209.50Kb - G

УДК 622.011.4;622.023
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВНУТРЕННЕГО
ДАВЛЕНИЯ СО СТОРОНЫ КОНТУРА ВЫРАБОТКИ НА КОНФИГУРАЦИИ
ПЛАСТИЧЕСКИХ ЗОН ВОКРУГ ВЫРАБОТКИ В ТРАНСТРОПНОМ МАСИВЕ
д.т.н. М.Е. Ескалиев, к.ф.-м.н. Ж.Ж.Кожамкулова
Казахский Государственный женский педагогический университет.
г. Алматы, Казахстан
АННОТАЦИЯ.
Рассматривается
приближенное
решение
упругопластической
задачи вблизи полости
заложенного в трастропном
(слоистом) массиве в допущениях, что в упругой зоне массив анизотропен и
подчиняется обобщенному закону Гука, а неупругая зона
моделируется как
изотропной средой. Задача решается приближенно полуобратным методом
П.И.Перлина с привлечением итерационной схемы. Составлена система
алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов комплексного
потенциала. Численно показаны влияния внутреннего давления на контуре выработки
на размеры и конфигурации пластических зон вблизи выработки.
SUMMARY. ABSTRACT. We consider the approximate solution of problems inherent in the
vicinity of the cavity trastrop (layered) array in the assumptions that the array of anisotropic
elastic band and is subject to the generalized Hooke's law, and the inelastic zone is modeled as
an isotropic medium. The problem is solved approximately P.I.Perlina semi-inverse method
involving an iterative scheme. Compiled by the system of algebraic equations for the unknown
coefficients of the complex potential. Numerically shows the influence of internal pressure on
the contour generation on the size and configuration of the plastic zones near the excavation.
Для деформируемых твердых тел свойственно упругие и пластические состояние.
Это свойство аналогично также проявляется при сооружений горной выработки, когда
установившееся равновесие породного массива нарушается из-за перераспределения
напряжений вокруг выработок. С переходом на большие глубины напряжения
непосредственно вокруг подобной выработки (полости) превосходят предел упругости,
приводя к образованию зон неупругих деформации, наблюдаемых вокруг выработки. При
оценке прочности и сохранности горных выработок и их конструктивных элементов
возникает настоятельная необходимость определения границ неупругих деформации.
Справедливыми являются следующие допущения:
а) область неупругой деформации полностью охватывает незакрепленный контур
выработки радиуса R; б) изотропный несжимаемый материал в зоне неупругой деформации
подчиняется критерию текучести Хоека-Брауна без смягчения; в) упругая область находится
в условиях плоской деформации и его поведение описывается уравнением обобщенного
закона Гука для однородного транстропного массива с наклонной плоскостью изотропии.
Критерий текучести Хоека-Брауна /3/ характерно для горных пород выражается
следующим образом:

p
r
  p   m rp cp  s cp  0,
2
(1)
  0, сопротивление при простом сжатии неповрежденного камня (породы),
где c
значения берутся из эксперимента; s – параметр (величина) определяющий уровень
потрескивания (1 для случая неповреждения и 0 (ноль) в случае когда материал полностью
раздроблен).
Далее определим выражение разных полей внутри пластической зоны, которых
полностью охватывает контур выработки круглого поперечного сечения. Для этого
используем факт того, что критерий пластичности достигается по всей предельной зоне, что
позволяет записать
  через
 r и решить уравнение
равновесие. Полученное
дифференциальное уравнение:
 rp
r

 m c r  s c2
r
при граничных условиях
(2)
   Pi ,
p
r
r=R ,
где P i - внутреннее давление, m – параметр связанный со свойствами горной породы
(обычно от 5 до 30), где через буквы «р» сверху снабжены компоненты пластических
напряжений.
Преобразование дифференциального корня сложной функции:
d rp
dr

r
 m c r  s c2
.
(3)
Итак, компоненты пластических напряжений в полярной системе координат таковы:
2
s c
m c r 
1 
p
2
r 

ln 
 s c  m c Pi 
m m c 
2
R ,
(4)
     s  m c
p
r
p
2
c
p
r
.
В первом случае допускаем, что внутреннее давление равно нулю (P i =0).
В силу статической определимости задачи в пластической зоне компоненты
напряжений в прямоугольных координатах находятся независимо от напряжений на
«бесконечности» формулами:
z  z     1  m  z  z 

4z z
4z z
z  z    1  m  z  z  ,

2
 / с
p
x
2
2
 / с
p
y
2
4z z
4z z

  xyp /  c    1  1  m
  ln
где
zz
R2
 m
1  ln

4

,
zz
R2
 z 4iz zz
2
2
,
(5)

, z  x  iy , z  x  iy.


