doc - Geometry.ru

Алексей Мякишев
КОНФИГУРАЦИЯ РАВЕНСТВА
Москва
2008
1
1.
Конфигурация равенства
В 1998 году знаменитый математик Джон Конвей порадовал любителей элементарной
геометрии1 следующей любопытной конструкцией.( [9])
A1
A2
a
a
A
b
c
r
I
C
B
B1
b
c
C2
a
c
C1
b
B2
В произвольном треугольнике АВС на прямых АВ и АС отложим (вовне относительно треугольника) от точки А отрезки, равные стороне ВС. Концы этих отрезков, отличные от
вершины, дают две новые точки A1 и A2 . Аналогично построим точки B1 , B2 , C1 , C2 . Несложно показать2, что все шесть построенных таким образом точек лежат на одной
окружности, заслуженно названной окружностью Конвея. Центр ее совпадает с центром
вписанной в треугольник окружности, а радиус равен
в треугольник окружности, а s – полупериметр3.
r 2  s 2 , где r – радиус вписанной
По нынешним временам, явление чрезвычайно редкое – когда математик-профессионал вносит свою лепту в Элементарную Математику. Конвей в этой области создал столько оригинальных шедевров, что рядом
с ним (среди коллег его уровня), пожалуй, поставить некого.
2
Но сложно было выдумать новую небанальную конструкцию.
3
Происхождение английского обозначения s для полупериметра понятно – от слова «semiperimeter». Отечественное же р вызывает вопросы: может быть, от слова «poluperimeter»?
1
2
- А что, если действовать подобным образом, но откладывать отрезки, скажем, равные
стороне ВС, не от вершины А, а от вершин В и С? – подумалось однажды мне.
А именно:
В произвольном треугольнике АВС на прямых АВ и АС отложим (вовне относительно треугольника) от точек В и С отрезки, равные стороне ВС. Концы этих отрезков, отличные от
вершины, дают две новые точки C a  и Ba  соответственно. Аналогично построим еще четыре точки Ab , Cb , Bc  , Ac  (эти точки в дальнейшем будем называть плюс-точками)4.
Cb+
Ca-
Bc+
A
BaBc-
Ac+
Ab-
B
Ac-
C
Ab+
Ba+
CbCa+
Если же откладывать отрезки также и вовнутрь, получим шестерку минус-точек:
C a  , Ba  , Ab , Cb , Bc  , Ac  .
Построенную таким образом конструкцию назовем, для краткости, конфигурацией равенства. Изучению ее различных свойств и будет посвящена наша статья.
2. Плюс-точки: конкурентные свойства.
Определение 2.1
Назовем плюс-треугольником треугольник, образованный прямыми С a  , Ba   ,  Ab  , Cb   ,
Bc , Ac  . Обозначим его символом   .
Теорема 2.1
Как покажем в дальнейшем, плюс-точки, хотя и не лежат, как у Конвея, на одной окружности – но всетаки лежат на некоторой конике (т.е. коническом сечении).
4
k
3
  перспективен  ABC , причем перспектором будет точка H  - ортоцентр треугольника
Жергонна (треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами исходного треугольника).
Доказательство:
Хотя и несложные, однако набившие оскомину вычисления с использованием барицентрических координат5 быстро ведут к цели. (Подробную информацию о барицентрическом исчислении можно найти в [4], [7] – гл.14,[11]) Нужно только несколько раз посчиp q r
тать определитель вида x1 y1 z1 , в котором первая строка отвечает за координату, а
x2 y 2 z 2
вторые две – являются координатами некоторых точек (либо прямых). Тогда, раскрыв
определитель, на выходе получим координаты прямой, проходящей через эти точки (соответственно, координаты точки пересечения этих прямых6).
Cb+
Bc+
A
H'
Ac+
B
Ab+
C
Ba+
Ca+
В самом деле, понятно, что точка C a  имеет координаты  a : a  c : 0 , а точка Ba   a : 0 : a  b .
Раскрыв соответствующий определитель и умножив на общий множитель(если возникнет
желание),найдем координаты прямой С a  , Ba   : a  ba  c : aa  b : aa  c.
Увы, нормального геометрического решения автору отыскать не удалось.
Примечание к примечанию:
Но мир, как говорится, не без добрых людей. Ознакомившись с черновиком этой статьи, Арсений Акопян
такое решение обнаружил, а также выявил еще несколько интересных свойств плюс-точек – за что автор ему
крайне благодарен. Подробнее о находках Арсения см. § 15 – Дополнение.
6
Это и есть Великий Принцип Двойственности проективной геометрии
5
4
Координаты двух других прямых получаются из координат первой прямой циклическими
сдвигами, т.е. происходит сдвиг координат по схеме p  q  r  p , а в каждой координате – еще и сдвиг сторон: a  b  c  a .
Так, координаты прямой  Ab  , Cb   примут вид bb  a : b  cb  a : bb  c , а прямой
Bc , Ac  - cc  a : cc  b : c  ac  b .
Пусть A1 - точка пересечения прямых  Ab  , Cb   и Bc  , Ac  . Наш замечательный определитель вновь в работе, и вот он – результат:
A1   ab  ca  b  c : ba  ca  b  c : ca  ba  c  b.
Поскольку координаты вершины А – (1:0:0), то, запустив определитель еще разок, найдем
координаты прямой  AA1  : 0 : ca  ba  c  b : ba  ca  b  c .
Теперь надо бы вычислить координаты H  - но, оказывается, в этом нет необходимости (а
если бы таковая возникла, мы справились бы с этим без труда – благодаря специальным
формулам перехода от одного базисного треугольника к другому – см. [11]), потому что
за нас это уже сделал Кимберлинг - ибо в Энциклопедии [10] сказано: H  суть точка
 ab  c  bc  a  ca  b  
:
:
X 65 с координатами 
.
bca ca b a bc
Подставив их в уравнение прямой  AA1  , получим: bca  ba  c  bca  ba  c  0 , т.е.
H    AA1  .
Точно также проверяется принадлежность этой точки двум другим прямым.

Вспомним теперь, что довольно часто в геометрии треугольника встречаются объекты,
имеющие близких родственников-тройняшек. Так, вписанная окружность семейными
узами связана с тремя вневписанными, треугольник Жергонна – с тремя добавочными
треугольниками Жергонна и т.д.
В конфигурации равенства тройняшки будут преследовать нас постоянно: каждой
«плюс»-теореме всегда сопутствуют еще три ее аналога, если принять во внимание и минус-точки. Встретятся нам и «минус»-теоремы, также с неизменными тройняшками впридачу.
Cb+
CaBc+
A
Ba-
H'a
C
Ab-
B
Ac-
Ia
Определение 2.1’
5
Треугольник, образованный прямыми Ba  , C a   , Cb  , Ab   ,  Ac  , Bc  , назовем первым
добавочным к плюс-треугольнику и обозначим его символом   a .
Переставляя в строке, описывающей прямые, порождающие этот треугольник, большие и
малые буквы циклически (не забудем сдвиг пары, задающей прямую, на одну позицию),
получим два других добавочных треугольника :   b и   с .
Теорема 2.1’
  a ,   b и   с перспективны  ABC , причем перспекторами являются ортоцентры соответствующих добавочных треугольников Жергонна.7
Разумеется, обосновывать это утверждение мы не станем – поскольку тогда пришлось бы
почти дословно повторить доказательство Теоремы 2.1.
Определение 2.2
Пусть Al , Bl , Cl - основания внутренних биссектрис треугольника АВС. Треугольник
Al Bl Cl назовем биссекторным и обозначим  l .
Теорема 2.2
Треугольник   гомотетичен треугольнику  l .
Центр этой гомотетии – точка Z с координатами ab  c : bc  a : ca  b (она же - точка X 37 по Кимберлингу [10]). Геометрически (опять-таки, согласно Кимберлингу) эта
точка есть точка пересечения прямых AGa , BG b , CGc , где Ga , Gb , Gc - центроиды треугольников ABl Cl , BC l Al , CAl Bl соответственно. Коэффициент гомотетии
abc
(имеется в виду гомотетия, переводящая  l в   ).
k
a  bb  c c  a 
A'
Cb+
Bc+
A
Ga
Cl
Ac+
Gb
B
Bl
Z
Ab+
Gc
Al
C
C'
Ba+
Ca+
B'
Доказательство:
Далее в подобного рода «дополнительных» определениях (теоремах) мы будем всегда обсуждать лишь
одно (одну) из трех – чтобы не слишком утомлять и читателя, и себя. Остальные, как было уже отмечено,
получаются из первого (первой) циклическими сдвигами.
7
6
Сначала убедимся в том, что треугольники гомотетичны. Покажем, например, что прямые
Bl Cl  и Ca Ba  параллельны. Это вытекает из следующих двух лемм.
Лемма 2.1 (о параллельных парах)
Пусть дан треугольник АВС и на прямой АС выбраны точки B1 , B2 , а на прямой АС C1 ,C2 , таким образом, что BB1  // CC2 , CC1  // BB2  .
Тогда B1C1  // B2C2  .
A
C1
B1
B
C
C2
B2
Доказательство леммы:
Из условия следует существование гомотетии  A, k1  , такой, что С1  B, C  B2 и гомотетии  A, k 2  , такой, что B1  C, B  C2 .
Тогда  A, k 2    A, k1  C1   C2 и  A, k1    A, k 2  B1   B2 .
Но произведение гомотетий с общей вершиной – снова гомотетия, причем
 A, k 2    A, k1  =  A, k1    A, k 2  - гомотетии с общей вершиной перестановочны.
(Подробнее о свойствах гомотетии см. [2],[5] и [7] – гл.19)

Лемма 2.2
A
Bl
B
C
Ba+
Ca+
.Биссектриса BBl параллельна прямой CCa  , а биссектриса CCl - прямой BB a  .
Доказательство:
7
Треугольник С a BC - равнобедренный,  BC a  C 
    B 

B
 Bl BC ,
2
2
 BBl  // CCa   .
И со второй парой тоже самое.

