Бурдин В.В. Физика. Ч. 2. Основы электромагнетизма
реклама
1 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Пермский государственный технический университет В.В. Бурдин ФИЗИКА Часть II ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА Под общей редакцией доктора технических наук профессора А.И. Цаплина Утверждено Редакционно-издательским Советом университета в качестве учебного пособия для студентов заочного отделения всех специальностей Пермь 2007 2 УДК 53(0758) ББК 22.3 В 25 Рецензенты: кандидат физико-математических наук, доцент А.В. Перминов, (Пермский государственный технический университет); доктор физико-математических наук, профессор Е.Л. Тарунин (Пермский государственный университет). Бурдин В.В. В 25 Физика: Учеб. пособие. Часть II. Основы электромагнетизма / Под общ. ред. профессора А.И. Цаплина; Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 2007. – 188 с. Приведен теоретический материал для самостоятельного изучения физики, включающий в себя основные сведения из теории и вопросы для самоконтроля. Предназначено для студентов заочного отделения всех специальностей. УДК 53(0758) ББК 22.3 Пермский государственный технический университет, 2007 3 ОГЛАВЛЕНИЕ стр. Введение………………………………………………………………….. 5 1. Электростатика……….…………………………………………………… 7 1.1. Закон Кулона………………………………………...……………….. 7 1.2. Электрическое поле и его характеристики …………….................... 8 1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала………... 11 1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции… 13 1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности………………………………. 16 1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме……………… 18 1.7. Проводники в электрическом поле…………………………………. 27 1.8. Электрическое поле в диэлектриках………………………………... 31 1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках………... 34 1.10. Конденсаторы……………………………………………………….. 38 1.11. Энергия электрического поля……………………………………… 41 1.12. Потенциальность электрического поля. Теорема о циркуляции... 44 Вопросы для самоконтроля……………………………………….. 45 2. Постоянный электрический ток…………………………………………. 47 2.1. Закон Ома для однородного участка цепи…………………………. 47 2.2. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля-Ленца….. 49 2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников…….. 51 2.4. Источники тока. Закон Ома для полной цепи……………………… 58 2.5. Химические источники тока. Элемент Вольта…………………….. 62 2.6. Закон Ома для неоднородного участка цепи………………………. 65 2.7. Правила Кирхгофа…………………………………………………… 67 2.8. Закон Ома в дифференциальной форме. Электронная теория проводимости………………………………………………………... 72 Вопросы для самоконтроля……………………………………….. 77 3. Магнетизм…………………………………………………………………. 79 3.1. Магнитное поле. Сила Лоренца……………………………………... 79 3.2. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях…………………………………………………………………. 81 3.3. Сила Ампера………………………………………………………….. 85 3.4. Рамка с током в магнитном поле……………………………………. 87 3.5. Эффект Холла………………………………………………………… 90 3.6. Вычисление магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа…... 92 3.7. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции……………….. 99 3.8. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле. Работа электродвигателя…………………………………………….. 104 3.9. Индуктивность………………………………………………………. 107 3.10. Закон электромагнитной индукции………………………………. 108 4 3.11. Правило Ленца……………………………………………………... 3.12. Явления при замыкании и размыкании тока. Энергия магнитного поля…………………………………………………. 3.13. Генераторы и электродвигатели………………………………….. 3.14. Трансформаторы…………………………………………………... 3.15. Природа электромагнитной индукции…………………………… 3.16. Магнитное поле в веществе………………………………………. 3.17. Теорема о циркуляции магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля………………………………….. 3.18. Молекулярная теория магнетизма………………………………... 3.19. Ток смещения. Уравнения Максвелла…………………………… 3.20. Природа магнетизма………………………………………………. Вопросы для самоконтроля……………………………………….. 4. Электромагнитные колебания и волны…………………………………. 4.1. Колебательный контур……………………………………………… 4.2. Колебательный контур с затуханием……………………………… 4.3. Вынужденные колебания в LCR-контуре……………………….. 4.4. Переменный ток в электрических цепях…………………………... 4.4.1. Активное, индуктивное и емкостное сопротивления…...…. 4.4.2. Закон Ома для переменного тока. Активное и реактивное сопротивления………………………………………………… 4.4.3. Метод векторных диаграмм………………………………….. 4.4.4. Эффективные напряжение и ток……………………………. 4.4.5. Мощность в цепи переменного тока………………………… 4.5. Электромагнитные волны…………………………………………... 4.5.1. Шкала электромагнитных волн…………………………….. 4.5.2. Получение электромагнитных волн………………………… 4.5.3. Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга…………………………………………….. Вопросы для самоконтроля……………………………………….. Список литературы……………………………………………………… 110 115 118 121 124 128 133 137 142 148 152 154 154 159 162 165 165 168 169 174 176 178 181 182 185 186 188 5 ВВЕДЕНИЕ Основной физической величиной, с которой мы будем иметь дело, изучая электричество и магнетизм, является электрический заряд. Попробуем ответить на вопросы – что значит зарядить тело, и что такое его заряд? В настоящее время известно, что в основе всего разнообразия явлений природы лежат четыре фундаментальных взаимодействия между элементарными частицами - гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное. Каждый вид взаимодействия обусловлен определенной характеристикой частицы. Например, гравитационное взаимодействие зависит от масс частиц, электромагнитное – от электрических зарядов. Таким образом, электрический заряд, так же как и масса, является важнейшей характеристикой частиц. Заряду присущи следующие фундаментальные свойства. 1. Электрический заряд может быть двух типов: положительный и отрицательный. Тела, имеющие электрические заряды одного знака, отталкиваются друг от друга, тела с зарядами противоположных знаков – притягиваются. 2. Носителями электрического заряда являются заряженные элементарные частицы – протон и электрон (а также их античастицы – антипротон и позитрон – и некоторые нестабильные частицы: -мезоны, мезоны и т. д.). Все заряженные элементарные частицы обладают одним и тем же по величине зарядом, который называют элементарным и обозначают буквой e. Элементарный электрический заряд равен 1.602 10 19 Кл (Кулон – единица электрического заряда в СИ). За положительный заряд принят заряд протона (+e), за отрицательный – заряд электрона (–e). 3. В любой электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов не изменяется. Это утверждение отражает закон сохранения электрического заряда. Это утверждение очевидно, если в системе не происходит превращений элементарных частиц. Но закон сохранения заряда имеет и более фундаментальный характер – он выполняется в любых процессах рождения и уничтожения элементарных частиц. 4. Электрический заряд является релятивистки инвариантным: его величина не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется он или покоится. В настоящее время известно, что все тела состоят из мельчайших заряженных частиц – положительно заряженных ядер (заряд которых обусловлен наличием в них протонов) и отрицательно заряженных электронов. Причем положительный суммарный заряд тела с высокой степенью точности равен его отрицательному суммарному заряду. Другими словами, число протонов в теле равно числу электронов. Ученые предполагают, что это равенство имеет место не только в масштабах одного тела, но и в масштабах всей Вселенной. Теперь мы можем ответить на вопрос о заряде тела. Заряжая 6 тело, мы, конечно, не создаем никаких новых заряженных частиц (об этом за нас уже позаботилась природа), а лишь отнимаем у него частицы с определенным знаком заряда, нарушая баланс между протонами и электронами, т.е. нейтральность тела. Положительно заряженный протон очень прочно связан с ядром, поэтому зарядить тело, меняя число протонов в нем, – сложная задача. Электроны же сравнительно легко можно вырвать из вещества, например, облучив его, или даже просто при помощи трения. Итак, зарядить тело положительно – значить отнять у него определенное число электронов, а зарядить отрицательно – сообщить телу определенное число лишних электронов. Отметим, что заряды тел порядка 1 нКл = 10-9 Кл можно считать уже весьма значительными. Для того чтобы тело имело такой заряд, число электронов в нем должно отличаться от числа протонов на 10 9 1,6 10 19 6.25 10 9 ! штук. Другими важнейшими ключевыми объектами, о которых пойдет речь в настоящем пособии, являются электрическое и магнитное поля. Фактически, нашей задачей будет изучение характеристик и свойств этих полей. В настоящее время известно, что электрическое поле – это особая форма материи, которая окружает любой электрический заряд и действует только на электрические заряды, а магнитное поле – это особая форма материи, окружающая движущиеся электрические заряды, и действующая только на движущиеся электрические заряды. Эти формы материи обладают энергией. Изучение характеристик и свойств электрического и магнитного полей и будет нашей основной задачей. Отметим, однако, что «внутренняя структура» полей до сих пор еще точно не установлена. Необходимо отметить, что все разделы «Электромагнетизма» в настоящее время имеют развитый математический аппарат. И для лучшего усвоения курса необходимо хорошее знание математики. Материал содержит примеры с решениями и контрольные вопросы. Они поясняют законы физики и показывают их применения. Примеры могут быть не просто полезными при решении практического задания. Их следует рассматривать и как неотъемлемую часть теории, обязательную для изучения. 7 1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА Сначала рассмотрим поля, создаваемые неподвижными заряженными телами, т.е. только поля электрические. Раздел электромагнетизма, изучающий электрические поля неподвижных зарядов, называется электростатикой. 1.1. Закон Кулона Электрические заряды посредством своих электрических полей взаимодействуют друг с другом. Это явление описывается законом Кулона – законом о взаимодействии точечных зарядов: сила взаимодействия F двух неподвижных точечных зарядов q1 и q2 в вакууме направлена вдоль линии, соединяющей оба заряда, прямо пропорциональна величинам этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: F k q1 q 2 r2 (1.1) где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц 9 2 2 12 измерения. В системе СИ k 1 40 9 10 Н м Кл , 0 8,85 10 Ф/м – электрическая постоянная. Сила F является силой притяжения, если заряды имеют разные знаки (рис.1.1), и силой отталкивания, если заряды одного знака. При пользовании законом Кулона необходимо помнить, что он справедлив лишь для точечных зарядов. Точечный заряд – это заряд, не имеющий размеров. В природе таких Рис. 1.1. Схема взаимодействия зарядов не существует, так как не существует точечных зарядов точечных тел. Все тела имеют конечные размеры и могут считаться точечными лишь приближенно, когда их размеры очень малы по сравнению с расстоянием между ними или с размерами каких-то других тел. Попытка применить закон Кулона к заряженным телам конечных размеров может привести к недоразумению. Например, если величина одного из зарядов равна нулю, то по закону кулона F=0. Однако тела конечных размеров, заряженное и незаряженное, всегда притягиваются (вследствие явлений электростатической индукции для металлических тел и поляризации для диэлектриков). Если электрические заряды поместить внутрь диэлектрика, то сила электрического взаимодействия уменьшается в соответствии с выражением: F k q1 q 2 r2 (1.2) 8 где - диэлектрическая проницаемость среды, показывающая, во сколько раз сила взаимодействия точечных зарядов в диэлектрике меньше силы их взаимодействия в вакууме. Одно из самых больших значений имеет вода: Н2О 81 . Примером взаимодействия зарядов в диэлектрике может служить взаимодействие положительных и отрицательных ионов в водных растворах солей. К вопросу об электрическом поле в среде мы еще вернемся в разделе 1.8. 1.2. Электрическое поле и его характеристики О природе взаимодействия электрических зарядов существовало две точки зрения. Одна из них исходила из представления о непосредственном действии тел на расстоянии, без участия каких-либо промежуточных материальных объектов (теория дальнодействия). Другая точка зрения, принятая в настоящее время, исходит из представления, что взаимодействия зарядов передаются с помощью особого материального посредника, называемого электрическим полем. Взаимодействие двух зарядов q1 и q2 можно объяснить так: в пространстве вокруг заряда q1 существует особая форма материи – электрическое поле, которое и действует непосредственно на заряд q2. Действие электрического поля на помещенный в него заряд является основным его свойством. Как уже говорилось выше, сначала речь пойдет об электрических полях, созданных неподвижными зарядами. Такие поля называются электростатическими. Для простоты изложения условимся в дальнейшем в этой главе под словом «поле», «электрическое поле» понимать электростатическое поле, т.е. поле, созданное неподвижными зарядами. Для описания каждой точки электрического поля вводятся две характеристики – напряженность и потенциал. Напряженность поля Е – векторная характеристика электрического поля. Напряженность поля в некоторой точке определяется отношением силы F , действующей со стороны поля на заряд q, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда: F E q (1.3) Из данного определения следует, что напряженность численно равна силе, действующей на единичный положительный точечный заряд, помещенный в данную точку. Единица измерения напряженности в системе СИ E = 1 Н/Кл. 9 Например, значение напряженности поля в некоторой точке 50 Н/Кл говорит о том, что если заряд 1 Кл поместить в данную точку поля, то со стороны поля на него будет действовать сила 50 Н. Векторное уравнение (1.3) показывает, что если заряд q, помещенный в электрическое поле, положительный, то сила, действующая на него со стороны поля, направлена так же, как и напряженность поля. Если же заряд q отрицательный, то вектора Е и F антипараллельны. Из уравнения (1.3) следует: F qE . (1.4) Таким образом, зная напряженность поля E в данной точке, можно определить силу F , действующую на заряд q, помещенный в эту точку поля. Поэтому величина Е получила название силовой характеристики электрического поля. При перемещении электрического заряда в поле кулоновская сила (1.4), действующая со стороны поля на заряд, совершает работу. Говорят, что работу по перемещению заряда совершает электрическое поле. Термин «работа поля» мы будем использовать чаще, чем «работа кулоновских сил». Электростатическое поле обладает очень важным свойством – потенциальностью. Это означает, что a работа поля по перемещению заряда из одной точки поля в другую не зависит от 2 траектории движения заряда, а зависит 1 b q только от начального и конечного положений заряда. Так, работа поля при движении заряда по траектории 1a2 равна Рис. 1.2. работе поля при движении заряда по Схема перемещения заряда траектории 1b2 (рис. 1.2). Потенциальность электрического поля позволяет ввести физическую величину, называемую напряжением, или разностью потенциалов. Напряжением U, или разностью потенциалов 1 2 между двумя точками поля 1 и 2 называется величина, равная отношению работы А электрического поля по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2, к величине этого заряда: U 1 2 А12 q (1.5) Из данного определения следует, что напряжение между двумя точками поля численно равно работе по перемещению единичного положительного заряда из первой точки во вторую. Единица измерения напряжения в СИ U = 1 В (1 вольт). Например, напряжение между двумя точками 20 В означает, что если 10 единичный заряд перенести из одной точки в другую, то поле совершит при этом работу 20 Дж. Разность потенциалов между двумя данными точками поля – величина строго определенная. Само же значение потенциала в какой-то данной точке поля не определено однозначно, так же как, например, не определена высота какого-либо тела, пока не указано относительно какого уровня эта высота откладывается, т.е. пока не указан нулевой уровень высоты. Если какой-либо точке поля приписать нулевой потенциал, то потенциалы остальных точек поля будут иметь уже вполне определенные значения. Чаще всего нулевой потенциал приписывают точке, бесконечно удаленной от зарядов, создающих поле, или любой точке, соединенной проводником с Землей (заземленной точке). Земля представляет собой проводящее тело огромных размеров. Она обладает значительным отрицательным электрическим зарядом. Равный ему положительный объемный заряд содержится в атмосфере, в слое высотой порядка десятков километров. У поверхности Земли напряженность поля приблизительно равна 130 Н/Кл. Считая Землю проводящим шаром и зная напряженность поля у поверхности, можно оценить величину заряда Земли: qЗЕМЛИ 6 10 5 Кл . Термин «тело заземлено» означает, что оно соединено проводником с Землей. При таком соединении, хотя какой-то заряд и может перейти с тела на Землю или наоборот, потенциал Земли практически не меняется. Поскольку Земля по сравнению с любым земным телом простирается до бесконечности и потенциал ее постоянен в любой точке (т.к. Земля – проводник, см. п. 1.7), условились этот потенциал принимать за нуль. Заземлить проводник – значит, сообщить ему потенциал бесконечно удаленных точек, т.е. нулевой потенциал. Перенесем заряд q из некоторой точки в бесконечность или точку, потенциал которой условно принят за нуль. Тогда по уравнению (1.5) получим 0 A1 q A1 q . Таким образом, потенциал некоторой точки – это работа, которую совершает поле при перемещении единичного заряда из данной точки в бесконечность. Работа, совершаемая при перемещении заряда q из данной точки в точку нулевого потенциала A1 q , называется потенциальной энергией заряда в данной точке, т.е. Wp q (1.6) И можно сказать, что потенциал некоторой точки численно равен потенциальной энергии положительного единичного заряда, помещенного в данную точку ( W р q ). Из уравнения (1.5) следует, что работа электрического поля по перемещению заряда q из одной точки в другую: 11 или: A12 q1 2 , (1.7) A12 W p1 W p 2 . (1.8) Знание потенциала в данной точке поля позволяет рассчитать потенциальную энергию заряда q, помещенного в эту точку поля. Поэтому потенциал называют энергетической характеристикой электрического поля. Итак, электрическое поле, являясь полем потенциальным, имеет две характеристики – векторную или силовую Е , и скалярную или энергетическую . Фактически, дальнейшее изложение электростатики сводится к нахождению этих характеристик для полей, создаваемых различными конфигурациями неподвижных зарядов. Понятия «потенциальная сила», «потенциальное поле» и «потенциальная энергия» обсуждались и ранее в разделе «Механика». Работа любых потенциальных сил при перемещении взаимодействующих тел из положения 1 в положение 2 не зависит от способа перемещения тел относительно друг друга и всегда определяется выражением (1.8). Например, работа силы тяжести Атяж mgh1 mgh 2 , Wп mgh – потенциальная энергия тела, центр масс которого поднят на высоту h относительно условно выбранного нулевого уровня; для работы силы упругости пружины Аупр kx12 2 kx22 2 , Wп kx2 2 - потенциальная энергия упругой деформации пружины. Понятия работа и энергия тесно связаны. Энергия определяется как способность тела или системы совершать работу. Если совершить работу над системой, то энергия системы повышается на величину работы. Наоборот, если система сама совершает работу, то ее энергия уменьшается на величину работы. Этому общефизическому принципу вполне соответствует уравнение (1.8) – работа поля (т.е работа самой системы каких-то зарядов или системы каких-то масс) равна убыли потенциальной энергии системы. 1.3. Связь напряженности электрического поля и потенциала Предположим, что нам известен потенциал электрического поля во всех точках пространства. Как найти напряженность поля в некоторой точке? Выберем в пространстве, где существует электрическое поле, декартову прямоугольную систему координат. Перенесем некоторый пробный заряд q вдоль оси x на малое расстояние dх . Тогда работа электрического поля по перемещению заряда q из одной точки в другую 12 dА qx x dx qd , где х и ( х dх ) – начальная и конечная координаты заряда, а d x dx x – изменение потенциала заряда. С другой стороны по определению элементарная работа силы F (на небольшом участке траектории) есть скалярное произведение векторов F и приращения радиус-вектора dr : dA F ,dr Fx dx Fy dy Fz dz , где Fx , Fy , Fz проекции вектора силы на соответствующие оси прямоугольной системы координат. Так как заряд перемещается вдоль оси х , то его координаты y и z не меняются: dy 0, dz 0 . Следовательно, получаем: dA Fx dx qE x dx . Приравнивая правые части полученных для величины dA выражений: qd qE x dx , для проекции вектора напряженности на ось x получим: Ex d , dx (1.9) т.е. проекция вектора напряженности электрического поля на ось x равна производной потенциала по направлению оси x, или, другими словами, равна градиенту потенциала в этом направлении. Аналогично, смещая заряд вдоль оси y или вдоль оси z , можно найти величины проекций E y и E z : d , dy d Ez . dz Ey (1.9,а) (1.9,б) Итак, все три компоненты вектора напряженности электрического поля известны: 13 d d d . E , , d x d y d z (1.9,в) Вектор, стоящий справа в последнем уравнении, называется градиентом скалярной функции x , y , z и обозначается grad . Таким образом E grad , (1.10) т.е. две характеристики электрического поля – напряженность и потенциал связаны друг с другом. Зная потенциал в каждой точке пространства, где существует электрическое поле, можно определить вектор напряженности Е в каждой точке этого пространства, и наоборот. 1.4. Электрическое поле точечного заряда. Принцип суперпозиции Определим напряженность и потенциал электрического поля точечного заряда q на расстоянии r от него. Поместим некоторый «пробный» положительный заряд q0 на расстоянии r от заряда q . Тогда на заряд q0 действует сила, модуль которой определяется выражением (1.1) F k q q0 r2 . По определению напряженности поля (1.3) находим E q F k 2 . q0 r (1.11) Таким образом, величина напряженности электрического поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до точки наблюдения. Согласно (1.3) вектор E направлен так же, как и сила, действующая на «пробный» положительный заряд q0 . Если заряд q положительный, то вектор E направлен вдоль радиус-вектора r (рис.1.3, а), проведенного от точечного Если заряд заряда в точку наблюдения. отрицательный, то вектор E направлен против вектора r (рис. 1.3, б). Таким образом, для проекции вектора E на направление радиус-вектора r , проведенного от точечного заряда в точку наблюдения, получится формула 14 а E Er k б E Рис. 1.3. Схема представления векторов напряженности электрического поля q , r2 (1.11,а) E r 0 , если q 0 , и E r 0 , если q 0 . Напряженность можно записать в векторном виде q Ek 3r r (1.11,б) Теперь определим потенциал поля точечного заряда, для которого формула (1.10) имеет следующий вид Er d , dr где Er проекция вектора напряженности электрического поля на направление радиус вектора, проведенного от точечного заряда в точку, где определяются характеристики поля. Подставляя в нее значение Er из (1.11,а), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: k q d 2 dr r d k q dr , r2 далее интегрируем: d kq dr q C, 2 k r r где С – константа интегрирования. На бесконечно большом расстоянии ( r ) получим C . Имея ввиду нулевое значение потенциала бесконечно удаленных точек, полагаем С 0 . Таким образом, потенциал поля точечного заряда k q . r (1.12) Как потенциал, так и напряженность электростатического поля, подчиняются принципу суперпозиции, который является важнейшим свойством электрического поля. Согласно этому принципу, напряженность поля (потенциал), создаваемая в какой-либо точке пространства системой 15 зарядов, равна векторной (скалярной, с учетом знаков) сумме напряженностей (потенциалов), создаваемых в этой точке каждым из зарядов n E E1 E 2 ... E n Ei , (1.13) i 1 n 1 2 ... n i . (1.14) i 1 Принцип суперпозиции для напряженностей полей точечных зарядов следует из того опытного факта, что сила электрического поля F , действующая на «пробный» заряд q , равна векторной сумме сил F1 F2 , с которыми каждый из зарядов q1 и q2 действует в отсутствии другого на заряд q (рис. 1.4). Отсюда и следует правило векторного сложения напряженностей электрических полей. Действительно, исходя из определения (1.3) напряженности электрического поля следует: F F1 F2 F1 F2 Е E1 E 2 , q q q q F F1 где E1 и E 2 - напряженности полей одного из F2 зарядов в отсутствии другого. Аналогичные рассуждения, конечно, можно провести не только q для двух, но и для любого количества зарядов. q2 Пример 1.1. Определить потенциальную q1 энергию взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2 . Решение. Рассмотрим движение заряда q2 в Рис. 1.4. Схема к принципу поле заряда q1 . Пусть заряд q2 , первоначально суперпозиции полей точечных находившийся на расстоянии r1 от заряда q1 в зарядов точке с потенциалом 1 k q1 r1 , перемещается по произвольной траектории в точку с потенциалом 2 k q1 r2 , находящуюся на расстоянии r2 от заряда q1 . Тогда, согласно (1.7), работа электрического поля заряда q1 по перемещению заряда q2 равна: q q qq qq A q 2 1 2 q 2 k 1 k 2 k 1 2 k 1 2 . r2 r1 r2 r1 16 Работа кулоновских сил, как сил потенциальных, не зависит от способа перемещения зарядов q1 и q2 относительно друг друга и определяется выражением (1.8). Сравнение полученного результата и формулы (1.8) показывает, что потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов определяется выражением: Wp k q1q2 r (1.15) в предположении, что при бесконечно большом расстоянии между зарядами r W p 0 . Потенциальная энергия взаимодействия зарядов положительна, если заряды отталкиваются, и отрицательна, если заряды притягиваются. 1.5. Графическое изображение электрических полей. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности Для большей наглядности электрическое поле часто изображается при помощи силовых линий и эквипотенциальных поверхностей. Силовые линии – это непрерывные E линии, касательные к которым в каждой E точке, через которую они проходят, совпадают с вектором напряженности электрического поля (рис. 1.5). Густота силовых линий (число силовых линий, проходящих через единицу площади) 4 3 пропорциональна напряженности 2 1 электрического поля. Эквипотенциальные поверхности (эквипотенциали) – поверхности равного Рис. 1.5. Силовые линии и эквипотенциали потенциала. Это поверхности (линии), при электростатического поля движении по которым потенциал не меняется. Иначе, разность потенциалов между двумя любыми точками эквипотенциальной поверхности равна нулю. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям и направлены в сторону наиболее резкого убывания потенциала. Этот факт следует из уравнения (1.10) и доказывается в курсе математического анализа разделе «Скалярные и векторные поля». Рассмотрим в качестве примера электрическое поле, создаваемое на расстоянии r от точечного заряда. Согласно (1.11,б) вектор напряженности совпадает с направлением вектора r , если заряд положительный, и 17 противоположен ему, если заряд отрицательный. Следовательно, силовые линии расходятся радиально от заряда (рис. 1.6, а, б). Густота силовых линий, как и напряженность, обратно пропорциональна квадрату расстояния ( r 2 ) до заряда. Эквипотенциальные поверхности электрического поля точечного заряда представляют собой сферы с центром в месте расположения заряда. На рис. 1.7 показано электрическое поле системы двух равных по модулю, но противоположных по знаку точечных зарядов. Мы предоставляем разобрать этот пример читателям самостоятельно. Отметим лишь, что силовые линии всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. В случае электрического поля одного точечного заряда (рис. 1.6, а, б) предполагается, что силовые линии обрываются на очень удаленных зарядах противоположного знака. Считается, что Вселенная в целом нейтральна. Поэтому, если имеется заряд одного знака, то где-то обязательно а б Рис. 1.6. Электрические поля положительного (а) и отрицательного (б) зарядов Рис. 1.7. Электрическое поле двух равных по модулю, и противоположных по знаку точечных зарядов найдется равный ему по модулю заряд другого знака. 18 1.6. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме Основной задачей электростатики является задача о нахождении напряженности и потенциала электрического поля в каждой точке пространства. В п. 1.4 мы решили задачу о поле точечного заряда, а также рассмотрели поле системы точечных зарядов. В этом параграфе речь пойдет о теореме, позволяющей рассчитывать электрическое поле более сложных заряженных объектов. Например, заряженной длинной нити (прямой), заряженной плоскости, заряженной сферы и других. Рассчитав напряженность электрического поля в каждой точке пространства, используя уравнения (1.12) и (1.13), можно вычислить потенциал в каждой точке или разность потенциалов между двумя любыми точками, т.е. решить основную задачу электростатики. Для математического описания введем понятие потока вектора напряженности или потока электрического поля. Потоком (Ф) вектора Е электрического поля через плоскую поверхность площади S называется величина: Ф ES cos , (1.16) где E – напряженность электрического поля, которая предполагается постоянной в пределах площадки S ; – угол между направлением вектора E и единичного вектора нормали n к площадке S (рис. 1.8). Формулу (1.16) можно записать, используя понятие скалярного произведения векторов: E n S Ф E , n S . Рис. 1.8. Расчетная схема (1.15,а) В случае, когда поверхность S не плоская, для вычисления потока ее необходимо разделить на малые части Si , которые можно приблизительно считать плоскими, а затем записать выражение (1.16) или (1.16,а) для каждого куска поверхности и сложить их. В пределе, когда поверхность Si очень мала ( Si 0 ), такую сумму называют поверхностным интегралом и обозначают E , n dS . Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля S через произвольную поверхность S определяется выражением: Ф lim Si 0 E ,n S E ,n dS . i i i i S (1.17) 19 В качестве примера рассмотрим сферу радиуса r , центром которой служит положительный точечный заряд q , и определим поток электрического поля через поверхность этой сферы. Силовые линии (см., например, рис.1.6, а) выходящие из заряда, перпендикулярны поверхности сферы, и в каждой точке сферы модуль напряженности поля один и тот же Еk q q . 2 r 4 0 r 2 S 4r 2 , Площадь сферы E тогда q q ES . 0 S 0 Величина ES и представляет собой поток электрического поля через поверхность сферы. Таким образом, получаем Ф q 0 . Видно, что поток через поверхность сферы электрического поля не зависит от радиуса сферы, а зависит только от самого заряда q . Поэтому, если провести ряд концентрических сфер, то поток электрического поля через все эти сферы будет одинаковым. Очевидно, что число силовых линий, пересекающих эти сферы, тоже будет одинаковым. Условились число силовых линий, выходящих из заряда, принимать равным потоку электрического поля: N ES q 0 . Если сферу заменить любой другой замкнутой поверхностью, то поток электрического поля и число силовых линий, пересекающих ее, не изменятся. Кроме того, поток электрического поля через замкнутую поверхность, а значит и число силовых линий, пронизывающих эту поверхность, равняется q 0 не только для поля точечного заряда, но и для поля, создаваемого любой совокупностью точечных зарядов, в частности – заряженным телом. Тогда величину q следует считать как алгебраическую сумму всей совокупности зарядов, находящихся внутри замкнутой поверхности. В этом и состоит суть теоремы Гаусса, которая формулируется так: Поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равняется q 0 , где q qi алгебраическая i сумма зарядов, заключенных внутри этой поверхности. Математически теорему можно записать в виде Ф S E , n dS q i i 0 . (1.18) 20 Отметим, что если на некоторой поверхности S вектор E постоянен и n, параллелен вектору то поток через такую поверхность Ф E , n dS EdS E dS ES . Преобразуя первый интеграл, мы S S S сначала воспользовались тем, что векторы E и n параллельны, а значит E, n E cos 0 E . Затем вынесли величину E за знак интеграла в силу того, что она постоянна в любой точке сферы S . Применяя теорему Гаусса для решения конкретных задач, специально в качестве произвольной замкнутой поверхности стараются выбирать поверхность, для которой выполняются описанные выше условия. Приведем несколько примеров на применение теоремы Гаусса. Пример 1.2. Рассчитать напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити. Определить разность потенциалов между двумя точками в таком поле. Решение. Предположим для определенности, что нить заряжена положительно. В силу симметрии задачи можно утверждать, что силовые линии будут радиально расходящимися от оси нити прямыми (рис.1.9), густота которых по мере удаления от нити уменьшается по какому-то закону. По этому же закону будет уменьшаться и величина электрического поля E . Эквипотенциальными поверхностями будут цилиндрические поверхности с осью, совпадающей с нитью. Пусть заряд единицы длины нити равен . Эта величина называется линейной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м]. Для расчета напряженности поля применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхности S выберем цилиндр радиуса r и длины l , ось которого совпадает с нитью (рис.1.9). Вычислим поток электрического поля через площадь поверхности цилиндра. Полный поток складывается из потока E через боковую поверхность цилиндра и потока через l n основания S Ф Ф БОК Ф ОСН E , n d S E , n dS . SБОК Рис. 1.9. Расчетная схема SОСН Однако, Ф ОСН 0 , поскольку в любой точке Е на основаниях цилиндра n . Это значит, что E , n 0 в этих точках. Поток через боковую 21 поверхность Ф БОК ES БОК . По теореме Гаусса этот полный поток равен qi 0 . Таким образом, получили i ESБОК 1 0 qi . i Сумма зарядов, находящихся внутри цилиндра, выразим через линейную плотность заряда : qi l . Учитывая, что S БОК 2 r l , получим i Е 2 r l l 0 , откуда: Е 20 r , (1.19) т.е. напряженность и густота силовых линий электрического поля равномерно заряженной бесконечной нити убывает обратно пропорционально расстоянию ( r 1 ). Найдем разность потенциалов между точками, находящимися на расстояниях r1 и r2 от нити (принадлежащими эквипотенциальным цилиндрическим поверхностям с радиусами r1 и r2 ). Для этого воспользуемся связью напряженности электрического поля с потенциалом в виде (1.9,в): Еr d dr . Учитывая выражение (1.19), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: d 20 r dr 2 2 dr d 20 r1 r 1 d r dr 20 r 1 2 r ln 2 . 20 r1 22 Пример 1.3. Рассчитать напряженность электрического поля равномерно E х заряженной плоскости. Определить раз ность потенциалов между двумя n точками в таком поле. Решение. Электрическое поле S равномерно заряженной плоскости показано на рис. 1.10. В силу симметрии силовые линии должны быть перпендикулярны плоскости. Поэтому Рис. 1.10. сразу можно сделать вывод о том, что Схема к расчету электрического поля густота линий, а, следовательно, и равномерно заряженной плоскости напряженность электрического поля при удалении от плоскости меняться не будут. Эквипотенциальные поверхности представляют собой плоскости, параллельные данной заряженной плоскости. Пусть заряд единицы площади плоскости равен . Эта величина называется поверхностной плотностью заряда и измеряется в СИ в единицах [Кл/м2]. Применим теорему Гаусса. Для этого в качестве произвольной замкнутой поверхности S выберем цилиндр длиной l , ось которого перпендикулярна плоскости, а основания равноудалены от нее (рис.1.10). Общий поток электрического поля Ф Ф ОСН Ф БОК . Поток через боковую поверхность равен нулю. Поток через каждое из оснований равен ES ОСН , поэтому Ф ОСН 2 ES ОСН . По теореме Гаусса получим: 2 ES ОСН 1 0 qi . i Сумму зарядов, находящихся внутри цилиндра S , найдем через qi S О . С Н Тогда : поверхностную плотность заряда i 2 ES ОСН S ОСН 0 , откуда: E . 2 0 (1.20) Из полученной формулы видно, что напряженность поля равномерно заряженной плоскости не зависит от расстояния до заряженной плоскости, т.е. в любой точке пространства (в одной полуплоскости) одинакова и по модулю, и по направлению. Такое поле называется однородным. Силовые линии однородного поля параллельны, их густота не меняется. 23 Найдем разность потенциалов между двумя точками однородного поля (принадлежащим эквипотенциальным плоскостям 1 и 2 , лежащим в одной полуплоскости относительно заряженной плоскости (рис.1.10)). Направим ось x вертикально вверх, тогда проекция вектора напряженности на эту ось равна модулю вектора напряженности E x E . Воспользуемся уравнением (1.9): Еx d d Е d Edx dx dx 2 x2 1 x1 d Edx . Постоянную величину E (поле однородно) можно вынести из под знака интеграла: 2 x2 1 x1 d E dx . Интегрируя, получаем: 1 2 Ех2 х1 . Итак, потенциал однородного поля линейно зависит от координаты. Разность потенциалов между двумя точками электрического поля – есть напряжение между этими точками ( U ). Обозначим расстояние между эквипотенциальными плоскостями х1 х2 d . Тогда можно записать, что в однородном электрическом поле: 1 2 U Ed . E1 (1.21) E2 1 Еще раз подчеркнем, что при использовании E1 E2 формулы (1.21) нужно помнить, что величина d не расстояние между точками 1 и 2, а 2 расстояние между эквипотенциальными E2 E1 плоскостями, которым эти точки принадлежат. Пример 1.4. Рассчитать напряженность электрического поля двух параллельных Рис. 1.11. Схема к расчету электрического плоскостей, однородно заряженных с поля двух плоскостей поверхностными плотностями зарядов и . Решение. Воспользуемся результатом примера 1.3 и принципом суперпозиции. Согласно этому принципу результирующее электрическое поле в любой точке пространства Е Е1 Е 2 , где Е1 и Е 2 - напряженности электрических полей первой и второй плоскости. В пространстве между плоскостями вектора Е1 и Е 2 направлены в одну сторону, поэтому модуль напряженности результирующего поля Е σ 2ε 0 σ 2ε 0 σ ε 0 . Во внешнем пространстве вектора Е1 и Е 2 направлены в разные стороны, поэтому Е σ 2ε 0 σ 2ε 0 0 (рис. 1.11). Таким образом, электрическое поле есть 24 только в пространстве между плоскостями. Оно однородно, так как является суммой двух однородных полей. Пример 1.5. Найти напряженность и потенциал электрического поля равномерно заряженной сферы. Суммарный заряд сферы равен Q , а радиус сферы – R . Решение. В силу симметрии распределения заряда силовые линии должны быть направлены вдоль радиусов сферы. Рассмотрим область внутри сферы. В качестве произвольной поверхности S выберем сферу радиуса r R , центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Тогда поток электрического поля через сферу S: Ф ES СФ . Сумма зарядов внутри сферы S радиуса r равна нулю, поскольку все заряды располагаются на поверхности сферы радиуса R r . Тогда по теореме Гаусса: ЕS СФ 0 . Поскольку S СФ 0 , то E 0 . Таким образом внутри равномерно заряженной сферы поля нет. Рассмотрим область вне сферы. В качестве произвольной поверхности S выберем сферу радиуса r R , центр которой совпадает с центром заряженной сферы. Поток электрического поля через сферу S : Ф ES СФ . Сумма зарядов внутри сферы равна полному заряду Q заряженной сферы радиуса R . Тогда по 2 теореме Гаусса: ES СФ Q 0 . Учитывая, что S СФ 4r , получим: E Q Q k 2 . 2 4 0 r r Рассчитаем потенциал электрического поля. Удобнее начать с внешней области r R , поскольку мы знаем, что на бесконечном расстоянии от центра сферы потенциал принимается равным нулю. Используя уравнение (1.11,а) получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: k Q d Q d k 2 dr 2 dr r r dr d kQ r 2 k Q C1 . r Константа С1 0 , поскольку 0 при r . Таким образом, во внешнем пространстве ( r R ): k Q r . Точки на поверхности заряженной сферы ( r R ) будут иметь потенциал kQ R. Рассмотрим область r R . В этой области E 0 , поэтому из уравнения (1.11,а) получаем: 0 d dr C2 . В силу непрерывности функции (r ) константа C2 должна быть равна значению потенциала на поверхности 25 заряженной сферы: С 2 k Q R . Таким образом, потенциал во всех точках kQ R. внутри сферы: Итак, мы получили, что напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой, вне сферы равны напряженности и потенциалу поля, создаваемого точечным зарядом той же величины Q , что и заряд сферы, помещенным в центр сферы. Во внутреннем пространстве поле отсутствует, а потенциал во всех точках одинаков. Электрическое поле (силовые линии и эквипотенциальные поверхности) заряженной сферы изображены на рис. 1.12. Предполагается, что сфера заряжена положительно. Вне сферы силовые линии и распределены в пространстве точно так же, как и силовые линии точечного заряда. Рис. 1.12. Схема к расчету На рис. 1.13 изображены графики электрического поля равномерно зависимости Е (r ) и (r ) . Функция (r ) заряженной сферы Q k 2 R E Q k R R r R r Рис. 1.13. Распределение напряженности и потенциала около равномерно заряженной сферы непрерывна, а функция Е (r ) скачкообразно меняется при переходе через 2 границу заряженной сферы. Величина скачка равна k Q R . Действительно, вблизи заряженной сферы ( r R ) напряженность поля во внешнем 2 пространстве k Q R , а внутри равна нулю. Величину скачка можно выразить через поверхностную плотность заряда на сфере: E k Q Q . 2 2 R 4 0 R 0 26 Заметим, что это общее свойство электростатического поля: на заряженной поверхности проекция напряженности на направление нормали всегда испытывает скачок E 0 независимо от формы поверхности. Рекомендуем проверить этот принцип для поля равномерно заряженной плоскости и поля двух параллельных заряженных плоскостей (примеры 1.3, 1.4). С точки зрения математики непрерывность потенциала в точках заряженной поверхности означает, что im (r ) im (r ) . С точки зрения r R0 r R 0 физики непрерывность функции (r ) можно объяснить следующим образом. Если бы потенциал на границе некоторой области имел бы скачок (разрыв), то при бесконечно малом перемещении некоторого заряда q из точки 1, лежащей с одной стороны границы, в точку 2, лежащую на другой ее стороне, совершалась бы конечная работа А q (1 2 ) , где 1 и 2 потенциалы точек 1 и 2 соответственно, а величина (1 2 ) равна величине скачка потенциала на границе области. Конечная работа, совершенная на бесконечно малом перемещении, означает, что на границе раздела бы действовали бесконечно большие силы, что невозможно. Напряженность электрического поля, в отличие от потенциала, на границе области может меняться очень резко (скачкообразно). Пример 1.6. Две концентрические сферы радиусов R1 и R2 ( R1 R2 ) равномерно заряжены равными по модулю, но противоположными по знаку зарядами Q и Q (сферический конденсатор). Определить напряженность и потенциал электрического поля во всем пространстве. Решение. Решение этой задачи можно было бы также начать с применения теоремы Гаусса. Однако, используя результаты предыдущего примера и принцип суперпозиции (1.13, 1.14), ответ можно получить быстрее. Во внешних точках пространства ( r R2 ) электрическое поле создается зарядами обеих сфер. Величина напряженности поля первой сферы E1 k Q r 2 и направлена от сфер вдоль радиусов. Величина напряженности 2 поля второй сферы такая же E2 k Q r , но направлена противоположно. Следовательно, согласно принципу суперпозиции, во всех точках внешних пространства электрическое поле будет отсутствовать Е Е1 Е 2 0 . Рассмотрим точки пространства между сферами ( R1 r R2 ). Эти точки являются внутренними для отрицательно заряженной сферы, поэтому в этой области Е2 0 (см. пример 1.5). Для положительно заряженной сферы эти 2 точки являются внешними, поэтому E1 k Q r . Таким образом, величина 27 2 напряженности поля в этой области Е E1 k Q r . Здесь поле создают только заряды меньшей сферы. Наконец, во внутренних точках пространства ( r R1 ) Е1 0 и Е2 0 , поэтому электрического поля в этих точках нет. Аналогично можно применить принцип суперпозиции и для потенциалов. Получаются следующие результаты: r R2 : 0 ; Q Q k ; r R2 Q Q k const . r R1 : k R1 R2 R1 r R2 : k Рекомендуем самостоятельно получить эти результаты, а также схематически изобразить электрическое поле и построить графики Е (r ) и (r ) . 