Математика повторение

Повторение
1. Множество действительных чисел R
N
Z
Q
R
1. Натуральные – это числа, ______________________________________________________
________________________________________________________________________________
N =  __________________  запишите несколько первых натуральных чисел
1.1. Законы сложения и умножения:
а+в =____________________переместительный
закон сложения
(а+в)+с=________________ сочетательный закон сложения
ав =____________________переместительный закон умножения
(ав)с=__________________ сочетательный закон умножения
(а+в)с=________________ распределительный закон
1.2. Вычислите (устно)
При выполнении примеров 15-20 примените распределительный закон
1. 15+27+5+43;
2. 89+246+54;
3. 89+(11+288);
5. (945+876) – 776
6. 2465 – (198+265)
7. (432+268) – 600
9. 8  9  25
10. 12  7  5 10
11. 418  25
13. 394  28  606  28 14. 44  78  26  78  30  78 15. 11 54
17. 76 9
18. 99 75
19. 62 99
21. 520:13
22. 750:25
23. 850:17
25. 2121:21
26. 689:0
27. 4545:15
1.3. Простые числа_____________________
приведите примеры
______________________________________
1.4. Составные числа __________________
приведите примеры
_____________________________________
4. 568 – (68+270);
8. 6802 – (3002+1998)
12. 2 10  639  5
16. 231001
20. 101 79
24. 960:32
28. 90090:15
1.5. Признаки делимости (приведите
примеры):
1.5.1. на 2______________________________
1.5.2. на 3 _____________________________
1.5.3. на 4 _____________________________
1.5.4. на 5 _____________________________
1.5.5. на 9______________________________
1.5.6. на 10_____________________________
1.7. НОД, НОК
Пример. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 126, 540, 630
Решение. Применяя признаки делимости, разложим данные числа на простые множители.
Получим
126= 2  3  3  7 ; 540= 2  2  3  3  3  5 ; 630= 2  3  3  5  7
Поэтому 126= 2 3 2  7 ; 540= 2 2  3 3  5 ; 630= 2 3 2  5 7
Отсюда НОД (126,540,630) = 2 3 2 = 18
НОК (126,540,630) = 2 2  3 3  5 7 = 3780.
1.7.1. Найти наименьшее общее кратное чисел:
1. 8, 20 и 16
2. 3,11 и 7
3. 17, 7 и 15
5. 156, 195 и 1950
4. 54, 81, 135 и 189
2. Целые числа
Z=N + _____+ ______
Z=____________, ___, 1, 2, 3, ______
2.1. Вычислите (устно)
1. 18+(- 10)
2. -18 + 10
6. 48+(-20)+20
7. -50+37+(-27)
10. -37+29+(-13) 11. 6-(-3)
15. 24-(-30)
16. -8-14
20. 54+(-37)+66+(-23)+(-34)
3. 100+(-100)
4. -99+98
5. 0+(-100)
8. -102+102+(-5) 9. 0+(-15)+(-35)+50
12. 8-(-10)
13. -12-(-5)
14. -12-(+5)
17. -18-(-18)
18. -18-18
19. -8756+(-756)
21. -580+912+(-412)+80+(-1001)
3. Рациональные – это числа, представляемые в виде
Q:
m
;
n
m
n
Q  Z  ________________________________________________________
Основное свойство дроби
a ma

b mb
Правила выполнения действий с обыкновенными дробями
1. Сложение:
m a mb  an
 
n b
nb
2. Вычитание:
m a mb  an
 
;
n b
nb
3. Умножение:
m a ma
 
;
n b nb
4. Деление:
m a m b mb
:   
n b n a na
3.1. Вычислите (устно)
1 1
1 3
1. 
2. 
2 2
8 8
5 1
11 11
7. 
8.

8 2
12 60
1 1
1 1
13. 
14. 
12 5
6 8
7 3
5 3
19. 
20. 
8 4
9 7
11 11
5 3
25. 
26. 
15 18
6 4
3
9
31. 232.104
10
3 1
8 11
37. 
38. 
11 13
4 3
12 5
21 15
43. 
44. 
25 8
25 18
1
1
49.1 
50.  1
2
2
1
2
54.10 
55.3  1
3
15
16 2
5 1
70. 
71. 
25 5
7 7
3.2. Вычислите (устно)
3 0 5
 
16 16 16
51 12
9. 
52 13
7 11
15. 
12 20
3 1
21. 
4 2
15 11
27. 
36 24
1 3
33. 
2 4
1
39. 5 
5
56 99
45. 
9 7
2
51. 1 
3
1
56. 0  7
7
52 14
72. 
25 75
3.
2
4.  5
7
1 2
10. +
2 3
3
5
16. 
16 24
4 5
22. 
7 21
2
28.1 3
3
34. 1
7
2
40.  7
7
3
46. 35 
7
3
52. 1 
7
4
57.  3
5
2 7
73. 1 
5 10
3 1 2
1.    
 5 3 3
2. 2
4  1 5
 3  
9  7 9
3
1
1
1
4. 2  7  8  5
4
2
4
2
3
10
4
4
7. 14  5  11  8
13
33
11
39
2 10 1
10.   1
3 21 2
1 3
13.     4
2 4
2
16. 1  3
3
5  2
 3

5.  3  7    2  4 
7  7
 4

7  4
2
8. 12   4  2 
11  11
7
1 23 2 12
 3
11. 3 
2 81 7 23
1 3 1 1
14.   
2 4 2 4
3 
 5
17.  7  4   8
20 
 8
9
11
4 2
11. 
7 9
3 1
17. 
8 8
5 10
23. 
13 169
12
29.1 17
4
35.  0
7
7 3
41. 
9 10
12
 15
47.
5
3
52. 1 
7
6
58.  4
7
2 1
74. 2  1
3 7
5. 1+
1 3