Во втором случае, когда со стороны внутреннего контура выработки действует
 (  0, S  1)
внутреннее давление, i i
то компоненты напряжений в пластической зоне
определяется так:

x
zz
  *
c
4 zz
  
2
z  z 
 N
2
*
4 zz

Pi
c
;




y
P
zz
zz
  *
  *  N 
 i ;
c
c
4 zz
4 zz
2
2
(6)
 xy
z2  z
N
.
c
4i z z
2
 *  ln
где
zz 
p
 sm i
2 
c
R 
 m
  ln
 4

zz
, N  s  m *  m
R
pi
c
, z  x  iy , z  x  iy
.
Задача решается полуобратным методом с привлечением метода коллакаций /1, 2, 4-7/.
Напряжения в упругой зоне представляются через две аналитические функций /8/
 k z k  усложненного комплексного аргумента z k  x  iy , (k  1,2)
 xe  2 Re 121' z1    22 2' z 2 ,
 ye  2 Re 11 z1    2' z 2 ,
 xye  2 Re 11' z1    2 2' z 2 ,

(7)
здесь k находятся как корни характеристического уравнения четвертой степени /9/,
через буквы «е» сверху снабжены компоненты упругих напряжений.
 4  a1  2  a 2  0
(8)

Для многих анизотропных пород k являются чисто мнимыми величинами, т.е.
 k  i k , (k  1,2). величины  k определяют степень анизотропности тела (упругие
параметры анизотропии).
Согласно /1, 2, 4-7/ зададим на осях Ox и Oy точки А и В как известные точки
упругопластической границы. Предположим, что между этими точками искомая граница в
первом приближений представляет собой эллипс с полуосями Oa и Ob . Отклонение
истинной границы от эллипса уточняется в процессе решения задачи.
Конформное отображения внешности эллипса на внешность единичного круга
осуществляется функцией


z      m1   m2 1 ,
(9)
1
где m1  0.5(a  b), m2  (a  b) (a  b) ,
z  x  iy ,    s exp i , a b
 ,  - полярные координаты точки.
и полуоси эллипса, s
 z 
Комплексные потенциалы k k представлены в виде:

 k z k   Ako z k   Akn kn ,
n 1
  z  z  a   b a  i b , z  x   y.
2
k
2
2
k
2
1
k
k
k
k
где k
На упругопластической границе компоненты напряжений непрерывны:
(10)
 xy   xП ,  yy   yП ,
 xyy   xyП .
(11)
Условия (11) должны быть выполнены для всех точек границы. Тогда из условия
равенства числа неизвестных и числа уравнений находим, что верхний предел суммирования
(10) (обозначим его через N) связан числом выбранных лучей m через соотношение
N=(m+2)/2, m -число промежуточных направлений (лучей). Cогласно методике работ /4-7/
составим разрешающую систему алгебраических уравнений для определения неизвестных
коэффициентов
Ako и Akn и уточнения границы зон
2
N


2
П
Re

A

  k  ko  Akn  kn , j z kj , n   0,5 x j ,
n 1

 k 1 
2
N



П
Re
A

   ko  Akn  kn , j z kj , n   0,5 y j ,
n 1

 k 1 
2
N



Re   k  Ako   Akn  kn , j z kj , n   0,5 xyП ,
 k 1 
n 1

где

 kn, j z kj , n   2n  12n1  z k2  a 2   k2 b 2
k  1, 2;
kj
(12)
,
1
n  1, 2, ..., N ; j  1, 2, ..., m  2.
Третья система из (12), т.е. система контрольных уравнений служат для уточнения
положения упругопластической границы, а остальные (первые и вторые) используются для
определения неизвестных коэффициентов ряда (9).
A (0)
Решая систему (11) находим kn (для 1   2  1.0 - изотропный случай). Затем,
подставляя эти величины в контрольную систему (в третье уравнение) из системы (11),
получим разности между правыми и левыми их частями:
 i   xe уi   xуe i

 i (радиус
. В зависимости от знака величины i изменяется
единичного круга) на выбранный шаг   и процесс решения повторяется. Каждый раз
 m

     i2 
 i 1 
1/ 2
   , где  определяет заданную
точность, то итерационный процесс заканчивается. Если же    , то следует заменять  i