1.7. Проводники в электрическом поле По своим электрическим свойствам все вещества делятся на проводники и непроводники, или диэлектрики. Проводником обычно называется среда, в которой имеется достаточное число свободных электрических зарядов. Например, в металлах в 1 см3 содержится около 1023 свободных электронов, которые могут двигаться внутри металла свободно, но не могут покинуть его поверхности (без какого-либо дополнительного воздействия на металл, например, облучения). В диэлектриках свободных электронов менее 106 в 1 см3, а в хороших диэлектриках менее 103 в 1 см3 (концентрацию свободных носителей определяют, используя эффект Холла, см. п. 3.5). Хорошими проводниками электрического тока являются не только металлы, но, например, еще растворы электролитов и ионизованные газы. Пока мы будем рассматривать только металлы. Металлы имеют кристаллическую структуру. В узлах кристаллических решеток металлов находятся положительно заряженные ионы, а валентные электроны могут свободно передвигаться между ними в различных направлениях по всему объему. Совокупность свободных электронов в металле называют электронным газом. ind ind 28 Если металлическую пластинку поместить в электрическое поле (см. рис. 1.14), то свободные электроны E0 будут перемещаться внутри нее под действием поля против силовых линий, пока результирующее поле Eind внутри металла не станет равным нулю, а, следовательно, будет равна нулю и сила, действующая на электроны внутри металла. В Рис. 1.14. Схема электрического поля у металлической пластины результате под действием внешнего электрического поля на поверхности пластины появятся заряды с поверхностными плотностями ind и ind . Эти заряды называются индуцированными. Электрическое поле индуцированных зарядов и компенсирует внешнее электрическое поле. Пример 1.7. Тонкую металлическую пластину помещают в однородное электрическое поле напряженностью Е0 100 кВ м перпендикулярно силовым линиям. Определить поверхностную плотность индуцированных зарядов на гранях пластины. Решение: В равновесии напряженность электрического поля внутри металла равна нулю. С другой стороны она складывается из напряженности внешнего поля Е 0 и напряженности поля, созданного индуцированными зарядами Еind . Так как пластина достаточно тонкая, то можно считать, что электрическое поле индуцированных зарядов однородно и рассчитать его так же, как и поле двух равномерно заряженных плоскостей (см. пример 1.4): Еind ind 0 . Таким образом: 12 5 7 2 0 Е0 Еind ind 0 Е0 8,85 10 10 8,85 10 (Кл м ) . Поверхностную плотность индукционных зарядов можно представить в виде: еn , где е модуль заряда электрона, а n число электронов, приходящееся на единицу поверхности 8,85 10 7 n 5,5 1012 штук/м 2 . 19 e 1,6 10 Для компенсации внешнего поля достаточно ничтожной доли от общего числа электронов ( 10 23 штук/см3 ) в металле. Мы рассмотрели пример с металлической пластиной. Естественно, что в равновесии электрическое поле внутри металла будет равно нулю в образцах 29 любой формы. Индуцированные заряды всегда текут в такие участки поверхности проводника, чтобы поле внутри него обратилось в нуль. Пример 1.8. Доказать, что все точки металла имеют один и тот же потенциал, т.е. металлы – эквипотенциальны. Решение. В равновесии поле внутри металла отсутствует: Е 0 . Воспользуемся уравнением (1.10): d 0, dx d 0, 0 grad dy const . d 0. dz Поскольку силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям, электрическое поле вблизи проводника должно быть нормально к его поверхности. (Это понятно, так как если бы поле имело касательную составляющую, то электроны задвигались бы вдоль поверхности проводника). В качестве примера на рис. 1.15 показано электрическое поле точечного заряда вблизи поверхности Земли (Земля – проводник). Напомним, что тело является заряженным, если количества отрицательных и положительных зарядов частиц, из которых оно состоит, не совпадают. Если эти количества совпадают, то Рис. 1.15. Электрическое отрицательный суммарный заряд тела поле точечного заряда вблизи поверхности Земли компенсируется положительным суммарным зарядом, и тело является нейтральным. Пример 1.9. Доказать, что внутри заряженных металлов (проводников) не может быть свободных нескомпенсированных зарядов. Весь заряд металла располагается на его поверхности. Решение: Используем теорему Гаусса. Выберем внутри металла произвольную замкнутую поверхность, тогда поток электрического поля через эту поверхность Ф=0, поскольку в равновесии внутри металла поле отсутствует, т.е. Е 0 . По теореме Гаусса получаем: 0 qi 0 , откуда следует доказываемое утверждение: q i i 0 , т.е. область, ограниченная i произвольно выбранной поверхностью внутри металла, оказывается 30 нейтральной. Весь нескомпенсированный заряд металла может располагаться только на его поверхности. Результат, полученный в примере 1.9, можно объяснить следующим образом. Нескомпенсированные электрические заряды должны располагаться на поверхности проводника потому, что между ними действуют кулоновские силы отталкивания. Эти силы заставляют одноименные заряды разойтись на как можно большее расстояние друг от друга, т.е. расположиться на поверхности проводника. Поверхностная плотность электричества будет максимальна на наиболее удаленных выступающих частях проводника, например, на остриях. Поверхностная плотность зарядов на остриях может быть настолько большой, что возникает электрический пробой воздуха. Вблизи острия воздух ионизируется, становится проводником и «снимает» заряды с острия. На этом основано действие молниеотвода. Заряженные тучи нейтрализуются, «снимая» заряды противоположных знаков прежде всего с наиболее выступающих, острых предметов на поверхности Земли. Теперь поместим во внешнее электрическое поле пустотелый проводник, например, металлический шар с полостью (рис. 1.16). Мысленно 2 1 заполним объем полости 1 металлом. E Тогда поле повсюду внутри шара будет равно нулю. При этом на поверхности шара возникнут индуцированные заряды, поле которых компенсирует внешнее поле. Рис. 1.16. Пустотелый металлический Объем 1 в целом электрически шар в электростатическом поле нейтрален (см. пример 1.9). Если теперь «вырезать» этот объем, вследствие его нейтральности это никак не скажется на равновесии индуцированных зарядов на поверхности проводника. Следовательно, не изменится и электрическое поле индуцированных зарядов. Оно по-прежнему будет компенсировать внешнее электрическое поле теперь уже в полости. Таким образом, если полость целиком окружить проводником, то внутри полости электрическое поле будет отсутствовать, как и в толще проводника. На этом основан принцип электростатической защиты различного оборудования, которое помещается внутрь металлической полости. 1.8. Электрическое поле в диэлектриках 31 Поместим в однородное электрическое поле диэлектрическую пластину (рис. 1.17). Опыт показывает, что в этом случае поле внутри пластины будет меньше, чем во внешней области (в вакууме или воздухе), но отлично от нуля. пол пол E0 Уменьшение до нуля электрического поля в металлической пластине (см. пример 1.7) было связано с появлеEпол нием на ее поверхности индуцированных зарядов. Можно предположить, что на поверхностях диэлектрической пластины также появляются заряды Рис. 1.17. Схема электрического поля противоположных знаков, поле которых у диэлектрической пластины частично компенсирует внешнее поле. Появление на поверхности диэлектрика зарядов во внешнем поле называется поляризацией диэлектрика, а сами заряды – поляризационными. Откуда же берутся поляризационные заряды? В диэлектриках свободных электронов очень мало, их перемещение по объему диэлектрика крайне затруднено. Такие электроны не смогли бы уменьшить внешнее электрическое поле в несколько раз и на роль поляризационных зарядов не годятся. Основную же роль здесь играют связанные заряды – заряды, входящие в состав атомов и молекул. Эти заряды не могут перемещаться по всему объему вещества, они могут лишь смещаться внутри электрически нейтральных молекул. Поляризация диэлектрика является результатом поляризации каждой его молекулы (атома). Причем механизм поляризации зависит от свойств молекул диэлектрика. Молекулы могут быть полярными и неполярными. Если центры тяжести всех положительных и отрицательных зарядов молекулы совпадают, то молекула называется неполярной. В противном случае молекула является полярной. В качестве простых примеров можно привести жидкие диэлектрики: вода (Н2О), молекулы которой полярные, и тетрахлорметан ССl4, молекулы которого неполярные. Рассмотрим вначале механизм поляризации полярных молекул. Полярную молекулу можно приближенно рассматривать как диполь. Диполь (двойной полюс) представляет собой систему двух равных по модулю, но противоположных по знаку зарядов, находящихся на некотором (обычно малом) расстоянии l друг от друга (рис. 1.18). Величина p q l называется дипольным моментом. Вектор l принято направлять от отрицательного заряда к положительному. В случае полярных молекул, состоящих из многих атомов l - расстояние между центрами тяжести положительных и отрицательных зарядов молекул, а q - полный заряд всех протонов в молекуле. l 32 В отсутствие внешнего электрического поля диполи (полярные молекулы диэлектрика) ориентированы хаотически. В любой части диэлектрика Рис. 1.18. находится одинаковое количество положительных и Схема диполя. отрицательных зарядов, и, вследствие хаотической ориентации молекул, суммарное поле, создаваемое этими молекулами (связанными зарядами) равно нулю. Во внешнем электрическом F поле на полярную молекулу действуют E силы, стремящиеся повернуть диполь по направлению силовых линий (см. рис. 1.19). Таким образом, электрическое поле F стремится упорядочить расположение молекул. Этому препятствует тепловое движение молекул. В зависимости от Рис. 1.19. величины напряженности электрического Схема полярной молекулы в поля, определенная часть молекул распоэлектрическом поле. ложится так, что их дипольные моменты будут направлены вдоль силовых линий поля (рис. 1.20). Вследствие E0 упорядочения в расположении молекул на поверхности диэлектрика появляются нескомпенсированные связанные заряды, которые и называются поляризационными (поля зарядов, находящихся внутри объема диэлектрика компенсируют друг друга). В случае тонкой диэлектриРис. 1.20. ческой пластины, помещенной в Схема влияния электрического поля на однородное внешнее поле с напрятепловое движение молекул женностью Е 0 , поле поляризационных зарядов можно рассчитать как поле двух равномерно заряженных пластин с поверхностными плотностями зарядов пол и пол (см. рис. 1.17, 1.20). Таким образом, Епол σ пол ε 0 , и результирующее поле внутри диэлектрика меньше, чем во внешнем пространстве: Е Е0 пол 0 . q q 33 Итак, поляризация диэлектриков, состоящих из молекул с отличным от нуля дипольным моментом, имеет преимущественно ориентационный характер. Теперь обсудим механизм поляризации диэлектриков, состоящих из атомов, либо неполярных молекул (частиц, дипольный момент которых равен нулю). Атом можно представить как положительно заряженное ядро, вокруг которого находятся электронные «облака» отрицательно заряженных электронов. В отсутствие внешнего электрического поля центр «тяжести» электронных «облаков» совпадает с положением ядра, т. е. центром «тяжести» положительного заряда. Если атом поместить в E 0 электрическое поле, силы, действующие на электроны и ядро, будут направлены в разные стороны. В результате электронные «облака» искажаются (рис. 1.21). Теперь центры тяжести Рис. 1.21. Схема искажения отрицательных и положительных зарядов в электронного «облака» во атоме уже не совпадают. Атом можно внешнем электрическом поле рассматривать как диполь, ориентированный вдоль силовых линий внешнего электрического поля Е 0 . Диполь, появляющийся во внешнем электрическом поле называется индуцированным диполем. Аналогичным образом происходит поляризация неполярных молекул. Механизм поляризации диэлектриков, состоящих из неполярных частиц, называется электронным или деформационным. Результат этой поляризации такой же, как и в случае ориентационной поляризации полярных диэлектриков. Поскольку индуцированные диполи ориентированы вдоль поля, на поверхности диэлектрика опять-таки появляются поляризационные заряды, поле которых частично компенсирует внешнее поле. Существует еще один механизм поляризации диэлектриков, который называется ионной поляризацией. Ионная поляризация наблюдается в твердых ионных кристаллах. Кристаллическая решетка таких кристаллов состоит из подрешетки положительных ионов и подрешетки отрицательных ионов, «вставленных» одна в другую. Под действием электрического поля, к примеру, в кристалле NaCl, подрешетка ионов Na+ будет смещаться по полю, а подрешетка ионов Cl против поля, и на поверхности кристалла появятся поляризационные заряды. Явление уменьшения напряженности электрического поля в диэлектриках было экспериментально исследовано Фарадеем еще в середине 19 века. Понятно, что полностью объяснить это явление удалось гораздо позднее. Для этого потребовались знания о строении вещества, строении атомов и молекул. 34 1.9. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектриках При поляризации диэлектрика в каждом небольшом его объеме происходит упорядочение в направлении дипольных моментов его молекул. В результате каждую область диэлектрика можно охарактеризовать некоторым суммарным дипольным моментом (равным векторной сумме дипольных моментов отдельных молекул). Для того, чтобы охарактеризовать состояние поляризации диэлектрика в каждой небольшой его области, вводят понятие вектора поляризации Р . Вектором поляризации Р называют дипольный момент единицы объема диэлектрика. В различных областях диэлектрика вектор Р может быть разным. Поляризация, при которой вектор Р в каждой небольшой области диэлектрика один и тот же, называется однородной. Очевидно, что однородно поляризованным будет диэлектрик, помещенный в однородное внешнее электрическое поле. Пусть диэлектрик помещен в пол пол однородное внешнее электрическое поле Е 0 . Мысленно вырежем из диэлектрика n прямоугольный параллелепипед, ребро которого параллельно Е0 . Поверхностную плотность 1 2 поляризационных зарядов на гранях 1 и 2 E0 обозначим пол и пол (рис. 1.22). Рассчитаем суммарный дипольный момент параллелепипеда. Можно считать, Рис. 1.22. Схема поляризации диэлектрика во внешнем что наш образец состоит из ряда диполей электрическом поле длиной и дипольными моментами i qi ,пол , qi ,пол – где i-й поляризационный заряд на грани 2. Суммарный дипольный момент образца равен qi ,пол qi ,пол пол S , i i где S площадь каждой из граней 1 и 2. Тогда согласно данному определению вектор поляризации: пол S пол S пол P пол n . V S Проекция вектора поляризации на направление нормали n к грани 2: 35 Рn пол . (1.22) Уравнение (1.22) можно записать в виде: ( Р, n) пол . Полный поляризационный заряд на поверхности S диэлектрика в общем случае определяется поверхностным интегралом: q σ d S ( P i ,пол пол ,n) dS . i S S Полученное выражение имеет общий характер. Оно будет справедливо и в случаях, когда поляризационные заряды свободные находятся на неплоских поверхностях и заряды поляризация неоднородна. Итак, проекция вектора поляризации на направление нормали к поверхности равна суммарному заряду, смещенному при поляризации диэлектрика вдоль нормали через единичную площадь. Выражение (1.22) поляризационные S показывает, что вектор поляризации заряды 2 измеряется в Кл/м . Рис. 1.23. Схема к применению Теперь рассмотрим применение теотеоремы Гаусса для электрического ремы Гаусса для электрического поля в поля в диэлектриках диэлектриках. Для определенности выберем равномерно заряженную плоскость, находящуюся в какой-либо диэлектрической среде (рис. 1.23). Так же как и в примере 1.3, в качестве произвольной поверхности S выберем цилиндр длиной l , ось которого перпендикулярна плоскости, а основания равноудалены от нее. Теперь внутрь поверхности S попадут не только свободные заряды, находящиеся на плоскости, но и связанные заряды, появляющиеся вследствие поляризации диэлектрической среды (на рис. 1.23 показаны диполи, «разрезанные» поверхностью S на две части – отрицательные заряды этих диполей оказались внутри поверхности S ). Поэтому теорему Гаусса (1.18) в этом случае правильно будет записать в следующем виде: E , n dS S q q i ,пол i i i 0 , (1.23,а) 36 q i сумма свободных зарядов, находящихся внутри поверхности S , а qi ,пол сумма нескомпенсированных связанных или поляризационных где i i зарядов, находящихся внутри поверхности S . С другой стороны, из опыта известно, что электрическое поле в диэлектрике уменьшается в некоторое число раз по сравнению с полем в вакууме. Это число называется диэлектрической проницаемостью среды и обозначается . Величина зависит только от свойств диэлектрика и не зависит от величины внешнего электрического поля. Такое уменьшение электрического поля в диэлектрике можно было бы учесть, «поправив» теорему Гаусса следующим образом: E ,n dS S q i i . 0 (1.23,б) Выражения (1.23,а) и (1.23,б) – суть одно и тоже. На практике для определения электрического поля в диэлектрических средах, конечно, пользуются выражением (1.23,б), поскольку сумма поляризационных зарядов, попавших внутрь какой-либо поверхности в объеме диэлектрика – величина неизвестная, а величина для каждого диэлектрика определена экспериментально. Для описания электрического поля в изотропном диэлектрике вводится вспомогательный вектор: D 0 Е , (1.24) называемый вектором электрического смещения. Теорему Гаусса для электрического поля в диэлектриках можно записать через вектор D . Простые преобразования выражения (1.23,б) дают следующий результат: D , n dS q . i S (1.23,в) i Поскольку в правой части выражения (1.23,в) осталась только сумма свободных зарядов (сравните с формулой 1.23,а), говорят, что вектор электрического смещения характеризует электрическое поле только свободных зарядов (или определяется только свободными зарядами). При одном и том же распределении свободных зарядов этот вектор будет одним и тем же, не зависимо от среды, в которой находятся эти заряды. 37 Все заряженные объекты, рассматриваемые в примерах 1.3 - 1.6, можно проанализировать теперь и в диэлектрической среде. Для этого нужно использовать теорему Гаусса в виде (1.23,б) или (1.23,в). Естественно, что в полученных результатах для напряженностей и потенциалов всякий раз будет появляться величина диэлектрической проницаемости в знаменателе. Например, поле заряженной плоскости (см. пример 1.3) определяется выражением: Е , 2 0 (1.20,а) а поле между двумя противоположно заряженными плоскостями (см. пример 1.4): Е . 0 (1.20,б) Если полая равномерно заряженная сфера (или металлический шар) (см. r R напряженность пример 1.5) находятся в диэлектрике, то при электрического поля сферы E Q Q , k 4 0 r 2 r2 а потенциал k Q . r k Q . R Потенциал самой сферы В заключение отметим, что между тремя векторами D , Е и Р существует связь, определяемая уравнением: D 0 E P . (1.25) Комбинируя (1.24) и (1.25), можно получить: P 0 (ε 1) E или: P 0 E Величина 1 называется поляризуемостью диэлектрика. (1.26) 38 В неизотропных диэлектриках, диэлектрические свойства которых зависят от направления, векторы D , Е и Р не параллельны и уравнения 1,24 и 1.25 не справедливы. Поэтому в общем случае именно уравнение (1.25) является определением вектора электрического смещения. +q –q d S Рис. 1.24. Схема конденсатора 1.10. Конденсаторы Конденсатором называется система из двух изолированных друг от друга проводников. Эти проводники обычно называют пластинами, хотя они могут иметь любую форму. На практике конденсаторы используются как «накопители зарядов» или «резервуары», в которых содержится энергия электрического поля, используемая в тех или иных целях. Если на пластины поместить одинаковые по величине, но противоположные по знаку заряды q и q , то между пластинами возникнет разность потенциалов 1 2 U . Емкостью конденсатора называется величина: q . С U (1.27) Единица измерения емкости в СИ C = 1 Ф (1 фарад). 1 Ф – это очень большая емкость. На практике величина емкости редко превышает одну миллионную часть Фарада. Емкость конденсатора зависит только от его геометрических характеристик, сорта диэлектрика между пластинами, и не зависит от сообщаемых ему зарядов. Докажем этот факт на примере плоского конденсатора, обкладками которого являются две металлические пластины находящиеся на небольшом расстоянии друг от друга и разделенные слоем диэлектрика (рис.1.24). Если расстояние между пластинами гораздо меньше их линейных размеров, то можно считать, что электрическое поле между пластинами однородно и равно по величине (см. пример 1.4 и формулу 1.20,б) Е , 0 где q S поверхностная плотность заряда на пластинах, S площадь пластин. Тогда разность потенциалов между пластинами (см. (1.21)): 39 U Ed q . 0 0 S Подставляя эту величину в формулу (1.27) для емкости плоского конденсатора, получим: С 0 S . d С1 (1.28) С2 Для того чтобы получить заданную емкость, можно С3 использовать не один, а сразу несколько конденсаторов. Систему из нескольких конденсаторов называют батареей конденсаторов. Емкостью батареи конденсаторов U0 называется величина C 0 q 0 U 0 , где q0 полный заряд Рис. 1.25. Схема батареи, полученный от источника, а U 0 напряжение, параллельного поданное на батарею конденсаторов. соединения конденсаторов Конденсаторы можно соединять параллельно либо последовательно. При параллельном соединении конденсаторов между собой соединены все положительные и отрицательные обкладки (рис. 1.25). В этом случае все конденсаторы заряжаются до одной и той же разности потенциалов U1 U 2 U 3 U 0 , общий заряд такой батареи q0 q1 q 2 q3 C1U 1 C 2U 2 C3U 3 U 0 (C1 C 2 C3 ) и, следовательно, емкость всей системы: C0 q0 C1 C 2 C3 U0 (1.29) Итак, емкость группы параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. 40 При последовательном соединении конденсаторов (рис. 1.26) отрицательная обкладка С1 С2 С3 первого конденсатора соединена с положительной обкладкой второго, отрицательная обкладка второго с положительной обкладкой третьего и т. д. В этом случае на всех конденсаторах одинаковыми будут заряды: q1 q2 q3 q0 . Действительно, если от исU0 точника напряжения на левую обкладку первого конденсатора придет заряд q , то Рис. 1.26. Схема последовательного вследствие явления индукции (см. пример 1.7) соединения конденсаторов на его правой обкладке возникнет заряд q , а на левой обкладке второго конденсатора соответственно заряд q и т.д. В целом выделенная на рис. 1.26 часть цепи должна быть нейтральна, так как она не соединена с источником напряжения. Общее напряжение на батарее конденсаторов (между самыми крайними обкладками всей системы, соединенными с источником напряжения) будет складываться из напряжений на каждом конденсаторе: U 0 U1 U 2 U 3 . Используя формулу (1.27), получим: q0 q1 q2 q3 . C0 C1 C 2 C3 Поскольку все заряды равны, то: 1 1 1 1 . C0 C1 C2 C3 (1.30) Формула (1.30) показывает, что емкость группы последовательно соединенных конденсаторов всегда меньше емкости каждого из этих конденсаторов в отдельности. Предлагаем читателям самостоятельно обобщить формулы (1.29) и (1.30) и вывести соответствующие выражения для произвольного числа конденсаторов. Понятие емкости можно перенести также и на уединенный заряженный проводник. Если предположить, что вторая обкладка находится очень далеко (на бесконечности), то ее потенциал будет равен нулю и напряжение между обкладками такого конденсатора будет равно просто потенциалу уединенного 41 заряженного проводника U 1 2 1 . Таким образом, уединенного заряженного проводника называется величина С q . емкостью (1.31) Например, для емкости уединенного заряженного металлического шара, находящегося в диэлектрической среде ( k q R ), получим: C q R . q k k R Пример 1.10. Два проводника с емкостями С1 и С2 и потенциалами 1 и 2, расположенные далеко друг от друга, соединяются проводящей проволокой. Определить потенциалы проводников после соединения. Считать, что электроемкость проволоки пренебрежимо мала. Решение. При соединении проводников с различными потенциалами проводящей проволокой часть заряда одного проводника перетекает по проволоке на другой проводник так, что потенциалы проводников выравниваются. Действительно, в равновесии (отсутствии токов) потенциал любой точки проводящей системы, состоящей из проводников и проволоки, будет одинаков (см. пример 1.8). Выравнивание потенциалов проводников полезно уяснить себе и с точки зрения закона Ома, который будет обсуждаться в следующей главе. Ток по проволоке прекратится, когда разность потенциалов (или напряжение) на ее концах будет равна нулю. Если проводники расположены далеко друг от друга, то потенциал каждого из них можно рассчитывать как потенциал уединенного проводника при помощи формулы (1.31). Пусть q1 и q2 заряды проводников до соединения, а q1 и q2 заряды проводников после соединения. Тогда, используя закон сохранения заряда, находим потенциал проводников после соединения: q1 q2 q1 q2 C11 C22 C1 C2 C11 C2 2 . C1 C2 Так как электроемкость проволоки пренебрежимо мала, мы не учитываем ее заряд. Полученный результат показывает, что если электроемкость одного из проводников очень велика по сравнению с электроемкостью другого проводника ( С1 С 2 ), то его потенциал меняться практически не будет 42 ( 1 ). Например, при соединении проводника с землей (заземлении) его потенциал становится равным потенциалу Земли, который принимают равным нулю. 1.11. Энергия электрического поля Для того чтобы зарядить конденсатор, очевидно, нужно затратить некоторую работу. Следовательно, заряженный конденсатор обладает энергией, которая и будет равна работе, затраченной на его зарядку. Возникает ряд вопросов. Откуда взялась эта энергия? Где и в каком виде она сосредоточена? Убедится в том, что в конденсаторе действительно запасена энергия, можно и экспериментально. Например, если обкладки заряженного конденсатора соединить проволокой, то она нагреется. В этом случае энергия конденсатора переходит во внутреннюю энергию проволоки в результате кратковременно текущего тока. Аналогичным образом к заряженному конденсатору можно присоединить лампочку. В результате она на мгновение вспыхнет. И, наконец, всем известно, какая громадная энергия выделяется при разряде молнии в гигантском конденсаторе «облако – Земля». Для того чтобы ответить на поставленные в начале этого параграфа вопросы, рассчитаем сначала работу, необходимую для зарядки плоского конденсатора, а, следовательно, и энергию плоского конденсатора. Возьмем плоский незаряженный конденсатор, обкладки которого разделены слоем диэлектрика и будем небольшими порциями каким-либо образом переносить электроны с одной обкладки на другую. При этом на одной обкладке появятся лишние электроны, и она будет заряжаться отрицательно, а на второй обкладке будет их недостаток, и она будет заряжаться положительно. Отметим, что способ переноса электронов роли не играет. Сейчас мы ставим «мысленный» эксперимент. Далеко не все «мысленные» эксперименты можно вообще осуществить на практике. Однако в физике они широко используются теоретиками для проведения математических расчетов. Итак, пусть в момент, когда обкладки уже были заряжены зарядом q , с одной обкладки на другую был еще перенесен заряд dq . Работа dA , необходимая для переноса заряда dq не зависит от траектории заряда и противоположна по знаку работе электрического поля (см. (1.7)): dA dq( 2 1 ) dqU . Далее воспользуемся определением емкости конденсатора (1.27): U q C . Тогда работа по переносу порции заряда dq с одной обкладки на другую dA qdq C . Интегрируя последнее выражение, находим полную работу, необходимую для заряжания конденсатора до заряда q : 43 q qdq q 2 A . C 2 C 0 Используя формулу (1.27), полученное выражение можно записать и так: СU 2 . А 2 Следовательно, энергия заряженного конденсатора: CU 2 . W 2 (1.32) Выразим полную энергию конденсатора электрического поля между пластинами (см. 1.20,б): q ; Е 0 S 0 через напряженность q 2 ( ES0 ) 2 0 Е 2 W Sd . 0 S 2C 2 2 d Теперь вычислим объемную плотность энергии w или энергию, приходящуюся на единицу объема конденсатора: W W 0 E 2 w . V Sd 2 Используя связь (1.24) между напряженностью электрического поля Е и вектором электрического смещения D полученный результат можно записать так: w ЕD . 2 (1.33) Объемная плотность энергии конденсатора уже не зависит от каких-либо его геометрических характеристик. Она выражается лишь через характеристики электрического поля конденсатора. Таким образом, можно предположить, что энергия конденсатора – это энергия электрического поля, заключенного между его обкладками. Тогда становятся ясными превращения энергии в опытах, 44 описанных в начале параграфа. Всякий раз при разрядке конденсатора электрическое поле между обкладками исчезает, а энергия электрического поля переходит в другие виды энергии. Выражение (1.33) для плотности электрического поля в какой то точке пространства (небольшой области), доказанное нами в случае электрического поля конденсатора, является универсальным. В общем случае энергия неоднородного электрического поля, заключенная в некотором объеме V, рассчитывается через объемный интеграл: W w dV V V ED dV . 2 В заключение отметим, что энергия электрического поля уединенного заряженного проводника: C 2 . W 2 (1.34) Это выражение можно получить примерно так же, как и выражение (1.32). 1.12. Потенциальность электрического поля. Теорема о циркуляции В начале этой главы, изучая электрическое поле в вакууме, мы уже отмечали его потенциальный характер. Электрическое поле будет потенциальным и в веществе. Вообще, электрическое поле любой системы зарядов (свободных или связанных) является потенциальным. Напомним, что потенциальный характер электрического поля выражается в том, что работа по перемещению электрического заряда из точки 1 в точку 2 в электрическом поле не зависит от формы траектории и определяется выражением А q (1 2 ) . Если точки 1 и 2 совпадут, то А q(1 2 ) 0 . Потенциальность электрического поля равносильна утверждению, что работа электрического поля по перемещению какого-либо заряда по замкнутой траектории равна нулю. С другой стороны, работу по перемещению заряда по какой-либо кривой L можно вычислить по формуле: А ( F ,dl ) . L Используя формулу (1.4), для работы по замкнутой траектории получим: 45 A ( qE , dl ) q ( E , dl ) . L L q ( E В силу потенциальности электрического поля , dl ) 0 , отсюда L (поскольку q 0 ): (E ,dl ) 0 (1.34) L Криволинейный интеграл ( E ,dl ) 0 называется циркуляцией L электрического поля по замкнутому контуру L . Мы получили, что циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру L равна нулю. Это утверждение называется теоремой о циркуляции электрического поля. Теорема равносильна тому факту, что электрическое поле, созданное любой системой зарядов, является потенциальным. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ. 1. Какие частицы являются носителями электрического заряда? 2. Что значит зарядить тело? Изменяется ли при этом его масса? 3. Если потереть газетой детский воздушный шар, а затем приблизить его к потолку и отпустить, он станется висеть у потолка. Почему? 4. Сформулируйте закон Кулона. 5. С какой силой действуют два одноименных и равных по величине заряда на третий заряд, помещенный посередине между ними? 6. Зависит ли сила взаимодействия зарядов от среды, в которой они находятся? 7. Каким образом заряды, находящиеся на некотором расстоянии друг от друга, взаимодействуют? 8. Дайте определение напряженности электрического поля. 9. Что называется напряжением между двумя точками поля? 10. Объясните, что такое потенциал некоторой точки поля и потенциальная энергия заряда, находящегося в данной точке. 11. Как связаны две характеристики электрического поля – напряженность и потенциал? 12. Потенциал возрастает по мере удаления от точечного заряда. Каков знак заряда? 13. Сформулируйте принцип суперпозиции. 46 14. Электрическое поле создают два разноименных точечных заряда, равных по абсолютной величине. Как направлен вектор напряженности в точках, равноудаленных от этих зарядов? Чему равен потенциал в этих точках? 15. Изобразить графически электрическое поле двух равных по абсолютной величине а) разноименных, б) одноименных точечных зарядов. 16. Рядом с нейтральным металлическим шаром находится точечный заряд. Изобразить картину силовых линий электрического поля во всем пространстве. То же самое сделайте для точечного заряда, находящегося вблизи поверхности Земли. 17. Сформулируйте теорему Гаусса. Приведите примеры её применения. 18. Пусть Е1=100 В/м – напряженность электрического поля в точке, удаленной на расстоянии r1=1 см от а) точечного заряда, б) длинной заряженной нити, в) равномерно заряженной пластины больших размеров. Чему будет равна напряженность электрического поля во всех перечисленных случаях при r2=0,5 см? 19. Как изменяется напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния до центра а) равномерно запряженной сферы, б) двух разноименно заряженных равными по абсолютной величине зарядами концентрических сфер? Постройте графики. 20. Чем строение проводников отличается от строения диэлектриков? 21. Что такое электростатическая защита? 22. В каком случае сила электростатического взаимодействия двух металлических шаров больше – при наличии одноименных или разноименных зарядов на шарах (при прочих равных условиях)? 23. Вблизи поверхности Земли существует электрическое поле и его напряженность такова, что разность потенциалов между точками на уровнях головы и пяток может быть равна 200 В. Представляет ли такое напряжение опасность для человека? 24. Два шарика с зарядами +5 нКл и 3 нКл соединяют проволокой. Как распределится заряд на шариках, если а) шарики одинаковые, б) радиус первого шарика в 2 раза больше радиуса второго? 25. Всегда ли между проводником, заряженным положительно, и проводником, заряженным отрицательно, существует разность потенциалов? 26. Опишите процесс поляризации диэлектрика. 27. Почему к заряженному телу притягиваются лёгкие нейтральные бумажки? 28. Какие заряды называются а) поляризационными, б) свободными? 29. Дайте определение вектора электрического смещения. Что характеризует данный вектор? 30. Сформулируйте теорему Гаусса для электрического поля в диэлектриках. 31. Между пластинами заряженного плоского конденсатора, отключенного от источника напряжения, ввели диэлектрик (ε=2). Во сколько раз изменятся величины векторов напряженности и электрического смещения между пластинами? 47 32. Дайте определение вектора поляризации. Каков его физический смысл? 33. Что такое конденсатор. Где и с какой целью его применяют? 34. Дайте определение электроёмкости конденсатора. От каких параметров она зависит? 35. Как изменится плотность энергии электрического поля конденсатора, если его заряд увеличить в два раза? 36. Конденсатор заряжен и отключен от источника напряжения. Каким образом можно увеличить его энергию в два раза? 37. Объясните, что означает термин «потенциальность» электрического поля. 2. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 2.1. Закон Ома для однородного участка цепи Электрическим током называется упорядоченное движение заряженных частиц, например, электронов в металлах. Условимся, что законы постоянного тока мы будем обсуждать на примере металлических проводников. Напомним, что в металле положительные заряды, являющиеся ядрами атомов, связаны в кристаллической решетке и перемещаться не могут. Внешние (валентные) электроны не связаны с определенными атомами и могут более или менее свободно перемещаться по проводнику. Эти электроны называются свободными или электронами проводимости. В равновесии, когда внутри металла поле равно нулю и любая его точка имеет один и тот же потенциал, свободные электроны участвуют в тепловом движении и движутся неупорядоченно по всем направлениям. Электрический ток отсутствует. Если же на концах провода создать разность потенциалов, то условие равновесия будет нарушено, и на тепловое движение электронов наложится их упорядоченное движение, т.е. возникнет электрический ток. Разность потенциалов между какими-либо двумя точками проводника является достаточным условием получения электрического тока. Силой электрического тока называется заряд, протекающий через поперечное сечение проводника в единицу времени. Математически это означает, что сила тока есть производная заряда по времени: I dq q q , dt (2.1) 48 здесь приведены три способа обозначения производной. Единица измерения силы тока – Ампер: 1 А=1 Кл/с. В случае постоянного тока формулу (2.1) можно записать в виде: I q q или I , t t (2.1,а) где q заряд, протекающий через поперечное сечение провода за время t . Отметим, что в определении тока речь идет о любом поперечном сечении проводника. Электроны, проходя через проводник, не накапливаются в каких либо его местах. Количество входящих электронов в какой-либо элемент провода равно количеству выходящих из него электронов. Это означает, что через любое поперечное сечение проводника за одни и те же промежутки времени проходит один и тот же заряд. Такой ток называется установившимся или стационарным. При замыкании цепи ток устанавливается не сразу, время установления тока зависит от характеристик цепи. Однако опыт показывает, что для установления тока достаточно очень малых промежутков времени. Изучая законы постоянного тока, мы будем всегда иметь дело со стационарными токами. Рассмотрим участок цепи (провода), изображенный на рисунке 2.1. За 1 I l а 2 1 R 2 1 >2 б Рис. 2.1. Схема однородного участка цепи направление тока условно принимается то направление, в котором двигались бы под действием разности потенциалов положительные заряды. Другими словами, ток направлен от точки с большим потенциалом к точке с меньшим потенциалом. Поскольку заряд электрона отрицателен, ток в металлах направлен противоположно направлению упорядоченного движения электронов. Разность потенциалов на концах участка цепи называется напряжением на участке цепи: U 1 2 . Величина тока в проводе должна зависеть от приложенного напряжения. Опыт показывает, что сила тока на участке провода прямо пропорциональна напряжению на концах этого провода: 49 I U . R (2.2) Выражение (2.2) представляет собой закон Ома для однородного участка цепи. Величина R в коэффициенте пропорциональности между током и напряжением (1/R) называется электрическим сопротивлением проводника. Сопротивление проводника зависит от его свойств: R l , S (2.3) где удельное сопротивление проводника, зависящее от его материала, l длина, S площадь поперечного сечения проводника. Наименьшим удельным сопротивлением 8 обладают ( 1.47 10 серебро 8 Омм), медь 8 ( 1.55 10 Омм) и алюминий ( 2.5 10 Омм). Сопротивление металлических проводников увеличивается с ростом температуры: (2.4) 0 1 t 0 где 0 удельное сопротивление при 0 С, а постоянная для данного вещества величина, называемая температурным коэффициентом сопротивления. Изменение сопротивления при изменении температуры может быть весьма значительным. Так у лампы накаливания при прохождении по ней тока и нагреве ее спирали сопротивление последней увеличивается более чем в 10 раз. Кроме того, сопротивление металлов существенно зависит от наличия примесей, т.е. чистоты металла. Природу сопротивления и всех перечисленных зависимостей мы еще будем обсуждать в дальнейшем. А пока заметим, что величина сопротивления отражает степень помех, которые испытывают свободные электроны при своем движении по проводнику под действием напряжения. Естественно предположить, что помехи эти связаны с многочисленными столкновениями электронов с атомами кристаллической решетки, в результате которых электроны передают свою энергию этим атомам. В электрических схемах проводник с сопротивлением принято изображать в виде прямоугольника так, как показано на рис.2.1,б. При этом тонкие линии следует рассматривать как соединительные провода с пренебрежимо малым сопротивлением. 2.2. Работа и мощность электрического тока. Закон Джоуля - Ленца 50 При прохождении электрического тока через цепь могут происходить различные явления. Проводники нагреваются, могут иметь место химические изменения в них (например, в растворах электролитов), проводник с током действует на магнитную стрелку (магнитное действие тока). Энергетические изменения в природе можно рассматривать как результат работы некоторых сил. Поэтому мы будем говорить, что все рассматриваемые явления происходят вследствие работы тока. При этом под термином «работа тока» мы будем подразумевать работу сил, действующих на заряженные частицы в проводнике со стороны электрического поля. В этом разделе речь пойдет о тепловом действии тока на участке цепи (рис. 2.1), на концах которого поддерживается постоянная разность потенциалов. Имея в виду определение разности потенциалов (1.5) как работы по перемещению единичного заряда, работу электрического поля в проводнике при прохождении зарядом q разности потенциалов U можно записать: A qU . Согласно определению силы тока (2.1) заряд, прошедший по цепи q I t , и работа электрического поля или работа тока на участке цепи: A IU t . (2.5) Под воздействием электрического поля свободные электроны ускоряются, приобретая кинетическую энергию. Но, как уже отмечалось выше, сталкиваясь с атомами, электроны приобретенную энергию отдают кристаллической решетке металла, усиливая колебания атомов. Температура проводника повышается. Таким образом, работа электрического тока полностью расходуется на нагрев сопротивления: A Q . Используя закон Ома (U IR ), для количества теплоты, выделяющегося на участке цепи можно записать: Q I 2R t . (2.6) Выражение (2.6) является законом Джоуля-Ленца. Для работы электрического тока в единицу времени или мощности тока получаем: A U2 2 P IU I R , t R (2.7) где приведены различные выражения для мощности, получающиеся при помощи закона Ома (2.2). Мощность электрического тока равна количеству теплоты, выделяющемуся в проводнике в единицу времени. Тепловое действие тока в технике хорошо известно. В заключение приведем два примера на использование рассмотренных законов. 51 Пример 2.1. Почему лампочки перегорают чаще всего в момент включения? Решение. Для начала заметим, что выделяющееся тепло не остается внутри провода, а отводится вследствие теплопроводности, излучения или конвекции в окружающее пространство. Так, лампочки специально наполняют для этого инертным газом, служащим проводником тепла, и не реагирующим со спиралью даже при очень высоких температурах. В момент включения нить лампочки еще холодная, а, следовательно, согласно формуле (2.4) ее сопротивление мало. Поэтому в лампе выделяется 2 большая тепловая энергия (тепловая мощность Р U R ), которая не успевает отводиться в окружающее пространство, и нить перегорает. Формула (2.7) дает три варианта расчета тепловой мощности. Какой же вариант следует использовать при решении конкретных задач? Можно ли считать мощность прямо пропорциональной сопротивлению или ее следует считать обратно пропорциональной ему? Пока не известны какие-либо дополнительные данные задачи, ответить на эти вопросы невозможно. Например, если по проводам течет одинаковый ток (это возможно при их последовательном соединении), то тепловую мощность следует считать прямо пропорциональной сопротивлению ( P I 2 R ). Если же всякий раз проводники подключаются к одному и тому же напряжению (как, например, электробытовые приборы), то тепловую мощность следует считать обратно 2 пропорциональной сопротивлению ( Р U R ), как мы и поступили при решении предыдущей задачи. Пример 2.2. При ремонте электроплитки ее спираль укоротили на 0,1 ее длины. Как изменилась теплоотдача плитки? 2 Решение. Теплота, выделяющаяся в плитке за единицу времени Р U R , где U напряжение сети (всякий раз одно и то же), а R сопротивление ее спирали. Учитывая, что R l S , можно написать: P2 U 2 R1 R1 l1S l1 l 1 1 1,11 . P1 R2U 2 R2 Sl 2 l 2 0,9l1 0.9 Как видим, теплоотдача плитки возрастает на 11%. 