22x - LanCats

Проект изучения темы «Тригонометрические уравнения и неравенства»
(10 класс).
Урок-лекция по теме «Решение уравнений и неравенств sinx=a(<,>).
Арксинус числа. Свойство арксинуса.»
[А. и н.а. 10-11], Г. VI
Выполнил студент гр. МИ-10 ФЕМиКН НГПУ им. Козьмы Минина
Коржавин Максим
Обзор математической и методической литературы по теме
1. Алгебра. 10 класс: поурочные планы к учебнику Ш.А. Алимова и др./авт. – сост. Е. Г. Лебедева.
– Волгоград: Учитель, 2007. – 207 с.
Издание представляет собой поурочные планы по алгебре для 10 класса и предназначено, в первую
очередь, для работы с учебником Ш.А. Алимова и др.
В теме «Тригонометрические уравнения» рассматриваются следующие дидактические единицы:
Понятия: уравнения cosx=a, sinx=a, tgx=a, решение уравнений : сводящиеся к квадратным, с помощью
замены переменной, разложения на множители, формул универсальной подстановки, однородные и
неоднородные тригонометрические уравнения.
2. Бескин Н.М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания. - М.: Учпедгиз, 1950.
Книга представляет собой методическое пособие. В книге описывается основные разборы вопросов
связанных с построение курса тригонометрии в средней школе. Книга предназначена для учителей
математики, студентов пединститутов.
Обоснование и последовательность вопросов при составлении урока связанных с решением
тригонометрических уравнений рассматривается в V главе. Далее рассматриваются различные
приемы для решения тригонометрических уравнений.
3. Теория и технология обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов
математических специальностей педагогических вузов/Под ред. Т. А. Ивановой. 2-е изд.,
испр. и доп. – Н. Новгород: НГПУ, 2009. 355 с.
Издание представляет собой учебное пособие для студентов математических специальностей
педагогических вузов.
В данном пособии рассматривается структура проведение урока семинар-практикум.
4. Кузнецова Л.И. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: Учебно-методическое
пособие для студентов факультета математики, информатики и физики. Н.Новгород: НГПУ,
2007, 60 с.
Издание представляет собой учебное пособие для студентов математических специальностей
педагогических вузов. В нем выделены основные типы, методы и приемы решения
тригонометрических задач. В § 2.4. рассматриваются различные методы решения
тригонометрических уравнений.
5. Кузнецова Л.И. Тригонометрические уравнения, неравенства, системы. Часть 1: Учебнометодическое пособие для студентов факультета математики, информатики и физики.
Н.Новгород: НГПУ, 2008, 56 с.
Издание представляет собой учебное пособие для студентов математических специальностей
педагогических вузов. В нем содержится тематический план, основные теоретические
положения, выделены основные типы, методы и приемы решения тригонометрических
уравнений. В §3.1. рассматриваются тригонометрические уравнения sinx,cosx и отбор корней
алгебраическим и тригонометрическим способом. Далее в пособии рассматриваются методы
решения тригонометрических уравнений в общем виде с примером решения. Подробно
рассматривается свойство ограниченности множества значений sinx и cosx, свойство
монотонности.
6. В.В.Репьев. Методика тригонометрии .-М.:Учпедгиз, 1937.
Книга представляет собой методическое пособие. В книге описывается основные разборы
вопросов связанных с построение курса тригонометрии в средней школе и так же
представлены фрагменты уроков. Книга предназначена студентов пединститутов.
Обоснование и последовательность вопросов при составлении урока связанных с решением
тригонометрических уравнений рассматривается в ХV главе. Далее рассматриваются
интересные тригонометрические решения для работе в кружке.
7. Элементарная математика: элементарные функции: Методические рекомендации для
студентов математического факультета/ авт. – сост. С.В. Кириллова, О. К. Огурцова. - Н.
Новгород: НГПУ, 2006.
Данное издание представляет собой методические рекомендации для студентов
математического факультета. Методические рекомендации содержат программу
дисциплины «Элементарная математика: элементарные функции», планы практических
занятий с выделением основных типов и методов решения задач, список рекомендуемой
литературы, список задач к зачёту.