2 4
4 4
12. 
7 11
1 1
18. 
2 3
11 17
24. 
14 196
101
30.1102
4 4
36. 
5 9
3 5

42.
10 6
13
48. 27 
9
1
53. 3 
4
4 3
69. 
5 7
3
3
75. 2  3
4
4
6.
4
1
 7
3.  3  2   3
5
5
 10
2  11 11
13 
 12 
2 
15  60 30
15 
12 
13
 2
9. 14  3   5
97 
15
 15
5 21 2
 3 0
12.
17 4 15
3 3 3 3 1 3
15. 1  1 1  1 1
4 5 5 8 2 5
6. 7
18.
14  1 15 
 1  
15  14 16 
3.3. Вычислите (устно)
9. 0,4  7
14. 0,52 100
19. 0,12  1,1
24. 6,7 1
10. 1,9  3
15. 5  0,9
20. 1,2 1,1
25. 98,76  0
11. 2,1  5
16. 60  0,4
21. 0,05 1500
12. 9,9  7
17. 0,2  0,4
22. 0,05 1500
13. 8,3 10
18. 0,12  0,11
23. 0,5 150
26. 1,64  5,2  3,36  5,2 27. 24  2,78  35  2,78  412,78
Замечание Для всякой периодической дроби найдётся равная ей обыкновенная дробь
Правило обращения периодических дробей. Любая периодическая дробь вида 0, b1b2b3...bn...
равна обыкновенной дроби, составленной по следующему правилу:
1. её числитель есть разность между числом, стоящим до второго периода, и числом,
стоящим до первого периода;
2. её знаменатель есть число, изображаемое цифрами 9 и нулями на конце. Цифра 9
повторяется столько раз, сколько было цифр в периоде, а нуль столько раз, сколько цифр
содержится между запятой и первым периодом
Например,
0,3(14) =
314  3 311
;

990
990
2,(13)= 2+0,(13)= 2+
13  0
13
2 ;
99
99
0,(7)=
70 7
 .
9
9
3 37
и в периодические дроби.
11 15
3.5.Обратите в обыкновенные дроби 1,(6); 5,2(38)
4. Иррациональные – это числа, представляемые в виде бесконечных десятичных
непериодических дробей
Например_______________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
3.4. Обратите
Правила округления чисел. Чтобы округлить число n до значащих цифр, отбрасывают все его
цифра, следующие после n-го разряда, или, если это нужно для сохранения разряда, заменяют их
нулями. При этом:
1. если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не
изменяется;
2. если же первая из отбрасываемых цифр равна 5 и все остальные отбрасываемые цифры
являются нулями, то последняя сохраняемая цифра не изменяется, если она четная, и
увеличивается на единицу, если она нечетная;
3. если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра
увеличивается на единицу.
Например:
1. Найти сумму чисел а1=0,423; а2=72,8; а3= 14, 715, если все значащие цифры данных чисел верные. (Значащими цифрами десятичной дроби называют все ее цифры, кроме нулей,
расположенных левее первой, отличной от нуля цифры. 4,321, 0,0170 – подчеркнутые цифры
- значащие).
Решение. Слагаемое а2 имеет наименьшее число верных десятичных знаков (один). Поэтому
слагаемые а1 и а2 округлим до одного десятичного знака.
0, 423  0,4; 14,715  14,7;
Отсюда
0,423+72,8+14,715  0,4  72,8  14,7  87,9
2. Найти разность x-y,если x  7,25, y  3,8245
Решение. Округлим число 3,8245 до двух десятичных знаков: 3,8245  3,82
7,25-3,8245  7,25  3,82  3,43
3. Найти частное чисел x  39,57 и y  42,6137
Решение. Округляем число 42,6137 до четырех значащих цифр: 42,6137  42,61. Находим
39,57
 0,92865...
42,61
4. Найти произведение чисел x  3,491 и y  8,6
Число 8,6 имеет две значащие цифры. Потому округлим число 3,491 до двух значащих цифр:
3,49  _________. Найдем произведение:_____________________________________________.
5. Вычислить значение выражения x+yz, если x  104,367; y  14,8; z  0,73
Решение____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________.
5. R = Q + иррациональные числа
0
1
Прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и введен масштаб,
называют__________________________ или__________________________.
Определение. Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа а называется :
1. само это число, если а – положительное;
2. нуль, если а=0;
3. число - а, если а – отрицательное число.
а, еслиа  0,
Таким образом, а  
 а, еслиа  0.
5.1. На числовой прямой отметьте точки:
3
5.1.1. А(1), В(3) С(-4), Д( 2 )
5
5.1.2. х  5
0
1
5.2. Укажите на числовой прямой и запишите интервалы, соответствующие неравенству:
5.2.1
х 5
0
5.2.2.
1
х 5
0 1
a c

bd  0 называется пропорцией, при этом числа
b d
a и d называются крайними членами пропорции, а числа b и c – ее средними членами.
Основное свойство пропорции: Произведение крайних членов пропорции равно произведению
a c
ее средних членов.
  ad  bc.
b d
Определение. Процентом данного числа а называется его сотая часть.
Следовательно, само число составляет 100 процентов (%).
120
Например, 45% от числа 100 есть 45; 30% от числа 120 есть число
 30  36.
100
Упражнение 6
1.Вычислить:
Определение. Равенство двух отношений
1.1.
 1,5  4  2,5   6  5  7  9 ;
0,3  2  0,3  0,2  2  0,4  2   2  4
1.2.
2   4  6   2  1  2   3  15
;
2   1  5
1.3.
1  3  5  9   2  2
;
 2   3   7   1,2  2,5  1,3
2
7