2.3. Последовательное и параллельное соединение проводников В практике электрические цепи представляют собой самые разные варианты соединения проводников, поэтому нужно уметь сложные цепи поэтапно сводить к двум важнейшим случаям: последовательному и параллельному соединению проводников. Законы параллельного и последовательного соединения проводников 52 выводятся практически так же, как и законы параллельного и последовательного соединения конденсаторов (см. п.1. 10). Рассмотрим участок цепи АВ, состоящий из трех последовательно R3 R1 R2 I 0 соединенных проводников с В А сопротивлениями R1, R2 и R3 (рис. 2.2). По всем проводникам течет один и тот же ток I1 I 2 I 3 I 0 , Рис. 2.2. Схема последовательного соединения сопротивлений где I 0 суммарная сила тока, протекающего через участок АВ (т.е. ток, входящий в точку А и соответственно выходящий из точки В). Если бы это равенство было не верно, то количество заряда, втекшего за единицу времени, например, в первый провод было бы не равного количеству заряда вытекающему из него. Другими словами, в точках соприкосновения проводов накапливались бы заряды, что в стационарном случае невозможно. Полное напряжение на участке АВ U 0 A B равно сумме падений напряжений на каждом проводнике U 0 U1 U 2 U 3 . Общим сопротивлением участка цепи АВ назовем отношение напряжения на концах участка U 0 к полной силе тока I 0 , идущего по участку: R0 U 0 I 0 . Тогда из последних двух уравнений и закона Ома следует: I 0 R0 I1R1 I 2 R2 I 3 R3 . Учитывая равенство токов, получим: I 0 R0 I 0 ( R1 R2 R3 ) . Таким образом, в случае последовательного соединения проводников их общее сопротивление равно сумме сопротивлений: R0 R1 R2 R3 . I0 А I1 R1 I2 R2 I3 R3 В Рис. 2.2. Схема параллельного соединения сопротивлений (2.8) Теперь рассмотрим участок цепи АВ, состоящий из трех параллельно соединенных проводов (рис. 2.2). В этом случае общее падение напряжения на участке U 0 A B равно падению напряжения на каждом проводнике: U 0 U1 U 2 U 3 . Действительно, все сопротивления подключены к одним и тем же точкам А и В и, следовательно, все их левые концы имеют потенциал А , а правые концы B . Общий ток I 0 , 53 идущий по участку, в узле А разделяется на три части, поэтому: I 0 I1 I 2 I 3 . Используя последнее уравнение и закон Ома, определим общее сопротивление R0 участка цепи АВ: 1 1 U0 1 U 0 U1 U 2 U 3 U 0 . R0 R1 R2 R3 R0 R1 R2 R3 Итак, в случае параллельного соединения сопротивление вычисляется по формуле: проводников их общее 1 1 1 1 . (2.9) R0 R1 R2 R3 Предлагаем читателям самостоятельно обобщить формулы (2.8) и (2.9) на случай произвольного количества проводников. Результаты (2.8) и (2.9) легко объяснить на примере двух одинаковых проводников с сопротивлением R. В случае последовательного соединения: 1 1 1 2 R R0 . R0 R R 2 R , а в случае параллельного: R0 R R R 2 Действительно, последовательное соединение двух одинаковых проводников будет эквивалентно увеличению в 2 раза общей длины провода, а, следовательно, увеличению в 2 раза и общего сопротивления (см. (2.3)). Параллельное соединение двух одинаковых проводников эквивалентно увеличению в 2 раза площади сечения провода. В этом случае общее сопротивление уменьшится в 2 раза. Пример 2.3. Найти сопротивление участка цепи АВ (рис. 2.3). Все сопротивления в схеме одинаковы и равны 8 Ом. R2 а б R1 R3 R1 R4 I0 А R5 В В R123 в R45 А R45 В г I0 А R23 В R0 А Рис. 2.3. Схема расчета сопротивления электрической цепи В 54 Решение. Последовательно, шаг за шагом, упрощаем исходную схему (рис.2.3). Заменим параллельно соединенные сопротивления R2 и R3, а также R4 и R5 на их результирующие сопротивления R23 и R45 и от схемы (а) перейдем к схеме (б). Согласно формуле (2.9): 1 1 1 1 1 1 R23 4 Ом. R23 R2 R3 8 8 4 Точно так же получаем R45 4 Ом. Сопротивления R1 и R23 схемы (б) соединены последовательно. По формуле (2.8) находим эквивалентное им сопротивление: R123 R1 R23 8 4 12 (Ом) и переходим к схеме (в). Так как сопротивления схемы (в) соединены параллельно, эквивалентное им сопротивление определяется по формуле (2.9): 1 1 1 1 1 1 R0 3 Ом. R0 R123 R45 12 4 3 Итак, мы нашли сопротивление участка цепи АВ, придя к простейшей схеме (г). Пример 2.4. Определить общий ток в цепи и ток через сопротивление R3 в схеме на рис. 2.3, если разность потенциалов между точками А и В U 0 12 В. Все сопротивления одинаковы и равны 8 Ом. Решение. Прежде всего, нужно определить общее сопротивление участка цепи R0 3 Ом (см. пример 2.3). Далее решение задачи сводится к последовательному расчету схем г, в, б, а. Схема (г). По закону Ома находим ток через сопротивление R0 (общий ток в цепи): I 0 U 0 R0 12 3 4 (Ом). Схема (в). Так как сопротивления R123 и R45 соединены параллельно, то U123 U 45 U 0 12 В. Находим токи через эти сопротивления: I123 U123 R123 12 12 1 А, I 45 U 45 R45 12 4 3 А. Заметим, что ток I 45 можно было определить и по-другому. Для параллельного соединения проводников имеем: I 0 I123 I 45 I 45 I 0 I123 4 1 3 А. Схема (б). Через сопротивления R1 и R23 течет один и тот же ток, так как они соединены последовательно. Причем этот ток равен току через эквивалентное им сопротивление R123 (который мы нашли, рассчитывая цепь (в)): I1 I 23 I123 1 А. Таким образом, мы можем рассчитать напряжение на сопротивлении R23: U 23 I 23 R23 1 4 4 В. Схема (а). Так как сопротивления R2 и R3 соединены параллельно, то U 2 U 3 U 23 4 В (величину U 23 мы нашли, рассчитывая схему (б)). Тогда I 3 U 3 R3 4 8 0,5 А. 55 Токи и напряжения на оставшихся сопротивлениях рекомендуем рассчитать самостоятельно. Пример 2.5. Найти сопротивление между точками А и В цепи, изображенной на рис. 2.4. R1 2 R , R2 2 R , R3 2 R , R4 R . R4 R1 С Решение. Точки цепи 1 и 3 соединены проводом с пренебрежимо малым сопротивлением. Такое В А R3 соединение точек цепи называется коротким замыканием. Падение R5 R2 напряжения на проводе с нулевым D (1 3 ) I 0 0 , сопротивлением откуда следует 1 3 . Таким образом, Рис. 2.5. Схема разветвленной потенциалы точек, замкнутых электрической цепи накоротко, совпадают. Итак, сопротивления R 1 и R2 подсоединены к точкам с одинаковыми потенциалами. Напряжения на этих сопротивлениях совпадают: U1 U 2 (напряжение на первом сопротивлении U1 1 2 , а на втором U 2 3 2 ). Следовательно, можно считать, что сопротивления R1 и R2 соединены параллельно, и точку 1 соединить с точкой 3 (рис. 2.4). Отметим, что соединение точек с одинаковыми потенциалами является одним из принципов нахождения общего сопротивления участка цепи. Используя вышесказанное, преобразуем цепь так, как показано на рис. 2.4. Легко определить, что R12 R . Сопротивления R12 и R4 соединены последовательно и т. д. Конечный результат получить несложно: R0 R . А как быть в случае более сложных схем, в которых невозможно найти ни одной пары сопротивлений, соединенных последовательно или параллельно? Или невозможно указать узлы с одинаковыми потенциалами, как мы это сделали в примере 2.5? Такая схема изображена на рис. 2.5. Здесь, R1 А 3 2 1 R1 R3 R2 R3 R2 В А R4 R12 А В R4 R4 Рис. 2.4. Схема расчета сопротивления участков электрической цепи R3 В 56 например, сопротивления R1 и R4 нельзя считать соединенными последовательно, поскольку между ними есть узел С. В результате через эти сопротивления могут течь разные токи, так как в узле С ток I1 делится на две части – токи I 4 и I 3 . Или, например, сопротивления R1 и R2 нельзя считать соединенными параллельно, поскольку их правые части соединены проводом с отличным от нуля сопротивлением R3. В этом случае потенциалы точек С и D могут не совпадать (потенциал может падать на сопротивлении R3), а значит и напряжение на сопротивлениях R1 и R2 может быть различным. Наиболее универсальным методом для расчета сложных электрических цепей является применение правил Кирхгофа (см. п. 2.6). Здесь же мы покажем, как в некоторых случаях можно обойтись и без этих правил. Замены последовательно или параллельно соединенных сопротивлений на эквивалентные по формулам (2.8) или (2.9) являются простейшими примерами преобразования электрических цепей с двумя выводами. Теперь посмотрим, как «преобразуются» друг в друга схемы, имеющие три вывода, «звезда» и «треугольник» (рис. 2.6). На рис. 2.6 для удобства сопротивления схемы (а) обозначены малыми буквами, а сопротивления схемы (б) – большими с двойным индексом. Например, сопротивление R23 включено между выводами 2 и 3 и т. д. Если мы хотим заменить одну схему другой, наша задача – получить такие соотношения между r и R, чтобы сопротивления между любыми двумя точками были для обеих схем одинаковыми. Для того, чтобы найти сопротивление, например, между точками 1 и 2, нужно подать разность потенциалов на эти точки. Тогда в схеме «звезда» ток через сопротивление r3 не пойдет и сопротивления r1 и r2 соединены последовательно, поэтому сопротивление между точками 1 и 2 равно r1 r2 . В схеме «треугольник» сопротивление между точками 1 и 2 R12 ( R13 R23 ) , R12 R13 R23 1 а 1 б r1 R13 r3 R12 r2 R23 3 2 3 Рис. 2.6. Схема соединения сопротивлений «звезда» (а) и «треугольник» (б) 2 57 (сопротивления R13 и R23 будут соединены последовательно, а их общее сопротивление R13 R23 и сопротивление R12 будут соединены параллельно). Для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковыми в обеих схемах, необходимо, чтобы R ( R R23 ) r1 r2 12 13 . R12 R13 R23 Аналогичные выражения можно получить для точек 1 и 3, 2 и 3: R ( R R23 ) r1 r3 13 12 , R12 R13 R23 r2 r3 R23 ( R13 R12 ) . R12 R13 R23 Решая систему из трех полученных уравнений, получим формулы для прямого: R12 R13 , r1 R R R 12 13 23 R12 R23 , r2 R R R 12 13 23 R13 R23 r3 R12 R13 R23 (2.10) и для обратного преобразования: r1r2 r1r3 r2 r3 R12 r3 r1r2 r1r3 r2 r3 R13 r2 rr rr r r R23 1 2 1 3 2 3 r1 (2.11) Пользуясь формулами (2.10) и (2.11), можно производить замену одной схемы другой. Например, «звезду с сопротивлениями 1 Ом можно заменить «треугольником» с сопротивлениями 3 Ом (рис. 2.7). 58 1 Ом 1 Ом 3 Ом 1 Ом 3 Ом 3 Ом Рис. 2.7. Схема замены соединения сопротивлений «звезды» и «треугольника» Пример 2.6. В схеме на рис. 2.5 R1 R2 R3 R4 3 Ом, R5 11 Ом. Определить: 1) сопротивление участка цепи АВ, 2) ток через сопротивление R5 , если точки А и В подключены к напряжению U 0 12 В. Решение. На рис. 2.8 показана последовательность преобразований схемы. Отметим лишь, что самым первым было преобразование «треугольника» ACD в «звезду». При этом мы воспользовались формулами (2.10) (см. также рис. 2.7). Для общего сопротивления участка АВ получаем R0 4 Ом. Для нахождения общего сопротивления участка можно было выбрать 3 Ом С 3 Ом 1 Ом А В 3 Ом I0 3 Ом 1 Ом А В I0 3 Ом 11 Ом 1 Ом 11 Ом D 4 Ом 1 Ом А В А 1 Ом I0 3 Ом В I0 12 Ом Рис. 2.8. Последовательность преобразования электрических схем несколько вариантов преобразования исходной схемы. Например, можно было сначала «треугольник» CBD превратить в «звезду» или, наоборот, «звезду» с центром в узле С (или D) превратить в треугольник. Однако, помимо общего сопротивления, нам необходимо найти еще и ток через сопротивление R5. 59 Поэтому схему нужно преобразовать так, чтобы не затронуть интересующее нас сопротивление R5. Этим мы и руководствовались при выборе преобразований. Рассматривая упрощенные схемы, также как и в примере 2.4, легко получить, что общий ток, поступающий на участок цепи АВ I 0 3 А, а ток через сопротивление R5: I 5 0,75 А. 2.4. Источники тока. Закон Ома для полной цепи Для того чтобы поддерживать разность потенциалов на концах проводника и, следовательно, существование постоянного электрического тока в проводнике и постоянное тепловыделение, необходимы источники электрической энергии (электрического тока). В источниках такого рода происходит разделение зарядов разных знаков и на выходных клеммах появляется разность потенциалов. Подключим какую-нибудь нагрузку (сопротивление) к источнику электрической энергии. Получим замкнутую цепь. Каким образом движутся заряды вне и внутри источника тока? Прежде всего, еще раз напомним, что мы рассматриваем только стационарные токи, т.е. заряды нигде не накапливаются, а просто циркулируют по замкнутой цепи. Вне источника (во внешней цепи) ток идет от «плюса» к «минусу» (клемма «плюс» – клемма с большим потенциалом, клемма «минус» – клемма с меньшим потенциалом). Таким образом, во внешней цепи заряды движутся в направлении, в котором на них действует электрическое поле внутри проводника: положительные по полю, отрицательные против поля. Внутри источника электрической энергии (во внутренней цепи) ток идет от «минуса» к «плюсу», т.е. заряды движутся в направлении, противоположном тому, в котором на них действует электрическое поле. Значит, внутри источника перемещение зарядов вызывается не электрическим полем, а какими-то иными причинами. Эти причины (химические, механические, световые, магнитные и т. д.) зависят от природы источника тока. Силы, действующие внутри источника электрической энергии, заставляющие заряды двигаться против действия электрического поля, называются сторонними силами. При этом часто при решении каких-то задач природа этих сил значения не имеет и не конкретизируется. Сторонние силы при упорядоченном движении зарядов совершают работу, за счет которой, например, нагреваются сопротивления. Очевидно, что полный запас энергии источника тока равен работе, которую могут совершить сторонние силы. К идее о необходимости действия в замкнутой цепи сторонних сил полезно прийти и иным образом. Представим себе, что на свободные заряды в замкнутой цепи действовали бы одни электрические силы. Известно, что цепь 60 при прохождении по ней тока нагревается. Выделившееся тепло тогда можно было бы рассматривать только как результат работы электрических сил (электрического поля). Но работа электрического поля по перемещению зарядов по замкнутой траектории (в данном случае замкнутой цепи) равна нулю (этот факт подробно обсуждался в п.1.12). А значит, не могла бы нагреваться и цепь, что явно противоречит опыту. Следовательно, где-то в замкнутой цепи обязательно должны действовать силы не электростатического происхождения, работа которых отлична от нуля, т.е. сторонние силы. Место действия сторонних сил в замкнутой цепи и можно назвать источником электрической энергии или источником тока. Важнейшей характеристикой источника тока является электродвижущая сила (ЭДС). Можно дать два эквивалентных определения ЭДС. 1) ЭДС – разность потенциалов на выходных клеммах источника тока при разомкнутой внешней цепи (или когда ток через источник не идет). Далее мы покажем, что в случае разрядки или зарядки источника тока разность потенциалов на его выходных клеммах соответственно меньше ЭДС и больше ЭДС. 2) ЭДС – работа сторонних сил (источника) по разделению единичного заряда (или просто при прохождении через источник единичного заряда): Aист q . (2.12) Из (2.12) следует, что, зная ЭДС источника, силу тока и время его протекания, можно определить работу, совершенную сторонними силами: Аист q I t . (2.13) Обсудим вторую характеристику источника – внутреннее сопротивление. Представим себе, что мы замкнули клеммы источника проводником с исчезающе малым сопротивлением R 0 , другими словами, сделали короткое замыкание источника. Тогда, если бы источник был идеальным, т.е. на его выходных клеммах разность потенциалов была бы всегда равна ЭДС, то по закону Ома мы получили бы I R 0 , т.е. источник давал бы бесконечный ток и в единицу времени совершал бы бесконечно большую работу (см. (2.13)), что невозможно. Таким образом, при работе любого источника обязательно должны существовать какие-либо внутренние механизмы ограничения максимального тока. Эти механизмы могут быть различными в зависимости от природы источника тока. Однако все они могут быть смоделированы, если ввести вторую характеристику источника – внутреннее сопротивление r . В этом случае при коротком замыкании за счет конечного внутреннего сопротивления источника мы получим конечный ток в 61 цепи, называемый током короткого замыкания: I кз r . Это максимальный ток, который может давать источник. Итак, r внутреннее сопротивление источника r – это характеристика, определяющая ток короткого замыкания или максимальные ток и мощность, которые может давать источник. Можно сделать вывод, что какова бы ни R была сложная природа источника тока, его можно охарактеризовать всего двумя параметрами – электродвижущей силой (ЭДС) Рис. 2.9. Схема замкнутой и внутренним сопротивлением. Любой электрической цепи источник тока можно представлять себе как «черный ящик», состоящий из идеального источника ЭДС , разность потенциалов на клеммах которого всегда равна , и последовательно соединенного с ним сопротивления r, которое называется внутренним сопротивлением источника тока. Такая модель источника тока показана на рис. 2.9. На этом же рис. 2.9 к клеммам источника подключено некоторое, отличное от нуля сопротивление R. Поскольку внутреннее и внешнее сопротивления соединены последовательно, полное сопротивление цепи будет R r , и по цепи потечет ток: I Rr . (2.14) Последнее равенство называется законом Ома для полной цепи. Уравнение (2.14) легко преобразуется к виду: Ir IR . Правая часть этого равенства (а значит и левая) есть напряжение на внешнем сопротивлении R. Это напряжение суть напряжение на выходных клеммах источника тока, так как сопротивление R непосредственно к этим клеммам подключено. Таким образом, при разрядке источника током I напряжение на его клеммах: U кл Ir . (2.15) Это напряжение тем ближе к ЭДС, чем меньше внутреннее сопротивление и ток разрядки. При I 0 в соответствии с данным выше первым определением ЭДС из (2.15) получим U кл . Пример 2.7. В схеме на рис. 2.9 12 В, r 1 Ом, R 3 Ом. 1) Определить силу тока в цепи. По закону Ома для полной цепи (2.14) получим: I 12 1 3 3 А. 62 2) Определить напряжение на клеммах источника тока. Напряжение на клеммах источника суть напряжение на нагрузке R: U кл U R IR 3 3 9 В. Естественно то же самое получается и по формуле (2.15). 3) Определить мощность, выделяющуюся во внешней цепи. Мощность, выделяющаяся во внешней цепи, есть мощность, выделяющаяся на нагрузке R, 2 2 поэтому: Рвнеш I R 3 3 27 Вт. 4) Определить мощность, выделяющуюся во внутренней цепи. Конечно, при работе источника тока нагревается не только внешняя нагрузка, но и сам источник, поскольку он обладает внутренним сопротивлением. Мощность, выделяющаяся во внутренней цепи, есть мощность, выделяющаяся на 2 2 сопротивлении r: Рвнутр I r 3 1 9 Вт. 5) Определить мощность источника тока (мощность, развиваемую сторонними силами). Работа источника тока расходуется на нагревание как внешней нагрузки, так и самого источника тока, поэтому: Рист Рвнеш Рвнутр I 2 ( R r ) 36 Вт. Можно рассуждать и по-другому, опираясь на уравнение (2.13): Рист Aист t I 36 Вт. 6) Определить КПД схемы. Полезной следует считать часть мощности источника, которая выделяется на внешнем сопротивлении, поэтому: Рвнеш I 2R R КПД 2 0,75 (или 75%). Рист I (R r) R r 7) Определить максимальный ток, который может давать заданный источник. Ток будет максимален при коротком замыкании источника (т.е. при R 0 ): 12 I кз 12 (А). r 1 Пример 2.8. Каким должно быть сопротивление R при заданных параметрах источника тока и r для того, чтобы во внешней цепи выделялась максимальная мощность? Чему равна эта максимальная мощность? Решение. Пользуясь законом Ома для полной цепи (2.14) для мощности, выделяемой во внешней цепи, можно записать: 2 2 R Рвнеш I R R (R r)2 Rr 2 (2.16) 63 График зависимости функции Рвнеш ( R ) показан на рис. 2.10. Ясно, что эта функция должна иметь точку максимума (т.е. значение R , при котором мощность во внешней цепи максимальна), поскольку из (2.16) следует, что Рвнеш (0) 0 и Рвнеш 0 при R . Найдем точку максимума Рвнеш ( R ) . функции Для этого продифференцируем Рвнеш по сопротивлению R и приравняем производную к нулю: Рвнеш 2 4r R1 R=r R2 R Рис. 2.10. Зависимость мощности, выделяемой во внешней цепи от сопротивления ( R r ) 2 2 R( R r ) 0 Рвнеш 2 , 4 (R r) откуда получаем: R r . Таким образом, мощность, выделяемая во внешней цепи максимальна, когда внешнее сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника (рис. 37). По формуле (2.16) рассчитаем максимальное значение мощности, выделяемой во внешней цепи: Рmax ,внеш 2r 2 Рвнеш ( R r ) . (r r ) 2 4r Отметим, что КПД схемы при этом равен всего на всего 50%, т.е. половина мощности выделяется во внешней цепи и половина – во внутренней: КПД R r 1 . Rr rr 2 Анализируя график на рис. 2.10, можно сделать вывод, что какое-то требуемое значение мощности, выделяемой во внешней цепи, можно получить двумя способами: подключая к источнику тока некоторые сопротивления R1 и R2 , причем R1 r , а R2 r . Какой вариант следует выбрать? Конечно, предпочтение следует отдать второму варианту (т.е. включить большее сопротивление R2 ), поскольку КПД схемы в этом случае будет больше (см. вопрос 6 примера 2.5). При подключении же сопротивления R1 r КПД будет меньше 50%. Во внешней цепи мы тоже получим требуемую мощность, но при 64 Zn этом еще большая мощность будет бесполезно выделяться во внутренней цепи, т.е. расходоваться на нагрев самого источника. В результате источник быстрее израсходует свой ресурс. Cu H+ e– Zn+2 H2SO4 2.5. Химические источники тока. Элемент Вольта Рис. 2.11. Схема элемента Вольта Итак, мы ввели понятие сторонних сил, действующих в замкнутой электрической цепи, рассмотрели модель источников тока, выяснили, что вне зависимости от природы источников, их можно охарактеризовать всего двумя величинами – ЭДС и внутренним сопротивлением. В заключение этого раздела приведем конкретный пример – рассмотрим устройство и работу простейшего (фактически первого в истории) химического источника тока, называемого элементом Вольта. Его изобрел итальянский физик Алессандро Вольта (1745-1827 г.г.). Подобные элементы теперь называются гальваническими элементами. Во всех таких элементах источником энергии является энергия химических окислительно-восстановительных реакций. Элемент Вольта представляет собой два электрода (цинковый и медный), погруженных в водный раствор серной кислоты (рис. 2.11). Серная кислота практически вся диссоциирует в воде: H2SO42H+ + SO4-2. Таким образом, разбавленный раствор кислоты состоит в основном из ионов Н+ и SO4-2, сольватированных молекулами воды (т.е. ионов не просто окруженных, а весьма прочно связанных с молекулами воды). При погружении цинковый электрод начинает растворяться, причем в раствор под действием ионов SO4-2 переходят не нейтральные атомы цинка, а ионы Zn+2. При этом на электроде оказывается избыток электронов, и он становится заряженным отрицательно. Раствор же за счет ионов Zn+2 наоборот, приобретает положительный заряд. Между электродом и раствором возникает разность потенциалов. Естественно, некоторые ионы Zn+2, притягиваясь к отрицательно заряженному электроду, возвращаются обратно. В результате достаточно быстро наступает состояние динамического равновесия, в котором число растворяющихся в единицу времени ионов Zn+2 равно числу ионов Zn+2, возвращающихся в электрод. Опыт показывает, что в положении равновесия потенциал цинкового электрода примерно на 0,65 В меньше потенциала раствора. Если в раствор серной кислоты погрузить медный электрод, будут происходить иные процессы. Медь является достаточно благородным металлом и почти не растворяется в разбавленном растворе серной кислоты. Наоборот, 65 положительные ионы водорода Н+, попадая на медный электрод, отбирают у него свободные электроны и нейтрализуются. При этом медный электрод становится положительно заряженным, а раствор – отрицательно заряженным. В равновесии потенциал медного электрода примерно на 0,35 В выше, чем потенциал цинкового электрода. Таким образом, при одновременном погружении цинкового и медного электродов в раствор серной кислоты в равновесии потенциал медного электрода будет примерно на 0,65+0,35=1,1 В выше, чем потенциал цинкового электрода. Медный электрод образует положительный полюс (с большим потенциалом), а цинковый – отрицательный полюс элемента. Разность потенциалов между электродами при разомкнутой цепи, равная 1,1 В, и есть ЭДС элемента. Соединим теперь цинковый и медный электроды металлическим проводником. Свободные электроны во внешней цепи (в металлическом проводнике) начнут двигаться от цинкового электрода, где имеется их избыток, к медному электроду, где их недостает. Возникнет электрический ток, направленный от меди к цинку. А что же при этом происходит в растворе (внутренней цепи)? Поскольку электроны покидают цинковый электрод, нарушается состояние равновесия цинковый электрод – раствор, в результате чего цинковый электрод за счет растворения стремится восстановить свой прежний отрицательный заряд. За счет прихода электронов по внешней цепи в медный электрод его положительный заряд уменьшается, нарушается состояние равновесия медный электрод – раствор, в результате чего медный электрод, поглощая ионы Н+, восстанавливает свой положительный заряд. Мы видим, что в то время как во внешней цепи от цинкового электрода к медному движутся электроны, во внутренней цепи движутся ионы, причем движутся против действия электрического поля: положительные ионы Н+ перемещаются (диффундируют) к положительному полюсу – медному электроду, а отрицательные ионы SO4-2, способствуя растворению ионов Zn+2, диффундируют к отрицательному полюсу – цинковому электроду. Так в замкнутой цепи осуществляется круговой процесс перемещения электрических зарядов, т.е. электрический ток. При прохождении тока по цепи разность потенциалов между электродами будет поддерживаться постоянной за счет растворения цинкового электрода и осаждения ионов водорода на медном электроде. Но так как оба электрода при этом все время находятся в неравновесном состоянии по отношению к раствору, эта разность потенциалов будет меньше, чем 1,1 В (что согласуется с формулой (2.15)). Стоит только разомкнуть внешнюю цепь, система быстро придет в положение равновесия, окислительно-восстановительные реакции прекратятся, и между электродами возникнет разность потенциалов, равная ЭДС (в нашем случае 1,1 В). Какие же сторонние силы заставляют двигаться заряды против поля внутри источника? Эти силы можно было бы назвать химическими силами. Они действуют на границе электрод – раствор. По существу действие этих сил 66 отражает стремление системы электроды – раствор к положению равновесия, в результате чего в элементе происходят окислительно-восстановительные реакции. Точно так же, например, при отклонении маятника от положения равновесия возникает сила, стремящаяся возвратить его в это положение. Выражение «химическая сила» является весьма формальным. При рассмотрении механизмов химических реакций крайне редко пользуются понятиями «химическая сила», да и просто сила. В теории возможность протекания тех или иных химических процессов рассматривают энергетически, или точнее, при помощи так называемых термодинамических потенциалов – внутренней энергии, энтальпии, свободной энергии (энергии Гельмгольца) и потенциала Гиббса. Так при постоянных давлении и температуре равновесному положению системы отвечает минимум потенциала Гиббса. Именно стремление системы к минимуму потенциала Гиббса заставляет, например, растворяться цинковый электрод в растворе кислоты. Работа химических сил, совершаемая против сил, действующих со стороны электрического поля, есть работа источника тока. Эта работа равна энергии, выделяющейся при химических окислительно-восстановительных реакциях в элементе (для элемента Вольта суммарную реакцию можно выразить уравнением Zn+H2SO4=ZnSO4+H2). Таким образом, источник энергии электрического тока – энергия, выделяющаяся при химических реакциях между электродами и раствором кислоты. При работе элемента за счет тока будет нагреваться внешняя цепь, но, естественно будет нагреваться и сам реакционный сосуд – внутренняя цепь. Мы уже знаем, что нагрев внутренней цепи (так же как и конечную величину тока короткого замыкания источника) можно формально объяснить, приписав источнику некоторое внутреннее сопротивление. При коротком замыкании элемента потенциалы двух электродов будут равными, так как напряжение во внешней цепи U I R I 0 0 . При этом система электроды – раствор будет более всего далека от своего равновесного состояния, а значит процессы растворения цинкового электрода и осаждения ионов водорода на медном электроде сильно активизируются, и по цепи потечет максимально возможный ток – ток короткого замыкания. Поскольку для протекания описанных процессов необходимо присутствие ионов SO4-2 вблизи цинкового электрода и Н+ – вблизи медного, величина тока короткого замыкания ограничена, например, конечной скоростью диффузии ионов Н+ и SO4-2 в растворе. Все процессы, ограничивающие величину тока короткого замыкания, учитываются формально величиной внутреннего сопротивления источника. Может показаться, что время нормальной работы элемента ограничено полным растворением цинкового электрода или полным осаждением ионов водорода на медном электроде. В действительности же, в результате осаждения ионов водорода медный электрод достаточно быстро как бы заменяется водородным и ЭДС элемента уменьшается. Явление выделения побочных продуктов на электродах, ослабляющее их ЭДС, называется поляризацией 67 а) разрядка источника гальванических элементов. Для того чтобы устранить это явление, нужно 1 2 R подобрать электроды и электролиты таким образом, чтобы состав электродов при работе элемента б) зарядка источника оставался прежним. Например, в I 2 r 1 элементе Даниэля цинковый и медный электроды погружены в 1 2 R разные растворы ZnSO4 и CuSO4 соответственно, соединенные Рис. 2.12. Схема неоднородного пористой перегородкой. При работе участка электрической цепи этого элемента цинковый электрод растворяется, а на медном электроде выделяется медь, так что его состав не изменяется. В других источниках электрической энергии могут происходить иные процессы, могут действовать иные сторонние силы. Однако, роль и смысл сторонних сил всегда одни и те же. Сторонние силы поддерживают разность потенциалов во внешней цепи, а их работа по перемещению единичного заряда во внутренней цепи по определению равна ЭДС. 1 r I 2 2.6. Закон Ома для неоднородного участка цепи Неоднородный участок цепи в отличие от однородного включает источник тока (рис. 2.12). На таком участке цепи на свободные заряды кроме сил электрического поля действуют сторонние силы. Значит, и работу на таком участке совершают как электрическое поле, так и источник тока. Результат работы всех сил, действующих на участке цепи с активным сопротивлением при прохождении тока, может быть единственным – нагревание сопротивления. Следовательно, для неоднородного участка цепи Аэл Аист Q . (2.17) Это уравнение полезно сравнить с аналогичным уравнением для однородного участка цепи Аэл Q , которое использовалось при выводе закона ДжоуляЛенца (2.6). В случае однородного участка работу совершает только электрическое поле. Будем считать, что источник тока (рис. 2.12,а) разряжается, т.е. ток направлен от точки с потенциалом 1 к точке с потенциалом 2 . Пусть q заряд, прошедший по участку цепи. Тогда Аэл q(1 2 ) , а из определения ЭДС (см.(2.13)) Аист q . Тепло выделяется как на внешнем сопротивлении 68 R , так и на внутреннем сопротивлении источника r , поэтому по закону 2 Джоуля-Ленца Q I ( R r ) t . Учитывая, что q I t , из (2.17) получим: I (1 2 ) t I t I 2 ( R r ) t . Отсюда следует: (1 2 ) I ( R r ) . (2.18) Выражение (2.18) и представляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи. Вывод закона Ома для неоднородного участка в случае, когда источник тока заряжается, во многом аналогичен выводу, приведенному выше. В этом случае, очевидно, где-то в цепи есть иные источники, которые заряжают наш источник и обуславливают направление тока, показанное на рис. 2.12,б. Работа источника теперь будет отрицательной Аист q . Если химическая реакция в элементе обратима, то, пропуская ток в обратном направлении, заряжая источник, можно восстановить исходное состояние элемента, т.е. восстановить запасы его энергии. В прямой химической реакции при разрядке источника энергия q выделяется, а в обратной реакции точно такая же энергия поглощается источником. Если в первом случае источник совершает положительную работу А q , то во втором случае ее следует считать отрицательной А q . Работа электрического поля теперь будет равна Аэл q(2 1 ) , так как положительный заряд переносится от точки с потенциалом 2 к точке с потенциалом 1 . Записывая закон сохранения энергии, и выполняя простейшие преобразования, получим: (2 1 ) ε I ( R r ) . (2.18,а) Рассмотрим несколько частных случаев. 1) Исключим из участка цепи источник тока. Тогда 0 , r 0 и, как и следовало ожидать, из (2.18) получим закон Ома для однородного участка цепи: 1 2 IR U IR . 69 I1 I2 I5 I3 I4 Рис. 2.13. Узел электрической цепи 2) Соединим (закоротим) точки 1 и 2, тогда 1 2 , и мы получили замкнутую цепь (рис. 2.9). Из (2.18) закономерно следует закон Ома для замкнутой цепи: I (R r) . 3) Исключим из участка цепи внешнее сопротивление R . Тогда в случае разрядки источника из (2.18,а) получим, что разность потенциалов на его клеммах: 1 2 I r (сравните с полученной ранее формулой (2.15)). При достаточно больших токах напряжение на клеммах источника может оказаться больше ЭДС. В случае зарядки источника из (2.18,а) получим, что разность потенциалов на его клеммах: 2 1 ε Ir ε В заключение подчеркнем, что закон Ома для неоднородного участка цепи является, по сути, прямым следствием закона сохранения энергии (и, конечно, закона Джоуля-Ленца). 2.7. Правила Кирхгофа Простые электрические цепи достаточно легко рассчитываются с применением законов Ома и законов последовательного и параллельного соединения проводов. Более сложные разветвленные электрические цепи удобнее рассчитывать при помощи правил Кирхгофа. Рассмотрим произвольную разветвленную цепь, на отдельных участках которой включены источники тока с известными характеристиками. Точка цепи, в которой сходится более двух проводов (рис. 2.13), называется узлом. Первое правило Киргхофа. Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов, вытекающих из узла: (2.19) I вх I вых . Эквивалентная формулировка первого правила Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю I i 0 . При этом втекающим и вытекающим из узла токам приписываются противоположные знаки. В нашем случае (рис. 2.13): I 2 I 4 I1 I 3 I 5 . 70 1 Первое правило Кирхгофа, по сути, является следствием закона сохранения 1, r1 заряда. Оно также отражает тот факт, что R3 при постоянном токе в узле не I3 происходит нарастающее во времени R1 3, r3 накопление заряда того или иного знака. I1 Для этого нужно, чтобы количество заряда, втекающее в узел в единицу I2 времени, было равно количеству заряда, 3 2 2, r2 R2 вытекающего из него. Второе правило Кирхгофа. В Рис. 2.14. Фрагмент электрической произвольном замкнутом контуре цепи с замкнутым контуром. алгебраическая сумма ЭДС, действующих в этом контуре, рана сумме падений напряжений на отдельных участках этого контура: i I i Ri (2.20) Некоторые слагаемые в (2.20) как слева, так и справа могут быть отрицательными. При решении конкретных задач токи на отдельных участках первоначально расставляются произвольным образом. Затем произвольным образом выбирается положительное направление обхода замкнутого контура (по часовой или против часовой стрелки). Если ток течет вдоль положительного направления, его берут со знаком «+», если против положительного направления – со знаком «». Если ЭДС действует вдоль положительного направления, т.е. при обходе контура источник проходится от клеммы «» к клемме «+», то значение ЭДС берется со знаком «+», и наоборот. Если в результате расчета сила тока получится отрицательной, то значит, мы не угадали направление тока на данном участке и его просто следует изменить на противоположное. Сама же величина тока, независимо от того, как мы расставим токи в начале решения задачи, получится правильной. Для доказательства второго правила Кирхгофа рассмотрим произвольный замкнутый контур в цепи, который в общем случае может включать в себя внешние сопротивления и ЭДС на каждом участке (от узла до узла). Положительным будем считать направление по часовой стрелке. Пусть для определенности наш контур включает три участка (рис. 2.14). Направление токов расставим произвольно. Применим закон Ома (2.18) к каждому из трех неоднородных участков цепи. Для первого участка 2-1 работа электрического поля положительна, а работа источника (он заряжается) отрицательна, поэтому: (2 1 ) 1 I1R1 I1r1 . 71 На втором участке цепи 2-3 также работа электрического поля положительна, а работа источника отрицательна, поэтому: (2 3 ) 2 I 2 R2 I 2 r2 . На третьем участке цепи 3-1 работа источника положительна, поэтому: (3 1 ) 3 I 3 R3 I 3r3 . Сложим правые и левые части трех последних уравнений, предварительно домножив первое уравнение на «1». Тогда все потенциалы сократятся, в результате получим: 1 2 3 I1R1 I1r1 I 2 R2 I 2r2 I3R3 I 3r3 . Последнее уравнение совпадает с формулировкой второго правила Кирхгофа (2.20) с учетом всех замечаний, сделанных по поводу знаков токов и ЭДС (выражения типа I r можно формально рассматривать как падения напряжений на внутренних сопротивлениях). Отметим, что второе правило Кирхгофа, являясь следствием закона Ома для неоднородного участка цепи, по сути дела является следствием закона сохранения энергии. Правила Кирхгофа применимы и в том случае, когда в цепь включены неомические, т.е. не подчиняющиеся закону Ома ( U IR ) элементы. Такие элементы еще называются нелинейными, поскольку зависимость напряжения на них от силы тока нелинейная. Нелинейными являются, например, большинство радиотехнических элементов: диоды, транзисторы, электронные лампы. Расчеты ведутся также, только падение напряжения на нелинейном элементе следует обозначать не IR , а U . Второе правило Кирхгофа при этом имеет вид: i U i . Рассмотрим примеры. 72 B A I1 I2 1, r1 C I3 2, r2 F E R D Рис. 2.15. Схема электрической цепи с параллельным соединением источников тока Пример 2.9. Параллельное соединение источников тока. В схеме на рис. 2.15 1=14 В, r1 0,5 Ом, 2=12 В, r2 1 Ом, R 5 Ом. Определить токи во всех ветвях. Решение. Произвольно расставим токи во всех ветвях (рис. 2.15). В цепи имеется два узла: В и Е. Запишем первое правило Кирхгофа для узла В (для узла Е получится то же самое уравнение): I1 I 2 I 3 . Так как в задаче три неизвестных тока, необходимо три уравнения. Для этого достаточно рассмотреть какиелибо два замкнутых контура цепи и записать для них второе правило Кирхгофа. Контур АВЕFA: 1 2 I1r1 I 2r2 . Контур АВСDEFA: 1 I1r1 I 3 R . Отметим, что положительное направление обхода контуров задает последовательность букв, которыми они обозначены. Например, в контуре АВЕFA положительное направление обхода – по часовой стрелке. Напомним, что ЭДС первого источника взята со знаком «+», так как при движении вдоль контура по часовой стрелке он проходится от клеммы «» к клемме «+». ЭДС второго источника взята со знаком минус, так как при движении по часовой стрелке он проходится от клеммы «+» к клемме «». В правой части уравнения оба тока взяты знаком «+», поскольку они текут вдоль положительного направления обхода - по часовой стрелке. Такие же правила использованы и для контура АВСDEFA. Перед решением полученной систему из трех уравнений удобно подставить в них известные величины: I I I , 1 2 3 14 12 0,5I1 I 2 , 14 0,5I1 5I 3 . В результате решения системы получаем ответ: I1 3 А, I 2 0,5 А, I 3 2,5 А. Так как все токи получились положительными, их направления были случайно указаны верно. 73 Анализируя полученный результат, можно сделать вывод, что первый источник питает не только нагрузку R , но и заряжает второй источник. Второй источник играет роль «паразита». Однако такая схема все-таки иногда используется на практике. Например, в системах электрического питания автомобилей роль первого источника играет генератор постоянного тока, а роль второго – аккумулятор. Если на питание нагрузки расходуются небольшие токи (общее сопротивление внешней цепи велико), то генератор не только питает нагрузку, но и еще подзаряжает аккумулятор. При увеличении тока, потребляемого нагрузкой, направление тока I 2 (рис. 2.15) может изменится, и аккумулятор начинает разряжаться, работая синхронно с генератором. Допустим, что к нагрузке R (рис. 2.15) параллельно подключена еще точно такая же нагрузка. Тогда сопротивление внешней цепи становится равным R 2 2,5 Ом. Третье уравнение системы изменится, и решение становится другим: I1 4,47 А, I 2 0,24 А, I 3 4,71 А. Отрицательное значение второго тока и свидетельствует о том, что он теперь направлен в сторону, противоположную указанной на рис. 2.15, т.е. разряжается. Для лучшего уяснения всех нюансов, возникающих при применении правил Кирхгофа, рассмотрим пример достаточно разветвленной цепи. Пример 2.10. В схеме на рис. 2.16 R1 R3 R4 1 Ом, R2 2 Ом, 1 2 В, 2 1 В. Определить токи во всех ветвях цепи. Внутренними сопротивлениями источников пренебречь. Решение. Произвольно расставим токи на всех участках цепи (от узла до узла). Всего требуется определить шесть токов. В цепи четыре узла. Применяем первое правило Кирхгофа для трех узлов D, Н и В: Узел D: I1 I 5 I 2 . Узел Н: I3 I5 I 4 . Узел В: I 3 I 6 I1 . R1 C Уравнение для узла F записывать нет необходимости, поскольку оно является просто следствием (линейной комбинацией) уравнений для узлов D, В и Н. Можно сформулировать общее правило: если в цепи имеется n узлов, то первое правило Кирхгофа имеет смысл применить для (n-1) узла. Так как в задаче шесть неизвестных, для ее решения нам необходимо записать шесть уравнений. Оставшиеся три уравнения получим, применяя I1 R2 D E I2 I5 1 R3 B I3 A I6 R4 H F I4 2 G Рис. 2.16. Схема разветвленной электрической цепи 74 второе правило Кирхгофа для каких-либо трех замкнутых контуров в цепи таким образом, чтобы все ЭДС и сопротивления входили в систему уравнений. Учитывая, что внутренние сопротивления пренебрежимо малы, получим: Контур АВНFGA: 2 I 3 R3 I 4 R4 . Контур ВСDHB: 1 I1R1 I 3 R3 . Контур DEFHD: 1 I 2 R2 I 4 R4 . Далее подставляем численные значения ЭДС и сопротивлений и решаем систему уравнений. Ответ: I1 5 7 А, I 2 6 7 А, I 3 9 7 А, I 4 2 7 А, I 5 11 7 А, I 6 4 7 А. Токи I1 и I 3 получились отрицательными, следовательно, они направлены в стороны, противоположные указанным на рис. 2.16. 2.8. Закон Ома в дифференциальной форме. Электронная теория проводимости Запишем закон Ома в другом виде. Для этого введем векторную величину, ориентированную по локальному направлению тока и называемую плотностью электрического тока: jI S , (2.21) где I ток, текущий в проводнике, а S площадь поперечного сечения проводника. В результате получим: I U U 1 U . S RS l l S S Величина 1 называется удельной проводимостью ( - удельное сопротивление). Учитывая, что U l E напряженность электрического поля в проводнике, получим: j E . (2.22) j Уравнение (2.22) представляет собой закон Ома в дифференциальной форме. Плотность тока прямо пропорциональна напряженности электрического поля в проводнике. Предполагается, что сама проводимость от напряженности электрического поля Е не зависит. Однако на практике наблюдаются отклонения от линейной зависимости j (E ) . Например, если при достаточно сильных полях скорость упорядоченного движения электронов 75 достигает скорости звука в металле ( 103 м/с), то возбуждаются звуковые колебания кристаллической решетки металла, что приводит к уменьшению времени свободного пробега электронов, и, следовательно, падению величины проводимости . Каким образом можно теоретически обосновать законы Ома (2.2) и (2.22)? Ясно, что для этого необходимо детально рассмотреть движение электронов внутри проводника и понять природу электрического сопротивления. Мы рассмотрим классическую электронную теорию сопротивления металлов (теория Друде – Лоренца), созданную в конце XIX – начале XX веков. Для начала рассмотрим движение электронов в проводнике. В металлах имеются свободные электроны, которые могут двигаться по всему объему металла. Если потенциалы концов проводника равны, то электроны движутся хаотически, и сила тока равна нулю. Скорость такого хаотического движения можно приблизительно оценить, рассматривая их движение подобно тепловому движению молекул газа. Среднеквадратичная 2 скорость такого движения находится из условия mv 2 3 2 kT , откуда при комнатных температурах ( Т 300 К) получаем: 3k T 3 1,38 10 23 300 v 1,2 105 (м/с). 