Итак, параллельность соответствующих прямых установлена, а тем самым установлена и
гомотетичность   и  l .
Замечание:
Точно также можно было показать, что Ba  C a   // BL C L  , где BL , C L - основания соответствующих внешних биссектрис.
Далее, покажем, что точка Z = ab  c : bc  a : ca  b лежит на прямой  AAl  . Так как
A   ab  ca  b  c : ba  ca  b  c : ca  ba  c  b и Al  0 : b : c  , несложно
убедиться в том, что координаты прямой  AAl  имеют вид:
 AAl  = bcc  b : acb  c : abb  c . Подставим в уравнение прямой координаты точки Z: abcb  cc  b  a  c  a  b =0.
Аналогично доказывается, что точка Z лежит и на двух других прямых.
Наконец, сосчитаем коэффициент гомотетии. Для этого подберем постоянные множители
 и  таким образом, чтобы
 0, b, c    ab  ca  b  c, ba  ca  b  c, ca  ba  c  b  ab  c, bc  a, ca  b
(Равенство здесь понимается как равенство векторов, т.е. покоординатное).
Этим мы добьемся того, что система из двух материальных точек  b  c Al и
  ab  ca  b  c  ba  ca  b  c  ca  ba  c  bA будет иметь своим центром
AZ  S
масс точку Z. Тогда, по правилу рычага, направленное отношение l   A (вторая
ZA  S Al
дробь – отношение соответствующих суммарных масс), причем, если знак дроби положительный, то Z лежит внутри отрезка Al A , в противном случае – вне. Очевидно, под2a  b a  c 
1
,  
ходят значения  
. Кроме того, S Al  b  c
abc
abc
и S A   ab  ca  b  c  ba  ca  b  c  ca  ba  c  b =…(после упрощений)
=  2abc (чтобы быстро получить последнее равенство, нужно представить a  b  c как
a  b  c  2c и a  c  b как a  b  c  2b , а затем у части слагаемых вынести a  b  c за
AZ
abc
скобку). Таким образом, l  
- т.е. точка Z находится внутри отa  bb  c c  a 
ZA
резка Al A , а это значит, что коэффициент гомотетии отрицателен.

Определение 2.2’
Пусть Al , Bl , Cl - основания внутренних биссектрис треугольника АВС, а AL , BL , C L внешних. Треугольник Al BL C L назовем первым добавочным к биссекторному и обозначим al .
Имеет место
Теорема 2.2’
Треугольник   a гомотетичен треугольнику al . Центр этой гомотетии – точка Z a с координатами ab  c : ba  c : ca  b . Геометрически эта точка есть точка пересечения
прямых AGa , BG b , CGc , где Ga , Gb , Gc - центроиды треугольников ABL C L , BC L Al , CAl BL
8
соответственно. Коэффициент подобия k 
abc
(имеется ввиду гомотеa  bb  c c  a 
тия, переводящая al в   a ).
Cb+
C'
CaBL
Bc+
A'
Za
A
Gc
BaB'
Ab-
Ac-
B
C
Al
Ga
Gb
CL
3. Минус-точки: коллинеарные свойства.
Определение 3.1
Назовем минус- тройкой тройку следующих прямых: С a  , Ba   ,  Ab  , Cb   , Bc , Ac  .
Теорема 3.1
Минус-тройка является тройкой параллельных прямых. Более того, эти прямые перпендикулярны прямой OI, проходящей через центры описанной и вписанной окружностей.
Доказательство:
k
9
Ca-
Ba-
A
I
O
B
Ab-
Bc-
Ac-
C
Cb-
Показать, что прямые параллельны друг другу, несложно.
Первый способ доказательства параллельности.
Найдем координаты бесконечно удаленной точки прямой С a  , Ba   .
Понятно, что точка C a  имеет координаты a : с  a : 0 , а точка Ba  - a : 0 : b  a  .
Тогда нехитрые вычисления дают следующие координаты С a  , Ba   :
a  ca  b : aa  b : aa  c .
Теперь нужно решить систему, второе уравнение которой есть уравнение бесконечно удаленной прямой:
a  c a  b  p  aa  b q  aa  c r  0

pqr 0

Поскольку нас интересуют решения с точностью до множителя, можем считать, для начала, что r  1 .
Окончательно получим С a  , Ba    = ab  c : bc  a  : ca  b
Аналогичные подсчеты, выполненные для двух других прямых, дадут ту же самую бесконечно удаленную точку.

В Кимберлинге [10] она именуется точкой X 513 и там же указан один диковинный способ ее построения:
Ca-
Ba-
A
F'
Bc-
I G
F
B
Cb-
Ab-
Ac- O
C
10
Возьмем точку Фейербаха8 F, подвергнем ее гомотетии G,2(переводящей окружность
Эйлера в описанную). Получим точку F  на описанной окружности. Ее изогональный образ и есть X 513 .
На всякий случай напомним определение изогонального сопряжения.
Если рассмотреть точку Р в плоскости треугольника АВС и ее чевианы (т.е. тройку прямых, соединяющие вершины треугольника с этой точкой) и сделать затем симметрию чевиан относительно соответствующих биссектрис, то новая тройка прямых пересечется в
точке Pl , называемой точкой, изогонально сопряженной точке Р.
A
P
I
Pl
B
C
С точки зрения проективной геометрии, пучок параллельных прямых на обычной евклидовой плоскости пересекается в бесконечно удаленной точке. Все бесконечно удаленные
точки образуют на проективной плоскости бесконечно удаленную прямую.
Оказывается, изогональное сопряжение переводит в бесконечно удаленную прямую описанную окружность (и наоборот). (см. [8], з.421)
A
P
I
B
C
Второй способ доказательства параллельности.
Внешняя биссектриса делит основание внешним образом в отношении, равном отношению длин порождающих ее сторон(см. [7], з.1.17а). Поэтому, по теореме Менелая (см.
[7],з.5.69, [8],з.342), основания внешних биссектрис AL , BL , C L лежат на одной прямой, а
согласно замечанию к доказательству леммы 2.2, минус-прямые будут ей параллельны.
Обозначим эту прямую так: Lout .
Одна из самых знаменитых в геометрии – точка касания вписанной окружности и окружности Эйлера, т.е.
окружности, одновременно описанной около серединного треугольника и ортотреугольника. Подробнее о
свойствах окружности Эйлера можно прочитать, например, в [5],§6 и в [7], гл.5, §11.
8
11
BL
CaO
A
BaI
AL
Ab-
B
Bc-
Ac-
C
Cb-
CL

