Линейные однородные дифференциальные уравнения второго

Козельский филиал
Дмитровского государственного
политехнического колледжа
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«МАТЕМАТИКА»
конспект лекций
для студентов КФДГПК
очного отделения
по специальности
151001 «Технология машиностроения »
2 курс
выполнила
преподаватель КФДГПК
Михайлян Е.И.
Козельск 2008 год
1
Рассмотрено
на заседании ЦК ОГСЭ и МЕД
протокол №
Председатель ЦК
«Утверждаю»
заместитель директора
КФДГПК по учебной работе
от
Мартыненко Т.Ф.
Денисов С.В.
«-----« ---------- 2008 г.
Методическая разработка выполнена
преподавателем КФДГПК
Михайлян Е.И.
Рецензент: Кузина Е.В.
преподаватель КФДГПК
2
С О Д Е Р Ж А Н И Е:
Стр.
1. Оглавление …………………………………………………………………….. 3
2. Пояснительная записка …………………………………………………………4
3.Понятие функции. Предел функции ……………………………………………5 - 9
4.Производная функции и ее приложения ………………………………………10-15
5.Исследование функции при помощи производной функции ………………..16-21
6.Дифференциал функции и его приложения …………………………………..22-25
7.Неопределенный интеграл и его свойства. Методы интегрирования ………26-33
8.Определенный интеграл и его геометрический смысл ………………………34-37
9.Приложения интеграла …………………………………………………………38-40
10.Дифференциальные уравнения 1-го и 2- го порядка ………………………...41-50
11.Числовые ряды. Сходимость ряда…………………………………………….51-56
12.Элементы комбинаторики и теории вероятности…………………………...57-66
13. Заключение……………………………………………………………………..67
14.
Литература ……………………………………………………………………68.
3
Пояснительная записка
Данное методическое пособие рассчитано на студентов очного отделения КФДГПК
по специальности 151001 «Технология машиностроения», обладающих базовыми
умениями и навыками математики.
Настоящее пособие предназначено для оказания
практической помощи учащимся колледжей при подготовке к занятиям по дисциплине
«Математика».
Основной задачей данного методического пособия является изложение учебного
материала в доступной для студентов колледжей форме, сохраняя при этом научную
основу содержания, логику изложения. В нем в наиболее простой и наглядной форме
объясняются основные понятия.
Изучением дисциплины достигается знание функций как важнейшего математического
объекта средствами алгебры и прикладного значения общих методов математики,
связанных с исследованием функций, подготовки необходимого аппарата для изучения
геометрии и физики.
Методическое пособие включает в себя необходимый материал для теоретического
изучения данной дисциплины.
Данное пособие содержит лекционный материал по темам, в которых в сравнительно
сжатой и доступной форме изложен необходимый для изучения материал. В начале
каждой лекции дана установочная цель, которая ориентирует студентов, что они должны
познать. Затем приведены вопросы для самоконтроля, помогающие понять насколько
студенты овладели данным материалом. В конце методической разработки дано
заключение, которое подводит итог изученного материала, а затем рекомендована
необходимая литература.
Учитывая требования ГОСТа и Рабочей Программы по дисциплине « Математика »
студентам рекомендуется:
- применять аппарат математического анализа (таблицы производных и
первообразных, формулы дифференцирования, указанные в программе, правила
вычисления первообразных) для нахождения производных, первообразных и
простейших определенных интегралов;
- исследовать элементарные функции с помощью элементарных приемов и методов
матанализа, строить на основе такого исследования графики функции;
- вычислять площади криволинейных трапеций и объемы простейших тел вращения
при помощи определенных интегралов;
- решать прикладные задачи с использованием элементов
дифференциального и интегрального исчисления;
- решать простейшие дифференциальные уравнения в
частных производных;
- находить значения функции с помощью ряда Маклорена;
- решать простейшие задачи, используя элементы теории
вероятности;
- находить функцию распределения случайной величины;
- использовать метод Эйлера для численного решения
дифференциальных уравнений;
- решать обыкновенные дифференциальные уравнения.
4
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.
Цель: 1. дать понятие о числовой последовательности;
2. дать понятие б. м. И б. б. величин;
3. понятие предела, теоремы о пределах;
4. дать определение функции, ее монотонности и непрерывности;
5. научиться находить предел функции, замечательные пределы.
Абсолютная величина.
Абсолютной величиной числа а называется само число а, если оно положительно
или нуль, и число - а, если а отрицательно.
Свойства абсолютных величин:
1. Абсолютная
величина алгебраической суммы меньше или равна сумме
абсолютных величин слагаемых.
2. Абсолютная величина разности двух чисел больше или равна разности
абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого.
3. Абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин делимого и
делителя.
4. Абсолютная величина произведения конечного числа сомножителей равна
произведению их абсолютных величин.
Понятие о последовательности чисел.
1
Числовой последовательностью называется занумерованное множество чисел,
расположенных в порядке возрастания номеров.
а1, а2, а3, … аn,
где аn - общий член последовательности.
Последовательность можно задать:
1 формулой общего члена;
Зная формулу общего члена последовательности можно найти любой ее член
2n ;
n
n
n + 1 ; 2n ;
2. рекуррентной формулой;
an = 2 n * an – 1
В математике и в ее приложениях встречаются величины постоянные и переменные.
А - const - постоянная величина,
Х - переменная величина - движется по координатной прямой
Х
0
А
Х
Закон изменения переменной величины можно задать последовательностью числовых
величин.
Переменные могут изменяться: а) скачкообразно 2n
б) монотонно n + 1 ( убывает или возрастает )
Переменные делятся на: а) ограниченные;
б) неограниченные.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Переменная величина У называется ограниченной, если, начиная
с некоторого ее значения, выполняется неравенство:
У < М,
где М –
какое – либо постоянное положительное число.
5
Например:
tg х
при
- 450 < х < 450
- 1 < tg x < 1
00 < tg x < 900
при
т.е. tg х < 1
неограничен
tg x = sin x
т.е. tg x > N,
где N – любое положительное число.
сos x
2. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Б.М. величина.
Пусть х - переменная величина,
составим последовательности переменной:
1, 1\2, 1\3, 1\4, 1\5, ….
или
-1, -1\2, -1\3, -1\4, -1\5, …..
По мере увеличения номера места, занимаемого членами этой последовательности
абсолютная величина переменной х уменьшается, и какое бы малое положительное
число Е ни выбрали, в каждой из этих последовательностей найдется число, начиная с
которого абсолютная величина значений х будет меньше выбранного Е.
Например: Е = 0,001
|х| < Е
В этом случае говорят, что величина х неограниченно приближается к нулю, или
стремиться к нулю т.е. х --- 0
Геометрически:
0
А
-1
-1\2 –1\3 –1\4 –1\5 1\5 1\4 1\3 1\2
1
изменение абсциссы т. А.
ОПР. Переменная величина х называется бесконечно малой ( б.м. ), если она
изменяется так, что какое бы малое положительное число Е ни взять х становится и при
дальнейшем изменении величины х остается меньше Е.
Нуль исключение из всех постоянных величин. Нуль всегда меньше любого сколь
угодно малого положительного числа, поэтому нуль относится к б. м. величинам.
Б.Б. величина.
Пусть у - переменная величина,
составим последовательности переменной: 2, 3,
4, 5, ….
или –2, -3, -4, -5, ….
С увеличением номера места, занимаемого членами последовательностей, абсолютная
величина у возрастает. Предположив, что это процесс возрастания идет неограниченно,
тогда, какое бы большое положительное число В ни взяли, в любой из этих
последовательностей найдется член, начиная с которого все последующие члены по
абсолютному значению больше В.
Геометрически:
-5 -4 -3 -2
0
2 3 4 5
Изменение величины у можно представить изменение абсциссы точки, удаляющейся
в бесконечность по координатной оси.
ОПР. Переменная величина у называется бесконечно большой (б.б.в.), если она
изменяется так, что какое бы большое положительное число В ни взять, у становится и
при дальнейшем изменении величины у остается больше В.
Связь между б.м. и б.б. величинами:
1. если у – б.б.в., то обратная ей величина 1 \ у - б.м.в.
2. если х - б.м.в., то обратная ей величина 1 \ х - б.б.в.
3.
Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах.
Пусть переменная х стремится к 3
или
3,1; 3,01; 3,001; …
2,9; 2,99; 2,999; …
6
В этих случаях абсолютная величина разности
| х–3 | > 0
| х - 3 | =
0,1; 0,01; 0,001; …
> 0.
т.е. разность х - 3 есть величина б.м., а число 3 в данном примере - предел
переменной х. Предел обозначается lim. ( фр. , что означает предел).
Т.е. lim х = 3 или х
3
ОПР.
Постоянная В называется пределом переменной х, если разность между
есть б.м. в., т.е. lim х = В, если | х – В | = а
т.е. х = В + а
lim а = 0
Если переменная х неограниченно возрастает, то она стремится о--о ,
т.е. lim х = о--о
Теоремы о пределах:
Т-1. Переменная величина не может иметь двух различных пределов.
Следствие:
Если две переменные величины, имеющие пределы, при всех своих
изменениях равны между собой, то и равны и их пределы.
Т – 2. Предел суммы конечного числа переменных величин, имеющих пределы, равен
сумме пределов этих переменных.
Т – 3. Предел разности переменных, имеющих пределы, равен разности пределов
этих переменных.
Т – 4. Предел произведения конечного числа переменных, имеющих пределы, равен
произведению пределов этих переменных.
Следствие 1: Предел произведения постоянной величины на переменную, имеющую
предел, равен произведению постоянной на предел переменной.
Следствие 2: Предел степени переменной, имеющей предел, равен той же степени
предела переменной. Предел корня из переменной, имеющей предел, равен корню этой
же степени из предела переменной.
Т – 5. Предел частного от деления двух переменных, имеющих пределы, равен
частному от деления пределов делимого и делителя при условии, что предел делителя не
равен нулю.
4. Понятие функции, ее монотонности и непрерывности.
ОПР.
Переменная у является функцией от переменной х, если задана такая
зависимость между этими переменными когда каждому значению х из области
допустимых значений соответствует однозначное значение у.
Способы задания функции:
1. аналитически;
2. графически;
3. таблично.
Монотонность функции:
Пусть функция у = f (х) определена на множестве {х} и точки х1, х2,
соотношением x1 < x2.
Тогда
(x1 < x2 =
f (x1) < f (x2) ) = f (x) не убывает
{ х } связаны
= f (x) монотонна
(x1 < x2
=
f (x1)
>
f (x2) ) = f (x) не возрастает
7
x1
x1
< x2 = f (x1)
< x2 =
f (x1)
<
>
f (x2)
f (x2)
= f (x) возрастает
= f (x) убывает
= f (x) строго
монотонна
Непрерывность функции.
Пусть {х} - область определения функции f (х), а {х} и любая
окрестность
точки а содержит точки {x}, отличные от а.
ОПР. Функция f (х) называется непрерывной в т. а, если limх -- а f (x) = f (a).
ОПР. Функция f (x) непрерывна в т. а слева если
lim x -- a - 0 f (x) = f (a)
ОПР. Функция f х) непрерывна в т. а справа, если lim x -- a + o f (x) = f (a).
Замечание: если функции непрерывна в т. а справа и слева, то она непрерывна в т.
а.
ОПР. Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности называются
точками разрыва этой функции.
ОПР.
Если функция на данном промежутке непрерывна в любой ее точке, то она
непрерывна на всем этом промежутке.
1 Предел функции. Замечательные пределы.
Число В называется пределом функции y = f (x) в т. хо, если для любой
последовательности значений аргумента ( хn ) сходящейся к числу хо ( х = хn )
последовательность соответствующих значений функции yn сходится к числу В.
B = lim f (x0).
О пределе функции можно говорить только при условии задания предела, к которому
стремится ее аргумент х.
П –1.
limх -- 3 ( х2 - 4 ) = 5.
П – 2.
Найти
х2 + 3х = 5.
2х + 1
Рассмотрим случаи: а) предел делимого не равен нулю, а предел делителя равен нулю
то предел дроби равен бесконечности:
lim
а \ 0 = о--о
или lim а \ о--о = 0
б) предел делимого равен нулю, а предел делителя не равен нулю,
то предел дроби равен нулю.
lim 0 \ а = 0
или
lim о--о \ а = о--о
в) при неопределенностях вида:
lim 0 \ 0
lim о--о \ о--о
необходимы преобразования.
Возможные преобразования: а) применение формул сокращенного умножения;
б) деление не переменную в высшей степени;
в) использование замечательных пределов.
Замечательные пределы:
lim х -- о sin x \ x = 1,
lim х -- о tg x \ x = 1,
lim n --- o--o ( 1 + 1 \ n ) n = e = 2,7
Возможны следующие соотношения, позволяющие переходить от десятичных логарифмов
к натуральным.
Ln N = lg N * 1\0,4343 = lg N * 2,303
lg N = 0,4343 ln N
lg N = ln N \ 2,303.
limx -- 2
8
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
П –1.
limх-4 x2 - 2x + 3 = 16 - 8 + 3 = 11
x3 - x2 + 1
64 - 86 + 1
49
П – 2.
lim х
-- п \ 4
2x
=
2
=
п- x
4(п - п\4)
2
3
П – 3.
lim x -- 3
x4 - 6x2 - 27 = limx -- 3 ( x + 3 ) ( x – 3 ) =
x3 + 3x2 + x + 3
( x2 + 1 ) ( x + 3 )
-6 = -3
10
5
x4 - 6x2 - 27 = ( x + 3 ) ( x – 3 )
П – 4.
limx -- 1
3x4 - 4x3 + x2 = limx -- 1 x2 ( 3x – 1 ) =
( x – 1 )2
x - 1
( x – 1 ) = 3x3 - x2
( 3x4 - 4x3 + x2 )
П – 5.
2 = o--o
0
1 - 3 ) = limx – 1 x2 + x + 1 - 3 = limx – 1 - ( x – 1 ) ( x + 2 ) = -1
1 – x 1 – x3
( 1 – x ) (x2 + x + 1 )
( x – 1 ) ( x2 + x + 1)
x2 + x - 2 = ( x + 2 ) ( x – 1 )
limx
- 1
(
П – 6.
limx –o--o 2x3 - 3x2 + 4 = limx –o--0 2 - 3 \ x + 4 \ x3 = -2
5x - x2 - 7x3
5 \ x2 - 1\ x – 7
7
П – 7.
limx
- 2
П – 8.
limx
- 0
x2 - 5x + 6 = limx – 2 ( x – 3 ) ( x – 2 ) = - 1 = 1
x2 - 12x + 20
( x – 2 ) ( x – 10 )
-8
8
x2 - 5x + 6 = ( x – 3 ) ( x – 2 )
x2 - 12x + 20 = ( x – 10 ) ( x – 2 )
b+x-
b-x
x
П – 9.
limx -
П – 10.
limx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
0
- 0
sin2 x\2
x2
b + x + b - x = limx – 0 b + x – b + x = limx –0 2x = 1
b + x + b - x
x ( b+ x + b – x ) x2 b b
= limx
x2 + 2x = limx
x2 + x
- 0
- 0
x2 = 1
4x2
4
x(x+2) = 2
x(x+1)
ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ:
Дать определение абсолютной величины;
Какие числовые последовательности знаете?
Дать определение функции, непрерывности функции в точке и на промежутке?
Какие теоремы пределов знаете?
Что необходимо знать для нахождения предела функции?
Какие преобразования выражений знаете?
Какие замечательные пределы знаете7
9
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ,
ЦЕЛЬ:
1. дать понятие приращение функции и аргумента;
2. дать определение производной функции и научиться ее находить;
3. рассмотреть составление уравнения касательной и нормали к графику
функции, зная геометрический смысл производной функции;
4. рассмотреть физический смысл производной функции.
1. Приращение функции и аргумента.
Если х 1 = х 2 , то х2 - х1 =
х приращение аргумента х может быть больше
нуля или меньше.
Аналогично у = у2 - у 1 , где у1 - первоначальное значение функции;
у 2 - наращенное значение функции;
у - приращение функции.
Т.е. у = у ( хо+ х) - у (х o).
Например:
Найти приращение функции:
2
у=х
пусть х = х 0 + х
у = ( х о + х ) 2 - хо2 = хо2 + 2 х о х +
х2 - хо2= 2 х о х + х 2
Ответ:
у = 2 х о х + х 2.
П –1. Найти приращение функции: у = 1 \ х
х = х о+ х
у = 1 \ ( х о+ х ) - 1 \ х о = хо - хо - х
- - х
х о( х о + х) = хо2+ хо х
у
М
С геометрической точки зрения:
Мо
у
х
х
ОПР. геометрически приращение аргумента изображено приращением абсциссы точки
