Документ 114671

0–0. Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата
России по футболу, в котором играет 16
команд? (Является важным, кто хозяин
поля. Ответ дать числом в десятичной записи.)
0–1. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр такое,
что любое число из девяти подряд
стоящих цифр данного числа делится
на 9.
Разрежьте
фигуру на рисунке на две равных
фигуры.
0–2.
1–1. Найдите наименьшее
четырёхзначное число, произведение цифр которого
равно 1024.
1–2.
Найдите все натуральные N,
если известно, что среди первых N
натуральных чисел ровно восемь
чисел делятся на 6 и ровно шесть
чисел делятся на 7.
1–3.
Где (относительно точек A, B, C,
не лежащих на одной прямой) находится
точка Z такая, что знакочередующаяся
сумма векторов
ZA  ZB  ZC  0 ?
0–3.
1–4. Есть 100 комнат и 100 мальчиков, каждый из
0–4. Сколько существует
четырёхзначных
чисел,
произведение цифр которых равно 4?
1–5.
0–5.
1–6. Найдите все прямоуголь-
Ваня, Коля и Петя играли в настольный
теннис «на вылет», т.е. в каждой партии двое играют, а третий – ждёт и в следующей партии заменяет проигравшего (ничьих не бывает). В итоге
оказалось, что Ваня сыграл 12 партий, а Коля – 25
партий. Сколько партий Коля отдыхал?
Где (относительно точек A, B,
C, не лежащих на одной прямой)
находится точка Z такая, что сумма
векторов ZA  ZB  ZC  0 ?
Разделите
0–6.

 

число
x a 2  ab  b 2  y b 2  bc  c 2 

 x  y  c 2  ca  a 2
xb  c   yb  a .

на
число
которых находится в одной из комнат. На двери каждой комнаты написано: «Тут ровно один мальчик».
Назовём комнату нечётной, если в ней находится нечётное число мальчиков. Сколько могло быть нечётных комнат, если известно, что среди надписей на
комнатах – ровно четыре неверных?
Какое максимальное число точек
можно выбрать среди 9 узлов клетчатого
квадрата 22 так, чтобы никакие три выбранные точки не были вершинами прямоугольного треугольника? Приведите
ответ и пример.
ные треугольники с целочисленными сторонами, катеты которых равны простым числам.
2–2.
В ряд без запятых пишутся
числа 1N2(N–1)3(N–2)4(N–3)… (пока не будут выписаны все натуральные числа от 1 до N по разу). При
каком наименьшем N в таком ряду
встретится кусок 2010?
2–3. Приведите все
3-6. В клетчатом квадрате 55 в N клетках
2–4. Три монеты лежат на столе, касаясь друг
4–4. Найдите все простые чис-
способы разрезания
прямоугольника 3×4 на две равные части
так, чтобы линия разреза шла по сторонам
клеток. (Фигурки разных способов не
должны совпадать при наложении, в том
числе при переворачивании.)
друга внешним образом, а их центры образуют
прямоугольный треугольник. Найдите радиусы
двух больших монет, если известно, что отношения этих радиусов к радиусу самой маленькой монеты (a) являются целыми числами.
2–5. На поверхности куба проведена замкнутая восьмизвенная ломаная, вершины
которой совпадают со всеми вершинами
куба. Какое наименьшее число звеньев этой
ломаной может совпадать с рёбрами куба?
2–6. Найдите наибольшее
число, в десятичной записи
квадрата которого все цифры – различные.
3–3.
Найдите наименьшее десятизначное число из различных цифр,
что любое число из девяти подряд
стоящих его цифр делится на 9.
3–4. Найдите наибольшее натуральное число, на которое выражение
n(n2–49)(n2+49) делится при любом
натуральном n.
3–5.
Диагональ АС выпуклого четырёхугольника ABCD образует со сторонами
следующие
углы:
ВАС=ВСА=40,
ACD=30,
CAD=20. Найдите BDC.
одной из главных диагоналей стоят единицы, а в
остальных клетках всей таблицы – нули. В любой из строк или столбцов этого квадрата можно
поменять все единицы на нули и наоборот. При
каком наибольшем N за несколько таких операций можно получить квадрат, во всех клетках
которого стоят одни нули?
ла, большие 10 и не превосходящие 2010, у которых произведение цифр равно их сумме.
4–5. Найдите все тройки натуральных чисел a, b и c, для которых
выполняется равенство
a 4 b 3  b 4 c 3  c 4 a 3  a 3b 4  b 3 c 4  c 3 a 4 .
4–6. Какое наибольшее количество
ферзей можно разместить на шахматной доске так, чтобы каждый
ферзь бил не более одного ферзя?
Приведите ответ и пример.
5–5. На олимпиаде были даны три задачи А, B и С.
25 школьников решили хотя бы одну задачу. Среди
школьников, не решивших задачу А, решивших B, в два
раза больше, чем решивших С. Школьников, решивших
только задачу А, на одного больше, чем остальных
школьников, решивших задачу А. Сколько школьников
решили только задачу B, если среди школьников, решивших только одну задачу, половина не решила задачу А?
Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр
такое, что любое число из восьми
подряд стоящих его цифр делится
на 8.
5–6.
6–6. В треугольнике ABC
A = 120. Точки
K и L лежат на сторонах AB и AC. BKP и CLQ –
правильные треугольники, построенные вне
треугольника ABC. Найдите наибольшее действительное
число
для
которого
,
PQ    ( AB  AC ) .