Осталось показать, что Lout  OI  .
Доказательство перпендикулярности.
Перпендикулярность будет вытекать из следующей цепочки лемм, каждая из которых –
тот или иной классический результат элементарной геометрии.
Лемма 3.1 (см. [7], з.1.53, 1.57а))
A
B1
C1
B
H=I'
A1
C
Если A1 B1C1 - ортотреугольник остроугольного треугольника АВС, то центр I  вписанной
в ортотреугольник окружности совпадает с ортоцентром Н исходного треугольника. Кроме того, стороны ортотреугольника антипараллельны соответственным сторонам исходного треугольника, т.е. AC1 B1  C, AB1C1  C и т.д.
Лемма 3.2 Радикальная ось (см. [7], з.3.54, 3.58)
Если прямая, проходящая через точку Р, пресекает окружность в двух точках Q и R, то
произведение PQ  PR не зависит от выбора прямой, содержащей Р.9
Это выражение, взятое со знаком «плюс» в случае внешней точки Р, и со знаком «минус»
в противном случае – называется степенью точки относительно окружности.
Оказывается, для двух неконцентрических окружностей все точки, степени которых относительно окружностей равны, «заметают» некоторую прямую, перпендикулярную линии
центров. Она называется радикальной осью двух окружностей.
Лемма 3.3 Ортоцентрическая ось (см. [7], з.3.72а))
Это утверждение – ничто иное, как объединенные в единое целое теоремы «о произведении хорд» и «о
касательной и секущей».
9
12
BH
A
B1
C1
AH
B
H
A1
Е
O
C
CH
Точки пересечения продолжения сторон ортотреугольника с соответствующими прямыми,
содержащими стороны исходного треугольника, лежат на одной прямой – т.н. ортоцентрической оси. Ортоцентрическая ось перпендикулярна прямой Эйлера10. Действительно, пусть, например, B1C1   BC   AH . Тогда треугольник AH C1 B подобен треугольнику AH CB1 ( т.к., в силу леммы 3.1, AHC1  C ).11 Из подобия следует,
что AH B  AC  AH C1  AH B1 , т.е. (см. лемму 3.2) степени точки AH относительно описанной окружности и окружности Эйлера равны, а значит, AH лежит на радикальной оси
этих окружностей, линия центров которых совпадает с прямой Эйлера.
Точно такие же рассуждения показывают, что и точки BH , C H лежат на радикальной оси.
Лемма 3.4 (см.[7], з.5.2)
Треугольник I a I b I c , образованный центрами вневписанных окружностей – остроугольный, а исходный треугольник АВС – его ортотреугольник.
Лемма 3.5
Прямая OI является прямой Эйлера треугольника I a I b I c , а также прямой Эйлера и треугольника Жергонна A2 B2C2 исходного треугольника АВС.
В самом деле, во-первых, треугольник Жергонна гомотетичен треугольнику I a I b I c . Ведь в
силу лемм 3.1 и 3.5,  AI   I a I   I b I c  . Понятно также, что и
B1C1    AI   I b I c  // B2C2  .
А раз треугольники гомотетичны, то их прямые Эйлера либо параллельны, либо совпадают. Но центр вписанной окружности I является (лемма 3.1, лемма 3.4) ортоцентром треугольника I a I b I c , и, очевидно, центром описанной около треугольника A2 B2C2 окружности – т.е. эта точка принадлежит и той и другой прямой Эйлера, поэтому они совпадают.
На прямой Эйлера, в частности, расположены: центроид треугольника, его ортоцентр, центр описанной
окружности и центр окружности Эйлера.
11
И в случае тупоугольного треугольника аналогичное доказательство проходит.
10
13
Наконец, очевидно, что центр описанной около АВС окружности О есть (по лемме 3.4)
центр окружности Эйлера треугольника I a I b I c , т.е. IO  H E  - прямая Эйлера треугольника I a I b I c .12
Осталось только заметить, что прямая Lout , содержащая основания внешних биссектрис, и
есть Ортоцентрическая ось треугольника I a I b I c . И, в силу леммы 3.3 и 3.5, теорема 3.1
полностью доказана.
CL
BL
Ib
A
Ic
B2
C2
I=H'=O''
AL
B
A2
C
O=E'
Ia

Замечание:
В частности, на основании только что доказанной теоремы, можно сконструировать следующую, хотя и просто формулируемую, но весьма заковыристую 13 олимпиадную задачу:
Имеется линейка, на которой отмечен отрезок, равный одной из сторон данного треугольника. Такой линейкой построить прямую, перпендикулярную прямой OI этого треугольника.
Определение 3.1’
Назовем минус-«а» тройкой тройку следующих прямых: Ba  , C a   , Cb  , Ab   ,  Ac  , Bc  .
Теорема 3.1’
12
13
Согласно этой лемме (3.5) точка H  (из теоремы 2.1) лежит на прямой OI
Есть профессиональный термин в среде составителей олимпиадных задач: «гроб»
14
Минус-«a»тройка является тройкой параллельных прямых. Более того, эти прямые перпендикулярны прямой O I a , проходящей через центры описанной и соответствующей
вписанной окружностей.
A
Bc-
O
Ac+
B
C
Ab+
CbIa
Ba+
Ca+
4. Диагональные плюс-точки: конкурентность.
Определение 4.1
Рассмотрим какие-нибудь две точки конфигурации, расположенные на двух различных
прямых, проходящих через стороны треугольника. Соединим эти точки с противолежащими вершинами треугольника двумя прямыми и назовем их точку пересечения диагональной точкой конфигурации. Обозначать эти точки будем так, как показано на рисунке:
A
Ba-
B
P[Ca+Ba-]
C
Ca+
(Изображена точка P[ Ca  Ba  ] ).
Диагональными плюс-точками назовем точки P[ Ca  Ba  ] , P[ AbCb  ] , P[ Bc Ac  ] .(И обозначим их
далее на рисунке по-простому: A, B , C  ).
Треугольник с вершинами в этих точках назовем диагональным плюс-треугольником и
обозначим   .
15
Теорема 4.1
  центрально-симметричен  ABC относительно точки Шпикера S - центра вписанной в
серединный треугольник окружности.(По Кимберлингу ([10]), это X10 - точка с координатами b  c : c  a : a  b , она же - центр тяжести периметра исходного треугольника).
Cb+
Bc+
A
B+
C+
S
B
Ac+
C
Ab+
A+
Ba+
Ca+
Приведем целых три доказательства этого утверждения. Первое из них, наиболее симпатичное, предложено Арсением Акопяном.
Доказательство первое:
A
C0
B0
S
C1
B
B1
A0
C
A+
Ba+
k
Ca+
16
Проведем в серединном треугольнике биссектрисы из вершин B0 ,C 0 серединного треугольника A0 B0 C0 и отметим точки B1 ,C1 их пресечения с прямыми  AB и  AC  соответственно.
Имеем: AB1 B0  B1 B0 A0 (поскольку  AB  //  A0 B0  )  C0 B0 B1 ( B0 B1  - биссектриса соответствующего угла серединного треугольника)  C0 B0  C0 B1 . Из тех же соображений,
C0 B0  B0 C1 .
Рассмотрим гомотетию  A,2 . Понятно, что C0  B, B0  C . Кроме того, равные отрезки должны переходить в равные, а по условию, BC  BC a   CBa  . Поэтому четырехугольник B1C0 B0 C1 переходит в четырехугольник C a  BCB a  , и точка пересечения его
диагоналей - в точку пересечения диагоналей, т.е. S  A  . Это и означает, что S - середина отрезка AA  . Аналогично доказывается, что S – середина и двух других отрезков.
Замечание:
Поскольку биссектрисы серединного треугольника параллельны соответствующим биссектрисам исходного треугольника, то подобие четырехугольников можно также доказать, сославшись на лемму 2.1 и лемму 2.2.

Доказательство второе:
A
I
B
A0
C
A+
Ba+
Ca+
Заметим, что в силу леммы 2.2 четырехугольник A  BIC (где I – точка пересечения биссектрис исходного треугольника) является параллелограммом, поэтому точка A0 (середина отрезка ВС) делит отрезок IA  пополам.
Далее, пусть p  a  b  c .
Рассмотрим систему материальных точек p  a A, p  b B, p  cC с центром масс в точке
Шпикера S. (см. [7], з.14.13) Разобьем ее на три подсистемы:
pA
 a A,b B,cC
pB, pC
Понятно, что это все эквивалентно системе pA, pI ,2 pA0 . Так как A0 - середина отрезка
IA  , последнюю пару материальных точек можно заменить на pA  . Итак, исходная система с центром масс в S эквивалентна системе pA, pA  . А это и значит, что S - середина
отрезка AA  .

17
Доказательство третье:
1

Гомотетия  G,  переводит треугольник в серединный, поэтому центроид G делит
2

отрезок II 0 в отношении 2:1. (Подробнее о свойствах гомотетии см. [2],[5] и [7] – гл.19).
 1
Рассмотрим далее композицию гомотетий  G,2   H  I ,  . Согласно известной теореме
 2
о композиции гомотетий, в результате получится новая гомотетия с коэффициентом -1
(т.е. центральная симметрия) с центром, лежащим на прямой IG. Но, как видим,
 1
 1
 G,2   H  I ,  I 0   I 0   G,2   H  I ,  = S I .
0
 2
 2
 1
Но H  I ,  A    A0 (т.к. A0 - середина отрезка IA  ), и G,2 A0   A .
 2
То-есть, S I  A   A , что и требовалось.
0