кривой, а приращение функции - приращением ординаты этой точки.
Непрерывность функции.
ОПР. функция у (х) называется непрерывной при данном значении х, если бесконечно
малому приращению х соответствует бесконечно малое приращение у т.е.lim х -- 0 у = 0.
П. У
1, если х > 0,
при переходе аргумента через
у =
- 1, если х < 0
точку х = 0 ( слева направо)
1
функция меняет свое значение
Х
с –1 на + 1. следовательно
-1
х = 0 точка разрыва.
Функции могут быть заданы явно и неявно:
Явными, если уравнение, задающие ее разрешимо относительно этой функции
у = 5х2 +1
неявное 5 х 2 - у + 1 = 0.
Функции делятся на 2 класса: а) алгебраические;
б) трансцендентные.
ОПР. алгебраической называется функция над аргументами которой производится
конечное число алгебраических операций.
К трансцендентным функциям относятся: а) показательная у = а х ;
б) логарифмическая у = log a x,
в) тригонометрические у = sin х, cos x, tg x ,
г) обратные тригонометрические arcsin x.
10
2. Производная функции.
ОПР. Производной функции у = f (х) по аргументу х называется предел отношения
приращения функции
у к приращению аргумента х, когда
х 0 и обозначается
y = lim x--0
у
f | ( x ), y | ( x ).
х
Процесс нахождения
производной функции называется
дифференцированием
функции. Раздел матанализа - дифференциальным исчислением.
П – 1 . Найти производную функции у = 2 х 2 + х
1. f ( х o + х ) = 2 ( х 0 + х) 2 + ( х 0 + х )
2.
у = 2 хo2 + 4 хo х + 2 ( х ) 2+ x o + х - 2 хo2 - хo = 4 хo х + 2 ( х )2 + х
3. f |( х ) = lim x--o у \ x =lim x--o (4 хo х + 2 ( х )2 +
х) \ x = limx--o (4х +
+ 2 х + 1 ) = 4х + 1
П – 2. Найти производную функции: у = 1 \ х , при х = 3
1. f ( xo + x ) = 1 \ ( x o + x )
2.
y = 1 \ ( xo + x ) - 1 \ x o = ( xo - x o - x ) \ ( xo + x ) x o =
- x \ ( xo + x ) xo
3. f |(x ) = limx-- 0 - x \ ( xo + x ) xo = - 1 \ x 2
1
f | ( 3 ) = - 1 \ 9.
Правила дифференцирования:
1. ( u + v ) | = u | + v |
2. ( u * v ) | = u | v + u v |
3.
(u\v)| = u|v - u v|
v 2
ТАБЛИЦА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
1. ( С ) | = 0
2. ( С x) | = С
3. ( x ) | = 1 / 2 x
4. ( 1 / x) | = - 1 / x 2
5. ( xn ) | = x n-1
6. ( e x )| = e x
7. ( sin x) | = cos x
8. ( cos x ) | = - sin x
9. ( tg x ) | = 1 \ cos 2 x
10.( ctg x ) | = - 1 \ sin 2 x
11. ( ln x ) | = 1 \ x
12. ( lg x ) | = 0,4343 \ x
13. ( log a x) | = log a e \ x
14. ( a x ) | = a x ln a
15. ( arcsin x ) | = 1 \ 1 – x2
16. ( arccos x ) | = - 1 \ 1 – x2
17. ( arctg x ) | = 1 \ ( 1 + x2 )
18. ( arcctg x ) | = - 1 \ (1 + x2 )
Условие существования производной функции.
Функция может иметь производную при данном значении аргумента только в том случае,
если она непрерывна при этом значении аргумента.
Т. Если функция у = f (х) имеет производную f |( х o)при данном значении х = х o , то
в т. х o функция непрерывна.
11
Понятие о сложной функции.
ОПР. Функция, аргументом которой служит функция называется сложной
функцией.
y = g ( f ( x )),
П. у = ( 4х - 1 ) 3; g = 4х - 1; у = g 3;
у = 1 + х 2, g = 1 + х 2, у = g
х – неизвестная переменная;
g - промежуточный аргумент.
Все эти функции имеют аргумент, зависящий от х, поэтому являются сложными
функциями.
Производная сложной функции :
у |x =
g| ( u ) * f|( х )
Геометрический и физический смысл производной функции.
Угловой коэффициент К прямой, заданной уравнением
у = кх + в называется
еще наклоном прямой, так как это коэффициент определяет наклон прямой к оси абсцисс.
Понятие производной позволяет определить также наклон кривой линии. Но так как
подъем кривой изменяется от точки к точке то,
определение наклона кривой
применительно к данной точке кривой.
ОПР. Под подъемом кривой в данной ее точке
касательной, проведенной к кривой в данной точке.
понимают угловой коэффициент
Т.О. для определения наклона кривой надо уметь по заданному ее уравнению у = f (х) и
координатам ( х; у ) данной ее точки определить угловой коэффициент касательной,
проведенной к кривой в этой точке.
ОПР. Касательной к кривой в т. М называется предельное положение М oTсекущей МoМ
когда т. М, перемещаясь вдоль по кривой, стремится к совпадению с М o.
Если кривая задана уравнением у = f (х), то для проведения касательной к ней в
т. М o ( х o ; у o ) достаточно знать угловой коэффициент касательной.
Придав абсциссе х o т. М o приращение х, перейдем к т. М с абсциссой х o+ х и
ординатой у o+ у = f( хo + х ).
Угловой коэффициент Ксек. = tg в секущей М o М --- из
МNМо
MN y = f ( xo +
x ) - f ( xo )
tg в = y \ x = f ( xo+ x ) – f (xo) \ x
Когда т. М, перемещаясь по кривой, стремится к т. М o , приращение
х ---0
Для нахождения углового коэффициента касательной надо найти lim x-- 0 y \ x.
a - угол наклона касательной к оси ОХ
Ккас. = tg a = lim
x-- 0
y \ x = lim
x-- 0
f ( xo +
x ) - f ( xo)
x
Так как f | ( x o ) = lim x--- 0 y \ x функции у = f ( x ) при х = х 0
Ккас. к кривой заданной уравнением у = f (х), в т. М o ( х o; у o) кривой равен значению
производной f | (х) функции у = f (х) при значении х = хo т.е. Ккас. = f | (х o ).
Т.е. Угловой коэффициент К касательной есть производная в т. х o от ординаты
у = f (х) по абсциссе х
12
П– 1. Найти наклон кривой у = х 3 в т. ( 2; 8 ).
Ккас.= у = 3 х 2
f ( 2 ) = 12
П – 2. Составить уравнение касательной к параболе у = х 2 .
а) в т. М ( 1\2; 1\4 );
б) в начале координат.
Уравнение касательной, проходящей через данную точку М o ( х o; у o).
f(х) = f (х o ) + f | ( х o ) ( х - х o ).
1. f | (х) = 2х;
f | (х o) = f | ( 1\2 ) = 1;
f (х o)= 1\4
f (х) = 1\4 + 1 ( х - 1\2 )
4у - 4х + 1 = 0.
Так как К кас. = 1. то касательная к параболе у = х 2 в т. (1\2; 1\4 ) образует с осью ОХ
угол 45 0.
2. ( х 0; у 0)
(0;0)
f | (0) = 0
f (0) = 0 f(х) = 0
2
т.е. касательная к параболе у = х в ее вершине является ось ОХ.
ОПР. Прямая Мо К , перпендикулярная касательной
нормалью к кривой в т. М о.
Мо Т в т.
М
о
называется
Если а
в, то Ка = Кв.
если а
в, то Ка = - 1\ Кв
Следовательно Ккас. = - 1 \ Кнорм.
А уравнение нормали
f (х) = f (х o ) - 1 \ f (х o ) ( х - х o )
П. Составить уравнение касательной и нормали к кривой
абсциссой х o = 2
1.
f (х o ) = 3
2.
f | (х) = 2 х - 2;
f|(2) = 2
уравнение касательной у = 2х + 1
Ккас. = 2;
Кнорм. = - 1\2
уравнение нормали х + 2 у - 8 = 0.
у = х
2
- 2 х + 3 в т. с
Физический смысл производной функции.
Тело движется прямолинейно по закону S | ( t ) = V ( t ) ,
V ( t ) = S | ( t ).
Если тело движется неравномерно, то скорость с течением времени изменяется и за
промежуток времени получает приращение V .
Величина отношения
v \
t
, показывающая изменение скорости в единицу
времени называется средним ускорением в промежутке времени от t до t + t
Положим
t = 0, тогда t + t = t, а среднее ускорение
v \ t
к величине, которая называется ускорением в данный момент времени t.
a = lim t -- 0
v \ t = v | = s | |.
т.о. Ускорение прямолинейного движения тела в данный момент времени равно
второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.
П.
Тело движется прямолинейно по закону
скорость и ускорение тела через 5 сек.
s = 2 t
2
- t
+ 5.
Вычислите
v = s | = 4 t - 3.
v = 17
a = v | = s | | = 4.
Величина ускорения оказалась постоянной для любого значения времени, значит,
движение точки по заданному закону происходит с постоянным ускорением.
13
Производная неявной функции.
Существует 2 способа :
1. выразить ( если это возможно)
у в явном виде и взять производную функции:
ху - х - 1 =0
у = (х+1) \ х = 1 + 1\х
у | = - 1 \ х 2.
2. либо непосредственно взять производную:
у2 - 8х =0
2уу| - 8 = 0
у | = 4 \ у.
Опр.
Производная n - порядка.
Производная от производной функции n –1 порядка называется производной
n -го порядка.
П – 1.
Решение типовых заданий:
у = 2х3 -4х2 +5х–3
у | = 6 х2 - 8 х + 5
П –2 .
у =(х2 +1) ( 2х+3)
у |= 6 х 2 + 6 х + 2
П-3.
у= 2х
х \ 3
у| = 7\3 6 х
П – 4.
у = 2 \ х - 3 х 1\2 + 4 х 3
у | = - 2 \ х 2 - 3 \ 2 х 1\ 2 - 12 х 2
П – 5.
у = ( х2 + х - 3 ) 4 2 х
у =4(x2 +x–3)3( 2x +1)2x + 2(x2 +x–3)4
П – 6.
у = ( х 3 - 4 х + 1 )3
у | = 3 ( х 3 - 4 х + 1 ) 2 ( 3 х 2 - 4 ).
П – 7.
у =
2х3
6х2 -3
2х3 -3х +4
2
у =
у =
П – 9.
П – 10.
3
( х2 + 1 )
2х \ 3
3
(х2 +1)
f(x) = x2 (x+1)
f (u) =
f |( u ) =
П – 11.
у = а
7\6
- 3х +4
у| =
П – 8.
х = 2х
4х
u \(u2
2
f|(x)= 3x2 + 2x
+ 1 )
( u 2 + 1 ) - 2 u2
(u2 +1)2
у | = 4 а 4х ln a
14
П – 12. f ( x ) = ( cos 2 x – 1 ) sin 2 x
f | ( x ) = - 2 sin 2 x * sin 2 x + ( cos 2 x – 1 ) 2 cos 2 x
П – 13.
y = arcctg ( e x - e –x ) \ 2
у | = - 2 ех \ ( е 2х + 1 )
у | ( 1 ) = - 2 е \ ( е + 1)
П – 14.
Найти
- 1 \ (
у|| - ?
1 – y2
y| = -3x
П – 15.
П – 16.
П – 17.
Найти
у|(1)- ?
arccos y = x 2
* y| ) = 3x2
1 – y2
y | | = 6 x 2 y y - 12 x + 12 x y 2
2 y2 + 1
f ( u ) = ln ( 2 u + a ) \ ( 2 u - a )
f |(u) = -4a \ (4u2 - a2)
f ( u ) = ( e 2u - 1 ) \ ( e 2u + 1 )
f | ( u ) = 4 e 2u \ ( e 2u + 1 ) 2
y = ln ( 2 x +
3x3
+ 1 )
y| = 4 3x3 +1 + 9x2
( 2 3x3 +1 ) ( 2x+ 3x3 +1)
Вопросы для самоконтроля:
1. Дать определение производной функции;
2. В чем заключатся геометрический и физический смысл производной?
3. Дать уравнение касательной и нормали к графику функции.
15
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ И
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА.
ЦЕЛЬ: научиться находить экстремумы функции;
промежутки монотонности;
составлять уравнения асимптот графика функции;
в результате исследования функции строить график функции;
решать прикладные задачи.
1). Монотонность функции:
ОПР. Функция называется возрастающей в данном промежутке значений Х, если при
увеличении аргумента х в этом промежутке соответствующие значения у возрастают и
убывающей, если при увеличении х значение у убывают.
Интервалы, в которых функция либо только возрастает, либо только убывает
называются интервалами строгой монотонности ( не убывает, не возрастает –
интервалы монотонности ).
С геометрической точки зрения: у (х) = ккас. = tg х
у | (х) > 0, то tg х > 0, к > 0.
Когда угол наклона касательной к графику функции острый, функция возрастает.
y | (х) < 0, то tg х < 0, к < 0
когда угол наклона касательной к графику функции тупой, функция убывает.
Т – 1. ( необходимое условие возрастания ( убывания ) функции)
Если дифференцируемая функция на интервале х ] а ; в [ возрастает (убывает)
на данном промежутке, производная функции положительна ( отрицательна ) на данном
промежутке для всех х, принадлежащих этому промежутку.
П – 1 Найти интервалы монотонности функции:
y ( х ) = 1\3 х3 - 4 х + 2
Функция определена и дифференцируема на всей действительной прямой:
1). y | ( х ) = х2 – 4
2). y | ( х ) > 0 при х2 - 4 = 0
y|
+
+
х = 2; х = - 2.
y
–2
2
х
Ответ: функция возрастает на [ - o--o ; -2 ] и на [ 2 ; + o--o ], убывает на [ -2; 2 ].
Экстремумы функции. Необходимые условия существования экстремума функции.
ОПР. Точка Х0 из области определения функции называется точкой максимума
( точкой минимума) этой функции, если найдется такая окрестность точки Х0, что для
всех х = х0 из этой окрестности выполняется неравенство у (х) < у (х0 ) (у (х) > у (х0) ).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в
этих точках называются экстремумами функции.
( локальный экстремум ).
Необходимые условия существования экстремума дает теорема Ферма.
Т. Ферма. Если т. х0 является точкой экстремума функции и в этой точке
существует производная функции, то у | (х o) = 0.
Геометрический смысл: касательная к графику функции в точке, удовлетворяющей
условиям теоремы Ферма, параллельна оси абсцисс.
16
Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует
называются критическими точками ( первого рода.)
Теорема Ферма дает лишь необходимое условие существование экстремума, но не
достаточное.
П – 1. Производная функции у = х3 в т. х0 = 0 обращается в нуль, а экстремума в этой
точке функция не имеет.
П – 2. В тех критических точках, где производные не существует функция может и не
иметь точку экстремума. y (х) = х в точке х0 = 0 не имеет производной, но она имеет
экстремум ( минимум ).
П – 3. у (х) = 3 х По графику видно, что в т. х 0 = 0 данная функция экстремума не
имеет. Производная в рассматриваемой точке не существует.
Т.О. экстремум функции, если он существует, может быть только в критических
точках; но не во всякой критической точке функция имеет экстремум.
Достаточное условие существование экстремума:
1). Пусть функция непрерывна в т. хо и в ее окрестности имеет производную кроме, быть
может, самой точке хо. Тогда:
1). Если производная функции при переходе через точку х о меняет знак с + на -,
то хо является точкой максимума.
2). Если производная функции при переходе через точку х о меняет знак с - на +,
то хо является точкой минимума.
3). Если производная функции при переходе через точку хо не меняет знак, то в т.
хо функция не имеет экстремума.
2). Если функция определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности
точки хо, причем у | (хо) = 0, а у | | (хо) = 0, то в точке хо функция имеет максимум,
у | | (хо) < 0, и минимум, если у | | (хо) > 0.
Достаточное условие выпуклости графика функции.
Опр.
График функции называется выпуклым на данном промежутке, если он
расположен ниже касательной, проведенной в любой его точке.
График функции называется вогнутым на данном промежутке, если он
расположен выше касательной, проведенной в любой его точке.
Т.
( достаточное условие выпуклости графика функции ).
Если на интервале ( а; в ) дважды дифференцируемая функция имеет отрицательную
вторую производную, то график функции выпуклый, положительную вторую
производную - вогнутый.
Исследовать на выпуклость график функции означает найти те интервалы из области
ее определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак.
Очевидно, что вторая производная функции меняет свой знак лишь в точках, где она
обращается в нуль или не существует.
Такие точки называются критическими точками второго рода.
Точка перегиба. Необходимое и достаточное условие существование точки перегиба.
ОПР. Точка графика непрерывной функции при переходе через которую кривая меняет
направление выпуклости называется точкой перегиба.
17
Т.
(необходимое условие существование точки перегиба).
Если функция имеет непрерывные производные до второго порядка включительно на
интервале (а ; в ) и точка хо принадлежит данному интервалу и является точкой перегиба
графика функции, то у | | (хо) = 0.
( достаточное условие существование точки перегиба).
Если функция дважды дифференцируема на интервале ( а; в ) и при переходе через
точку хо ( (а; в) вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой
перегиба.
Асимптоты кривой.
Асимптоты кривой – прямая, к которой неограниченно приближается каждая точка
кривой при удалении от начала координат.
ОПР. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции у =f (х),
если хотя бы одно из предельных значений limx-- a + 0 f (x) и limx-- a – 0 f (x) равнo + o--o
или - o—o.
ОПР. Пусть функция y = f (х ) определена для всех х > а ( х < а ) прямая у = кх + в
называется наклонной асимптотой графика функции y = f (х) при х --+o--o ( х -- - o-o), если
функция f(x) представима в виде: f (х) = кх + в + a (х), где lim a (х) = 0.
Для того, чтобы график функции у = f (х) имел при х -- + o—o ( х -- - o--o) наклонную
асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела
limx—o—o f(x) \ x = k
и
limx— o—o [ f(x) - kx ] = в
если к = 0
то у = в - горизонтальная асимптота.