Общая характеристика темы:
 особенности и роль темы в математике (включая историческую справку) и в
школьном курсе математики;
Тригонометрические уравнения является наиболее важным этапом изучения тригонометрии
и наиболее трудным для восприятия материалом в школьном курсе алгебры. При изучении
тригонометрических уравнений в школьном курсе математики постепенно расширяются
понятия, причем рассматриваются не уравнения, а вводится понятие тригонометрической
функции и построение графиков функций.
В настоящее время тригонометрию изучают в старших классах школы. Материал соответственно
разделен на три части, которые изучаются в разные периоды времени обучения. Впервые
тригонометрические выражения появляются в курсе планиметрии, после теоремы Пифагора или
непосредственно перед ней. Используются они преимущественно для решения плоских
треугольников. При этом отрабатываются первоначальные навыки работы с таблицами
тригонометрических функций. Ученики усваивают определения синуса, косинуса и тангенса острого
угла.
Во второй раз тригонометрические функции определяются с помощью производящей окружности.
Постепенно переходят к рассмотрению тригонометрических функций любого аргумента,
выраженного в радианах, и соотношений между ними. Школьников обучают строить графики
функций, рассматриваются некоторые свойства.
В третьей части изучаются решения тригонометрических уравнений и неравенств. Рассматривается
приложение тригонометрических функций в физике при изучении гармонических колебаниях.
Историческая справка:
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.
В данном случае измерение треугольников следует понимать как решение треугольников, т.е.
определение сторон, углов и других элементов треугольника, если даны некоторые из них. Большое
количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и
других приводятся к задаче решения треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерением, астрономией и строительным делом.
Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии
понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами
треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и Клавдием
Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами
начали называть тригонометрическими функциями.
Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани(850-929) и Абуль-Вафа, Мухамед-бен Мухамед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10’ с
точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти
неизвестен) и азербайджанский астроном и математик НасиреддинТусиМухамед (1201-1274). Кроме
того, НасиреддинТуси в своей работе «Трактат о полномчетырехстороннике» изложил плоскую и
сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника
и окружности (а по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в
работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, АпполонияПергского. В римский
период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не
приобрели специального названия. Современный синус, например, изучался как полухорда, на
которую опирается центральный угол величиной, или как хорда удвоенной дуги.
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т.
е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”).
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также
котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые
таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались
неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким
математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан
составил также подробные тригонометрические таблицы; благодаря его трудам плоская и
сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе.
Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens
переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности).
 программа по математике: инвариантное содержание темы;
Примерная программа по математике составлена на основе федерального компонента
государственного стандарта среднего (полного) общего образования на базовом уровне.
Примерная программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного
стандарта и дает примерное распределение учебных часов по разделам курса.
Тригонометрические уравнения рассматриваются в разделе тригонометрия.
Основное содержание раздела функции: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла.
Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические
тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и
косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических
функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через
тангенс половинного аргумента. Преобразования тригонометрических выражений.
Простейшие тригонометрические уравнения. Решения тригонометрических уравнений.Простейшие
тригонометрические неравенства.
Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа.
В результате изучения данной темы ученик:
научится:




находить табличные значения, что необходимо для безошибочного решения
тригонометрических уравнений.
понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические
обозначения);
строить графики тригонометрических функций; исследовать свойства
тригонометрических функций;
распознавать типы тригонометрических уравнений и методы их решения;
получит возможность научиться:
• проводить исследования, связанные с изучением свойств функций (область определения и
множество значений, четность, нечетность, периодичность), в том числе с использованием
компьютера; на основе графиков изученных функций строить обратные
тригонометрические функции;
• использовать функциональные представления и свойства функций в применении
производной к исследованию функций.
 сравнительный анализ содержания темы в различных школьных учебниках.
В учебнике Ш. А. Алимова и др. тема «Тригонометрия» отделена в отдельную главу VI главу
«Тригонометрические уравнения » и рассматривается после главы «Тригонометрические
формулы». Изучение темы начинается с рассмотрения конкретных простейших уравнений, решение
которых иллюстрируется на единичной окружности, что хорошо подготовлено материалом главы
“Тригонометрические формулы”.
Понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса вводятся до знакомства с обратными
тригонометрическими функциями (тригонометрические функции изучаются в 11 классе) и
иллюстрируются также на единичной окружности. В дальнейшем не следует уделять много
внимания упражнениям на нахождение значений и использование свойств арксинуса, арккосинуса,
арктангенса: все это будет закрепляться в ходе решения уравнений. При решении уравнений полезно
иллюстрировать нахождение корней на единичной окружности: это позволит осознанно применять
формулы корней.
Решение более сложных тригонометрических уравнений рассматривается на примерах
уравнений, сводящихся квадратным, уравнений вида a sin x + b cos x = c, уравнений,
решаемых разложением левой части на множители. Таким образом, схема изучения выглядит
так: функция → преобразования→ уравнения.
Совершенно другая структура изложена в учебнике Колмогоров А.Н. Учебник содержит 4
главы. Схема изучения материала по теме «Решение тригонометрических уравнений и
неравенств» радикально отличается от предыдущих, т.к. сначала рассматриваются
тригонометрические функции числового аргумента и основные формулы тригонометрии. В
этой же первой главе, но несколько позже, рассматриваются основные свойства
тригонометрических функций, их графики и их исследование. После этого вводятся понятия
арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и «параллельно» с этим решение
простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Автор не называет методов
решения тригонометрических уравнений, а описывает алгоритм их решения. Тоже касается и
решения тригонометрических неравенств.Таким образом, схема изучения выглядит так:
преобразования → функции → уравнения.
Другая структура введения тригонометрических уравнений изложена в учебнике А. Г.
Мордковича. Учебник разбит на 8 глав. В конце изучения каждой главы чётко обозначены
основные результаты изучения. Курс изучения математики в 10 классе начинается с
изучения главы «Тригонометрические функции». Здесь автор вводит понятия
тригонометрической окружности на координатной плоскости, понятия синус и косинус,
основные тригонометрические соотношения с ними связанные, решения простейших
уравнений по тригонометрической окружности. Как таковые формулы приведения вводятся
после изучения тригонометрических функций углового аргумента. Далее рассматриваются
свойства и графики тригонометрических функций. Во второй главе «Тригонометрические
уравнения» подробно рассматривается решение каждого простейшего тригонометрического
уравнения, на основе ранее введенных понятий арксинуса, арккосинуса, арктангенса. В
этой же главе рассмотрены такие методы решения: разложение на множители и введение
новой переменной; метод решения однородных тригонометрических уравнений. Другие
методы решения рассматриваются после изучения третьей главы «Преобразование
тригонометрических выражений».Здесь схема изучения выглядит следующим
образом: функция → уравнения → преобразования.
Логико-дидактический анализ содержания темы
Анализ теоретического материала
Алгебра. 10 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.
В. Сидоров и др.]. – 16-е изд. – М. : Просвещение, 2011 – 287 с. : ил. Глава 6, § 33 - 37
Выделим основные дидактические единицы:
- понятия: арксинус, арккосинус, арктангенс;
- формулы: арксинус, арккосинус, арктангенс.
1. Определение арккосинуса.
Арккосинусом числа a⋲[-1; 1] называется такое число а⋲[0; π], косинус которого равен а:
Arccos a= a, еслисos a= a иа⋲[0; π]
2. Все корни уравнения сos х= a, где a⋲[-1; 1], можно находить по формуле:
X=±arccos a + 2 πn, n⋲Z
3. Для любого a⋲[-1; 1] справедлива формула:
Arcos(-a)= π- arcosa
Эта формула позволяет находить значения арккосинусов отрицательных чисел через значения
арккосинусов положительных чисел.
4. Арксинусом числа a⋲[-1; 1] называется такое число а⋲[ π/2; π/2], синус которого равен а:
Arcsin a= a, если sin a= a иа⋲[π/2; π/2],
5. Все корни уравнения sin х= a, где a⋲[-1; 1], можно находить по формуле:
X= (-1)ᶰarcsin a +πn, n⋲Z
6. Для любого a⋲[-1; 1] справедлива формула:
Arcsin(-a)= - arcsina
Эта формула позволяет находить значения арксинусов отрицательных чисел через значения
арксинусов положительных чисел.