31 m 9,1 10 Столь высокие скорости, конечно, обусловлено очень малой массой электронов. Такая оценка будет более точной для полупроводников, где концентрация свободных электронов не очень велика. Для металлов, вообще говоря, пользоваться выводами молекулярно-кинетической теории нельзя из-за большой концентрации электронов проводимости. Более точная, квантовая теория показывает, что скорость хаотического движения электронов в металлах v 10 6 м/с и практически не зависит от температуры. Если же на концах провода создать разность потенциалов, то на хаотическое движение электронов наложится их упорядоченное движение от более низкого потенциала к более высокому. Другими словами, под действием электрического поля каждый электрон приобретает некоторую добавочную скорость u . Будем называть ее дрейфовой скоростью, а упорядоченное движение электронов – дрейфом электронов. Наложение на хаотическое движение электронов дрейфового движения приведет к тому, что у электронов появится преимущественное направление движения, т.е. возникнет электрический ток. Ток и его плотность определяются величиной дрейфовой скорости электронов. За время t через некоторое сечение провода S успевают пролететь только те электроны, которые изначально находятся не далее чем на расстоянии L u t от сечения, т.е. электроны, находящиеся в объеме V S L S u t . 76 Пусть n концентрация свободных электронов в проводнике, тогда число электронов, прошедших за время через сечение провода t N n V n S u t . Заряд, который они перенесли q N e n e u S t . Тогда сила тока I q t n e u S , а плотность тока: j I neu . S (2.23) Пример 2.11. Оценить скорость дрейфового движения электронов в медном проводнике сечением 1 мм2 при силе тока 1 А, считая что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Решение. Скорость дрейфового движения электронов рассчитаем по формуле (2.23). Для этого определим концентрацию электронов проводимости или равную ей по условию задачи концентрацию атомов меди. Число атомов m V NA , где N A постоянная Авогадро, количество вещества, плотность меди, молярная масса меди объема V: N N А N A меди. Тогда концентрация атомов n N 8900 N A 6 10 23 8,3 10 28 м-3. V 0,064 Находим скорость дрейфового движения: u I 1 7,53 10 5 (м/с) 0,075 (мм/с) . S n e 10 6 8,3 10 28 1,6 10 19 Этот пример позволяет сделать вывод о том, что скорость дрейфового движения электронов значительно меньше скорости их теплового движения. Теперь проанализируем природу электрического сопротивления. Классическая электронная теория сопротивления металлов предполагает, что при движении в электрическом поле электроны сталкиваются с ионами кристаллической решетки металла. При каждом столкновении с ионами решетки электроны полностью теряют скорость дрейфового движения, приобретенную в результате разгона в электрическом поле. После столкновения электрон снова разгоняется в электрическом поле, приобретая дрейфовую скорость, затем при столкновении с ионом решетки опять теряет ее и т. д. Такие столкновения и ответственны за сопротивление металла. Имея в виду законы классической физики, рассмотрим движение электрона в соответствии со вторым законом Ньютона. В промежутке между двумя столкновениями на электрон действует сила со стороны электрического поля Е : F eE . Под действием этой силы электрон приобретает ускорение a F m eE m и приобретает дрейфовую скорость u a t e E t m . Пусть 77 u среднее время между eE uср соударениями электрона с ионами 2m решетки. Тогда в момент времени электрон сталкивается с ионом и 0 2 3 t его дрейфовая скорость падает до нуля. График зависимости Рис. 2.17. Зависимость скорости дрейфового скорости дрейфового движения от движения электронов от времени времени представлен на рис. 2.17. Такое кусочно-равноускоренное движение можно представить как равномерный дрейф электрона со средней скоростью uср eE . 2m Тогда по формуле (2.23) плотность тока: ne 2 j E 2m . (2.24) Итак, выражение (2.24) по форме совпадает с (2.22). Плотность электрического тока прямо пропорциональна напряженности электрического поля в проводнике. Сравнивая (2.24) и (2.22), можно сделать вывод о том, что удельная проводимость и удельное сопротивление соответственно имеют вид ne 2 , 2m 2m . ne 2 В современной физике применение классических теорий для описания поведения мельчайших частиц (например, молекул, атомов, электронов) решает вопрос, как правило, лишь частично. Ряд эффектов остается необъясненным. Однако классические теории по праву занимают свое место во всех разделах физики, и прежде всего, из-за своей простоты, наглядности. Именно противоречивые результаты классических теорий привели к необходимости создания «новой» квантовой физики, получившей свое развитие в XX веке. Среднее время между столкновениями электронов с атомами решетки можно представить как l v , где l средняя длина свободного пробега электрона, т.е. расстояние, которое он пролетает за время между двумя последовательными соударениями, а тепловая скорость движения электронов. Тогда для удельного сопротивления получим формулу 2m n e2 l , 78 из которой видно, что чем больше концентрация свободных электронов и длина их свободного пробега, тем меньше сопротивление. Это вполне закономерно. Кроме того, теория объясняет рост сопротивления при повышении температуры, поскольку Т , то и Т . Впрочем, на практике наблюдается линейная зависимость Т (см. формулу (2.4)). Помимо температурной зависимости сопротивления остаются и другие вопросы, которые классическая теория объяснить не в состоянии. Сформулируем некоторые из них. На электросопротивления металлов значительно влияют механическая и термическая обработка, а также примеси. Удельное сопротивление технической меди при 20 0С составляет 0,0172 мкОмм (и далее все сопротивления приведены для этой температуры). После холодной протяжки сопротивление медной проволоки возрастает до 0,0177 мкОмм. Сопротивление возрастает даже при наматывании проволоки на катушку. Очевидно, сопротивление чувствительно к небольшим нарушениям кристаллической структуры. Еще более удивительна разительная зависимость сопротивления от ничтожных примесей. Тщательная очистка уменьшает сопротивление меди до 0,0169 мкОмм. Достаточно добавить к меди всего 1 % марганца, и ее удельное сопротивление возрастает до 0,048 мкОмм, т.е. почти в 3 раза! Заметим, что сопротивление чистого марганца – 0,05 мкОмм. Аналогичным образом действуют добавки железа, кобальта, иридия и другие. Если бы сопротивление металлов происходило от столкновений электронов с атомами решетки, то 1 % примесей должен был бы влиять на сопротивление гораздо слабее. Очень большим сопротивлением обладают сплавы, содержащие примеси в большой пропорции. Например, константан, состоящий из 60 % меди и 40 % никеля, имеет удельное сопротивление 0,44 мкОмм, в то время как у чистой меди оно равно 0,017 мкОм/м, а у никеля – 0,072 мкОмм. Наибольшим удельным сопротивлением (1 мкОмм) обладает нихром, который широко используются в нагревательных приборах. Удивительным является также тот факт, что температурная зависимость сопротивления сплавов совсем другая, чем у чистых металлов. Сопротивление сплавов также возрастает с температурой, но гораздо слабее по сравнению с сопротивлением чистых металлов. Например, удельное сопротивление константана в интервале температур от 0 0С до 400 0С меняется всего лишь от 0,441 до 0,448 мкОмм. С точки зрения классической теории сопротивление сплава должно складываться из сопротивлений его составных частей, поэтому все перечисленные факты этой теорией не объясняются. Понять природу электрического сопротивления можно с использованием законов квантовой механики. Согласно квантовой механике электрон (и другие микрообъекты) имеет одновременно свойства и частицы, и волны. Поскольку расстояние между атомами кристаллической решетки оказывается порядка 79 длины волны электрона, он проявляет волновые свойства. В квантовой теории протекание электрического тока через металл описывается как распространение электронных волн. Удивительным следствием этой теории является тот факт, что в идеальной, т.е. строго периодической кристаллической решетке, электронные волны распространялись бы без всяких помех. Распространение электронных волн по атомным коридорам можно сравнить с распространением света по световоду с зеркальными стенками или распространением радиоволн по волноводам (металлическим трубкам). Если поверхность волновода неровная, имеет зазубрины, то волны как бы разбиваются о них, т.е. рассеиваются и поглощаются. Атомный коридор кристалла со строго упорядоченным расположением атомов можно сравнить с идеальным волноводом. На языке классической физики это означает, что электроны бы совсем не сталкивались с ионами кристаллической решетки! Откуда же тогда возникает сопротивление, как тогда электроны отдают свою энергию решетке? Оказывается, что рассеяние и поглощение электронных волн происходит только при нарушении строгого порядка в расположении атомов. Идеальных кристаллов не существует, кристаллическая решетка всегда имеет какие-то дефекты. Кроме того, ионы кристаллической решетки не покоятся, а совершают тепловые колебания, что также нарушает строгий порядок в расположении атомов. Таким образом, электроны сталкиваются только с дефектами кристаллической решетки. Причем при комнатных температурах они в основном рассеиваются вследствие колебаний решетки. При низких температурах основную роль в сопротивлении начинают играть структурные дефекты решетки (дислокации, вакансии и др.). Квантовая теория довольно просто объясняет температурную зависимость сопротивления, а также все выше перечисленные факты. При увеличении температуры интенсивность тепловых колебаний ионов кристаллической решетки возрастает, следовательно, она становится более неупорядоченной, и сопротивление металла возрастает. Внедрение примесных атомов также вызывает серьезные искажения структуры кристаллической решетки, и, как следствие, резкое увеличение сопротивления (один атом примеси может изменить положение сотен атомов кристалла). Если охлаждать металл, то часть сопротивления, происходящая от теплового движения атомов, падает, остается только структурная часть. Когда тепловая часть сопротивления становится гораздо меньше структурной, при дальнейшем понижении температуры сопротивление почти не меняется. Сплавы имеют неупорядоченную структуру, поэтому структурная часть сопротивления сплавов больше тепловой части даже при высоких температурах. Этим объясняется слабая зависимость сопротивления сплавов от температуры. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 80 Дайте определения силы электрического тока, напряжения на участке цепи. Сформулируйте закон Ома для однородного участка цепи. От чего зависит электрическое сопротивление проводника? Длину проволоки вытягиванием увеличили в два раза. Как изменится её сопротивление? 5. Сформулируйте закон Джоуля - Ленца. 6. Чему равны работа и мощность электрического тока на участке цепи сопротивлением R? 7. Какое количество теплоты потребляет 100-ваттная лампочка за секунду? 8. Определите сопротивление 100-ваттной лампочки, рассчитанной на напряжение 220 В. 9. Запишите законы последовательного и параллельного соединения проводников. 10. В квартире включены две лампочки сопротивлением по 110 Ом каждая и плитка с сопротивлением 20 Ом. Определить силу тока, расходуемого на питание данной сети. 11. Дайте определение ЭДС источника тока. 12. Сформулируйте закон Ома для полной цепи. 13. Что называется током короткого замыкания источника? 14. Построить графики зависимости а) тока, б) напряжения на клеммах источника в) мощности, выделяемой во внешней цепи, от величины внешнего сопротивления. 15. Объясните принцип работы химических источников тока. 16. Сформулируйте закон Ома для неоднородного участка цепи. 17. Через аккумулятор течёт ток. Сравните разность потенциалов на клеммах аккумулятора с его ЭДС. 18. Сформулируйте правила Кирхгофа. В каких случаях их целесообразно применять? 19. Запишите закон Ома в дифференциальной форме. 20. Объясните, что такое дрейфовое движение электронов. Как велика скорость этого движения? 21. В чём заключается природа электрического сопротивления металлов? Как объяснить увеличение сопротивления металлов при повышении температуры? Почему сопротивление сплавов слабо зависит от температуры? 1. 2. 3. 4. 3. МАГНЕТИЗМ 3.1. Магнитное поле. Сила Лоренца 81 Опыт показывает, что вокруг движущегося заряда, наряду с электрическим полем, существует еще одна форма материи – магнитное поле. Магнитное поле и проявляет себя по действию, опять таки, на движущиеся заряды. Если действие электрического поля на заряженную частицу не зависит от ее скорости, то действие магнитного поля пропорционально скорости частицы. Но скорость – величина относительная! Значит в различных инерциальных системах отсчета величины магнитной и электрической сил, действующих на заряженную частицу, будут разными. Например, в системе отсчета, где частица покоится, действие магнитного поля вообще сведется к нулю, на частицу будет действовать одно только электрическое поле. Суммарное же действие полей (равнодействующая сила) на частицу одинаково в различных инерциальных системах отсчета. Это соответствует принципу относительности Эйнштейна: все явления природы в различных инерциальных системах отсчета происходят одинаково. В частности, независимо от инерциальной системы отсчета, тело должно испытывать одно и то же воздействие со стороны окружающих полей и тел. Эту силу называют электромагнитной силой, поскольку она состоит из двух составляющих – электрической и магнитной. Итак, электрические и магнитные силы – две части одного и того же явления – электромагнитного взаимодействия зарядов. Характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции В . В системе СИ величина вектора магнитной индукции измеряется в Тесла (Тл). Вектор В направлен туда, куда указывает северный полюс магнитной стрелки, помещенной в данную точку поля. Магнитное поле, так же как и электрическое, изображается при помощи силовых линий. Силовые линии магнитного поля – это линии, в каждой точке которых касательная совпадает с направлением вектора В . Силовые линии магнитного поля замкнуты и охватывают токи или линии движения зарядов, в отличие от линий электрического поля, имеющих начало на положительных зарядах и окончание на отрицательных. Магнитное поле не потенциально. Оно не имеет характеристики, подобной потенциалу электрического поля. Магнитное поле называют соленоидальным. Изучение магнитных явлений мы начнем с сил, действующих со стороны магнитного поля на движущиеся заряды и токи. Далее будут обсуждаться источники магнитного поля и методы расчета вектора магнитной индукции. Итак, сила, действующая со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную частицу, называется силой Лоренца. Эта сила определяется следующим выражением: FЛ q В , (3.1) где q заряд частицы, B векторное произведение векторов скорости частицы и магнитной индукции. По правилу раскрытия векторного 82 произведения сила Лоренца перпендикулярна плоскости векторов и В , а ее величина или модуль: FЛ qB sin (3.1,а) где угол между векторами скорости и магнитной индукции. Точно определить направление силы Лоренца можно, например, пользуясь правилом левой руки (так можно определить направление векторного произведения любых двух векторов): четыре пальца левой руки нужно расположить вдоль вектора скорости (первого вектора в векторном произведении) так, чтобы вектор магнитной индукции (второй вектор) входил в ладонь, тогда оттянутый на 900 большой палец укажет направление силы Лоренца (векторного произведения), если заряд положительный. Если же заряд отрицательный то сила Лоренца будет направлена в противоположную сторону, т.е. против векторного произведения В , что FЛ прямо следует из формулы (3.1). На рис. 3.1 показан v результат применения правила левой руки для положительных и отрицательных зарядов, вектор B магнитной индукции направлен за плоскость чертежа. v Говоря о различных по своей природе силах, важно знать особенности, связанные с расчетом работы, FЛ совершаемой этими силами. Учитывая эти особенности, удается классифицировать силы. Кроме того, работа Рис. 3.1. Схема теснейшим образом связана с энергией и всегда к определению совершается за счет какого-то ее запаса, поэтому умение силы Лоренца рассчитывать работу позволяет судить об энергетических превращениях. Вспомним, например, что работа гравитационных и кулоновских сил не зависит от формы траектории тел или пути перехода системы тел из одного состояния в другое. Этот факт дает возможность рассматривать важнейшую физическую величину, называемую потенциальной энергией. Сами же силы называют потенциальными. К классу диссипативных сил относят силы, полная работа которых всегда отрицательна. Это силы трения, сопротивления. Результатом действия этих сил является переход механической энергии во внутреннюю, другими словами, выделение тепла. Причем, количество выделившегося тепла по величине равно работе диссипативных сил. Поскольку сила Лоренца перпендикулярна скорости заряженной частицы, ее работа всегда равна нулю, независимо от того, как эта частица движется в магнитном поле. Действительно, элементарная работа, совершаемая на dL , небольшом участке траектории определяется выражением dA F dL cos , где угол между векторами перемещения dL и силы 83 F . Вектор dL направлен так же, как и скорость частицы. Поскольку скорость перпендикулярна силе, то 900 , а значит, элементарная работа равна нулю. Будет равна нулю и полная работа, совершаемая силой Лоренца на всей траектории движения частицы, так как полная работа есть сумма элементарных работ. Обсуждаемое свойство силы Лоренца является уникальным. Подобных сил в природе больше не существует. Силы, работа которых всегда равна нулю, называют гироскопическими. В неинерциальных системах отсчета существуют и другие гироскопические силы, например, центробежная сила и сила Кориолиса. Эти силы фиктивны в том смысле, что невозможно указать тело, со стороны которого они действуют. К этим силам не применим третий закон Ньютона. 3.2. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях Электромагнитная сила, действующая на заряженную частицу, складывается из сил, действующих со стороны электрического и магнитного полей: F qE q B . (3.2) Силу, определяемую формулой (3.2), называют обобщенной силой Лоренца. Учитывая действие двух полей, электрического и магнитного, говорят, что на заряженную частицу действует электромагнитное поле. Рассмотрим движение заряженной частицы в одном только электрическом поле. При этом здесь и далее предполагается, что частица нерелятивистская, т.е. ее скорость существенно меньше скорости света. На частицу действует только электрическая составляющая обобщенной силы Лоренца F qE . Согласно второму закону Ньютона частица движется с ускорением: F qE а , (3.3) m m которое направленно вдоль вектора E в случае положительного заряда и против вектора E в случае отрицательного заряда. Разберем важный случай движения заряженной частицы в однородном электрическом поле. В этом случае частица движется равноускоренно ( а const ). Траектория движения частицы зависит от направления ее начальной скорости. Если начальная скорость равна нулю или направлена вдоль вектора Е , движение частицы прямолинейное и равноускоренное. Если 84 же начальная скорость частицы направлена под углом к вектору Е , то траекторией движения частицы будет парабола. Траектории движения заряженной частицы в однородном электрическом поле такие же, как и траектории свободно (без сопротивления воздуха) падающих тел в гравитационном поле Земли, которое вблизи поверхности Земли можно считать однородным. Пример 3.1. Определить конечную скорость частицы массой m и зарядом q , пролетевшей в однородном электрическом поле Е расстояние d . Начальная скорость частицы равна нулю. Решение. Так как поле однородно, а начальная скорость частицы равна нулю, движение частицы будет прямолинейным равноускоренным. Запишем уравнения прямолинейного равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью: аt d at 2 2 2ad . Подставим величину ускорения из уравнения (3.3) и получим: 2qEd . m В однородном поле Ed U (см. 1.21). Величину U называют ускоряющей разностью потенциалов. Таким образом, скорость, которую набирает частица, проходя ускоряющую разность потенциалов U : 2qU . m (3.4) При движении в неоднородных электрических полях ускорение заряженных частиц переменное, и траектории будут более сложными. Однако, задачу о нахождении скорости частицы, прошедшей ускоряющую разность потенциалов U , можно решить исходя из закона сохранения энергии. Энергия движения заряженной частицы (кинетическая энергия) изменяется за счет работы электрического поля: m 2 m 0 qU . 2 2 2 Ек Аэл 85 Здесь использована формула (1.5) для работы электрического поля по перемещению заряда Aэл qU . Если начальная скорость частицы равна нулю 2 ( 0 0 ) или мала по сравнению с конечной скоростью, получим: mv 2 qU , откуда следует формула (3.4). Таким образом, эта формула остается справедливой и в случае движения заряженной частицы в неоднородном поле. В этом примере показаны два способа решения физических задач. Первый способ основан на непосредственном применении законов Ньютона. Если же действующие на тело силы переменны, бывает более целесообразным использование второго способа, основанного на законе сохранения энергии. Теперь рассмотрим движение заряженных частиц в магнитных полях. Изменение кинетической энергии частицы в магнитном поле могло бы произойти только за счет работы силы Лоренца: Ек АЛ . Но работа силы Лоренца всегда равна нулю, значит кинетическая энергия частицы, а вместе с тем и модуль ее скорости не изменяются. Заряженные частицы движутся в магнитных полях с постоянными по модулю скоростями. Если электрическое поле может быть ускоряющим по отношению к заряженной частице, то магнитное поля может быть только отклоняющим, т. е. изменять лишь FЛ направление ее движения. B Рассмотрим варианты траекторий движения заряда в однородном поле. 1. Вектор магнитной индукции параллелен или v антипараллелен начальной скорости заряженной частицы. Тогда из формулы (3.1) следует FЛ 0 . Следовательно, частица будет двигаться Рис. 3.2. Схема движения заряда прямолинейно и равномерно вдоль линий магнитного в магнитном поле поля. 2. Вектор магнитной индукции перпендикулярен начальной скорости частицы (на рис. 3.2 вектор магнитной индукции направлен за плоскость чертежа). Второй закон Ньютона для частицы имеет вид: ma FЛ m a q B . или Сила Лоренца постоянна по величине и направлена перпендикулярно скорости и вектору магнитной индукции. Значит, частица будет двигаться все время в одной плоскости. Кроме того, из второго закона Ньютона следует, что и ускорение частицы будет постоянно по величине и перпендикулярно скорости. Это возможно только тогда, когда траектория частицы – окружность, а ускорение частицы центростремительное. Подставляя во второй закон 86 2 Ньютона величину центростремительного ускорения a v R и величину силы 0 Лоренца FЛ qvB sin 90 qvB , находим радиус окружности: v2 m qvB R R mv qB . (3.5) Отметим, что период вращения частицы не зависит от ее скорости: T R H v0 B Рис. 3.3. Схема движения заряда в магнитном поле по спирали 2R v mv qB 2m . v qB 2 3. В общем случае вектор магнитной индукции может быть направлен под некоторым углом к начальной скорости частицы (рис. 3.3). Прежде всего, отметим еще раз, что скорость частицы по модулю остается постоянной и равной величине начальной скорости v0 . Скорость v0 можно разложить на две составляющие: параллельную вектору магнитной индукции v// v0 cos и перпендикулярную вектору магнитной индукции v v0 sin . Ясно, что если бы частица влетела в магнитное поле, имея только составляющую v // , то она в точности как в случае 1 двигалась бы равномерно по направлению вектора индукции. Если бы частица влетела в магнитное поле, имея одну только составляющую скорости v , то она оказалась бы в тех же условиях, что и в случае 2. И, следовательно, двигалась бы по окружности, радиус которой определяется опять-таки из второго закона Ньютона: mv v 2 m qv B R . qB R Таким образом, результирующее движение частицы представляет собой одновременно равномерное движение вдоль вектора магнитной индукции со скоростью v // и равномерное вращение в плоскости, перпендикулярной 87 вектору магнитной индукции со скоростью v . Траектория такого движения представляет собой винтовую линию или спираль (см. рис. 3.3). Шаг спирали h – расстояние, пролетаемое частицей вдоль вектора индукции за время одного оборота: 2m 2mv 0 cos h v // T v // . qB qB Откуда известны массы мельчайших заряженных частиц (электрона, протона, ионов)? Каким образом удается их «взвесить» (ведь, на весы их не положишь!)? Уравнение (3.5) показывает, что для определения массы заряженной частицы нужно знать радиус ее трека при движении в магнитном поле. Радиусы треков мельчайших заряженных частиц определяют с помощью камеры Вильсона, помещенной в магнитное поле, или с помощью более совершенной пузырьковой камеры. Принцип их работы прост. В камере Вильсона частица движется в пересыщенном водяном паре и является ядром конденсации пара. Микрокапельки, конденсирующиеся при пролете заряженной частицы, отмечают ее траекторию. В пузырьковой камере (изобретенной лишь полвека назад американским физиком Д. Глейзером) частица движется в перегретой жидкости, т.е. нагретой выше точки ее кипения. Это состояние неустойчиво и при пролете частицы происходит вскипание, вдоль ее следа образуется цепочка пузырьков. Подобную картину можно наблюдать, бросив в стакан с пивом крупинку поваренной соли: падая, она оставляет след из пузырьков газа. Пузырьковые камеры являются важнейшим инструментом для регистрации мельчайших заряженных частиц, являясь по сути, основными информативными приборами экспериментальной ядерной физики. 3.3. Сила Ампера Если магнитное поле действует на одну движущуюся заряженную частицу, то, естественно, оно будет действовать и на поток заряженных частиц, т. е. на электрический ток. Сила, действующая со стороны магнитного поля на проводник с током, называется силой Ампера. Рассчитаем величину силы Ампера, действующую на элемент тока длины l . Эту длину следует выбрать настолько малой, чтобы считать, что поле в области элемента тока однородно. На каждый электрон в проводнике будет действовать сила Лоренца: FЛ evB sin , 88 где v средняя скорость упорядоченного движения электронов, угол между скоростью и вектором магнитной индукции. Тогда сумма всех сил Лоренца, действующих на электроны элемента тока, или сила Ампера: FA N FЛ NeB sin . Число свободных электронов в элементе тока: N nV nSl , где n концентрация свободных электронов в проводнике, 1/м3; V объем элемента тока; S площадь поперечного сечения проводника. Тогда: FA nSlevB sin nevS Bl sin . Величина в скобках представляет собой произведение плотности тока j nev на площадь поперечного сечения провода, т. е. равна силе тока (см. уравнение (2.23)). Следовательно, для силы Ампера, действующей на элемент тока, получим: FA IBl sin . (3.6) Угол можно рассматривать как угол между проводником и вектором магнитной индукции. Ясно, что направление силы Ампера, так I же как и направление силы Лоренца, определяется правилом левой руки: четыре B пальца левой руки нужно расположить вдоль FА тока так, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, тогда оттянутый на 900 Рис. 3.4. Схема большой палец укажет направление силы к определению силы Лоренца. На рис. 3.4 показано применение этого Ампера правила (вектор магнитной индукции направлен на нас перпендикулярно плоскости листа). Выражение для силы Ампера можно переписать в векторном виде: FA I l B . (3.7) Вектор l направлен так же, как и сила тока. Уравнение (3.6) можно использовать для определения единицы измерения магнитного поля в СИ. Расположим проводник перпендикулярно 89 l1 D l2 вектору магнитной индукции. Тогда 1 Тесла – это индукция такого магнитного поля, в l 12 C котором на проводник с током 1 А длиной 1 м А действует сила 1 Н. Для того, чтобы найти результирующую Рис. 3.5. Расчетная схема силу, действующую на криволинейный участок проводника с током в магнитном поле, нужно разбить его на малые отрезки, которые можно считать прямолинейными, а поле в области каждого из отрезков однородным, затем определить силы Ампера, действующие на каждый такой отрезок и вычислить векторную сумму полученных сил, т.е. в пределе нужно взять интеграл вдоль всей длины провода L: FA I dl B . L В заключении приведем пример, в котором обсудим важное свойство силы Ампера, действующей на проводник с током произвольной формы в однородном магнитном поле. Пример 3.2. Определить результирующую силу Ампера, действующую на проводник ADC с током I , находящийся в однородном магнитном поле с вектором индукции B (рис. 3.5). AD l DC l Решение. Пусть 1, 2 , AC l12 . Тогда сила, действующая на проводник AD: F1 I l1 B . Сила, действующая на проводник DC: F2 I l2 B . Результирующая сила Ампера, действующая на проводник ADC: FA F1 F2 I l1 B I l2 B I l1 l2 B I l12 B . Таким образом, результирующая сила равна силе Ампера, которая бы действовала на прямолинейный проводник AC с тем же током I , начало которого находится в начале первого отрезка с проводом, а конец – в конце второго отрезка с проводом. Фактически при вычислении силы Ампера ломаный проводник ADC можно заменить прямолинейным проводником АС. Совершенно ясно, что если ломаный проводник будет содержать большее число звеньев, то результат не изменится. При вычислении силы Ампера его 90 заменяют прямолинейным проводником, начало которого находится в начале первого звена, а конец – в конце последнего. Наконец, если проводник, представляет собой произвольный криволинейный участок провода, то его можно разделить на маленькие (элементарные) кусочки и представить в виде ломаной линии. Отсюда следует важный вывод: сила Ампера, действующая на криволинейный участок проводника с током в однородном магнитном поле, не зависит от формы проводника, а зависит только от расстояния между началом и концом этого участка (т. е. фактически от координат начала и конца участка). Результаты примера 3.2 позволяют сделать еще один вывод: сила Ампера, действующая на замкнутый проводник с током в однородном магнитном поле, равна нулю. Замкнутый проводник с током мы будем сокращенно называть рамкой с током или витком с током. 3.4. Рамка с током в магнитном поле На каждый элемент рамки с током, помещенной в магнитное поле, будет действовать сила Ампера. Суммируя все действия, можно определить результирующую силу Ампера и результирующий момент сил Ампера. Если магнитное поле однородно, то согласно выводу, сделанному в предыдущем параграфе, результирующая сила равна нулю, и на рамку будет действовать один только вращательный момент. Рассмотрим рамку с током I O прямоугольной формы со сторонами C AC a и CD b , помещенную в однородное магнитное поле с А индукцией B (рис. 3.6). Нормаль к FA плоскости рамки составляет с вектором n магнитной индукции угол . На рис. D 3.6 показаны силы Ампера, p m действующие на стороны рамки CD и n Е FA AE . Силы, действующие на стороны O1 B AC и DE не создают вращательного момента относительно оси ОО1. Рис. 3.6. Предоставляем читателям самостояРамка с током в магнитном поле тельно определить направления действия этих сил (они будут растягивать рамку). Моменты сил Ампера, действующих на стороны CD и AE : 91 a a a a M CD FA sin IBb sin , M AE FA sin IBb sin . 2 2 2 2 Суммарный вращательный момент, действующий на рамку: M M CD M AE IBba sin . Площадь рамки S ab , тогда: M IBS sin (3.8) Введем характеристику рамки с током, называемую магнитным моментом рамки pm , направленным вдоль нормали n и равным pm IS . (3.9) Направление нормали к плоскости рамки определяется направлением движения буравчика при вращении его по току. Момент сил, действующих на рамку с током можно представить в виде: M pm B sin Или в векторном виде: M pm B (3.8,а) (3.8,б) Рамка будет находиться в равновесии, когда момент сил равен нулю. Это возможно, если 0 или 180 0 . В первом случае момент рамки pm параллелен вектору B . Это устойчивое положение равновесия рамки (при небольших отклонениях рамка будет стремиться вернуться в положение равновесия). Во втором случае вектора pm и B антипараллельны. Это неустойчивое положение равновесия (малейшее отклонение от этого положения приведет к развороту рамки на 1800). Отметим, что полученные выражения (3.8,а) и (3.8,б) справедливы и для катушки с током (соленоида) во внешнем магнитном поле. В этом случае pm NIS магнитный момент катушки, где N число витков катушки. Поведение рамки с током в магнитном поле аналогично поведению магнитной стрелки компаса. Магнитное поле ориентирует северный полюс стрелки вдоль направления вектора магнитной индукции B . Это устойчивое положение равновесия стрелки. В случае рамки с током по направлению B ориентируется магнитный момент pm (или нормаль к плоскости рамки n ). 92 Если проводить параллели с электричеством, то свойства рамки с током во многом аналогичны свойствам электрического диполя (см. п. 1.8 и рис. 1.18 и 1.19). Напомним, что диполь – это система из двух точечных зарядов q и q , находящихся на расстоянии l друг от друга. Дипольным моментом называется векторная величина p ql . Вектор l , а вместе с ним и p , направлены от отрицательного заряда к положительному. Можно легко доказать, что на электрический диполь, находящийся в однородном электрическом поле с напряженностью E , действует вращательный момент: M qEl sin pE sin . E , а в неустойчивом положении равновесия вектора p и E антипараллельны. В устойчивом положении равновесия дипольный момент p параллелен вектору Аналогия между дипольным и магнитным моментом играет важную роль при описании диэлектрических и магнитных свойств вещества. При помещении диэлектрика в электрическое поле (см. п. 1.8) дипольные моменты молекул ориентируются в направлении поля. Этот процесс называется поляризацией диэлектрика и объясняет уменьшение напряженности электрического поля в диэлектрике по сравнению с полем в вакууме. Похожим образом происходит процесс намагничивания парамагнетиков, приводящий к усилению магнитного поля в веществе. Нужно немного воображения для того, чтобы молекулы или атомы рассматривать как маленькие рамки с токами. Токи создаются движением электронов вокруг ядер. Таким образом, молекулы и атомы могут обладать собственными магнитными моментами, которые ориентируются по внешнему магнитному полю. Этот процесс и есть намагничивание. Мы еще будем рассматривать его в п.п. 3.16 - 3.18. В неоднородном магнитном поле на виток с током, помимо момента, будет действовать еще и результирующая сила. Приведем выражение для этой силы без вывода: B F pm x (3.9) Предполагается, что ось x направлена вдоль вектора pm . 3.5. Эффект Холла Поместим проводник с током в магнитное поле B , перпендикулярное направлению тока. На движущиеся упорядоченно со средней скоростью v свободные электроны внутри проводника действуют силы Лоренца. Эти силы 93 Лоренца, как нам уже известно, в совокупности дают силу Ампера. Внутри проводника, однако, возникает еще одно любопытное явление. Поскольку на электроны действует сила Лоренца (рис. 3.7, а), они начинают смещаться к верхней границе проводника. В результате на верхней границе проводника накапливается отрицательный электрический заряд. Соответственно на нижней границе будет накапливаться положительный электрический заряд, поскольку проводник в целом электронейтрален. Процесс накопления зарядов быстро прекратиться, так что очень малая часть всех свободных электронов успеет скопиться на границе. Действительно, накопление зарядов на границе проводника приводит к появлению внутри проводника поперечного электрического поля E (рис. 3.7, б). Со стороны F этого поля на электроны будет действовать сила эл , противоположная по направлению силе Лоренца. Когда две силы станут равными по величине, движение электронов к границе проводника прекратится. Электроны будут двигаться вдоль проводника. а б I FЛ v B в I E v FЛ FЛ Fэл Fэм B I v E B Рис. 3.7. Схема к эффекту Холла Итак: при помещении проводника с током в магнитное поле внутри проводника возникает электрическое поле, направленное перпендикулярно направлению тока и магнитному полю. Это явление и называется эффектом Холла. Отметим, что явление накопления электрических зарядов на границе проводника с током в магнитном поле, в сущности, объясняет происхождение или механизм действия силы Ампера на проводник с током. В п. 3.3 сила Ампера рассматривалась как сумма всех сил Лоренца, действующих на отдельные свободные электроны проводника. Но как эта сила передается самому проводнику, его кристаллической решетке? Ведь электроны свободные и не взаимодействуют с кристаллической решеткой, а значит, не могут оказать на нее никакого воздействия! По сути «передатчиком» силы Ампера и служит ничтожная доля электронов, скапливающихся на границе проводника. Вычислим разность потенциалов, возникающую между боковыми границами проводника U Х холловскую разность потенциалов. Процесс 94 накопления зарядов прекращается, когда электрическая сила уравновесит силу Лоренца: FЛ Fэл evB eE E vB . Тогда получаем: U X E d vBd , где d толщина проводника. Среднюю скорость упорядоченного движения электронов (дрейфовую скорость) можно выразить через силу тока I , концентрацию свободных электронов n и площадь поперечного сечения проводника S (см. уравнение (2.23)): I I envS v . enS Тогда холловская разность потенциалов: UX d IB enS . (3.10) Анализируя эту формулу, можно понять основные возможности применения эффекта Холла. Эффект Холла можно использовать для измерения индукции магнитного поля. В этом случае изготавливают проводник небольшого размера, который называется датчиком Холла. Измеряют зависимость между U Х и произведением IB для какого-то известного (эталонного) магнитного поля, определяя тем самым коэффициент пропорциональности d enS между этими величинами для данного датчика. Затем, помещая датчик Холла в различные точки исследуемого поля, измеряют ток, холловскую разность потенциалов U Х , и по этим данным вычисляют индукцию магнитного поля B . Важнейшую роль эффект Холла играет при исследовании физических свойств проводящих материалов. Измеряя величины U Х , B и I , можно вычислить такую важную характеристику, как концентрация свободных зарядов n . Оказалось, что у металлических проводников примерно на один атом приходится один электрон проводимости. У полупроводников концентрация свободных зарядов значительно меньше – примерно на миллион атомов приходится один свободный электрон. Кроме того, оказалось, что заряд свободных носителей некоторых полупроводников положительный! Такое впечатление, что в таких полупроводниках ток обусловлен движением «положительно заряженных электронов». Эффект Холла в таких полупроводниках называется аномальным. На самом деле, оказалось, что аномальный эффект Холла соответствует случаю дырочной проводимости. 95 q v Каким образом удается определить знак свободных носителей? Если бы все носители тока r были бы положительно заряженными (см. рис. 3.7, B в), то при том же направлении силы тока I на верхней грани проводника скапливался бы не Рис. 3.8. отрицательный, а положительный заряд, и величина Магнитное поле U Х оказывается противоположного знака. Это и есть движущегося заряда аномальный эффект Холла. Отметим, что многие другие проявления электрического тока (тепловое, магнитное) не позволяют определить знак заряда свободных носителей, поскольку не зависят от него, а определяются только величиной тока. 3.6. Вычисление магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа Итак, мы научились рассчитывать силы, действующие на заряженные частицы и токи, находящиеся в магнитном поле. Сами магнитные поля тоже создаются какими-то движущимися зарядами. В этом параграфе мы начинаем обсуждение методов вычисления индукции магнитного поля. Начнем с магнитного поля, создаваемого в пространстве единственным движущимся со скоростью v зарядом q . Этот закон является обобщением опытных фактов и выражается формулой: 0 qv r B 4 r 3 (3.11) где r это вектор, проведенный от заряда q к точке, в которой вычисляется магнитное поле B (точке наблюдения). Постоянная величина 0 4 10 7 , Гн/м, называется магнитной постоянной. Движущийся заряд создаёт магнитное поле во всём окружающем пространстве. Направление и модуль вектора B зависят от точки наблюдения. В случае положительного заряда направление вектора B совпадает с направлением векторного произведения v r , т.е. определяется правилом левой руки (рис. 3.8). Раскрывая векторное произведение, для модуля вектора магнитной индукции получим: qv B 0 sin , 4 r 2 (3.11,а) 96 где угол между направлением движения заряда и вектором r . Для магнитного поля так же, как и для поля электрического, справедлив принцип суперпозиции. Зная магнитное поле, создаваемое одним движущимся точечным зарядом, можно определить магнитное поле, создаваемое произвольным количеством движущихся зарядов, или поле, создаваемое элементом тока. Для этого поля, каждым зарядом в отдельности, создаваемые нужно сложить векторно: B B1 B2 B3 ... . Пусть по проводнику течет ток I . Вычислим магнитное поле, создаваемое малым элементом тока l (рис. 3.9). Если v средняя скорость упорядоченного движения электронов, тогда согласно уравнению l (3.11,а) магнитное поле, создаваемое в точке наблюдения одним электроном из элемента тока: ev B1 0 sin . 4 r 2 I r B Все свободные электроны элемента тока создают Рис. 3.9. поля, направленные за плоскость чертежа (рис. 3.9), Магнитное поле поэтому по принципу суперпозиции величина элемента тока суммарного поля элемента тока: B NB1 , где N число свободных электронов в элементе проводника l . Величину N можно выразить через концентрацию свободных электронов: N nV nSl , где V объем элемента проводника, S сечение проводника. Таким образом: envSl B nSl B1 0 sin . 4 r 2 Учитывая, что сила тока I envS (см. уравнение (2.23)), получим: Il B 0 2 sin . 4 r (3.12) Уравнение (3.12) определяет магнитное поле, создаваемое элементом тока, и представляет собой закон Био-Савара-Лапласа. Оно было впервые получено французскими физиками Био и Саваром на основании экспериментального материала при содействии математика Лапласа. Закон Био-Савара-Лапласа можно записать в дифференциальной форме (переходя от малого к бесконечно малому элементу тока l dl ): 97 dB 0 Idl sin 4 r 2 (3.12,а) и в векторной форме: 0 I dl r dB . 4 r 3 (3.12,б) Вектор dl направлен вдоль тока. Рассмотрим примеры расчета магнитных полей при помощи закона БиоСавара-Лапласа. Пример 3.3 Поле прямого тока. Найти магнитное, создаваемое прямолинейным отрезком провода с током I в произвольной точке пространства. Решение. Зададим положение точки наблюдения при помощи углов 1 , 2 и расстояния R от точки наблюдения до проводника (см. рис. 3.10). Разобьем весь отрезок провода на малые элементы длины dx . Поле одного малого элемента dx с координатой x определяется согласно уравнению (3.12,а): dB dx 1 r I R B 2 Рис. 3.10. Магнитное поле прямого тока 0 Idx sin . 4 r 2 Поле в точке наблюдения – есть векторная сумма полей, создаваемых каждым элементом. Поля всех элементов направлены за плоскость чертежа. Следовательно, для того, чтобы определить величину поля, надо просуммировать поля всех элементов, или, «на языке математики»: проинтегрировать уравнение (3.12,а). Для этого в уравнении (3.12) нужно перейти к одной переменной величине (переменной интегрирования). Удобнее всего в качестве переменной интегрирования взять угол (рис. 3.10). Выразим все переменные величины в уравнении (3.12) через . sin sin 90 0 cos . Во-первых, Далее, tg x R . Берем дифференциалы от обеих частей этого равенства: 98 d tg 1 Rd dβ 1 dx d x d x . R cos 2 cos 2β R Таким образом, для поля элемента dx получим: Rd 0 cos 2 IRd dB cos 0 2 . 2 4 r 4 r cos I Осталось выразить через переменную r : r R cos . Следовательно: dB 0 I cos d . 4 R Теперь интегрируем, учитывая, что все элементы находятся в пределах углов от 1 (крайний нижний элемент) до 2 (крайний верхний элемент): 0 I 2 0 I B cos d (sin β1 sin 2 ) . 4R 1 4R Переходя вновь к углам 1 900 1 и 2 900 2 , получим ответ: I B 0 cos 1 cos 2 . 