Замечание:
Как следствие, имеем еще одну «убойную» олимпиадную задачу:
Имеется линейка, на которой отмечены два отрезка, равных каким-то двум сторонам
данного треугольника. Такой линейкой построить центр окружности, вписанной в серединный треугольник.14
Определение 4.1’
Треугольник с вершинами в точках P[ BaCa  ], P[Cb  Ab ], P[ Ac , Bc  ] назовем первым добавочным
к диагональному плюс-треугольнику и обозначим   a .
Теорема 4.1’
  a центрально-симметричен  ABC относительно точки S a - соответствующего центра
вневписанной в серединный треугольник окружности.
Cb+
C-+
B+-
Bc+
CaA
Ab-
B
A-
Sa
Ba-
Ac-
C
И действительно, эта задача попала в заочный тур IV геометрической олимпиады имени Шарыгина, но к
моменту написания статьи результаты еще не были известны. Но как-то не верится, что с нею совладает
большое количество народа. (Хотя и хотелось бы!)
14
18
5. Диагональные плюс-точки: ортологичность.
Теорема 5.1
Центры вневписанных окружностей I a , I b , I c являются, соответственно, ортоцентрами
треугольников BP[Ca  Ba  ] C , CP[ AbCb  ] A , AP[ Bc Ac  ] B .
Ортоцентр треугольника   совпадает с точкой Бивена O – центром окружности, описанной около треугольника с вершинами в точках I a , I b , I c .(По Кимберлингу [10],
это X 40 - точка, координаты которой мы здесь опускаем, ввиду их некоторой тяжеловесности.)
Доказательство:
Первое утверждение достаточно очевидно.
A
B
C
A+
Ba+
Ia
Ca+
В самом деле, треугольник С a BC - равнобедренный, поэтому биссектриса, проведенная
из вершины В этого треугольника (т.е. биссектриса внешнего угла исходного треугольника), является также и высотой. Аналогично, высотой является и биссектриса, проведенная
из вершины С треугольника Ba CB . (Она же – также и внешняя биссектриса). Обе биссектрисы пересекаются в центре вневписанной окружности I a . Наконец, высоты треугольника BP[Ca  Ba  ] C должны пересекаться в одной точке, т.е. в точке I a .
Точно также рассматриваются случаи двух других треугольников.
Второе утверждение следует из первого, из теоремы 4.1(согласно которой прямая
P[ AbCb  ] P[ Bc Ac  ] параллельна прямой ВС и т.д.), из леммы 3.4, а также из следующих двух
классических результатов:
Лемма 5.1 (см. [7], з.2.1)
Ортоцентр Н произвольного треугольника и его центр описанной окружности О - изогонально сопряжены.
A
I
O
B
C
k
19
Лемма 5.2 (см. [7], з.5.125в))
A
Q
I
P
B
C
Если P и Q – пара изогонально сопряженных точек треугольника, то прямые, соединяющие вершины треугольника с точкой Q, перпендикулярны соответствующим сторонам педального треугольника точки P (т.е. треугольника, образованного основаниями перпендикуляров, опущенных из точки Р на прямые, содержащие стороны исходного треугольника).
Cb+
Bc+
Ib
A
Ic
C+
B+
H+=O'
B
C
Ac+
Ab+
A+
Ba+
Ca+
Ia

Из этой теоремы и теоремы 4.1 вытекает одно любопытное
Следствие 5.1
Точка Шпикера S является серединой отрезка с концами в ортоцентре Н и точке Бивена
O .
Что касается «тройственной» теоремы, она формулируется так:
Теорема 5.1’
Центры вписанной и двух вневписанных окружностей I , I b , I c являются, соответственно, ортоцентрами треугольников BP[ BaCa  ]C , CP[Cb  Ab ] A, AP[ Ac , Bc  ] B .
20
Ортоцентр треугольника   a совпадает с точкой Oa - центром окружности, описанной
около треугольника с вершинами в точках I , I b , I c .
Cb+
C-+
B+Ib
O'a
Bc+
Ca-
A-
A
Ba-
Ic
I
Ab-
B
Ac-
C
6. Диагональные минус-точки: гипербола Фейербаха.
В этом разделе нам понадобятся некоторые свойства конических сечений.
Сформулируем их:
Свойство 6.1 (см. [6])
Любые пять точек общего положения (т.е. никакие три из которых не лежат на одной
прямой) принадлежат некоторой конике. Этими точками коника определяется однозначно.
Свойство 6.2 (см. [1], [6])
Гипербола, описанная около треугольника15, является равносторонней (т.е. имеет перпендикулярные асимптоты) тогда и только тогда, когда на гиперболе лежит ортоцентр Н
треугольника. Центр такой гиперболы расположен на окружности Эйлера.
Свойство 6.3 (см. [1], [2])
Описанная около треугольника гипербола, проходящая через центр описанной окружности I и ортоцентр Н, называется гиперболой Фейербаха. Это – равносторонняя гипербола
с центром в точке Фейербаха.
15
Коника, содержащая вершины треугольника АВС, называется описанной около этого треугольника.
21
A
F
I
H
B
C
Гипербола Фейербаха имеет три добавочные, каждая из которых описана около треугольника, проходит через его ортоцентр и соответствующий центр вневписанной окружности.
Центрами гипербол будут являться добавочные точки Фейербаха: точки касания окружности Эйлера с вневписанными окружностями.
Теперь посмотрим, как точки нашей конфигурации связаны с гиперболами Фейербаха.
Определение 6.1
Диагональными минус-точками назовем точки P[Ca Ba  ] , P[ AbCb  ] , P[ B  Ac  ] .(И обозначим их
далее на рисунке просто A, B , C  ).
Теорема 6.1
Диагональные минус-точки лежат на гиперболе Фейербаха.
Ca-
AA
BaBc-
I
H
AbB
CAc-
C
Cb-
B-
Доказательство:
Проведем конику через точки A, B, C , I , A  (это возможно в силу свойства 6.1).
Поскольку эта коника, описанная около треугольника АВС, содержит его внутреннюю
точку I, то является гиперболой. Она также описана около треугольника A  BC .
22
Однако, согласно первой части теоремы 5.1’, центр вписанной окружности есть ортоцентр этого треугольника. Тогда из свойства 6.2 следует, что построенная гипербола –
равносторонняя. Стало быть, также являясь описанной около треугольника АВС, она
должна проходить через его ортоцентр Н (опять же, по свойству 6.2).
Итак, оказалось, что наша гипербола описана около треугольника АВС и содержит точки
Н и I, т.е. совпадает с гиперболой Фейербаха (свойства 6.1, 6.3).
Точно также доказывается, что на этой гиперболе лежат и две другие диагональные минус-точки.

Определение 6.1’
Диагональными минус-«а» точками назовем точки P[ Ba Ca  ] , P[ Cb  Ab  ] , P[ AcBc  ] .
Теорема 6.1’
Диагональные минус-«а» точки лежат на добавочной гиперболе Фейербаха.
A
B-+
Bc-
H
Ac+
C
B
Ab+
A+
Cb-
Ba+
C+Ia
Ca+
7. Плюс-коника конфигурации равенства.
В этом разделе мы сформулируем и докажем свойство, аналогичное коцикличности16 шести точек в конфигурации Конвея. (см. стр.1)
Теорема 7.1
Точки C a  , Ba  , Ab , Cb , Bc  , Ac  конфигурации равенства лежат на одной конике.17
Доказательство:
Воспользуемся следующим утверждением:
Лемма 7.1 (теорема Карно) (см. [1],[11])18
Так иногда выражаются, когда хотят сказать о какой-то совокупности точек, что они принадлежат одной
окружности.
17
Иначе говоря, эти шесть точек конконичны.
16
23
Пусть точки A1 и A2 расположены на прямой BC  , содержащей сторону ВС некоторого
треугольника АВС, точки B1 , B2 - на прямой СА , а точки C1 ,C 2 - на прямой  AB .
Тогда они принадлежат одной конике тогда и только тогда, когда выполняется равенство
 BA1 BA2   CB1 CB2   AC1 AC2 



  1 .19



 CA CA   AB AB   BC BC 
2  
1
2  
1
2 
 1
Cb+
Bc+
A
b
c
Ac+
B
a
C
Ab+
Ba+
Ca+
В случае нашего утверждения условие Карно принимает вид:
 с ab  a bc  b ac






  1.
ac b  ab c  bc a 

Доказав теорему 7.1, мы можем дать теперь
Определение 7.1
Теорема открыта французом Лазарем Карно (1753-1823) – в такой формулировке: «…если эти шесть точек
принадлежат одной окружности, то…». В этом случае утверждение почти очевидно – нужно несколько раз
попользоваться теоремой о произведении хорд либо же о касательной и секущей (в зависимости от положения точек на прямых, содержащих стороны треугольника – короче говоря, теоремой о степени точки относительно окружности – см. [5],[7]).
Заметим еще, что всему прогрессивному человечеству более известен т.н. цикл Карно – но тут постарался
уже не Лазарь, а его сын Сади (1796-1832).
19
Каждая дробь в произведении берется со знаком – т.е. имеется в виду отношения длин направленных отрезков.
18
24
Конику, проходящую через плюс-точки, назовем плюс-коникой конфигурации равенства,
или, для краткости, коникой равенства.
8. Уравнение коники равенства.
Согласно [11], уравнение произвольной коники относительно20 фиксированного треугольника АВС (в барицентрических координатах) имеет вид:
f  x 2  g  y 2  h  z 2  2 p  y  z  2q  z  x  2r  x  y  0 .
Здесь x : y : z  - «текущие» координаты точки коники, а f , g , h, p, q, r - коэффициенты
уравнения коники - некие постоянные величины, определяемые данной коникой и данным
треугольником.
Оказывается, в нашем случае, справедлива
Теорема 8.1
Коэффициенты коники равенства зависят от сторон треугольника АВС следующим образом:
f  2bca  b a  c , g  2cab  c b  a , h  2abc  a c  b ,
p  ab  c bc  b  a c  a , q  bc  a ca  c  b a  b , r  ca  b ab  a  c b  c .
Доказательство носит чисто технический характер: подставив в уравнение коники координаты первых пяти плюс- точек21, и считая пока что r  1 (ведь уравнение однородно),
получим систему линейных уравнений:
  a 2  f  a  c 2  g  2   a a  c   0.

2
2
 a   f  b  a   h  2   a b  a   q  0.

