А.Г.РИПП

А.Г.РИПП
ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
Методические указания к лабораторному практикуму по курсу физики
для студентов всех специальностей
1.
Абсолютная и относительная погрешности
Пусть X – некоторая физическая величина, x – результат её измерения, х – истинное значение. Так как не существуют идеальные измерительные приборы и человек, проводящий измерения, тоже далёк от совершенства, то ясно, что x  x. Повторное измерение величины X, произведённое в тех же условиях и с помощью тех
же измерительных приборов, даст другое значение x, которое тоже не равно истинному значению x.
Определение 1.
Область значений, в которой лежат возможные результаты измерения величины X для данной методики измерений и при данных
измерительных приборах, называется доверительным интервалом величины X.
Доверительный интервал изображён на рис.1.
Доверительный интервал и абсолютная погрешность измерения
физической величины X.
x
x
x
X
(x)
(x)
2(x)
Рис. 1.
Чем меньше ширина доверительного интервала 2(x), тем точнее можно измерить величину X, тем меньше погрешность.
Определение 2.
Абсолютной погрешностью измерения величины X называется
полуширина доверительного интервала (x).
Определение 3.
Относительной погрешностью измерения величины X называется отношение абсолютной погрешности (x) к результату измерения x. Относительная погрешность обозначается буквами (x)
или (x).
( x ) 
( x )
.
x
(1.1)
Часто относительную погрешность измеряют в процентах. Тогда формулу (1.1) пишут в виде:
( x ) 
( x)
 100% .
x
(1.2)
2. Приборная и случайная погрешности
Погрешность измерения величины x можно разделить на сумму двух составляющих – приборную погрешность п(x) и случайную с(x):
( x )   п ( x )   c ( x )
(2.1)
Приборная погрешность определяется классом точности приборов, применяемых
для измерения X, случайная погрешность определяется действием случайных факторов – неточностью действий человека, производящего измерения, и колебаний
параметров среды, в том числе параметров измерительной установки (давления,
температуры, освещённости, напряжения в сети и т.д.).
Оценка приборной погрешности зависит от того, к какому из двух классов относится способ измерения величины X. Первый класс – это прямые измерения, второй класс – косвенные измерения.
3. Прямые и косвенные измерения
Результат прямого измерения – это отсчёт по шкале измерительного прибора.
Результат косвенного измерения получается в два этапа: на первом из них производится одно или несколько прямых измерений, на втором этапе проделывается некоторый расчёт, использующий результаты прямых измерений первого этапа.
Например, если измерить глубину пустого колодца, спускаясь в него с рулеткой в
руках, то это будет прямое измерение. Если же сбросить в колодец камень, измерить
по секундомеру время падения камня на дно t, а затем вычислить глубину по форgt 2
муле h 
, то полученное число будет результатом косвенного измерения глуби2
ны колодца h.
4. Приборная погрешность прямого измерения
Для того чтобы оценить приборную погрешность прямого измерения, достаточно знать класс точности  применяемого прибора, который указывается на шкале или корпусе прибора в виде одного из чисел: 0,01; 0,02; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0.
Смысл термина “класс точности” зависит от типа прибора. Отличить эти типы друг
от друга можно по способу указания на них класса точности.
1 тип. Класс точности  указан на приборе в виде числа без каких-либо дополнительных значков. Например, прибор, шкала которого изображена на рис.2, обладает классом точности 1,5.
Шкала прибора с указанием класса точности
40
60
20
80
0
100

М906 700
1,5
Рис.2.
Приборы этого типа выполнены так, что их абсолютная приборная погрешность
п(x) не зависит от результата измерения x, и поэтому относительная погрешность
 (x )
 п (x )  п
уменьшается с ростом x. При этом под классом точности понимаетx
ся следующая величина:

 п  100
,
xN
(4.1)
где xN – так называемое “нормирующее значение”. Для всех приборов, которые
применяются в учебной лаборатории, нормирующее значение – это предел измерения, то есть максимальное значение величины, которое может показать прибор.
Например, у микроамперметра на рис.2 нормирующее значение xN = 100 мкА. Зная
класс точности  и нормирующее значение xN, можно определить абсолютную приборную погрешность п(x) по формуле
 п ( x) 
  xN
.
100
(4.2)
Относительная приборная погрешность, как указывалось выше, зависит от результата измерения x.
Микроамперметр, показанный на рис.2, обеспечивает абсолютную приборную
погрешность измерения тока п(I) = 1,5100/100 = 1,5 мкА, относительная приборная погрешность того результата, который показывает микроамперметр, то есть I =
36 мкА, составляет  п(I) = 1,5/36 = 0,04 = 4%.