4R (3.13) Частным случаем формулы (3.13) является поле бесконечно длинного прямого провода на расстоянии R от него ( 1 0 , 2 180 0 ): I I B 0 1 1 0 4R 2R . (3.14) Пример 3.4. Магнитное поле в центре кругового тока. Найти магнитную индукцию, создаваемую круговым витком радиуса R с током I в центре витка. Решение. Разобьем виток на малые элементы dl (рис. 3.11). Длину каждого элемента выразим через радиус витка R и соответствующий центральный угол d : dl Rd . Тогда, согласно уравнению (3.12, а), 99 магнитное поле, создаваемое одним элементом тока в центре витка ( r R , 900 ): dB 0 IRd 0 I 0 sin 90 d . 4 R 2 4R Индукция магнитного поля от каждого элемента в центре витка направлена вверх. Значит, для того, чтобы найти результирующее магнитное поле, нужно сложить величины полей всех элементов или проинтегрировать полученное выражение в пределах углов от 0 до 2 : y B dBy dB 2 I I I B 0 d 0 2 0 . (3.15) 4R 0 4R 2R r dl d R B dB О I Рис. 3.11. Магнитное поле на оси кругового тока. Пример 3.5. Магнитное поле на оси кругового тока. Найти магнитную индукцию, создаваемую круговым витком радиуса R с током I в произвольной точке на оси витка. Решение. Разобьем виток на малые элементы dl (рис. 3.11). Длину каждого элемента выражаем через радиус витка R и соответствующий d : d l Rd . центральный угол Согласно уравнению (3.12,а) магнитное поле, создаваемое одним элементом тока в некоторой точке на оси витка, удаленной на расстояние y от центра 0 витка, ( 90 ): dB 0 IRd 0 IRd 0 sin 90 . 4 r 2 4 r 2 Вектор dB перпендикулярен плоскости векторов dl и r (рис. 3.11). Вклады в общее магнитное поле от отдельных элементов направлены в разные стороны, поэтому суммировать модули векторов dB нельзя. 100 Поскольку результирующий вектор B будет направлен вдоль оси y , он представляет собой сумму проекций векторов dB на ось y : B dB y . Проекция вектора dB на ось y : dB y 0 IRd sin . 4 r 2 Интегрируем по переменной : 2 IRsin IRsin dBy 0 2 d 0 2 . 4r 2r 0 Учитывая, что r R 2 y 2 , sin R r R R2 y 2 , ответ можно представить в виде: B 0 IR 2 2 R2 y2 32 . (3.16) Используя результат примера 3.5, можно определить магнитное поле на оси соленоида – катушки с током. Предоставляем читателям самостоятельно поупражняться с интегрированием и приведем лишь ответ для поля в произвольной точке А на оси (рис. 3.12): i B 0 cos 1 cos 2 . 2 R 1 А l 2 (3.17) Рис. 3.12. Схема для Величина i называется поверхностной плотностью расчета магнитного тока. Она определяется для токов, текущих по поля соленоида некоторым поверхностям. Поверхностная плотность тока это сила тока, приходящаяся на единицу длины отрезка, перпендикулярного направлению тока. В нашем случае можно считать, что ток идет по боковой поверхности соленоида. Пусть соленоид имеет длину l , состоит из N витков, и по его обмотке течет ток I . Тогда полный ток, текущий по боковой поверхности соленоида, равен N I , а поверхностная плотность тока i NI l . Формулу (3.17) можно переписать в виде: 101 NI B 0 cos 1 cos 2 . 2l (3.17,а) В случае, когда длина соленоида намного превосходит его радиус ( 1 0 , 2 0 ), NI B 0i 0 . (3.18) l Формула (3.18) еще будет выведена в дальнейшем с помощью теоремы о циркуляции для магнитного поля. Будет показано, что магнитное поле внутри «длинных» соленоидов однородно, так, что формулу (3.18) можно использовать для расчета поля в любой точке внутри соленоида, а не только на его оси. а б I B I B г в N N I S S Рис. 3.13. Картина силовых линий магнитных полей прямого проводника (а), витка (б), соленоида (в) и полосового магнита (г). На рис. 3.13 показаны силовые линии магнитных полей прямого провода, витка с током, соленоида и полосового магнита. Во-первых, обратим внимание на то, что силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. Вектор магнитной индукции направлен по касательной к линиям (рис. 3.13, а, б) в сторону, указываемую направлением стрелки на силовой линии. 102 В случае прямого тока (рис. 3.13, а) силовые линии представляют собой коаксиальные окружности с центрами на оси тока. Направление магнитной индукции в любой точке можно определить из закона Био-СавараЛапласа, записанного в векторном виде (формула 3.12, б). Кроме того, для определения направлений силовых линий существует простое правило, называемое правилом буравчика или правого винта: при вращении буравчика в направлении силовых линий его поступательное движение совпадает с направлением тока. В случае витка с током (рис. 3.13, б) или соленоида (рис. 3.13, в) направление магнитной индукции на оси витка или соленоида тоже можно определить по правилу буравчика. Направление магнитной индукции совпадает с направлением поступательного движения буравчика при его вращении по току. Отметим, что картина силовых линий магнитного поля соленоида абсолютно идентична картине силовых линий полосового магнита (рис. 3.13, г). Концы соленоида тоже называют северным и южным полюсами. Силовые магнитные линии во внешнем пространстве соленоида или магнита идут от северного полюса к южному, а во внутреннем пространстве – наоборот. 3.7. Циркуляция и поток вектора магнитной индукции Циркуляция и поток вектора магнитной индукции (как и любого вектора вообще) определяются так же, как и для вектора напряженности электрического поля. Циркуляцией по отрезку прямой l однородного поля B называется B , l Bl cos скалярное произведение: , где угол между векторами B и l. Рассмотрим участок L произвольной направленной кривой. Разобьем этот участок на мелкие отрезки l , направленные так же, как и сама кривая. Тогда, циркуляцией вектора B по участку кривой L называется криволинейный интеграл B , dl , который представляет собой предел суммы L при делении кривой на бесконечно малые отрезки: B , d l B lim , l . L l i 0 i i i 103 Малый участок кривой можно считать прямым отрезком, а поле Bi в пределах этого участка однородным, поэтому каждое слагаемое в сумме B , l i i представляет собой циркуляцию вектора Bi по отрезку li . Циркуляцию вектора B по замкнутой кривой будем обозначать как ( B L ,dl ) . Магнитным потоком Ф вектора B в однородном поле через плоскую поверхность площади S называется величина Ф B ,n S BScos , (3.19) где n единичный вектор нормали к поверхности, угол между направлением вектора B и направлением нормали к поверхности. В системе СИ единица измерения магнитного потока Вебер (Вб). Теперь рассмотрим участок произвольной поверхности S . Потоком вектора B через участок поверхности S называется поверхностный интеграл, представляющий собой предел суммы при делении поверхности на куски Si бесконечно малых площадей: Ф lim Bi ,ni Si B ,n dS . S i 0 i (3.19,а) S Малый участок поверхности Si можно считать плоским, а поле Bi в пределах этого участка – однородным, поэтому каждое слагаемое в сумме Bi , ni S i представляет собой поток вектора Bi через плоскую поверхность Si . Поток вектора B через замкнутую поверхность будем обозначать как B ,n dS . S Сформулируем две теоремы о циркуляции и потоке вектора магнитной индукции. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции (для поля в вакууме). Циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому направленному контуру: B , dl I 0 L i i , (3.20) 104 где I i алгебраическая сумма токов, пронизывающих произвольную i поверхность, натянутую на контур, по которому вычисляется циркуляция. Направление обхода контура и направление нормали к натянутой на него поверхности связаны правилом буравчика. Если ток идет по направлению нормали, то его следует считать положительным, если наоборот – отрицательным. Например, циркуляция вектора магнитной индукции по контуру L , изображенному на рис. 3.14, равна 0 I1 I 2 I 3 . Теорема о потоке вектора магнитной индукции. Поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю: B (3.21) ,n dS 0 . S I2 I1 Теоремы о циркуляции и потоке вектора магнитной индукции полезно сравнить с соответствующими теоремами для вектора напряженности электрического поля. Вспомним теорему о потоке вектора напряженности электрического поля (теорема Гаусса, см. формулу 1.18): E ,n dS S q I3 n S L Рис. 3.14. Схема для расчета циркуляции вектора B . i i 0 . Смысл этой теоремы в том, что источниками электрического поля являются электрические заряды. Они и создают поток вектора напряженности электрического поля. Силовые линии начинаются на зарядах и обрываются на них же. А смысл теоремы о потоке вектора магнитной индукции в том, что магнитных зарядов в природе не существует. Поэтому магнитные силовые линии нигде не начинаются и не заканчиваются, они замкнуты. Это и означает, что поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю (сколько линий войдет внутрь поверхности, столько и выйдет). Циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру равна нулю (уравнение 1.34): ( E , dl ) 0 . L 105 Смысл этого уравнения в том, что электрическое поле, созданное любой системой зарядов, является полем потенциальным (подробнее см. п. 1.12). Электрическое поле, помимо напряженности силовой характеристики, имеет еще и энергетическую характеристику – потенциал. Теорема о циркуляции для вектора магнитной индукции говорит о том, что источниками магнитного поля являются электрические токи (по сути, движущиеся электрические заряды), которые и создают циркуляцию вектора B . Кроме того, поскольку циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру может быть отлична от нуля, магнитное поле – поле непотенциальное. Поля с замкнутыми силовыми линиями называют вихревыми или соленоидальными. Таковым и является магнитное поле. Приведем несколько примеров на применение теоремы о циркуляции для магнитного поля. Пример 3.6. Определить магнитное поле, создаваемое прямым бесконечно длинным проводником с током I . Решение. В качестве произвольного замкнутого контура L выберем окружность с радиусом R , центр которой находится на оси провода (такой контур совпадет с одной из силовых линий – см. рис. 3.13, а). В данном случае B , dl Bdlcos 00 Bdl . Поскольку контур скалярное произведение пронизывается всего одним током I , по теореме о циркуляции для магнитного поля получаем: Bdl I . 0 L Величина вектора B одинакова во всех точках контура, следовательно, её, как постоянную, можно вынести за знак интеграла: B dl 0 I . L Интеграл dl 2R представляет собой просто длину контура L . Таким L образом, B 2R 0 I , откуда находим величину магнитного поля на расстоянии R от провода: I B 0 . 2R 106 Последнее выражение в точности совпадает с результатом, полученным в примере 3.3 (см. формулу 3.14) из закона Био-Савара-Лапласа. Отметим, что формулой 3.14 можно пользоваться и в случае проводника конечных размеров при расчете поля приблизительно напротив центральной части проводника в точках, отстоящих от него на расстояниях, гораздо меньших длины проводника. Пример 3.7. Найти магнитное поле внутри соленоида длиной l , с числом витков N и током I . Решение. В качестве контура обхода выберем прямоугольный контур АСDЕ (см. рис. 3.15) так, что отрезок АС приблизительно лежит в средней части соленоида, а отрезок DЕ удален на большое расстояние от соленоида. По теореме о циркуляции для магнитного поля имеем: B , d l B , d l B , d l B , d l B ,dl I . 0 ACDE AC CD DE EA i i Помещая небольшую магнитную стрелку в различные точки пространства, можно показать, что магнитное поле в средней части соленоида как снаружи, так и внутри, направлено параллельно оси соленоида. Следовательно, на отрезках контура СD и ЕA скалярное произведение B ,dl Bdlcos 900 0 , а на отрезке АС: B ,dl Bdlcos 0 0 Bdl . Таким образом, циркуляции магнитного поля по отрезкам CD и ЕA равны нулю: B , dl 0 , B ,dl 0 , CD EA а по отрезку АС: B ,dl Bdl B dl B AC AC AC AC (здесь величина вектора магнитной индукции вынесена за знак интеграла, поскольку она должна быть постоянна на отрезке АС из-за осевой симметрии системы). На большом расстоянии от соленоида величина магнитной индукции близка к нулю, поэтому и циркуляция магнитного поля по отрезку DЕ равна нулю: 107 B I С B ,dl 0 . D DE В итоге получим: B ,dl B AC I 0 ACDE А E Рис. 3.15. Схема для расчета магнитного поля соленоида i i Сумма токов, пронизывающих контур ACDE: i I i N I n AC I , где N n AC число витков, пронизывающих контур ACDE (на рис. 3.15 эти витки показаны), n число витков, приходящееся на единицу длины соленоида. Тогда: B AC 0 n AC I B 0 nI . Если число витков на единицу длины соленоида представить как n N l , где N общее число витков, а l длина соленоида, то: NI B 0 . l Полученный результат совпадает с формулой (3.18) для поля на оси бесконечно длинного соленоида. Пользуясь теоремой о циркуляции, мы показали, что в случае достаточно длинного соленоида результат (3.18) можно использовать и для расчета поля в любой точке внутри соленоида в средней его части, а не только на оси. 3.8. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле. Работа электродвигателя С точки зрения закона сохранения энергии принцип работы электродвигателя прост. Электрическая энергия, потребляемая из сети (или от источника тока) переходит в механическую энергию. Каким образом это происходит? В простейшем варианте двигатель представляет собой катушку или рамку с током (якорь двигателя), помещенную в магнитное поле, создаваемое электромагнитом (индуктором двигателя). Подвижная часть двигателя называется ротором, а неподвижная – статором. Роли ротора и 108 статора исполняют якорь и индуктор. На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера. Очевидно, именно она и вращает или перемещает якорь электродвигателя, совершая при этом работу. Определим работу по перемеC щению или деформации контура с B постоянным электрическим током в магнитном поле. Рассмотрим простой FA B частный случай контура АВСD с током I I , одна из сторон которого СD представляет собой подвижную перемычку (рис. 3.16), которая играет A D x роль якоря. Контур находится в однородном постоянном магнитном поле с индукцией B (направленном на Рис. 3.16. Модельная схема, нас перпендикулярно плоскости листа), поясняющая принцип работы электродвигателя. создаваемом некоторым индуктором. На перемычку CD длиной l действует сила Ампера F IBl и она начнет движение. При перемещении перемычки контур деформируется – его площадь становится больше. Пусть перемычка CD переместилась на расстояние x . Тогда сила Ампера совершит работу A F x IBl x . Или, учитывая, что l x S приращение площади контура, получим A IBS . Величина BS представляет собой приращение магнитного потока Ф , пронизывающего контур ABCD. Таким образом, работа силы Ампера, совершенная при деформации контура, A IФ . (3.22) Формула (3.22) получена нами в частном случае. Отметим, однако, что можно строго доказать справедливость этой формулы и для любого контура с постоянным током при произвольном его перемещении или деформации в неоднородном постоянном поле. Например, формулой (3.22) можно воспользоваться при вычислении работы магнитного поля (или другими словами работы силы Ампера), совершаемой при повороте рамки с постоянным током в однородном магнитном поле: A IФ I Ф 2 Ф1 I BS cos 2 BS cos 1 ISB cos 2 cos 1 , где 1 и 2 углы, которые составляет нормаль к плоскости рамки с направлением вектора магнитной индукции в начальном и конечном положении. Учитывая, что магнитный момент рамки pm IS , получим: A pm Bcos 2 cos 1 . F2 B 109 FЛ F1 Если рамка поворачивается из устойчивого положения равновесия, то 1 0 и v2 v1 A pm B1 cos 2 . v На первый взгляд проблема, обсуждаемая в настоящем разделе, может показаться решенной. Сила Ампера приводит в движение ротор двигателя, ее работа рассчитывается по формуле (3.22). Но в разделе 3.3 мы говорили о Рис. 3.17. Схема действия том, что сила Ампера, действующая на силы Лоренца проводник с током, представляет собой сумму на свободные электроны всех сил Лоренца, действующих на каждый якоря электродвигателя. свободный электрон в проводнике. А работа силы Лоренца всегда равна нулю (см. п. 3.1). Каким образом тогда может быть отличной от нуля работа силы Ампера? Рассмотрим еще раз движущийся проводник (якорь) с током (перемычка CD на рис. 3.16). По проводнику течет ток I снизу вверх, следовательно, электроны движутся упорядоченно сверху вниз с некоторой скоростью v1 относительно проводника. Поскольку сам проводник движется с некоторой скоростью v2 слева направо, результирующая скорость электрона v F направлена под некоторым углом к проводнику (рис. 3.17). Сила Лоренца Л перпендикулярна скорости v , и ее работа будет действительно равна нулю. Однако силу Лоренца, как и любую другую силу, можно разложить на две составляющие, действующие вдоль провода и перпендикулярно ему: FЛ F1 F2 . Сила F1 направлена перпендикулярно проводу по направлению его перемещения, т.е. совершает положительную работу.Такая сила действует на каждый электрон в проводе. Именно сумму всех сил F1 мы называли силой Ампера при выводе формулы для работы, совершаемой магнитным полем по перемещению якоря двигателя (формула (3.22)). Составляющая F2 тормозит электроны и совершает отрицательную работу. В результате суммарная работа сил F1 и F2 , т.е. работа силы Лоренца, как и полагается, равна нулю. Работа силы F2 привела бы к остановке электронов и прекращению тока, если бы еще одну положительную работу не совершал источник тока. Напряжение источника поддерживает ток в проводе, несмотря на торможение, вызванное силой F2 и наличие сопротивления провода. В результате, в конечном счете, электродвигатель работает за счет энергии источника тока. За счет работы источника совершается механическая работа (вращается ротор) и 110 нагревается обмотка электродвигателя. Закон сохранения энергии для электродвигателя можно записать следующим образом: Аист Q Амех , где Аист q It работа источника тока с ЭДС , Q I 2 Rt тепло, выделяющееся в обмотке ( R – общее сопротивление цепи), Aмех IФ механическая работа, равна работе силы Ампера (составляющих силы Лоренца F1 ). Получим: Ф IR It I 2 Rt IФ . t Таким образом, сила тока, текущая через якорь электродвигателя, определяется выражением: Ф / t I . R Этот результат можно трактовать так: при изменении магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур с током (якорь), в контуре, помимо действия ЭДС , возникает дополнительная ЭДС, равная Ф / t (работа этой ЭДС есть, конечно, работа составляющих сил Лоренца F2 ). Эту дополнительную ЭДС называют ЭДС индукции и обозначают i . В итоге можно записать i Ф I , где i . R t Об ЭДС индукции и причинах её возникновения пойдет речь в последующих разделах. 3.9. Индуктивность Пусть в некотором контуре течет ток I . Этот ток создает в окружающем пространстве магнитное поле. Силовые линии магнитного поля пронизывают данный контур и создают магнитный поток. Магнитный поток через контур, созданный током самого контура называется собственным магнитным потоком контура. Величина магнитного поля, создаваемого каждым небольшим элементом контура согласно закону Био-Савара-Лапласа прямо пропорциональна току I . Следовательно, магнитная индукция B в каждой точке пространства прямо пропорциональна току, а значит и собственный 111 магнитный поток всегда прямо пропорционален току. Таким образом, можно записать: Ф собств L I , (3.23) где L некоторый коэффициент пропорциональности. Этот коэффициент пропорциональности L между собственным магнитным потоком и током называется индуктивностью. В СИ индуктивность измеряется в Генри (Гн). Индуктивность контура зависит от геометрических характеристик контура и магнитных свойств среды, в которой находится данный контур. Рассчитаем, например, индуктивность длинного соленоида без сердечника. Магнитное поле внутри длинного соленоида (см. формулу (3.18) и пример 3.7) NI B 0 , l причем силовые магнитные линии параллельны оси соленоида. Следовательно, полный собственный магнитный поток соленоида 0 N 2 S Ф собств NBS I. l Сравнение с формулой (3.23) дает: N 2S L 0 . (3.24) l В заключение отметим, что наличие ферромагнитного сердечника, безусловно, скажется на величинах магнитного поля и магнитного потока, пронизывающего витки соленоида. Это значит, что изменится и индуктивность. Этого вопроса мы еще коснемся в дальнейшем, а пока отметим, что причина зависимости индуктивности от вещества сердечника – намагниченность вещества. В результате вещество создает дополнительное магнитное поле, складывающееся с полем, создаваемым током, текущим по виткам соленоида. 3.10. Закон электромагнитной индукции Пусть произвольный контур (может быть, с током) находится во внешнем магнитном поле. Тогда полный магнитный поток через этот контур будет складываться из магнитного потока от внешнего поля и собственного магнитного потока, обусловленного током в самом контуре: Ф Ф внеш Ф собств . Сформулируем закон электромагнитной индукции. Всякий раз при изменении полного магнитного потока через произвольный контур в 112 контуре возникает электродвижущая сила, называемая электродвижущей силой индукции: Ф , (3.25) t где Ф изменение полного магнитного потока через контур, t время, за которое произошло это изменение. Если контур проводящий, то ЭДС индукции приведут к возникновению индукционного тока I i i R , где R полное сопротивление контура. Уравнение (3.25) представляет собой математическую запись закона электромагнитной индукции Фарадея. Именно Фарадей, основываясь на многочисленных экспериментальных данных, полученных им же, вывел этот закон. Понятие ЭДС всегда ассоциируется с некоторыми сторонними силами, которые, действуя на свободные заряженные частицы вещества, приводят к появлению тока. Так, в химических элементах, обсуждаемых в п.п. 2.16 и 2.17, действуют «химические» силы, стремящиеся привести систему окислитель – восстановитель в положение равновесия, в результате чего по цепи идет ток. Природу сторонних сил, приводящих к появлению ЭДС индукции, мы будем обсуждать отдельно в п. 3.15. А пока отметим, что уравнение (3.25) справедливо независимо от причин, вызывающих изменение полного магнитного потока, и независимо от природы сторонних сил, приводящих к появлению ЭДС индукции. Вообще говоря, уравнение (3.25) определяет некоторое среднее за промежуток времени t значение ЭДС индукции. Переходя от конечных приращений потока и времени к очень (бесконечно) малым приращениям этих величин (дифференциалам) можно определить мгновенное значение ЭДС индукции: dФ , (3.25,а) εi dt εi т.е. величина мгновенного значения электродвижущей силы индукции в контуре равна производной полного магнитного потока контура по времени. Производную dФ dt называют скоростью изменения магнитного потока. Учитывая, что полный магнитный поток представляет собой сумму внешнего и собственного потоков, получаем: εi dФ внеш dФ соб . dt dt (3.25,б) 113 d Ф внеш dt представляет собой ЭДС индукции, Слагаемое возникающей за счет изменения внешнего магнитного потока через контур. Внешний магнитный поток (см. формулу (3.19)) может изменяться по трем причинам – вследствие изменения величины В , площади контура S или угла . Обобщая, можно сделать вывод о том, что первое слагаемое ЭДС индукции обусловлено изменением внешнего поля во времени либо движением контура или его частей во внешнем магнитном поле. В простейшем опыте наблюдать явление электромагнитной индукции можно, приближая или удаляя один из полюсов магнита от проводящего кольца (рис. 3.18), либо, наоборот, кольцо удалять или приближать к магниту. При этом внешний магнитный поток через кольцо увеличивается или уменьшается, в кольце возникает ЭДС индукции и идет индукционный ток, о котором можно судить по отбросу стрелки гальванометра, если его включить в цепь. Отметим, что индуктивность одного витка очень мала. Поэтому, рассматривая данное явление, можно считать, что ЭДС индукции обусловлена лишь изменением внешнего поля, пренебрегая собственным полем кольца и не учитывая второе слагаемое в уравнении (3.25,б). Второе слагаемое в уравнении (3.25,б) называется ЭДС самоиндукции: dФ соб d( LI ) . (3.26) dt dt Такое название связано с тем, что это слагаемое связано с изменением собственного магнитного потока контура. Согласно уравнению (3.23) Ii изменение собственного магнитного потока может происходить за счет S N изменений тока в контуре или индуктивности контура. Если индуктивность контура не меняется с течением времени, то равенство (3.26) можно представить в виде: dI Рис. 3.18. Схема опыта наблюдения εS L индукционного тока dt (3.26,а) εS В сущности, на рис. 3.18 представлен один из многочисленных опытов Фарадея. «Магнетизм превратить в электричество» такова была основная цель, к которой стремился Фарадей в течение 10 лет (1821-1831 г.г.), веривший в эту идею. Главный вывод, который он сделал: электрический ток возникает при движении катушки и магнита относительно друг друга. Вскоре после 114 этого Фарадей создал первый генератор электрического тока. Его устройство и работу мы еще будем обсуждать в дальнейшем. Пример 3.8. Плоский контур из проволоки с сопротивлением R 1 Ом и площадью S 0,01 м2 находится в однородном внешнем магнитном поле, индукция которого перпендикулярна плоскости кольца. Индукция поля начинает равномерно изменяться со скоростью dB / dt 0,01 Тл/с. Определить тепловую мощность, выделяющуюся в витке. Индуктивность витка очень мала. Решение. При изменении внешнего магнитного поля на величину dB магнитный поток через контур изменяется на величину dФ SdB (поскольку вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости кольца 0 и cos 1 ). Вследствие изменения магнитного потока в контуре возникает электродвижущая сила индукции ε i dФ dt S dB dt , по кольцу течет ток I i i / R . При протекании тока кольцо нагревается. По закону Джоуля-Ленца тепло, выделяющееся в кольце за единицу времени или тепловая мощность (см. формулу (2.7)) S 2 (dB / dt ) 2 2 2 P Ii R εi / R 108 Вт. R Решая эту задачу, мы пренебрегли ЭДС самоиндукции из-за малой индуктивности витка. 3.11. Правило Ленца Часто, выполняя расчеты в задачах на электромагнитную индукцию, знак минус, который фигурирует во всех формулах (3.25, 3.26), учитывать необязательно (см. пример 3.8). Что же означает этот знак? Знак минус в формулах (3.25, 3.26) отражает правило Ленца, позволяющее определить направление индукционного тока: индукционный ток, возникающий в результате электромагнитной индукции, всегда направлен так, чтобы препятствовать причине, его вызвавшей. Математически это правило означает, что знаки ЭДС индукции и изменения потока противоположны: если магнитный поток увеличивается ( dФ 0 ), то ЭДС индукции отрицательна, если магнитный поток уменьшается ( dФ 0 ), то ЭДС индукции положительна. Обратимся вновь к рис. 3.18 ( слева - ближняя сторона кольца). Ответим на два вопроса. Куда будет направлен индукционный ток в кольце? Как будут взаимодействовать кольцо с магнитом? Опыт, изображенный на этом рисунке, можно описать различными способами. Для ответа на первый вопрос удобно считать, что причиной возникновения ЭДС индукции и индукционного тока в кольце является 115 увеличение магнитного потока через контур вследствие приближения магнита к контуру. Тогда собственное магнитное поле кольца, созданное индукционным током, должно препятствовать увеличению внешнего потока, т.е. собственное магнитное поле будет направлено против внешнего поля. Следовательно, по правилу буравчика ток в кольце потечет против часовой стрелки, если смотреть на кольцо справа. Если магнит удалять от кольца, то собственное магнитное поле кольца будет препятствовать уменьшению внешнего потока, т.е. направлено так же, как и внешнее поле. Значит, в этом случае индукционный ток потечет по часовой стрелке, если смотреть на кольцо справа. Поскольку магнитное поле действует на движущиеся заряды или токи, очевидно, что поле магнита будет действовать на кольцо с индукционным током с некоторой силой. Для ответа на второй вопрос удобно причиной возникновения ЭДС индукции и индукционного тока в кольце считать просто приближение магнита к кольцу, т.е. уменьшение расстояния между магнитом и кольцом. В этом случае согласно правилу Ленца индукционный ток в кольце потечет таким образом, что появится противодействие этой причине, т.е. между кольцом и магнитом возникнут силы отталкивания. Понятно, что в случае увеличения расстояния между магнитом и кольцом возникнут силы притяжения. Советуем читателям поразмыслить над тем, как будет взаимодействовать магнит с кольцом в случае, если в кольце имеется разрез. Рассмотрим еще один опыт, демонстрирующий правило Ленца (рис. 3.19). Подвесим между полюсами электромагнита маятник, нижняя часть которого представляет собой медную пластинку, и выведем его из положения равновесия. Что же будет происходить с маятником дальше? При движении маятника в медной пластинке возникнут индукционные токи, направления которых будет меняться. Причиной возникновения этих токов можно просто считать движение маятника. По правилу Ленца взаимодействие N индукционных токов с магнитом должно препятствовать этой причине, т.е. движению маятника. Таким образом, колебания маятника будут затухать, подобно S колебаниям в вязкой жидкости. Замкнутые токи, возникающие в сплошных проводящих средах, называются вихревыми токами или токами Фуко – по имени открывшего их французского ученого. Токи Фуко могут быть как вредными, так и полезными. Они возникают в сердечнике при Рис. 3.19. Схема опыта, любом изменении магнитного потока через демонстрирующего правило витки катушки. Например, в сердечниках Ленца трансформаторов, вращающихся частей 116 генераторов и двигателей, токи Фуко вызывают бесполезное нагревание. Поэтому сердечники делают шихтованными, из тонких листов стали, разделенных тончайшими слоями диэлектрика. Прослойки диэлектрика пересекают возможные пути протекания вихревых токов и тем самым значительно их ослабляют. Для токов Фуко нашли и полезное применение. Они используются в индукционных печах для плавки металлов или приготовления пищи. При этом проводящее тело (металл или пища) фактически играет роль сердечника. Оно помещается внутрь катушки, по которой пропускается переменный ток высокой частоты, порождающий внутри катушки переменное магнитное поле. А далее «работает» закон электромагнитной индукции. Переменное магнитное поле вызывает появление индукционных токов Фуко, которые и разогревают проводящее тело. В заключение отметим, что правило Ленца является лишь частным случаем более общего принципа Ле Шателье – Брауна: если систему, находящуюся в состоянии устойчивого равновесия, попытаться вывести из этого состояния при помощи какого-либо воздействия, то в системе возникнут процессы, стремящиеся ослабить результат этого воздействия. Иными словами, эти процессы всегда стремятся уничтожить причину, их вызвавшую. Приведем примеры. Попытаемся слегка сместить рукой вертикально висящий маятник. Маятник будет давить на руку, стремясь возвратиться в исходное состояние. Заключим газ в цилиндр, закрытый легким подвижным поршнем. В равновесии давление газа будет равно внешнему давлению. Если сместить поршень вверх, увеличивая объем газа, то давление газа упадет и станет меньше внешнего. Это будет служить препятствием для дальнейшего перемещения поршня вверх. Внесем проводник в электрическое поле. В результате на каждый свободный заряд проводника будет действовать сила. Возникнет процесс перераспределения зарядов в проводнике таким образом, что электрическое поле внутри проводника исчезнет (см. п. 1.7), т.е. причина (электрическое поле) перераспределения зарядов будет уничтожена. Пример 3.9. Катушка с сопротивлением R 1 Ом и индуктивностью L 0,01 Гн замкнута накоротко и находится в однородном внешнем магнитном поле. За некоторое время внешний магнитный поток возрастает на величину Ф внеш 0,001 Вб за счет изменения внешнего поля, а ток достигает значения I 0,09 А. Какой заряд прошел по катушке за это время? Решение. При изменении магнитного потока в витках катушки индуцируется ЭДС i dФ / dt . Подчеркнем, что dФ полное изменение потока через витки катушки, включающее как изменение внешнего потока, так и изменение собственного потока (индуктивность по условию задачи не является пренебрежимо малой величиной). Индукционный ток, текущий по катушке, 117 I i i / R dФ . R dt Заряд dq , прошедший по катушке за малый промежуток времени dt : dq I i dt dФ . R Полный заряд q , прошедший по катушке, найдется суммированием всех зарядов dq , другими словами интегрированием: Ф 1 2 Ф Ф1 q dФ 2 . R Ф1 R В начальный момент времени ток через катушку не шел, поэтому начальный полный поток через витки катушки равен начальному внешнему потоку Ф1 Ф внеш . В конечный момент времени по катушке идет ток I , следовательно полный поток складывается из внешнего и собственного, равного по величине L I . Причем, по правилу Ленца собственное магнитное поле катушки направлено против внешнего, поскольку внешний поток возрастает. Поэтому собственный поток ослабляет внешний и полный поток в конечный момент Ф 2 Ф 2 внеш L I . Таким образом: q (Ф 2 внеш L I ) Ф1внеш ΔФ внеш L I 10 4 Кл. R R Знак минус в ответе означает, что индукционный ток шел таким образом, что собственное магнитное поле было направлено против внешнего поля. Пример 3.10. Сверхпроводящее кольцо сечением S и индуктивностью L вносят в однородное магнитное поле с индукцией В так, что линии магнитного поля перпендикулярны плоскости кольца. Какой ток потечет по кольцу? Решение. При внесении магнитное поле за некоторое время t в кольце возбуждается индукционный ток Ф I i i / R , R t откуда следует Ф I i R t . Поскольку контур сверхпроводящий R 0 , а значит изменение полного потока Ф 0 . Другими словами, полный магнитный поток через сверхпроводящее кольцо не изменяется, т.е. сохраняется. Начальный магнитный поток Ф1=0 (кольцо находилось вне пределов магнитного поля, и ток в кольце отсутствовал), а конечный магнитный поток складывается из внешнего потока BS ( cos 1 , поскольку 118 линии поля перпендикулярны плоскости кольца) и собственного потока ( L I ): Ф 2 BS L I . Причем, по правилу Ленца собственный поток направлен против внешнего (внешний поток возрастает), поэтому собственный поток взят со знаком минус. Так как полный поток сохраняется, то Ф1=Ф2 или 0 BS L I , откуда I BS / L . В примере 3.10, по сути, обсуждается частный случай теоремы о сохранении магнитного потока: при движении идеально проводящего замкнутого провода в магнитном поле остается постоянным полный магнитный поток, пронизывающий контур провода. По отдельности внешний и собственный потоки через сверхпроводящий контур могут меняться, но их сумма остается неизменной. Такое сохранение обусловлено индукционными токами, которые согласно правилу Ленца препятствуют всякому изменению магнитного потока. Анализ формулы Ф I i R t (см. решение примера 3.10) показывает, что даже если сопротивление контура отлично от нуля, но изменения внешнего поля будут происходить очень быстро ( t 0 ), то изменение магнитного потока за столь малое время опять таки равно нулю, т.е. магнитный поток не может измениться слишком резко. Рассмотрим еще один пример. Пример 3.11. Кольцо с сопротивлением R , сечением S и индуктивностью L первоначально находится в однородном магнитном поле с индукцией В так, что линии магнитного поля перпендикулярны плоскости кольца. Внешнее поле очень быстро убирают. Какой ток потечет по кольцу сразу после выключения внешнего поля? Решение. Поскольку внешнее поле убирают практически мгновенно, полный поток через кольцо не успевает измениться за столь малое время, т.е. сохраняется. Первоначально ток по кольцу не идет, и полный магнитный поток через кольцо представляет собой поток внешнего поля Ф1 BS . После выключения внешнего поля внешний поток становится равен нулю, зато появляется индукционный ток в кольце, т.е. собственный поток. Значит, сразу после выключения внешнего поля полный поток через кольцо представляет собой собственный поток кольца Ф 2 L I . Так как полный поток сохраняется, то Ф1 = Ф2 или BS L I , откуда ток сразу после выключения поля I BS / L . В дальнейшем этот ток с течением времени будет уменьшаться из-за наличия сопротивления и приближаться к нулю тем быстрее, чем больше величина R . 3.12. Явления при замыкании и размыкании тока. Энергия магнитного поля Явления при замыкании и размыкании тока обусловлены индуктивностью цепи или самоиндукцией. Пусть, например, в цепь с аккумулятором включена катушка. Если каким-либо образом изменять ток в 119 цепи, то собственный магнитный поток через катушку будет изменяться, и в цепи, помимо ЭДС аккумулятора, начнет действовать электродвижущая сила самоиндукции, которая по правилу Ленца будет препятствовать изменению питающего катушку тока. При этом удобно считать, что в дополнение к питающему току аккумулятора пойдет ток, вызванный ЭДС самоиндукции. Этот ток называется экстратоком или индукционным током. По правилу Ленца индукционный ток должен препятствовать причине (изменению начального тока в катушке), его вызвавшей. Следовательно, при увеличении тока в цепи индукционный ток потечет навстречу, а при уменьшении – в том же направлении, что и первичный ток. Разберем явления, возникающие при замыкании и размыкании цепи. При замыкании цепи ток возрастает с нуля. Навстречу начинает течь индукционный ток (экстраток замыкания), который препятствует этому возрастанию. Поэтому ток в цепи достигает своего постоянного значения не сразу, а лишь через некоторое время, зависящее от величины индуктивности. Наоборот, при размыкании цепи ток исчезает не сразу, так как некоторое время течет экстраток размыкания, направленный так же, как и первичный ток. Отметим, что при резком размыкании цепи при определенных условиях величины ЭДС самоиндукции и экстратока размыкания могут быть велики, и превышать ЭДС источника величину тока, текущего до размыкания цепи. Поэтому на предприятиях для того, чтобы не повредить электрооборудованиеие, напряжение отключают не сразу, а понижают до нуля постепенно. Теперь рассмотрим количественную оценку этого явления. Цепь, состоящая из источника постоянного тока с ЭДС , катушки с L R индуктивностью L и сопротивления, представлена на рис. 3.20. Полное сопротивление цепи (с учетом I сопротивления обмотки катушки, внутреннего сопротивления источника) обозначим R . При замыкании ключа К K в первый момент помимо ЭДС в цепи действует также ЭДС самоиндукции s. Рис. 3.20. Модельная схема для расчета экстратока замыкания I R По закону Ома сила тока . s Учитывая формулу (3.26, а), получаем дифференциальное уравнение относительно функции I (t ) : I ε L (dI / dt ) R L Общее решение этого уравнения имеет вид dI RI ε . dt 120 R ε I t C exp - t . L R Величина константы С определяется из начального условия, показывающего, что в момент замыкания (при t 0 ) ток равен нулю. В итоге получим, что C ε / R , и сила тока: I (t ) ε (1 exp( t / )) , R (3.27) где L R постоянная, имеющая размерность времени и называемая временем установления тока. Из формулы (3.27) видно, что полный ток состоит из двух слагаемых. Слагаемое R (exp( t / ) представляет собой экстраток замыкания. По прошествии достаточно большого времени экстраток замыкания становится очень малым, т.е. при t остается лишь второе слагаемое / R , представляющее собой величину постоянного установившегося тока. Итак, ток в цепи устанавливается постепенно. Время установления определяется величиной , зависящей от индуктивности и сопротивления цепи. Величина по сути представляет собой время, за которое экстраток замыкания уменьшается в е раз. В качестве упражнения предоставляем читателям самостоятельно построить графики зависимостей I (t ) по формулам (3.27), (3.29). Исследуем процесс размыкания цепи, представленной на рис. 3.21. Общий ток в цепи распределяется между катушкой с сопротивлением и индуктивностью r и L и сопротивлением R . Сопротивление источника тока будем считать очень малым. При замкнутом ключе ток, текущий через катушку I 0 / r . При размыкании ключа ток в замкнутом контуре катушки и R сопротивления падает до нуля не сразу, поскольку в контуре начинает действовать поддерживающая ток L, r ЭДС самоиндукции. Согласно закону I0 Ома величина тока в контуре I s / R . Применяя формулу (3.26,а), получим: L ( dI / dt ) I . K R (3.28) Рис. 3.21. Модельная схема для расчета экстратока размыкания Отсюда следует дифференциальное уравнение 121 L dI RI 0, dt которое решается с учетом начального условия (при t 0 сила тока I I 0 / r ). В момент перед размыканием ключа через катушку идет ток r , а через сопротивление R идет ток ε / R . Но поскольку резистор R обладает пренебрежимо малой индуктивностью, можно считать, что начальный ток в замкнутом контуре после размыкания ключа равен току через катушку. С учетом этого решение дифференциального уравнения имеет вид I (t ) I 0 exp( t / ) , (3.29) где L / R . Решение (3.29) представляет собой экстраток размыкания. При t I 0 . Величина представляет собой время, за которое сила тока в контуре убывает в е раз. Дифференцируя выражение (3.28), найдем значение ЭДС самоиндукции: ε s L (dI / dt ) LI 0 exp( t / ) ε R exp( t / ) . r Видно, что при условии R r в начальный момент времени после размыкания цепи величина ЭДС самоиндукции во много раз может превзойти значение . Это можно показать на опыте, заменив сопротивление R лампочкой и соответствующим образом подобрать параметры цепи. Например, если 3 В, можно взять лампочку, рассчитанную на 10 В. При замкнутом ключе лампочка будет гореть тускло. При размыкании ключа она на мгновение ярко вспыхивает. А если ЭДС индукции во много раз превысит значение ЭДС батареи, лампочка может даже перегореть. Рассмотрим теперь явление размыкания цепи (рис. 3.21) с точки зрения закона сохранения энергии. Будем предполагать, что вместо резистора R в цепь включена лампочка. Откуда же берется энергия, затраченная на вспышку лампочки? Источник тока уже отключен и не отдает энергию в контур. Следовательно, запасом энергии обладает катушка с током. Эту энергию она получила от аккумулятора, когда ключ был замкнут. В процессе самоиндукции при исчезновении тока в катушке её энергия и переходит в энергию вспышки. Что собой представляет энергия катушки с током? В начальный момент времени по катушке идет ток I 0 , который создает магнитное поле. Исчезновение тока в катушке означает исчезновение магнитного поля. Значит, по сути, энергия катушки с током – это энергия её магнитного поля. Таким образом, при размыкании цепи в процессе самоиндукции именно энергия 122 магнитного поля катушки переходит в энергию вспышки. Магнитное поле – форма материи, обладающая энергией. Рассчитаем энергию магнитного поля катушки с током. Преобразуем формулу (3.28): I R dt LdI . Помножим обе части последнего уравнения на I: I 2 R dt L I dI . (3.30) По закону Джоуля-Ленца левая часть (3.30) представляет собой количество теплоты dQ , выделившееся в резисторе R за время dt . Значит уравнение (3.30) можно переписать в виде: dQ L I dI . (3.30,а) Проинтегрируем обе части уравнения (3.30,а), учитывая, что начальный ток равен I 0 , а конечный ток равен нулю: 0 dQ L I dI Q LI 2 / 2 . I0 Поскольку на сопротивлении R тепло выделяется за счет энергии магнитного поля катушки, правая часть полученного уравнения должна представлять собой энергию катушки. Таким образом, энергия магнитного поля катушки с током: LI2 Wm 2 (3.31) Формула (3.31) остается справедливой и для энергии магнитного поля произвольного контура с индуктивностью L и током I . В дальнейшем будет выведено выражение для плотности энергии электромагнитного поля катушки с током (пример 3.17, стр.136). 3.13. Генераторы и электродвигатели Принцип работы электродвигателя уже обсуждался в п. 3.8. Катушка или рамка с током, потребляемым от внешнего источника, вращаются в поле магнита под действием сил Ампера. От катушки, например, приводится во вращение соединенное с ней колесо. Таким образом, электрическая энергия, потребляемая от внешнего источника, переходит в механическую энергию. 123 Работа электродвигателя была рассмотрена при помощи простейшей модельной схемы, представленной на рис. 3.16. Подвижная перемычка CD (якорь), находящаяся в магнитном поле (магнитное поле создает индуктор), питается от внешнего источника тока. В C результате перемычка движется под B действием силы Ампера. Теперь исключим из цепи источник тока (рис. F F A v 3.22). Тока в цепи не будет, сила I B Ампера равна нулю, и перемычка останется неподвижной. Заставим двигаться перемычку вправо за счет A D dx каких-то механических усилий. Что же мы получим? Внешний магнитный поток через замкнутый контур ABCD Рис. 3.22. Модельная схема, будет расти из-за увеличения площади поясняющая принцип работы контура (для ясности изложения генератора. индуктивностью контура и собственным магнитным потоком здесь и далее в этом разделе пренебрегаем). Вследствие этого в контуре возникнет ЭДС индукции i , потечет ток I i i / R ( R полное сопротивление контура) и выделится тепло. Мы получили простейшую модель генератора электрического тока, в котором механическая работа или энергия превращается в электрическую энергию. Работа генератора является обратной работе электродвигателя. Клеммы двигателя подключаются к источнику электроэнергии, ЭДС создаёт ток, и в результате за счет силы Ампера движется якорь, т.