0   3,5    4    2,75    1 
3

 12  ;
1.4.
1
 3

 4,5    2   4,75    7 
 5
 12 
5
1

 28  25   4,8  5  7,95  10,45
8
5
1.5. 
;
 3
 2
 3       0,1      29,4
 5
 5
1 4 1
    1,25   0,1   0,2
11
5 5
1.6.
;
7,2  8,4  22,4  15,56  22,4  0,1  0,3
55 
3 1  1
3  1  1 2349  22
 
1.7. 3  1  1  3   2  1 
;
4 2  2
4 2  7
 147
2
1.8.
 18

23 16
 9  6,52   9
1
 ;
50 75  15   2  0,15    25
1
55,1  5
17  15

40  2  9
2


 13


1  1,5  1,5 
3,2  1,7   0,003   20

  62 1  1,364  0,124;
1.9. 
  29 3 
14  1 
20

     4  0,2  2,44  1   
25  8 

  35 7 

1  12 
 3
 6  3  1 1  6   0,5    
15  49  1
4 6 7   20
1.10. 3,25- 
2

 2
10
2
1 2
3 
 4,2   5

11 11
3 9


Упражнение 7. Найти х, если:

 1 1 
 4  3,5   2  1    0,16 3 2  3  1
 7 5 
2.1. 
 7 14 6 ;
23
49
х
41  40
84
60
2,7  0,8  2 1
2.2.
3  х +8 9  1,6  154,66  70,3  1,9  2,625;
11
 2

5,2  1,4  3
 2  1,3   4,3
7
 5

2.3.
7 2
1 
1
3 
1  43,75  х  3,72  1   37,5  2  1  9   9,03;
9 7
45 
12 23 
2.4.
3,6
х

;
1
2
14  15  2,2 1,5  2  3,75
8
3
Упражнение 8. Найти число, если 3,6% его составляют
3  4,2  0,1
;
1

1  0,3  2   0,3125
3

5
5
 1
13  2  10   230,04  46,75
4
7
6
;
Упражнение 9. Найти 72% от числа 
0,01
2. Формулы сокращенного умножения
 Разность квадратов
Запишите формулу и прочитайте ее:

Найдите произведение (устно):1. 2a  3b2a  3b; 2. m  1
3. 0,1m  3n0,1m  3n;
5
m  15 ;
Разложите на множители (устно): 1. 4 х 2  9; 2. 9 у 2  25; 3. 1
81
х 4  16
25
 Квадрат разности
Запишите формулу и прочитайте ее:

 



2
Выполните действия (устно): 2a  3b  ; 1 a  3b ; 1 a 2  2 b3
3
2
3
1
Разложите на множители (устно): 4 х 2  12 ху  9 у 2 ; х 2  3 ху  9 у 2 .
4
 Квадрат суммы
Запишите формулу и прочитайте ее:
2
Выполните действия (устно): 3a  2b  ; 2a  1 b ;
3
2
Разложите на множители (устно): 9a  24ab  16b 2 ;
2
2
 Куб суммы
Запишите формулу и прочитайте ее:




Выполните действия (устно): a  2b  ; 2a  1 b ;
3
3
Разложите на множители (устно): 8а  12а 2  6а  1.
3
3
 Куб разности
Запишите формулу и прочитайте ее:
3
Выполните действия (устно): 2a  b  ; 1 a  3b ;
2
3
Разложите на множители (устно): 27а  27а 2  9а  1.
 Разность кубов
Запишите формулу и прочитайте ее:
2
3
1 х 2  ху  4 у 2 ;
16
у4;




Выполните действия (устно): а  5 25  5а  а 2 ; x  2 y  x 2  2 xy  4 y 2 ;
1
Разложите на множители (устно): x 3  1; 8a 3  b 3 .
27
 Сумма кубов
Запишите формулу и прочитайте ее:


2. 
1.
3.
4.
 


Выполните действия (устно): 2а  5 25  10а  4а 2 ; 2 x  1 y 4 x 2  xy  1 y 2 ;
2
4
Разложите на множители (устно): x 3  64 ; 1 a 3  8b 3 .
27
Упражнение 10. Выполните указанные действия, применяя формулы сокращенного
умножения:
2 а  3 b 2 a  1 b  ______________________________________
3
7
3
7
2
2
2
1 l  1 m 1 l  1 m 2  __________________________________
2
3
2
3
2
2
a  ba  b a  b  _______________________________________
4a  0,01g 4a  0,01g   _____________________________________
5.
6.





3x  13 y 
2
a b  2ab 
2 2
2

_____________________________________________
 ______________________________________________
2
 2

7. 1 x  2 y   ______________________________________________
 3

8.
9.
0,5  2а 
5 2
x  2 y 
 _______________________________________________
 _________________________________________________
3
3
1

10.  x  2 y   _______________________________________________
2

a

3
 x 2  _________________________________________________
3a  2b9a 2  6ab  4b 2   ___________________________________
4x 2 10xy  25 y 2 2x  5 y   __________________________________
x  3x 2  3x  9  __________________________________________
5
1
 1