2 тип. Класс точности  указан на приборе в виде числа, обведённого кружком.
Пример такого прибора показан на рис.3. Приборы этого типа выполнены так, что
их относительная приборная погрешность п(x) не зависит от результата измерения
x. Класс точности  в этих приборах – это относительная приборная погрешность
п(x), измеренная в процентах. Абсолютная приборная погрешность при этом зависит от результата измерения x – чем больше x, те больше п(x):
п (x ) 
 x
.
100
(4.3)
Например, относительная погрешность измерения напряжения с помощью
вольтметра, изображённого на рис.3, равна 2,5%, а абсолютная погрешность того
результата, который показывает вольтметр, то есть U = 38 В, составляет п(U) =
2,538/100 = 1 В.
Шкала прибора с указанием класса точности
20
30
10
40
0
50
V
М263М
2,5
Рис.3.
3 тип. Класс точности не указан. В этом случае, как и для приборов 1 типа, абсолютная погрешность п(x) не зависит от результата измерения x. Если прибор –
цифровой, то п(x) равна 1 в младшем разряде прибора. Если прибор – не цифровой,
например, миллиметровая линейка или штангенциркуль, то п(x) равна половине
цены деления прибора.
5. Оценка случайной погрешности.
Случайную погрешность величины X можно оценить, только проведя многократное измерение X – не менее четырёх. Это означает, что процедуру измерения X
надо проделать не менее четырёх раз, причём обязательно в одних и тех же условиях. Если бы никакие случайные факторы не влияли на результаты измерений, то,
сколько бы раз не повторялась процедура измерения X, все результаты были бы совершенно идентичными. Наличие случайных факторов приводит к тому, что серия
из n измерений даёт n разных значений величины X: (x, x, ..., xn)1. То, насколько
велик разброс в этих n числах, и определяет случайную погрешность. Формула, по
которой оценивают случайную погрешность с(x), имеет вид:
 c ( x)  t( x) .
(5.1)
Здесь величина t называется коэффициентом Стьюдента. Как его определить,
рассмотрено в пункте 6. Величина (x) называется среднеквадратичным (или
стандартным) отклонением и определяется выражением
( x) 
n

i 1
x  x 
i
n(n  1)
2
,
(5.2)
где <x> – средний результат измерения, то есть среднее арифметическое из n чисел
x, x, ..., xn:
1 n
x   xi .
n i 1
1
Число измерений в серии n называется объёмом серии.
(5.3)
Из формулы (5.2) следует, что стандартное отклонение (x) уменьшается с ростом объёма серии n. В пункте 6 отмечается, что и коэффициент Стьюдента тоже
уменьшается с ростом n. Поэтому из формулы (5.1) вытекает: чем больше объём
серии, тем меньше случайная погрешность. Обычно объём серии выбирают так,
чтобы случайная погрешность была в три-пять раз меньше приборной погрешности.
6.
Доверительная вероятность и коэффициент Стьюдента
Будем в этом пункте считать, что приборная погрешность равна нулю. Тогда
2c – это ширина доверительного интервала. В пункте 1 предполагалось, что в центре доверительного интервала находится истинное значение x измеряемой величины X. Истинное значение, однако, неизвестно, поэтому передвинем доверительный
интервал так, чтобы в центре его находилось среднее значение результатов измерения <x>. Так как действие случайных факторов непредсказуемо, то разница между x
и <x> может оказаться как меньше величины c, рассчитываемой по формуле (5.1),
так и больше.
Определение 4.
Вероятность того, что истинное значение x измеряемой величины
X принадлежит доверительному интервалу шириной 2с с центром в
точке <x>, называется доверительной вероятностью или
надёжностью измерений.
Как уже отмечалось в пункте 5, с ростом коэффициента Стьюдента растёт
случайная погрешность, а значит, растёт ширина доверительного интервала. Ясно,
что чем шире доверительный интервал, тем больше и доверительная вероятность.
Поэтому всегда можно подобрать такое значение коэффициента Стьюдента, которое обеспечивает требуемое значение надёжности измерений, то есть доверительной вероятности . Результаты исследования этой проблемы, полученные Стьюдентом, приведены в таблице 6.1.