7. Арктангенсом числа а⋲R называется такое число a⋲( π/2; π/2), тангенс которого равен а:
Arctg a=a, еслиtg a=a иа⋲(π/2; π/2)
8. Все корни уравнения tgx= a, гдеа⋲R.
X=±arctg a + πn, n⋲Z
9. Для любого a⋲R справедлива формула:
Arctg(-a)= - arctga
Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения
арктангенсов положительных чисел.
Вывод по анализу теоретического материала
Перед введением определений необходимо повторить определения: cинуса, косинуса, тангенса,
формулы приведения.
Анализ задачного материала
При изучении темы "Тригонометрические уравнения и неравенства" у школьников
необходимо сформировать следующие умения:
-безошибочно определять все основные элементы тригонометрических функций.
-исследовать свойства тригонометрических функций
-решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, сводящиеся к
простейшим разными способами;
-решать тригонометрические неравенства методом введения новой переменной;
Анализ задач показал, что в теме "Тригонометрические уравнения и неравенства" можно
выделить следующие группы задач:
I. На отработку понятия арксинуса числа.
1. Задачи на вычисление
2. Задачи на сравнение
3. Задачи на использование формул
4. Задачи - теоремы
II. Решение простейших уравнений.
1. На табличные значения
2. На не табличные значения
3. Область определения
Выводы из анализа задачного материала:
В учебнике Ш.А.Алимова широко рассмотрены различные методы решения
тригонометрических уравнений и неравенств, формулы выведены на первое место, однако,
простейшим уравнениям внимания уделено недостаточно.
Недостаточно разобраны уравнения и неравенства смешанного типа.
Постановка учебных задач, диагностируемых целей.
1.Учебная задача: Рассмотреть простейшее тригонометрическое уравнения и неравенства.
Дать определение arc числаa. Изучить основные свойства arca и использования его для
записи решений тригонометрических уравнений и неравенств. Рассмотреть частные случаи
решения тригонометрических уравнений sin x = 1, sin x >1, sin x < 1
2. Диагностируемые цели.
В результате изучения темы ученик
- знает
Определения arcsin x, arccos x, arctg x;
Способы решения простейших тригонометрических уравнений;
Формулы универсальной подстановки ;
Различные приемы решения тригонометрических уравнений:
приведение уравнения к квадратному уравнению относительно одной из функций,
приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса,
возведение обеих частей уравнения в квадрат, разложение левой части уравнения на множители ;
Формулы двойного угла;
Формулы половинного угла;
Формулы приведения
- понимает:
Как применять приемы решения тригонометрических уравнений,
Взаимосвязь тригонометрического уравнения и приема решения к нему;
- умеет:
Применять различные приемы для решения тригонометрических уравнений.
Тематическое планирование.
№
Тема урока
Тип урока
урока
1
Решение
Урок
уравнений и
изучения
неравенств
нового
sinx=a(<,>).
Арксинус числа.
Свойство
арксинуса
2
3
Решение
уравнений и
неравенств
sinx=a(<,>).
Арксинус числа.
Свойство
арксинуса
Решение
уравнений и
неравенств
cosx=a(<,>).
Арккосинус
числа. Свойство
арккосинуса
Урокпрактикум
Урок
изучения
нового
Учебная задача
урока
Повторить понятие
синуса. Ввести
понятие арксинуса,
формулу решения
уравнения sinx=aи
неравенств sinx>a и
sinx<a, частные
случаи решения
уравнения. Изучить
основные свойства
arcsina.
Отработать умения и
навыки решать
простейшие
тригонометрические
уравнения и
неравенства.
Методы
обучения
Эвристическая
беседа, УДЕ
Повторить понятие
синуса. Ввести
понятие арксинуса,
формулу решения
уравнения cosx=aи
неравенств cosx>a и
cosx<a, частные
случаи решения
уравнения. Изучить
основные свойства
arccosa.