15.  a  5  a 2  a  25   ____________________________________
2
2
 4

2
16. 52  ______________________________________________________
17. 99 2  ______________________________________________________
18. 198  202  __________________________________________________
19. 84 2  16 2  _________________________________________________
11.
12.
13.
14.
2
2
2
 3  1
20.  2   1   ____________________________________________
 4  4
3. Алгебраические дроби
Выражение вида
Px 
, где Px и Qx  - многочлены, называется алгебраической
Qx 
дробью.
Px - числитель, а Qx  - знаменатель этой дроби.
Область допустимых значений алгебраической дроби: Qx   0 Почему?
Упражнение 11. Найти область допустимых значений дроби
v
7
t2
t 5
5а
9
0
1.
; 2.
; 3. 3 ; 4.
; 6.
; 7.
; 5. 2
;
2
2
4х  5
а 3
t 4
25  t
х
vv  1
u  1
x y
5
5v
a 1
1 b
8.
; 11. 3
; 12. 3
;
; 9.
; 10. 2
v 4
a 8
b  27
x  1 y
u  7 u  6
Упражнение 12. При каких значениях буквы дробь равна нулю
a
3b
b
2c  4
3с  6
x  1x  1 ;
1. 2
; 2.
; 3.
; 5.
; 4. 2
; 6.
2
2
4
x5
a 1
16  b
c 1
bb
2с
2
2
2
2
x  5x  6
25t  36
u 8
x  5x
; 8. 2
; 9.
;
; 10. 3
7. 2
x 1
t  100
u 8
x x
Итак, дробь равна нулю тогда и только тогда,
когда__________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Px 
 0  ______________________________________________
Q x 
P  x  P  x K  x 

, где K x   0 Qx   0
Q  x  Q  x K  x 
Используя основное свойство дроби,
(сформулируйте)
можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель (многочлен, входящий в
разложение числителя и знаменателя одновременно) и приводить дроби к общему
знаменателю.
Например,
x  1x  1  x  1 .
x 2 1

3
x  1 x  1 x 2  x  1 x 2  x  1


a 4  16
a 4  4a 3  8a 2  16a  16
Разложим числитель и знаменатель на множители:
 
a 4  16  a 2
2





 4 2  a 2  4 a 2  4  a  2a  2 a 2  4 ;

 
 

2


a  4a  8a  16a  16  a  8a  16  4a  16a  a 2  4  4a a 2  4 
4

3
2

 
4
2

 a 2  4 a 2  4  4a  a 2  4 a  2 ;
Поэтому данная дробь равна дроби
2
3
a
2

 4 a  2 a  2 
a
2

 4 a  2 
2

a2
, где a  2.
a2
Упражнение 13. Сократите дроби
x 2  49b 2
81z 2  1
36v 2  60v  25
12a 8 b 6  60a 6 b 6
;
1.
2.
3.
4.
;
;
;
x  7b
1 9z
6v  5
4a 6 b 5
27u 3  8v 3
2m 2  4m  2
ab 3  a
64k 2  48km  9m 2
;
5.
; 7.
; 8.
; 6.
3u  2v
m 1
 8k  3m
ab 2  ab  b 2
2

x3  y3
m  n
a3  b3
a b
;
9.
10.
11.
12.
;
;
;
2b  a 
a2  b2
3x 2  3 yx  3 y 2
n2  m2
13.
x 2  ax  xy  ay
x 2  5x  6
x 2  6x  8
;
;
14.
15.
;
x 2  3x  2
x 2  4x  4
x 2  xy  ax  ay
Сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических дробей
осуществляются по тем же правилам, что и для арифметических обыкновенных дробей
Например,
 x 2  2 xy  y 2  3x
2x  y 
1 



2
2
x 
x y

 2 x  y
Сначала выполним действия в скобках:
x 2  2 xy  y 2 x 2  y 2  x 2  2 xy  y 2 2 x 2  2 xy
2 x x  y 
2x
1

 2


;
2
2
2
2
2
x  y x  y  x  y
x y
x y
x y


2 x  y 3x  x  2 x  y 2 x  y  3x 2  4 x 2  y 2
y2  x2
3x




;
2x  y
x
x2 x  y 
x2 x  y 
x2 x  y 
y2  x2
2 x y  x  y  x  2 y  x 
2x



.
x  y x2 x  y  xx  y 2 x  y  2 x  y
Допустимые значения: x  y, x   y, x  0, 2 x  y  0.
Задание. Выполнить действия с алгебраическими дробями
 x
x 2 x 2  2x  4 
8
x2  x  6

  2
_ 3


2  x  x  4x  4
4x  8
x 8
 x2
2


x x 2  2x  4
x 2 x 2  2x  4
x2
1. 3



;
2 x
x  2 x 2  2 x  4 2  x  x  22  x 
x 8
x
x2
x
x2
x x  2   x 2
2x
2.





;
x  2 x  22  x  x  2 x  2x  2 x  2x  2 x  2x  2


 x  2   x x  2  ;
2x
8
2x
 2


x  2x  2 x  4 x  4 x  2x  2 8
4x  2
x x  2  x 2  x  6 x x  2  x 2  x  6 x 2  2 x  x 2  x  6  3 x  6






4 x  2 
4x  8
4 x  2  4 x  2
4x  2 
4 x  2
4.
 3x  2 
3
 .
4x  2 
4
2
3.
Упражнение 14. Найдите сумму алгебраических дробей
3k  1
2k  1
5 x  7 3x  2
3
4
1. 2

; 3.

; 2.
 2
;
2 x  2 5x  5
2k  2 3k  6k  3
x 4 2 x
x  36 x  6 x 2  x  16


;
4. 3
x 1 x 1 x 2  x 1
Упражнение 15. Найдите произведение и частное алгебраических дробей
48 y 3
28a 2  63x 4 
 25t
15t 3
25  x 2


1.
2.
3.