x = а - вертикальная асимптота.
( обычно точка разрыва).
П. Найти асимптоты кривой: у = ( х2 + 1 ) \ ( х – 2 )
1. о.д.з.: х = 2 х = 2 - вертикальная асимптота.
2. к = limx—o--o f(x) \ x = lim ( x2 + 1 ) \ x ( x – 2 ) = lim ( 1 + 1\x2 ) \ ( 1 – 2\x2) = 1,
b = limx—o--o ( f (x) – kx ) = limx—o--o [( x2 + 1) \ ( x – 2 ) - x ] =
= limx – o--o [ ( 2 x + 1) \ ( x – 2 )] = 2
у = х + 2 - наклонная асимптота.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ:
П-1. Определить промежутки монотонности функции: у = 27 х - х3.
y | = 27 - 3 х2
27 – 3 х 2 = 0
у| +
х = - 3
у
Х
min
max
Ответ: функция убывает на
[ - o--o ; -3 ] и на [ 3 ; + o--o ] ;
функция возрастает на [ -3 ; 3 ].
П-2. Определить экстремумы функции: у = 1\3 х3 - 2х2 + 3х - 4
y | = х2 - 4х + 3
х2 - 4х + 3 = 0
у| +
+
х1,2 = 1; 3.
у
1
3
- 2, 2\3
-4
Ответ: умакс. = - 2, 2\3 при х = 1;
max
min
Умин. = - 4 при х = 3.
18
П-3. Исследовать на экстремум функцию: у = х 4 - 2
y | = 4х3 = 0
х = 0
у| -
+
0
min.
Ответ: у мин. = - 2
при х = 0
-2
П – 4. Исследовать на выпуклость график функции: у = х 3 - 3 х 2 + 2 х + 1
у | = 3х2 - 6х
у | | = 6х - 6 = 0
у || 0
+
х = 1
1
у
Ответ: график выпуклый при х ( - o--o ; 0 ); график вогнутый при х ( 1 ; + o--o ).
y (1 ) = 0 точка перегиба.
у
П-5. Исследовать на экстремум функцию:
у = ( 2х + 1 ) 3
( х -2 )2
2\3
3
у (х) = 2 ( х – 2 )
+ ( 2х + 1 ) * 2\3 1 \
х – 2 = 10 (х-1) \ 3 3 х-2
у | (х) = 0 при х =1 и у | (х) не существует при х =2.
Следовательно критические точки 1 рода х =1 и х = 2
у| +
у
1
max
Ответ: умах. = 3 при х = 1;
+
2
min
умин. = 0
x
при х = 2.
П-6. Найти интервалы монотонности функции: у = 1\3 х3 + 4х + 2
у = х2 + 4 всегда положительна
следовательно функция возрастает при всех действительных значениях х.
П-7. найти точки перегиба графика функции: у = 1\3 х3 -2х2 +7х - 4
Ответ: точка (2; 4, 2\3 ) точка перегиба.
ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА.
1). Найти область определения функции;
2). Исследовать функцию на четность и нечетность;
3). Исследовать функцию на периодичность;
4). Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва;
5). Определить, если возможно, точки пересечения графика функции с осями координат;
6). Найти критические точки 1 рода ( определить интервалы монотонности функции и
экстремумы);
7). Найти критические точки 2 рода ( определить интервалы выпуклости и точки
перегиба);
8). Найти асимптоты графика функции;
9). При необходимости определить дополнительные точки;
10). По данным исследования построить график функции.
П – 1. Построить график функции: у = х - х3.
1 определена на всей действительной оси;
2. у (-х) = (-х ) - (- х )3 = -х + х3 = - ( х - х3) - функция нечетная;
19
3. функция непериодичная;
4. функция непрерывна;
5. ох у = 0 х = 0, х = - 1; (0; 0);
Оу х = 0 (0; 0).
6. у | = 1 - 3х2
х = - 1\ 3
||
7. у = - 6х
х=0
8. асимптот нет.
у|
-
(-1; 0); (1; 0).
+
- 1\
у
у
||
+
min.
- 2\ 3
3
У
3
2\3
-1 -1\
3
2\3
0
1\
3
+
-
0
1\
-
Т.
перег.
у = х - х3
f ( -x ) = - 3 \ 3 – ( 3
1
3
-
max.
2\3
3
3 \ 3 ) 2 = - 2 3 \ 9.
Х
3
П – 8.
Построить график функции : у = 2х + 1 \ х2
1. Д (у) = R, х = 0
1 у ( - х ) = 2 ( - х ) + 1 \ ( - х )2 = - ( 2 х – 1 \ х 2 ) – ни четная и ни нечетная
3.непериодична
4. функция имеет точку разрыва в т. х = 0
5. точки пересечения с осями координат:
( -3 1\2; 0 )
ОУ
Х=0
у = (2х3 +1)\ х2
ОХ
У= 0
Х= 6. критические точки 1 рода:
3
не существует
1\2
у = 2 - 2\х3,
у = 0,
х = 1,
х=0
7. у = ( 2 - 2 \ х3 ) = 2 \ х 4
у = 0,
у > 0
график вогнут на всем промежутке
1 асимптоты:
х = 0 - вертикальная асимптота
к = lim x –0--0 f ( x ) \ x = lim x –0--0 ( 2 x + 1 \ x 2 ) = lim x-0--0 ( 2 + 1 \ x 3 ) = 2.
В = lim x –0—0 ( f ( x ) - k x ) = lim x –0--0 ( 2 x + 1 \ x 3 - 2 x ) = lim x –0--0 1 \ x 3 = 0
y = 2 x - наклонная асимптота
х ( - 0--0 ; 0 ) 0 ( 0 ; 1 ) 1 ( 1 ; + 0--0 )
у|
+
не
0
+
у ||
+ существует + 2
+
у
точка
3
разрыва
min
y
3
20
Задачи прикладного характера.
П – 1. Из квадратного листа жести со стороной а надо сделать открытый сверху
ящик наибольшего объема и имеющего квадратное основание.
1 Надо вырезать по углам 4 равных квадрата, чтобы получить
ящик
наибольшего объема.
a = 2 х - сторона квадрата дна, а объем
а
V (х) = (а–2х)2 * х=а2х - 4ах2+4х3
х
х прин. [ 0 , a \ 2 ].
Х
Наибольший V ( х ) на отрезке [ 0 , a \ 2 ].
1. Критические точки 1 рода функции V ( х )
V | ( х ) = а 2 – 8 а х + 12 х 2
12 х 2 - 8 а х + а 2 = 0
х 1 = а \ 6,
х2 = а \ 2.
V ( о ) = 0,
V ( а \ в ) = 2 а 3 \ 27 ,
V ( а \ 2 ) = 0.
Т.о. ящик наибольшего объема, если сторона вырезанного квадрата равна а \ 6.
П – 2. Число 24 представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так,
чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.
24 – х, х
у = ( 24 – х ) 2 + х 2 = 576 – 48 + 2 х2
12
+
у | = - 48 + 4 х = 0
х=2
Ответ: числа равны по 12.
min
П – 3. Число 4 представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так,
чтобы произведение этих чисел было наибольшим.
4 – х, х
у=х(4–х) = 4х–х2
+
2
|
у =4–2х=0
х=2
max
Ответ: числа равны по 2.
1.
2.
3.
4.
Вопросы для самоконтроля:
Дать определение промежутков монотонности;
Назвать необходимое условие возрастание и убывание функции;
Назвать необходимое условие существования экстремумов;
Решение прикладных задач;
21
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ.
Цель: дать понятие дифференциала функции;
применить дифференциал функции при приближенном вычислении
приращения функции и приближенного значения функции;
вычисление приближенного значения степени функции.
1). Сравнение бесконечно малых величин:
а)
в результате сложения, вычитания, умножения бесконечно малых величин
получаем бесконечно малые величины;
б). При делении возможны случаи:
1). а 2 \ а = а
- б.м.в.
2
2). а \ а = 1 \ а - б.б.в.
3). 2 а \ а = 2 - конечная величина.
Первое отношение показывает, что б.м. а 2составляет ничтожно малую часть от а и,
стремится к нулю значительно быстрее, чем а .
Второе отношение указывает, что а неограниченно уменьшаясь, остается значительно
больше, чем а 2 , т.е. стремится к нулю медленнее величины а 2.
Принято б.м. а 2 по отношению к а называть б.м. высшего порядка, а а по
отношению к а 2 - б.м. низшего порядка.
Третье отношение показывает, что б.м. 2 а и а стремятся к нулю с одинаковой
скоростью, т.к. их отношения постоянны.
Такие б.м.в. имеют одинаковый порядок.
Пусть а и в - две бесконечно малые величины.
1) Если lim а / в = 0, то а называют б.м.в. высшего порядка сравнительно с в.
2) Если lim а \ в есть число отличное от нуля - то б.м.в. а и в имеют одинаковый
порядок малости.
3) Если lim а \ в = о -- о
есть б.б.в., то а называют величиной низшего
порядка малости, чем в.
П-1. Сравнить порядок малости:
х2 + х3 и х , если х --- 0.
2
3
а) limx-- 0 х + х = limx-- 0 ( х + х2 ) = 0
б.м. х2 + х3 - высшего порядка, х.
х
б) 3 х + х 3
и х, если х --- 0.
3
limx-- 0 3х + х
= limx-- 0 ( 3 + х2 ) = 3 + 0 = 3
х
3
б.м. 3х + х
и х имеют одинаковый порядок малости.
в)
х
и х, если х --- 0
limx -- 0 х
= lim x -- 0 1
= о -- о
б.м. х – низшего порядка, чем х
х
x
г) 3 sin 3 x
и
2 tg 2 x. если x--0, sin x и tg x – эквивалентны х при х --- 0.
3
limx -- 0 3 sin x
= lim х-- 0 3 x3 = limx -- 0 3 x = 0
2 tg2 x
2 x2
2
3
3 sin x - высшего порядка, чем 2 tg 2 x
д) 2 tg 2 x
limx-- 0
+ 3 sin 3 x
и
x2
2
3
2 tg x + 3 sin x = limx -x2
одинакового порядка малости.
0
2x2 + 3x3
x2
= lim x --
0
(2 + 3x) = 2
22
2.
Дифференциал функции и его геометрический смысл.
Пусть функция у имеет производную при данном значении х.
Так как f | ( x ) = lim x -- 0
y \ x
то по определению предела у = А + a т.е. переменная величина у, имеющая
своим пределом число А, может быть представлена в виде суммы двух слагаемых:
постоянного А ( т.е. предела ) и бесконечно малой a.
y\ x =f |(x)+ a ,
где a - б.м.в. при х 0
y = f |( x ) x + a x
т.е. у - приращение функции состоит из двух слагаемых
ОПР. Дифференциалом функции называется произведение производной функции на
произвольное приращение аргумента.
Дифференциал функции у = f ( х ) обозначается символом
dу
|
d у = f (х) d х
Т.О. дифференциалом
d у функции у = f (х) есть произведение производной
этой функции на дифференциал d х независимого переменного х
f | (х) = d у \ d x
П – 1 . Найти дифференциал функции у = х3.
dy = 3х2 d х
Геометрический смысл дифференциала.
Пусть у = f (х) - дифференцируемая функция в т. хо функция, график ее
У
M
Мо Т - касательная к графику функции
T
y
у = f (х) в т. Мо с абсциссой хо.
M0
dy
Ордината касательной соответствует абсциссе
N
хо +
х
NТ =
Мо N * tg j
хо хо + х Х
х
f (хо)
|
N Т = f (хо) d х
= d f (хо).
Дифференциал функции d у = f | (х) d x
в т. хо равен приращению ординаты
касательной, проведенной к графику функции в т. ( х о;
f (хо) ), соответствующему
приращению ее абсциссы хо на
х.
Дифференциал может быть как меньше приращения функции, так и больше.
Однако при достаточно малых приращениях
х можно применять f |(хо) = d f (хо).
3. Вычисление дифференциала функции:
dу =
у | d х т.е. дифференциал функции у = f (х) равен произведению
производной этой функции на дифференциал его аргумента.
По формуле этой можно вычислять дифференциал любой дифференцируемой
функции.
П –1. Найти дифференциал функций у = ( 1 - х 2) 3
y = х3 * е х
Дифференциалы высших порядков:
дифференциал первого порядка есть
функция, поэтому можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции у = f (х) называется дифференциалом
второго порядка и обозначается
d 2 у = d ( d у ) = d ( f | (х) d х ) = ( f | (х) d х ) d
х = f | | (х) d х d х = f | | (х) ( d х )2
d 2 у = у | | d х2
23
d 3 у = у | | | d х3
Вообще дифференциалом
n – го порядка
называется дифференциал от
дифференциала ( n - 1 ) – го порядка.
d (n) у = у ( n ) d х n
П – 2. Найти дифференциалы 1, 2, 3 порядка функции у = ( 3х - 2 )3
d у = y | ( x ) dx
d y = 9 ( 3 x – 2 ) 2 dx
d 2 y = 27 ( 3 x – 2 ) dx 2
d 3 y = 81 d x3
Приложения дифференциала к приближенным вычислениям
1) Вычисление приближенного значения приращения функции.
Найти приближенное значение приращения функции f (х) = 3х2 - 7 при хо=2
и
х = 0,001
d y = 6 x dx
d y = 6 * 2 * 0,001 = 0,012
2) Вычисление приближенного числового значения функции:
у = 2х3 - 3 х + 5 при х = 3, 001 хо = 3
f ( x ) = f ( xo ) + dy = f ( xo ) + f | ( xo ) d x
f ( xo ) = 2 * 27 - 9 + 5 = 50
f ( x o) = 6 x 2 - 3
f
( 3 ) = 6 * 9 - 3 =51
f ( x ) = 50 + 51* 0,001 = 50, 051
х = 0, 001
3) Вычисление степени:
f ( x ) = x n,
(x0+
x ) n = x 0 + d ( x 0 n)
или
( x 0 + x ) n = x 0 + n x 0 n–1 x
П–1.
5, 013 3 = ( 5 + 0,013 ) 3 = 5 3 + 3 * 5
П–2.
1,015 2 = ( 1 + 0,015 ) 2 = 1 + 2 * 1 * 0,015 = 1,03
2
* 0,013 = 125,975
П – 3 . ( 0.988 ) 2 = ( 1 – 0,012 ) 2 = 1 – 2 * 1 * 0,012 = 0,976
4). Приближенное извлечение корней:
при n = 1\ k
и х0 = 0
(х0 +
х ) 1\ к = х 0 1 \ к + 1 \ к х 0 1 \ к – 1
к
х0 + х = к х0 + к х0 \ кх0 * х
П – 1.
0,96 =
х или
1 – 0,04 = 1 - 1 \ 2 * 0,04 = 0,98
Решение типовых заданий:
1. Найти дифференциал функции:
а) s = ( 1 – t ) \ ( 1 + t )
dy = - 2 \(1+t)2 dx
b) y = 1\2 cos 2 \ x
d y = sin 2 \ x dx
x2
2
c) y = sin
x
d y = sin x \ x d x
2
d) u = ln 1 \ t
d u = - 2 \ t ln 1 \ t d t
e) y = ln 1 \ x
dy =x\2dx
24
k) y = arctg x \ ( 1 + x )
d y = d x \ ( 1 + 2 x 2)
2 Найти дифференциал пути, выраженного уравнением:
s = 5 t 2, если t = 4
t = 0,01
3. Вычислить приближенное приращение функции: у = х 3 – 5 х 2 + 80
при переходе аргумента от х = 4 к х = 4,001.
4.Сторона квадрата равна 5 см. Найти приближенное приращение его площади при
увеличении его стороны на 0,01 см.
s = a 2 d s = 2 a d a = 2 * 5 * 0,01 = 0,1 см 2
5. Найти приближенное значение у = х 2 + х, пр х = 3,01
6.Шар, радиуса 20 см был нагрет, отчего его радиус удлинился на 0,01 см. На сколько
увеличился при этом объем шара?
Х = 20 см,
х = 0,01 см
dv=ydx =4ПR2 dx
V = 4\3 П R3
3
d v = 4 * П * 20 * 0,01 = 16 П см
7.Шар радиуса 9 см при нагревании изменил свой объем на 32,4 см 3 . найти изменение
радиуса.
V=dv
d v = 32,4 = v d R
R = dv\v
2
2
v = 4\3 П 3 R = 4 П R = 324 П
R = 32/4 П \ 324 П = 0,1 см
8. Объем коробки с площадью квадрата со стороной а , и высотой
h . При
изменении длины квадрата на 0,02 см найти изменение объема коробки.
V= a2 h
v = 10 x 2
dv = v dx
v = 20 x = 400
v = 400 * 0,02 = 8 см 3
9.Ребро куба равного 1 см удлинили на 0,1 см. На сколько изменился объем куба?
x 0 = 1; х = 0,1 v = x 3,
d v = v d x = 3 x 2 x = 0,3 cм 3
1.
2.
3.
4.
Вопросы для самоконтроля:
Дать определение дифференциала функции;
В чем заключается геометрический смысл дифференциала функции?
Дать алгоритм нахождения дифференциала функции?
Каковы приложения дифференциала функции?
25
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА.
Цель:
1.дать определение первообразной функции;
2. дать определение неопределенного интеграла;
3.рассмотреть свойства неопределенного интеграла;
4.рассмотреть методы интегрирования;
5.дать физический смысл интеграла;
Дана функция f ( x ) требуется найти функцию F ( x ) такую , что F | ( x ) = f ( x ).
Для решения этой задачи служит операция интегрирование, обратная
дифференцированию.
При этом функция F ( x ), удовлетворяющая условию F | ( x ) = f ( x ) называется
первообразной для функции f ( x ).
Или функция у = F ( х ) имеет производную f ( x ), тогда ее дифференциал
d y = F | ( x ) d x,
или
dy =f (x)dx
Функция F ( x ) по отношению к ее дифференциалу называется первообразной.
ОПР. Первообразной функцией для выражения f (x ) d x называется функция F ( x ),
дифференциал которой равен f ( x ).
Дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество
их. Они отличаются друг от друга постоянным слагаемым.
Пусть F (x) – первообразная для дифференциала f (x) d x, то и любая другая функция
вида F( x ) + C, где С – произвольная постоянная, будет первообразной для всех f ( x ) dx
( F ( x ) + C ) | = F | ( x ) + C | = f ( x ) + 0 = f ( x ).
И обратно пусть F (x) и G (x) - две первообразные функции дифференциала f (x) dx
Рассмотрим функцию q(x) = G (x) - F (x) по определению первообразной
g | (x) = G | (x) – F | (x) = f (x ) – f ( x ) = 0
Следовательно,
g (x) = C постоянная так как только производная постоянной
величины равна нулю.
Итак, g (x) = F (x) + C.
Если С придавать всевозможные значения, то зная первообразную F ( x ), можно
получить все первообразные для дифференциала f (x).
ОПР. Совокупность всех первообразных функций F ( x ) + С для дифференциала
f (x) d x называется неопределенным интегралом и обозначается:
 f ( x ) d x = F ( x ) + C.
где f ( x ) d x называется подынтегральным выражением;
а f ( x ) - подынтегральной функцией;
С – произвольная постоянная интегрирования.
Например, х 2 + с неопределенный интеграл для дифференциала
обозначается  2 х d х т.е.
 2 х dх = х 2 + с.
2 х d х и
Процесс нахождения первообразной функции называется интегрированием, а раздел
математики - интегральным исчислением.
Интегрирование – действие обратное дифференцированию.
26
Основные свойства неопределенного интеграла.
В декартовых координатах на плоскости хоу уравнение у = F ( х ) + С определяет
при фиксированном значении С некоторую кривую.
При различных значениях С можно получить различные кривые, соответствующие
различным первообразным. Таким образом, неопределенный интеграл функции f ( х )
представляет на плоскости хоу семейство кривых, зависящее от параметра С. эти кривые
называют интегральными линиями функции f ( х ).
Пример, Пусть f ( x ) = x
3
,
то

