Quantum algebras - Высшая школа экономики

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра
Автор программы:
Такебе Такаши, PhD, ttakebe@hse.ru
Кувабара Тоширо, PhD, toshiro.kuwa@gmail.com
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2013 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики
«___»_____________2013 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и
010100.68 «Математика» подготовки магистра.
 Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра,
специализации Математика, утвержденными в 2012 г.
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины НИС «Quantum Algebras» являются: освоение студентами
основных знаний теории представлений алгебр Ли и методов приложений основных фактов в
алгебре в бакалавриате и в теории функций комплексного переменного в теорию представлений
аффинных алгебр Ли. Выработка навыков научного общения на английском языке.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основные понятия квантовых алгебр, некоммутативных алгебр, в том числе,
аффинных алгебр Ли, алгебры Вирасоро и вершинных алгебр, которые появляются в
теории бесконечномерных интегрируемых систем как симметрии.
 Уметь понимать теорию представлений выше упомянутых алгебр и соотношения между
такими алгебрами и некоторыми моделями в квантовой физике с точки зрения теории
представлении.
 Иметь навыки научных дискуссий по алгебре и математической физике на английском
языке.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку
дисциплин по выбору.
…
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Алгебра, 1 курс,
 Алгебра, 2 курс,
 Теория Функций Комплексного Переменного, 2 курс.
Студентам рекомендуется ознакомиться со следующими дисциплинами:
 Группы и Алгебры Ли, 3 курс
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
 Basic Representation Theory, магистратура 1 курс.
Но знания этих двух дисциплин не необходимы.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Линейная алгебра; в том числе, Джордановы стандартные формы матриц, разложение в
собственные пространства, бесконечномерные линейные пространства,
 Основные знания алгебры; в том числе, алгебры и их модули, точная последовательность,
формальный ряд Лорана.

5
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
1
2
3
4
6
Хотя аффинные алгебры Ли – бесконечномерный аналог простых конечномерных алгебр
Ли, знание о них не требуется. Дисциплина – также для тех студентов, которые не
знакомятся с таким сюжетом.
Всего
часов
Название раздела
1 семестр
Аффинные алгебры Ли
Разложение операторного произведения и
конструкция Сугавара
Вершинные операторы
Модель Годэна
2 семестр
Конформные блоки на проективной
прямой
Вершинные алгебры
Аффинные W-алгебры
Теория представлений аффинных алгебр
Ли и вершинных алгебр
Итого:
180
180
Аудиторные часы
СамостояПрактиче
тельная
Лекци Семин
ские
работа
и
ары
занятия
32
4
8
8
12
40
10
Форма
контроля
Домашнее
задание
Зачет
1
Экзамен
2 домашних задания
1 год
2 3
8
4
8
1
2 год
2 3
360
72
Параметры **
4
письменный экзамен
90 мин
V
V
140
10
10
10
Формы контроля знаний студентов
Тип
контроля
Текущий
(неделя)
Промежуточный
Итоговый
148
288
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
6.1
Критерии оценки знаний, навыков
Домашние задания проверяют степень владения теоретическим материалом, а также
корректность и строгость математических рассуждений.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.2
Порядок формирования оценок по дисциплине
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему
контролю следующим образом:
Отекущий = Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения
задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в
рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным
(итоговым) контролем.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов
накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 =
0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
О промежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Оэачёт/экзамен
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой
по учебной дисциплине.
7
Содержание дисциплины
1. Раздел 1. Аффинные алгебры Ли как центральные расширения: Определение алгебр Ли
петель. Определения аффинных алгебр Ли и алгебры Гейзенберга как центральных
расширений алгебр Ли петель. Понятие универсального центрального расширения.
Когомология алгебр Ли и расширение алгебр Ли. Универсальность расширения алгебр Ли
петель соответствующего аффинным алгебрам Ли. Литература: [W], [IK].
2. Раздел 2. Разложение операторного произведения и конструкция Сугавара: Понятие токов.
Нормально упорядоченное произведение. Разложение операторного произведения (operator
product expansion; OPE). OPE токов. Равносильность OPE и коммутационных соотношений.
Правила (формула) Вика. Конструкция Сугавара и определение алгебры Вирасоро. Алгебра
Вирасоро как центральное расширение. Литература: [BF], [F].
3. Раздел 3. Вершинные операторы: Треугольное разложение аффинных алгебр Ли. Понятие
весов и корней аффинных алгебр Ли. Модуль со старшим весом. Определения модулей
Верма и модудь Вейля. Основные свойства неприводимых представлений со старшим весом.
Определения пространств конформных коинвариантов и конформных блоков. Структура
пространств конформных коинвариантов модулей Вейля. Вершинные операторы. OPE
вершинных операторов. Литературы: [BZ], [K], [TK].