;
 2
;


;
2 5
5 3
3 

24 xy x  10 x  25
y z
y z
27 x  140a 
8v  v 2  16 16  v 2

.
15v 2  3v
25v 2  1
Упражнение 16. Выполните действия с алгебраическими дробями
aa  3
4
1

 a 3
 
1. 
 2
 2
;

2
3
a  2a  1 
 a  1 a  2a  1   1  3a  3a  a
2x 2
x2
3 x
16  x 2
1
2
 3

 x  3x  
 2
;
2. 2
2
x2
x  2 x  4x
x  4x  4 x  2x
4.
1
 2x
2 x  4 x 2  14 x 
 ;
 2

3. 
 1  3 y 3 y  1  9 y  1  6 y 

2y
2 xy  4 y


2
 4  2 y  2 x  xy x  y  x  4
x 3  9 y 2 x  x  3y
x  3y 

;

5.
2
2  2
9 y  x  x  3xy 3xy  x 2 
4.
x3  y3
2y

 m 4  n 4
m  m 2 n 2
 n

6. 
 2  2  2 
2 2
m
 m  n m  n  n
 m n


;

1

 ;

1




2

1
 a  b a  b  a
7. 


 2
 ;
2
2
 a  b a  b  a  b
a
   1 

d 


2
x7 
x7
x  5  x  3 
 2
 2
8.

 ;
x  9  x  81  18 x x  81  x  9 
1
 2  x 1 4x2  2x

2 x

 .


3
2
3
2 
1

8
x
2
x

x
x

4
x

4
x


2
 2a
  2a
4a
1 
  2
 2

10. 
.
2 
2
b  2a 
 2a  b 4a  4ab  b   4a  b
x2  1 

9.

5
 2x 1 
2

  x
4 xy
y
2 xy 
.
 y   

 2
11.  x 
2 
x

y
x

y
y

x
x

y

 

 x
 y
  y
 x

 y 
 x   
 x 
 y .
12. 
 yx
 y  x
  yx
 y  x

Уравнения, неравенства, системы уравнений
1. Что такое уравнение?

Из приведенных ниже выражений выберите те, которые являются уравнениями:
3
10
3x  1
а). 64+78-38-104; б). 12  9 . ; в). 3х+5; г). 7х2-8х+3; д).
; е). 3(6-1)=18-3;
7
21
2x  4
4 2
5
3
ж).   1 ; з). 4х=2(х+2)-2; и).  5; к). 3х2-8х+4=15
9 7
9
x
Вывод:
Уравнение – это_______________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Мы рассматриваем уравнение с одним неизвестным х: А(х)=В(х)
Выражения, стоящие слева и справа от знака равенства, называются левой и правой
частями уравнения.
2. Область допустимых значений (О.Д.З.) уравнения.
 Не решая уравнения, определите, являются ли данные числа решениями уравнения:
3x  5
 x  7, х = 9; -1; -9; 5
x 2  81
Итак, левая часть этого уравнения имеет смысл, если выполняется условие____________
____________________________________________________________________________
Правая – если выполняется условие______________________________________________
Тогда уравнение будет иметь смысл, если эти два условия выполняются
одновременно.
В результате мы получили:
 ___________________

 ____________________
решив которую найдем О.Д.З. данного уравнения.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Вывод:
Областью допустимых значений (О.Д.З.) уравнения А(х)=В(х) называется
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
 Найти О.Д.З. следующих уравнений
1) 3(х-2)+5х=7х-1 _________________________________________
3
1 x3
x 
 5 _______________________________________
2)
5
7
4
3 1
4
 
 5 _______________________________________
3)
5x 7 x  3
x  1  5 ______________________________________________
4)
3. Корень уравнения

Не решая уравнения, определите, какие из значений неизвестных являются их
корнями:
3(х-2)+5х=7х-1, х=1, 0, 5
х2-2х-3=0, х=-1, 2, 3.
Вывод:
Корнем уравнения называется____________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
4. Что значит ,,решить уравнение’’
Решим несколько уравнений:
3х-5=1
х2+4=0
х2-5х-6=0
3х=6
х2=-4, но х20
Д=49
х=2
корней нет
х1=6; х2=-1
Вывод:
Решить уравнение – значит _____________________________________________________
____________________________________________________________________________
5. Равносильность уравнений
Решите уравнения:
1) х+2=5 и 3х+6=15
2) х2-4=0 и 2х2=8
3) х2+25=0 и х2+17=0.
Вывод:
Равносильными называются уравнения____________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Основная идея решения любого уравнения:
Путем различных преобразований заменить данное уравнение более простым,
равносильным ему уравнением, которое решалось бы очевидным образом.
При этом следует пользоваться свойствами равносильности уравнений.
6. Свойства равносильности уравнений.
Рассмотрев примеры равносильных уравнений (п.5) постарайтесь сформулировать
основные свойства равносильности уравнений:
1) А(х)=В(х)  А(х)+С=В(х)+С, где С – число или выражение имеющие смысл на О.Д.З
исходного уравнения.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
2) Следствие 1). А(х) +С=В(х)  А(х)=В(х)-С
А(х) +С=В(х)+ДА(х)-В(х)=Д-С
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
3) А(х)=В(х) А(х) С=В(х) С, где С - число или выражение имеющее смысл на О.Д.З
исходного уравнения и не обращающаяся на нем в нуль.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
Линейное уравнение ах=b
Уравнение вида ах=b, где а и b – заданные числа(параметры), а х – неизвестное
называется линейным.
а – коэффициент при неизвестном х
b – свободный член.
Прежде чем решать это уравнение рассмотрим несколько примеров, обращая при этом
внимание на определенные выше понятия:
Пример 1:
3х-5=10-2х
3х+2х=10+5
5х=15; а=5, b=15.
х=3
уравнение имеет единственный корень х=3.
Пример2:
2(х-1)+1=3-(1-2х)
2х-2+1=3-1+2х
2х-2х=2+1
0  x  3 а=0, b=3. х
Это уравнение не имеет корней, т.к. левая часть 0  x при любом х равна нулю, а значит не
равна 3
Пример3:
2(х-1)+1=2-(3-2х)
2х-2+1=2-3+2х
2х-2х=1-1
0  x  0 а=0, b=0. хR
Это уравнение имеет множество корней, т.к. левая часть 0  x при любом х равна нулю.
Примеры:
x3
1
1
x 1
 1  x  (3  x) 
1)
6
3
2
3
x 1 x 1