Таблица 6.1
Коэффициенты Стьюдента
Объём
Доверительная вероятность 
серии n 0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,95 0,98 0,99
4
0,77
0,98
1,2
1,6
2,4
3,2
4,5
5,8
5
0,74
0,94
1,2
1,5
2,1
2,8
3,7
4,6
6
0,73
0,92
1,2
1,5
2,0
2,6
3,4
4,0
7
0,72
0,90
1,1
1,4
1,9
2,4
3,1
3,7
8
0,71
0,90
1,1
1,4
1,9
2,4
3,0
3,5
9
0,71
0,89
1,1
1,4
1,8
2,3
2,9
3,4
10
0,70
0,88
1,1
1,4
1,8
2,3
2,8
3,3
15
0,69
0,87
1,1
1,3
1,8
2,1
2,6
3,0
20
0,69
0,86
1,1
1,3
1,7
2,1
2,5
2,9
Как видно из этой таблицы, коэффициент Стьюдента t зависит от двух факторов – от заданной надёжности измерений  и от объёма серии измерений n. С ростом надёжности коэффициент Стьюдента быстро нарастает, с ростом объёма серии
– медленно падает.
Пример. Требуется измерить сопротивление резистора R с надёжностью  =
0,95. Проделана серия из 10 измерений сопротивления, средний результат получился такой: <R> = 42,3 кОм при стандартном отклонении (R) = 0,22 кОм. Тогда из
таблицы 6.1 следует, что t = 2,3, и в результате случайная погрешность равна: с(R)
= 2,30,22 = 0,5 кОм.
7. Погрешность косвенного измерения
Если X – величина, измеряемая косвенно, то результат её измерения x – это
функция одного или нескольких прямых измерений. Рассмотрим каждый из этих
вариантов.
А) x – функция одной переменной.
Пусть a – результат прямого измерения величины A, погрешность этого результата известна и равна (a). Пусть далее x = x(a), и надо найти (x). Считая, что погрешности (a) и (x) малы, можно воспользоваться формулой, связывающей дифференциалы da и dx:
( x ) 
dx
(a) .
da
(7.1)
Знак модуля | | здесь поставлен потому, что в отличие от дифференциалов погрешности всегда положительны.
Примеры использования формулы (7.1) сведены в таблицу 7.1.
Таблица 7.1
Погрешности некоторых косвенных измерений
Абсолютная погрешность
Относительная погрешность
Вид функции x(a)
(x)
(x)
x = a
(x) = ||(a)
(x) = (a)
x = a
(x) = 2|a|(a)
(x) = 2(a)
x = a
x = an
(x) = 3 a2(a)
(x) = 3(a)
(x) = |n an-1|(a)
(a)
( x ) 
 (a)
a
(x )  x (a)
(x) = |n|(a)
(a)
( x ) =
x
(x ) = (a)
x = lna
x = ea
Б) x – функция нескольких переменных.
Пусть x = x(a, b, c, ...), где a, b, c, ... – результат прямых измерений величин A, B,
C, ... соответственно. Погрешности этих результатов известны и равны (a), (b),
(c), ... . Найти надо (x). Общее правило, по которому решается эта задача, выражается следующей формулой:
( x ) 
  ( x )    ( x )    ( x ) ... ,
2
2
a
2
b
(7.2)
c
где  a ( x ) ,  b ( x ) ,  c ( x ) и т.д. – это так называемые частные погрешности, которые определяются формулами, аналогичными (7.1):
a(x ) 
x
x
x
(a),  b ( x ) 
(b),  c ( x ) 
(c), ... .
a
b
c
(7.3)
Примеры использования формул (7.2) и (7.3) сведены в таблицу 7.2.
Таблица 7.2
Погрешности некоторых косвенных измерений
Вид функции
x(a,b,c,...)
x=ab
( x ) 
x=abc
( x ) 
a
b
ab
x = abc, x 
,
c
a
x
bc
x = ab, x 
Абсолютная погрешность (x)
 (a)   (b)
2
Относительная погрешность (x)
( x )
x
( x )
( x ) =
x
2
( x ) =
 (a)   (b)   (c)
2
(x) = x(x)
(x) = x(x)
2
2
( x ) 
( x ) 
(a)  (b)
2
2
(a)  (b)  (c)
2
2
2
Замечание. Приведённые в этом пункте формулы справедливы для всех типов
погрешностей – для приборных, случайных и полных. Чаще всего их используют
для полных погрешностей – сначала находят приборные, случайные и полные погрешности всех прямых измерений, а затем – полную погрешность косвенного измерения.
8. Округление погрешностей и результатов измерений.
Запись результата измерений
Термин “оценка погрешности” означает, что нет смысла высчитывать погрешность с большой точностью. Следует определить лишь первую значащую цифру, так
как знание погрешности нужно, главным образом, для того, чтобы определить тот
предельный разряд K результата измерения, в котором содержится ошибка. Цифры
в разрядах, старших K, являются достоверными, а в разрядах, младших K, – недостоверными. Разряд K занимает пограничное положение: цифра в этом разряде 
частично достоверна, её неопределённость как раз и показывает первая значащая
цифра погрешности.