2
2
 b   g  a  b   h  2   b a  b   p  0.
 b  c 2  f   b 2  g  2b  c  b   0.

 b  c 2  f   c 2  h  2b  c  c   q  0.
По счастью, в этой системе много нулевых коэффициентов, и нет необходимости считать
определители пятого порядка или обращаться за помощью к методу Гаусса. Вполне хватает лишь определителей второго порядка. Действительно, приглядевшись к системе внимательнее, видим, что из первого и четвертого уравнений можно найти f и g .
2ba  c 
2ab  c 
Получим, что f 
.
,g 
ab  a  c b  c 
ab  a  c b  c 
Далее, подставив найденное значение f во второе и в пятое уравнение, найдем h и q.
2abc  a c  b 
ba  c   ca  c  b a  b 
Именно, что h 
,q 
a  bc  ab  a  c b  c 
ca  b   ab  a  c b  c 
После чего третье уравнение дает нам p. Вволю натешившись умножением, сложением,
ab  c   bc  b  a c  a 
делением и вычитанием, наконец получим p 
. Теперь, для
ca  b   ab  a  c b  c 
полного счастья, умножим все коэффициенты коники на знаменатель последней дроби.

9. Вид коники равенства.
20
21
Вообще-то, принято говорить «в базисе».
Пяти достаточно, ибо (см. свойство 6.1) пять точек как раз и определяют конику.
25
Компьютер показывает, что при изменении длин сторон и величин углов треугольника АВС коника равенства может оказаться и эллипсом, и гиперболой, и параболой.
Эллипс мы уже видели в разделе 7, полюбуемся теперь на гиперболу.
Cb+
Bc+
A
b
c
Ac+
B
a
Ab+
C
Ba+
Ca+
Возникает вполне естественное желание выяснить, какова геометрическая подоплека происходящего – т.е. какие именно условия определяют вид коники равенства. Как, например, было бы прекрасно получить ответ вроде следующего: «если исходный треугольник
остроугольный, то получим эллипс, если прямоугольный – то параболу, а если тупоугольный – то гиперболу». Увы, все не так просто. Если верить компьютеру, то действительно,
для остроугольного треугольника всегда получается эллипс, а что происходит дальше,
автору понять так и не удалось.
Однако имелась надежда, что выручит алгебра.
Известно (см.[11]), что если коника задана своим уравнением (см. § 8), то вид коники зависит от знака выражения   U  V  W  2F  G  H  :
(где U  gh  p 2 ,V  hf  q 2 ,W  fg  r 2 , F  qr  fp, G  rp  gq, H  pq  hr ).
Если   0 , то коника является эллипсом, если   0 - параболой, а если   0 - гиперболой.
Все необходимые коэффициенты имеются, казалось бы – бери и считай.
До этого, за годы многолетней практики, автору в подобных случаях всегда хватало ручки, бумаги и времени, чтобы произвести любые нужные расчеты – но здесь он впервые
вынужден был отступиться. Из-под пера медленно выползал здоровенный «крокодил», и
по мере его выползания все понятнее становилось, что никакого просвета (в смысле, что
удастся этого крокодила разложить на части, то бишь множители) ожидать не приходится.
Тогда ничего уже другого не оставалось, кроме как попробовать воспользоваться продвинутыми счетами – какой-нибудь вычислительной программой. И вот как отозвалась на
просьбу «Expand”22 программа “Mathematica 5.1 for Students”:
По этой команде она производит всевозможные действия с заданными алгебраическими выражениями например, подставляет одно выражение в другое, перемножает, складывает, раскрывает скобки и т.д.
22
26
6
2
4
a b
4
2
2a b
2
6
6
a b
5
6
6
2
3
2a b c 2a b c a c
6
2
4
b c
4
3
3
2a bc
4
3
2a c
6
2
2
3
2
3
2
3
2
2
3
3
4
2
5
6a b c
3
4
4a b c
4
4a b c
4
6a b c
2
4a b c
3
2a b c
4
2a bc
2a bc
4
2a bc 4a b c
5
6a b c
4
4
4a b c
4
4b c
2
4a b c
3
3
2b c
2
6
a c
6
b c
На просьбу же произвести с полученным безобразием «Factor»23 - в ответ явилось то же
самое выражение – явным синонимом фразы «Ах, отстаньте, наконец».
В запасе, правда, было еще одно, последнее, но самое сильнодействующее средство – команда “FullSimplify”24, которая выдала:
a2 b2 a2
a6
b2
4 a3 b3
2b a
2 a
b
b
2
2 a b a5
6 a2 b4
2 a3 b2
4 a b5
a b4
b5 c
b6 c2
2
a2
a3
2 a2 b 2 b3 c4
ab
3 a2 b3
b2 c3
a
2
b
c6
Вот и все, чего удалось добиться.
Как говориться, пусть тот, кто может – сделает больше.
10. Центр коники равенства.
Напомним, что и эллипс, и гипербола – кривые центрально-симметричные, а их центры
симметрии и называют просто центрами соответствующих коник. Что касается параболы,
ее центром удобно считать (из предельных соображений) бесконечно удаленную точку оси
параболы.
Как геометрически строить центр коники?
Оказывается, справедливо такое утверждение:
Утверждение 10.1 (см. [1],[6],[11])
Рассмотрим любое семейство параллельных друг другу хорд некоторой коники. (В это семейство, разумеется, входит и касательная, как хорда с двумя совпадающими концами.)
Тогда середины этих хорд (точка касания – для касательной) лежат на прямой, проходящей через центр этой коники. (В случае параболы получим прямую, параллельную ее
оси).
Кстати, дадим здесь же
Определение 10.1
Хорда, проходящая через центр коники, называется ее диаметром.
Из утверждения 10.1 вытекает простой способ построения коники – нужно взять две пары параллельных хорд, и в каждой паре провести прямые через их середины. Эти прямые
тогда пересекутся в центре коники.
Барицентрические же координаты центра коники, зная ее уравнение, можно вычислить
следующим образом:
Утверждение 10.2 (см. [11])
Центр коники имеет координаты U  G  H : V  F  H : W  F  G 25
Без всяких колебаний запустив “Mathematica 5.1”, получим основной результат этого раздела:
Теорема 10.1
Центр коники равенства имеет следующие координаты (приведена лишь первая, остальные получаются из нее циклическими перестановками):
a2 b c
3
a
2
b
a4 b c
2
c
b b
2
a b
2 2
c
c
2
a
2
c b
3
b
c
3
c
По этой команде программа как раз и должна раскладывать многочлен на множители
По мнению разработчиков, « это действие приводит выражение к виду, приятному во всех отношениях»
(вольный перевод автора статьи соответствующей инструкции из руководства пользователя)
25
Определение соответствующих выражений – см. в § 9
23
24
27
Или, иначе (если угодно):
5
3
a b
4
4
a b
3
5
a b
2
6
5
a b
a2 b5 c 2 a b6 c 2 a3 b3 c2
2 a2 b3 c3
a b4 c3
2
a b c
b5 c3
4
a b5 c2
a b3 c4
3
3
4
a b c a b c
b6 c2
b4 c4
2 a3 b2 c3
a b2 c5
b3 c5
Cb+
Bc+
A
Center
Ac+
B
C
Ab+
Ba+
Ca+
11. Перспектор коники равенства
В этом разделе нам потребуются такие понятия, как полюс и поляра относительно коники.
Сначала вместо коники рассмотрим окружность с центром в точке О и радиуса R.
Определение 11.1 (полюс и поляра относительно окружности). (см.[1],[2],[5],[11])
Для произвольной точки Р поставим ей в соответствие некоторую прямую p так, что
эта прямая перпендикулярна прямой ОР и пересекает ее в такой точке P  , что выполняется равенство OP  OP   R 2 (т.е. P  есть инверсный образ точки P). Прямую p назовем полярой точки Р относительно данной окружности, а точку Р – полюсом прямой p.
Таким образом, имеем т.н. полярное соответствие между точками и прямыми плоскости (относительно данной окружности). При этом еще полярой центра О считают бесконечно удаленную прямую, а полярой бесконечно удаленной точки – прямую, проходящую через центр окружности перпендикулярно направлению, задающему бесконечно удаленную точку.
Если же вместо окружности взять конику, то поступают следующим образом:
Определение 11.2 (полюс и поляра относительно коники). (см.[1],[11])
Пусть имеется точка Р и коника  . Переведем каким-либо проективным преобразованием конику в некоторую окружность  . При этом точка Р перейдет в некую точку
Р1. Пусть p1 - поляра точки Р1 относительно окружности  . Подействовав на нее обратным преобразованием, получим прямую p. Можно показать, что результат не будет зависеть от выбора исходного проективного преобразования.
Прямую p назовем полярой точки Р относительно данной коники  , а точку Р – полюсом прямой p. При этом полярой центра коники считают бесконечно удаленную
прямую, а полярой бесконечно удаленной точки – прямую, проходящую через середи-
28
ну любой хорды, параллельной прямым, определяющим бесконечно удаленную точку.26
Полярные соответствия обладают множеством замечательных свойств. Сформулируем
два самых основных из них.
Утверждение 11.1 (см.[1],[11])
Полюс и поляра – понятия проективные. То-есть, если при произвольном проективном
преобразовании коника  переходит в конику   , полюс Р и поляра p (относительно
 ) в какие-то соответственно точку P  и прямую p  , то эти прямые и точка будут полярой и полюсом относительно коники   .
Утверждение 11.2 (см.[1],[11])
Пусть прямая p – поляра точки P относительно некоторой коники. Тогда поляра любой
точки на прямой p проходит через полюс Р, а полюс любой прямой, проходящей через
Р, лежит на поляре p.
Имеется и красивый геометрический способ построения поляр и полюсов с помощью
одной только линейки. Например, справедливо
Утверждение 11.3(см.[1],[11])
Проведем из данной точки Р две прямые, одна из которых пересекает конику  в точках А и В, а другая – в токах D и C. Далее отметим точку F- пересечения прямых АС и
BD, а также точку Е, в которой пересекаются прямые AD и ВС.
Тогда прямая EF является полярой точки Р относительно коники  .
E
D
C
A
F
Center
B
Приведем одно, полностью в проективном духе, рассуждение, подтверждающее этот
факт.
Проверьте, что так определенная поляра бесконечно удаленной точки в случае окружности совпадает с
определением 11.1)
26
29
Переведем проективным преобразованием точку Р в бесконечно удаленную. В силу
утверждения 11.1, достаточно доказать справедливость нашей теоремы для этого случая.
Но тут-то и возникает трапеция ABCD, и, по известной теореме о четырех точках,
(см.[5],[7]) прямая EF будет проходить через середины ее оснований, а значит (см. утверждение 10.1) и через центр коники. Взглянув еще разок на определение 11.2 ( поляра бесконечно удаленной точки) мы видим, что все уже доказано.
Теперь сформулируем основную теорему и основное определение этого параграфа.
Теорема 11.1 (см.[1],[11])