8
2 1
2
4

3)
3
9
2
1
1
1
5) 2 x  1  1 (3  2 x)  1 x
3
4
6
2
2
7) a x  ax  2  2
5  2t 3(t  6) 1

 (t  1)
5
2
5
x3 1 2 x 5 x



4)
7
14
2
5
2) 0,3 
6) ax  a
8)
3ax  5
3a  1 2 x  7


a  1x  3 a  1 x  3
9) Указать, при каких значениях параметра а уравнения имеют бесконечно много
решений:
3a
a
a
2a




x  a x  2a x  a x  2a
 6ax  1  a  2a  x  7
 0,55x  1  4,5  2ax  2
10) Указать, при каких значениях параметра а уравнения не имеют решений:
x5 a x


x7 x7
 2a  2x  ax  3
 a 2 x  a x  2  2
8  5x

 2a
2 x
11) При каком значении параметра а уравнение аx  4  3x имеет корень, равный 8?
12) При каком значении параметра а прямая y  аx  3 проходит через точку А(-2; 9)?
13) При каком значении параметра b прямая y  3x  b проходит через точку А(-1; 5)?
Квадратные уравнения
При решении квадратного уравнения ах2+bx+с=0(а0) возможны следующие случаи:
b D
b D
х2 
2а
2а
b
2) D=0, х1, 2  
2a
3) D0, корней нет.
Решить уравнения:
1) 2х2+5х-1=0
2) х3-5х2+6х=0
3) 6(3-х2)=13+5(1-х2)
( х  1) 2 ( х  2) 2

4
4)
4
5
5) (2х+10)2=4(х+5)2
1) D0, х1 
Дробно-рациональные уравнения
Px   0,
P x 
0
Q x 
Qx   0.
Пример 1.
Решить уравнение
x 1
4x  1
10
 2
 2
2
2 x  3x 4 x  6 x 4 x  9
Решение:
Приравняем к нулю
x 1
4x  1
10
 2
 2
0
2
2 x  3x 4 x  6 x 4 x  9
Приведем к общему знаменателю
6) х6-5х3+4=0
7) (х2+х)2-8(х2+х)+12=0
х2  3 2
3
)  4( х  )  5  0
8) (
х
х
9) (х-4)(х-5)(х-6)(х-7)=1680
x 1
4x  1
10


0
x(2 x  3) 2 x(2 x  3) (2 x  3)( 2 x  3)
22 x  3 x  1  2 x  34 x  1  2 x  10
0
2 x2 x  32 x  3
4 x 2  6 x  4 x  6  8 x 2  12 x  2 x  3  20 x
0
2 x2 x  32 x  3
 4x 2  9x
0
2 x2 x  32 x  3
Полученное уравнение равносильно системе
 4 x 2  9  0,
решая которую, получаем

2 x2 x  32 x  3  0;
 x  3
2
 1
 x   3
2
 2

, таким образом система не имеет решений, а значит и исходное уравнение не
 x  0

 x  3
2


 x3
2

имеет корней.
Ответ : корней нет.
Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений
1. _______________________________________________________________________
2. _______________________________________________________________________
3. _______________________________________________________________________
4. _______________________________________________________________________
5. Записать ответ
Решить уравнения
3.
5
7.
1.
x
x4
7 x  3,5


 0,
x  4 2 x  6 x  3x  4
2.
14
3
5
 2
 2
 0,
2
4v  1 4v  4v  1 4v  4v  1
9 x  5 12 x  1 9  108 x  36 x 2


,
3x  1 2  6 x
4 9x 2  1

6
2
x4

2
,
x 1
x 1 x 1
2
3
2x  1
2x  1

 2
,
x  2 x  1 x  3x  2
4.

6.
3
2x  1
2x  1

 2
.
x  2 x  1 x  3x  2
4
3
12
1


 ,
2
x2 x2 4x
7
8.
4
1
5 2 ,
x
x
Системы линейных уравнений
a1 x  b1 y  c1,

a 2 x  b2 y  c2 .
a1 b1
(т.е., если коэффициенты при неизвестных не пропорциональны), то

a2 b2
система имеет единственное решение (координаты точки пересечения прямых).
a
b
с
2. Если 1  1  1 (т.е. если коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но
a 2 b2 с2
не пропорциональны свободным членам), то система не имеет решений (прямые
параллельны).
a
b
с
3. Если 1  1  1 (т.е. если коэффициенты при неизвестных пропорциональны и
a 2 b2 с2
пропорциональны свободным членам), то система имеет множество решений
(прямые совпадают).
1. Если
Исследовать и решить системы:
4 x  5 y  6,
Пример 1. 
5 x  y  7.
4 5
, то система имеет единственное решение.
Т.к. 
5 1
Решение.
Метод подстановки:
 в одном из уравнений системы одну из переменных выразим через другую,
например
y  5x  7