Из этого вытекает следующее правило округления.
Погрешность нужно округлять до единственной значащей цифры, а результат измерения – до предельного разряда K, равного
тому разряду, в котором находится единственная значащая цифра
погрешности.
Пример. Проведено косвенное измерение давление газа в электронной лампе.
Результат измерения: p = 35,27 Па, оценка погрешности измерения дала: (p) = 2,15
Па. Эти данные следует округлить так: (p) = 2 Па, p = 35 Па. Предельный разряд K
в этом примере – это младший разряд целой части, то есть разряд единиц.Результат
измерения принято записывать вместе с его гарантией, то есть вместе с погрешностью. Образец формы записи следующий:
p = (35  2) Па, (p) = 6%.
Другие примеры записи результатов измерений:
I = (17,3  0,3) мА, (I) = 2%.
v = (848,7  0,5)10 м/с, (v) = 0,06%.
9. Построение графиков
Результат экспериментального исследования зависимости одной величины от
другой очень наглядно иллюстрирует график зависимости. Рассмотрим для примера график, изображённый на рис. 4.
Вольтамперная характеристика фотодиода
I, мА
20
15
10
5
2
0
2
4
6
U, В
Рис. 4
На этом рисунке вольтамперная характеристика, то есть кривая зависимости
силы тока на анод I от напряжения между анодом и катодом U, выглядит в виде
плавно изогнутой линии, которая с ростом напряжения постепенно превращается в
прямую, параллельную оси абсцисс (оси напряжения), отражая явление насыщения
фототока. Построена эта линия по восьми экспериментальным точкам, причём
только одна из точек лежит на кривой. Но это вполне допустимо. Дело в том, что
экспериментальная точка представляет собой два результата измерения – напряжения и тока. Каждый из этих результатов обладает погрешностью, эти погрешности и
изображены около каждой точки в виде двух доверительных интервалов с центрами
в экспериментальной точке: вертикальный интервал – это доверительный интервал
результата измерения силы тока, его ширина равна 2(I), горизонтальный интервал
– это доверительный интервал результата измерения напряжения, его ширина равна
2(U). Так как доверительный интервал, согласно определению 1, есть множество
возможных результатов измерения, то кривую зависимости I(U) совсем не обязательно проводить строго через экспериментальные точки, достаточно, чтобы эта
кривая прошла через доверительные интервалы всех экспериментальных точек.
Итак, последовательность действий при построении графика такова.
 Выбрать рациональный масштаб величин, изображаемых на графике, так
чтобы экспериментальные точки разместились на всей площади графика, а
не в какой-то небольшой её части.
 Начертить оси графика и расставить на них масштабные метки. Метки
должны располагаться на одном и том же расстоянии друг от друга и не
слишком часто, чтобы не загромождать рисунок. Рядом с метками надо проставить опорные числа – значения величин, соответствующих масштабным
меткам. Разрешается, чтобы отличие соседних опорных чисел друг от друга
было таким: (1; 2; 5) единиц, или (0,1; 0,2; 0,5) единиц, или (10; 20; 50) единиц и так далее. Опорные числа можно проставлять не у всех меток – метки
на осях могут быть расположены в 2 или в 5 раз чаще, чем числа. Кроме
опорных чисел и масштабных меток, никакие другие числа и метки у осей
графика отмечать нельзя.
 Нанести на график экспериментальные точки в виде незакрашенных кружочков диаметром примерно 2 мм. Вокруг каждой из точек нанести два доверительных интервала – вертикальный и горизонтальный. Доверительный интервал можно не наносить только в том случае, если его геометрический
размер меньше диаметра экспериментальной точки, то есть менее 2 мм. Рассчитывают доверительные интервалы обычно только для двух крайних точек
графика, остальные интервалы наносят приблизительно – так, чтобы их размеры были промежуточными между размерами интервалов крайних точек.
 С помощью лекала проводят плавную линию так, чтобы она пересекла доверительные интервалы всех экспериментальных точек, сами точки не обязательно должны попасть на линию.
10. Определение параметров линейной зависимости
Если есть основания предполагать, что исследуемая зависимость двух величин
Y и X является линейной, то есть удовлетворяет формуле
y  kx  b ,
(10.1)
и экспериментальный график зависимости y(x) это подтверждает, то есть через доверительные интервалы всех экспериментальных точек можно провести прямую линию, то по результатам измерения величин Y и X, то есть по значениям координат
экспериментальных точек, можно определить параметры линейной зависимости k и
b. Это можно сделать по крайней мере двумя способами.
