ПРОМЕЖУТОЧНО-АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ О ТРЕЩИНАХ В СРЕДЕ С ПОВРЕЖДЕННОСТЬЮ В СВЯЗАННОЙ ПОСТАНОВКЕ Л. В. Степанова Самарский государственный университет, Самара, Россия В настоящем исследовании представлены автомодельные решения задач о трещинах в связанной постановке, когда параметр сплошности инкорпорирован в определяющие соотношения степенного закона теории установившейся ползучести, при предположении о существовании области полностью поврежденного материала в непосредственной окрестности вершины неподвижной трещины. Характерной чертой, присущей двумерным задачам о трещинах в связанной постановке (в связках упругость – поврежденность, пластичность – поврежденность, ползучесть – поврежденность) является существование особой области у вершины макроскопического дефекта – области процесса, в которой происходит активное накопление повреждений. Многие исследователи [1–3] вводят в рассмотрение совокупность областей: область насыщения или область полностью поврежденного материала, в которой параметр поврежденности достиг своего критического значения и далее не эволюционирует. Область насыщения охвачена областью активного накопления повреждений, где повреждения накапливаются в соответствии с кинетическим уравнением, и далее эта областью окружена областью неповрежденного материала. Определение границы области полностью поврежденного материала представляет собой самостоятельную задачу, для анализа которой в данной работе предлагаются: 1) аналитический подход, основанный на методе разложения компонент тензора напряжений и параметра сплошности в ряды по собственным функциям для больших расстояний от вершины трещины (больших по сравнению с характерным линейным размером области полностью поврежденного материала, но все еще малых по сравнению с длиной трещины); 2) численное исследование, основанное на методе конечных разностей. Получены границы области полностью поврежденного материала с помощью двух подходов. Конфигурации области полностью поврежденного материала вблизи вершины трещины антиплоского сдвига показаны на рис. 1, 2, где 1 – конфигурация области, определяемая двучленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 2 – конфигурация области, определяемая трехчленным асимптотическим разложением параметра сплошности; 3 – конфигурация области, определяемая четырехчленным асимптотическим разложением параметра сплошности, 4 – конфигурация области, определяемая пятичленным асимптотическим разложением параметра сплошности, 5 – конфигурация области, определяемая шестичленным асимптотическим разложением параметра сплошности Рис. 1. Геометрия области полностью поврежденного материала у вершины трещины антиплоского сдвига для n 3, m 0.7n и n 5, m 0.7n Рис. 2. Геометрия области полностью поврежденного материала у вершины трещины антиплоского сдвига для n 7, m 0.7n и n 9, m 0.7n Результаты конечно-разностного решения представлены на рис. 3, 4. Геометрия области полностью поврежденного материала у вершины трещины нормального отрыва изображена на рис. 5 и 6. Рис. 3. Распределения напряжений и параметра сплошности у вершины трещины антиплоского сдвига (конечно-разностное решение) Рис. 4. Зависимость интенсивности напряжений от автомодельной переменной в двойных логарифмических координатах: на графиках отчетливо выделяются два прямолинейных участка, свидетельствующих о степенной зависимости напряжений от автомодельной переменной. Наклон прямой A1 A2 (рис. 4) соответствует решению Хатчинсона-Райса-Розенгрена, в то время как наклон прямой B1B2 отвечает новой найденной промежуточной асимптотике Рис. 5. Граница области полностью поврежденного материала у вершины трещины нормального отрыва в условиях плоского деформированного состояния Рис. 6. Граница области полностью поврежденного материала у вершины трещины нормального отрыва в условиях плоского напряженного состояния Методом конечных разностей получено численное решение задачи о неподвижной трещине антиплоского сдвига в связанной постановке (в связке "ползучесть – поврежденность") в автомодельных переменных. Это решение обнаруживает новое промежуточно-асимптотическое поведение напряжений у вершины трещины в среде с поврежденностью в связанной постановке задачи (ползучесть – поврежденность). Под промежуточной асимптотикой понимается следующее. В невырожденной постановке задачи, соответствующей рассматриваемой вырожденной постановке, имеются, вообще говоря, две характерные величины размерности независимой переменной R (характерный линейный размер области полностью поврежденного материала R0 и длина трещины L (или характерный линейный размер образца)). Промежуточная асимптотика есть асимптотическое представление решения при R / R0 , но R / L 0 . Таким образом, полученное автомодельное решение описывает явление на расстояниях от начала координат, для которых решение уже не зависит от деталей заданных граничных условий в бесконечно удаленной точке и для времен, достаточно больших, когда решение перестает зависеть от начальных условий. ЛИТЕРАТУРА 1. Jin Z.H., Batra R.C. Crack Shielding and Material Deterioration in Damaged Materials: an Antiplane Shear Fracture Problem // Archive of Applied Mechanics. – 1998. – V. 68. – P. 247–258. 2. Bui H.D., Ehrlacher A. Propagation of Damage in Elastic and Plastic Solids // Francois D. (Ed.). Advances in Fracture Research/ – Oxford: Pergamon Press, 1980. – P. 533–551. 3. Bui H.D. Fracture mechanics: Inverse problems and solutions. – Berlin: Springer, 2006.