Для данных треугольника и коники рассмотрим треугольник, образованный полярами
вершин исходного треугольника.27 Тогда этот полярный треугольник будет перспективен
исходному.28
Определение 11.3(см.[1],[11])
Соответствующий перспектор называют перспектором данной коники относительно
данного треугольника.
Cb+
La
Bc+
A
C
B
Ac+
Lb
Perspector
C'
Ab+
Ba+
Ca+
B'
A'
Lc
Найдем в заключение этого раздела координаты перспектора коники равенства.
Утверждение 11.4 (см.[11])
1 1 1
Координаты перспектора коники относительно треугольника имеют вид:  : :  29.
F G H 
Теорема 11.2 (доказана программой “Mathematica 5.1”)
Перспектор коники равенства имеет следующие координаты:
В силу утверждения 11.2 можно было сказать и так: образованного полюсами сторон исходного треугольника
28
Разумеется, если только он не совпадает с исходным (в этом случае треугольник называют автополярным).
29
В терминах § 9.
27
30
1
b a
2
b c a
a bc
3
2a
c
b
c
bc b
c
2
2 a b3
c3
(Выписана первая координата, остальные получаются циклическими перестановками).
12. В погоне за точками.
В двух предыдущих параграфах мы довольно подробно описали две точки, связанные с
треугольником – центр коники равенства и ее перспектор. В этой связи не мешает, наверное, сказать несколько слов о замечательных точках треугольника вообще.
Строгого математического определения замечательной точки треугольника не существует.
Имеется, правда, вполне научное определение т.н. центральной точки (см. [4],[12]) – но,
во- первых, под это определение не попадают многие точки, безусловно замечательные в
интуитивном смысле, а во-вторых, попадают многие, которые скорее хотелось бы назвать
ничем не примечательными. Говоря неформально, «степень замечательности» той или
другой точки можно оценить дробью, в числителе которой – количество нетривиальных свойств, связанных с этой точкой, а в знаменателе – «сложность» ее построения.
Американский математик Кларк Кимберлинг в интересной книжке [12], вышедшей в 1998
году, предпринял попытку собрать под ее обложкой все известные на тот момент треугольные центры (точке присваивается порядковый номер, даются ее координаты и приводятся основные геометрические свойства).
. Получилось – ни много, ни мало – 400 штук (чувствовалось, что профессор собирает их
не первый год). Затем Кимберлинг разместил электронную версию своей коллекции на
сайте (см. [10]) и с тех пор она непрерывно пополняется – благодаря усилиям энтузиастов, без преувеличения можно сказать, всего мира (большое спасибо современным средствам связи и современным же геометрическим программам). В настоящее время30 количество центров достигло отметки 3292. (Забавно, но сначала я поставил сноску непосредственно за этим числом. Будем все же надеяться, что до 329230 дело не дойдет). Вероятно,
для некоторых поиск нового центра31 стал своего рода охотой32 или спортом. Оно и понятно – кому же не хотелось бы увековечить свое имя в анналах ETC.33
Как бы оно там ни было, очевидно, что нынче открыть какую-нибудь хорошую точку, еще
не попавшую в ETC, практически невозможно – все хорошие уже разобрали!34
И тем не менее: ни центра коники равенства, ни ее перспектора в ETC нет. Однако это не
слишком удивляет (стоит лишь взглянуть на координаты), и не слишком радует - поскольку, если исходить из неформального определения, замечательность этих точек близка к
нулю. Я пробовал найти связи между ними и точками из первой десятки – на предмет
коллинеарности или коцикличности, но таковые не обнаружились. Возможно, среди первой тысячи чего-нибудь и нашлось, но эта гипотеза как-то не вдохновляет на дальнейшие
поиски.
У читателя, не знакомого с ETC, мог возникнуть вполне естественный вопрос: а как все
же проверить, значится ли потенциально новая точка в списках? Неужели сравнивать координаты с более чем 3200 других? Да и сами координаты, как видели, не всегда просто
вычислить. Согласитесь, довольно удручающая рисуется картинка: считали-считали, со24 февраля 2008 года.
Конечно, для настоящего любителя геометрии это занятие не может быть самоцелью.
32
В молодости мне попалась в руки книжка с интригующим названием «Охотники за черепами». Уж лучше
за точками, чем за черепами!
33
Вспоминается невольно хрестоматийная надпись вроде: «Здесь был Вася» - каждому, наверное, доводилось видеть ее в самых неожиданных местах, а то и…
34
Несколько раз я и сам был в шаге от успеха, придумав какую-нибудь более-менее симпатичную конструкцию. Но всякий раз выяснялось, что это уже было. (Причем иногда я опаздывал всего лишь года на 3-4).
30
31
31
считали, наконец – затем начали сравнивать – и вдруг, шаге на 2000-ом, обнаружили совпадение с известной точкой.
Но на самом деле ничего такого страшного произойти не может.
Вот что придумал хитроумный Кимберлинг.
В его Энциклопедии каждой точке, помимо порядкового номера и координат, присвоено
еще и некое число. Это число – расстояние от данной точки35 до прямой, содержащей сторону ВС треугольника АВС со сторонами ВС=6,СА=9,АВ=13.
К примеру, мы открыли, что медианы пересекаются в одной точке, но не знаем, есть ли
такая в ETC.
Тогда вычислим соответствующее расстояние в соответствующем треугольнике, и заглянем в Энциклопедию.
А
c = 13,00
b = 9,00
G
В
a = 6,00
G1
С
m GG1 = 2,62937см
Мы увидим два столбца – в правом находится расстояние (таблица упорядочена именно
по возрастанию расстояний), а в левом – порядковый номер. В нашем случае мы довольно
быстро найдем нужную нам строчку:
2 2.629368792488
А затем уже открываем список точек по номерам, и видим, что точка под номером 2 – т.н.
центроид. Но если Вашего числа в списках не оказалось, значит – точка новая.
Центру коники равенства соответствует число 47, 86483.
Перспектору коники равенства – число –(минус)2,62937.
И этих чисел в Энциклопедии нет (пока нет).
13. Коника равенства и теорема Паскаля.
Этот раздел специально предназначен фанатам новых точек и открывает перед ними широкое поле деятельности.
Вспомним вначале о теореме Паскаля.
Теорема Паскаля. (см.[1], [2],[6],[7] –з.31.52,[11])
Если шестиугольник ABCDEF вписан в конику, то точки пересечения его противоположных сторон (т.е. (AB,DE),(BC,EF),(CD,FA)) лежат на одной прямой.
Взятое со знаком «+», если точка находится «над» прямой ВС, и со знаком « -» в противоположном случае
35
32
Замечание: обратная теорема также справедлива – см. [1],[11].
Коника у нас есть, значит, имеем полное право применить теорему Паскаля к плюсточкам.
P
R
C:Cb+
B:Bc+
A
D:Ab+
A:Ac+
B
C
E:Ba+
F:Ca+
Q
Получили прямую Паскаля. Но в треугольнике каждой прямой можно поставить в соответствие точку! (т.н. трилинейный полюс прямой, а прямая будет называться, соответственно, трилинейной полярой – подробнее см.[1],[4],[11]). Делается это следующим образом: пусть наша прямая пересекает прямую (ВС) в точке A2 . Эта точка делит отрезок ВС в
каком-то отношении внешним (внутренним) образом. Построим затем точку A1 , которая
будет делить отрезок ВС в том же самом отношении внутренним (внешним) образом.
Аналогично построим точки B1 ,C1 на двух других прямых, содержащих стороны треугольника. Прямые AA1 , BB1 , CC1 пересекутся тогда в одной точке (что обеспечено теоремами Менелая и Чевы – см. [7],з.5.69 и 5.85, [8], з.342,341), которая и называется полюсом
исходной прямой.
Замечание:
Четвертка точек B, C, A1 , A2 при этом образует т.н. гармоническую четверку –
см.[1],[6],[11]. На рисунке ниже указан способ построения четвертой гармонической: из
точки A2 проводим произвольную прямую, отмечаем точки пересечения ее с прямыми
(СА) и (ВА) – точки B2 и C2 , потом строим точку Р пересечения BB1  и CC1  , и, наконец – точку A0 пересечения (АР) и (ВС).
33
A
B2
C2
P
A2
B
A1
C
Но вернемся к конике равенства и построенной для нее прямой Паскаля и рассмотрим ее
полюс.
По системе «6-9-13» (см. предыдущий параграф) получаем число 2,09082. Залезаем в ETC
,смотрим…увы, центр не нов, его порядковый номер - 37. (Но зато оказался нашим старым знакомым – см. теорему 2.2).
Однако стоит ли огорчаться? Дело в том, что рассматривая всевозможные шестиугольники с теми же вершинами (разрешаются невыпуклые и с самопересечениями) – имеем ровным счетом еще 59 прямых Паскаля, а стало быть, еще 59 точек. Уж наверное, среди них
отыщется что-нибудь новенькое.
И это еще не все. Оказывается, некоторые из 60 паскалевых прямых пересекаются по три
в одной точке (натурально, замечательной). А именно, справедливы теоремы:
Теорема Штейнера. (см. [6],[7] – з.31.53)
Если шестиугольник ABCDEF вписан в конику, то прямые Паскаля шестиугольников
ABCDEF, ADCFEB, ADEBCF пересекаются в одной точке.
Теорема Киркмана. (см. [6],[7] – з.31.53)
Если шестиугольник ABCDEF вписан в конику, то прямые Паскаля шестиугольников
ABFDCE, AEFBDC, ABDFEC пересекаются в одной точке.
Построенная согласно этим указаниям, точка Штейнера имеет кодовое число -49,58238 и
совпадает с центром под номером 661 (!), а точка Киркмана – число 7,68422 – и ни с чем
не совпадает (наконец-то!).36
Наконец, заметим, что (в зависимости от выбора начального шестиугольника, а точнее,
шестивершинника) точек Штейнера всего набирается 20 штук, а Киркмана – так и вообще
60.
Так что, работы - непочатый край, просто Клондайк какой-то!
14. О добавочных кониках равенства.
Как, конечно же, помнит читатель, характерная особенность конфигурации равенства заключалась в том, что каждое ее свойство имело три с ним родственных.
Коника равенства не является исключением.
Теорема 14.1
Точки Ba  , C a  , Cb , Ab , Ac  , Bc  конфигурации равенства лежат на одной конике.
Доказательство:
Применим теорему Карно (см. лемму 7.1):
Используя многократно волшебный определитель из доказательства теоремы 2.1, можно ведь и координаты сосчитать! А особенно если подключить еще к этому делу не менее волшебную программу “Mathematica 5.1”.
36
34
ba c   a bc a c b 