Первый способ – графический.
 Надо провести прямую линию на графике так, чтобы она пересекла доверительные интервалы всех точек и при этом как можно ближе прошла ко всем точкам.
После этого можно приступить к определению k и b.
 k представляет собой угловой коэффициент прямой, поэтому его можно
найти как отношение приращения функции y к приращению аргумента x. В качестве x удобнее всего выбрать разность координат крайних точек графика (xn – x).
При этом y = y(xn) – y(x).
Графический способ определения параметров прямой линии
y
50
y(xn)
45
40
y(x)
35
30
10
x
20
30
xn 40
x
Рис.5
Обратите внимание: y(x) и y(xn) – это не ординаты экспериментальных точек y и
yn, физической величины Y, которые получены до построения графика зависимости
y(x). Это значения линейной функции y(x), которую изображает проведённая на
графике прямая.
 b – это отрезок, который прямая линия графика отсекает на оси ординат (на
вертикальной оси), поэтому для нахождения b надо довести экспериментальную
прямую до оси ординат и определить ординату их точки пересечения. Но это правило справедливо только в том случае, когда координатные оси пересекаются в
начале координат, то есть в точке с координатами (0; 0). Если же удобнее выбрать
другую точку пересечения осей, как это сделано при построении графика на рис.5,
то нужно использовать другое правило: надо выбрать две точки на прямой, напри-
мер, точки с координатами (x; y(x)) и (xn; y(xn)) и записать уравнение прямой, проходящей через эти точки:
y  y( x 1 ) y  y( x n )
.

x  x1
x  xn
(10.2)
Приведение этого уравнение к виду (10.1) даёт следующее выражение для b:
b
y ( x1 )  xn  y ( xn )  x1
, x  xn  x1 .
x
(10.3)
Описанный метод определения параметров прямой линии k и b есть метод их
косвенного измерения. А так как всякое измерение обладает погрешностью, то возникает вопрос: как оценить погрешности (k) и (b)? Проще всего это сделать так.
 Надо провести через доверительные интервалы ещё две прямые линии: для
первой из них параметры k и b должны быть максимально возможными, поэтому её
надо провести как можно круче и выше, для второй – значения k и b должны быть
минимально возможными, её надо провести как можно полого и ниже.
 После этого погрешности (k) и (b) можно определить очевидным образом:
(b) 
bmax  bmin
k  k min
, ( k )  max
2
2
(10.4)
Второй способ определения параметров линейной зависимости, полученной
экспериментальным путём, – аналитический.
Он называется методом наименьших квадратов. Его идея в том, что среди всевозможных комплектов пары чисел k и b существует такой единственный комплект,
для которого сумма квадратов отклонений ординат экспериментальных точек от
соответствующих ординат прямой линии с параметрами k и b, минимальна. Не рассматривая этот метод в деталях, приведём конечные выражения, позволяющие
определить k и b.
k
nS3  S1S2
,
D
b
S2 S4  S1S3
,
D
(10.2)
где обозначено:
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
S1   xi , S2   yi , S3   xi yi , S4   xi2 , D =nS 4  S12 .
(10.3)
В этих формулах n – число экспериментальных точек, а наборы чисел (xi) и (yi) –
результаты измерений, то есть абсциссы и ординаты экспериментальных точек.
Проделав вычисления по формулам (10.2) – (10.3), следует сделать проверку.
Для этого надо по формуле (10.1) вычислить значения ординат прямой линии при
двух произвольных значениях x, например при x и при xn, затем нанести на график
две контрольные точки, то есть точки с координатами (x, y(x)) и (xn, y(xn)), и соединить их прямой линией. Если все вычисления проделаны верно, то прямая ав-
томатически пройдёт оптимальным образом, то есть пересечёт доверительные интервалы всех экспериментальных точек и при этом будет максимально приближена
к экспериментальным точкам.
Погрешности косвенного измерения параметров прямой линии k и b методом
наименьших квадратов определяются по следующим формулам:
( k )  C
n
,
S5
(b)  C
S4
,
S5
(10.4)
где
S5
S22
(nS3  S1S2 ) 2
C


,
n  2 n(n  2)
n(n  2) D
n
S5   yi2 . .
(10.5)
i 1
11. Литература
1. Зайдель А.Н. Погрешности измерений физических величин. -Л.: Наука, 1985.
– 110 с.
2. Рабинович С.Г. Погрешности измерений. Л.: Энергия, 1978. -258 с.