x3 d x = x 4 \ 4 + C
можно проверить F | ( x ) = f ( x )
( x 4 \ 4 ) | = 1 \ 4 * 4 x 3 = x 3.
1 свойство:
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
d 
f(x)dx=f(x)dx.
это свойство следует из определения интеграла.
2 свойство:
Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции,
сложенной с произвольной постоянной:
 d F(x) = f(x)dx
Но по определению

f(x)dx =F(x)+C
следовательно, d F ( x ) = F ( x ) + C
3 свойство:
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:


a f(x)dx = a
f(x)dx ,
где а –const множитель.
4 свойство:
Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов
от каждой из них:
 [ f 1( x ) + f 2 ( x ) – f 3 ( x ) ] d x =  f 1 ( x ) d x +  f 2 ( x ) d x -  f 3 (x ) d x
Основные формулы интегрирования:
Для нахождения неопределенного интеграла надо знать основные формулы
интегрирования.
Пусть f ( x ) = x n + 1 найдем ее дифференциал
d ( x n+1 ) = ( n + 1 ) x n d x
взяв интеграл от обеих частей равенства имеем:
 d ( x n+1) =  ( n + 1 ) x n d x
x n+1+ C 1 = ( n + 1 )


xndx
при n + 1 = 0
x n d x = x n + 1 \ ( n + 1 ) + C 1\ ( n + 1 ) – C = x n + 1 \ ( n + 1 ) + C
27

x n d x = x n+1\ ( n + 1 ) + C
Выведенная формула справедлива для любого значения n,
кроме n = - 1.
Таблица формул интегрирования:
















x n d x = x n+1 \ ( n + 1 ) + C
d x \ x = ln x + C
ex dx =ex+C
а x d x = a x \ ln a + C
sin x d x = - cos x + C
cos x d x = sin x + C
cos k x d x = 1 \ k sin k x + C
d x \ cos 2 k x = 1 \ k tg k x + C
d x \ sin 2 k x = - 1 \ k ctg k x + C
dx\
k 2 - n 2 x 2 = 1\ n arcsin n\ k x + С
d x \ ( x 2 + 1 ) = ln x + x 2 + 1 + C
при « - « x > 1
d x \ cos 2 x = tg x + C
d x \ sin 2 x = - ctg x + C

d x \ 1 – x 2 = arcsin x + C
d x \ ( 1 – x 2 )= 1 \ 2 ln ( 1 + x ) \ ( 1 – x ) + С
- arccos x + C
d x \ ( 1 + x 2 ) = arctg x + C
x = 1

- arcctg x + C




sin k x d x = - 1 \ k cos k x + C
d x \ ( a 2 – x 2 ) = 1 \ 2 ln ( a + x ) \ ( a – x ) + C
tg x d x = - ln ( cos x ) + C
a = x
ctg x d x = ln sin x + C
e kx d x = 1 \ k e kx+ C
a kx d x = 1 \ k a kx + C

П – 1. Найти
(5х5 -4х3 +3х2–1)dx= х5–х4+х3–х+С
Здесь С является алгебраической суммой четырех произвольных постоянных
слагаемых, входящих составной частью в каждый интеграл.
Проверка: d ( x 5 - x 4 + x 3 – x + C ) = ( 5 x 4 – 4 x 3 + 3 x 2 – 1 ) d x
П – 2.
Найти



2х хdх \
3
х
необходимо преобразование
2 х 1 х 1 \ 2 х – 1 \ 3 =2 х 7 \ 6
2 х 7 \ 6 d х = 2 х 13 \ 6 \ 13 \ 6 + С = 12 х 2
П – 3. Найти

х2+1 dх
=

6
х \ 13 + С
( х + 1 \ х ) d x = x 2 \ 2 + ln x + C
х
П – 4.

( 5 х 4 - 8 \ cos 2 x + 3
x + 1 ) d x = x 5 – 8 tg x + 3 \ 2 x + x + C.
28
Определение постоянной интегрирования.
Неопределенный интеграл

f ( x ) d x представляет собой семейство интегральных
кривых, определяемых равенством у = F ( х ) + С, где F ( х ) - первообразная для
функции f ( x ) , а С – произвольная постоянная.
Чтобы из множества интегральных кривых выделить одну определенную кривую,
должны быть заданы дополнительные ( начальные ) условия.
Начальными условиями обычно являются некоторые частные значения переменных х
и у, по которым из данного равенства находят одно вполне определенное значение
постоянной С, а следовательно, и одну вполне определенную интегральную кривую,
удовлетворяющую заданным начальным условиям.
П – 1. Найти уравнение кривой, проходящей через точку А ( 2; 3 ), если угловой
коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке равен абсциссе этой точки.
Решение: Согласно геометрическому смыслу производной функции и условию задачи,
имеем: k = d y \ d x = x
dy=xdx
 d y =  x d x . y = x 2 \ 2 + C.
Таким образом, получили множество кривых, удовлетворяющих этому общему
решению.
Для выделения искомой кривой применим начальные условия: х =2; у = 3;
3=2+С
С=1
итак, частное решение уравнение кривой у = х 2 \ 2 + 1.
П – 2. Скорость точки задана уравнением
V = t 2 – 6 t + 7.
Найти закон движения, если к моменту начала отсчета времени точка прошла путь
равный 4 м.
S =  V d t =  ( t 2 – 6 t + 7 ) d t = t 3 \ 3 – 6 t 2 \ 2 + 7 t + C/
S = t 3 \ 3 – 3 t 2 + 7 t + C.
Искомый закон движения находим по заданным начальным условиям: S = 4 и t = 0.
С = 4.
следовательно, искомый закон движения:
S = t 3 \ 3 - 3 t 2 + 7 t + 4.
Способы интегрирования.
1. Непосредственное интегрирование:
В этом случае данный интеграл удается привести к одному или нескольким табличным
интегралам при помощи применения правил интегрирования и при помощи элементарных
тождественных преобразований подынтегральной функции.
П–1.

(х2+2)xdx= (x3+2x)dx=x4+x2+C
П – 2.

x 3 – 3 x 2 + 1 d x =
( x 2 – 3 x + 1 \ x ) d x = x 3 \ 3 - 3 \ 2 x 2 + ln x + C
x
П – 3.

1 + 2 x 2 d x =
x2 (1+x2)
(1+x2)+x2 dx=
x2 ( 1 + x 2 )

1 + x 2d x +
x2(1+x 2)

x2
dx=
x 2( 1 + x2)
29

=
dx \x2

+
d x \ ( 1 + x 2 ) = - 1 \ x + arctg x + C.
П – 4.

(2a \ x - в \x2 +3c
П – 5.

( а х 2 + в х + с \ х + е / х 2 ) d x = 1\3 ax3 + 1\2 в x2 + c ln x – e \ x + C.
П–1.
3
x 2 ) d x = 4 a x + в \ x + 9 \ 5 c x 5\3 + C
Интегрирование подстановкой.
Важнейший прием интегрирования:
х + 1 d x =  z 1 \ 2 d z = z 3 \ 2 \ 3\2 + C = 2 \ 3 z

=2\3(x+1)
x+1
z +C=
+C
x+1=z
dx=dz
П–2.

3 х + 1 d x = 2 \ 9 ( 3 x + 1 ) 3\2 + C
3x+1 =z
3dx=dz
dx=dz\3
П – 3.


cos 5 x d x =
cos t d t \ 5 = 1 \ 5 sin t + C = 1 \ 5 sin 5 x + C
5x=t
dx =dt\5
Интегрирование по частям.
Пусть функции
u=u(x)
и
v = v ( x ) имеют непрерывные производные
на некотором промежутке. Дифференциал произведения этих функций равен
d(uv) = uvdx +uvdx
так как по условию функции
u v
и
u v
непрерывны можно
проинтегрировать обе части этого равенства:
 d(uv)=  u vdx +  uv dx
или
но


d(uv)=

vdu +
d ( u v ) = u v + C,

u dv
следовательно

udv=uv-

v d u.
В правой части формулы постоянную интегрирования С не пишут так как она
фактически присутствует в
v d u.
Итак,  u d v = u v –  v d u
называется формулой интегрирования по частям
Этот метод применим, если задача нахождения указанных интегралов более проста,
чем нахождение заданного интеграла.
Для вычисления интегралов методом интегрирования по частям главным является
разумное разбиение подынтегрального выражения на множители u и d v.
1.
случай: В интегралах, где подынтегральное выражение состоит из произведения
многочлена и прямой функции за u функцию принимают многочлен:
30
P ( x ) e axd x ,
P ( x ) sin a x d x ,
P ( x ) cos a x d x …..
Где P - многочлен относительно х, а – некоторое число, полагают
u = P ( x ).

П – 1.

( 2 х – 3 ) е 3х d x = ( 2 x – 3 ) 1 \ 3 e 3x -
u=2x–3
du =2dx
1 \ 3 e 3x2 d x =
e 3x d x = d v
v = e 3xd x = 1 \ e 3x + C
= 1 \ 3 e 3 x ( 2 x – 3 ) - 2 \3 e 3 x 3 + c = e 3 x \3 ( 2 x – 3 ) - 2 \ 9 e 3 x + C
2.
случай:
В интегралах, где подынтегральное выражение есть произведение
многочлена и обратной функции за u функции принимают обратную функцию.
P ( x ) ln la xl d x ,
P ( x ) arctg a x d x ,
полагают P ( x ) d x = d v
П – 1.

P ( x ) arcsin a x d x
( 3 х 2 + 2 х –5 ) ln lхl d x = ln x ( x 3 + x 2 – 5 x ) u = ln lxl
du=dx\x

(x3+x2 -5x)\xdx=
(3x2+2x–5x)dx=dv
v = ( 3 x 2 + 2 x – 5 ) d x = x3 + x 2 – 5 x
= ln l x l ( x 3 + x 2 – 5 x ) – x 3\ 3 – x 2 + 5 x + C.
3. случай: В интегралах, где подынтегральное выражение произведение прямой и
обратной функций за u можно принять любую функцию.
Решение типовых заданий

П–1.
e 2 x sin 3 x d x = - e 2 x \ 3 cos 3 x + 2 \ 3

e 2 x cos 3 x d x =
u = e 2x
sin 3 x d x = d v
2x
du=2e
v = - 1 \ 3 cos 3 x
e 2 x sin 3 x d x =
u = e 2x
cos 3 x d x = d v
2x
du = 2 e
dx
1 \ 3 sin 3 x
= - e 2 x \ 3 cos 3 x + 2 \ 3 ( e 2 x \ 3 sin 3 x – 2 \ 3

e 2 x sin 3 x d x ) =
= - e 2 x \ 3 cos 3 x + 2 \ 9 e 2 x sin 3 x – 4 \ 9 e 2 x sin 3 x d x .
13 \9
e 2 x sin 3 x d x = 2 \ 9 e 2 x sin 3 x – e 2 x \ 3 cos 3 x
e 2 x sin 3 x d x = 1 \13 e 2 x ( 2 sin 3 x - 3 cos 3 x ) + C.

П–2.
x2 =u
2xdx=du
x = u
dx=du
x 2 sin x d x = - x 2 cos x
+2

x cos x d x =
sin x d x = d v
v = - cos x
cos x d x = d v
sin x = v
= - x 2 cos x + 2 x sin x - 2 sin x d x = - x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C =
= 2 x sin x + cos x ( 2 - x2 ) + C.
31
П–3,

xexdx
П – 4.

x
= e x x - e x + C = e x ( x – 1 ) + C.
ln lxl d x = ln lxl x 2 \ 2 - 1 \ 2
ln lxl = u
1\xdx = du

П–5.
x dx = x 2 \ 2 ln lxl – x 2 \ 4 + C
xdx=dv
x2 \2=v
ln lxl d x = x ln lxl – x 2 \ 2 + C.

П – 6.


arctg x d x = x arctg x -
arctg x = u
1 \ ( 1 + x 2) d x = d u
метод подстановки :
x \ (1+x2)dx =
dx=dv
x=v

1+ x2 = z
x \ ( 1 + x 2 ) d x = 1 \ 2 ln l1 + x 2 l
2xdx=dz
= x arctg x - 1 \ 2 ln l 1 + x2 l + C.

П – 7.
( x – 1 ) e 2x d x = 1 \ 2 e 2x ( x – 1 ) – 1 \ 4 e 2x + C
x–1=u
dx=du

П – 8.
x cos x d x = x sin x + cos x + C

П – 9.
1 \ 2 e 2x d x = d v
1 \ 4 e 2x = v
x2exdx= exx2 -2
x2 = u
2xdx=du

xexdx =exx2–2(exx-
exdx=dv
ex =v
x=u
dx=du

exdx)=
exdx=dv
ex = v
= e x x 2 – 2 e x x + 2 e x + C = e x ( x 2 – 2 x + 2 ) + C.
П – 10.

ln lxl \ x 2 d x = - ln lxl \ x +
ln lxl = u
1\xdx=du

d x \ x 2 = dv
-1\x =v
Примеры для решения:
1.
 e x sin x d x = e x sin x - e x cos x 2.
3.

d x \ x 2 = - ln lxl \ x – 1 \ x + C

e x sin x d x
e x sin x d x = e x \ 2 ( sin x – cos x ) + C

x arctg x d x = x 2 \ 2 arctg x – 1 \ 2
x2 \ (1+x2)dx =
arctg x = u
xdx=dv
2
1\(1+x )dx=du
x2\2 = v
= x 2 \ 2 arctg x - 1 \ 2  x 2 + 1 – 1 d x = x 2 \ 2 arctg x – 1 \ 2 
( 1 – 1 \ ( x2 + 1 ) d x
x2+1
= x 2 \ 2 arctg x – 1\2 x + 1 \ 2 arctg x + C = 1 \ 2 ( x 2 arctg x + arctg x – x ) + C.
32
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.








e 2 x cos x d x = 1 \ 5 e 2 x (cos x + 1 \ 2 sin x ) + C/
( 3 x – x2 ) d x
4
4
t3dt
( 5 sin x + 2 cos x ) d x
( 2\ x 2 – 3 \ x
x )dx
( 5 \ cos 2 x + 3 ) d x
dx\3
4
x
x + 2
3
x2
dx
x
Вопросы для самоконтроля:
1.
2.
3.
4.
5.
Что называется первообразной? Перечислите свойства первообразной.
Что называется неопределенным интегралом?
Какие свойства неопределенного интеграла вы знаете?
Перечислите основные формулы интегрирования.
Какие методы интегрирования существуют?
33
Определенный интеграл и его геометрический смысл.
Цель:
2.
3.
4.
5.
дать определение определенного интеграла;
рассмотреть свойства определенного интеграла;
рассмотреть методы интегрирования;
дать геометрический смысл определенного интеграла;
Пусть в
2 х d х = 2 х 2 \ 2 + С = х 2 + С аргумент меняется от х = 2 до х = 4, тогда
приращение первообразных функций х 2 + С в указанном промежутке значений х будет
4 2 + С – ( 2 2 + С ) = 16 – 4 = 12
Полученное приращение первообразных функции называется определенным
4
интегралом и обозначается
2 2 х d х
ОПР. Приращение F ( в ) – F ( а ) любой из первообразных функций F ( х ) + С при
изменении аргумента от х = а до х = в называется определенным интегралом и
в
обозначается
 а f(х)dx
в
а

f ( x ) d x = F ( a ) – F ( в ) формула Ньютона -
Лейбница
значение а - нижний предел определенного интеграла;
в - верхний предел определенного интеграла;
Правило для нахождения определенного интеграла:
1. найти соответствующий неопределенный интеграл;
2. в полученное выражение подставить верхний предел, а затем нижний;
3. результаты вычесть.
П–1.
–1

П – 2.
п\3
П – 3.
1
(х2 +1)dx=(x3\3+x)
1


п\2
3
4 cos x d x = 4 sin x
d x \ ( 1 + x2 ) = arctg x
1
п\2
3
–1 =
п\3
1
22\3
= 4 sin п \ 2 - 4 sin п \ 3 = 4 - 2 3.
= п \ 3 – п \ 4 = п \ 12.
Основные свойства определенного интеграла.
1. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла;
2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме
интегралов от каждой из них;
3. Если переставить пределы интегрирования определенного интеграла то его
знак изменится на противоположный;
а

в
f(x)dx= -
в
а
f(x)dx
Методы интегрирования.
1. непосредственное интегрирование:
П – 1.
 1 \2 3 ( u 2 + 1 ) d u = ( u 3 + 3u )
1\2
= 3 3\4.
34
-1\ 2
- 1\2

П – 2.
2
2 П ( 1 + х 2 ) d x = 6 2\3 П.

П
1
П–3.
x cos x + 1
x
П\2

П – 4.
2dx

2
1–x2=u
-2xdx=du
xdx=-du\2

П–2.
3\4
= П \ 3.
1
3\4
= 35 \ 36.
1
1–0=1
1–1\4=3\4
3dx
=
9 + 16 x 2
3\ 4
0.5
0
(1–x2)3
0
= 2 arcsin x
Метод подстановки.
3\4
5 x d x =  - 5 \ 2 d u \ u 3 = 5 \ 4 u –2
1\2
П –1.
0,5
1–x
0
d x = ln 2 – 1.

3\9
3\4
4\3 x = u
d x = 3\4 d u
3\4
dx
= 1 \ 4 arctg x
1+(4\3x)2
1
= П \ 48
3\3
4\3 * 3\4 = 3\3
3\4 * 4\3=1
Интегрирование по частям.