Эвристическая
беседа, УДЕ
Репродуктивный,
частичнопоисковые
4
Решение
уравнений и
неравенств
cosx=a(<,>).
Арккосинус числа.
Свойство
арккосинуса
Решение
уравнений и
неравенств tgx=a
(<,>). Арктангенса
числа. Свойство
арктангенса.
Урокпрактикум
Отработать умения и
навыки решать
простейшие
тригонометрические
уравнения и
неравенства.
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Урок
изучения
нового
Эвристическая
беседа, УДЕ
6
Уравнение
tg x=a
Урокпрактикум
7
Решение
Урок
тригонометрическ усвоения
их уравнений
теории
8
Решение
Урок
тригонометрическ решения
их уравнений
задач
9
Решение
Урок
тригонометрическ контроля
их уравнений
10
Основные приемы Урок
решения
семинартригонометрическ практикум
их уравнений
11
Примеры решения Урок решения
Повторить понятие
синуса. Ввести
понятие арксинуса,
формулу решения
уравнения tgx=aи
неравенств tgx>a и
tgx<a, частные случаи
решения уравнения.
Изучить основные
свойства arctga.
Отработать умения и
навыки решать
простейшие
тригонометрические
уравнения и
неравенства.
Отработать умение
решать простейшие
тригонометрические
уравнения и
неравенства.
Отработать умение
решать различного
вида
тригонометрических
уравнений и
неравенства.
Организовать
деятельность
школьников по
самостоятельному
применению знаний в
ходе выполнения
письменной работы
Введение некоторых
видов
тригонометрических
уравнений. В виде
докладов учащиеся
выявляют виды
тригонометрических
уравнений и методы,
приёмы их решения
Отработать умение
5
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Репродуктивный,
частичнопоисковые,
метод УДЕ
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Эвристическая
беседа,
репродуктивный,
частичнопоисковые
Репродуктивный,
простейших
задач
тригонометрическ
их неравенств
решать простейшие
тригонометрические
задачи, закрепить
умение решать
тригонометрические
уравнения по
алгоритму.
Урок
обобщить и
обобщения и систематизировать
систематизац знания учащихся по
ии
теме:
«Тригонометрические
уравненияи
неравенства.».
Урок
обобщить и
обобщения и систематизировать
систематизац знания учащихся по
ии
теме:
«Тригонометрические
уравненияи
неравенства.».
Урок
Организовать
контроля
деятельность
школьников по
самостоятельному
применению знаний в
ходе выполнения
письменной работы
частичнопоисковые,
метод УДЕ
12
Заключительный
урок
Репродуктивный,
частичнопоисковые
13
Заключительный
урок
14
Контрольная
работа
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Репродуктивный,
частичнопоисковые
Конспект урока по теме: «Решение уравнений и неравенств
sinx=a(<,>). Арксинус числа. Свойство арксинуса.»
Название учебника:
Алгебра: учеб. Для 10-11кл. общеобразовательных учреждений/ Ш. А. Алимов, Ю. М.
Колягин, Ю. В. Сидоров и др.-10-е изд. -М.:Просвещение, 2002.- 168стр. Глава 6, Пар.33.
Тип урока: Урок-лекция .
Цели урока:
Учебная задача урока: В совместной деятельности с учащимися вывести формулы решения
простейших тригонометрических уравнений и неравенств sinx=a, sinx<a, sinx>a.
Сформулировать определение arcsina, изучить его основные свойства.
Диагностируемые цели:
В результате урока ученик:
Знает: определение арксинуса, формулу решения уравнения sinx=a и неравенств sinx<a,
sinx>a, частные случаи решения (а=1, а=-1, а=0)
Умеет: решать простейшие тригонометрические уравнения.
Понимает: связь между корнями тригонометрических уравнений и решениями неравенств.
Методы обучения:
 УДЕ
 Репродуктивный
 Частично-поисковые
 Эвристическая беседа
Формы работы:фронтальная.
Средства обучения: традиционные, презентация, раздаточный материал.
Структура урока:
Мотивационно-ориентировочный этап(5 мин),
Содержательный этап(37 мин),
Рефлексивно-оценочный этап(3 мин).