полученное выражение подставим в другое уравнение системы
4 x  55x  7  6
Получаем систему:
 y  5 x  7,
 y  5 x  7,
 y  5 x  7,
 x  1,




4 x  55 x  7   6; 4 x  25 x  35  6; 29 x  29;
 y  2.
Ответ: (-1,2).
Метод исключения неизвестной:
 в обоих уравнениях системы уравнять коэффициенты при одной из неизвестных
(второе уравнение системы умножить на 5)
25 x  5 y  35;

если при этом коэффициенты равны по модулю, но противоположны по знаку, то
уравнения следует суммировать; если же коэффициенты равны и по модулю, и по
знаку – то из одного уравнения следует вычесть другое
4 x  5 y  6,
29 x  29
 x  1,



25 x  5 y  35; 5 x  y  7;  y  2.
Ответ: (-1,2).
Пример 2.
2
x

3
y

3,


 6 x  8 y  10;
2
3 3


 система не имеет решений.
6
9 10
Ответ: решений нет.
Исследуем систему:
Пример 3.
 x  2 y  2,
1
2
2


 система имеет множество решений.

2 4 4
 2 x  4 y  4;
Чтобы записать множество упорядоченных пар, являющихся решением системы,
необходимо:
1. выразить в одном из уравнений системы одну переменную через другую;
2. вторую переменную считать любым действительным числом.
x  2  2 y, y  R
Ответ: 2  2 y, y , y , y  R.
Самостоятельно исследовать и решить системы:
2 x  3 y  3,
2 x  7 y  1,
4 x  2 y  3,
1. 
2. 
3. 
7 x  5 y  16;
2 x  y  4.
21y  6 x  3;
Найдите решения систем уравнений:
4 x  y  17,
1. 
5 x  7 y  27;
 x  y  4,
4. 
 x  y  2;
12 x  4 y  4,
2. 
3x  y  1;
2 x  5 y  15,
5. 
 x  2 y  3;
5x  2  y  1,
7. 
43x  4  32 y  5  55;
1
 4 x  y  5,
9. 
10.
 1 x  1 y  3;
 2
7
 x  6 2x  y  y  1

,
 4 
5
3
11. 
 x  1  2 y  5  1  y;
 3
5
 x  2 y  4,
3. 
 2 x  4 y  1;
3x  5 y  21,
6. 
2 x  y  1;
1
1
 x  y  1,
8.  2
3
3x  5 y  3;
1

3 x  2 y  2 ,

4 y  x  2 ;

3
x  y  4 x  y  4

 9,

5
7
12. 
 x  y  4  x  y  5  1;

5
7
3 2
 x  y  21,

13. 
 5  4  13;
 x y
16.
 x  y  3,
 x  2 y  4,
14.  2
15.  2
 x  xy  3;
 x  4 y  0;
 8x  1
 y  1  6,

13 y  1  22;
 2 x  1
Системы нелинейных уравнений
При решении систем рациональных уравнений наряду с уже известными методами
подстановки, исключения неизвестной и графическим применяются метод разложения на
множители, замены переменных и другие. Рассмотрим их.
Метод подстановки. Основная идея состоит в выражении одного неизвестного через другие и
подстановки его в оставшиеся уравнения системы. Если сразу выразить одно неизвестное через
другие затруднительно или подстановка такого выражения приведет к сложному уравнению, то
предварительно преобразовывают уравнения системы.
Пример 1. Решить систему уравнений
 x  y  1,
 2
2
 x  y  41.
Решение: Выразив х из первого уравнения системы и подставив во второе, получим
равносильную систему
 x  y  1,
 2
2 y  2 y  40  0.
Из второго уравнения системы находим два значения у: y1  4 и y 2  5.
Из первого уравнения получим: x1  5 и x2  4.
Ответ: (5; 4), (-4; -5).
Самостоятельно решить системы:
2 x 2  xy  3 y 2  7 x  12 y  1  0,
 xy  2,
2 x  y  7,
1. 
2.  2
3.

2
 xy  6;
 x  y  1.
 x  y  5.
Если выражениями, входящими в уравнения системы, являются многочлены второй
степени относительно переменных х и у, то метод решения такой системы состоит в замене ее
такой равносильной системой, в одном из уравнений которой переменные х или у входят в
первой степени или отсутствуют вообще.
Пример 2. Решить систему уравнений
2
2

3 x  2 y  3 x  5 y  3,

2
2

4,5 x  3 y  3 x  8 y  7.
Решение: Умножим первое уравнение системы на 3, второе – на 2. Получим систему,
равносильную исходной
2
2

9 x  6 y  9 x  15 y  9,
 2
2

9 x  6 y  6 x  16 y  14.
Вычитая из первого уравнения полученной системы второе, найдем
y  3x  5, откуда y  5  3 x.
Подставляя найденное выражение у через х, например, в первое уравнение системы,
получим
2
3x 2  25  3x   3x  55  3x   3,
12
7.
1
Тогда y1  1 , y 2   .
7
 12 1 
Ответ: 2;1 ,  ; .
 7 7
откуда x1  2,
x2 
Самостоятельно решить системы:
2
2
2

 x  xy  3 y  x  4 y  11,
1.  2
2.
2

2
x

2
xy

y

2
x

2
y

7
.

 xy  x  y  7,
3. 
 xy  x  y  13.
2
2

 x  y  2 x  23  2 y,
 2
2

2 x  2 y  5 y  27  3x.
III.
Метод замены переменных
В результате замены переменных должна получиться система, состоящая из более
простых уравнений относительно этих переменных.
Пример 8. Решить систему уравнений:
1
 1
 x  y  x  y  2,


 3  4  7.
 x  y x  y
1
1
Решение: Обозначим
 a,
 b.
x y
x y
Исходная система свелась к следующей:
a  b  2,
решив которую, найдем значения a и b.