е. «на выходе» мы получаем механическую энергию или работу. В генераторе, наоборот, за счет механической работы движется якорь и «на выходе» мы получаем ЭДС, т.е. потребляем электроэнергию. В принципе, одно и то же устройство может работать и как двигатель, и как генератор. Другой элементарной моделью генератора (переменного тока) является рамка или катушка (якорь) с проволочной обмоткой, вращающаяся между полюсами постоянного магнита (индуктора). При вращении катушки, состоящей из N витков площадью S , в магнитном поле внешний магнитный поток Ф NBS cos через её обмотку изменяется, так как изменяется угол между нормалью к плоскости витков и направлением вектора магнитной индукции B . В результате в обмотке якоря возникает ЭДС индукции, которая представляет собой напряжение на выходных клеммах катушки, т.е. напряжение, вырабатываемое генератором. Принципиально ничего не изменится, если, наоборот, вращать магнит внутри неподвижной обмотки. В этом случае индуктор будет ротором, а якорь статором. Обычно в качестве индуктора, создающего магнитное поле, в технических генераторах применяются электромагниты, представляющие 124 собой катушки с железными сердечниками. Магнитное поле создается током, текущим по обмотке электромагнита. Для питания электромагнитов применяются отдельные аккумуляторные батареи либо генераторы, укрепленные на одном валу с главным генератором. В качестве якоря применяются обмотки, в которых создается ЭДС индукции, используются рамки или катушки, вращающиеся в магнитном поле индуктора. Якорь приводится во вращение с помощью двигателей внутреннего сгорания, паровых турбин или водяных турбин гидроэлектростанций. Пример 3.12. Вывести зависимость напряжения на выходных клеммах генератора от времени, если в качестве якоря используется катушка, состоящая из N витков площадью S . Якорь вращается равномерно с угловой скоростью в магнитном поле индуктора с индукцией B . Чему равно максимальное значение напряжения генератора? Решение. Закон изменения угла при равномерном вращении имеет вид: t 0 , где угловая скорость вращения якоря, 0 начальный угол между нормалью к плоскости витков и магнитной индукцией. Следовательно, зависимость магнитного потока от времени имеет вид: Ф NBS cos( t 0 ) . По закону электромагнитной индукции (см. формулу 3.25,а), дифференцируя последнее выражение по времени, находим ЭДС индукции: i dФ NBS sin ( t 0 ) . dt Таким образом, на выходных клеммах генератора получаем переменное напряжение, зависящее от времени по синусоидальному закону. При подключении к клеммам такого генератора какой-либо нагрузки через неё потечет переменный синусоидальный ток. Поскольку максимальное значение функции синус равно единице, максимальное значение напряжения (или ЭДС индукции): i max NBS . Пример 3.13. Перемычка CD длиной l движется со скоростью v в однородном магнитном поле, индукция B которого перпендикулярна плоскости контура ABCD (рис. 3.22). Определить ЭДС индукции, возникающую в контуре ABCD. Какая сила необходима для того, чтобы перемещать перемычку с такой скоростью? Сопротивление контура ABCD постоянно и равно R . Решение. При смещении перемычки вправо на величину dx площадь контура ABCD возрастает на величину dS l dx , а магнитный поток возрастает на величину dФ B dS B l dx . Таким образом, в контуре индуцируется ЭДС dФ B l dx i . dt dt 125 Учитывая, что dx v dt , окончательно получим: i B l v . (3.32) Определим силу тяги, необходимую для движения перемычки со скоростью v . Под действием ЭДС индукции в контуре ABCD возникает индукционный ток I i i / R B l v / R . В результате на перемычку со стороны магнитного поля действует сила Ампера B 2l 2 v FA I i B l , R которая по правилу Ленца препятствует причине (силе тяги), вызвавшей индукционный ток, т.е. направлена в сторону, противоположную силе тяги (рис. 3.22). Таким образом, для движения перемычки CD с постоянной скоростью v необходимо преодолевать возникающую при этом силу Ампера, т.е. прикладывать к перемычке силу B 2l 2 v F FA . R 3.14. Трансформаторы В настоящее время в технике, наряду с постоянным током, широко используется и переменным ток. Напряжение постоянного тока, применяемого в линиях электропередачи, для питания различных электронных схем, электродвигателей, научились преобразовывать в широких пределах. Важное преимущество переменного тока над постоянным током состоит в том, что напряжение переменного тока можно достаточно легко повышать или понижать практически без потерь энергии. Трансформаторы – это приборы, при помощи которых преобразуется напряжение переменного тока. Принцип работы трансформаторов, так же как и генераторов, основан на законе электромагнитной индукции. 126 Трансформатор представляет собой две обмотки, навитые на один и тот же железный (ферромагнитный) сердечник (рис. 3.23). Концы первой обмотки с сопротивлением R1 подключаU1 U2 R2 ются к источнику переменного тока с напряжением U1 . Эта обмотка называется первичной. К концам второй обмотки, на Рис. 3.23. Схема трансформатора которых создаётся переменное напряжение U 2 , подключается нагрузка с сопротивлением R2 , потребляющая электроэнергию. Эта обмотка U 2 U1 , называется вторичной. Если трансформатор называется повышающим. Если U 2 U1 , трансформатор называется понижающим. Отношение напряжения сети к напряжению на нагрузке называется коэффициентом трансформации: K U1 /U 2 . Проанализируем работу трансформатора. При подключении первичной обмотки к сети переменного напряжения по ней течет переменный ток, создающий в обмотке переменное магнитное поле и переменный магнитный поток. В результате в первичной обмотке, наряду с электродвижущими силами генератора (величиной U1 ) действуют электродвижущие силы самоиндукции s1 . Закон Ома для первичной цепи имеет вид U s1 I1 1 , R1 откуда следует: U1 s1 I1 R1 . (3.33) Величина ЭДС самоиндукции в первичной обмотке может быть представлена в виде: s1 dФ соб dФ вит N1 , dt dt (3.34) где Ф соб N1Ф вит собственный магнитный поток первичной обмотки, в электротехнике этот суммарный магнитный поток через витки катушки называют потокосцеплением; N1 число витков в первичной обмотке, Ф вит поток через один виток. Все линии магнитного поля, проходящие через витки первичной обмотки, проходят и через витки вторичной обмотки. Т.е. поток через один виток 127 вторичной обмотки точно такой же, как поток через один виток первичной обмотки. Это происходит потому, что магнитное поле в ферромагнетиках значительно превышает магнитное поле в воздухе (см. п. 3.16) и все замкнутые магнитные силовые линии практически без рассеяния идут внутри общего для обмоток сердечника. Замкнутый ферромагнитный сердечник, являясь «проводником магнитный силовых линий», представляет собой замкнутую «магнитную цепь», внутри которой проходят все силовые линии. Таким образом, при изменении потока через виток первичной обмотки синхронно изменяется поток через виток вторичной обмотки и во вторичной обмотке возникнет ЭДС самоиндукции s 2 . В результате через нагрузку R2 течет ток и она потребляет энергию, первоначально взятую из сети. Однако напряжение на нагрузке R2 отличается от напряжения сети. Выведем выражение для коэффициента трансформации. Поскольку во вторичной цепи действует только электродвижущая сила самоиндукции, закон Ома для этой цепи имеет вид: I 2 s 2 / R2 , откуда следует s 2 I 2 R2 . (3.35) Величина ЭДС самоиндукции во вторичной обмотке: s2 dФ соб dФ вит N2 , dt dt (3.36) где Фсоб N 2Ф вит собственный магнитный поток через витки вторичной обмотки. Из уравнений (3.34) и (3.36) следует: s1 N1 s2 N 2 . (3.37) Правая часть уравнения (3.35) представляет собой напряжение U 2 на нагрузке R2 , поэтому: s2 U 2 . (3.35,а) Сопротивление самой намотки обычно бывает малым. Поэтому, если считать, что сопротивление первичной намотки R1 0 , из уравнения (3.33) получим: s1 U1 , (3.33,а) 128 Генератор Нагрузка Линия передачи Повышающий трансформатор Понижающий трансформатор Рис. 3.24. Схема линии передачи электроэнергии т.е. ЭДС самоиндукции в первичной обмотке s 2 равно по величине и противоположно по знаку электродвижущей силе сети U1 . Учитывая равенства (3.33,а) и (3.35,а), из уравнения (3.37) получаем выражение для коэффициента трансформации: U N K 1 1 . (3.38) U 2 N2 Коэффициент трансформации зависит от числа витков в первичной и вторичной обмотках. Если, например, в первичной обмотке 100 витков, а во вторичной 1000 витков, то трансформатор будет повышать напряжение в 10 раз. Трансформаторы применяются для передачи электроэнергии на большие расстояния с наименьшими потерями. Для передачи электроэнергии на большие расстояния с наименьшими потерями напряжение в начале линии передачи нужно повысить, а в конце линии передачи перед потребителем понизить (рис. 3.24). Пусть, например генератор имеет мощность P 10 6 Вт, которая определяется механической мощностью, затрачиваемой на раскрутку ротора, и является постоянной величиной. Например, мощность генератора гидроэлектростанции определяется мощностью потока воды, раскручивающей турбину, которая находится на одном валу с ротором. Предположим трансформатор повышает напряжение в линии до U 105 В, а сопротивление проводов линии R 100 Ом. Тогда сила тока в линии передачи I P / U 10 2 4 А, и мощность, расходуемая на нагревание проводов, Pнагр I R 10 В. Потери мощности, расходуемой на нагревание проводов, составляют Pнагр / P 0,01 или 1%. Если, к примеру, уменьшить напряжение в линии до 129 U 2104 В, то легко подсчитать, что потери мощности в линии составят уже 25%. Таким образом, для уменьшения потерь электроэнергию нужно передавать под возможно более высоким напряжением. Итак, трансформаторы играют исключительную роль для преобразования в широких пределах напряжения переменного тока. Подобных простых и дешёвых способов трансформации напряжения постоянного тока до сих пор не существует. FЛ 3.15. Природа электромагнитной индукции F2 v1 B v В предыдущих разделах мы v2 F1 рассмотрели закон электромагнитной индукции и различные его проявления. Возникновение ЭДС индукции и индукционного тока в замкнутом проводящем контуре при изменении Рис. 3.25. Схема действия силы магнитного потока через этот контур Лоренца на свободные электроны означает, что на электроны в контуре замкнутого проводника при его действуют какие-то сторонние силы, движении в магнитном поле заставляющие электроны двигаться . упорядоченно. Рассмотрим природу этих сил. Как уже обсуждалось в п. 3.10, явление возникновения ЭДС индукции наблюдается либо при изменении магнитного поля во времени, либо при движении контура или его частей во внешнем магнитном поле. В соответствии с этим существует и две различных причины возникновения ЭДС индукции. Рассмотрим первый случай, когда контур или его часть движется в магнитном поле. Вновь обратимся к опыту, изображенному на рис. 3.22. Пусть перемычка CD длиной l движется со скоростью v2 в однородном магнитном поле, индукция B которого перпендикулярна плоскости контура ABCD. Формально магнитный поток изменяется вследствие изменения площади контура, в результате чего в контуре действует ЭДС индукции и течет индукционный ток (см. пример 3.13). Разберём ситуацию более детально (рис. 3.25). Так как перемычка движется со скоростью v2 вправо, электроны внутри неё движутся вправо точно с такой же скоростью. Индукционный ток по перемычке CD течет сверху вниз, следовательно, электроны движутся упорядоченно снизу вверх с некоторой скоростью v1 относительно проводника. В итоге результи рующая скорость электрона v направлена под некоторым углом к проводнику. На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца FЛ , 130 перпендикулярная скорости v . Силу Лоренца можно разложить на две составляющие, действующие вдоль провода и перпендикулярно ему: FЛ F1 F2 . Сила F1 направлена перпендикулярно проводу против направления его перемещения. Такая сила действует на каждый электрон в проводе. По сути, сумма всех сил F1 , действующих на различные электроны, представляет собой силу Ампера (см. пример 3.13). Она стремится затормозить проводник и совершает отрицательную работу. Составляющая F2 направлена вдоль проводника, разгоняет электроны и совершает положительную работу, работа составляющей F1 отрицательна. Полная работа силы Лоренца, как всегда, равна нулю. Сила F1 привела бы к остановке перемычки CD, если бы на перемычку не действовала еще одна сила, совершающая положительную работу, - сила тяги. И в конечном итоге именно за счет механических усилий, т.е. работы силы тяги, вырабатывается электроэнергия (по контуру ABCD течет ток и контур нагревается). Составляющая силы Лоренца F2 обусловлена движением проводника со скоростью v2 (рис. 3.25). Поэтому F2 ev 2 B . Работа по перемещению одного электрона от одного полюса перемычки CD к другому A1 F2 l ev 2 Bl , работа по перемещению N электронов A N A1 Ne v2 Bl qv2 Bl , где q Ne суммарный заряд, прошедший вдоль перемычки. Тогда ЭДС индукции (см. формулу (2.12)) i A q v2 Bl . Этот результат совпадает с результатом (3.32) примера 3.13, полученным формально из закона электромагнитной индукции. Если движущаяся перемычка CD незамкнута, то индукционного тока не будет, но один из концов перемычки под действием силы Лоренца зарядится отрицательно, а другой положительно, т.е. между концами перемычки возникнет разность потенциалов, которая и будет равна ЭДС индукции, определяемой выражением (3.32). Можно сказать, что в этом случае движущаяся в магнитном поле перемычка будет представлять собой незамкнутую «батарейку». Небольшая разность потенциалов возникает, например, на концах крыльев самолетов, осей машин и т.п. при движении в магнитном поле Земли. Таким образом, роль сторонних сил, вызывающих появление ЭДС индукции в случае движения контура или его части в магнитном поле играет сила Лоренца, или точнее её составляющая, направленная вдоль проводника. Именно сила Лоренца, например, действует на электроны во вращающемся в магнитном поле якоре, приводя к возникновению электродвижущей силы генератора. Можно сказать, что возникновение индукционного тока в случае движения контура или его частей не представляет собой принципиально нового физического явления. Похожим образом, например, объясняется эффект Холла, рассмотренный в п. 3.5. 131 Рассмотрим второй случай возникновения, когда ЭДС индукции и индукционный ток возникают в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Понятно, что в этом случае сила Лоренца на свободные заряды не действует. Какая же сторонняя сила приводит в упорядоченное движение электроны в этом случае? Максвелл предположил, что имеет место совершенно новое физическое явление: изменяющееся во времени магнитное поле приводит к появлению в пространстве вихревого электрического поля. Возникновение индукционного тока в контуре, находящимся в переменном магнитном поле можно объяснить следующим образом. Переменное магнитное поле порождает в пространстве вихревое электрическое поле. Как и любое электрическое поле, вихревое электрическое поле действует на свободные электроны контура с силой, и электроны движутся упорядоченно, т.е. возникает ток. Отметим, однако, что само вихревое электрическое поле возникает в пространстве, где есть переменное магнитное поле вне всякой зависимости от наличия проводящего контура. Проводящий контур играет роль своеобразного индикатора, «лакмусовой бумажки», указывающей на существование в пространстве вихревого электрического поля. В этом существенная разница трактовки закона электромагнитной индукции Фарадея и Максвелла. Фарадей, на опыте открывший этот закон, видел его суть в возникновении индукционного тока. По Максвеллу, суть закона в возникновении вихревого электрического поля. (В дальнейшем Максвелл постулировал факт, в то время не подкрепленный никакими экспериментами, что, в свою очередь, переменное электрическое поле порождает магнитное поле). Эта гениальная догадка Максвелла является важнейшим законом физики, открытым в 19 веке. Фарадей и Максвелл внесли грандиозный вклад в развитие теории электромагнетизма. Их работы заложили основы нового раздела физики – волновой оптики (теории света как электромагнитной волны). Термин вихревое поле означает, что силовые линии такого поля замкнуты. Вихревое электрическое поле существует вне прямой связи с зарядами – его источником является переменное магнитное поле. Работа по перемещению заряда в потенциальном электрическом поле, источником которого являются какие-то заряды, равна нулю (см. п. 1.12). Работа же вихревого электрического поля по замкнутому контуру отлична от нуля. Работа силы, действующей со стороны вихревого электрического поля, по перемещению положительного единичного заряда по замкнутому контуру и представляет собой ЭДС индукции в контуре: i Aвихр q (см. формулу 2.12). Работа вихревого поля Е по перемещению заряда по замкнутому контуру L A q ( E (см. также п. 1.12): вихр L , dl ) . Тогда: ε i E , dl . L (3.39) 132 Если ЭДС индукции представить как произведение некоторого среднего значения напряженности вихревого электрического поля на длину контура i Eср l , то для оценки величины напряженности вихревого поля, направленного вдоль провода, получим Eср i / l . По закону электромагнитной индукции (3.25,а) из уравнения (3.39) получаем: dФ E , d l . dt (3.40) L Учитывая выражение для магнитного потока (3.19, а), уравнение (3.40) можно представить в виде: d E , d l B , n dS , (3.40,а) L dt S где S может быть любой поверхностью, натянутой на контур L. Уравнение (3.40,а) представляет собой одно из уравнений Максвелла. Его смысл в том, что источником электрического поля может быть переменное магнитное поле. Или буквально: переменное магнитное поле создаёт отличную от нуля циркуляцию электрического поля. В соответствии с принципом относительности Эйнштейна все явления природы происходят одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Принципа относительности мы уже касались в п. 3.1, когда говорили о том, что в любой инерциальной системе отсчета действующая на заряд электромагнитная сила одна и та же, хотя ее электрическая и магнитная составляющие могут изменяться. На первый взгляд может показаться, что закон электромагнитной индукции описывает принципиально два различных физических явления: возникновение ЭДС индукции и индукционного тока в контуре в результате действия силы Лоренца (т.е. действия самого магнитного поля) и в результате действия вихревого электрического поля, порождаемого переменным магнитным полем. Сам же закон (3.25) одинаков в обоих случаях! Выясним причины этого «совпадения». Рассмотрим вновь опыт Фарадея, представленный на рис. 3.18. Представим себе двух наблюдателей, один из которых «сидит» на магните, а другой – на кольце. Если в контур кольца включить гальванометр, то оба наблюдателя увидят отклонение его стрелки. Первый наблюдатель, находящийся на кольце, будет утверждать, что переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое, которое действует на электроны кольца с силой, в результате по кольцу идет ток. Для второго наблюдателя, находящегося на магните, магнит неподвижен, а 133 движется кольцо. Поэтому он скажет, что G причиной тока является сила Лоренца, действующая со стороны магнитного поля K на электроны кольца. Обоих наблюдателей «примиряет» принцип относительности Рис. 3.26. Опыт по измерению Эйнштейна. Важно, что они, находясь в магнитной проницаемости разных системах отсчета, наблюдают одно и сердечника то же физическое явление: одинаковый индукционный ток в кольце, а значит и одинаковую ЭДС индукции. Поэтому и сам закон Фарадея (3.25) должен выглядеть одинаково для обоих случаев. Важным следствием принципа относительности Эйнштейна является относительность магнитного и электрического полей. Нельзя утверждать, что в пространстве имеется магнитное или электрическое поля, не указывая, относительно какой системы отсчёта ведется наблюдение. Если для первого наблюдателя вихревое электрическое поле существует, то для второго наблюдателя его нет. Относительность электрического и магнитного полей следует также из того факта, что в любой инерциальной системе отсчета ускорение заряда и электромагнитная сила (обобщенная сила Лоренца – см. формулу (3.2)) одни и те же. 3.16. Магнитное поле в веществе До сих пор мы рассматривали магнитные поля, создаваемые какими-то движущимися зарядами или токами в вакууме или в воздухе, что почти то же самое. Магнитное поле может существенно измениться, если в него поместить какое-то вещество. Рассмотрим опыт на рис. 3.26. Первая катушка через ключ К подключена к источнику постоянного тока. В цепь второй катушки, витки которой намотаны на витки первой, включен гальванометр, по отбросу стрелки которого можно судить о полном заряде, прошедшем по цепи второй катушки. Пусть первоначально сердечник в катушках отсутствует. При замкнутом ключе К через первую катушку течет некоторый постоянный ток, создающий в катушке магнитное поле. Витки второй катушки намотаны на витки первой, поэтому магнитное поле будет пронизывать также и витки второй катушки. При размыкании ключа К магнитное поле в первой, а значит и второй катушках начинает убывать, так как убывает ток, текущий через первую катушку. В результате в цепи второй катушки возбуждается ЭДС индукции и потечет кратковременный ток. По отбросу стрелки гальванометра G можно судить о полном заряде, протекшем через вторую катушку после размыкания ключа. 134 Полный заряд, протекший по цепи второй катушки можно найти по формуле (вывод см. в примере 3.9), q Ф 2 Ф1 , R где R – полное сопротивление цепи второй катушки. Начальный магнитный поток через вторую катушку Ф1 NB 0 S , конечный магнитный поток Ф 2 0 . Величина B0 магнитное поле, создаваемое током, текущим по виткам первой катушки до размыкания ключа. В результате получим q NB 0 S R . Измеряя заряд при помощи гальванометра, можно определить начальное магнитное поле внутри катушек: B0 qR NS . Теперь вставим внутрь катушек железный сердечник и установим тот же начальный ток, текущий по виткам первой катушки. При размыкании ключа отброс стрелки гальванометра, т.е. полный заряд, протекающий через вторую катушку, значительно увеличиться. Пусть показание гальванометра увеличивается в раз. Анализ последней формулы показывает, что магнитное поле внутри катушек в присутствии сердечника в раз больше, чем поле в отсутствие сердечника: B B0 . Увеличение магнитного поля можно объяснить только наличием внутри катушек сердечника, поскольку в обоих случаях в начале опыта ток устанавливался одинаковый. Величину называют магнитной проницаемостью среды. Она показывает, во сколько раз магнитное поле в среде изменяется по сравнению с магнитным полем в вакууме. Магнитная проницаемость железа гораздо больше единицы и достигает значений 5000 . Вещества, подобные железу, называются ферромагнетиками. К ферромагнетикам относятся никель, кобальт, гадолиний и ещё некоторые редкоземельные элементы. Кроме того, сильными ферромагнетиками являются различные сорта стали и некоторые сплавы металлов, магнитная проницаемость которых может достигать порядка 10 6 ! Вещества, магнитная проницаемость которых немного превышает единицу, называются парамагнетиками. Например, парамагнитными свойствами обладают воздух ( 1,000038 ), алюминий ( 1,000023 ), платина ( 1,000253 ) . И, наконец, вещества, магнитная проницаемость которых немного меньше единицы, называются диамагнетиками. Магнитное поле в диамагнетиках уменьшается по сравнению с полем в вакууме. Примерами диамагнетиков являются вода ( 0,999991 ), золото ( 0,999963 ), висмут ( 0,999824 ) и другие. Причины изменения магнитного поля в среде похожи на причины изменения электрического поля в среде (п.п. 1.7, 1.8). Любое вещество состоит из молекул или атомов, которые, в свою очередь, состоят из заряженных 135 частиц. Движение электронов вокруг ядер можно рассматривать как элементарный электрический ток, и атом представлять себе в виде микроскопического витка с током. Виток с током имеет магнитный момент и создает магнитное поле. Суммарное магнитное поле всех атомов и представляет собой магнитное поле, возбуждаемое веществом. Движение электронов внутри атомов и молекул будем называть молекулярными токами в отличие от обычных токов проводимости, текущим по проводам. Пример 3.14. В модели атома водорода Нильса Бора электрон вращается по круговой траектории вокруг положительно заряженного ядра (фактически протона). Пусть известны скорость электрона v и радиус орбиты R . Найти магнитный момент такого атома. Решение. Атом представляет собой виток с током I , создаваемым движением одного электрона. Магнитный момент атома pm I s , где s R2 площадь сечения витка. По определению сила тока есть заряд, протекающий через сечение проводника за единицу времени I q / t . В нашем случае через данную точку траектории один раз за период обращения T 2R / v пролетает один единственный электрон. Поэтому сила тока I e / T ev / 2R , где e заряд электрона. Тогда магнитный момент атома pm ev evR R 2 . 2R 2 Отметим, что если боровский атом водорода поместить в магнитное поле с индукцией B , то на атом со стороны поля будет действовать вращательный момент M pm B sin , где угол между векторами p m и B (напомним, что вектор pm направлен перпендикулярно плоскости витка). Таким образом, внешнее магнитное поле будет ориентировать атом в магнитном поле подобно тому, как оно ориентирует магнитную стрелку. В устойчивом положении равновесия вектора pm и B параллельны, вращательный момент при этом будет равен нулю. Микроскопические магнитные моменты отдельных атомов в отсутствие внешнего магнитного поля могут быть ориентированы хаотически или отсутствовать совсем. В этом случае их суммарное магнитное поле будет равно нулю. Внешнее магнитное поле ориентирует магнитные моменты атомов параллельно вектору магнитной индукции. Действительно, на виток с током в 136 магнитном поле действует вращательный момент, стремящийся повернуть виток в положение равновесия, при котором внешнее поле перпендикулярно плоскости витка, или, другими словами, параллельно магнитному моменту витка (см. п. 3.4 и пример 3.14). Таким образом, во внешнем магнитном поле магнитные моменты атомов преимущественно направлены вдоль поля и их суммарное магнитное поле отлично от нуля. Суммарное магнитное поле представляет собой сумму внешнего поля B0 и поля молекулярных токов атомов вещества Bm : B B0 Bm . В ферромагнетиках и парамагнетиках вектора B0 и Bm параллельны, и внешнее поле усиливается полем молекулярных токов атомов; а в B B диамагнетиках вектора 0 и m антипараллельны, и внешнее поле ослабляется полем молекулярных токов атомов. Вещество, в котором магнитные моменты атомов упорядочены по направлению, называется намагниченным. Намагниченностью вещества J называется величина, равная отношению суммарного магнитного момента объема вещества к величине этого объема (или средний магнитный момент единицы объема вещества): p mi J (3.41) V где p mi магнитный момент i-ого атома, находящегося в объёме V. Важно отметить, что парамагнетики и диамагнетики могут быть намагниченными только будучи помещены во внешнее магнитное поле, тогда как что ферромагнетики способны сохранять состояние намагниченности и в отсутствие внешнего поля. На рис. 3.27 схематически показан намагниченный сердечник катушки с B током. Внешнее магнитное поле 0 создается током, текущим по намотке сердечника (на рис. 3.27 намотка не показана). Под действием внешнего поля отдельные атомы (или витки) ориентируются так, что их магнитные моменты p m параллельны внешнему полю. Молекулярные токи соседних атомов в местах их соприкосновения текут в разных направлениях и взаимно компенсируют друг друга. Молекулярные токи, выходящие на наружную боковую поверхность сердечника остаются некомпенсированными. Они складываются и дают некоторый суммарный ток I m . Таким образом, намагниченный сердечник можно представлять себе как цилиндр, по боковой поверхности которого течет некоторый ток I m . Отметим, что в отличие от тока свободных электронов текущих по обмотке, суммарный молекулярный ток I m представляет собой ток B0 137 связанных электронов, каждый из которых принадлежит определенному атому. Будем называть ток I m током Im Bm намагничивания. Ток намагничивания I m (рис. 3.27) создает магнитное поле Bm , параллельное внешнему полю B0 , поэтому суммарное поле в Рис. 3.27. Намагниченный сердечник сердечнике B B0 Bm . С другой катушки с током стороны, наличие сердечника усиливает внешнее поле в раз: B B0 . Приравнивая левые части последних двух уравнений, получим: Вид сверху B0 B0 Bm Bm B0 ( 1) . В ферромагнетиках магнитное поле молекулярных токов во много раз превышает внешнее магнитное поле токов проводимости. В случае парамагнетиков, например, для алюминия получим: Bm B0 (1,000023 1) 0,000023 B0 . В этом случае магнитное поле молекулярных токов составляет лишь очень малую часть от внешнего поля. Главной причиной малости величины Bm является тепловое движение атомов алюминия, нарушающие порядок их расположения. Конечно, далеко не все атомы сориентированы так, как показано на рис. 3.27. Тепловое движение является также причиной полного разупорядочивания атомов парамагнетиков при выключении внешнего магнитного поля. 3.17. Теорема о циркуляции магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля В целях ясности изложения материала будем рассматривать только изотропные среды, свойства которых не зависят от направления. В этих средах магнитная проницаемость не зависит от направления внешнего поля. И, кроме того, вектор намагниченности в каждой точке параллелен вектору магнитной индукции поля. Вновь обратимся к рис. 3.27. Полный магнитный момент сердечника, обусловленный током намагничивания: Pm I m S , где S площадь 138 поперечного сечения сердечника. Тогда величина вектора намагниченности (см. формулу 3.41) P I S Im J m m , V S l l где l длина сердечника, V S l его объём. В п. 3.6 (см. формулу 3.17) было введено понятие линейной плотности поверхностного тока i . Величина I m / l представляет собой как раз ток намагничивания, приходящийся на единицу длины сердечника, или линейную плотность тока намагничивания im . Таким образом, величина вектора намагниченности сердечника равна линейной плотности тока намагничивания: J im . Заметим, что и размерность вектора намагниченности такая же, как и размерность линейной плотности тока А/м . Полный ток намагничивания, текущий по боковой поверхности сердечника, можно выразить через величину вектора намагниченности: Im J l . (3.42) Формулу (3.42) можно обобщить и доказать следующее утверждение. Полный ток намагничивания, пронизывающий произвольную поверхность S , натянутую на замкнутый контур L представляет собой циркуляцию вектора намагничивания по контуру L : I m J , dl (3.42,а) L Теперь перейдём к теореме о циркуляции магнитного поля. Ранее она уже была сформулирована в п. 3.7 для поля в вакууме (см. формулу 3.20). Напомним, что циркуляция вектора магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру L определяется суммарным током I , пронизывающим произвольную поверхность S , натянутую на контур L : B , dl I 0 L i 0 I . i В веществе кроме токов проводимости текут молекулярные токи или токи намагничивания. Поэтому теорему о циркуляции нужно «поправить», учитывая, что поверхность S , кроме тока проводимости I , может пронизывать и некоторый суммарный ток намагничивания I m : 139 B, dl 0 ( I I m ) . (3.43) L Рассчитать суммарный ток намагничивания порой бывает достаточно сложно и в общем случае это можно сделать по формуле (3.42,а). Но наличие токов намагничивания и, как следствие, изменение магнитного поля в среде можно учесть и другим образом. В среде поле в раз больше, чем в вакууме, поэтому теорему о циркуляции можно «поправить» и так: B, dl 0 I L (ещё раз подчеркнем, что наличие токов намагничивания учитывается домножением правой части уравнения на ). Отсюда следует: B , d l L 0 I . Для описания магнитного поля в веществе удобно ввести вспомогательный вектор: B H (3.44) 0 , который называется напряженностью магнитного поля. Таким образом определить напряженность магнитного поля можно только в случае изотропных сред, где вектора H и B параллельны. В общем случае H B 0 J (см. напряженность магнитного поля определяется как уравнение (3.46)). Теорема о циркуляции может быть представлена в виде: H , dl I . (3.45) L Формула (3.45) и выражает собой теорему о циркуляции для магнитного поля в веществе: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному контуру L равна суммарному току проводимости, пронизывающему произвольную поверхность S, натянутую на контур L. Эта теорема показывает, что величина вектора напряженности определяется только токами проводимости, т.е. токами свободных зарядов, текущих по проводам, и не зависит от среды. Тот факт, что при определении вектора напряженности можно не обращать внимания на наличие вещества и 140 не выполнять сложный расчёт молекулярных токов оправдывает целесообразность введения величины H . Определив H и зная магнитную проницаемость среды , можно легко определить вектор индукции магнитного поля B 0H . Пример 3.15. Определить магнитное поле, создаваемое прямым бесконечным проводом с током I в среде с магнитной проницаемостью . Решение. Решение данного примера в точности напоминает решение примера 3.6, в котором было определено поле бесконечного провода в вакууме. Только на сей раз нужно воспользоваться теоремой о циркуляции магнитного поля в среде и сначала определить напряженность магнитного поля. Согласно этой теореме при определении напряженности магнитного поля нужно учитывать лишь токи проводимости, а на молекулярные токи, т.е. вообще на присутствие среды, можно внимания не обращать: H , dl I H 2R I H L I . 2R Тогда для вектора магнитной индукции получаем: B 0 I . 2R (3.14,а) Результат (3.14,а) отличается от результата (3.14) лишь множителем , т.е. поле в среде отличается от поля в вакууме в раз. Пример 3.16. Найти магнитное поле внутри соленоида длиной l , числом витков N и током I , если внутри него находится сердечник с магнитной проницаемостью . Решение. Решение этого примера аналогично решению примера 3.7. Применение теоремы о циркуляции для магнитного поля в среде даёт результат: H i откуда следует: B NI , l 0 NI l (3.18,а) Как и в примере 3.14, формула для поля в среде отличается от соответствующей формулы для поля в вакууме множителем . 141 Конечно, результаты примеров 3.15 и 3.16 были предсказуемы, поскольку мы уже говорили о том, что в среде магнитное поле изменяется в раз по сравнению с вакуумом. Наконец, отметим, что, используя формулу (3.18,а), можно доказать, точно так же, как это было сделано в п. 3.9, что индуктивность соленоида с сердечником в раз отличается от его индуктивности без сердечника: 0 N 2 S L . l (3.24,а) Для увеличения индуктивности нужно использовать ферромагнитные сердечники. Пример 3.17. Вывести выражение для объемной плотности энергии BH . 2 магнитного поля катушки с током w Решение. Решение этого примера аналогично выводу формулы (1.33) для плотности энергии электрического поля плоского конденсатора. Объемная плотность энергии: w W / V , где W - энергия магнитного поля катушки с током, V Sl - объем катушки. Далее используя формулы (3.31), (3.24а), (3.18а), (3.44) получим (соответствующие выкладки сделайте самостоятельно): w BH 2 (3.31а) Отметим, что выражение (3.31а) для плотности энергии магнитного поля, полученное для катушки с током, справедливо и в других случаях, т.е. является универсальным, так же как и выражение (1.33) для плотности энергии электрического поля. J Вектор намагниченности среды в некоторой области пространства можно выразить через вектора B и H . Если в уравнении (3.43) суммарный ток намагничивания заменить выражением (3.42, а), то получим B, dl 0 ( I J , dl ) L L B L 0 J , dl I . Сравнивая полученное уравнение с уравнением (3.45), находим, что H B 0 J или B J H . 0 (3.46) 142 Учитывая связь (3.44) между векторами В и Н , из уравнения (3.46) можно получить уравнение, связывающие векторы J и H : 0 H J H 1H 0 или J H , (3.47) где величина 1 называется магнитной восприимчивостью среды. В парамагнетиках 0 , в диамагнетиках 0 , в ферромагнетиках значения столь же велики, что и значения . Предоставляем читателям самостоятельно найти связь между векторами J и B: J B . (3.48) 0 1 В изотропных как показывают уравнения (3.44), (3.47) и (3.48) все средах, три вектора В , H и J попарно зависимы и параллельны друг другу. Качественно это можно объяснить тем, намагниченность в каждой точке среды возникает под воздействием внешнего магнитного поля, и магнитные моменты атомов поворачиваются параллельно внешнему магнитному полю, т.е. направлению вектора H . 3.18. Молекулярная теория магнетизма Молекулярная теория магнетизма – это теория, объясняющая механизм намагничивания вещества на основе строения одной молекулы или атома данного вещества. В отсутствии внешнего магнитного поля намагниченность диамагнитных и парамагнитных веществ равна нулю. Однако обусловлено это разными причинами. Движение каждого электрона вокруг ядра представляет собой элементарный электрический ток и создаёт определенный магнитный момент. Сумма магнитных моментов всех электронов в молекуле диамагнитного вещества равна нулю; можно было бы сказать также, что суммарный ток всех электронов в атоме диамагнетика равен нулю. Таким образом, отдельная молекула диамагнетика не является элементарным магнитиком. Поэтому в отсутствие внешнего поля оказывается ненамагниченным и весь диамагнетик в целом. Сумма магнитных моментов всех электронов в молекуле парамагнетика отлична от нуля, и каждая молекула парамагнетика представляет собой виток с 143 током или маленький магнитик. Из-за беспорядочного теплового движения молекул ориентация магнитных моментов отдельных молекул также беспорядочна, поэтому в отсутствие внешнего магнитного поля весь парамагнетик в целом оказывается ненамагниченным. Итак, молекулу диамагнетика можно было бы представить как маленький виток, в котором суммарное движение электронов даёт в итоге нулевой ток. Если проводящий виток поместить в магнитное поле, линии которого перпендикулярны плоскости витка, то по закону электромагнитной индукции в нём индуцируется электрический ток. Этот ток по правилу Ленца течет таким образом, что собственное поле витка направлено против внешнего. Точно также и в молекулах диамагнетика в момент включения внешнего поля индуцируется некоторый ток, при этом внутреннее движение электронов в молекулах диамагнетика не меняется, но вся молекула целиком приобретает дополнительное вращательное движение вокруг вектора индукции внешнего магнитного поля, называемое Ларморовской прецессией. В момент включения внешнее магнитное поле быстро возрастает до своего некоторого постоянного значения, т.е. является переменным, и порождает вихревое электрическое поле. Ларморовская прецессия возникает именно в результате действия вихревого электрического поля, а затем просто поддерживается внешним магнитным полем. Вследствие этого каждая молекула приобретает магнитный момент, направленный по правилу Ленца против внешнего поля, вещество в целом становится намагниченным. Поле намагниченных молекул диамагнетика направлено против внешнего, т.е. частично его компенсирует. Поэтому суммарное магнитное поле в диамагнетике В меньше внешнего поля В0 , а магнитная проницаемость В / В0 1 . Следовательно, диамагнетизм вещества есть одно из проявлений закона электромагнитной индукции. Диамагнетизм присущ вообще любым молекулам, но в парамагнетиках преобладает более сильное ориентационное намагничивание, напоминающее процесс ориентационной поляризации молекул диэлектрика. Каждая молекула парамагнетика заранее обладает магнитным моментом. Во внешнем магнитном поле магнитные моменты ориентируются параллельно вектору магнитной индукции, и вещество намагничивается. Поле намагниченных молекул усиливает внешнее поле. Поэтому суммарное магнитное поле В в парамагнетике больше внешнего поля В0 , а магнитная проницаемость 1 . Магнитная проницаемость парамагнетика очень мало превышает единицу, поскольку тепловое движение дезориентирует магнитные моменты молекул. Перед тем, как перейти к объяснению природы ферромагнетизма, отметим, что магнитные моменты атомов и молекул создаются не только за счёт орбитального движения электронов вокруг ядер (орбитальные магнитные моменты), но и за счёт вращений электронов вокруг собственных осей. Такие вращения называются спиновыми вращениями электронов. Спиновые вращения 144 тоже подобны некоторым токам и создают спиновые магнитные моменты. Планеты Солнечной системы тоже вращаются вокруг своих осей и имеют собственные магнитные поля. Удивительно, как черты громадной макроскопической системы повторяются в мельчайшей микроскопической системе – атоме! Однако излишние эмоции по поводу сходства макромира и микромира следует всё же отбросить. Природа микрообъектов двойственная. Они проявляют свойства как частиц, так и волн. Электрон в атоме нельзя рассматривать как частицу, движущуюся по определенной траектории – орбите. Вместо этого следует рассматривать «электронное облако». Электрон становится как бы «размазанным» по всему облаку. Законы микромира изучаются в квантовой механике. Эти законы существенно отличаются от фундаментальных законов классической физики, например, таких, как второй закон Ньютона. Представляя явления микромира, человек пытается использовать понятия, к которым он привык в повседневной жизни. Обычно он представляет себе геометрические или механические образы, с помощью которых отражается в мозгу весь мир. Электрон никто никогда не видел и никто никогда, в принципе, не увидит. Поэтому мы пытаемся как-то представить его себе. При слове «электрон» мы представляем себе маленький, отрицательно заряженный шарик, движущийся и вращающийся вокруг своей оси. И это во многих случаях лучше, чем не представлять себе вообще ничего, и оставаться «безразличным к его судьбе». Но любые сравнения микромира с макромиром условны. Человечество ещё не успело выработать образы микрообъектов и понятий квантовой механики. Ферромагнетизм невозможно объяснить, рассматривая отдельные атомы ферромагнетиков, которые сами по себе обладают парамагнитными свойствами. В ферромагнетиках существуют макроскопические (размером 10-4 – 10-5 м) области спонтанной намагниченности – домены. В пределах каждого домена спиновые магнитные моменты атомов ориентированы параллельно друг другу, и все вместе создают магнитное поле, во много раз превышающее поле одного атома. Параллельная ориентация спиновых магнитных моментов атомов в доменах обусловлена специальным короткодействующим обменным взаимодействием между электронами соседних атомов. Обменные силы стремятся установить спины (вращения) электронов соседних атомов параллельно друг другу. Существование обменных сил есть следствие законов квантовой механики, эти силы невозможно даже качественно объяснить с точки зрения классической физики. Поэтому детальное изложение вопроса, связанного с природой обменных сил, выходит за рамки данного пособия. В отсутствие внешнего магнитного поля магнитные моменты и поля различных доменов могут быть направлены хаотически. В этом случае ферромагнетик ненамагничен. При включении внешнего магнитного поля атомы доменов, магнитные моменты которых направлены против поля, стремятся присоединиться к доменам, магнитные моменты которых направлены по полю. Таким образом, размеры первых доменов уменьшаются, а 145 последних – увеличиваются. Кроме того, в сильных внешних полях отдельные домены могут поворачиваться целиком так, чтобы их магнитный момент был направлен вдоль внешнего поля. В результате описанных процессов магнитное поле внутри ферромагнетика значительно увеличивается. При выключении внешнего магнитного поля ферромагнетик остаётся намагниченным. Тепловое движение не способно полностью дезориентировать целые домены и, тем более, разрушить их. Размагничивание идёт очень медленно. В результате процесс намагничивания и размагничивания ферромагнетиков отстаёт от изменений внешнего поля. Намагниченность ферромагнитного вещества под действием одного и того же внешнего магнитного поля зависит не только от величины этого поля, но и от начальной намагниченности вещества. Зависимость намагниченности под действием внешнего поля от предыстории ферромагнетика называется магнитным гистерезисом. Поместим ненамагниченный ферромагнетик во внешнее магнитное поле, постепенно увеличивая его напряженность H . Это можно сделать, например, поместив в катушку ферромагнитный сердечник и постепенно увеличивая силу тока, текущего по виткам катушки (напомним, что величина H NI / l зависит исключительно от тока проводимости или тока свободных электронов). Вследствие гистерезиса зависимость намагниченности J от H будет нелинейной (рис. 3.28, участок ОА). По-прежнему можно писать уравнение (3.47) J H или J 1H , но нужно считать, что магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость для ферромагнетиков не являются постоянными величинами, а зависят от напряженности внешнего поля. В сильных полях вдоль поля выстраиваются все домены, и намагниченность достигает насыщения, т.