на  в зависимости от знака i . Процесс повторяется до тех пор, пока не достигается
составляется величина
. Если же
желаемая точность либо последующие приближения не приведут к уменьшению величины
.
A
A
Напряжения на «бесконечности» p и q выражаются через коэффициенты 10 и 20
зависимостями
 x  p  2 Re 12 A10   22 A20 ,
 y  q  2 Re  A10  A20 ,
(13)
После выполнения наперед поставленной точности решения задачи определяются
координаты упругопластической границы формулами
xj 
ab
ab
  j 
 cos   j ,
2 
ab
ab
ab
  j 
 sin   j ,
2 
ab


где  j - радиусы единичного круга,  j - направление лучей.
Влияние внутреннего давления на контуре выработки
Теперь рассмотрим случай, когда в выражении (6) значение внутреннего давления не
равно нулю т.е. P ≠ 0 (P = P ).
При прочих равных условиях (  H  сonstant).
yj 
i
i
0
итерационный процесс сопровождается с поправками a и b .
На рис.1 проиллюстрированы конфигурации области неупругой деформации в
зависимости от различных значений внутренних давлении.
Y
q
1
2
3
Р
4
Р
5
P0
R
X
Рисунок 1. - Конфигурации области неупругой деформации для плоскости изотропии
0
равным   45 в зависимости от значения внутренних давлений. Параметры упругих
анизотропии 1  2,0,  2  0,8 и напряжения на «бесконечности»
p
q

 7,431  cons tan t ,  11,630  cons tan t.
c
c
p0
Кривая 1 соответсвует при  c
p0
c
p0
0
,
2.   c
p0
 0,3
,
5. 
v
p0
 0,1
,
3.   c
 0,2
,
4. 
 0,4
.
Литература
1. Перлин П.П. Приближенный метод решения упругопластических задач. //Инженерный журнал. 1960, -Вып.28. – с.145-150.
2. Перлин П.П. Упругопластическое распределение напряжений вокруг отверстия. //Труды МФТИ. 1960, -№5, - с.30-40.
3. Brown E.T. et Hoek Underground excavations in rock, Intuition of mining and metallurgy, 1980.
4. Айталиев Ш.М., Ескалиев М.Е., Масанов Ж.К. Об упругопластическом распределений напряжений
и перемещений в анизотропном массиве с отверстием. // В кн.: Прикладные проблемы прочности и
пластичности. Горький, изд. Горьк.унив., 1981, с. 129-136.
5. Ескалиев М.Е., Масанов Ж.К. К упругопластическому состоянию анизотропного тела с отверстием.
//В кн.: Механика тектонических процессов. Алма-Ата, Наука, 1983, с.152-166.
6. Ескалиев М.Е. Влияние дилатансии пород на упругопластическое состояние выработки в
транстропном массиве. //Известия мин.науки –Академии наук РК. Серия физ.-мат, 1996, №3, с.72-78.
7. Ескалиев М.Е. Дисс. на соискание уч. степени доктор техн.-мат. наук, 1998, Алма-Ата.
8. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. //М.. 1977, 415с.
9. Ержанов Ж.С., Айталиев Ш.М., Масанов Ж.К. Устойчивость горизонтальных выработок в
наклонно-слоистом массив. //Алма-Ата, Наука КазССР, 1971, 160с.
10. Ставрогин А.Н., Протосеня А.Г. Пластичность горных пород.-М.: Недра, 1979, -301с.
SUMMARY. ABSTRACT. We consider the approximate solution of problems inherent in the
vicinity of the cavity trastrop (layered) array in the assumptions that the array of anisotropic elastic
band and is subject to the generalized Hooke's law, and the inelastic zone is modeled as an isotropic
medium. The problem is solved approximately P.I.Perlina semi-inverse method involving an
iterative scheme. Compiled by the system of algebraic equations for the unknown coefficients of the
complex potential. Numerically shows the influence of internal pressure on the contour generation
on the size and configuration of the plastic zones near the excavation.