3a  4b  7;
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
________________________________________________________
Возвращаясь к старым переменным, получим систему:
 1
 x  y  1,


 1  1.
 x  y
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Ответ:________________________________
Самостоятельно решить системы:
1 1 5
 xy  x  y  11
x  y  6 ,
 x  y  2 xy  7,


1. 
2. 
3.  x 2 y  y 2 x  30;
 xy  2x  y   8;
 1  1  13 ;
 x 2 y 2 36
Решить системы уравнений
 x  y  7,
1. 
 xy  12;
 y 2  x 2  17,
2. 
 y  3x  1  0;
 x  y  20
5. 
 xy  8;
2
2
 x  y  7,
3x  y  2,

3.  2
4. 
6
 x  xy  6 y  4;
 y  x ;
1 1 3
x  y  2,
 x  y  100,

6. 
7. 
 xy  48;
 1  1  5;
 x 2 y 2 4
2
2
 x  y  xy  11,
8. 
 x  y  xy  1;
1 1 1
 x  y  8,
 x  y x  y 13

 ,
 x  y  36 ,


9.  x y 50 10. 
11.  x  y x  y 6
y  x  7 ;
 xy  5;
 xy 2  x 2 y  324;



Неравенства
Решая неравенства, заменяют данное неравенство другим – более простым, но
равносильным данному. При этом используются свойства неравенств:
1. К обеим частям неравенства можно прибавить или отнять одно и то же число или
выражение.
2. Слагаемые можно переносить из одной части неравенства в другую с
противоположным знаком, при этом знак неравенства не меняется
х+5>2
3x + 5 ≤ 2x - 1
x>2–5
3x – 2x ≤ -5 - 1
x > -3
x ≤ -6;
3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число,
отличное от нуля; если это число положительное, то знак неравенства не меняется, а если это
число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный
3x ≥ 9
-2x < 6
3x 9
 2x
6


3 3
2
2
x≥3
x > -3.
Линейные неравенства
1. 7 x  1  16x  1  2
3 x 13 1
  4 x  3
2
8 6
5x 6 x  1 4 x  1 1



5.
4
8
12
6
3. 4 
3  2x
5x  2
8
x
5
2
3x
1
2
 2
9.
x 1 2
x 1
11. 3  2 x  5.
7.
1

2. 8  x   7 x    2 x
7

2x  1 2  x

2
4.
5
3
3x
4x  3 5
3 

6. 
2
6
8
x  1 5 x  4 3x  2


8
6
3
4
10. 5x  3  7
8.
Квадратные неравенства
Метод интервалов
Решить неравенство x 2  2 x  3
1. Сравнить выражение с нулем
2. Приравнять к нулю и решить
x 2  2x  3  0
x1  1; x1  3;
полученное уравнение
3. Полученные корни отметить на
числовой прямой и определить знаки
на полученных интервалах
4. Записать ответ
Решая квадратные неравенства при определении знаков удобно использовать графические
представления.
1. x  1x  1  0
3. x 2  x  1  0
5. x 2  16
4. 5 x  x 2  0
6. x 2  5 x  6
2. x  x 2  2  0
7.  x 2  5 x  6  0
8.
 3x 2  7 x  2  0
2
9.  x  2   25
Рациональные неравенства
Рациональные неравенства обычно решают методом интервалов, алгоритм
которого мы использовали при решении квадратных неравенств.
Пример 1. Решить неравенство
1
1
1


x  2 x 1 x
Сравним с нулем
1
1
1

 0
x  2 x 1 x
Приведем к общему знаменателю выражение в левой части неравенства
xx  1  xx  2  x  1x  2
0
x  2x  1x
Раскроем скобки и приведем подобные
x 2  x  x 2  2x  x 2  2x  x  2
 0,
x  2x  1x
x2  2
0
x  2x  1x
Приравняем к нулю
 x 2  2  0,
x2  2
0
x  2x  1x
x  2x  1x  0
Решая систему получаем
 x   2

  x  2

 x  0

 x  2
 x  1

Отметим полученные точки на числовой прямой с учетом области
допустимых значений и определим знаки на интервалах
Ответ:____________________________________________________________
Пример 2. Решить неравенство
 x  6 2  x  4   0
2  x 5
x  62  0,
x  6 x  4  0   x  4  0,

2  x 5

5
2  x   0
 x  6 2  0
2
x  6  0,
 x1, 2,3  6
 x  6  0,
x  6x  6  0  
x  4  0  x4  4 ;
2  x 5  0  x1,2,3,4,5  2
Ответ:_________________________________________________________________
Решить неравенства:
x  3x  2  0; 3. x  23  x   0 ; 4. x  13  0;
x4
1.
 0; 2.
1 x
x  9
x  3x  5
x  12
5.
x  63 x  4  0;
7  x 5
6.
x  84 1  x 3
x  5x  22
 0; 7.
x  83 x  48  x 5
x  45 x  52
 0;
x 2  6x  7
1  2 x  3x 2
1
x  7 3x  1
10.
; 9.

 0;

2
;
 0; 11.
2
2
x 1
x5
2
x 1
3x  x  5
14 x 9 x  30
5x  4 2  x
x 1 x 1

; 13.

 0; 14.

 2;
12.
x 1
x4
3  x 1 x
x
x 1
x 2  2x  1
1
1
1

 ; 16.
x.
15.
x  2 x 1 x
x 1
8. x  3 