Ход урока:
1) Мотивационно-ориентировочный этап.
Действия учителя
Актуализация.
Добрый день.
Какие мы прошли с вами
тригонометрические
понятия?
Отметьте на единичной
окружности точку, равную
углу 30°? Найдите ее
ординату
Действия ученика
Синус, косинус, тангенс,
котангенс.
1
2
0
0°?
240°?
135°?
−
√3
2
√2
2
Как называется ордината
точки единичной
окружности?
Ордината точки единичной
окружности, полученная
поворотом точки P(1;0)
вокруг начала координат на
угол x называется sinx
Что мы с вами, получается
находили?
Синусы каждого угла.
Как мы можем записать 30°
в радианах?
Записи на доске и в
тетрадях
1
sin 30°= 2 , sin 0°=0, sin 240°
=−
𝜋
6
√3
,
2
sin 135° =
√2
2
4𝜋
3
240°?
Получается, что
𝜋 1
sin30°=sin 6 = 2
Какая ось является осью
синусов?
Oy (Ось ординат)
[-1;1]
Какие значения принимает
sin x?
x-любое действительное
Какие значения может число.
принимать угол, стоящий
под знаком значения sin x?
Мотивация.
Мы знаем, как
находить значения sinx,
ребята,
теперь
решим
обратную
задачу:
как
найти x, зная значение
sinx?
2
sin x = 3, чему равен угол x?
Нам необходимо научиться
решать такие задачи.
Сегодня на уроке мы будем
изучать, как решается
уравнения вида sinx=a,
неравенства
2) Содержательный этап.
Действия учителя
Какие значения принимает sinx?
Тогда при каких значениях а, уравнение
sinx=a будет иметь корни?
Рассмотрим уравнение sinx=а и
неравенства sinx > a и sinx < a, при
1
а=
2
1
Отметим на оси ординат точку 2
Мы проводим прямую через эту точку,
параллельную оси Ox, получаем точки
пересечения с единичной окружностью
Сколько в результате точек мы
получили?
Каким углам эти точки соответствуют?
Какой табличный угол связан с точкой
𝑀1 ?
Действия ученика
[-1;1]
а ∈ [−1; 1]
2
Записи на доске и в тетрадях
1
𝜋
1
5𝜋
Т.к. 2 = sin 6 , то
точка 𝑀1
получается из
точки P(1;0)
поворотом на угол
𝜋
𝑥1 = 6
Т.к. 2 = sin 6 , то
точка 𝑀2
получается из
точки P(1;0)
поворотом на угол
5𝜋
𝑥2 = 6
𝑀2 ?
Как мы получили значение 𝑀2 ?
𝑀1 и 𝑀2
симметричны
относительно оси
𝜋
Oy. Если 𝑥1 = 6 , то
𝑥2 = 𝜋 −
Решением будут только две точки?
𝜋
А если рассмотрим точку 𝑥1 = 6 + 2𝜋,
будет ли она решением нашего
уравнения?
𝜋
Аналогично, 𝑥2 = − 6 + 𝜋 + 2𝜋.
Мы с вами уже знаем, что одной и той
же точке единичной окружности
соответствует бесконечное количество
углов.
Расмотрим с вами четные и нечетные k.
При четном:
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
При нечетном
𝜋
𝑥 = (−1) ∗ + 𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
Наши решения можно записать одной
формулой:
𝜋
𝑥 = (−1)𝑛 ∗ + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
Проверим теперь выполнимость в
обратную сторону.
Рассмотрим при k=5
𝜋
𝑥 = (−1)5 ∗ + 5𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍
6
𝜋
6
𝜋
+ 𝜋 + 4𝜋
6
𝜋
𝑥 =− +𝜋
6
𝑥=−
Рассмотрим при k=4
𝜋
𝑥 = (−1)4 ∗ + 4𝜋
6
𝜋
𝑥 = + 4𝜋
6
𝜋
𝑥=
6
1
(2;1]
1
На каком интервале sin x > 2 ?
Где начальная точка этого интервала?
Где конечная?
