0–0. можно расставить 16 команд на 16 местах, после чего разбить... 3-4, …, 15-16 (команды с нечётными номерами – хозяева, с... (Является важным, кто хозяин

Математическая игра «Домино». 8-9 класс. Решения. 22 ноября 2012 года
0–0. Сколькими способами можно составить расписание первого тура чемпионата
России по футболу, в котором играет 16 команд? (Является важным, кто хозяин
поля. Ответ дать числом в десятичной записи.) (518 918 400. 16! способами
можно расставить 16 команд на 16 местах, после чего разбить их на пары 1-2,
3-4, …, 15-16 (команды с нечётными номерами – хозяева, с чётными – гости).
Но при этом каждое разбиение на пары в этих вариантах встречается 8! раз
(количество способов переставить 8 пар по порядку). Таким образом,
количество расписаний первого тура равно 16!:8!=518 918 400.)
0–1. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр такое, что любое
число из девяти подряд стоящих цифр данного числа
делится на 9. (9876543210)
0–2. Разрежьте фигуру на рисунке на две равных фигуры.
0–3. Ваня, Коля и Петя играли в настольный теннис «на
вылет», т.е. в каждой партии двое играют, а третий – ждёт и в следующей партии
заменяет проигравшего (ничьих не бывает). В итоге оказалось, что Ваня сыграл 12
партий, а Коля – 25 партий. Сколько партий Коля отдыхал? (0 партий. Всего
сыграно не менее 25 партий, при этом Ваня сыграл меньше, чем в половине,
что возможно только в случае чередования его партий с Колей с партиями
Коля-Петя, значит, Коля сыграл во всех партиях.)
0–4. Сколько существует четырёхзначных чисел, произведение цифр которых равно
4? ( 10  4  С42  4  6 , т.к. это либо числа с одной 4 и тремя 1 (всего 4 числа), либо
числа с двумя 2 и двумя 1 (всего их – число сочетаний из 4 по 2 С 42 
43
 6 ).)
2
0–5. Где (относительно точек A, B, C, не лежащих на одной прямой) находится точка Z
такая, что сумма векторов ZA  ZB  ZC  0 ? (Z – точка пересечения медиан
треугольника ABC; она же (по определению) является центром масс
(барицентром) треугольника, в вершинах которого массы равные 1)
0–6. Разделите число xa 2  ab  b 2   yb 2  bc  c 2   x  y c 2  ca  a 2  на число
xb  c   yb  a . (a+b+c)
1–1. Найдите наименьшее четырёхзначное число, произведение цифр которого равно
1024. (2888)
1–2. Найдите все натуральные N, если известно, что среди первых N натуральных
чисел ровно восемь чисел делятся на 6 и ровно шесть чисел делятся на 7. (48)
1–3. Где (относительно точек A, B, C, не лежащих на одной прямой) находится точка Z
такая, что знакочередующаяся сумма векторов ZA  ZB  ZC  0 ? (Z – четвёртая
вершина параллелограмма ABCZ, построенного на треугольнике ABC; она же
(по определению) является центром масс (барицентром) системы
материальных точек 1А, (1)В, 1С)
1–4. Есть 100 комнат и 100 мальчиков, каждый из которых находится в одной из
комнат. На двери каждой комнаты написано: «Тут ровно один мальчик». Назовём
комнату нечётной, если в ней находится нечётное число мальчиков. Сколько могло
быть нечётных комнат, если известно, что среди надписей на комнатах – ровно
четыре неверных? (96. Из условия следует, что на 96 комнатах надписи верны,
т.е. там находится по одному человеку. Все эти комнаты – нечётные. Допустим,
нечётна одна из четырёх комнат, надписи на которых неверны. Так как в этих
четырёх комнатах находится 4 человека, а ровно один человек ни в одной из
них находиться не может, в нечётной комнате находятся трое. Но тогда
четвёртый находится в одной из оставшихся комнат, и надпись на ней, вопреки
нашему предположению, верна. Значит, все четыре оставшиеся комнаты –
чётные.)
1–5. Какое максимальное число точек можно выбрать среди 9 узлов
клетчатого квадрата 22 так, чтобы никакие три выбранные точки не
были вершинами прямоугольного треугольника? Приведите ответ и
пример. (4 точки)
1–6. Найдите все прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами, катеты
которых равны простым числам. (Таких треугольников не существует. Катета,
равного 2, у такого треугольника быть не может, т.к. не существует двух
точных квадратов, отличающихся на 4, что должно было бы выполняться
согласно теореме Пифагора. Значит, оба катета являются нечётными
числами, но тогда сумма квадратов катетов даёт при делении на 4 остаток 2,
квадрат же гипотенузы (чётной по длине) даёт остаток 0, противоречие.)
