Клестов Николай, I курс Екатеринбургский экономико-технологический колледж г. Ревда научный руководитель: Митрофанова Тамара Евгеньевна Задача 1. Выразите высоту полета самолета в метрах, если известно, что полет проходит на высоте 30000 футов. Считайте, что фут равен 30,5 см. Решение: Переведем высоту из футов в сантиметры: 30000 ∙ 30,5 = 915000 (см). Переведем высоту из сантиметров в метры: 915000 : 100 = 9150(м). Следовательно, полет проходит на высоте 9150 метров. Ответ: 9150 Задача 2. Площадь треугольника АВС равна 128. MN – средняя линия. Чему равна площадь треугольника MBN? Решение: В M А N С Вспомним, что такое средняя линия в треугольнике, и что нам это даёт. Средняя линия в треугольнике – это отрезок соединяющий середины соседних сторон, она параллельна третьей стороне. Что ещё известно о ней? Средняя линия треугольника равна половине параллельного ему основания, то есть: 1 MN = ∙ AC 2 Так же можно добавить, что она делит высоту, проведённую к основанию параллельному ей, на два равных отрезка. Используем формулу: Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты опущенной на это основание. В данном случае: 1 SABC = ∙ AC ∙ hAC 2 Если мы выразим площадь треугольника MBN относительно АC и hAC, то далее без труда вычислим площадь искомого треугольника через отношение площадей. Выразим площадь треугольника MBN. Высота треугольника MBN в 2 раза меньше высоты треугольника ABC, значит, она равна: hAC /2 Как уже сказано, средняя линия в треугольнике равна половине стороны ей параллельной, значит: MN = 1 2 ∙ AC Таким образом: SMBN = 1 2 ∙ MN ∙ ℎ𝐴𝐶 2 1 𝐴𝐶 = ∙ 2 2 ∙ ℎ𝐴𝐶 2 1 = ∙ AC ∙ hAC 8 Нам не нужно находить ни длины оснований треугольников, ни высоты. Вычислим, чему равно отношение площадей треугольников: 1 1 1 8 2 8 2 1 SABC = S1 SMBN = S2 SABC : SMBN = ∙ AC ∙ hAC : ∙ AC ∙ hAC = ∙ = 4 То есть площадь треугольника MBN меньше площади треугольника ABC в 4 раза. Таким образом: SMBN = SABC : 4 = 128 : 4 = 32 Ответ: 32 Задачу 2 можно решить и другим способом. Вспомнить формулу для отношения площадей подобных фигур: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент пропорциональности в данном случае равен 0,5. Поэтому площадь искомого треугольника будет равна: SMBN = ( ½)2 ∙ SABC = SABC : 4 = 128 : 4 =32 Ответ: 32 Задача 3 Найдите ctg𝛼, если tg𝛼 =0,5 Решение: Зная зависимость между тангенсом и котангенсом, то есть tg𝛼 ∙ ctg𝛼 = 1, выразим ctg𝛼 через tg𝛼: ctg𝛼 = 1/ tg𝛼 , данное равенство справедливо при 𝜋 𝛼 ≠ 𝑘 , k ∈Z , следовательно ctg𝛼 = 1 : 0,5 = 2 2 Ответ: 2 Задача 4. Решите уравнение lg x = 3 Решение: lg x = 3, х>0. По определению десятичного логарифма: десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо log10 b, тогда, используя утверждение logax =b, получим: х = 103, х = 1000 Ответ: 1000 Задача 5. Решите неравенство 0,5х <8 Решение: 1 1 1 2 2 2 Запишем неравенство в виде: ( )х < 23 или ( )х < ( )-3 Так как y = 1 ( )х 2 функция убывающая, то х < -3 Ответ: х ∈ (-3; + ∞) Задача 6. Найдите наибольшее значение функции: у = - х2 + 4х - 3 Решение: 1способ решения. Проанализируем выражение -х2+4х-3. Графиком этой функции будет парабола, ветви которой направлены вниз, а значит, максимальное значение будет в вершине параболы. Найдём абсциссу вершины по формуле x=-b/2а. b=4,a=-1. x=-4/-2=2. подставим x=2 в уравнение и найдём максимум функции y = - 22 +4∙2 -3 = -4 +8 -3 =1 Ответ: 1 2способ решения. у/ = -2х + 4, у/ = 0. -2х +4 =0, -2х = -4, х = 2 – стационарная точка. у(2) = -4 +8 -3; у(2) = 1. Ответ: наибольшее значение функции равно 1 при х=2. Задача 7. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна12, ширина 5, а квадрат высоты – 56. Решение: Диагональ прямоугольного параллелепипеда - это отрезок, соединяющий его противоположные вершины. Итак, у нас есть прямоугольный параллелепипед с диагональю d и со сторонами a, b, c, где a=12, b=5, c2=56. Одно из свойств параллелепипеда гласит, что квадрат длины диагонали d равен сумме квадратов трёх его измерений a, b, c. Отсюда вывод, что длина диагонали может быть легко рассчитана по следующей формуле : d2 = a2+b2+c2, d = √ a2+b2+c2 d = √122 +52 +56 = √144 + 25 +56 = √225 = 15 Ответ: 15 Задача 8. Найдите значение выражения sin2 𝜋/6 - cos 𝜋/3 + 1 Решение: Применяя формулу понижения степени данное выражение примет вид: sin2 𝜋/6 - cos 𝜋/3 + 1 = = 3 −3 cos 𝜋/3 2 Ответ: 0,75 = 1−𝑐𝑜𝑠2𝜋/6 3− 3∙ 0,5 2 2 = 0,75 - cos 𝜋/3 + 1 = 1 − cos 𝜋/3 − 2 cos 𝜋/3 +2 2 Задача 9. На экзамене 40 билетов. Юра не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет. Решение: Общее число возможных исходов испытания n=40. Число благоприятствующих событию А исходов m = 40 – 2 = 38, поэтому Р (А) = 𝑚 𝑛 = 38 40 = 0,95 Ответ: 0,95 Задача 10. Найдите область определения функции у = lg( 22х – 2 х+1). Решение: Областью решения логарифмической функции являются все положительные числа, поэтому 22х – 2 х+1 > 0 Решим полученное показательное неравенство. Запишем неравенство в виде: 22х > 2 х+1 , так как 2 > 1, то функция у = 22х и у = 2 х+1 являются возрастающими, следовательно 2х >x+1, 2x –x> 1 , x > 1 Таки образом функция у = lg( 22х – 2 х+1) определена для значений переменной х > 1. Ответ: ( 1; +∞) Задача 11. Точка К удалена от каждой из вершин квадрата ABCD на расстояние, равное 5, а от плоскости квадрата на расстояние равное 4. Найдите площадь квадрата. Решение: Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники. Боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы. Треугольник КОС прямоугольный, поэтому воспользуемся теоремой Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. ОС2 = КС2 – КО2 , ОС = √25 – 16 = 3. По второму основному свойству квадрата: диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам, имеем АС = 3∙2 = 6 Из треугольника АВС АС = √АД2 +ДС2 , но АД=ДС, значит АС = √2АД2 = АД√2 , 6 = АД√2, откуда АД = 6 √2 По формуле площади квадрата : S = а2 находим площадь квадрата: S = ( 6 √2 36 2 =18 Ответ: 18 Задача12. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 4х – (а – 1) ∙ 2х+1 +а2 – 4а + 3 = 0 имеет единственный корень. Решение: Преобразуем данное уравнение к следующему виду: 22х – 2∙(а – 1) ∙ 2х +а2 – 4а + 3 = 0 Сделаем замену: 2х = t Уравнение примет вид: t2 - 2∙(а – 1) t+а2 – 4а + 3 = 0 Находим дискриминант (Д) Д = 4(а -1)2 - 4∙1∙( а2 – 4а + 3) = 4а2-8а+4-4а2+16а-12= 8а-8, Д > 0, значит 8а-8 ≥ 0 , а ≥ 1 1. Рассмотрим, если а =1. В этом случае уравнение имеет один корень t= 2(𝑎−1) 2 = a – 1 = 0, подставим в замену, получим: 2х = 0, ∅ 2. Рассмотрим, если а > 1. В этом случае уравнение имеет два корня: t1,2 = (а -1) ± √(а -1)2 – (а2 – 4а + 3) = а -1 ± √а2-2а+1- а2 +4а – 3 = = (а -1) ±√2а-2 . Подставляем в замену и получим. 1. 2х = (а -1)−√2а-2 2х = (а -1)−√2(а-1) 2х = √(а–1) (√а-1 - √2) √а-1 - √2 <0 √а-1 < √2 a-1<2 a < 3. a > 1, 1 <a<3 при 1 < a < 3 (а -1)−√2(а-1) < 0 2. 2х = (а -1)+ √2а-2 )2 = + + 2 = √(а–1) (√а-1 +√2) Таким образом, уравнение имеет единственный корень: х = log2(√a-1 ∙ (√a-1 +√2)). Ответ: х = log2(√a-1 ∙ (√a-1 +√2)). х Список литературы 1. Алимов Ш.А, Колягин Ю.М., Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы. М.: Просвещение, 2013. 2. Атанасян Л.С., Геометрия, 10-11. М.: Просвещение, 2011. 3. Башмаков М. И., Математика, 10-11 классы. «Практикум по решению задач». 4. Балаян Э.Н. Математика, Справочник для подготовки к ГИА и ЕГЭ, 2013. 5. Васильев Н.Б., Егоров А.А. Сборник подготовительных задач к Всероссийской олимпиаде юных математиков. - М., Учпедгиз, 1963. - 53 с. 6. Горбачев Н.В. «Сборник олимпиадных задач». 7. Прасолов В.В. «Задачи по алгебре, арифметике и анализу». 8. Супрун В.П. Избранные задачи повышенной сложности по математике.Мн.: Полымя. 9. Математика.5-9 классы. Развитие математического мышления: олимпиады, конкурсы / авт.-сост. И.В. Фотина.- Волгоград: Учитель, 2010.-202. 10. Интернет ресурсы Олимпиады для школьников olimpiada.ru/ Всероссийская олимпиада по математике math.rusolymp.ru/ Российская страница международного математического конкурса "Кенгуру" mathkang.ru/ Задачная база олимпиадных задач zaba.ru Мои отзывы Здравствуйте! От души олимпиады. хочу поблагодарить уважаемых Я второй раз принимаю участие в организаторов данной олимпиаде «Познание и творчество», решая задания, все больше убеждаюсь в том, насколько может быть увлекательной и интересной математика. В некоторых заданиях приходилось к решению задач применять теоремы, которые мы в школьном курсе не проходили или проходили как-то вскользь, не уделяя должного внимания. Таким образом, данная олимпиада позволяет мне лучше подготовиться ЕГЭ, повторить пройденный материал. Я перелистывал учебники и дополнительную литературу, так как некоторые задачи вызывали затруднения. Конечно, очень хочется стать победителем и найти интересные пути решения заданий. Стараюся к этому стремиться. Впечатления у меня остались самые лучшие. Задания очень разнообразные, достаточно сложные, но интересные. Они заставляют не просто использовать полученные в школе знания, но и рассуждать, логически мыслить, быть предельно внимательными при чтении и выполнении заданий. Эти задания повышают мой умственный потенциал и развивают логику и нестандартное мышление. Уважаемы организаторы! Огромное спасибо Вам за столь интересную форму привлечения нас (учащихся) к олимпиадам, за Ваш труд, за Ваше творчество. Я хочу поблагодарить всех создателей этих заданий. Спасибо! Дальнейших Вам творческих успехов.