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
4. Раздел 4. Модель Годэна: XXX цепочка Гейзенберга. Шесть-вершинная модель. Квантовая
R-матрица и трансфер матрица. Квазиклассический предел XXX цепочки и модель Годэна.
Классическая R-матрица. Модель Годена как модель WZW с критическим уровнем.
Литература: [G], [FFR].
5. Раздел 5. Конформные блоки на проективной прямой: Структура модулей со старшим весом.
Структуры пространства конформных блоков модулей со старшим весом. Связность
Книжника-Замолодчикова. Литература: [BF], [K], [TK].
6. Раздел 6. Вершинные алгебры: Тождество Борчердса. Аксиомы вершинных алгебр. Примеры
вершинных алгебр, в том числе, аффинные вершинные алгебры и вершинная алгебра
Вирасоро. Определение и основная структура алгебр Жу. Основные свойства вершинных
алгебр. Литература: [BF], [FLM], [K-va], [TK].
7. Раздел 7. Аффинные W-алгебры: Квантовая редукция Дринфельда-Соколова. Определение
когомологии BRST. Определение и основные свойства многообразий Слодови. Построение
аффинных W-алгебр как когомология BRST. Определение центра Фейгина-Френкеля
вершинных алгебр. Примеры аффинных W-алгебр. Литература: [A], [BF].
8. Раздел 8. Теория представлений аффинных алгебр Ли и вершинных алгебр: Неприводимые
модули алгебры Гейзенберга. Реализация аффинных алгебр Ли с помощью свободных полей.
Построение и основные свойства модулей Вакимото. Операторы скрининга аффинных Wалгебр. Реализация аффинных W-алгебр с помощью свободных полей. Введение в теорию
киральных дифференциальных операторов. Литература: [BF].
8
Образовательные технологии
В рамках семинара предусмотрены мастер-классы экспертов в различных разделах теории
представлений квантовых алгебр. Предусмотрены научные и научно-популярные доклады
студентов, научные дискуссии, в том числе, на английском языке.
9
9.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные вопросы/ задания для домашнего задания:
1. Вычисления когомологий алгебр Ли.
2. Вычисления разложения операторного произведения.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по всему курсу или к каждому
промежуточному и итоговому контролю для самопроверки студентов.
1. Соотношение центральных расширений алгебр Ли и когомологий.
2. Выведение коммутационных соотношений с помощью разложения операторного
произвединея.
9.2
10 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
10.1 Базовый учебник
Нет. Должны быть обеспечены ридеры.
10.2 Основная литература
[BF] E. Frenkel and D. Ben-Zvi, Vertex Algebras and Algebraic Curves, Second Ed., AMS, 2004.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины НИС «Quantum Algebras » для направления
010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра
10.3 Дополнительная литература
[A] T. Arakawa, Representation theory of W-algebras, Invent. Math. 169 (2007), 219-320.
[F] J. Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, Cambridge University Press, 1992.
[FFR] B. Feigin, E. Frenkel and N. Reshetikhin, Gaudin model, Bethe Ansatz and critical level,
Communications in Mathematical Physics 166 (1994), 27-62.
[G] M. Gaudin, La Fonction d'Onde de Bethe, Masson, 1983.
[FLM] I. Frenkel, J. Lepowsky and A. Meurman, Vertex Operator Algebras and the Monster,
Academic Press, 1989.
[K] V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras (third edition), Cambridge University Press, 1990.
[K-va] V. Kac, Vertex Algebra for Beginners (second edition), University Lecture Series, AMS,
1998.
[IK] K. Iohara, Y. Koga, Representation Theory of the Virasoro Algebra, Springer, 2011.
[TK] A. Tsuchiya and T. Kuwabara, Introduction to Conformal Field Theory (in Japanese),
Mathematical Society of Japan, 2004.
10.4 Справочники, словари, энциклопедии
http://www.wikipedia.org,
article: Affine Lie algebra, Cartan subalgebra, Casimir element, Kac-Moody algebra,
Killing form, KnizhnikZamolodchikov equations, Lie algebra, Lie algebra cohomology, Lie algebra
representation, Operator product expansion, Poincare-Birkoff-Witt theorem, Root system, Weights
(representation theory), Universal enveloping algebra, Vertex operator algebra, Virasoro algebra,
Wess-Zumino-Witten model, Witt algebra.
10.5 Программные средства
Специальные программные средства не предусмотрены.
10.6 Дистанционная поддержка дисциплины
Специальные дистанционные ресурсы не предусмотрены. Однако должна быть обеспечена
возможность дистанционных консультаций и получений записок лекции по электронной почте.
11 Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для проведения семинаров не используется специальное оборудование, кроме, возможно,
компьютерного проектора и системы видеозаписи учебных занятий.