  1.
 b ca ab c   a bc

Определение 14.1
Конику, проходящую через эти точки, назовем первой добавочной коникой равенства.
Bc+
Ba-
Cb+
CaA
b
c
Ab-
B
Aca
C
Теорема 14.2
Коэффициенты уравнения первой добавочной коники равенства зависят37 от сторон треугольника АВС следующим образом:
f  2bca  с b  a a  b , g  2cab  c b  a b  a , h  2abc  b a  c b  c ,


p  a bcb  c a  b   c  b a  c b  a  , q  ba  c b  a ca  c  b a  b ,
r  ca  b b  a ab  a  c b  c .
Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 8.1
Замечание:
Компьютер показывает, что добавочная коника всегда является гиперболой. Геометрически это связано, конечно, с тем, что шестиугольник Ba  Ca  Cb Ab Ac  Bc  (при любой последовательности обхода вершин) всегда будет невыпуклым. Насколько очевиден этот
факт? Строгое доказательство, вероятно, должно быть связано с рассмотрением всевозможных неравенств, возникающих между длинами сторон треугольника.
Можно переформулировать и так: какие бы три точки из шести мы ни выбрали, среди
трех других найдется хотя бы одна, попавшая внутрь треугольника с вершинами в первых
трех выбранных точках.
Автор будет очень признателен всякому, кто сообщит ему короткое (а пускай даже не
очень) и (главное) строгое доказательство невыпуклости.
2
15. Плюс-точки: конкурентные свойства – дополнение.
Точнее сказать, наверное зависят – к концу нашей сильно затянувшейся работы автор несколько подустал,
и потому полученный результат (не слишком принципиальный) проверять и перепроверять (как в случае с
теоремой 8.1) не захотел. Читатель волен проделать это сам, если захочет.
37
35
Формулировки и доказательства основных теорем этого параграфа принадлежат Арсению
Акопяну.
Во-первых, он обнаружил вот какое интересное свойство плюс-точек.
Оказывается, не только треугольник, образованный прямыми С a  , Ba   ,  Ab  , Cb   ,
Bc , Ac  будет перспективен  ABC с перспектором в точке H  - ортоцентре треугольника
Жергонна (см. определение 2.1 и теорему 2.1), но и треугольник, образованный прямыми
С a , Ac , Bc , Cb  , Ba , Ab  .
Итак, справедлива
Теорема 15.1
Треугольник, образованный прямыми С a  , Ac   , Bc  , Cb   , Ba  , Ab   , перспективен исходному с перспектором в точке H  - ортоцентре треугольника Жергонна.38
Cb+
Bc+
A
Ac+
H'
B
C
Ab+
Ba+
Ca+
Доказательство:
Понятно, что при симметрии относительно внешней биссектрисы ACB , ввиду равнобедренности соответствующих треугольников, B  Ba  , A  Ab , т.е. прямая ( AB )переходит
в прямую Ba  , Ab   . Аналогично, при симметрии относительно внешней биссектрисы
ABС , A  Ac  , C  C a  , т.е. прямая ( AC ) переходит в прямую C a  , Ac   . Рассмотрим
теперь вневписанную в треугольник АВС окружность, которая касается луча АВ в точке
Р, а луча АС – в точке R. Поскольку при симметрии относительно двух нами рассмотренных внешних биссектрис вневписанная окружность переходит сама в себя, отсюда делаем
заключение, что вневписанная окружность касается еще и прямых Ba  , Ab   и C a  , Ac   ,
точку пересечения которых обозначим A , в каких-то точках Q и T соответственно.
А значит, в силу теоремы 2.1, прямые, содержащие соответствующие вершины трех треугольников, пересекаются в H  .
38
36
Заметим далее, что при гомотетии с вершиной в А, переводящей вписанную окружность во
вневписанную, треугольник Жергонна перейдет в некоторый треугольник, две вершины
которого совпадают с точками Р иR, причем при этой гомотетии соответственные стороны
обоих треугольников будут параллельны. Но PQ  CI a   CI  . Последняя же прямая
(внутренняя биссектриса) еще и перпендикулярна соответствующей стороне треугольника
Жергонна. Из всего вышесказанного следует вывод, что PQ перпендикулярна той стороне образа треугольника Жергонна, которая проходит через точку R. И рассуждая точно
также, доказывается, что RT  перпендикулярна той стороне образа треугольника Жергонна, которая проходит через точку P.
A
b
c
H'
I
B
Ac+
C
a
Ab+
R
Ba+
P
H1
Ia
Ca+
T
Q
A'
То-есть, прямые PQ и RT  пересекаются в ортоцентре H 1 образа треугольника Жергонна при рассматриваемой гомотетии.
Поэтому точки A, H , H1 лежат на одной прямой.
И, наконец, четырехугольник AC a  ABa  описан около окружности, а для таких четырехугольников, как это следует из теоремы Брианшона (см.[1],[2],[11]) точка пересечения
диагоналей совпадает с точкой пересечения отрезков с концами в точках касания, расположенных на противоположных сторонах. Поэтому на одной прямой также лежат и точки A, H1 , A . Так как через две точки можно провести ровно одну прямую, обе прямые
совпадают.
Доказательство для двух других вершин полностью аналогично.