1
2
1
𝜋
т.е. основной первый промежуток 6 <
𝜋
𝑥 < −6 +𝜋
Как найти следующий интервал?
Необходимо к
левой и правой
На каком интервале будет иметь
решение неравенство?
1
Назовите промежуток, где sin x < 2.
Покажите точку, с которой мы входим в
этот промежуток?
части прибавить
полный
оборот(2 𝜋)
Покажите точку, в которой мы выходим 𝜋 + 2𝜋𝑘 < 𝑥 < − 𝜋
6
6
из промежутка?
+𝜋
+ 2𝜋𝑘
Значит на каком интервале будет
находится решение неравенства
1
sinx<2 ?
Как мы можем еще обозначить точку
1
[−1; )
2
𝜋
-6
−
5𝜋
6
−5𝜋
6
?
Таким образом решение данного
неравенство будет иметь вид:
𝜋
𝜋
− 𝜋 + 2𝜋𝑘 < 𝑥 < + 2𝜋𝑘
6
6
5𝜋
+ 2𝜋𝑘 < 𝑥
6
Аналогично, рассмотрим уравнение
sinx=а, и неравенствах
1
sinx>aиsinx<a,при а= - -2.
𝜋
−𝜋
6
Отметим на единичной окружности
1
точки, в которых sin x = - -2
Сколько в результате точек мы
получили?
Каким углам эти точки соответствуют?
1
Абцисса, равная -2имеет две точки
1
окружности 𝑀1 и 𝑀2 Так как − 2 =
𝜋
sin − 6 , то точка 𝑀1 получается из
точки (1,0) поворотом на угол
2
𝜋
𝑥1 = −
6
𝜋
а так же углы 𝑥 = − 6 + 2𝜋𝑘, где к Z.
А точка 𝑀2 получается из точки P(1,0)
поворотом на угол
5𝜋
𝑥2 = −
6
5𝜋
а так же углы 𝑥 = − 6 + 2𝜋𝑘.
𝜋
Итак, для уравнения sinx=а 𝑥1 = − 6 +
2𝜋𝑘
и
𝜋
𝑥2 = 6 − 𝜋 + 2𝜋𝑘, к Z. или
𝜋
𝑥 = (−1)𝑛+1 ∗ (− ) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
6
Тогда какое решение будут иметь
1
неравенство sin x > − 2 ?
𝜋
6
+ 2𝜋𝑘
<−
1
а sin x < − 2 ?
−𝜋
+ 2𝜋𝑘 < 𝑥
6
𝜋
<
6
+𝜋
+ 2𝜋𝑘
𝜋
− 𝜋 + 2𝜋𝑘 < 𝑥
6
𝜋
<−
6
+ 2𝜋𝑘
Таким образом, каждое из этих
1
1
уравнений sin 𝑥 = 2и sin 𝑥 = − 2
имеет бесконечное множество корней.
Как мы решим наше уравнение или
неравенство, если значениеsinxравно
не табличному значению?
2
Рассмотрим уравнение sin x = 3
Рассмотрим на единичной окружности,
точки, при которых абсцисса угла х
равна 2/3. Тогда, как будет выглядеть
наше решение?
𝑥1 = 𝑡 + 2𝜋𝑘, к Zи 𝑥2 = −𝑡 + 2𝜋𝑘, к Z.
0<t<𝜋
2
Теперь рассмотрим sinx=− 3.
-𝜋 <𝑡 <0
Каждое из уравнений
2
2
sinx=3 и sinx=− 3 на отрезке
𝜋 𝜋
[− 2 ; 2 ]Имеет только один корень.
Что же такое t?
Для записи решения нетабличных
значений а введем понятие — арксинус
числа а.
НО уравнение sinx=a, где𝑎 ∈ [−1; 1],
𝜋 𝜋
имеет на отрезке [− 2 ; 2 ]только один
корень.
Если а>=0, то корень заключен в
𝜋
промежутке [0; 2 ], но если а<0, то в
𝜋
промежутке [− 2 ; 0). Этот корень
называют арксинусом числа а и
обозначают arcsina.