Формула:
в udv=uv в -
а

П–1.
а

в vdu
а
1 x e 2 x d x = 1\4 ( e 2 + 1 )
0
e 2x = d v
x=u

П–2.
п
e x sin x d x = 1 \ 2 ( 1 – e п )
0
еx=u
ex=u

П – 3.
sin x d x = d v
cos x d x = d v
1 x arctg x d x =
п\4–1\2
0
arctg x = u
xdx=dv
35
Геометрический смысл определенного интеграла.
Пусть дана кривая, определяемая уравнением у = f ( х ), причем f ( х ) – функция
непрерывная и положительная при рассматриваемых значениях х.
У
N
М
Мо
0
а
Ро
x
х=а
М1
Q
f(x)
f(x+ x)
Р Р1 у = 0
x
Х
х=в
Возьмем Мо с ОРо = а - постоянной, т. М с ОР = х меняющейся.
Тогда S момрро ( криволинейная трапеция ) будет переменной величиной, зависящей
от х.
Дадим аргументу х приращение Р Р1 =
х, тогда S получит приращение
S =
площади ММ1Р1Р.
Проведем MQ NM1 OX
S мQр1р
<
S < S NM1Р1Р
f(x) x <
S < f ( x + x)
x : х
f(x)
<
S \
x < f(x + x)
Пусть
х
0 , тогда f ( x + x )
f ( x ), т.е.
S \
x
f(x)
Следовательно lim x – o S \
x = f | ( x ) = S,
d S \ d x = f ( x ),
d S = f ( x ) d x,
S + C1 =  f (x) d x,
 dS =  f(x)dx
Пусть F (x) - первообразная для d f (x) d x , то
f (x) d x + F (x) + C2?
Т.е. S + C1 = F (x) + C2
S = F (x) + C,
x = а S = F (а ) + С, а при х = а S = 0.
0 = F (a) + C отсюда С = - F ( а )
x
S = F (x) - F (a), но по определению F (x) - F (a) =  f ( x ) d x ,
x
S =

a
f (x) d x = F (x) – F (a) - определяет площадь МоМРРо.
a
Чтобы получить S постоянной от х до в надо положить х = в.
в
S MoM1P1Po =  f (x) d x = F (в ) - F ( a )
a
Площадь фигуры, ограниченной кривой у = f (x), где f (x) > 0, осью ОХ и двумя
в
прямыми х = а и х = в выражается определенным интегралом  f (x) d x .
a
П – 1.
Определить площадь фигуры, заключенной между ветвью кривой у = х 2, осью х и
прямыми х = 0, х = 3.
S=
0

3
f (x) d x =
0

3
x2dx= x3\3
0
3
= 9 ( кв.ед.)
36
Интегрирование по частям.
Пусть функции
тогда:
a

и
u
v имеют непрерывные производные на отрезке [ а ; в ],
( u v ) | = u |v + u v |
(uv) dx = а  в udx +
в
а

в
uvdx
все эти интегралы, существуют, т.е. подынтегральные функции непрерывны.
По формуле Ньютона – Лейбница:
а

в
udv
а
= uv

а
в
(uv) dx=uv
в
-
а
a
в

в
vdu

1
e 2x d x = e 2 \ 2 – e2 \ 4 + 1 \ 4
П – 1.
0

1
x e 2x d x = x e 2x\ 2
1
0
-1\2
0
=
e 2x d x = d v
1 \ 2 e 2x = v
u=x
du=dx
= 1 \ 4 ( e 2 + 1 ).
П – 2.
0

П
e x sin x d x = - e x cos x
+ e x sin x
0

П
0
П
-
0

П
0
П
+
0

П
cos x e x d x = - e x cos x
0
П
+
е х sin x d x
e x sin x d x = - 1 \ 2 e x ( sin x - cos x )
0
П
= - 1\2 [ e П ( sin П - cos П ) –
- e 0 ( sin 0 - cos 0 ) ] = 1 \2 ( 1 + e П ).
1.
ex = u
exdx=du
2.
ex=u
exdx=du
sin x d x = d v
- cos x = v
cos x d x = d v
sin x = v
П – 3.
0

1
x arctg x d x = arctg x x 2 \ 2
= arctg 1\2 – 1\2
0
1
0
1
- 1\2
0

1
( 1 – 1 \ ( 1 + x 2 ) d x = arctg 1\2 - 1\2 x
( x 2 * 1 \ ( 1 + x 2 )) d x =
0
1
+ arctg x
0
1
=
= arctg 1\2 – 1\2 + arctg 1 = П \ 4 - 1 \ 2.
arctg x = u
1
dx =du
1 + x2
xdx=dv
x 2 \ 2 = v.
37
Приближенные методы вычисления определенного интеграла.
Цель:
1. знать формулы прямоугольников;
2. знать формулу трапеций;
Формулы прямоугольников.
Решение многих технических задач сводится к вычислению определенных интегралов,
точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда
оправданно практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближенного значения.
Например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой
неизвестно, осью х и двумя ординатами. В этом случае можно заменить данную линию
более простой, для которой известно уравнение. Площадь полученной таким образом
криволинейной трапеции принимается за приближенное значение искомого интеграла.
Геометрически идея способа вычислений определенного интеграла по формуле
прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции А1АВВ1
заменяется площадью равновеликого прямоугольника А1А2В2В1, которая по теореме о
среднем равна:
в
f (x) d x = f ( с ) ( в – а ),
а
где f ( c ) – высота прямоугольника А1А2В2В1, представляющая собой значение
У
В
А2
М
В2
А
а
0
с
N1
А1
в
В1 Х
подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке с ( а < с < в ).
Практически трудно найти такое значение с, при котором ( в – а ) f (с) в точности
в
равнялось бы
f (x) d x. Для получения более точного значения площадь
а
криволинейной трапеции разбивают на n прямоугольников, высоты которых равны у о,
у 1, у2, …, у n – 1 и основания
х = (в – а ) \ n.
Если суммировать площади прямоугольников, которые покрывают площадь
криволинейной трапеции с недостатком, функция у = f (x) – неубывающая, то используют
формулу:
а

в
f (x) d x = ( в – а ) ( у о + у 1 + у 2 + … у n – 1 ),
n
Если с избытком, то
а
У

в
f (x) d x = ( в – а ) ( у 1 + у 2 + у 3 + … у n – 1 )
В
n
У
В
у = f (x)
у = f (x)
А
0
А
уо ууууу 3
у n–1
а
в
Х
0
у1
уn
а
в
Х
38
Значения у о, ….. у n находят из равенства у к = f ( а + к х ), к = 0,1,… n. Эти
формулы называются формулами прямоугольников и дают приближенный результат. С
увеличением n результат становится более точным.
Пример:
Вычислить по формуле прямоугольников
п\4
0

cos x d x .
РЕШЕНИЕ:
Разделим промежуток интегрирования на 5 частей. Тогда n = 5; в – а = п \ 4;
х=х
х = (в-а) \ 5 = п \ 20 = 0,1571. При помощи калькулятора или таблицы найдем значения
подынтегральной функции ( с точностью до 4-х знаков после запятой):
у 0 = соs 0 0 = 1,0000;
у 1 = cos ( п \ 20 ) = cos 9 0 = 0,9877; y 2 = cos ( п \ 10 ) = cos 18 0
=0,9511;
у 3 = cos ( 3 п \ 20 ) = cos 27 0 = 0,8910; y 4 = cos ( п | 5 ) = cos 36 0 = 0,8090;
у 5 = cos ( п / 4 ) = сos 45 0 = 0,7071/
по формуле прямоугольников ( с недостатком)
п\4
S прибл. =
0

cos x d x = 0,1571 ( ( 0,9877 = 0,9511 + 0,8910 + 0,8090 + 0,707)
= 0, 7282.
С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница
п\4
S точн. = 0 
п\4
cos x d x = sin x
0
= sin п \ 4 - sin 0 =
2 \ 2.
Формула трапеций:
Геометрический смысл этого способа состоит в том, что нахождение площади
криволинейной трапеции заменяется нахождением площади приблизительно
равновеликой « прямолинейной» трапеции.
Пусть необходимо вычислить площадь криволинейной трапеции, выражаемой
в
формулой S = a  f (x) d x .
для получения результата необходимо разбить площадь криволинейной трапеции на
n площадей ординатами, отстоящими друг от друга на расстоянии
х. Суммируем
площади получившихся трапеций:
S =
в – а ( у 0 \ 2 + у 1 + у 2 + …. + у n \ 2 )
n
Пример:
По формуле трапеций вычислить:
0

при n = 5/
dx
5
x + 4
РЕШЕНИЕ: Положим х = 1; у n= f (x) = 1 \
х 0 = 0; х 1 = 1 ; х 2 = 2 ; х 3 = 3 ; х 4 = 4 ; х 5 = 5 ;
x+4 ;
у 0 = 0.5; у 1 = 0,447; у 2 ==0,4909; у 3 = 0,377; у 4 = 0,353;
n = 0; 1; 2; 3; 4; 5.
у 5 = 1 \ 3.
По формуле будет:
= 1 ( 0,250 + 0,166 + 0,447 + 0,409 + 0,377 + 0,353 ) = 2,002
5 dx
0

х+4
39
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
1.Дайте определение определенного интеграла;
2.В чем суть вычисления определенного интеграла методом подстановки?
3.В чем суть метода вычисления определенного интеграла по частям?
4. В чем заключается приближенное вычисление определенного интеграла
по формулам прямоугольника и трапеции?
40
ПРИЛОЖЕНИЕ ИНТЕГРАЛА.
ЦЕЛЬ:
нахождение площади плоской фигуры;
вычисление объема тела вращения;
вычисление работы силы упругости;
нахождение формулу пути;
1.
2.
3.
4.
1. Если непрерывная линия задана уравнением у = f ( x ) , то площадь криволинейной
трапеции, ограниченной этой линией, двумя прямыми х =а и х = в и у = 0 вычисляется
по формуле:
в
S =
a

f(x)dx
1 случай. f ( x ) > 0.
Пример: Определить площадь фигуры, ограниченной линиями у = - х 2 + 4, у = 0
2
S= 20

2
(- x 2 + 4 )d x = 2 (- x 3 \ 3 + 4 x )
0
= 2 ( - 8 \ 3 + 8 ) = 2 * 5. 1\3 = 32 \ 3
( кв.ед.)
x 2– 4 = 0
x = +- 2
2 случай. f ( x) < 0.
Пример: Определить площадь фигуры, ограниченной линями: у = х 2 - 4, у = 0.
2

S = - 20
2
( x2 -4)dx= -2(x3\3–4x)
0
= - 2 ( 8 \ 3 - 8 ) = 32 \ 3(кв.ед.)
3 случай. В случае если функция меняет свой знак конечное число раз, то необходимо
сочетать предыдущие формулы.
4 случай. если криволинейная трапеция не опирается на ось абсцисс, то площадь
искомой фигуры надо находить геометрическим сложением плоских фигур, при этом надо
сначала найти пределы интегрирования.
Пример: Вычислить площадь , ограниченную графиками функций:
у= х 2;
у = х.
При построении видим, что фигура не опирается на ось абсцисс.
Во – первых находим пределы интегрирования решением системы уравнений:
у=х2
у=х
то есть точки пересечения графиков данных функций: О ( 0; 0 );
А ( 1 ; 1 ).
Во- вторых, площадь искомой фигуры равна разности площадей фигур:
1
S =
0

1
( x - x 2) d x = ( x 2 \ 2 - x 3 \ 3 )
0
= 1 \2 – 1 \ 3 = 1 \ 6 ( кв. ед.)
Пример:
Вычислить площадь, ограниченную линией х = 2 – у – у 2 и осью ординат.
РЕШЕНИЕ:
В этом примере искомая площадь ограничена линией х = f ( у ) и может быть
41
в
вычислена с помощью интеграла
а  f ( у ) d у , где а и в - ординаты точек
пересечения данной кривой c осью ординат.
Найдем эти ординаты из системы х = 2 – у – у 2 и х = 0. Получим а = - 2 ; в = 1.
Следовательно,
1
S=

( 2 – у – у 2 ) d у = 4,5 ( кв. ед.)
2
Вычисление объемов тел по площадям сечений.
Пусть требуется найти объем тела, если известна площадь любого сечения этого тела
плоскостью, перпендикулярной к оси х. Эта площадь зависит от положения секущей
плоскости, т.е. является функцией от х:
S = S ( x )/ Тело заключено между двумя
перпендикулярными к оси х плоскостями х = а; х = в. Пусть S ( х ) – непрерывная
функция от х. Для решения задачи разобьем данное тело плоскостями х = х о = а; х = х 1;
х = х 2; … , х = х n= в на n пластинок. С увеличением n высоту каждой из пластинок
стремить к нулю и будет представлять цилиндрическое тело. Объем такого цилиндра
равен S сеч. * х, где S сеч. – площадь поперечного сечения цилиндра, х – высота
цилиндра.
Суммарный объем всех цилиндров
Vn =
S сеч. * х.
Величина V n представляет собой интегральную сумму для непрерывной функции S ( x )
на промежутке [ а; в;], предел этой суммы выражается определенным интегралом
в
V = lim
Таким образом,
S сеч. * х = а  S ( x ) d x .
в
V = а  S ( x ) d x.
Если криволинейная трапеция, ограниченная линией у = f ( х ) > 0 и прямыми у = 0,
х = а , х = в, вращается вокруг оси х, то объем тела вращения вычисляется по формуле:
в
V = П а  у 2 d x.
Если фигура, ограниченная линиями у 1 = f 1 ( х ) и у 2 = f 2 ( х ) ( 0 < f 1 ( х) < f 2 ( х ) )
и прямыми х = а; х = в, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения вычисляется по
формуле:
в
V = П а ( у 22 – у12 ) d x /
Пример:
Найти объем фигуры, полученной в результате вращения синусоиды у = sin х.
заключенной между точками, абсциссы которых х = - п \ 2
и х = + п \ 2, вокруг оси
Ох.
РЕШЕНИЕ: Вычисление проведем по формуле:
п\2
п\2
V = П  sin 2 d x = П  ( 1 – 2 cos 2 x ) \ 2 d x = П 2 \ 2 .
-п\2
-п\2
Вычисление работы, производимой силой.
в
42
А = а  F ( x ) d x,
В частности силой упругости: F упр. = к * х, где к = F \ х – коэффициент упругости.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
1. По какой формуле вычисляется площадь плоской фигуры?
2. По какой формуле вычисляется объем тела вращения?
3. Как изменится формула нахождения площади и объема тела, вращающегося вокруг
оси ОУ?
4. Как найти работу силы, в частности, силы упругости?
Дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка.
43
Цель:
1. дать определение дифференциальным уравнениям;
2. рассмотреть решение дифуравнений с разделяющими переменными;
3. рассмотреть решение однородных дифуравнений 2-го порядка с
постоянными коэффициентами;
4. рассмотреть решение линейных неоднородных дифуравнений 2-го порядка;
Дифференциальными уравнениями называются уравнения, содержащие независимую
переменную х, искомую функцию у и ее производные n –го порядка.
F ( x, у 1, у 11, у 111, ….у( n ) ) = 0
Порядком дифференциального уравнения
производной, входящей в данное уравнение.
называется
порядок
наивысшей
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция у = f ( x ),
которая обращает данное уравнение в тождество. Искомая функция определяется
неоднозначно, т.е. дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Решение, содержащее произвольное постоянное С, называется общим решением, а каждое
решение, которое получается из этого общего при конкретном определенном значении С,
называется частным решением.
С геометрической точки зрения, общим решением дифференциального уравнения
является семейство интегральных кривых, для нахождения определенной кривой
необходимы начальные условия, в частности, координаты точки через которую проходит
данная кривая.
Дифференциальным уравнением 1-го порядка является уравнение, содержащее
производную 1-го порядка.
F(x,y,y1)=0
либо y 1 = f ( x , y )
1
Представив производную у в виде отношения дифференциалов d y \ d x , уравнение
1-го порядка можно записать в так называемой дифференциальной форме.
Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение, которое можно представить в виде
у1 = f 1 ( x ) * f 2 ( y )
либо d y \ d x = f 1 ( x ) * f 2 ( y ).
называется
дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися
переменными.
Алгоритм решения :
1. выполнить преобразования, которые приведут к разделению переменных;
2. взять интеграл от обеих частей уравнения;
3. при необходимости найти частное решение.
Пример.
Решить уравнение:
х + у у1 =0.
РЕШЕНИЕ: В результате разделения переменных получим:
x dx + ydy =0

y d y = -  x dx
y 2 = - x 2 + С – общее решение.
Пример:
44
Решить уравнение
( x 2 – 1 ) d y - 2 x y d x = 0.
РЕШЕНИЕ: В результате разделения переменных получим:
dy\y

=
2 х \ (х2–1) dx
 2 x \ ( x 2 – 1 ) d x методом подстановки.
dy\y =
ln I y I = ln I x 2 - 1 I + ln C
y = C ( x 2 – 1 ) - общее решение.
Однородные дифференциальные уравнения.
Опр. Дифференциальное уравнение вида Р ( х, у ) + Q ( x, y) у | = 0, называется
однородным , если P и Q – однородные функции одинаковой степени.
Решается уравнение с помощью подстановки
y = z x,
z = y \ x.
dy =zdx +xdz.
Пример: Найти общее решение уравнения:
х2 у| = ( х–у) у.
x 2 d y \ d x = ( x – y ) y.
x2 dy =(x–y)ydx.
делаем подстановку
x2(zdx+xdz) =(x–zx)zxdx
x 3 d z = x 2 z d x - z 2 x 2 d x - x 2z d x
x3dz = -z2x2dx

d z z -2 = -  1 \ x d x
1 \ z = ln I C x I
–1
z
\ - 1 = - ln I x I + ln C
x \ y = ln I C x I
ln e 1 \ z = ln I C x I
y = x ln I C \ x I
x\y
e
=Cx
общее решение.
Пример:
Найти общее решение уравнения
делаем подстановку
х2 у| +у2=хуу|
x2dy + y2dx=xydy
2
x (zdx+xdz) + x2z2dx =xzx (zdx+xdz)
x2 z d x + x 3 d z + x 2 z 2 d x - x 2 z 2 d x - x 3 z d z = 0
x3(1–z)dz = -x2zdx

