Неравенство треугольника

Неравенство треугольника и ... – симметрия, поворот, параллельный перенос.
Загнуть, перевернуть, перенести, посмотреть с другой стороны, сдвинуться с места, изменить
точку зрения, передвинуться, отодвинуться … - процессы:  инварианты:.
1. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы его сторон, выходящих из той же
вершины.
2. Дан угол и точка внутри него. Она отражается относительно сторон угла, и получившиеся точки
соединяются отрезком. Докажите, что часть этого отрезка, высекаемая углом, составляет меньше
половины его длины.
3. По одну сторону от дороги в лесу находятся две деревни. Где следует сделать остановку, чтобы
сумма расстояний от неё до деревень была наименьшей?
4. В правильный треугольник впишите треугольник наименьшего периметра так, чтобы его вершины
попали на разные стороны, а одна – в середину стороны.
5. На биссектрисе угла отмечена точка. Провести через неё отрезок минимальной длины с концами
на сторонах угла.
6. Внутри угла лежат две точки A и D. Соедините их ломаной ABCD наименьшей длины с точками B
и C на разных сторонах угла.
7. На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M, отличная от C. Докажите, что
MA+MB>CA+CB.
8. Докажите, что в равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) с В=30 выполняется неравенство
АВ<2АС.
9. Докажите, что в равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) с В=20 выполняется неравенство
АВ<3АС.
10. В выпуклом четырехугольнике ABCD B=30. Докажите, что периметр треугольника ACD не
меньше длины BD.
11. В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе AB взяты точки M и N (N
между M и B) такие, что MCN=45. Докажите, что MN2=AM2+ NB2.
12. На сторонах AB и AD ромба ABCD со стороной 1 выбрали точки M и N таким образом, что
2MCN =DCB. Докажите, что периметр треугольника AMN меньше 2.
13. ABCD – выпуклый четырёхугольник, К – середина стороны ВС, AKD=120. Докажите, что
AD<AB+BC/2+CD.
14. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
15. В треугольнике ABC BL – биссектриса, K – основание перпендикуляра, опущенного из точки L на
сторону AB. Докажите, что 2KL < AC.
16. В выпуклом четырехугольнике ABCD даны углы ACB = 90, ABC = 30, ACD = 75,
ADC = 20. Докажите, что AB+BC > AD.
17. В параллелограмме ABCD AB = BD. Докажите, что AC > 1,5AD.
18. Отрезки AС и BD пересекаются в точке M. При этом AB=CD, а угол BDC прямой. Докажите, что
отрезок MC не меньше MB.
19. Дан треугольник ABC. На сторонах AВ и ВС взяты точки D и Е таким образом, что
ACB = 2BED. Докажите, что AC + ЕC > AD.
20. Внутри равнобедренного треугольника ABC ( AB  BC ) отметили точки M , N , K (точка N –
ближайшая к стороне AC ) так, что MN BC , NK AB . Докажите, что AM  KC  MN  NK .
21. Внутри квадрата АВСD взята такая точка Р, что АР = АВ. Прямая АР пересекает отрезок ВС в точке
K. Прямая ВР пересекает отрезок СD в точке L. Докажите, что a) BK > CL. б) BK > 2CL.
22. Два посёлка расположены по разные стороны от реки с параллельными прямолинейными
берегами. В каком месте на реке нужно построить мост так, чтобы путь из одного поселка в другой
был кратчайшим. (Мост строится перпендикулярно береговой линии.)
23. Докажите, что расстояние от любой точки плоскости до любой вершины квадрата меньше суммы
расстояний от неё до трёх остальных вершин.
24. Внутри параллелограмма ABCD взяли точку O. Докажите, что OA<OB+OC+OD.
25. Докажите, что в выпуклом 4-угольнике сумма длин диагоналей больше его полупериметра меньше
периметра.
26. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) на стороне AB взята точка K, а на стороне AC –
точка L так, что AK = CL. Докажите, что KL не меньше половины BC.
27. Докажите, что в выпуклом 5-угольнике сумма длин диагоналей больше периметра и меньше
удвоенного периметра.
28. Внутри треугольника взяли две точки. Докажите, что расстояние между ними не превосходит
полупериметра треугольника.
