сколько слагаемых в «новой сумме» не совпадают ни с одним из
слагаемых в «старой сумме»? Чему равна сумма таких слагаемых?
Чтобы из базовой задачи получить универсальную, достаточно вместо
опорного числа «499» взять такие числа:
399, 419, 439, 459, 479, 499, 519, 539, 559, 579,
599, 619, 639, 659, 679, 699, 719, 739, 759, 779.
Соответственно, вместо «пятисот слагаемых» в условии речь будет
идти о 400, 420, 440 и так далее слагаемых.
28