(1–z)\z d z = -  x2\x3dx
ln | z | – z = - ln | x | + ln C
ln | z | - ln e z = ln | C \ x |
ln | z \ e z | = ln | C \ x |
y \ x e y\x = C \ x
y = C e y\x
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Опр. Дифференциальное уравнение вида у | + Р ( x ) y = Q ( x ), где Р (x) и Q (х) –
непрерывные функции на некотором интервале ( а; в ), называется линейным.
Опр.
Если в уравнении функция Q (х) не равна тождественно нулю на интервале
( а ; в ), то уравнение называется линейным неоднородным уравнением или линейным
уравнением с правой частью.
45
Опр. Если в уравнении функция Q (х) на интервале (а; в ) тождественно равна нулю, то
уравнение принимает вид
y | + Р (х) у = 0
и называется линейным однородным уравнением или линейным уравнением без
правой части.
Линейное однородное уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными,
поэтому, разделив переменные, получим
d y \ y = - Р (х) d х
интегрируя, будем иметь ln | y |
или
=-

Р (х) d x + ln | C |; откуда
у=С|e-

Р (х) d x
|,
у = С ехр ( -  Р (х) d x ), где С – произвольная постоянная,
отличная от нуля. Это и есть общее решение линейного однородного уравнения.
Пример: Найти общее решение линейного однородного уравнения
y| - 2
у = 0
х+1

dy / y = 2  ( x+1)dx
ln | y | = 2 ln | x + 1 | + ln | C |
y = C(x+1)2
Общее решение линейного неоднородного уравнения связано с общим решением
соответствующего ему однородного уравнения. C целью сделаем подстановку
y = u v , где u и v - некоторые функции переменной х на интервале ( а; в ).
Дифференцируя по х , получим
d y \ d x = u d v \ d x + v d u \ d x.
Подставив в уравнение получим
u d v \ d x + v d u \ d x + Р (х) u v = Q (х).
или
u d v \ d x + ( d u \ d x + Р (x) u ) v = Q (x).
Выберем в качестве u такую функцию, чтобы коэффициент при v в уравнении
обратился в нуль:
d u \ d x + Р (x) u = 0.
Тогда уравнение примет вид
u d v \ d x = Q (x).
Для того чтобы выполнялось условие
= 0 , а это есть линейное однородное
уравнение, в качестве его решения возьмем частное решение, полученное из общего
решения при С = 1:
u = exр ( -

Р (x) d x ).
Подставив в уравнение получим
eхр ( -

Р (x) d x ) d v \ d x = Q (x)
d v \ d x = Q (x) exр

Р(х) d x ,
или
откуда
d v = Q (x) exр (  Р (x) d x ) d x.
Поэтому общее решение уравнения будет иметь вид
Подставив значения
уравнения:
у=е
-

u
Р (х) d x
v=

Q (x) exр (  Р (x) d x ) d x + C.
и
v получим общее решение линейного неоднородного
(  Q (x) exр (  Р (х) d x ) d x + C)/
46
Пример: Найти общее решение линейного неоднородного уравнения
у| -у=ех
Решение: Так как в данном примере Р (х) = - 1, а Q (х) = е х, то


Р (х) d x = -

d x = - x,
Q (x) exр(  Р (x) d x ) d x =  e x e – x d x = x.
Подставляя эти величины в формулу, получим у = ( х + С ) е х.
В данном случае применили готовую формулу. Однако на практике при решении
линейного неоднородного уравнения используют сам метод нахождения решения.
Пример6 Найти общее решение уравнения:
у | - 2 у = ( х + 1) 3
х+1
Решение: Сделаем подстановку у = u v , где u и v некоторые функции от х.
Дифференцируя это равенство по х, получим у | = u v | + v u | . Подставляя эти выражения
у и у | в уравнение, получим
u dv + v du - 2uv= (x+1)3
dx
dx
x+1
Для определения u имеем уравнение
du - 2u = 0
dx
x+1
откуда u = ( x + 1 ) 2.
При этом уравнение примет вид d v \ d x = ( x + 1 ) или d v = ( x + 1 ) d x . откуда
v = ( х + 1 ) 2 \ 2 + С.
Следовательно, общее решение данного уравнения
у = u v = 1 \ 2 ( x + 1 ) 4 + C ( x + 1 ) 2.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами.
Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
d 2 y \ d x 2 = f ( x, y, d y \ d x ),
а в его общее решение входят два произвольных постоянных. Решается данное
уравнение двукратным интегрированием.
Пример: Найти общее решение уравнения:
d2 e / dx2 = 2x.
Пусть Р = d y / d x, то d ( d Р / d x ) / d x = 2 x ,


dР = 2
dy =


x d x,
Р = x 2 + C 1,
( x 2 + C 1 ) d x,
y = x 3 \ 3 + C 1 x + C 2 _ общее решение.
Уравнение
y | | + р y | + q y = f (x),
где р и q - постоянные действительные числа, а f (х) – заданная непрерывная
функция, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами.
Если функция тождественно равна нулю, то уравнение принимает вид:
y || + р y | + q y = 0
и называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка
с постоянными коэффициентами.
Если у 1 = у 1 (х) и у 2 = у 2 (х) - два линейно-независимых частных решения
данного уравнения, то общим решением этого уравнения будет функция
у = С 1 у 1 + С 2 у 2,
47
где С 1 и С 2 - произвольные постоянные.
Для решения данного уравнения составляем характеристическое уравнение, заменяя
при этом
у | | на к 2,
у | на к ,
q на 1.
2
Получаем
к + р к + q = 0.
Относительно корней характеристического уравнения возможны 3 случая:
a. D > 0, корни к 1 и к 2 уравнения действительные и различные. В этом
случае получаем два линейно-независимых частных решения уравнения:
у 1 = е к1 х и у 2 = е к 2 х .
следовательно, общим решением уравнения будет функция:
у = С 1 е к1х + С 2 е к2х.
b. D = 0, корни характеристического уравнения действительные и равные. В
этом случае ( к 1 = к 2 = к ) получаем только одно частное решение
уравнения
у 1 = е к х , а в качестве второго частного решения можно взять
функцию у 2 = х е к х.
следовательно, общим решением уравнения будет функция:
у = С 1 е кх + С 2 х е кх.
D < 0, корни характеристического уравнения – комплексные числа
к1 = а + вi
и
к 2 = а - в i. В этом случае получаются два
частных решения: у 1 = е ( а + в i ) x и
y 2 = e (a–вi)x
общее решение записывается в виде:
у = е а х ( С 1 cos в х + С 2 sin в х ).
3.
Пример:
Найти общее решение уравнения:
y || - 5 y | + 6 y = 0
Решение: Составляем характеристическое уравнение:
к2 - 5к + 6=0
к 1 = 2, к 2 = 3.
следовательно, общее решение имеет вид: у = С 1 е 2 х + С 2 е 3 х .
Пример:
Найти общее решение уравнения:
у | | - 2 у | + у = 0.
Решение: Составляем характеристическое уравнение: к 2 + 2 к + 1 = 0
к 1 = к 2 = к = - 1.
следовательно, общее решение имеет вид: у = С 1 е - х + С 2 х е - х или
у = е - х ( С 1 + С 2 х ).
Пример:
Найти общее решение уравнения:
у | | - 4 у | + 13 = 0.
Решение: Составляем характеристическое уравнение:
к 2 - 4 к + 13 = 0.
к1= 2 + 3i
и к 2 = 2 - 3 i.
следовательно, общее решение записываем в виде:
у = е 2 х ( С 1 cos 3 x + C 2 sin 3 x ) .
Задания: Решите однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами:
а) у | | - 4 у | + 3 у = 0;
г) у | | + 12 у | - 7 у = 0;
б) у | | - у | = 0;
д) у | | - 2 у | + 10 у = 0;
||
|
в) у + 4 у + 8 у = 0;
е) у | | + 25 у = 0.
48
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами является суммой любого частного его решения и
общего общего решения соответствующего однородного уравнения.
Таким образом, чтобы найти общее решение неоднородного уравнения нужно выполнить
следующие действия:
c. найти общее решение соответствующего однородного уравнения;
d. Найти частное решение неоднородного уравнения;
e. Написать общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего
решения однородного уравнения и частного решения неоднородного;
Частное решение уравнения в некоторых случаях можно найти по виду правой части f (х)
уравнения.
Правила отыскания частных решений уравнения:
1. Если f (х) есть многочлен f (x) = а n х n + а n – 1 х n – 1 + … + а 1 х + а 0 то:
а)
у = А n х n + А n – 1 х n – 1 + … + А 1 х + А 0, если число 0 не является
корнем характеристического уравнения;
б) у = х k (А n х n + А n – 1 х n – 1 + … + А 1 х + А 0 ), если число 0 является к –
кратным корнем характеристического уравнения.
Пример: Решить уравнение:
у | | - 2 у | –3 у = 2 х.
Решение: 1. находим общее решение соответствующего однородного уравнения:
У = С 1 е –х + С 2 е 3х.
2. находим частное решение данного уравнения. Так как f (х) = 2 х, то, согласно
правилу а) ( при n = 1), положим у = А 1 х + А 0.
Тогда ( у ) | = А 1;
( у ) | | = 0. При подстановке в данное уравнение значений
у, у | , у | | , получаем: 0 - 2 А 1 - 3 ( А 1 х + А 0 ) = 2 х.
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, находим:
- 3 А 1 = 2;
- 2 А 1 – 3 А 0 = 0, откуда А 1 = - 2 \ 3;
А 0 = 4 \ 9.
Следовательно,
у = - 2 \ 3 х + 4 \ 9 - частное решение.
Находим общее решение уравнения: у = С 1 е – х + С 2 е 3 х - 2 \ 3 х + 4\ 9.
Пример: Решить уравнение: у | | – 2 у | – 3 у = х 2 + 1.
1. находим общее решение однородного уравнения:
у = С 1 е 3x + С 2 е –x/
2. находим частное решение данного уравнения:
согласно правилу при n = 2, положим у = А 2 х 2 + А 1 х + А 0.
Тогда (у) | = 2 A 1 x + A 1, (у) | | = 2 A 1. при подстановке в уравнение поучим
2 А 2 - 2 ( 2 А 2 х + А 1 ) - 3 ( А 2 х 2 - А 1 х + А 0 ) = х 2 + 1.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, будем иметь:
- 3 А 2 = 1;
- 4 А 2 - 3 А 1 = 0;
2 А 2 – 2 А 1 – 3 А 0 = 1.
Решая эту систему, находим: А 2 = - 1 \ 3; А 1 = 4 \ 9; А 0 = - 23 \ 27.
Следовательно, у = - 1 \ 3 х 2 + 4 \ 9 х - 23 \ 27 - частное решение.
Общее решение уравнения:
У = С 1 е 3 х + С 2 е – х - 1 \ 3 х 2 + 4 \ 9 х - 23 \ 27.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:
49
1. Какое уравнение называется дифференциальным?
2. Что называется решением дифференциального уравнения?
3. Какое решение называется общим решением дифференциального уравнения?
4. Какое решение называется частным решением дифференциального уравнения?
5. Какие данные называются начальными?
6. Какие дифференциальные уравнения называются уравнениями первого порядка?
7. Какие функции называются однородными?
8. Какие дифференциальные уравнения называются однородными?
9. Какие дифференциальные уравнения называются линейными?
10. Какие линейные дифференциальные уравнения называются однородными?
11. Какие линейные дифференциальные уравнения называются неоднородными?
Числовые ряды. Сходимость ряда.
50
Цель:
1.
2.
3.
4.
дать определения числового ряда;
рассмотреть признаки сходимости ряда;
дать понятие функционального ряда;
рассмотреть разложение функционального ряда в ряд Маклорена;
Выражение вида U 1 + U 2 + U 3 + … + U n + … ,
где
U 1, U 2 , U 3 , … U n … члены некоторой бесконечной
последовательности называется рядом.
U n - общий член ряда;
S n – сумма n первых членов ряда называется частичной суммой ряда:
Sn= U1 + U2 + U3 + … + Un
при изменении n меняется и S n .
Может быть 2 случая:
1. величина
Sn
при n -- о-о имеет предел S т.е.
lim
S n = S ряд называется сходящимся;
n – o--o
2. величина
Sn
при n – о-о предела не имеет либо он равен бесконечности
называется расходящимся. Такой ряд не имеет суммы.
Арифметическая прогрессия:
а 1, а 2, а 3, …. a n … называется арифметической
прогрессией если каждый следующий член ее отличается от предыдущего на одну и ту же
постоянную величину, которая называется разностью арифметической прогрессии:
d = a n - a n – 1,
a n = a 1 + d ( n – 1 ) – формула n –го члена прогрессии.
S ар. = ( а 1 + а n ) * n \ 2 - формула суммы арифметической прогрессии.
или S ар. = ( 2 а 1 + ( n - 1 ) d ) * n \ 2.
Геометрическая прогрессия: в 1, в 2, в 3, …. в n … называется геометрической
прогрессии каждый член которой, начиная со второго отличается от предыдущего в одно
и то же число раз. Данное число называется знаменателем геометрической прогрессии.
в n = в 1 * q n – 1 - формула n – го члена прогрессии.
Sn=
в ,
при | q | < 1 - формула суммы бесконечно убывающей
1–q
геометрической прогрессии.
Sn = в (qn -1),
q - 1
при
| q | > 1 – формула суммы бесконечно возрастающей
геометрической прогрессии.
Ряд в + в q + в q 2 + … + в q n – 1 + …..
(|q| <1)
составлен из членов
любой убывающей геометрической прогрессии является сходящимся и имеет
S = в \ ( 1 - q ).
Ряд 1 + 1 \ 2 + 1 \ 3 + 1 \ 4 + … + 1 \ n + … - называется гармоническим рядом и
он всегда расходится.
Пример: Дан общий член ряда
U n = n \ ( 10 n + 1 ). Написать первые четыре
члена ряда.
Если n = 1, то u 1 = 1 \ 11, если n = 2, u 2 = 2 \ 101, n = 3 u 3 = 3 \ 1001,
n = 4, то u 4 = 4 \ 10001.
Ряд можно написать :
1 \ 11 + 2 \ 101 + 3 \ 1001 + 4 \ 10001 + ..
Пример: Найти общий член ряда:
1\2 + 3\22 + +5/23 + 7\24 +…
Последовательные числители образуют арифметическую прогрессию:
а 1 = 1;
d = 2;
а n = 1 + 2 ( n – 1 ).
Последовательные знаменатели образуют геометрическую прогрессию:
51
в 1 = 2;
q = 2;
в n = q n.
U n = 2 n – 1 \ q n.
Пример:
Найти общий член ряда: 2 \ 3 + ( 3 \ 7 ) 2 + ( 4 \ 11 ) 3 + 5 \ 15 ) 4 +…
Числители – арифметическая прогрессия: а 1 = 2; d = 1; а n = 2 + n – 1 = n + 1,
Знаменатели – арифметическая прогрессия: а 1 = 3; d = 4;
а n = 3 + 4 ( n – 1 ) = 4 n - 1.
Un= (n+1 \ (4n–1))n.
Необходимый признак сходимости ряда:
Если ряд u 1 + u 2 + u 3 + …. сходится, то
предел общего члена сходящегося ряда равен 0.
Т.о. lim n—o-o u n = 0 , то ряд расходится.
lim
n – o-o
u
n
= 0 т.е. при n – о-о
Признаки сходимости ряда:
1. Признак Даламбера.
Если для ряда u 1 + u 2 + u 3 + … + u n + .. существует lim n – o-o ( u n + 1 | u n ) = D,
то этот ряд сходится при D < 1,
и расходится при D > 1.
2. Признак Лейбница.
( для знакочередующегося ряда ).
Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его монотонно
убывают, а общий член стремится к нулю т.е.
f. | u 1 | > | u 2 | > | u 3 | > ….
g. lim n – o-o u n = 0.
Пример:
Исследовать сходимость ряда: 1 \ 2 + 3 \ 2 2 + 5 \ 2 3 + … + ( 2 n – 1 ) \ 2 n + …
un = (2n–1) \2n,
u n+1 = ( 2 n + 1 ) \ 2 n +1
n+1
lim n – o-o ( ( 2 n + 1 ) \ ( 2
) : ( 2 n – 1 ) \ 2 n ) = lim n – o-o ( 2 n + 1 ) \ 2 ( 2 n – 1 ) =
lim n – o-o ( ( 2 + 1 \ n ) | ( 4 – 2 \ n ) = 1 \ 2 < 1. ряд сходится.
Пример: признак Даламбера.
Исследовать сходимость ряда: 1
+ 1
+ 1 + …. +
1
+…
2
3
n
1*2
2*2
3*2
n*2
lim n—o-o
1
:
1
= lim n—o-o
1 * n*2n
= 1\2<1
(n + 1)*2 n+1
n*2n
( n + 1 )* 2 n *2 * 1
Ответ: ряд сходится.
Пример: признак Даламбера.
Исследовать сходимость ряда:
lim n—o-o ( n + 1
Ответ:
D = 0,
0,001 ) : (
n
0,001 +
0,001
+
0,001 + … + n
3
0,001 ) = ( 0,001 ) 1 \ n + 1
-
1\ n
= lim
0,001 + …
n—o-o 10
3\n(n+1)
ряд расходится.
Пример: признак Даламбера
Исследовать сходимость ряда: 3 \ 1 + 3 2 / 1*2 + 3 3 / 1*2*3 + … + 3 n \ n ! + …
lim n—o-o 3 n + 1
* 1*2*3*… n
= lim n—o-o 3 \ ( n + 1 ) = 0 < 1
52
1*2*3*…n* (n+1) * 3 n
Ответ: ряд сходится.
Пример: признак Лейбница
Исследовать сходимость ряда: 1 – 1 \ 2 + 1 \ 3 – 1 \ 4 + … + ( -1 ) n +1 / n + …
Так как 1 > 1\ 2 > 1 \ 3 > 1 \ 4 > ….> 1 \ n,
и
lim n—o-o 1 \ n = 0.
Ответ: ряд сходится.
Пример: признак Лейбница
Исследовать сходимость ряда: 1 - 1 \
Так как 1 > 1 \
2 >1\
2 +1\
3 > …. . 1 \
n,
3 -1\
4 + … + ( - 1 ) n+1 \
lim n—o-o 1 \
n
n = 0.
Ответ: ряд сходится.
Пример: признак Лейбница
Исследовать сходимость ряда: 1 - 1 \ 2! + 1 \ 3 ! - 1 \ 4 ! + … + ( - 1 ) n + 1 / n ! + …
Сходится
Исследовать сходимость ряда : 1 – 2\3 + 3\5 – 4\7 + … + ( - 1 ) n + 1 * n \ ( 2 n – 1 ) + …
lm n—o-o n \ ( 2 n –1 ) = 1 \ 2
Ответ: ряд расходится.
Функциональные ряды:
Ряд u 1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + … + u n (x) + …
члены которого - функции от х
называются функциональными.
Совокупность значений х, при которых функции
u 1 (x) , u 2 (x), u 3 (x), … u n (x)
определены и данный ряд сходится называется областью сходимости функционального
ряда.
Степенные ряды. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
a о + а 1 х + а 2 х 2 + … + а n x n + …,
где a о, а 1, а 2 , … а n - постоянные коэффициенты.
Для любого степенного ряда существует непрерывная область значений х при которых
этот ряд сходится и называется промежутком сходимости степенного ряда.
Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда.
Признак Вейершрасса.
Если функции u 1 (x); u 2 (x); … u n (x); по абсолютной величине не превосходят в
некоторой области Х положительных чисел а 1 ; а 2 ; … а n , причем числовой ряд
а 1 + а 2 + … + а n + … сходится, то функциональный ряд
u 1 (x) + u 2 (x) + … u n (x) + … в этой области сходится равномерно.
Пример:
Исследовать сходимость ряда:
х \ 1 + х 2 \ 2 + х 3 \ 3 + х 4 \ 4 + … + x n \ n +…
можно перейти к ряду | х | \ 1 + | х 2 | \ 2 + | х 3 | \ 3 + | х 4 | \ 4 + … + | x n | \ n +…
По признаку Даламбера
lim n—o-o | x n + 1 |
n = lim n—o-o = | x | ,
n +1
xn
53
так как ряд сходится при условии
D < 1, то
|x|<1
или
- 1 < x < 1.
Пример:
Исследовать сходимость ряда: х 2 \ 1 + х 4 \ 2 + х 6 \ 3 + … + х 2 n / n + ….
lim n—o-o x 2 n + 2
n
= x 2 , по признаку Даламбера D < 1, x 2 < 1,
*
2n
n+1
x
-1<x<1
Пример:
Исследовать схoдимость ряда: х + х 2 \ 2 + х 3 \
lim n—o-o | x |
1
= | x |,
- 1 < x < 1.
1 + 1\n
3
+ … + х /
n +…
Пример:
Исследовать сходимость ряда: х \ 1! + х 2 \ 2! + х 3 / 3! + … + x n \ n! + ….
lim n—o-o | x n + 1 | *
n
= lim n-o-o | x | 1 = 0 < 1, - o-o < x < + o-o.
n
n ( n + 1)
|x |
n+1
Пример:
Исследовать сходимость ряда:
1 \ 2 + 1 \ 5 + 1 \ 8 + … + 1 \ ( 3 n – 1) + …
Сравним ряд с гармоническим рядом, у которого Vn = 1 \ n
lim n—o-o u n \ v n = lim n—o-o n \ ( 3 n – 1 ) = 1 \ 3.
следовательно ряд расходится.
Пример:
Исследовать сходимость ряда: 2 \ 3 + 1 \ 3 + 1 \ 6 + 1 \ 12 + … + 2 \ 3 ( 1 \ 2 ) n – 1 +…
Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и
поэтому сходится.
Найдем сумму а = 2 \ 3, q = 1 \ 2,
S = a \ ( 1 – q ) = 2 \ 3 \ ( 1 – 1 \ 2 ) = 4 \ 3.
Пример:
Исследовать сходимость ряда: 1\ 11 + 1 \ 12 + 1 \ 13 + …. + 1 \ ( n + 10 ) + …
Ряд получен из гармонического отбрасыванием первых десяти членов, следовательно
расходится.
Пример: признак Даламбера.
Исследовать сходимость ряда: 1 \ 3 + 2 \ 3 + 3 \ 3 3 + … + n \ 3 n \ 2 + ….
Здесь u n = n \ 3 n \ 2 ,
u n+1 = ( n + 1 ) \ 3 ( n+1)\2 ,
lim n—o-o u n + 1 \ u n = ( n + 1 ) \ n 3 = 1 \ 3 , D < 1,
следовательно ряд сходится.
Пример: необходимый признак сходимости ряда.
Исследовать сходимость ряда: 1 \ 2 + 2 \ 5 + 3 \ 8 + … + n \ ( 3 n – 1 ) + …
Так как lim n—o-o u n = lim n—o-o n \ ( 3 n – 1 ) = lim n—o-o 1 \ ( 3 – 1 \ n ) = 1 \ 3.
то есть lim n—o-o u n = 0, то ряд расходится.
Теоремы интегрирования и дифференцирования.
1. Если ряд u 1 (x) + u 2 (x) + … + u n (x) + …,
где
u 1 (x), u 2 (x), … u n (x)… непрерывные функции, равномерно сходится в
некоторой области Х и имеет сумму S (x), то ряд
54
в

( u 1 (x) d x
a
+
в
в

u 2 (x) d x + … + 
в
a
a
сходится и имеет сумму

u n (x) d x + …
S (x) d x ( промежуток [ а; в] принадлежит области Х )
а
2. Пусть функции u 1 (x), u 2 (x), … u n (x), определены в некоторой области Х и имеют
в этой области производные u 1| (x); u 2 | (x); … u n | (x); ….
Если в этой области ряд, составленный из производных этих функций сходится
равномерно, то его сумма равна производной суммы этого ряда.
Зная формулу Тейлора:
Р n (x) = f (x o) + f | (x) ( x – x o ) + f | | (x) ( x – x o) 2 + … + f (n) (x) ( x – x o ) n
1!
2!
n!
при х о = 0 получим ряд Маклорена
f (x) = f ( 0 ) + f | ( 0 ) x + … + f (n) ( 0 ) x n
1!
n!
Примеры разложения в ряд Маклорена функций:
1. e x = 1 + x \ 1! + x 2 \ 2! + x 3 \ 3! + + … x n – 1 \ ( n – 1 )! + …. – o-o < x < + o-o;
2. sin x = x \ 1 – x 3 \ 3! + x 5 \ 5! – x 7 \ 7! + …+ ( -1) n – 1 x 2 n – 1 \ 2 ( n – 1 ) ! + …
- o-o < x < + o-o
3. cos x = 1 – x 2 \ 2! + x 4\ 4! – x 6\ 6! + … + ( - 1 ) n-1 x 2 ( n – 1 ) \ [ 2 ( n – 1 ) ]! +
- o-o < x < + o-o
4. ( 1 + x ) m = 1 + m x + m ( m – 1 ) x 2 + m ( m – 1) ( m – 2 ) x 3 + …
1!
2!
3!
+ m (m –1)… (m – n + 2) x n – 1 + …
(n–1)!
5. ln ( 1 = x ) = x – x 2 \ 2 + x 3 \ 3 – x 4 \ 4 + … + ( -1) n – 1 x \ n + …
- 1 < x < 1.
6. arctg x = x – x 3 \ 3 + x 5 \ 5 – x 7 \ 7 + … + ( -1 ) n – 1 x 2 n – 1 \ ( 2 n – 1 ) + … - 1 < x < 1.
7.
y = sin 2 x
y| = 2
y || = - 4
y ||| = - 8
y | V = 16
y V = 32
f(x) =
cos 2 x , y | ( 0 ) = 2,
sin 2 x , y | | ( 0 ) = 0,
cos 2 x, y | | | ( 0 ) = - 8,
sin 2 x
y | V ( 0 ) = 0,
cos 2 x , y V ( 0 ) = 32, ..
2 x - 8 x 3 + 32 x 5 + … + 4 n x 2 n – 1 + …
1!
3!
5!
n(n–1)!
Практическая работа № 8.
I Вариант
II Вариант
1. Указать первые три члена ряда по формуле общего члена:
55
a n = ( - 1 ) n – 1 ( n + 1 ) \ 3 n.
а n = ( 2 n + 3 ) \ ( n 2 + 1 ),
2. Определить сходимость ряда:
10 \ 1! + 10 2 \ 2! + 10 3 \ 3! +…+ 10 n \ n! +..
2 \ 1 + 2 2 \ 2 10 + 2 3 \ 3 10 + .. + 2 n \ n 10…
1\2–2 \ (2 2+1) + 3 \(3 2 +1) -…(-1) n n \ (n2+1)+..
1,1 – 1,01 + 1,001 -…+ (-1) n-1 [1+(0,1)n] +..
3. Разложить в степенной ряд:
y = sin 2 x
у=x* ex
y = 2 cos x,
y = x * ln ( x + 1 ).
Решение:
(Д) lim n—o-o 10 n+1 \ ( n+1)! : 10 n \ n! = lim n—o-o 10 \ n +1 = 0; D < 1 – ряд сходится
lim n—o-o 2 n+1 \ ( n+1 ) 10 : 2 n \ n 10 = lim n—o-o 2 \ ( 1 + 1\ n) 10 = 2, D>1 – расходится
(Л) 1). 2 \ (2 2 + 1) = 1 \ ( 2 + 1\2),
3 \ (3 2 + 1 ) = 1 \ (3 + 1 \ 3), …
то 1\2 > 2 \ ( 2 2 + 1 ) > 3 \ ( 3 2 + 1 ) > …..
2). lim n –o-o u n = lim n—o-o n \ n 2 + 1 = lim n—o-o 1 \ ( n + 1\ n) = 0,
ряд сходится.
1). 1,1 > 1,01 > 1,001> …
2). lim n—o-o u n = lim n—o-o ( 1 + 1 \ 10 n ) = 1 = 0,
ряд расходится.
Элементы комбинаторики и теории вероятности.
Цель:
1. дать понятие случайному событию и его вероятности;
2. дать классическое определение вероятности;
56
3. рассмотреть теоремы сложения и умножения вероятности;
4. рассмотреть математическое ожидание случайной величины;
5. познакомиться с формулой дисперсии и средним квадратичным отклонением;
Задачи теории вероятностей заключаются в разработке математических методов для
исследования случайных явлений.
Задачи, при решении которых приходится составлять различные комбинации из
конечного числа элементов и производить подсчет числа всех возможных таких
комбинаций, относятся к разделу математики, который называется комбинаторикой. Этот
раздел математики находит широкое применение во многих вопросах естествознания и
техники. В комбинаторике установленный порядок во множестве называют перестановкой
его элементов. В множестве из одного элемента существует одна перестановка, в
множестве из двух элементов – две. В множестве из 3-х элементов М = { а, в, с} можно
образовать 6 перестановок.
Число перестановок из n элементов обозначим через Р n. Р1 = 1, Р2 = 2, Р3 = 6.
Теорема: Для числа перестановок из n элементов справедливо равенство
Рn = n Р n – 1.
Каждая перестановка, составленная из элементов взятого множества, содержит все
элементы этого множества. Но может оказаться, что из числа n элементов множества
необходимо выбрать только определенное число m ( m < n ) элементов, т.е. возникает
необходимость установить: сколько упорядоченных подмножеств по m элементов в
каждом можно образовать из n элементов исходного множества.
Каждое такое упорядоченное подмножество в комбинаторике называется
размещением из n элементов по m.
Число таких размещений обозначим А nm .
Пример: из множества М = { а, в, с}, содержащего три элемента, можно составить 6
размещений по 2 элемента: (а; в); (а; с); (в; с); (в; а); (с; а); (с; в).
Таким образом, А 32 = 6. А n1 = n.
В общем случае A nm = n ! \ ( n – m ) !
По определению A n0 = 1.
Так как перестановки можно считать частным случаем размещений ( при m = n ), то
А nn = Р n = n !
Пример: Перед выпуском группа учащихся техникума в 30 человек обменялись
фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?
Решение: Группа учащихся составляет множество элементов, участвовавших в обмене
фотокарточками, следовательно, n = 30. каждое размещение есть передача фотокарточки
одним учащимся другому. Поэтому m = 2. таким образом, всех фотокарточек было
А302 = 30 * 29 = 870.
Пример: Сколькими способами можно выбрать 5 человек на 5 должностей из 8
кандидатов?
А 85 = 8*7*6= 328.
Пример: Сколько существует способов рассадить 10 гостей по 10 местам за праздничным
столом?
А = 10 ! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 36288800.
Сочетания и их свойства:
Число всех подмножеств по m элементов в каждом, составленных из n элементов
данного множества, называется числом сочетаний из n элементов по m и обозначается
через C nm или в англоязычной литературе – через ( mn ).
57
Например, их множества М = { а; в; с }, состоящего из трех элементов, можно
составить 3 двухэлементных подмножества: { а; в }, { а; с }, { в; с }.
Теорема: Число сочетаний из n элементов по m равно отношению числа размещений
из n элементов по m к числу перестановок m элементов:
С nm = A nm \ Р m.
Так как А nm = n ! \ ( n – m ) !
и
Р m = m !, то
m
C n = n ! \ m! ( n – m )!
В частности, при m = 1 величина C n1 = n. Условимся считать, что C n0 = 1 при
всех n.
Пример: Сколько всего игр должны провести 16 футбольных команд в однокруговом
чемпионате?
Решение: Так как всего команд 16, то n = 16.Но игра любой команды M с командой
N совпадает с игрой команды N с командой M, поэтому каждая игра есть сочетание из 16
по 2. Следовательно, всех игр будет
С 162 = …15*16 \ 2 ( …13*14) = 120.
Свойства сочетаний:
1. Справедливо равенство:
С nm = C nn – m .
2. Справедливо равенство:
С nm + C n m + 1 = C
n+1
m+1
.
С помощью этого равенства можно вычислить значения C nm . Сначала при n = 0,
затем n = 1, n = 2 и т.д.
Составим таблицу – треугольник Паскаля
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…………………
Из формулы ( 1 ) следует, что числа в каждой строке треугольника Паскаля,
равноудаленные от начала и конца, совпадают, а из формулы ( 2 ) – что каждое число
следующей строки равно сумме чисел предыдущей строки, стоящих над данным числом
справа и слева от него.
Вычислите: С 135, С 2725 .
Бином Ньютона:
( а + в ) n = C n0 a n + C n1 a n – 1 b + C nn – 2 a n – 2 b 2 + … + C nm a n – m b m + … + C nn b n.
Коэффициенты
C nk
формулы Ньютона называются биномиальными
коэффициентами.
Формула Ньютона обладает свойствами:
1. В разложении двучлена ( а + в ) n по формуле Ньютона содержится n = 1 член.
2. Сумма показателей а и в в каждом члене равна n.
3. Биномиальные коэффициенты равноудалены от начала и конца разложения, равны
между собой.
4. Биномиальные коэффициенты совпадают с числами соответствующей строки
треугольника Паскаля.
5. Сумма биномиальных коэффициентов разложения ( а + в ) n равна 2 n .
В самом деле, положив а = в = 1, получим
2 n = C n0 + C n1 + … + C n m + … + C nn – 1 + C n n.
6. Слагаемые в разложении ( а + в ) n можно получить по общей формуле:
58
Т к +1 = С nk a n – k b k ( k = 0, 1, 2, … n ),
T к + 1 - ( к + 1 ) –е слагаемое.
Пример: Найти разложение ( а + х ) 8.
Решение: Справедливо равенство:
( а + х ) 8 = а 8 + 8 а 7 х + 28 а 6 х 2 + 56 а 5 х 3 + 70 а 4 х 4 + 56 а 3 х 5 + 28 а 2 х 6 + 8 а х 7 + х 8
Пример: Найти 5 член разложения бинома ( х 2 + 2 у ) 10.
Решение: По формуле: Т 5 = Т к + 1 = Т 4 + 1 = С 10 4 ( х 2) 10 – 4 ( 2 у ) 4 = 210 х 12 ( 2у ) 4 =
= 3360 х 12 у 4.
Пример: Найти член разложения бинома ( 2 х – у ) 9, не содержащий х.
Решение: По формуле
Т к + 1 = С 9к ( 2 х 2 ) 9 – к у к = С9к 2 9 – к х 18 – 2 к у к .
Так как искомый член не содержит х, то это означает, что в это слагаемое величина х
входит в нулевой степени, следовательно, 18 – 2 к = 0, откуда к = 9. Так как к + 1 = 10, то
десятый член разложения и есть искомый : у 9.
Случайное событие и его вероятность.
Совокупность условий, при которых рассматривается появление случайного события,
называется испытанием или опытом.
Возможный результат опыта называется событием.
Опыт – стрельба по мишени, а событие – «поражение мишени» или нет.
События обозначаются прописными латинскими буквами: А, В, С, …
Событие называется достоверным ( U ) в данном опыте, если оно обязательно
произойдет в данном опыте. В ящике только красные шары. Достать красный шар –
достоверное событие.
Событие называется невозможным ( V ) в данном опыте, если оно не может произойти в
данном опыте. Достать черный шар.
Событие называется случайным в данном опыте, если оно может произойти и не
произойти. Например получить 5 на экзамене.
Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не
исключает появление и другого. При бросании игральной кости совместными событиями
будет выпадении «четного числа очков» и « выпадении двойки».
Два события называются несовместными в данном опыте, если они не могут произойти
одновременно при одном и том же опыте.
Одновременное выпадение «герба» и «решки» при бросании монеты.
Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.
Два события называются противоположными, если появление одного из них исключает
появление другого. Выпадение «выигрыша» и не выигрыша» на один тот же лотерейный
билет.
Совокупность событий А1, А2, А3, … образуют полную группу событий, если они
попарно несовместны и появление одного и только одного из них является достоверным
событием. Например, при однократном бросании одной игральной кости выпадение цифр
1, 2, 3, 4, 5, 6 являются попарно несовместными событиями и выпадении одной и только
одной цифры будет достоверным событием.
Элементарные исходы при данном опыте, при которых данное событие наступает,
называются благоприятствующими этому событию. Например: при бросании игральной
кости выпадению четного числа очков благоприятствующими являются исходы: выпало 2,
4, 6 очков.
59
Если дано несколько событий А.В, С, …, К, то событие, состоящее в появлении хотя бы
одного из них, называется суммой или объединением этих событий. Сумма событий
обозначается А + В + С + …+ К.
Событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий, называется
произведением или совмещением этих событий. Произведение событий обозначается
АВС…К. Например, из множества деталей выбираются наугад две. Пусть А – событие,
означающее, что первая деталь оказалась не бракованной, а В - что вторая деталь также
оказалась не бракованной, тогда А + В означает, что хотя бы одна из выбранных деталей
оказалась не бракованной, а АВ – что обе детали оказались не бракованными.
Классическое определение вероятности.
Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов,
благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных элементарных
исходов опыта.
Р(А) = m \ n
( 0 < m < n ).
Где m - число элементарных исходов, благоприятствующих данному событию;
n - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную
группу событий;
Свойства вероятности события:
1. Вероятность события А есть неотрицательное число, заключенное между нулем и
единицей:
0 < Р ( А ) < 1.
2. Вероятность достоверного события равна единице:
Р ( U ) = 1.
3. Вероятность невозможного события равна нулю:
Р ( V ) = 0.
4. Если А и В - несовместные события, то вероятность их суммы равна сумме
вероятностей:
Р ( А + В ) = Р ( А ) + Р ( В ).
Пример: Пусть имеется 80 деталей среди которых 60 исправных, а 20 бракованных.
Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется исправной.
Решение:
Р ( А ) + 60 \ 80 = 3 \ 4.
Теоремы сложения и умножения вероятностей:
1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей
этих событий:
Р ( А + В ) = Р ( а ) + Р ( В ).
Пример: На складе имеется 50 деталей, изготовленных тремя бригадами. Из низ 25
изготовлено первой бригадой, 15 – второй и 10 – третьей. Найти вероятность того, что на
сборку поступила деталь, изготовленная второй или третьей бригадой.
Решение: Так как поступление детали, изготовленной одной бригадой, исключат
появление детали, изготовленной другой бригадой, то события несовместны. Вероятность
поступления детали из бригад соответственно равны: Р ( А );
Р(В);
Р(С).
Р ( А ) = 25 \ 50 = 1 \ 2;
Р ( В ) = 15 / 50 = 3 \ 10; Р ( С ) = 10 \ 50 = 1 \ 5.
Р ( В + С ) = 3 \ 10 + 1 \ 5 = 1 \ 2.
Теорема 1. обобщается и на случай любого конечного числа несовместных событий:
Из теоремы 1 следует, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р(А)+Р(А) = 1
Если А и В – совместные события, то теорема 1 не подходит, так как появление одного
из них не исключает появление другого.
60
Вероятность наступления одного события А при условии наступления другого события В
называется условной вероятностью и обозначается Р ( А | В ). Если в результате серии из
N опытов событие А появилось М 1 раз, а событие В – М 2 раз, причем к раз из них ( К <
M2) события А и В появились вместе, то
Р ( А ) = М 1 \ N;
Р ( В ) = М 2 \ N;
Р ( А | В ) = К \ М 2;
Р ( В | А ) = К \ М1;
( третье равенство следует из того, что среди М 2 элементарных исходов,
благоприятствующих событию В, ровно К раз наступило и событие А, поэтому условная
вероятность события А при наступлении события В и есть отношение К / М 2.
аналогично равенство 4.)
2. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из
