Задачи на движение протяженных тел

Борисова Н.В., учитель математики
Методические рекомендации обучения учащихся решению заданий с кратким
ответом по теме «Решение текстовых задач на движение» в условиях новой формы
итоговой аттестации за курс средней (полной) школы
Начиная с 2003 года, в экзаменационные материалы ЕГЭ по математике
включаются текстовые задачи. Так, в задании В13 ЕГЭ-2013 нужно уметь строить и
исследовать простейшие математические модели.
Требования, проверяемые заданием В13 экзаменационной работы:
Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и
неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием
аппарата алгебры.
Алгоритм решения текстовых задач
o Ввод переменных, т.е. обозначение буквами x, y, z,... величин, которые нужно
найти по условию задачи.
o Перевод условий задачи на язык математических соотношений, т.е. составление
уравнений, неравенств, введение ограничений.
o Решение уравнений или неравенств.
o Смысловая проверка полученных решений.
Указания к решению текстовых задач
o Набор неизвестных должен быть достаточным для перевода условий задачи на
язык математических соотношений. Как правило, за неизвестные следует
принимать искомые величины.
o Выбрав неизвестные, в процессе перевода условий задачи в уравнения или
неравенства необходимо использовать все данные и условия задачи.
o При составлении уравнений или неравенств необходимо исходить из требования о
решении задачи в общем виде.
o В составленных уравнениях надо проверить размерность членов уравнений.
o В процессе решения задачи, надо избегать результатов, противоречащих
физическому смыслу.
Решение текстовых задач на движение
Текстовые задачи на движение условно можно разбить на следующие основные группы:
o
o
o
o
o
по прямой (навстречу и вдогонку)
по замкнутой трассе
по воде
на среднюю скорость
протяженных тел
Основные соотношения
o
o
o
o
v=ts - скорость движущегося объекта прямо пропорциональна пути s и обратно
пропорциональна времени t.
t=s0 /(v1+v2) - время, за которое два объекта движущиеся навстречу друг другу со
скоростью соответственно v1 и v2 преодолевают начальное расстояние s0 .
t=s0 /(v1−v2) - время, за которое два объекта движущиеся в одном направлении со
скоростью соответственно v1 и v2 (v1 v2) преодолевают начальное расстояние
между ними, равное s0 и первый объект догонит второго.
v по течению−v против течения=2vр - разность скоростей по течению и против течения реки
равна удвоенной скорости течения.
Задачи, связанные с движением двух тел удобно решать, если занести исходные
данные в таблицу:
1 объект
2 объект
Скорость v
Время t
Расстояние s
v=s/t
t=s/v
s=vt
После внесения данных, нужно составить уравнения, содержащие искомую
величину, исходя из условий задачи.
Задачи на движение по прямой (навстречу и вдогонку)
В задачах на движение есть две стандартные модели: движение навстречу друг
другу и движение вдогонку.
В первой модели рассматривается совместная скорость сближения, как сумма
двух скоростей и поэтому время сближения считается так: t=S/(v1+v2) . Во второй
модели время, за которое объект, идущий сзади с большей скоростью v1 , догонит
другой объект, идущий с меньшей скоростью v2 , считается так: t=S/(v1−v2) , где S расстояние между объектами в начальный момент времени.
З а д а ч а 1 . Из городов А и В , расстояние между которыми 480 км, навстречу
друг другу выехали два автомобиля. Из города А со скоростью 55 км/ч, а из города В
со скоростью 65 км/ч. Найдите расстояние от города А до места встречи.
Р е ш е н и е : Время до встречи считается по формуле t=S/(v1+v2) и равно 4 часа.
Расстояние от города А до места встречи равно
S=4х55=220 км.
О т в е т: 220 км.
Пример задачи из Открытого банка заданий по математике ЕГЭ -2013
Задание B13 (№ 99592)
Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист.
Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а
встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A
велосипедист?
З а д а ч а 2 . Два пешехода отправляются из аптеки в одном направлении на
прогулку по набережной. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго.
Найдите время в минутах, когда расстояние между ними станет 200 м.
Р е ш е н и е : Время в часах, за которое расстояние между ними будет равно 200 м=
0,2 км, считается по формуле t=S/(v1−v2) , t=0 2:0 5=0 4 часа. Значит, через 24 минуты
расстояние между ними будет 200 м.
О т в е т: 24 мин.
Пример задачи из Открытого банка заданий по математике ЕГЭ -2013
Задание B13 (№ 99595)
Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же
места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости
второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300
метрам?
Задачи на движение по замкнутой трассе
Движение по замкнутой трассе (допустим, по стадиону) похоже на движение
вдогонку: если два бегуна начинают двигаться по окружности одновременно с
разными скоростями соответственно v1 и v2 (v1 v2), то первый бегун приближается ко
второму бегуну со скоростью v1−v2 и в момент, когда первый бегун догоняет второго
бегуна, то первый бегун как раз проходит на один круг больше второго. И поэтому
время считается так: t=S/(v1−v2)
З а д а ч а . Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 16 км, в одном
направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч
и через 40 минут после старта, он опережает второй автомобиль ровно на один круг.
Найдите скорость второго автомобиля.
Р е ш е н и е : Примем скорость второго автомобиля за x км/ч и учтем, что 40 минут
составляют 2/3 часа, тогда 16/(80−x)=32, значит
160−2x=48 и x=56 .
О т в е т: 56 км/ч.
Пример задачи из Открытого банка заданий по математике ЕГЭ -2013
Задание B13 (№ 99598)
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном
направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и
через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите
скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Задачи на движение по воде
В задачах на движение по воде скорость реки считается постоянной и неизменной.
