№25. Окружности и их элементы 1. Задание 25 № 311241. В

№25. Окружности и их элементы
1. Задание 25 № 311241. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные
углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, чтоОК и OL равны.
2. Задание 25 № 311258.
В окружности с центром проведены две
равные хорды
и
. На эти хорды опущены перпендикуляры
и
. Докажите, что
и
равны.
3. Задание 25 № 316360. В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что
дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.
4. Задание 25 № 340324. Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая
касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношенииm:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
Треугольники и их элементы
1. Задание 25 № 103.
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D иE так, что
отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD иBE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
2. Задание 25 № 340341. Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
3. Задание 25 № 340854. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите,
что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
4. Задание 25 № 340880. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что
углы DAC и DBC также равны.
5. Задание 25 № 340906. Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём
точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD ⊥ EF.
6. Задание 25 № 129.
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины
сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
7. Задание 25 № 311561. На стороне
треугольника
отмечены точки и так, что
. Докажите, что если
, то
.
8. Задание 25 № 311567. На медиане
треугольника
отмечена точка . Докажите, что
если
, то
.
9. Задание 25 № 311602. Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника
равны.
10. Задание 25 № 311605. Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отме-
ченные на рисунке отрезки
и
равны.
11. Задание 25 № 311606. Два равных прямоугольника имеют общую вершину
площади треугольников
и
равны.
12. Задание 25 № 311663. В параллелограмме
проведены
(см. рис.). Докажите, что
высоты
и
.
Докажите,
что
подобен
.
13. Задание 25 № 311665. Докажите, что у равных треугольников
и
биссектрисы, проведённые из вершины и , равны.
14. Задание 25 № 311669. В треугольнике
угол равен 36°,
— биссектриса. Докажите,
что треугольник
— равнобедренный.
15. Задание 25 № 311773. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C,
центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольникаABC лежат на одной
окружности.
16. Задание 25 № 311969. Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен
диаметру этой окружности.
17.
Задание
25 № 315062.
На
стороне АС треугольника АВС выбраны
точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
18.
Задание
25 № 315085.
На
стороне АС треугольника АВС выбраны
точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АDB и BEC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
19. Задание 25 № 316244. В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.
20. Задание 25 № 316334. В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60° . Докажите, что точки A, C,
центр описанной окружности треугольника ABC и центр вписанной окружности треугольника ABC лежат на
одной окружности.
21. Задание 25 № 333348. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что
продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
22. Задание 25 № 339384. Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади
которых равны между собой.
23. Задание 25 № 340243. В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.
Четырёхугольники и их элементы
1. Задание 25 № 77.
В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.
2. Задание 25 № 340935. Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка L— середина стороны BC. Докажите, что DL — биссектриса угла CDA.
3. Задание 25 № 340969. Сторона AB параллелограмма ABCD вдвое больше стороны BC. Точка N— середина стороны AB. Докажите, что CN — биссектриса угла BCD.
4. Задание 25 № 155.
В параллелограмме АВСD точки E, F, Kи М лежат на
его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
5. Задание 25 № 181.
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины
последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
6. Задание 25 № 315039.
Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный шестиугольник.
7. Задание 25 № 51. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, чтоEC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
8. Задание 25 № 311573. В параллелограмме
проведены высоты
и
. Докажите, что
по-
добен
.
9. Задание 25 № 311604. Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке от-
резки и равны.
10. Задание 25 № 311603. В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите,
что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.
11. Задание 25 № 311608. Середины сторон параллелограмма является вершинами ромба. Докажите, что
данный параллелограмм — прямоугольник.
12. Задание 25 № 311607. Дана равнобедренная трапеция
. Точка лежит на основании
и равноудалена от концов другого основания. Докажите, что — середина основания
.
13. Задание 25 № 311667. Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.
14. Задание 25 № 311925. В параллелограмме ABCD проведены высоты BH и BE к сторонам AD иCD соответственно, при этом BH = BE. Докажите, что ABCD — ромб.
15. Задание 25 № 314822. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.
16. Задание 25 № 315047.
Дан правильный шестиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится равносторонний треугольник.
17. Задание 25 № 315120.
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
18. Задание 25 № 315124.
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если последовательно соединить отрезками середины его сторон, то получится правильный восьмиугольник.
19. Задание 25 № 333026. Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.
20. Задание 25 № 333131. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что
сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
21. Задание 25 № 333322. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что
продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
22. Задание 25 № 339506. Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20,BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и ADB подобны.
23. Задание 25 № 339602. Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.
24. Задание 25 № 339609. Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке O, лежащей на
стороне AD. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CD.
25. Задание 25 № 339625. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что
углы ABD и ACD также равны.
26. Задание 25 № 340055. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O.
Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
27. Задание 25 № 340104. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите, что BP = DT.
28. Задание 25 № 340297. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём
точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что AB⊥IJ.
29. Задание 25 № 340321. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.
30. Задание 25 № 340347. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, делит её на
две равные по площади части.
31. Задание 25 № 340370. Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что
продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.