е. становится постоянной, не зависимой от величины H (участок АВ). Максимальная намагниченность J н называется намагниченностью насыщения. При уменьшении тока в катушке или уменьшении напряженности магнитного поля намагниченность начинает уменьшаться. Однако, при полном выключении внешнего магнитного поля в веществе наблюдается остаточная намагниченность J ост . Далее, если включить поле, противоположное по направлению (изменить направление тока), намагниченность будет уменьшаться и при некотором значении напряженности обратного поля H к образец полностью размагнитится. Величина H к напряженность магнитного поля, размагничивающего образец, называется коэрцитивной силой. Ферромагнетики с большой коэрцитивной силой размагничиваются только в очень сильных полях, поэтому их используют для изготовления постоянных магнитов. Увеличивая силу обратного тока, можно намагнитить образец в противоположную сторону до насыщения. Вся зависимость J H в прямом и 146 обратном направлении называется петлёй гистерезиса. Если точка А соответствует насыщению намагниченности образца, то петля называется предельной. Если при намагничивании образца по кривой ОА остановится в точке С, а затем уменьшать напряженность поля, то размагничивание пойдёт по меньшей петле. В частности, при полном выключении поля намагниченность образца J будет меньше, чем J ост . В этом смысл магнитного гистерезиса: при одном и том же значении напряженности магнитного поля намагниченность образца может быть разной. Она, помимо величины H , зависит от предыстории ферромагнетика. Кривые намагничивания на рис. 3.28 показывают, что для того, чтобы размагнитить ферромагнетик, недостаточно просто выключить внешнее поле – образец при этом останется намагниченным. Недостаточно и приложить обратное поле – образец размагнититься, но при попытке вынуть его из поля он намагнититься вновь (это всё равно, что выключить поле). Для размагничивания образца его помещают в катушку с переменным током. Образец при этом циклически перемагничивается. Плавно уменьшают амплитуду тока, переходя к более узким петлям гистерезиса. В результате при исчезновении тока достигается точка О, где намагниченность равна нулю. Кроме того, размагнитить ферромагнетик можно, если достаточно сильно его нагреть. Это явление впервые было обнаружено и изучено французским физиком П. Кюри. Температура, при которой происходит размагничивание ферромагнетика и превращение его в парамагнетик, называется температурой Кюри. Причиной разрушения доменов является интенсивное тепловое движение атомов. Например, для железа температура Кюри 7700 С, для никеля – 3600 С, для кобальта – 11300 С, для гадолиния – 160 С. При циклическом перемагничивании ферромагнитный образец разогревается. Часть работы затраченной на развороты доменов неизбежно переходит в тепло, поскольку намагниченность отстаёт от изменений внешнего поля. В п. 3.11 говорилось о том, что сердечники могут разогреваться из-за токов Фуко. Однако более сильное нагревание обусловлено именно гистерезисом, а не токами Фуко. Например, при прочих равных условиях, железный сердечник нагревается значительно быстрее медного. Интенсивное нагревание ферромагнетиков и явление насыщения намагниченности делает непригодными катушки с сердечниками для получения сверхсильных магнитных полей. 147 J А Jн В J ост Hк 3.19. Ток смещения. Уравнения Максвелла J О C H S2 Рассмотрим схему на рис. К S1 3.29. Замкнём ключ. L Конденсатор начнёт заряжаться, Рис. 3.28. Зависимость намагниченности поэтому в течение некоторого от напряженности магнитного поля малого времени по цепи пойдёт I(петля гистерезиса) электрический ток I . В Iсм пространстве вокруг провода с током появиться магнитное поле. Выберем произвольный замкнутый Рис. 3.29. Ток смещения, возникающий плоский контур L, пронизываемый при зарядке конденсатора. проводом. Рассмотрим две поверхности, натянутые на этот контур. Одна поверхность S1 пересекает проводник, а другая поверхность S2 проходит между обкладками конденсатора. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля Н по замкнутому контуру L (см. теорему о циркуляции, п. 3.17) равна суммарному току, пронизывающему поверхность, натянутую на контур L. Для поверхности S1 циркуляция равна мгновенному току I , текущему по проводнику. Если же рассмотреть поверхность S2, то циркуляция вектора напряженности Н по тому же самому контуру L равна нулю, поскольку проводник с током не пересекает поверхность S2. Получаем противоречие. Рассмотрим ещё один «мысленный» эксперимент. Окружим заряженный металлический шар проводящей средой. Тогда шар начнёт разряжаться, и от него радиально по всем направлениям потекут электрические токи. Электрический ток должен создавать магнитное поле, но при попытке определить его направление мы приходим к недоразумению. Ведь шар и токи симметричны, поэтому не существует какого-то «особого» направления, отличающегося от всех остальных, вдоль которого могло бы быть направлено магнитное поле. Значит, поля нет. Опять получаем противоречие. В первом случае мы получили противоречие с теоремой о циркуляции. Совершенно понятно, что вокруг проводника с током должно быть электрическое поле и циркуляция вектора магнитной индукции по контуру L должна быть отлична от нуля. Второй рассмотренный случай опровергает самую основу магнетизма: магнитное поле – особая форма материи, существующая вокруг движущегося заряда или тока. 148 А что, если магнитное поле создаётся не только движущимися зарядами? Ведь электрические поля существуют не только вокруг зарядов, но и порождаются переменными магнитными полями. Рассматривая подобные примеры, Максвелл пришёл к выводу, что магнитные поля, в свою очередь, могут порождаться переменными электрическими полями. Он «поправил» теорему о циркуляции (см. формулу (3.45)) следующим образом: L dФ D H , dl I dt . (3.49) Ф D Величина D , n dS представляет собой поток вектора электрического S смещения D через поверхность S, натянутую на контур L, соответственно величина dФD / dt есть скорость изменения этого потока. Если учесть, что dD dФ D d D , n dS , n dS , dt dt S d t S то уравнение (3.49) можно представить следующим образом: dD H , dl I ,n dS . d t S L (3.49,а) Если электрическое поле постоянно, производная по времени вектора электрического смещения равна нулю: dD / dt 0 . В этом случае магнитное поле создаётся одними только токами. В присутствие переменного электрического поля величина dD / dt отлична от нуля и даёт дополнительный вклад в циркуляцию вектора H . Это и означает, что магнитное поле порождается не только токами, но и переменным электрическим полем. В этом смысл уравнения Максвелла (3.49). Величину dФD / dt Максвелл назвал током смещения: I см dФ D . dt Уравнение Максвелла (3.49) можно записать в виде: (3.50) 149 H , dl I I см , (3.49,б) L тогда по смыслу производная вектора электрического смещения представляет собой ток смещения, пронизывающий единичную площадь поверхности, или плотность тока смещения: dD jсм . dt (3.50) Действительно, ведь поток плотности тока через поверхность S есть полный ток, пронизывающий эту поверхность: j , d n dS I см . см S Ток смещения – воображаемый ток. Это удобная модель явления, поскольку мы привыкли к тому, что магнитные поля создаются движущимися зарядами или токами. Нам проще считать, что источником некоторого дополнительного магнитного поля является не переменное электрическое поле, а некоторый ток смещения, дополнительный к обычным токам проводимости. Сразу отметим, что ток смещения не просто дополняет токи проводимости, а всегда замыкает их. В результате получается, что полный ток всегда замкнут. Итак, теперь мы можем сказать, что в присутствие переменных электрических полей текут токи смещения, которые замыкают токи проводимости и порождают магнитное поле, наряду с токами проводимости. Вектор электрического смещения в каждой точке пространства выражается через вектора напряженности электрического поля и вектор E поляризации P (1.25): D 0 E P . Тогда dD / dt 0dE / dt dP / dt . Первое слагаемое представляет собой плотность тока смещения в вакууме. А второе слагаемое – плотность вполне реального тока связанных зарядов. Этот ток связан с изменением состояния поляризации вещества в переменном внешнем электрическом поле. При этом поляризационные заряды движутся, что соответствует некоторому току. Отметим, что уравнение (3.50) напоминает уравнение (3.25, а), выражающее собой закон электромагнитной индукции. ЭДС индукции равна 150 скорости изменения потока вектора магнитной индукции, а ток смещения равен скорости изменения потока вектора электрического смещения. Причиной возникновения ЭДС индукции является переменное магнитное поле, а причиной возникновения тока смещения является переменное электрическое поле. Возвратимся к рассмотренным в начале этого раздела примерам и попытаемся дать им объяснение. Сразу обратим внимание на тот факт, что в обоих рассмотренных случаях присутствовало переменное электрическое поле. В первом случае в процессе зарядки поверхностная плотность заряда конденсатора возрастала, а, следовательно, увеличивалось и напряженность электрического поля E / 0 между пластинами. Во втором случае заряд шара q уменьшался, а, следовательно, уменьшалось и поле E q 4 0 r в окружающем пространстве. Применим уравнение (3.49,б) для поверхностей S1 и S2, натянутых на контур L. Поверхность S1 пронизывается током проводимости I , поэтому циркуляция вектора напряженности по контуру L: H , dl I . Проводник не L пересекает поверхность S2, поэтому суммарный ток проводимости, текущий через эту поверхность, равен нулю: I 0 . Но между обкладками конденсатора течёт ток смещения (см. рис. 3.29), порожденный переменным электрическим H полем, поэтому: , dl I см . Найдём ток смещения. Для простоты расчёта L предположим, что поверхность S2 в области между обкладками плоская и параллельна обкладкам. Тогда поток вектора электрического смещения через поверхность S2 Ф D DS , где S – площадь обкладок. Следовательно, по формуле (3.50) получим: I см dФ D / dt S dD / dt . В пространстве между обкладками поле однородно и напряженность (см. формулу (1.20,б)) E / 0 , тогда вектор электрического смещения: D 0 E q / S . Находим скорость изменения вектора электрического смещения и ток смещения: dD / dt 1 dq S dt I см dФ D / dt dq / dt I , скорость изменения заряда конденсатора равна заряду, поступившему за единицу времени из провода, или силе тока) H , dl I . Получили тот же L результат, что и для поверхности S1. Результат вычисления циркуляция вектора 151 напряженности теперь не зависит от поверхности, натянутой на этот контур. Противоречие устранено. Кроме того, мы показали, что величина тока смещения равна величине тока проводимости, т.е. ток смещения замыкает ток проводимости. Используя представление о токе смещения, можно легко объяснить отсутствие магнитного поля в пространстве вокруг разряжающегося шара. В этом случае токи смещения, замыкая токи проводимости, текут противоположно токам проводимости из бесконечности к поверхности шара и по величине равны токам проводимости. В результате полный ток, текущий от поверхности шара, равен нулю, а, следовательно, нет и магнитного поля. Докажем, что суммарный ток смещения равен скорости изменения заряда шара dq / dt или полному току проводимости I . Напряженность электрического поля заряженного шара q E , 4 0 r 2 тогда q D 0 E . 4r 2 Плотность тока смещения на расстоянии r от центра шара jсм dD 1 dq . dt 4r 2 dt Тогда полный ток смещения, пересекающий сферическую поверхность радиуса r: I см jсм S jсм 4r 2 dq I. dt После того как Максвелл ввёл понятие тока смещения и дополнил теорему о циркуляции, он сформулировал систему из четырёх фундаментальных уравнений, которая объединила все знания об электрических и магнитных явлениях: 152 L L S S d E , dl B , n d S , dt S d H , dl I D , n d S , dt S D , n dS q , B , n dS 0. (3.51) Для описания полей в изотропных средах к системе нужно добавить уравнения связи между векторами E и D , B и H : D 0 E и B 0 H . Система уравнений (3.51) содержит в себе все основные законы электричества и магнетизма. Первое уравнение представляет собой закон электромагнитной индукции. Смысл уравнения в том, что электрическое поле может порождаться переменным магнитным полем. В этом случае электрическое поле является не потенциальным, а вихревым, его силовые линии замкнуты. Работа по перемещению заряда по замкнутому контуру в таком поле, а значит и циркуляция вектора напряженности вихревого поля, отличны от нуля. Левая часть уравнения (циркуляция электрического поля) представляет собой ЭДС индукции i , а правая – скорость изменения магнитного потока dФ dt . Второе уравнение системы отражает тот факт, что магнитное поле (или буквально: циркуляция магнитного поля) может порождаться как токами проводимости I (движущимися свободными зарядами), так и переменным электрическим полем. Второе слагаемое в правой части уравнения представляет собой скорость изменения потока вектора электрического смещения dФD dt или ток смещения. Третье уравнение системы представляет собой теорему Гаусса. Его смысл в том, что источником электрического поля (буквально: потока силовых линий) является заряд. Наконец, четвертое уравнение системы свидетельствует о том, что магнитных зарядов не существует. Магнитные силовые линии нигде не начинаются и нигде не заканчиваются, они всегда замкнуты, т.е. магнитное поле – вихревое поле. Значит, если силовая линия входит в поверхность, то она не может оборваться внутри поверхности, а обязательно выходит из неё. И, 153 следовательно, поток магнитных силовых линий через любую замкнутую поверхность равен нулю. Отсутствие в природе магнитных зарядов является причиной того, что уравнения (3.51) не симметричны относительно электрического и магнитного полей. Для стационарных, т.е. не с течением времени, полей меняющихся изменения потоков векторов D и B через любую мысленно выделенную в пространстве поверхность равны нулю. Поэтому равны нулю правая часть первого уравнения и второе слагаемое правой части второго уравнения системы (3.51). В этом случае система уравнений Максвелла в безындукционном приближении имеет вид: L L S S E , dl 0, H , dl I , D , n dS q , B , n dS 0. (3.52) Стационарное электрическое поле создаётся системой неподвижных зарядов и называется электростатическим полем. Смысл первого уравнения системы (3.52) в том, что электростатическое поле потенциально, работа по перемещению заряда по замкнутой траектории в таком поле равна нулю. Второе уравнение свидетельствует о том, что в отсутствие переменных электрических полей источником магнитного поля может быть только ток или движущийся заряд. Третье и четвёртое уравнения остаются без изменений. Одним из самых важнейших выводов, вытекающих из системы уравнений Максвелла (3.51), является вывод о возможности существования магнитного и электрического полей, не связанных с какими-то материальными источниками – зарядами. Электрическое и магнитное поля, порождая друг друга, могут распространяться в пространстве. Распространение электромагнитного возмущения называется электромагнитной волной. Радиоволны, видимый свет, инфракрасное, ультрафиолетовое, рентгеновское излучения, -излучение – все эти явления представляют собой электромагнитные волны, отличающиеся частотами колебаний полей и длинами волн. Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме (её часто называют скоростью света) с 3 108 м/с. Она выражается через электрическую и магнитную постоянные (что само по себе указывает на электромагнитную природу света) 154 с 1 0 0 . (3.53) Таким образом, уравнения Максвелла являются фундаментом раздела физики, называемого Волновой Оптикой или в более широком смысле – Физической оптики, науке о природе света. Более подробно электромагнитные волны будут рассмотрены в главе 4. 3.20. Природа магнетизма Физика не только описывает то или иное явление природы, но и объясняет, почему это явление происходит. В самом начале нашего курса мы говорили о том, что некоторые элементарные частицы, такие, например, как протон или электрон, обладают свойством, которое называется электрическим зарядом. Заряды взаимодействуют с электрическими силами посредством особой формы материи – электрического поля. Но всё же ответить на вопрос, почему взаимодействуют заряды, или почему поле одного заряда действует на другой заряд, невозможно. Можно только сказать, что так устроена природа, и что основное свойство электрического поля – действие на заряды. Движущиеся заряды создают магнитное поле и посредством этого поля взаимодействуют между собой с магнитными силами. Оказывается на вопрос о причинах магнитного взаимодействия ответить можно. Правда, основываясь на факте существования взаимодействия электрического. Этой важной проблеме и посвящён данный раздел. Пусть параллельно прямому металлическому проводу длиной l0 с током I движется отрицательно заряженная частица на расстоянии q r от провода и со скоростью v v относительно провода, FЛ r направленной против тока (рис. 3.30). Пусть, например, заряд частицы равен заряду электрона I q e . Провод с током на расстоянии r создаёт магнитное поле с Рис. 3.30. Действие силы Лоренца на заряд, движущийся параллельно проводнику с индукцией B 0 I 2r (см. током формулу 3.14; предполагаем, что r l0 и используем формулу для бесконечно длинного провода). Это поле действует на частицу с силой Лоренца I FЛ evB ev 0 , направленной к проводу. Электроны в проводе движутся в 2r направлении, противоположном направлению силы тока в проводе, т.е. 155 параллельно частице. Для простоты рассуждений (но без потери смысла) примем, что все электроны в проводе движутся также с постоянной скоростью v. Тогда сила тока I j S en 0 v S (см. формулу 2.23), где n0 концентрация электронов; S – площадь поперечного сечения провода. Следовательно, сила Лоренца 0 n0e 2v 2 S FЛ . 2r (3.54) Действие этой силы обнаружит наблюдатель 1, связанный с системой отсчёта 1, покоящейся относительно провода. Отметим, что в системе отсчёта 1 провод электрически нейтрален – заряды электронов и ионов компенсируют друг друга, т.е. концентрации электронов и ионов одинаковы (и равны n0 ), поэтому электрическая сила на частицу не действует. Теперь перейдём в новую инерциальную систему отсчёта 2, движущуюся с постоянной скоростью v в направлении движения частицы. В этой системе отсчёта как частица, так и электроны в проводе будут покоиться. Зато движутся со скоростью v положительно заряженные ионы, т.е. узлы кристаллической решётки металла. Поскольку для наблюдателя 2, находящегося в этой системе отсчёта (т.е. движущегося со скоростью v), скорость частицы равна нулю, сила Лоренца тоже равна нулю. Получается, что сила, действующая на частицу, исчезла в новой инерциальной системе отсчёта. Однако, согласно принципу относительности Эйнштейна (который уже обсуждался в п. 3.15), в любых инерциальных системах отсчёта все физические явления должны протекать одинаково. В данном случае, независимо от выбора инерциальной системы отсчёта, должна существовать сила, действующая на частицу. Она должна быть одинакова для наблюдателей 1 и 2. Правда, в системе отсчёта 2 эта сила не может быть магнитной (силой Лоренца), следовательно, в этой системе отсчёта она имеет иную природу. Для того чтобы понять природу силы, действующей на частицу в системе отсчёта 2, необходимо обратится к одному из самых замечательных результатов специальной теории относительности Эйнштейна. Многие физические величины являются относительными. Это совершенно очевидно, когда мы говорим, например, о такой физической величине как скорость, которая может быть разной в различных системах отсчёта. Например, утверждение «тело движется со скоростью 5 м/с» бессмысленно, пока не будет указано, относительно какого тела (т.е. системы отсчёта) движется данное тело с этой скоростью. Долгое время таким же очевидным считался тот факт, что расстояние между двумя точками есть величина абсолютная, независящая от системы отсчёта. Эйнштейн подверг сомнению этот никем не доказанный факт. Согласно его теории относительности расстояние между двумя точками или размеры тела вдоль направления его движения (длина) могут изменяться, при этом поперечные размеры, в направлении перпендикулярном движению тела 156 (ширина) не изменяются. Фактически, длина тела в зависимости от системы отсчёта может быть любой. Она изменяется от нулевого значения до некоторого максимального: l l0 v2 1 2 . c (3.55) Формула (3.55) показывает, что максимальную длину тело имеет в системе отсчёта, где оно покоится: при v=0 получаем l l0 . Минимальная же длина не ограничена. Она меньше в тех системах отсчёта, где скорость тела больше. При скоростях v, близких к скорости света c , длина стремится к нулю. Пусть в системе отсчёта 1, где проводник покоится, его длина равна l0 . В системе отсчёта 2 проводник движется, поэтому его длина и объём становятся меньше (площадь сечения S не изменяется). Число ионов кристаллической решётки N И остаётся прежним, значит, при переходе к системе отсчёта 2 увеличивается их концентрация: nИ n0 NИ NИ NИ NИ , 2 2 V S l S l 1 v2 / c2 V 1 v2 / c2 1 v / c 0 0 где n0 N И V0 концентрация ионов в системе отсчёта 1, nИ концентрация ионов в системе отсчёта 2. Электроны, наоборот, в системе отсчёта 1 двигались со скоростью v, а в системе отсчёта 2 они покоятся. Следовательно, концентрация электронов при переходе к системе отсчёта 2 уменьшается: ne n0 1 v 2 / c 2 . Отсюда следует вывод: в системе отсчёта 2 проводник становится электрически заряженным, поскольку концентрация положительно запряженных ионов стала больше концентрации электронов. Положительно заряженный провод будет притягивать отрицательно заряженную частицу. Таким образом, в системе отсчёта 2 на частицу по-прежнему действует сила, направленная к проводу. Только природа этой будет электрической. Докажем, что электрическая сила, действующая на частицу в системе отсчёта 2, в точности равна силе Лоренца (см. формулу (3.54)), действующей на частицу в системе 1. Сначала выразим линейную плотность заряда провода через концентрацию зарядов: q N e NeS neS . l V /S V Линейная плотность положительных зарядов провода И nИ eS , линейная плотность отрицательных зарядов e neeS . Результирующая 157 линейная плотность заряда провода И e nИ ne eS . Будем полагать, что v с , т.е. величина v 2 / c 2 очень мала (даже при больших токах дрейфовая скорость электронов в проводе составляет обычно лишь несколько мм/с). Тогда разность концентраций ионов и электронов в проводе: v 2 v 2 nИ ne n0 1 v / c n0 1 n 1 n0 2c 2 0 2c 2 2 2 1 v / c n0 2 2 v2 c2 , (здесь использованы приближённые формулы: 1 x 1 x 2 и 1 1 x 1 x , справедливые при малых значениях x ). Тогда v2 n0 eS 2 . (3.56) c Электрическое поле, создаваемое проводом с линейной плотностью заряда на расстоянии r от него E 20 r (см. формулу (1.19)). Сила, действующая на частицу в системе 2: F eE e 20 r . Учитывая выражение 2 2 2 2 (3.56), получаем: F n0 e v S 20 c r . Так как c 1 0 0 (см. формулу 2 2 (3.53)), то: F 0 n0 e v S 2r , что в точности совпадает с результатом (3.54). Равенство сил, действующих на частицу в системах отсчёта 1 и 2 доказано. Мы показали, что сила Лоренца, действующая в системе отсчёта 1, преобразуется в электрическую силу, действующую в системе отсчёта 2. Понятно, что справедливым будет и обратное утверждение о том, что электрическая сила, действующая в системе отсчёта 2, преобразуется в силу Лоренца при переходе к системе отсчёта 1. Таким образом, проявление магнетизма можно объяснить с точки зрения теории относительности. Говорят, что магнетизм – есть релятивистское явление. Релятивистскими явлениями обычно называют явления, которые можно объяснить при помощи теории относительности. Особенно сильно эти явления начинают проявлять себя при скоростях тел, близких к скорости света. Если скорости тел малы по сравнению со скоростями света, то релятивистские явления или эффекты обычно незаметны. Почему же столь явно проявляет себя сила Лоренца в системе отсчёта 1, ведь скорость частицы невелика? Почему же столь явно взаимодействуют, например, два параллельных провода с током? Ответ на эти вопросы прост: проводники, по которым течёт ток, в высокой степени нейтральны. Магнитные силы на фоне мощного электрического взаимодействия были бы незаметны (попробуйте доказать, что электрические 2 силы в с / v раз больше магнитных сил). Однако электрическое взаимодействие отсутствует, и действие магнитных сил становится явным. 158 В заключение отметим ещё один важный факт. В системе отсчёта 1 на заряженную частицу действовала магнитная сила, а в системе отсчёта 2 – электрическая. Поэтому, говоря о взаимодействии зарядов, можно говорить о величине силы взаимодействия, но не имеет смысла говорить отдельно об электрическом или магнитном взаимодействии, не указывая систему отсчёта, в которой ведётся наблюдение. Электрические и магнитные взаимодействия зарядов две части одного и того же явления электромагнитного взаимодействия, одинакового во всех инерциальных системах отсчёта. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. На что действует магнитное поле? Запишите выражение для силы Лоренца. Как направлена эта сила? Чему равна её работа? 2. Каков характер движения заряженных частиц в однородных электрическом и магнитном полях? 3. Каким образом определяют массы мельчайших заряженных частиц? 4. Какая сила называется силой Ампера. Чему равен её модуль? Как она направлена? 5. Чему равна сила Ампера, действующая на замкнутый проводник с током в однородном магнитном поле? 6. Каково поведение рамки с током в магнитном поле? 7. В чём заключается эффект Холла? Для каких целей его используют? Объясните, как можно определить знак свободных носителей заряда. 8. От каких параметров и как зависит вектор магнитной индукции поля, создаваемого движущимся зарядом? Каким образом направлен этот вектор? 9. Сформулируйте закон Био-Савара-Лапласа. Приведите примеры его применения. 10. Что такое силовые линии магнитного поля? Нарисуйте силовые линии магнитных полей а) прямого тока, б) кругового витка с током, в) соленоида, г) полосового магнита. 11. Как взаимодействуют между собой витки соленоида? 12. Сформулируйте теорему о циркуляции вектора магнитной индукции. Сформулируйте теорему о потоке вектора магнитной индукции. Каков физический смысл этих теорем? Приведите примеры на применение теоремы о циркуляции для магнитного поля. 13. Каков принцип работы электродвигателя? 14. Чему равна работа силы Ампера по перемещению витка с током в магнитном поле? Объясните, почему работа силы Ампера может быть отличной от нуля. 15. Электродвигатель, обмотка которого имеет сопротивление 1 Ом подключён к напряжению 120 В. Сила тока, текущего по обмотке 15 А. Не противоречат ли эти данные закону Ома: U I R 15 1 15 120 (В)? 159 16. Дайте определение индуктивности контура. Выведите выражение для индуктивности соленоида. 17. Сформулируйте закон электромагнитной индукции. Приведите примеры наблюдения этого явления. 18. Что называется ЭДС самоиндукции? 19. Объясните правило Ленца. Приведите примеры, демонстрирующие применение этого правила. 20. Что такое токи Фуко? 21. Что такое экстратоки размыкания и замыкания? 22. Чему равна энергия магнитного поля контура с током? 23. Объясните принцип работы генератора электрического тока. 24. Объясните принцип действия трансформатора. 25. Нарисуйте схему линии передачи электроэнергии. Почему электроэнергию нужно передавать под возможно большим напряжением? 26. Объясните природу явления электромагнитной индукции. 27. Что такое магнитная проницаемость среды? 28. На какие группы делятся вещества в зависимости от магнитных свойств? 29.В чем заключается природа намагничивания веществ? 30. Дайте определение намагниченности вещества. 31. Сформулируйте теорему о циркуляции для магнитного поля в веществе. 32. Дайте определение напряженности магнитного поля. 33. Объясните механизмы намагничивания диамагнетиков, парамагнетиков и ферромагнетиков. Что происходит с этими веществами при выключении магнитного поля? 34. Что называется магнитным гистерезисом? 35. Нарисуйте и проанализируйте петлю гистерезиса. 36. Как можно размагнитить ферромагнетик? 37. Что такое ток смещения? В каких случаях он «течёт»? Приведите примеры. 38. Запишите систему уравнений Максвелла и объясните смысл этих уравнений. 39. Как выглядит система уравнений Максвелла для стационарных полей? 40. Объясните природу магнетизма. 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ 4.1. Колебательный контур Простейший пример электрических колебаний – это колебания напряжения и тока в обычной осветительной сети. Эти колебания происходят в результате действия внешней ЭДС генератора, изменяющейся по синусоидальному закону, т.е. являются вынужденными колебаниями. 160 Напомним, что колебания можно разделить на свободные и вынужденные. Вынужденные колебания – это колебания, происходящие при воздействии на колебательную систему какой-либо внешней периодически действующей силы. Свободные колебания возникают при смещении колебательной системы из положения равновесия (т.е. внешняя сила действует только один раз перед началом колебаний) и в дальнейшем происходят без каких-либо внешних периодических воздействий на маятник. Простейшие примеры механических систем, совершающих свободные колебания – пружинный и физический маятники. А могут ли электрические величины совершать свободные колебания? Рассмотрим схемы, представленные на рис. 4.1. Если заряженный до С С L R а б Рис. 4.1. RC-контур (а) и LC-контур (б) напряжения U конденсатор емкостью C замкнуть на резистор, то конденсатор практически мгновенно разрядится (рис. 4.1,а). Энергия конденсатора по закону сохранения не исчезает бесследно. При протекании тока разрядки провод нагреется, т.е. весь запас энергии конденсатора перейдёт в тепло: CU 2 2 Q . Если же конденсатор замкнуть на катушку с индуктивностью L (рис. 4.1, б), то конденсатор будет не просто разряжаться, а перезаряжаться, т.е. в контуре возникнут колебания заряда на конденсаторе. А вместе с ними возникнут и колебания тока в контуре, напряжения на конденсаторе, ЭДС самоиндукции, возникающей в витках катушки, колебания энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки. Энергия электрического поля конденсатора будет переходить в энергию магнитного 2 2 поля катушки, и наоборот CU 2 LI 2 . Контур, состоящий из ёмкости и индуктивности, называется колебательным контуром без затухания (сопротивление контура R 0 ) или LC-контуром. А сам колебательный процесс в LC-контуре называется электромагнитными колебаниями. Качественно колебания в LC-контуре можно объяснить следующим образом. Главной причиной колебаний является ЭДС самоиндукции S LdI dt , возникающая в витках катушки при изменении тока. После замыкания цепи в контуре возникает электрический ток, направленный от 161 положительной обкладки конденсатора к отрицательной. При этом ЭДС самоиндукции препятствует нарастанию тока, и он постепенно достигает своего наибольшего значения к тому моменту, когда конденсатор полностью разрядится. Так как в этот момент движущая сила (напряжение на конденсаторе) исчезла, ток начинает уменьшаться. Но, опять-таки, ток не может мгновенно уменьшится до нуля, поскольку теперь в витках катушки возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока, т.е. некоторое время поддерживающая ток. За это время конденсатор успевает перезарядиться. Перед тем, как рассмотреть вопрос о колебаниях в LC-контуре количественно, вспомним некоторые определения и выводы, касающиеся гармонических колебаний и изложенные в первой части физики – механике. Колебания некоторой физической величины x называются гармоническими, если она изменяется со временем по закону косинуса или синуса, т.е.: x Acos t 0 , (4.1) где A амплитуда колебаний (максимальное отклонение смещения x от положения равновесия); 2 T 2 циклическая частота колебаний ( T период, частота колебаний); t 0 фаза, 0 начальная фаза колебаний. Первая и вторая производные величины x по времени: x A sin t 0 , x A2 cos t 0 . 2 Из последнего уравнения с учётом (4.1) следует x x или: x 2 x 0 . (4.2) Соотношение (4.2) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Мы показали, что если какая либо физическая величина совершает гармонические колебания, т.е. изменяется по закону (4.1), то для неё справедливо дифференциальное уравнение (4.2). В курсе дифференциальных уравнений доказывается и обратное утверждение: если для какой-либо физической величины удалось (используя законы физики) написать дифференциальное уравнение (4.2), то единственным его решением будет уравнение (4.1), т.е. величина x совершает гармонические колебания. При этом амплитуда A и начальная фаза 0 определяются начальными условиями, т.е. значениями величины x и её первой производной x в начальный момент 162 времени t 0 . Другими словами определяются тем, каким образом экспериментатор «запустит маятник». Теперь рассмотрим задачу о колебаниях в LC-контуре. В контуре действует единственная электродвижущая сила – ЭДС самоиндукции ε S . Согласно закону Ома для неоднородного участка цепи, начало которого – положительная обкладка конденсатора, а конец – отрицательная (рис. 4.1,б), можно записать: (1 2 ) S IR , где (1 2 ) U C разность потенциалов или напряжение между обкладками конденсатора. Так как сопротивление контура R 0 , то: UC S 0 q dI L 0. C dt По определению сила тока – это заряд, протекающий через сечение проводника за единицу времени, т.е. производная заряда по времени (см. формулу (2.1)). Если q это заряд положительной обкладки, то величина тока в контуре I dq dt q . Знак минус учитывает тот факт, что после замыкания ключа заряд положительной обкладки убывает ( dq 0 ). Тогда производная тока по . В времени есть вторая производная заряда по времени: dI dt I q результате получим: q dI q L 0 Lq 0 . C dt C (4.3) Отметим, что в электротехнике величина ЭДС самоиндукции, взятая с обратным знаком, рассматривается как напряжение на катушке (индуктивности): U L S LI Lq . Поэтому уравнение (4.3) можно записать в виде (4.4) UC U L 0 . Уравнение (4.4) представляет собой, по сути, обобщение второго правила Кирхгофа, сформулированного нами ранее (см. п. 2.7) для замкнутых контуров с постоянными токами: сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна алгебраической сумме внешних ЭДС, действующих в контуре. Внешние ЭДС в LC-контуре не действуют (ЭДС самоиндукции – это напряжение на индуктивности, внутренняя ЭДС). Разделив обе части уравнения (4.3) на величину L , получим: q 1 q0 . LC (4.5) 163 Уравнение (4.5) по форме совпадает с уравнением (4.2), т.е. является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Роль физической величины x играет заряд на обкладках конденсатора q . Можно сделать два вывода: во-первых, заряд на обкладках конденсатора изменяет по гармоническому закону q q0 cos t 0 ; (4.6) во-вторых, квадрат циклической частоты колебаний (коэффициент при q в уравнении (4.5)): 2 1 LC , откуда: 1 . LC (4.7) Период колебаний связан с циклической частотой Т 2 , тогда: Т 2 LC . (4.8) Формула (4.8) для периода колебаний заряда в LC-контуре называется формулой Томсона. По гармоническому закону будут изменяться и другие физические величины, характеризующие процесс колебаний в LC-контуре. Зависимость напряжения на обкладках конденсатора от времени: UC q q0 cos t 0 U 0 cos t 0 , C C (4.9) где U 0 максимальное напряжение или амплитуда напряжения на конденсаторе. Зависимость от времени силы тока найдется дифференцированием заряда по времени: I q q0 sin t 0 I 0 sin t 0 , (4.10) I 0 q0 максимальный ток в контуре или амплитуда тока. Воспользовавшись известной формулой тригонометрии sin cos 2 где (формулой приведения), колебания тока можно записать через функцию косинус: I I 0 cos t 0 2 . 164 Сравнение последнего выражения с уравнением (4.6) показывает, что колебание тока отличается от колебания заряда (и напряжения) конденсатора по фазе на / 2 . Это означает, что в тот момент, когда заряд конденсатора и напряжение на нём максимальны, т.е. cos 1 (напомним, что t 0 фаза), ток в контуре равен нулю (если cos 1 , то sin cos 2 0 ). И, наоборот, когда ток максимален, заряд и напряжение на конденсаторе равны нулю. На рис. 4.2 показаны состояния LC-контура в моменты времени q0 q0 t=T/4 t=0 t=T/2 I0 q0 t=3T/4 t=T I0 Рис. 4.2. Состояния LC-контура в различные моменты времени t 0, T / 4, T / 2, 3T / 4, T , где T период колебаний. Предполагается, что в начальный момент времени ( t 0 ) заряд конденсатора максимален. Гармонические колебания будут совершать также величины ЭДС самоиндукции, энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки. Советуем читателям вывести соответствующие выражения самостоятельно. Пример. 4.1. Максимальное значение напряжения на обкладках конденсатора LC-контура U 0 10 В. Определить значение силы тока I1 в контуре в тот момент, когда напряжение на конденсаторе станет равным U1 5 В, если C 50 нФ, L 0,01 Гн. Решение. Задачу можно решить, используя уравнения колебаний напряжения и тока (4.9) и (4.10). Однако проще воспользоваться законом сохранения энергии. При колебаниях в LC-контуре энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки, и наоборот. Суммарная энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в любой 2 2 момент времени остаётся неизменной: CU 2 LI 2 const . 165 В начальный момент времени напряжение на конденсаторе и его заряд максимальны. При этом сила тока в цепи равна нулю (рис. 4.2) и полный запас энергии контура состоит из энергии электрического поля конденсатора: W0 CU 02 2 . В промежутке времени между t 0 и t T / 4 по цепи идёт ток, но конденсатор ещё полностью не разрядился. Поэтому энергия контура в 2 2 конечный момент времени: W1 CU1 2 LI1 2 . Таким образом 2 W 0 W1 I1 C U 0 U1 2 L 2 2 CU 0 CU 1 LI 1 2 2 2 50 10 9 100 25 0,01 2 19,4 10 3 (А) 19,4 (мА). 4.2. Колебательный контур с затуханием Колебательный контур без сопротивления это идеальная модель. Реально LC-контур всегда обладает некоторым сопротивлением R хотя бы за С счет подводящих проводов. Рассмотрим LC-контур R с сопротивлением R (рис. 4.3). Такой контур называется контуром с затуханием или LCRL контуром. При замыкании обкладок заряженного конденсатора в контуре начинаются колебания. Рис. 4.3. LCR – контур Однако теперь при протекании электрического тока за счет сопротивления R контур нагревается. Энергия электрического поля, первоначально запасенная в конденсаторе, постепенно переходит во внутреннюю энергию провода, амплитуды колебаний всех электрических величин уменьшаются вплоть до полного прекращения колебаний. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний некоторой физической величины x имеет вид x 2 x 02 x 0 (4.10) Оно отличается от дифференциального уравнения гармонических колебаний (4.2) слагаемым ( 2 x ), учитывающим силы сопротивления, действующие на маятник. Коэффициент называется коэффициентом затухания. Если величина x смещение, её производная x скорость, тогда слагаемое 2 x отражает тот факт, что сила сопротивления пропорциональна скорости. 166 В случае, когда затухание не слишком велико (выполняется условие 0 ), решение дифференциального уравнения (4.10) имеет вид: x A0et cos t 0 , (4.11) t где At A0 e амплитуда колебаний, уменьшающаяся со временем по 2 2 экспоненциальному закону; A0 начальная амплитуда колебаний; 0 циклическая частота колебаний; 0 собственная циклическая частота колебаний (частота, с которой колебался бы маятник, если бы сил сопротивления не было). Присутствие сил сопротивления уменьшает циклическую частоту колебаний и, соответственно, увеличивает период колебаний: 2 2 T . 02 2 Вернемся к электромагнитным колебаниям в LCR-контуре. Поскольку внешние ЭДС в цепи не действуют, сумма падений напряжений на отдельных элементах контура равна нулю U L U R U C 0 LI IR Учитывая, что I q , получим: Lq Rq q 0 C q q 0. C R q q 0. L LC (4.12) Уравнение (4.12) по форме совпадает с дифференциальным уравнением (4.10). Отсюда можно сделать два основных вывода. 1) . Процесс в LCR-контуре представляет собой затухающие колебания, зависимость заряда конденсатора от времени подобна (4.11): q q0 e t cos t 0 . (4.13) График функции (4.13) изображен на рис. 4.4. сплошной линией. Отдельно пунктирной линией показана зависимость амплитуды колебаний заряда от t времени At q0 e . 167 2) Сравнение коэффиq циентов уравнений (4.10) и (4.12) показывает, что собственq0 ная циклическая частота колебаq=q0e-βt ний 0 1 LC , а коэффициент затухания R 2L . t Сформулируем несколько определений параметров затухающих колебаний. Время , в течение которого амплитуда колебаний Рис. 4.4. Зависимость заряда конденсатора уменьшается в e2,72 раз, от времени при затухающих колебаниях называется временем затухания в LCR-контуре или временем релаксации. Отметим, что уменьшение амплитуды почти в 3 раза существенно, однако не означает полного прекращения колебаний. Время затухания есть величина, обратная коэффициенту затухания : 1 . (4.14) Докажем утверждение (4.14). Амплитуда колебаний в некоторый момент t времени t : A1 q0 e . Через время , т.е. в момент времени t амплитуда колебаний A2 q0 e t . По определению величины q0 e t e A1 / A2 e q0 e t 1 e t e 1 . Из формулы (4.14) следует, что 1 / . Таким образом, коэффициент затухания – это величина, обратная времени затухания, т.е. времени, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Декрементом затухания называется величина, равная отношению амплитуд следующих друг за другом колебаний: AN AN 1 (4.15) где AN амплитуда N -го колебания, AN 1 амплитуда N 1 -го колебания. Декремент затухания связан с коэффициентом затухания и периодом колебаний T : eT (4.16) 168 Докажем формулу (4.16). Пусть N -е колебание происходит в некоторый t момент времени t , тогда AN q0 e . Поскольку ( N 1 )-е и N -е колебания разделены временным отрезком, равным периоду колебаний T , то q0 e t t T eT . AN 1 q0 e . Тогда t T q0 e Логарифмическим декрементом затухания называется величина ln . Из формулы (4.16) следует: ln eT T . (4.17) Пример 4.2. Определить число колебаний маятника за время затухания, если известен логарифмический декремент затухания . Решение. Число колебаний можно найти, разделив полное время колебаний (в данном случае время затухания ) на время одного колебания, т.е. на период T : N T . Далее, используя формулу (4.14), получаем ответ: N 1 T 1 . Следствие: 1 N , т.е. логарифмический декремент затухания – есть величина, обратная числу колебаний за время затухания. 4.3. Вынужденные колебания в LCR-контуре С ε R L Рис. 4.5. LCR – контур под действием внешней синусоидальной ЭДС Для того, чтобы поддерживать колебания в LCR-контуре, необходимо пополнять запасы энергии, непрерывно рассеиваемой в виде тепла на сопротивлении R . Это можно с помощью воздействия на контур внешней периодической электродвижущей силы (рис. 4.5). При этом в контуре возникнут вынужденные колебания. Будем рассматривать синусоидальную ЭДС, т.