Итак, арккосинусом числа а, модуль
которого не больше единицы,
называется такое число t из
𝜋
𝜋
промежутка − 2 < 𝑡 < 2 , синус которого
равен а:
arcsina=t
𝜋
𝜋
, если− 2 < 𝑡 ≤ 2 и sint=a.
Тогда решение уравнения sinx=а
запишется:
𝑥 = (−1)𝑛 ∗ arcsin 𝑎 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
А значит неравенство sinx>a какое
будет иметь решение?
(arcsina+2𝜋𝑘 ≤ х≤-arcsinа + 𝜋 +2𝜋𝑘, кєZ)
Неравенствоsinx<a какое будет иметь
решение?
(-arcsina- 𝜋 +2𝜋𝑘 ≤ х≤arcsina +2𝜋𝑘, кєZ).
Такое решение имеет значение при
a  1, a  0.
А если |a|>1, сколько тогда решений
будет иметь уравнение sin х=а?
Рассмотрим случаи решения уравнения
sin x = a при a=1, a=-1, a=0.
1) sin x = 1
Мы знаем формулу общего решения
𝑥 = (−1)𝑛 ∗ arcsin 𝑎 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
В нашем случае это
𝑥 = (−1)𝑛 ∗ arcsin 1 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝜋
arcsin 1= 2
Таким образом получаем единственное
решение для одного полного оборота
𝜋
𝑥 = + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
Аналогично для a=-1
𝜋
− 𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
2
Рассмотрим случай, когда a=0
В этом случае получаем 2 множества
решений, когда M1 имеет координаты
(1;0), т.е. совпадает с P и M2 (-1;0)
𝑥 = (−1)𝑛 ∗ arcsin 0 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝑥 = (−1)𝑛 ∗ 0 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝑥=
- Не будет иметь
решений.
Рассмотрим пример:
3
arcsin x =
4
3
> 1?
4
Значит можем найти x?
Да
Как запишем неизвестное?
3
x=arcsin(4) + 2𝜋𝑘, к Z
3
А если нам дано уравнение arcsinx>4
Что в ответе получим?
интервал
3
3
arcsin4+2 𝜋𝑘 ≤ х≤-arcsin4 +𝜋+2 𝜋𝑘,
кєZ
Поставим уравнение arcsina=t
в уравнение sinx=a.
Таким образом мы получаем, что
arcsin(arcsin a)= а, если a  1, a  0.
Обозначим arcsin a=х. По определению
арксинуса числа имеем:
𝜋
𝜋
1) - 2 ≤ х≤ 2 ;
2) sin x=a;
В первом случае, по свойствам неравенств
𝜋
𝜋
получаем - 2 ≤ х≤ 2 ,умножим -1:
𝜋
𝜋
- 2 ≤ -х≤ 2 ;
Во втором случае, по формуле
приведения найдем значение sin(-х)=
-sin(х)=-а.
Найдем по определению arsin(-a)=-х=arcsin а.
Таким образом мы получили свойство
арксинуса:
arsin(-a)= -arcsinа.
Рассмотрим задачу:
arcsin 1 - arcsin (-1);
𝜋
arcsin1 = ;
2
𝜋
arcsin (-1) по свойству = arcsin 1 = 2
𝜋 𝜋
− =0
2 2
3) Рефлексивно-оценочный этап
Действия учителя
Действия ученика
-Какова была цель урока?
вывести формулы решения
простейших
Записи на доске и в
тетрадях
тригонометрических
уравнений и неравенств
sinx=a, sinx<a, sinx>a
-Достигли мы её?
Да.
-Как мы ее достигли?
Рассматривали решение
уравнения sin x=a для
табличных значений, а затем
для не табличных.
Какие новые понятия мы с
вами разобрали на уроке?
Решение уравнений, ввели
понятие арксинуса.
Что называется arcsin числа
а?
При каких значениях а
имеет смысл равенство
arcsina=x?
Какое свойство арксинуса
мы узнали на этом уроке?
Домашнее задание: № 586(2,4,6), №589, №593, №651
Домашнее задание.
№586 (2,4,6)
Вычислить:
№589
Решить уравнения:
№593
№651
Решить неравенства: