Точки пересечения диагоналей правильных многоугольников

Точки пересечения диагоналей правильных многоугольников.
1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол при вершине А равен
80. Внутри треугольника взята точка М так, что МВС=30 и МСВ=10.
Доказать, что АМС=70.
2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол при вершине В равен
20. На сторонах ВС и АВ взяты точки D и Е соответственно так, что DAC=60 и
ЕСА=50. Доказать, что ADE=30. Используем правильный 18-угольник.
Теорема Чевы (тригонометрическая форма). На сторонах ВС, СА, АВ треугольника
АВС взяты точки А1, В1, С1 соответственно. Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в
одной точке тогда и только тогда, когда
sin BAA1 sin ACC1 sin CBB1


 1.
sin CAA1 sin BCC1 sin ABB1
Первые две задачи сводятся к следующим тождествам:
1). Sin10 sin30 sin40=sin70 sin20 sin10
2). sin20 sin40 sin20 =sin30 sin60 sin10
Есть еще три тождества:
3). Sin10 sin20 sin80 =sin20 sin20 sin30
4). sin20 sin30 sin30 =sin10 sin40 sin50
5). Sin10 sin20 sin30 =sin10 sin10 sin100
3. Внутри треугольника ABC взята точка P так, что угол ABP равен углу ACP, а угол
CBP равен углу CAP. Докажите, что P - точка пересечения высот треугольника
ABC.
4. Внутри квадрата ABCD взята точка Р так, что треугольник АВР равносторонний.
Доказать, что PCD=15. (Правильный 12-угольник.)
5. Дан треугольник АВС с углами А=50, В=60, С=70.
а). На сторонах ВА и АС взяты точки D и Е так, что DCB=ЕВС=40. Доказать,
что ВЕD=30.
б). На сторонах ВА и ВС взяты точки D и Е так, что DCA=50 и ЕАС=40.
Доказать, что АЕD=30.
6. P - внутренняя точка треугольника ABC (AB = BC). ABC = 80, PAC = 40,
ACP = 30. Найдите BPC.
7. Доказать, что диагонали А1Аn+2, A2n-1A3 и A2nA5 правильного 2n-угольника
пересекаются в одной точке.
8. Доказать, что диагонали А1А7, A3А11 и A5A21
правильного 24-угольника
пересекаются в точке, лежащей на диаметре А4А16.
9. Доказать, что в правильном 30-угольнике семь диагоналей А1А13, А2А17, А3А21,
А4А24, А5А26, А8А29, А10А30 пересекаются в одной точке.
10.В неравнобедренном остроугольном треугольнике АВС взята точка О такая, что
ОВС=ОСВ=20. Кроме того, ВАО+ОСА=70. Найдите угол А.
11.Точка Р лежит внутри треугольника АВС, причем PAB  100, PBA  200,
PCA  300, PAC  400 . Доказать, что треугольник АВС – равнобедренный.
12.В треугольнике АВС углы А, В и С равны 14, 62 и 104. На сторонах АС и АВ
взяты точки D и Е соответственно так, что DBC=50 и ЕСВ=94. Доказать, что
CED=34.
13.В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти
диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.