2–2. В ряд без запятых пишутся числа 1N2(N–1)3(N–2)4(N–3)… (пока не будут
выписаны все натуральные числа от 1 до N по разу). При каком наименьшем N в
таком ряду встретится кусок 2010? (28)
2–3. Приведите все способы разрезания прямоугольника 3×4 на две равные части так,
чтобы линия разреза шла по сторонам клеток. (Фигурки разных способов не
должны совпадать при наложении, в
том числе при переворачивании.) (5
способов)
2–4. Три монеты лежат на столе, касаясь друг друга внешним образом, а их центры
образуют прямоугольный треугольник. Найдите радиусы двух больших монет,
если известно, что отношения этих радиусов к радиусу
самой маленькой монеты (a) являются целыми числами.
(2a и 3a. Центр меньшей монеты обязательно совпадает
с вершиной прямого угла, иначе один из катетов будет
больше гипотенузы. Тогда по теореме Пифагора
(a+b)²+(a+c)²=(b+c)²,
откуда
a²+ab+ac=bc,
затем
переносим ab и ac в другую часть уравнения, и
прибавляем к обеим частям a². Получим, что
2a²=(ba)(ca) и  b  1 c  1  2 , где обе скобки являются натуральными
a
 a

числами, что возможно только при 1 и 2. Тогда радиусы больших монет равны
2a и 3a.)
2–5. На поверхности куба проведена замкнутая восьмизвенная
ломаная, вершины которой совпадают со всеми вершинами
куба. Какое наименьшее число звеньев этой ломаной может
совпадать с рёбрами куба? (2. Раскрасим вершины куба в
шахматном порядке, тогда замкнутая ломаная хотя бы два
раза меняла цвет вершин, значит, хотя бы два её звена
совпадали с рёбрами куба. Пример – на рисунке.)
2–6. Найдите наибольшее число, в десятичной записи квадрата которого все цифры –
различные. ( 9876543210 )
3–3. Найдите наименьшее десятизначное число из различных цифр, что любое число
из девяти подряд стоящих его цифр делится на 9. (9123456780. Первая и
последняя цифра должны при делении на 9 давать равный остаток, а это
возможно только для 0 и 9, но 0 не может стоять на первом месте.)
3–4. Найдите наибольшее натуральное число, на которое выражение n(n2–49)(n2+49)
делится при любом натуральном n. (30. Пусть an = n(n2–49)(n2+49), тогда a1= –
4850= –25352, a2= –24553 = –232553, НОД (a1, a2) = 30, значит, наибольший
общий делитель всех этих чисел не превосходит 30. Перебором остатков по
каждому из трёх модулей нетрудно показать, что an делится и на 2, и на 3, и на
5, значит, an30.)
3–5. Диагональ АС выпуклого четырёхугольника ABCD
образует
со
сторонами
следующие
углы:
ВАС=ВСА=40, ACD=30, CAD=20. Найдите
BDC. (70. Построим внутри угла АВС точку М
так, что АВМ=60, ВМ=ВА=ВС. Тогда АВМ –
равносторонний и САМ=60-40=20, а ВСМ –
равнобедренный с углами при основании по (18040):2=70. Тогда АСМ=70-40=30, т.е. точки М и D совпадают, значит,
BDC=ВМС=70.)
3–6. В клетчатом квадрате 55 в N клетках одной из главных диагоналей стоят
единицы, а в остальных клетках всей таблицы – нули. В любой из строк или
столбцов этого квадрата можно поменять все единицы на нули и наоборот. При
каком наибольшем N за несколько таких операций можно получить квадрат, во
всех клетках которого стоят одни нули? (0. Рассмотрим любой квадратик 22,
задевающий ровно 1 клетку данной главной диагонали, в трёх же других
клетках изначально стоят нули. При данной операции чётность количества
нулей в таком квадратике не меняется, значит, в каждом из них изначально
были только нули. Рассуждая теперь аналогичным образом про квадратики
22, содержащие угловые клетки данной диагонали, получим, что изначально
в этой таблице были только нули.)
4–4. Найдите все простые числа, большие 10 и не превосходящие 2010, у которых
произведение цифр равно их сумме. (Таких чисел нет. Для двузначных чисел
решим в цифрах уравнение ab=a+b или (a–1)(b–1)=1 при a  0. Получим,
a=b=2, но 22 – не простое. Для трёхзначных чисел решим в цифрах уравнение
abc=a+b+c при a0 и с{1, 3, 7, 9}, так как только на эти цифры может
оканчиваться простое число, большее 10. Следовательно, надо перебрать
случаи: 1). с=3 или с=9, тогда a+b+с=abc делится на 3 и сумма цифр числа
делится на 3, т.е. число делится на 3 и не является простым. 2). с=7, тогда
7ab=a+b+725, т.е. ab3, что даёт числа 117, 127, 217, 137, 317, но у них
произведение цифр не равно сумме. 3). с=1, тогда ab=a+b+1 или (a–1)(b–1)=2,
т.е. {a, b}={2, 3}, но 321 и 231 не являются простыми. Для четырёхзначных
чисел, начинающихся с 1, решим в цифрах уравнение abcd=a+b+c+d при a=1
и d{1, 3, 7, 9} (только на эти цифры может оканчиваться простое число,
большее 10). Переберём возможные случаи: 1) d=3 или d=9 аналогично
случаю 1 для трёхзначных чисел. 2) d=7, тогда 7bc=1+b+c+726, т.е. bc3, что
даёт числа 1117, 1127, 1217, 1137, 1317, но у них произведение цифр не равно
сумме. 3) d=1, тогда bc=1+b+c+1 или (b–1)(c–1)=3, т.е. {b, c}={4, 2}, но 1421 и
1241 делятся на 7 и 17 соответственно, т.е. не являются простыми. Числа от
2000 до 2010 не удовлетворяют условию.)
4–5. Найдите все тройки натуральных чисел a, b и c, для которых выполняется
равенство a 4b 3  b 4 c 3  c 4 a 3  a 3b 4  b 3c 4  c 3 a 4 . (Все тройки, в которых есть два
равных
числа.
Разность
обеих
частей
равенства
равна
1
(a  b)(b  c)(c  a )( a 2 (b  c) 2  b 2 (c  a ) 2  c 2 (a  b) 2 )  0 ,
2
откуда
следует, что есть два равных числа.)
4–6. Какое наибольшее количество ферзей можно разместить на
шахматной доске так, чтобы каждый ферзь бил не более одного
ферзя? Приведите ответ и пример. (10 ферзей. Каждый ферзь
бьёт в 4 направлениях на стенки, из которых максимум
одно перекрыто другим ферзём, значит, каждый ферзь бьёт
не менее трёх своих стенок из 32 возможных. Тогда ферзей не более [32:3]=10,
пример расположения которых – на рис.)
5–5. На олимпиаде были даны три задачи А, B и С. 25 школьников решили хотя бы
одну задачу. Среди школьников, не решивших задачу А, решивших B, в два раза
больше, чем решивших С. Школьников, решивших только задачу А, на одного
больше, чем остальных школьников, решивших задачу А. Сколько школьников
решили только задачу B, если среди школьников, решивших только одну задачу,
половина не решила задачу А? (6 человек. Пусть a, b, c – количества
школьников, решивших по одной задаче (A, B и С соответственно); x, y, z –
количества школьников, решивших ровно по две задачи (не решивших A, B и
С соответственно); t – количество школьников, решивших все три задачи.
Тогда по условию получим систему из четырёх уравнений: a+b+c+x+y+z+t=25,
b+x=2(c+x), a=y+z+t+1, a=b+c. Из этой системы получим, что b=2c+x и 4b+c=26.
Значит, с2(mod 4) и по крайней мере в два раза меньше b. Тогда c=2, b=6.)
5–6. Найдите наибольшее натуральное число из различных цифр такое, что любое число из восьми
подряд стоящих его цифр делится на 8. (9765431280. Последние три цифры должны быть
чётными, а тогда по признаку делимости на 4 две последние цифры могут быть только из
множества {0, 4, 8}. Перебор вариантов без 8 показывает, что нужное число из 10 цифр
создать невозможно.)
6–6. В треугольнике ABC A = 120. Точки K и L лежат на сторонах AB и AC. BKP и CLQ –
правильные треугольники, построенные вне
треугольника
ABC.
Найдите
наибольшее
действительное
число
 , для которого
3
PQ    ( AB  AC ) . ( . Построим точки N и
2
М – проекции точки А на прямые ВР и CQ,
тогда NM =
3
( AB  AC ) , но Р и Q – точки на
2
двух параллельных прямых, расстояние между
которыми равно NM, значит, нужное
3
неравенство выполняется при  
. Случай
2
P=N и Q=M показывает, что большее значение для  не даёт выполнения неравенства.)