них на условную вероятность другого:
Р ( АВ ) = Р ( А ) Р ( В | А ) = Р ( В ) Р ( А | В ).
Пусть в результате серии из N опытов событие А появилось М1 раз и событие В – м2
паз, причем К раз события А и В появились вместе. Тогда
Р (А) = М1 \ N; Р (В) = М2 \ N; Р (АВ) = К / N; Р (А | В) = К / М2; Р (В | А) = К / М1.
Так как событие А появилось в М1 опытах и в К из этих опытов появилось вместе с ним
событие В, то Р (АВ), т.е. вероятность совместного появления событий А и В равна
Р (АВ) = К \ N = М1 \ N * К / М1 = М2 \ N * К \ М2
или
Р (АВ) = Р ( А ) Р ( В | А ) = Р ( В ) Р ( А | В ).
В частности, если события А и В несовместные, то Р ( А | В ) = Р ( В | А ) = 0, поэтому
равенство для несовместных событий имеет вид:
Р ( А В ) = 0.
Определение: Событие А не зависит от события В, если наступление события В не
оказывает влияния на вероятность события А.
Т.е. если событие А не зависит от события В, то Р ( А | В ) = Р ( А ).
Теорема3. Если событие А не зависит от события В, то справедливо равенство:
Р ( АВ ) = Р (А) Р (В).
Пример: На предприятии 96 % изделий признаются пригодными к использованию, а
остальные – бракованными. Из каждой сотни пригодных изделий в среднем 75 являются
изделиями первого сорта. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие окажется
первого сорта?
Решение:
Через А обозначим событие, заключающее в том, что изделие признается годным, а
через В - что изделие первого сорта. Искомой величиной является Р (АВ) ( так как, для
того чтобы изделие было первосортным, надо, чтобы оно было одновременно годным (
событие А ) и первого сорта ( событие В ) ). Из условия задачи Р ( А ) = 0, 96,
Р ( В | А ) = 0,75.
Следовательно,
Р (АВ) = Р ( А ) Р( В | А ) = 0,96 * 0,75 = 0,72.
Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной
вероятности:
Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может
произойти вместе с одним из событий Н1, Н2, ….Нn, образующих полную группу
несовместных событий. Эти события иногда называют гипотезами.
Так как события Н1, Н2, … Н n образуют полную группу событий, то событие А может
появиться только в комбинации с какой – либо из этих гипотез.
Поэтому А = Н1*А + Н2*А + … Нn*А. Так как гипотезы Н1, Н2, … Нn несовместны,
то несовместными будут и их комбинации Н1*А, Н2*А и т.д. Применяя теорему
сложения, получим
Р (А) = Р (Н1*А) + Р ( Н2*А) + …
61
Но по теореме произведения
Р ( Н1*А) = Р (Н1) * Р ( Н | А1); Р ( Н2*А) = Р (Н2*А) = Р (А2)* Р (А | Н2);
….. , Р ( Нn * А ) = Р ( Нn ) * Р ( А | Нn).
Подставив эти значения получим
Р (А) = Р (Н1)*Р(А| Н1) + Р (Н2)* Р(А| Н2) + … + Р ( Нn )* Р ( А | Нn).
Данное равенство формула полной вероятности.
Пример: На предприятии изготавливают изделия определенного вида на трех поточных
линиях. На первой линии производится 30% изделий от общего объема их производства,
на второй – 25 %, на третьей – остальная часть продукции. Каждая из линий
характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 97 %, 98%,
96%. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием,
окажется бракованным.
Решение:
А – событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным; Н1,
Н2, Н3 – гипотезы производства изделия соответственно на 1, 2, и 3 линиях.
Р (Н1) = 0,30, Р ( Н2) = 0,25, Р (Н3) = 0,45;
Р(А | Н1) = 0,03, Р ( А | Н2 ) = 0,02,
Р ( А | Н3) = 0,04.
Используя формулу полной вероятности при n = 3, находим:
Р (А) = 0,30*0,03 + 0,25*0,02 + 0,45* 0,04 = 0,032.
Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 3,2%.
Формула Байеса.
Имеется полная группа несовместных гипотез Н1, Н2, ….. вероятности которых
известны до опыта и равны соответственно Р (Н1), Р (Н2). … Произведен опыт, в
результате которого появилось некоторое событие А. Как надо изменить вероятности
гипотез в связи с появлением этого события ( или : сколь часто будут появляться события
Н1, Н2, … среди опытов, в которых событие А происходит)? Т.е. надо найти условную
вероятность Р (Н1|А) для каждой гипотезы.
Из теоремы умножения имеем:
Р ( А * Н i ) = Р (А) * Р ( Hi | А )
( i = 1, 2, ….n ).
Аналогично
Р ( Н i* А ) = Р ( Н i) * Р ( А | H i)
( i = 1, 2, ….,n).
Так как левые части этих равенств равны, то равны и правые. Поэтому
Р (А) * Р ( Н i | А ) = Р ( Н i ) * Р ( А | Н i )
( i =1, 2, … n).
Откуда
Р(Н i |А) = Р (Н i ) * Р ( А | Н i ) / Р (А)
( i = 1, 2, … n ).
Где Р (А) – полная вероятность.
Пример: На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что
объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода.
Вероятность брака на первом заводе равна 0,05, на втором – 0,01. Наудачу взятая деталь
оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым
заводом?
Решение: Н1 – событие, что взятая деталь изготовлена на первом заводе, а Н2 событиена втором заводе изготовлена. Тогда Р(Н1) = 4 \ 5 = 0,8,
Р (Н2) = 1 \ 5 = 0,2.
Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь оказалась бракованной.
По условию
Р (А | Н1)= 0,05,
Р ( А | Н2 ) = 0,01.
По формуле Байеса для случая
n = 2, имеем:
Р(Н1|А) = 0,8 * 0,05 \ ( 0,8 * 0,05 + 0,2 * 0,01 ) = 0,952.
Практическая работа.
1 вариант
1. Вычислите:
2 вариант
62
С116 ;
С2825 .
2.Найдите разложение:
( 2х + у3) 5 ;
С 145 ;
С3734 .
( р2 - 3 q ) 6.
3. Сколькими способами можно выбрать 5 человек на 5 должностей из 8 кандидатов.
[Сколько существует способов рассадить 10 гостей по 10 местам за праздничным
столом.]
4. Контролер, проверяя качество 500 изделий, установил, что 10 из них относится ко
второму сорту, а остальные – к первому. Найдите вероятность выбора изделия первого
сорта, выбора изделия второго сорта.
[В ящике находятся 6 красных и 9 белых шаров. Из ящика извлечены три шара. Найдите
вероятность того, что два из них окажутся красными ( белыми).]
5. Предприятие дает в среднем 25% продукции высшего сорта и 65% продукции первого
сорта. Какова вероятность того, что случайно взятое изделие окажется высшего или
первого сорта.
[Деталь проходит две операции обработки. Вероятность получения брака при первой
операции равна 2%, при второй – 3%. Найти вероятность получения детали без брака
после двух операций, предполагая, что события получения брака на отдельных операциях
являются независимыми. ]
6. В ящике находятся одинаковые изделия, изготовленные на двух автоматах, 40%
изделий изготовлены первым автоматом, остальные – вторым. Брак в продукции первого
автомата составляет 3%, второго – 2%.Найдите вероятность того, что случайно выбранное
изделие изготовлено первым автоматом, если оно оказалось бракованным.
[ На склад поступает продукция из трех фабрик, причем продукция первой фабрики
составляет 20%, второй – 46% и третьей – 34%. Известно, что средний процент
нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2%, для третьей - 1%.
Найти вероятность того, что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой
фабрике.]
Закон распределения дискретной случайной величины.
Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от
исходов испытания принимает то или иное значение ( зависящее от случая).
Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в
виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной
величиной.
Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка,
называется непрерывной случайной величиной.
Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие
между значениями х1, х2, х3, ….. этой величины и их вероятностями р1, р2, р3, ….
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблично или
аналитически.
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают и
графически: в прямоугольной системе координат на плоскости строят точки ( х i ; р i ) и
соединяют их последовательно отрезками прямых. График называется многоугольником
распределения дискретной случайной величины.
Определение.
Математическим ожиданием или средним значением дискретной
случайной величины Х с законом распределения называется число
63
М [ Х ] = х1 р1 + х2 р2 + … + хn рn.
Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины Х равно
сумме произведений возможных значений величины Х на их вероятности.
Смысл числа М [ Х ] заключается в том, что около этого числа колеблется среднее
арифметическое значение, принимаемых случайной величиной Х в больших сериях
опытов.
Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине.
М[Х] =С*1=С
Пример:
Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной
кости.
Решение: закон распределения в данном примере имеет вид:
Х
1
2
3
4
5
6
Р
1\6
1\6
1\6 1\6 1\6 1\6
Следовательно:
М [ Х ] = 1 * 1 \ 6 + 2 * 1 \ 6 + 3 * 1 \ 6 + 4 * 1 \ 6 + 5 * 1 \ 6 + 6 * 1 \ 6 = 3,5
Свойства математического ожидания:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М [ С х ] = С М [ х ].
2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равна сумме их
татематических ожиданий:
М [ Х + У ] = М [ Х ] + М [ У ].
3. Если случайные величины Х и У независимы, то математическое ожидание их
произведения равно произведению их математических ожиданий:
М [ Х У ] = М [ Х ] М [ У].
Пример: Найдите математическое ожидание дискретной случайной величины, закон
распределения которой задан таблицей:
Х
3
4
5
6
7
Р
0,1
0,2
0,4
0,2 0,1
Пример: Известны математическое ожидание двух независимых величин Х и У :
М [ Х ] = 3, М [ У ] = 5. найти математическое ожидание величины
Z = 2 ( Х + 3 У ) ( 2 Х – У ).
Дисперсия случайной величины. Среднее квадратичное отклонение.
Различны случайные величины могут иметь одно и то же математическое ожидание.
Х
-0,04
0,06
У
- 300
100
Р
0,6
0,4
Р
0,25
0,75
М[Х]= 0
М [ У ] = 0.
Однако характер распределения этих величин различен. Величина Х принимает
значения, мало отличающихся от ее математического ожидания, а значения У сильно
отличаются от своео математического ожидания.
Пусть Х – дискретная случайная величина, возможные значения которой х1,х2, ….
М [ х ] - ее математическое ожидание.
Случайную величину Х - М [ Х ] - называют отклонением величины Х от ее
математического ожидания.
Для получения характеристики разброса случайной величины существует понятие D [x]
– дисперсии случайной величины.
Опр. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
64
D [ X ] = M [ ( X – M [ X ] ) 2 ].
Среднее квадратичное отклонение случайной величины равно квадратному корню из
дисперсии.
Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения случайной
величины Х от ее математического ожидания, то среднее квадратичное отклонение
рассматривается как некоторая средняя характеристика этого отклонения.
Дисперсия обладает следующими свойствами:
1. Дисперсия постоянной величины равна 0.
2. При умножении случайной величины Х на постоянное число С ее
дисперсия умножается на С 2.
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их
дисперсий
На практике используют формулу, вытекающую из данной:
D [ X ] = M [ X 2 ] - ( M [ X ] ) 2.
Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения
Х
0
1
2
Р
0,3
0,5
0,2
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
Решение: По формуле находим
М [ Х ] = 0 * 0,3 + 1 * 0,5 + 2 * 0,2 = 0,9
Запишем закон распределения квадрата отклонения этой величины, т.е. величины
( Х – М [ X ] ) 2:
(X–M[X])2
( 0 – 0,9 ) 2
( 1 – 0,9 ) 2
( 2 – 0,9 ) 2
Р
0,3
0,5
0,2
По формуле имеем
D [ X ] = ( 0 – 0,9 ) 2 * 0,3 + ( 1 – 0,9 ) 2 * 0,5 + ( 2 – 0,9 ) 2 * 0,2 = 0,49
Среднее квадратическое отклонение равно 0,7.
Понятие о законе больших чисел.
П.Л.Чебышев дал оценку отклонениям, исходя из дисперсии случайной величины.
Теорема: Для произвольной случайной величины Х и произвольного положительного
числа е выполняется неравенство
Р(|X–M[x]| < e ) > 1 - D[X] \e2.
Это неравенство называется неравенством Чебышева. Оно лежит в основе теорем,
объединенных под общим названием « закон больших чисел.»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Вопросы для самоконтроля:
Что называется сочетанием? По каким формулам вычисляется число сочетаний?
Что называется событием, случайным, достоверным и невозможным событиями?
Что называют полной группой событий?
Дайте классическое определение вероятности?
Что называется дискретной случайной величиной?
Дайте определение закона распределения дискретной случайной величины.
Что такое математическое ожидание случайной величины?
Что такое дисперсия случайной величины?
Чему равно среднее квадратичное отклонение случайной величины?
Практическая работа № 10.
1 вариант
2 вариант
65
1. Дискретная случайная величина Х задается законом
Х
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Р
0,1
0,2
0,4
р 4 0,1
Чему равна вероятность р 4 , [ р 5 ] - ?
Построить многоугольник распределения.
Х
Р
0,1
0,2
0,3
0,1
0,5
0,2
0,7
0,3
0,9
р5
8
0,25
10
0,35
2. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения
Х
Р
3
р1
4
0,15
5
р3
6
0,25
7
0,35
Х
Р
2
р1
4
0,15
6
р3
Найдите вероятности р 1 и р 3 , если известно, что р 3 в 4 раза больше р 1.
Вычислите математическое ожидание дискретной случайной величины.
Найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.
3. Известны математическое ожидание двух независимых величин Х и У:
М [ Х ] = 7, М [ У ] = 2. [ М [ Х ] = 3, М [ У ] = 8 ]. Найти математическое
ожидание величины Z = 3 ( X – 2 Y ) ( X + Y ).
[ Z = 5 ( X – Y ) ( 3 X + 2 Y )/
Заключение
Данная методическая разработка предназначена для реализации государственных
требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по
66
специальности 151001 «Технология машиностроения» и является единой для очного
обучения.
Данная разработка позволяет студентам изучить основной теоретический материал.
Характерной особенностью курса является систематизация и обобщение знаний
учащихся, закрепление и развитие умений и навыков.
Рекомендованная литература поможет студентам в овладении теоретическими
знаниями, а также использовать дополнительную литературу.
Михайлян Е.И.
Л ИТЕРАТУРА:
67
1. А. А Дадаян
ИД
2. И.Д. Пехлецкий
« Математика»
« Форум» 2005 год.
« Математика»
издательство « Мастерство» 2001 год.
3. Н.В. Богомолов « Практические занятия по математике»
М. « Высшая школа»
4. В.П Григорьев
2004 год
« Элементы высшей математики»
Москва « Академия»
2006 год.
68