При движении по течению скорость реки прибавляется к собственной скорости
плывущего тела, так как скорость реки помогает двигаться телу. При движении против
течения от собственной скорости вычитается скорость реки (реально собственная
скорость тела больше скорости реки), так как в этом случае скорость реки мешает
движущемуся телу. Скорость плота считается равной скорости реки.
Скорость перемещения тела v по воде, при скорости течения реки vр и собственной
скорости движения vс, выражается:
vпо течению=vс+vр при движении тела по течению реки.
v против течения=vс−vр при движении тела против течения реки.
З а д а ч а . Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч,
проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость
течения равна 3 км/ч, стоянка длилась 5 часов, а в исходный пункт теплоход
возвращается через 30 часов после отплытия из него. Определить сколько километров
теплоход прошел за весь рейс.
Р е ш е н и е : Заполним таблицу данными из условия задачи. Пусть расстояние от
исходного пункта до стоянки х км.
по течению
против
течения
Скорость v
vпотечению=28
В р е м я t (t=s/v )
tпотечению=x/28
vпротивтечения=22
tпротивтечения=x/22
Расстояние s
x
x
Зная, что стоянка длилась 5 часов, а на весь путь затрачено 30 часов,
составим уравнение: x/28+x/22+5=30 .
Решая его, получим x=308 . Тогда искомый путь 308х2=616 км
О т в е т : 616 км.
Пример задачи из Открытого банка заданий по математике ЕГЭ -2013
Задание B13 (№ 99601)
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению
реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч,
стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов
после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
Задачи на определение средней скорости движения
Средняя скорость. Если S - путь пройденный телом, а t – время, за которое этот путь
пройден, то средняя скорость вычисляется по формуле: v=S/t Если путь состоит из
нескольких участков, то для нахождения средней скорости на всем пути, надо весь
пройденный путь разделить на сумму времени, затраченного на каждый участок пути.
Например, если путь состоит из трех участков s1 , s2 , s3 , скорости на которых были
соответствен о равны v1 , v2 , v3 , то s=s1+s2+s3 и t=t1+t2+t3, тогда средняя скорость на
всем пути находится по формуле: v=S/t .
З а д а ч а . Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую
треть - со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть - со скоростью 24 км/ч. Найдите
среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути.
Р е ш е н и е : Пусть весь путь равен 3 S , тогда первую треть трассы велосипедист
проехал за время t1=s/12 , вторую треть - за время t2=s/16 , последнюю треть - за время
t3=s/24 . Значит, время потраченное на весь путь находится так t=t1+t2+t3,
s/12+s/16+s/24=9s/48 ,и поэтому средняя скорость вычисляется так v=3s/ (
9s/48)=16 км/ч.
О т в е т : 16 км/км.
Пример задачи из Открытого банка заданий по математике ЕГЭ -2013
Задание B13 (№ 99607)
Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со
скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю
скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Задачи на движение протяженных тел
В задачах на движение протяжных тел требуется определить длину одного из
них. Наиболее типичные ситуации: определение длины поезда проезжающего мимо:
придорожного столба;
идущего параллельно путям пешехода;
лесополосы определенной длины;
другого двигающегося поезда.
Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние равное его длине.
Если поезд движется мимо протяженной лесополосы, то он проходит расстояние
равное сумме длины самого поезда и лесополосы.
З а д а ч а 1 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо
придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.
Р е ш е н и е : Зная скорость движения v = 60 км/ч = 1000 м/мин и время, за которое
он проезжает мимо столба t = 30 сек. = 1/2мин, можно найти длину поезда как
пройденное расстояние s=vхt=1000х1/2=500м.
О т в е т : 500 м.
З а д а ч а 2 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо
лесополосы, длина которого 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах.
Р е ш е н и е : Зная скорость движения v = 90 км/ч = 1500 м/мин и время, за которое
он
проезжает мимо лесополосы длиной 800
метров
за t = 1мин, можно
найти длину поезда как пройденное расстояние
s=vхt=1500х1=1500 минус длина
лесополосы 800 метров и получим длину поезда равную 700 метра.
О т в е т : 700 м.
Пример задачи из Открытого банка заданий по математике ЕГЭ -2013
Задание B13 (№ 99608)
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного
столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Задание B13 (№ 99611)
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют
пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и
30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского
поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте.
Ответ дайте в метрах.
Заключение
Закончив исследование текстовых задач, рассмотрев методы работы (решения) над
задачами и определив общие модели решения, можно сделать некоторые выводы и дать
рекомендации, которые необходимо знать при сдаче ЕГЭ.
При решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать
в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что
приводит к более короткому решению. Если после составления уравнений, полученная
система не решается, то необходимо попробовать выбрать другие неизвестные.
Количество неизвестных не имеет значения, правильное составление системы превыше
всего. Также, нужно обращать особое внимание на единицы измерения – в течение всего
решения они обязательно должны быть одинаковыми.
Для преобразования условия задачи в математическую модель математические
знания практически не нужны – здесь необходим здравый смысл. Очень важно
обязательно сформулировать, используя переменные, что нужно найти, т. к. переменных
может быть намного больше, чем уравнений, где все их найти просто невозможно.
Решая системы нужно помнить, что в текстовых задачах все величины, как правило,
положительны.
Изучение текстовых задач происходит в основной школе, но рассматриваются они
недостаточно глубоко, таким образом, приобретённые в основной школе навыки и знания
решения текстовых задач со временем теряются. Исходя из этого, для того, чтобы
достойно сдать ЕГЭ, а именно, верно решить текстовые задачи, необходимо рассмотреть
классификации этих задач, систематизировать и ликвидировать пробелы в знаниях по
математике.