е. ЭДС, зависящую от времени по закону синуса (или косинуса): 0 sin t , где циклическая частота колебаний ЭДС. Согласно второму правилу Кирхгофа сумма падений напряжений на отдельных элементах контура равна внешней ЭДС: R q q 0 sin t . U L U R UC Lq Rq 0sin t q q L LC L C 169 2 Обозначая 0 L X 0 и учитывая, что R L 2 , 1 LC 0 , получим q 2 q 02 q X 0sin t . (4.18) Уравнение (4.18) называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний под действием синусоидальной ЭДС. С точки зрения математики уравнение (4.18) представляет собой линейное неоднородное (правая часть отлична от нуля) дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Решение данного уравнения представляет собой сумму двух слагаемых qt q0 e t cos t 0 Bcos t . Первое слагаемое – общее решение однородного уравнения (с правой частью, равной нулю), второе слагаемое – частное решение неоднородного уравнения. Первое слагаемое в точности совпадает с уравнением (4.13) и представляет собой затухающие колебания заряда конденсатора с циклической частотой 02 2 . Второе слагаемое соответствует собственным вынужденным колебаниям заряда с циклической частотой вынуждающей силы . Таким образом, в начальный момент времени колебания представляют собой сумму колебаний с частотами и . Такой режим колебаний называется переходным. Первое слагаемое экспоненциально затухает за время по порядку величины, равное времени затухания 1 / . Переходный режим заканчивается и наступает режим установившихся вынужденных колебаний с частотой вынуждающей силы qt Bcos t . (4.19) Характеристики вынужденных колебаний B и зависят, во-первых, от параметров вынуждающей силы X 0 и , во-вторых, от параметров самой колебательной системы 0 и , но не зависят от начальных условий. Подставляя функцию qt (4.19) в уравнение (4.18), можно найти выражение для амплитуды вынужденных колебаний В и величины . Опуская математические выкладки, приведём конечные результаты: B 2 0 X0 2 2 422 , (4.20) 170 tg 2 . 02 2 График зависимости B (4.20), показанный на рис. 4.6, называется резонансной кривой. Резонансная кривая имеет максимум. Максимальное значение амплитуды установившихся колебаний достигается при резонанс- B Bmax 1 2 (4.21) β1 < β2 ной частоте P 02 22 , которая при небольшом затухании Ω мало отличается от собственной циклической частоты колебаний ω0 системы 0 . Таким образом, Рис. 4.6. Резонансные кривые резонанс наступает при условии совпадения частоты внешней синусоидальной силы и собственной частоты колебательной системы P 0 . Кривая 1 на рис. 4.6 относится к колебательной системе с меньшим затуханием. Чем меньше коэффициент затухания, тем ближе резонансная частота к собственной частоте системы и больше значение максимальной амплитуды, т.е. острее и уже пик резонансной кривой. Отметим, что ширина максимума на уровне Bmax / 2 равна коэффициенту затухания: . Пример 4.3. Вывести формулу для величин резонансной частоты P и максимальной амплитуды Bmax (рис. 4.6). Решение. Для того чтобы найти точку максимума P резонансной кривой, нужно в соответствии с правилами математики взять производную функции B (4.20) и приравнять её к нулю: dB d 0 . В результате B0 получится P 02 22 . Далее, подставляя значение P в формулу 4.20, получим Bma x X 0 2 , где 02 2 циклическая частота затухающих колебаний. Если частота внешней силы 0 , то значение амплитуды по формуле (4.20) B0 X0 /L 0 C 0 , 2 0 1 / LC что соответствует статическому заряду конденсатора, приобретаемому при подключении его к постоянной ЭДС 0 . 171 Отношение резонансной амплитуды Bma x к величине статического отклонения колебательной системы B0 называется добротностью колебательной системы Q Bmax B0 . Используя формулы для B0 и Bma x (см. пример 4.3), а также связь циклической частоты с периодом колебаний 2 T , получим: X 0 02 2 Q . 2 X 0 2 2 T Поскольку T логарифмический декремент затухания, то: Q . (4.22) Чем меньше декремент затухания, тем выше добротность контура, и тем более он пригоден для радиотехники. Далее мы покажем, что добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре, к её потерям за период колебаний (т.е. энергии, выделяющейся в контуре за период в виде тепла). 4.4. Переменный ток в электрических цепях Переменный ток представляет собой вынужденные электрические колебания под действием внешней ЭДС. Здесь мы будем рассматривать только синусоидальные ЭДС, изменяющиеся со временем по закону синуса или косинуса. В общем случае любая электрическая цепь переменного тока содержит сопротивление, ёмкость и индуктивность. 4.4.1. Активное, индуктивное и емкостное сопротивления Рассмотрим сначала цепь, состоящую из одного лишь сопротивления R , подключённого к синусоидальной ЭДС: 0 sin t . Из второго правила Кирхгофа для такой цепи U R I R 0 sin t I 0 sin t R 172 можно сделать следующие три вывода: 1) ток через сопротивление R совершает гармонические колебания в одной фазе с напряжением; 2) максимальная сила тока (достигается при значении синуса, равном единице) I 0 0 R ; 3) связь амплитуд силы тока I 0 и напряжения 0 на сопротивлении R формально совпадает с законом Ома для участка цепи с постоянным током. Рассмотрим цепь, состоящую из одной лишь ёмкости C , подключенной к синусоидальной ЭДС. Второе правило Кирхгофа для такой цепи U C q C 0 sin t q C 0 sin t . Тогда сила тока I q C 0 cos t 0 Csin t 2 . Величина X C 1 C называется ёмкостным сопротивлением. Можно сделать следующие три вывода: 1) ток в цепи совершает гармонические колебания, опережая по фазе напряжение на 2 ; 2) максимальная сила тока I 0 0 C 0 X C ; 3) связь амплитуд силы тока и напряжения на конденсаторе формально совпадает с законом Ома для участка цепи в случае постоянных токов. Почему конденсатор оказывает конечное сопротивление переменному току? Ведь между обкладками конденсатора – диэлектрик, а значит, цепь разомкнута, и её сопротивление должно быть очень большим. Этот факт имеет простое объяснение. Переменный электрический ток не проходит сквозь конденсатор, а представляет собой периодически повторяющийся процесс зарядки и разрядки конденсатора. Рассмотрим цепь, состоящую из одной лишь катушки индуктивности L , присоединённой к синусоидальной ЭДС. Второе правило Кирхгофа для такой цепи U L L I 0sin t I 0 sin t . L Интегрируя, получаем: I 0 cos t I 0 sin t . L 2 L Величина X L L называется индуктивным сопротивлением. сделать следующие три вывода: Можно 173 1) ток через индуктивность совершает гармонические колебания и отстаёт от напряжения по фазе на 2 ; 0 0 ; 2) максимальная сила тока I 0 L X L 3) связь амплитуд силы тока и напряжения на индуктивности формально совпадает с законом Ома для участка цепи в случае постоянных токов. Пример 4.4. Сравнить накал лампочек, подключённых к синусоидальному и постоянному напряжениям (рис. 4.7 (а, б, в)). Накал лампочек на рис. 4.4,а одинаков. а б в Рис. 4.7. Схемы включения лампочек (к примеру 4.4) Решение. Одинаковый накал лампочек на рис. 4.4, а означает, что напряжения источника постоянного тока равно эффективному напряжению источника переменного тока (определение эффективного напряжения будет дано ниже). Если в обе цепи включить конденсатор достаточно большой ёмкости (рис. 4.4, б), то лампочка в цепи источника переменного тока будет попрежнему гореть ярко, поскольку ёмкостное сопротивление переменному току обратно пропорционально ёмкости и, следовательно, будет мало. В цепи постоянного тока накал отсутствует, поскольку между обкладками конденсатора диэлектрик, и цепь разомкнута. Другими словами, ёмкость оказывает бесконечно большое сопротивление постоянному току. Это можно 174 понять также, анализируя формулу X C 1 C . Постоянный ток означает, что циклическая частота 0 , и, значит, X C . Если в обе цепи включить катушку достаточно большой индуктивности, то ток в цепи источника переменного тока будет мал из-за большого индуктивного сопротивления, лампочка погаснет, а в цепи источника постоянного тока лампочка по-прежнему будет гореть ярко, поскольку индуктивное сопротивление постоянному току равно нулю. Действительно, в случае постоянного тока 0 , и индуктивное сопротивление X L L 0 . 4.4.2. Закон Ома для переменного тока. Активное и реактивное сопротивления Рассмотрим цепь, включающую в себя все три элемента R , C и L , включённые последовательно (рис. 4.5). Подставим в выражение для амплитуды заряда (4.20) значения 2 X 0 0 / L , 0 1 / CL , R 2L . Тогда формула (4.20) приводится к виду B 0 1 R L C 2 , 2 а зависимость заряда конденсатора от времени (4.19) примет вид q Сила тока в цепи I q 0 1 R 2 L C 0 2 2 cos t . sin t 1 R 2 L C 0 I sin t . 2 1 R 2 L C 175 Таким образом, ток в цепи совершает гармонические колебания с амплитудой I0 0 1 R L C 2 . 2 Для удобства переобозначим циклическую частоту колебаний внешней ЭДС . Тогда: I0 0 1 R L C 2 2 0 R2 X L X C 2 (4.23) Величина X X L X C называется реактивным сопротивлением цепи, сопротивление R активным сопротивлением цепи. Термин «активное сопротивление» используется в том смысле, что именно на этом сопротивлении рассеивается энергия в виде тепла. Величина Z R 2 X 2 называется полным сопротивлением цепи. Формулу (4.23), связывающую амплитудные значения тока и напряжения, можно записать в виде, формально совпадающим с законом Ома для участка цепи в случае постоянного тока I 0 0 Z . (4.24) Уравнение (4.24) представляет собой закон Ома для переменного тока. Наибольшее амплитудное (резонансное) значение силы тока будет при наименьшем значении знаменателя в уравнении (4.23), т.е. когда X L X C 0 . При X L X C L 1 C 1 0 . LC Последнее уравнение представляет собой условие резонанса для тока: амплитуда силы тока максимальна при совпадении частоты внешней ЭДС и собственной частоты контура. Вспомним, что амплитуда заряда достигает 2 2 максимального значения при условии 0 2 . Условия для резонанса тока и заряда конденсатора практически совпадают при небольших затуханиях. В резонансе полное сопротивление цепи переменному току равно активному сопротивлению: Z R . При этом амплитудное значение тока I 0 0 R . 176 4.4.3. Метод векторных диаграмм Закон Ома для амплитуд переменных токов внешне напоминает закон Ома для постоянного тока. А как выглядят законы последовательного и параллельного соединения элементов в цепи переменного тока? Как можно рассчитать токи и напряжения на отдельных элементах в случае разветвлённых цепей? I1 I 01cos t 1 Если два синусоидальных тока и I 2 I 02cos t 2 сходятся в узле, то суммарный ток, вытекающий из узла I I 0 cos t . Очевидно, что амплитуда суммарного тока в общем случае может быть не равна сумме амплитуд втекающих в узел токов: I 0 I 01 I 02 . Действительно, колебания токов I1 и I 2 происходят с некоторой разностью фаз (величины 1 и 2 разные), а значит, токи I1 и I 2 не одновременно достигают максимума или минимума. Сложить два колебания одинаковой y частоты можно, используя метод векторных I0 диаграмм (рис. 4.8). В плоскости x0y из I02 начала координат проводятся векторы, длины которых равны I 01 и I 02 под углами 1 и 2 φ с положительным направлением оси 0x, откладываемыми против часовой стрелки. φ2 I 01 x Тогда вектор I0, равный сумме этих векторов, φ1 будет иметь параметры результирующего 0 Рис. 4.8. Векторная диаграмма колебания: его длина равна амплитуде, а угол сложения гармонических с положительным направлением оси 0x колебаний начальной фазе результирующего колебания. Таким образом, сумма двух гармонических колебаний одинаковой частоты, амплитуды которых равны I 01 и I 02 , а начальные фазы 1 и 2 , представляет собой гармоническое колебание той же самой частоты с амплитудой 2 2 I 0 I 01 I 02 2 I 01I 02cos 2 1 и начальной фазой (4.25) , определяемой из уравнения tg A1sin 1 A2 sin 2 A1cos 1 A2 cos 2 . (4.26) 177 Точно так же складываются напряжения при последовательном соединении элементов цепи. Итак, складывать токи и напряжения в цепи с переменным синусоидальным током нужно векторно. Законы для последовательного и параллельного соединения двух элементов можно записать в виде I1 I 2 и U 0 U 1 U 2 U 1 U 2 соответственно. I 0 I1 I 2 Приведём несколько примеров. Сначала ещё раз рассмотрим цепь, состоящую из активного сопротивления, индуктивности и ёмкости, соединённых последовательно (рис. 4.5). Пусть амплитуда силы тока в цепи равна I 0 (сила тока будет одинакова для всех трёх элементов). Отложим вектор I 0 вдоль оси x (рис. 4.9). По закону Ома амплитуды напряжений на отдельных элементах цепи U 0 R I 0 R , U 0 L I 0 X L I 0L , y U0L=I0XL U0=I0Z I0X φ 0 I0 U0R =I0R x U0C =I0XC Рис. 4.9. Векторная диаграмма сложения напряжений при последовательном соединении элементов L, С и R U 0C I 0 X C I 0 / C . Вектор U 0 R направлен вдоль оси 0x так как напряжение на активном сопротивлении колеблется в одной фазе с током. Так как напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на 2 , вектор U 0 L повёрнут относительно оси 0x на угол 2 против часовой стрелки, т.е. направлен вдоль положительного направления оси 0y. Так как напряжение на ёмкости отстаёт от тока по фазе на 2 , вектор U 0C повёрнут относительно оси 0x на угол 2 по часовой стрелке, т.е. направлен вдоль отрицательного направления оси 0y. По закону последовательного соединения амплитуду U 0 суммарного напряжения в и U 0C . Их сумма равна цепи найдём из векторного уравнения: U 0 U 0 R U 0 L U 0 C . Сначала удобно сложить противоположно направленные вектора U 0 L вектору, направленному вдоль оси 0y и по величине равному I 0 X L X C I 0 X , где X реактивное сопротивление цепи. Далее по теореме Пифагора находим величину результирующего вектора U 0 178 U0 I 0 X 2 I 0 R2 I0 X 2 R2 I0 Z U 0 I0 Z U0 1 R 2 L C 2 . Последняя формула в точности совпадает с формулой (4.23). Используя векторную диаграмму, легко найти сдвиг фаз между током в цепи и суммарным напряжением на концах цепи. Сдвиг фаз равен углу между векторами I 0 и U 0 . Из прямоугольного треугольника tg I0 X X I0R R L R 1 C . (4.27) Для нормального функционирования электрической схемы параметры всех её элементов должны быть точно рассчитаны. Как правило, расчёт электрических цепей с переменным током, содержит больше нюансов по сравнению со схемами питания постоянным током. Например, вблизи резонанса напряжение на отдельном элементе схемы может во много раз превышать амплитуду напряжения генератора. Пример 4.5. Рассчитать допустимую амплитуду напряжения генератора U 0 в электрической цепи на рис. 4.5, если пробой конденсатора наступает при напряжении U 500 В. Параметры схемы: C 10 мкФ, L 1 Гн, R 3 Ом, частота генератора 50 Гц. Решение. Циклическая частота генератора 2 , индуктивное и ёмкостное сопротивления: 1 1 318 (Ом). X L L 2L 314 (Ом), X C C 2 C Полное сопротивление цепи Z X L X C 2 R 2 5 (Ом). Для того, чтобы не было пробоя конденсатора, амплитуда напряжения на нём не должно превышать значение U : U 0C U . Амплитуда напряжения на конденсаторе U 0C I 0 X C . По закону Ома (4.24) амплитуда тока в цепи I 0 U 0 Z . Таким образом U 0C U0 U0 5 Z XC X C U U0 U 7,9 (В). , U 0 500 Z Z 318 XC 179 Вывод: амплитуда напряжения генератора ~ 8 В приведёт к пробою конденсатора, выдерживающего напряжение 500 В! ε ε R R L L а б Рис. 4.10. Схемы к примеру 4.6 Пример 4.6. К генератору переменного синусоидального тока подключён резистор с сопротивлением R . Во сколько раз изменится амплитуда силы тока генератора, если к резистору подключить катушку с индуктивным сопротивлением X L R а) последовательно, б) параллельно? Активным сопротивлением катушки пренебречь. Решение. Соответствующие схемы представлены на рис. 4.10, а, б. Векторная диаграмма для схемы на рис. 4.10, а строится аналогично диаграмме на рис. 4.9. Вдоль оси 0x отложим вектор амплитуда тока I 0 . Тогда вектора амплитуд напряжений U 0 R и U 0 L на сопротивлении R и индуктивности L будут направлены вдоль осей 0x и 0y соответственно (рис. 4.11, а). Суммарное напряжение или амплитуду напряжения генератора U 0 найдём по теореме Пифагора: 2 2 U 02 U 02R U 02L U 02 I 0 R I 0 X L . Далее находим амплитуду силы тока I0 R 2 X L2 . y y U0 U0L 0 φ 0 U0 I0 а U0R x U0 φ I0R I0L I0 б Рис. 4.11. Векторные диаграммы токов и напряжений для цепей, представленных на рис. 4.10, а, б x 180 Так как по условию задачи R X L , получаем: I0 U0 U0 . 2R R2 R2 Поскольку в отсутствие катушки I 0 U 0 R , можно сделать вывод о том, что амплитуда силы тока генератора при последовательном включении в цепь катушки уменьшится в 2 раз. Заметим, что если бы вместо индуктивности мы последовательно включили ещё одно такое же активное сопротивление R , амплитуда силы тока уменьшилась бы в 2 раза. Теперь рассмотрим параллельное включение в цепь катушки (рис. 4.10,б). По закону параллельного соединения U 0 L U 0 R U 0 . При построении векторной диаграммы в этом случае удобно сначала отложить вектор амплитуды напряжения в цепи U 0 вдоль оси 0x (рис. 4.11,б). Тогда, поскольку ток и напряжение на активном сопротивлении колеблются в одной фазе, вектор амплитуды силы тока I 0 R через сопротивление R будет направлен так же вдоль оси 0x. Поскольку колебания тока через индуктивность отстают от напряжения по фазе на / 2 , вектор амплитуды силы тока I 0 L будет направлен антипараллельно оси 0y. По закону параллельного соединения амплитуда суммарного тока генератора: I 0 I 0 R I 0 L . Так как вектора I 0 R и I 0 L взаимно перпендикулярны, то I 02 I 02R I 02L и с использованием закона Ома для отдельных участков цепи получаем U U I 0 0 R XL 2 2 0 2 I0 U0 1 1 . R 2 X L2 Так как по условию задачи R X L , получаем соотношение I0 U0 2U 0 1 1 , 2 2 R R R из которого можно сделать вывод о том, что амплитуда силы тока генератора при параллельном включении в цепь катушки увеличится в 2 раз. Заметим, что если бы вместо индуктивности мы параллельно включили в цепь ещё одно такое же активное сопротивление R , то суммарное сопротивление уменьшилось бы в 2 раза, а амплитуда силы тока генератора возросла в 2 раза. 4.4.4. Эффективные напряжение и ток 181 Силу переменного тока (напряжения) можно охарактеризовать при помощи амплитуды. Однако амплитудное значение тока непросто измерить экспериментально. Силу переменного тока удобно связать с каким-либо действием, производимым током, не зависящим от его направления. Таковым является, например, тепловое действие тока. Поворот стрелки амперметра, измеряющего переменный ток, вызывается удлинением нити, которая нагревается при прохождении по ней тока. Действующим или эффективным значением переменного тока (напряжения) называется такое значение постоянного тока, при котором на активном сопротивлении выделяется за период такое же количество теплоты, как и при переменном токе. Свяжем эффективное значение тока с его амплитудным значением. Для этого рассчитаем количество теплоты, выделяемое на активном сопротивлении переменным током за время, равное периоду колебаний. Напомним, что по закону Джоуля-Ленца количество теплоты, выделяющееся на участке цепи c сопротивлением R при постоянном токе I за время t , определяется по формуле Q I 2 R t . Переменный ток можно считать постоянным только в течение очень малых промежутков времени dt . Поделим период колебаний T на очень большое число малых промежутков времени dt . Количество теплоты dQ , выделяемое на сопротивлении R за время dt : dQ I 2 R dt . Общее количество теплоты, выделяемое за период, найдется суммированием теплот, выделяемых за отдельные малые промежутки времени, или, другими словами, интегрированием: T Q I 2 R dt . 0 Сила тока в цепи изменяется по синусоидальному закону I I 0 sin t , тогда T T Q I sin t R dt I R sin 2 t dt . 2 0 0 2 2 0 0 Опуская вычисления, связанные с интегрированием, запишем окончательный результат 1 Q I 02 RT . 2 182 Если бы по цепи шёл некоторый постоянный ток I , то за время, равное T , выделилось бы тепло Q I 2 RT . По определению постоянный ток I , оказывающий такое же тепловое действие, что и переменный, будет равен эффективному значению переменного тока I ЭФ . Находим эффективное значение силы тока, приравнивая теплоты, выделяемые за период, в случаях постоянного и переменного токов I 1 2 2 I 0 RT I ЭФ RT I ЭФ 0 (4.28) 2 2 Очевидно, точно такое же соотношение связывает эффективное и амплитудное значения напряжения в цепи с синусоидальным переменным током: U ЭФ U0 2 (4.29) Например, стандартное напряжение в сети 220 В – это эффективное напряжение. По формуле (4.29) легко посчитать, что амплитудное значение напряжения в этом случае будет равно 311 В. 4.4.5. Мощность в цепи переменного тока Пусть на некотором участке цепи с переменным током сдвиг фаз между током и напряжением равен , т.е. сила тока и напряжение изменяются по законам: I I 0 sin t , U U 0 sin t . Тогда мгновенное значение мощности, выделяемой на участке цепи, P IU I 0U 0 sin t sin t . Мощность изменяется со временем. Поэтому можно говорить лишь о ее среднем значении. Определим среднюю мощность, выделяемую в течение достаточно длительного промежутка времени (во много раз превосходящего период колебаний): P I 0U 0 sin t sin t I 0U 0 sin t sin t . С использованием известной тригонометрической формулы 183 sin α sin β 1 cos cos 2 получим P 1 I 0U 0 cos cos 2 t . 2 Величину cos усреднять не нужно, так как она не зависит от времени, следовательно: 1 P I 0U 0 cos cos 2 t . 2 За длительное время значение косинуса много раз успевает измениться, принимая как отрицательные, так и положительные значения в пределах от (1) до 1. Понятно, что среднее во времени значение косинуса равно нулю cos 2 t 0 , поэтому P 1 I 0U 0 cos 2 (4.30) Выражая амплитуды тока и напряжения через их эффективные значения по формулам (4.28) и (4.29), получим P I ЭФU ЭФ cos . (4.31) Мощность, выделяемая на участке цепи с переменным током, зависит от эффективных значений тока и напряжения и сдвига фаз между током и напряжением. Например, если участок цепи состоит из одного только активного сопротивления, то 0 и P I ЭФU ЭФ . Если участок цепи содержит только индуктивность или только ёмкость, то 2 и P 0 . Объяснить среднее нулевое значение мощности, выделяемой на индуктивности и ёмкости можно следующим образом. Индуктивность и ёмкость лишь заимствуют энергию у генератора, а затем возвращают её обратно. Конденсатор заряжается, а затем разряжается. Сила тока в катушке увеличивается, затем снова спадает до нуля и т. д. Именно по той причине, что на индуктивном и ёмкостном сопротивлениях средняя расходуемая генератором энергия равна нулю, их назвали реактивными. На активном же сопротивлении средняя мощность отлична от нуля. Другими словами провод с сопротивлением R при протекании по нему тока нагревается. И энергия, выделяемая в виде тепла, назад в генератор уже не возвращается. 184 Если участок цепи содержит несколько элементов, то сдвига фаз может быть иным. Например, в случае участка цепи, изображенного на рис. 4.5, сдвиг фаз между током и напряжением определяется по формуле (4.27). Пример 4.7. К генератору переменного синусоидального тока подключён резистор с сопротивлением R . Во сколько раз изменится средняя мощность, расходуемая генератором, если к резистору подключить катушку с индуктивным сопротивлением X L R а) последовательно, б) параллельно (рис. 4.10)? Активным сопротивлением катушки пренебречь. Решение. Когда к генератору подключено одно только активное сопротивление R , расходуемая мощность U 02 1 1 0 (см. формулу (4.30)). P1 I 0U 0 cos 0 I 0U 0 2 2 2R Рассмотрим цепь на рис. 4.10, а. В примере 4.6 было определено амплитудное значение силы тока генератора: I 0 U 0 2 R . Из векторной диаграммы на рис. 4.11,а определяем сдвиг фаз между током и напряжением генератора U I X X tg 0 L 0 L L 1 . U 0R I0R R 4 В результате средняя расходуемая генератором мощность 1 1 U0 2 U 02 P2 I 0U 0 cos U 0 . 2 4 2 2R 2 4R Ответ: при последовательном включении в цепь индуктивности средняя мощность, расходуемая генератором, уменьшится в 2 раза. Рассмотрим цепь на рис. 4.10,б. В примере 4.6 было определено амплитудное значение силы тока генератора I 0 2 U 0 R . Из векторной диаграммы на рис. 4.11,б определяем сдвиг фаз между током и напряжением генератора I U / XL R tg 0 L 0 1 . I 0R U0 / R XL 4 Тогда средняя мощность, расходуемая генератором 1 2 U 02 1 2U 0 P3 I 0U 0 cos U 0 . 2 R 2 2R 4 2 185 Ответ: при параллельном включении индуктивности средняя мощность, расходуемая генератором, не изменяется. 4.5. Электромагнитные волны Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве. В зависимости от природы волны колебания совершают различные физические величины. Например, в случае звуковых волн распространяются деформации в какой-то среде. Распространение волн происходит потому, что частицы среды связаны между собой упругими силами, способными вызывать колебания. Поэтому если сместить из положения равновесия какую-либо частицу среды, то начнет смещаться и соседняя частица и т. д. Вместе с колебаниями частиц колебания совершают плотность, давление, концентрация частиц в среде. Проще всего представить себе морские волны. Длиной волны ( ) называется расстояние между соседними гребнями (в случае звуковой волны – расстояние между ближайшими точками с максимальными плотностью или давлением). Эквивалентное определение: длина волны – это расстояние, которое волна проходит за время, равное периоду колебаний T . В однородных средах волны распространяются с постоянной скоростью. Поэтому, исходя из определения длины волны, можно записать: υ T . Учитывая связь периода и частоты T 1 / , получаем формулу, связывающую длину волны, скорость волны и частоту колебаний в волне любой природы: υ . (4.32) Например, если за одну минуту (60 с) на берег приходит 10 волн, а расстояние между гребнями 5 м, то частота 10 / 60 1 / 6 (Гц), а скорость волн υ 5 1 / 6 0,833 (м/с). Примером электромагнитной волны является свет. Она представляет собой распространение в пространстве электрических и магнитных полей. Существование электромагнитных волн впервые теоретически предсказал Максвелл. Этот факт следует из его уравнений (см. п. 3.19). Изменяющееся (переменное) электрическое поле вызывает появление в окружающем пространстве изменяющегося магнитного поля. В свою очередь изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле и т. д. Таким образом, переменные электрическое и магнитное поля образуют электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве. Так как существование электромагнитных волн никоим образом не связано со средой, они, в отличие от звуковых волн, могут распространяться в вакууме. Скорость распространения электромагнитных волн в вакууме или скорость света 186 x E c 3 108 c z y H Рис. 4.12. Линейно поляризованная электромагнитная волна 4.12). При этом E H . м/с. Ни один материальный объект в инерциальной системе отсчета не может иметь скорость большую, чем скорость света. Электромагнитная волна является поперечной волной, т.е. колебания векторов напряженности электрического поля ( E ) и магнитного поля (H ) происходят перпендикулярно направлению распространения волны (рис. Конечно, когда мы смотрим на луч света, невозможно догадаться, что свет – волна, и тем более, электромагнитная волна. Огибающую векторов напряженностей полей мы не видим, и не можем «на глаз», как в случае морских волн, оценить длину волны. Экспериментальным доказательством волновой природы света являются опыты по интерференции и дифракции света, которые изучают в разделе «Оптика». А простейшим прибором для определения длины волны света является дифракционная решётка. Итак, при распространении электромагнитной волны в каждой точке, через которую проходит волна, колебания совершают напряженности электрического и магнитного полей. Если колебания электрического вектора E происходят все время параллельно какому-то одному направлению, то волна называется линейно поляризованной. При этом колебания вектора H будут также происходить вдоль какого-то одного направления, поскольку E H . На рис. 4.12 колебания вектора E происходят вдоль оси x, а колебания вектора H вдоль оси y. Важным случаем электромагнитных волн является волна, в которой вектора E и H изменяются по гармоническому закону с какой-то циклической частотой . Такая волна называется монохроматической. В этом случае для напряженности электрического поля в какой-то фиксированной точке пространства с координатой z можно записать E E0 sin ( t 0 ) , где t время колебаний в точке с координатой z . Предположим, что в точке с координатой z 0 находится источник волны, тогда колебания в «нашей» точке z начнутся лишь через время z / c с момента начала распространения волны. Поэтому t t z c , где t время работы источника волны. Таким образом z E E0 sin ( t 0 ) E0 sin t z 0 . c c 187 Поскольку 2 , а c (см. 4.32), то 2 E E0 sin t z 0 (4.33) Уравнение (4.33) называется уравнением линейно поляризованной волны или, сокращенно, уравнением плоской волны. Из уравнения (4.33) следует, что плоская волна представляет собой периодический процесс, как во времени, так и в пространстве. Если рассматривать какую-то фиксированную точку с координатой z0, то слагаемое 2 z0 становится постоянным, и уравнение (4.33) для данной точки пространства E E0 sin t , 2 z0 постоянная, играющая роль начальной фазы колебаний. где 0 Последнее уравнение показывает, что в любой фиксированной точке оси z0 происходит периодический во времени процесс колебаний вектора напряженности электрического поля. Если зафиксировать какой-то момент времени t 0 , т.е. «заморозить волну» «остановить» колебания векторов E , тогда уравнение (4.33) можно записать так 2 E E0 sin z. В данном случае t0 0 . Последнее уравнение указывает на пространственную периодичность плоской волны: огибающая всех векторов E в любой фиксированный момент времени представляют собой синусоиду. Именно в виде синусоиды волны и показывают на рисунках (см., например рис. 4.12). Пространственную и временную периодичность волн просто понять, рассматривая морские волны. Линия, огибающая поверхность моря в любой момент похожа на синусоиду – это пространственная периодичность. Если на море плавает чайка, то она движется вверх-вниз – это периодичность во времени. 4.5.1. Шкала электромагнитных волн 188 Электромагнитные волны могут иметь различные частоты и, соответственно, различные длины ( c / ). Классификация электромагнитных волн по частотам называется шкалой электромагнитных волн. Границы частот являются условными. Волны с частотами менее 105 Гц (длинами волн более 3000 м) называются длинными волнами. Далее, радиоволны имеют частоты от 105 до 3·1010 Гц (длины волн от 3000 м до 1 см). Далее следует микроволновая область: частоты от 3·1010 до 6·1011 Гц (длины волн от 1 см до 0,5 мм). Источники излучения длинных волн, радиоволн и миллиметровых волн являются электрические токи в антеннах, электроны небольших энергий, движущиеся в электрических и магнитных полях. К микроволновой области примыкает диапазон инфракрасных волн: частоты от 6·1011 до 4,3·1014 Гц (длины волн от 0,5 мм до 0,76 мкм = 760 нм). Источниками излучения инфракрасных волн являются молекулы любого нагретого вещества. Например, инфракрасные волны излучают все окружающие нас тела при комнатной температуре. Электромагнитные волны с частотами от 4,3·1014 Гц до 7,6·1014 Гц (длинами волн от 760 нм до 380 нм) лежат в области чувствительности человеческого глаза, т.е. представляют собой видимый свет. Свет с длиной волны 760 нм, распространяющийся в вакууме, соответствует темно-красному цвету, а свет с длиной волны 380 нм – темно-фиолетовому. Отметим, что при переходе в достаточно плотные среды скорость световых волн и длина световой волны заметно изменяются, а частота волн остается без изменения. Отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде называется абсолютным показателем преломления среды (точно также соотносятся и длины волн). За ощущение цвета ответственна частота волны. Поэтому, например, красный мяч останется красным, если его разглядывать под водой. Потом следуют ультрафиолетовые волны: частоты от 7,6·1014 Гц до 5·1016 Гц (длины волн от 380 нм до 6 нм). Источниками видимого и ультрафиолетового излучения являются атомы и молекулы, валентные электроны которых (электроны внешних орбиталей, расположенных далее всего от ядра) находятся в возбужденных состояниях, а также заряженные частицы высоких энергий. Далее лежит область рентгеновского излучения: частоты от 5·1016 Гц до 3·1019 Гц (длины волн от 6 нм до 0,01 нм). Рентгеновские лучи испускаются электронами при столкновениях с тяжелыми металлами, а также при переходах электронов в атомах с внешних орбиталей высоких энергий на внутренние орбитали, расположенные вблизи ядра. И, наконец, излучение еще более высокой частоты называется γизлучением. Гамма-лучи испускаются возбужденными ядрами атомов, например, при распадах некоторых радиоактивных элементов. 4.5.2. Получение электромагнитных волн 189 Составляющими компонентами электромагнитных волн являются переменные электрическое и магнитное поля. Следовательно, для получения электромагнитной волны необходимо эти поля создать. Это можно сделать с помощью переменного тока, текущего по проводу. Тогда магнитное поле вокруг провода будет переменным, оно будет порождать переменное электрическое поле, которое в свою очередь опять породит переменное магнитное поле и т. д., таким образом, в пространстве «побежит» электромагнитная волна. Переменный ток представляет собой ускоренно движущиеся заряды. Поэтому можно сказать, что электромагнитные волны порождаются зарядами, движущимися с ускорением. Например, электромагнитные волны излучает колеблющийся электрический диполь, называемый вибратором Герца (при колебаниях заряды полюса диполя двигаются с переменной скоростью, т.е. с ускорением). На первый взгляд может показаться, что экспериментально получить и обнаружить электромагнитные волны просто. Однако между теоретическим предсказанием существования электромагнитных волн (и возможности передачи информации без проводов) (Максвелл, 1864-1865 г.г.) и экспериментальным подтверждением их существования (Герц, 1888 г.) лежит более двух десятков лет. Рассмотрим основные проблемы, связанные с экспериментальным обнаружением электромагнитных волн. Во-первых, электромагнитные волны должны быть достаточно интенсивными. Согласно закону электромагнитной индукции (представляющему собой одно из уравнений Максвелла) электрическое поле, возникающее при изменении магнитного тем больше, чем выше скорость изменения магнитного поля. То же самое можно сказать и о переменном магнитном поле, порождаемым переменным электрическим полем. Таким образом, для того, чтобы получить электромагнитные волны достаточной интенсивности должна быть высока частота колебаний тока или вибратора Герца. Расчет показывает, что средняя мощность излучения пропорциональна четвертой степени частоты: Р ~ ω4. Для успешных опытов частоты порядка частоты осветительной сети (ν = 50 Гц) не достаточны. Высокие частоты (несколько МГц и более) можно получить в электрических колебательных LC-контурах. Однако, здесь мы сталкиваемся с другой проблемой. Длина волны, соответствующая частоте 1 МГц, c / 300 м. Эта величина намного превышает размеры любой цепи. Поскольку электрическая цепь замкнута, для любого участка всегда найдется участок, в котором ток течет в противоположном направлении. Поскольку расстояние между противоположными участками гораздо меньше длины волны, они будут действовать как противофазные излучатели, ослабляя действие друг друга практически до нуля. То же можно сказать о противоположных участках витка катушки, противоположно заряженных пластинах конденсатора. 190 Проблему можно понять еще лучше, если воспользоваться формулой (4.31) для средней мощности, выделяемой в цепи. Например, катушку и конденсатор нельзя использовать в качестве излучателей электромагнитных волн, так как для этого данные элементы цепи должны отдавать энергию в окружающее пространство. Но сдвиг фаз между током и напряжением в индуктивности и емкости / 2 , следовательно, средняя мощность Р = 0. Индуктивность и емкость передают весь запас энергии обратно источнику тока и не могут отдавать энергию в окружающее пространство. Резистор так же не может быть использован в качестве излучателя, поскольку вся энергия выделяется в нем в виде тепла. Включение резистора последовательно с емкостью или катушкой изменяет , но опять-таки за счет выделения тепла, но не за счет излучения. Для излучения волн нужна разность фаз, отличная от / 2 , но сделать это нужно не за счет выделения тепла, т.е. без резисторов. Итак, для получения электромагнитных волн необходима открытая форма цепи и достаточно высокая частота электрических колебаний. В 1888 году Герц впервые экспериментально осуществил получение электромагнитных волн. Для б а этой цели он выбрал прямолинейный вибратор, который, по сути, представляет собой открытый колебательный контур (рис. 4.13). Вибратор (прямолинейный провод) имеет посередине разрыв – искровой промежуток. К концам искрового промежутка Рис. 4.13. Схема вибратора Герца (а), подводится переменное напряприемные вибратор и виток (б) жение от повышающего трансформатора. Когда напряжение достигает достаточно большой величины, в промежутке проскакивает искра, воздушный промежуток на какое-то время становится проводящим, и в вибраторе возникают высокочастотные колебания электрического заряда или быстро меняющийся во времени ток, который приводит к излучению электромагнитных волн. Длина электромагнитных волн задаётся размерами вибратора. В качестве «антенн» для обнаружения волн Герц использовал другой вибратор с меньшим искровым промежутком, а также приемный виток (рис. 4.13,б). Если приемники были настроены в резонанс на частоту излучателя (т.е. собственные частоты колебаний излучателя и приемника совпадали), то в их искровых промежутках проскакивали небольшие искорки. Герц не только получил электромагнитные волны, но и воспроизвел с ними некоторые явления, характерные для волн – отражение, преломление, поляризацию. Таким образом, Герц доказал, что электромагнитные волны, теоретически предсказанные Максвеллом, реальны. 191 Возникал вопрос: а что представляют собой электромагнитные волны ещё более высокой частоты, каким образом их получить? В то время еще было неизвестно строение атомов и молекул, не был открыт даже электрон, механизмы излучения электромагнитных волн более высокой частоты еще предстояло понять. Однако опыты Герца косвенным образом указывали на их существование, подтверждая теорию Максвелла и укрепляя точку зрения о том, что, например, видимый свет тоже представляет собой электромагнитные волны, но более высокой частоты. 4.5.3. Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойнтинга Поскольку электрическое и магнитное поля обладают энергией (см. формулы (1.33) и (3.31а)), ясно, что электромагнитные волны переносят энергию. Самый простой пример – нагревание поверхности, поглощающей солнечный свет. В этом случае энергия электромагнитных волн переходит во внутреннюю энергию. От каких физических величин зависит энергия электромагнитных волн? Часто перед тем, как делать серьёзные расчеты, физики-теоретики, составляя различные комбинации физических величин, пытаются заранее предсказать ответ на основе анализа размерностей этих комбинаций. Выясним размерность произведения напряженностей электрического и магнитного полей: В А Вт Дж EH 2 . м м м с м2 Получили размерность плотности потока энергии – энергии, протекающей через единичную площадь за единицу времени. Эта величина носит название вектора Умова-Пойнтинга. Естественно, в случае электромагнитной волны этот вектор направлен в сторону распространения волны, т.е. перпендикулярно векторам E и H . E Плотность потока энергии электромагнитной волны или вектор Умова-Пойнтинга определяется S векторным произведением: S EH . Вектора E , H и векторов (рис. 4.14). (4.34) S образуют правую тройку H Рис. 4.14. Взаимное расположение векторов E, H и S 192 Приведем пример. Рассмотрим увеличенный отрезок I E H провода с током (рис. 4.15). Поскольку по проводу течет ток, повсюду внутри провода S существует электрическое поле, S параллельное оси провода и направленное по току. Вокруг H E тока существует и магнитное поле, направление вектора Рис. 4.15. Направление потока энергии при напряженности которого протекании тока по проводу определяется правилом правого винта (буравчика). Вектор H перпендикулярен проводу (на рис. 4.15 перпендикулярен плоскости чертежа). Таким образом, вектор УмоваПойнтинга внутри провода направлен строго к его оси. Причем на самой оси S 0 , поскольку там обращается в ноль вектор H . Значит, поток энергии в пространстве вокруг провода направлен к его оси, уменьшаясь до нуля на расстоянии, равном радиусу провода. Но (по закону сохранения энергии) энергия не может исчезнуть бесследно. Действительно, внутри провода она превращается в тепло, т.е. провод при протекании через него тока нагревается. То, что провод при протекании по нему тока нагревается – это не открытие. Однако, если раньше нагревание провода мы просто объясняли его сопротивлением, то неожиданным кажется тот факт, что энергия течет откудато извне, может показаться даже «из космоса». В действительности, конечно же, линии потока энергии, заканчиваясь на оси провода, берут своё начало от источника тока (батарейки). Итак, электроэнергия, передаваемая при помощи проводов, течет от источника не вдоль оси внутри провода! Плотность потока энергии распределена во всем пространстве. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. 2. 3. 4. 5. 6. Что представляет собой колебательный контур? Какова причина колебаний в LC-контуре? От каких параметров зависит период колебаний в LC-контуре? Перечислите физические величины, совершающие колебания в LC-контуре. При каком условии колебания в LC-контуре являются гармоническими? Запишите дифференциальные уравнения гармонических и затухающих колебаний. Запишите решения этих уравнений. Что такое циклическая частота? 193 7. Постройте графики зависимости амплитуд гармонических и затухающих колебаний в зависимости от времени. 8. Постройте графики зависимости заряда конденсатора от времени для LC- и LCR-контуров. 9. Что называется временем затухания? Выведите связь между временем затухания и коэффициентом затухания. 10. Дайте определения декремента затухания и логарифмического декремента затухания. От каких параметров зависят эти величины? 11. Нарисуйте контур, в котором происходят вынужденные колебания. Поясните смысл слова «вынужденные». 12. Запишите дифференциальное уравнение и его решение для вынужденных колебаний. 13. Постройте график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней вынуждающей силы. Как называется данный график? 14. Что такое резонанс? При каком условии он возникает? Что такое добротность контура? 15. В контур включены катушка, конденсатор и синусоидальная ЭДС. При медленном выдвижении сердечника из катушки амплитуда колебаний электрического тока сначала возрастает, а потом начинает убывать. Объясните явление. 16. Что называется активным и реактивным сопротивлениями? 17. Дайте определение ёмкостного и индуктивного сопротивлений. Как они зависят от циклической частоты колебаний внешней ЭДС? Подумайте, как можно объяснить эти зависимости. 18. Сформулируйте закон Ома для участка цепи в случае переменного синусоидального тока. 19. Чему равно полное сопротивление LCR-контура, подключенного к внешней синусоидальной ЭДС в резонансе? 20. Объясните смысл метода векторных диаграмм. 21. Что называется эффективными напряжением и током? 22. От чего зависит мощность, выделяемая на участке цепи с переменным током? 23. Что представляют собой электромагнитные волны? Приведите примеры электромагнитных волн. 24. Что такое частота и длина волны? Как они связаны? 25. Волны представляют собой периодические процессы, как во времени, так и в пространстве. Поясните смысл данного утверждения. 26. Дайте классификацию электромагнитных волн по частотам (длинам волн). 27. Перечислите основные условия, необходимые для получения электромагнитных волн. 28. Подумайте, почему при распространении волн возникает поток энергии? 29. Дайте определение вектора Умова-Пойнтинга. В каких единицах измеряется величина этого вектора? 194 30. Как направлен вектор Умова-Пойнтинга при протекании электрического тока по проводу? Список литературы 1. Трофимова Т.И. Курс физики: Учебное пособие. –7 изд., испр. –М.: Высшая школа, 2001. 542 с. 2. Детлаф А.А. Курс физики: Учебное пособие для вузов. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1999. – 718 с. 3. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1977, т.1; 1978, т.II. 4. Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.1, Механика – М.: Наука,1974. 5. Иродов И. Е., Основные законы механики – М.: Высшая школа, 1985. 6. Чертов А.Г. Задачник по физике для втузов. – 4-е изд., испр. – М.: Интеграл – Пресс, 1988. – 544 с. 7. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики: Учебное пособие. –11 изд., перераб. М.: Наука. Физматлит, 1985. –384 с.