29. а) Точка К лежит на стороне AB треугольника ABC. Доказать, что периметр треугольника AКC
меньше, чем периметр треугольника ABC.
б) Точка N лежит внутри треугольника ABC. Доказать, что периметр треугольника ANC меньше,
чем периметр треугольника ABC.
в) Треугольник MNK лежит внутри треугольника ABC. Доказать, что периметр треугольника MNK
меньше, чем периметр треугольника ABC.
30. В остроугольном треугольнике ABC с углом A > 60 проведены биссектриса AL, медиана BM и
высота CH. Докажите, что LM+MA > LH+HA.
31. Имеются два равнобедренных треугольника с равными боковыми сторонами. Докажите, что
основание меньше у того треугольника, у которого меньше противолежащий основанию угол.
32. Точки D и E делят сторону AC треугольника ABC на три равные части. Докажите, что
BD + BE < AB + BC.
33. Докажите, что расстояние от любой точки плоскости до любой вершины квадрата меньше суммы
расстояний от неё до трёх остальных вершин.
34. Две точки на поверхности куба (отличные от его вершин) соедините ломаной наименьшей длины,
звенья которой лежат на поверхности куба.
35. На сторонах единичного квадрата отмечены четыре точки, по одной на каждой стороне. Докажите,
что периметр образованного ими четырёхугольника больше 2.
36. В треугольнике одна сторона в три раза меньше суммы двух других. Докажите, что против этой
стороны лежит наименьший угол треугольника.
37. Один из углов треугольника равен 30. Докажите, что радиус окружности, описанной около этого
треугольника, меньше половины его периметра.
38. Точки A и C лежат по разные стороны от прямой BD, причём BAD + BCD = 1800, и AB = BC.
Докажите, что AD + CD < 2BD.
39. Внутри равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) взята точка Е. Известно, что сумма углов
ВAЕ и ВCЕ равна углу АВС. Докажите, что АЕ + ЕС > АВ.
40. На основании AC равнобедренного треугольника ABC выбрана точка D, а на стороне AB  точка E.
Оказалось, что DBC > DEA. Докажите, что DB+DE < BC+AE.
41. Пусть ABCD  выпуклый четырехугольник, причём треугольник ACD остроугольный, а
B = D+90. Докажите, что AB+BC < AD+DC.
42. На гипотенузе BC равнобедренного прямоугольного треугольника ABC выбраны точки M и N
таким образом, что M лежит между B и N и BM2+CN2 = MN2. Найдите угол MAN.
43. В треугольнике ABC B = 60, а M — середина стороны AC. Внутри треугольника дана точка P.
Докажите, что AP+BP+CP  2BM.
44. Найти внутри остроугольного треугольника точку, сумма расстояний от которой до вершин
минимальна (точку Торичелли).
45. Стороны треугольника ABC видны под равными углами из точки F внутри треугольника. Прямые
BF и CF пересекают стороны AC и AB в точках D и E соответственно. Докажите, что AB+AC  4DE.
46. В остроугольном треугольнике ABC угол A больше 45, CD и BE — биссектрисы. Докажите, что
CD+BE > BD+DE+EC.
47. В треугольнике ABC A=120. Точки K и L лежат на сторонах AB и AC. BKP и CLQ – правильные
треугольники, построенные вне треугольника ABC. Докажите, что PQ
3
( AB  AC ) .
2
48. Внутри острого угла с вершиной О дана точка А. Постройте на сторонах угла точки В и С так, что
ОВ+ОС=ОА и при этом сумма расстояний АВ и АС минимальна.
49. Докажите, что любой многоугольник периметра 1 можно поместить в круг радиуса ¼.
50. В треугольнике ABC B = 120. BL – биссектриса этого треугольника. K и M – основания
перпендикуляров, опущенных из точки L на стороны AB и AC соответственно. Докажите, что
2KM < AC.
51. На бумаге нарисован правильный пятиугольник со стороной 2. Его хотят целиком покрыть
салфетками в форме правильного пятиугольника со стороной 1. Какое наименьшее число салфеток
для этого потребуется?
52*. На стороне BC треугольника ABC взята точка E так, что EAC=BAC/3, а CEA=60. Докажите, что
AE+BE=AB+CE.