Во-вторых, Арсению принадлежит еще одно красивое утверждение:
Теорема 15.2
k
37
Пусть A1 =  Ab  , Cb    Bc  , Ac  , а H 1 - ортоцентр треугольника, являющегося образом
треугольника Жергонна при гомотетии с вершиной в А, переводящей вписанную окружность во вневписанную. Тогда точки A1 и H 1 39 симметричны относительно вершины А.
Аналогичные утверждения верны и для двух других точек пересечения : B1 = С a  , Ba   
Bc , Ac  и C1 =  Ab , Cb   Сa , Ba  . Так как точки А, H ' , H1 лежат на одной прямой
(и еще две схожие коллинеарности), как следствие мы получаем и теорему 2.1
Сформулируем и докажем сначала три леммы.
Лемма 15.1 (о равнобокой трапеции)
Дана равнобокая трапеция ABCD BC  AD , О – точка пересечения ее диагоналей. Отложим на луче DA за точку А такую точку Р, что АО  AР , а на луче AD – за точку D такую
точку Q, что DO  DQ . Пусть R – точка пересечения прямых (РВ) и (QC), а М – середина
отрезка PQ.
Тогда прямая (RM) параллельна основаниям трапеции.
R
C
B
O
P
A
M
D
Q
Доказательство:
Рассмотрим прямую (RM), параллельную основаниям трапеции, и докажем, что ее точка
пересечения М с отрезком PQ делит этот отрезок пополам.
BA
PA CD QD

,

Заметим, что PBA ~ PRM , QDC ~ QMR 
.
RM PM RM QM
Разделив одно из этих равенств на другое, и воспользовавшись подобием треугольников
PA QM
BA OA PA
QM





 1  QM  PM .
ВОА и DOC, получим:
PM QD CD OD QD
PM
□
Лемма 15.2
39
Как вытекает из доказательства теоремы 15.1, точка
H 1 еще и лежит на стороне Ca  Ba  - как точка пе-
ресечения диагоналей вписанного четырехугольника. Аналогично и для двух других ортоцентров.
38
Пусть M a , M b , M c - точки касания соответствующих вневписанных окружностей со сторонами исходного треугольника АВС. Тогда прямые A1 M a , B1 M b , C1 M c будут параллельны соответствующим внутренним биссектрисам треугольника АВС.40
A1
Cb+
Bc+
Ic
A
Ib
Mc
I
c
Ac+
b
Mb
T
Ab+
B
a
C
Ma
C1
Ba+
Ia
Ca+
B1
Доказательство:
Очевидно, четырехугольник BB c  Cb  C является равнобокой трапецией, так как прямые
BB c  и C b C параллельны биссектрисе AI (по лемме 2.2), а Bc  Cb  BC , так как треугольники АВС и ABc  Cb  равны по двум сторонам и углу между ними.
Кроме того, СM a  s  b, BM a  s  c  Ac  M a  Ab M a  s (где s – полупериметр треугольника АВС), в силу известного свойства вневписанных окружностей (см. [5], з. 3.2).
И кроме того, как безапелляционно утверждают Компьютер+Кимберлинг, указанные прямые пресекаются в точке X 72 с координатами b  c cos A : c  a cos B : a  b cos C - т.е. плюс-треугольник
перспективен еще и треугольнику Нагеля с перспектором в этой точке. Но довольно!..Иначе повествование
наше никогда не закончится. ”The rest is silence”, как метко выразился, правда, по несколько другому поводу, один литературный персонаж.
40







39
Осталось воспользоваться предыдущей леммой.
□
Лемма 15.3
В   (треугольнике A1 B1C1 ) следующие пары отрезков равны между собой:
B1Ca   C1 Ba  , A1Cb  C1 Ab , B1 Ac   A1 Bc  .
Доказательство:
A
Mc
I
Mb
C
B
C1
Ba+
Ca+
B1
По условию, BC a   CBa   a .
По двум предыдущим леммам, M c B  M b C  s  a и M c C1  // CI  // BB a   ,
M b B1  // BI  // CCa  .
C B
C B
a
Тогда из теоремы Фалеса, a  a  
 a  a   B1Ca   C1 Ba  .
B1C a 
s  a C1 Ba 
□
Доказательство теоремы 15.2
Проведем через A1 прямую, параллельную биссектрисе (BI ). Пусть N – точка пересечения
этой прямой с прямой (СА). На стороне СА отметим точку M b , так что
AM b  s  c, Bc  M b  s , где s – полупериметр треугольника АВС. По лемме 15.2,
( B1 M b ) //( BI ) , и по лемме 2.2, ( Ac  A) // BI  . Следовательно, NA1  //  Ac  A // B1 M b  . Кроме
того, по лемме 15.3,. B1 Ac   A1 Bc  .
Покажем теперь, что NA  s , или, что то же самое, NBc   AM b .
NBc
AB
BA
Действительно, треугольники A1 NBc  , Ac  Bc  A подобны 
 1 c  1 c .
ABc  Ac Bc Ac Bc
BA
AM b
А так как  Ac  A // B1 M b  , то, по теореме Фалеса, 1 c  
. Из этих двух равенств
Ac  Bc  ABc 
NBc  AM b
вытекает, что

 NBc   AM b .
ABc  ABc 
40
Остается только проверить, что
NA1 H B0
.

NA
AB0
A1
Cb+
N
Bc+
A
B0
c
C0
B
H'
B2
I
C
a
A0
Ac+
Mb
Ma
R
Ab+
C1
Ba+
P
H1
Ia
Ca+
B1
И правда, если это равенство справедливо, то треугольник A1 NA переходит в треугольник
NA
s

H B0 A при гомотетии с вершиной А и коэффициентом 
(поскольку треAB0
sc
угольники A1 NA и H B0 A будут подобны по углу и отношению прилежащих к нему сторон, ведь A1 NA  AB0 H  , как накрест лежащие), а треугольник H B0 A , в свой черед,
переходит в треугольник H 1 RA при гомотетии с вершиной А и коэффициентом
AB0 s  c
(см. [5], з. 3.2). Окончательно, стало быть, получаем, что треугольник A1 NA

AR
s
переходит в треугольник H 1 RA при гомотетии с вершиной А и коэффициентом  1 , т.е.
эти треугольники симметричны относительно точки А, что нам и требовалось доказать.
NA1 H B0
Итак, покажем, что
.

NA
AB0
41
С одной стороны, из подобия треугольников A1 NBc  , Ac  Bc  A имеем:
NBc 
sc
B
NA1 
 AAc  
 2c cos (треугольник Ac BA - равнобедренный, с углом
ABc
c
2
NA1
B sc
.
 2 cos 
  B при вершине) 
NA
2 s
С другой стороны, Н B0  2IB2 (т.к. серединный треугольник гомотетичен его порождающему треугольнику с центром в точке пересечения медиан исходного треугольника и ко1
1
1
эффициентом  ). Кроме того, B2 IA0  C 0 IA0   2C 0 B0 A0  (по теореме о вели2
2
2
 C 
  A
чине центрального угла)     (  )  (  )  (равнобедренность треугольников
2 2 
 2 2
AC  B
B
  . Поэтому IB 2  r sin
(где r – радиус вписанной в треAC0 B0 и CA0 B0 ) 
2
2 2
2
H B0
B r
угольник АВС окружности) и
.
 2 sin 
AB0
2 sa
B sc
B r
B
 2 sin 
 tan  sr  s  c s  a 
Но 2 cos 
2
s
2 sa
2
B
r
Очевидно, что tan 
, поэтому
2 sb
B
sr 2
2
tan  sr  s  c s  a  
 s  c s  a   sr   ss  a s  b s  c  .
2
s b
Последнее равенство справедливо, ибо слева и справа в нем стоят квадраты площади треугольника АВС (площадь вписанного многоугольника, а в частности, треугольника - есть
произведение его полупериметра на радиус вписанной окружности, в правой же части
возникла знаменитая формула Герона - см. [5], з. 12.19).41
□
Добавочные теоремы-«тройняшки» к теоремам Акопяна читателю предлагается сформулировать самостоятельно.
Апрель 2007 – март 2008, Москва
41
Это заключительное рассуждение – не слишком удачная авторская отсебятина. А можно (и нужно было!)
чисто геометрически рассудить(вместо подсчета отношений), по Акопяну: мы уже доказали, что точка N
при симметрии относительно A переходит в R, а прямая NA1 1 в прямую RH 1 . Проведем через A1 прямую
параллельную биссектрисе угла С и пересечем с AB, получим точку K (аналогичную N). Точно так же
KA=AP. Поэтому при симметрии относительно точки A отрезок PR перейдет в NK, прямая PH1 в KA1 , а
прямая
RH 1 в NA1 . Значит., точка пересечения H 1 - в точку пересечения A1 .
42
Список литературы:
[1] Акопян А., Заславский А. Геометрические свойства кривых второго порядка. М.:
МЦНМО, 2007.
[2] Заславский А. Геометрические преобразования. М.: МЦНМО, 2003.
[3] Куланин Е. Об описанных окружностях чевианных и педальных треугольников и некоторых кривых, связанных с треугольником. / / Математическое просвещение. 2005. № 9.
[4] Мякишев А. Элементы геометрии треугольника. М.: МЦНМО, 2002.
[5] Панарин Я. Элементарная геометрия, том 1. М.: МЦНМО, 2004.
[6] Прасолов В., Тихомиров В. Геометрия. М.: МЦНМО, 2007.
[7] Прасолов В. Задачи по планиметрии. М.: МЦНМО, 2007.
[8] Шарыгин И. Геометрия. Планиметрия. (Задачник 9-11). М.: Дрофа, 2001
[9] Grinberg D. Conway Circle.
[http://mathworld.wolfram.com/ConwayCircle.html]
[10] Kimberling C. Encyclopedia of triangle centers “ETC”.
[http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/].
[11] Yiu P. Introduction to the Geometry of the Triangle.
[http://www.math.fau.edu/yiu/geometry.html]
[12] Kimberling C. Triangle centers and central triangles. Winnipeg: Utilitas Mathematica Publ.,
1998.
Автор:
Алексей Геннадьевич Мякишев,
Московский Химический Лицей.
alex_geom@mtu-net.ru