Совершенные фигуры

Совершенные фигуры
Автор - Кушнарева Лаида Павловна, 1990 г. рождения.
K.Lidia@list.ru
Содержание
Содержание ..................................................................................................................................... 2
От автора ......................................................................................................................................... 3
1. Совершенные треугольники. ..................................................................................................... 4
1.1 Решение уравнения (1`)........................................................................................................ 5
1.1.1 Пусть число k делится на 4. .......................................................................................... 5
1.1.2. Пусть числа l и m делятся на 2 .................................................................................... 6
2. Другие проблемы из области поиска совершенных фигур .................................................... 8
2.1. Другие совершенные описанные многоугольники .......................................................... 8
2.2. Совершенные n-кубы .......................................................................................................... 8
2.3. Прямоугольный параллелепипед, площадь поверхности которого численно равна
объему и численно равна сумме длин его ребер ..................................................................... 8
Приложения .................................................................................................................................... 9
Приложение 1.............................................................................................................................. 9
Приложение 2.............................................................................................................................. 9
От автора
Мне 19 лет. Сейчас учусь в институте САХГУ на 1 курсе по специальности «Бакалавр
прикладной математики». Хочу стать математиком-теоретиком.
Еще мне очень нравится журнал «КВАНТ». Однажды я обнаружила в нем статью «Нет
предела совершенству», в которой дается определение совершенных фигур (это такие
фигуры на плоскости, у которых площадь численно равна периметру, а длины всех
сторон являются целыми числами). В этой статье также рассказано о нескольких
конкретных совершенных фигурах.
В своей маленькой работе я хочу продолжить исследование, посвященное совершенным
фигурам. Заинтересовало меня в первую очередь то, как найти все совершенные
треугольники (в статье найдено несколько совершенных треугольников, но не доказано,
что других совершенных треугольников нет). Этому посвящена наибольшая, первая часть
работы.
Во второй части работы кратко рассказано о некоторых других результатах по теме
совершенных фигур.
В частности, я решила расширить понятие совершенных фигур на n-мерное пространство
(простите, пожалуйста, за, может быть, не очень правильные термины):
Назовем совершенным n-мерным многогранником фигуру, (n-1)-мерная «площадь
поверхности» которой численно равна ее n-мерному «объему», а (n-1)-мерная
«площадь поверхности» каждой (n-1)-грани выражается целым числом.
Например, для n = 2 приходим к понятию обычных совершенных фигур («n-мерный
объем» - площадь многоугольника, «(n-1)-мерная площадь поверхности» - его периметр,
«(n-1)-мерная площадь поверхности каждой грани» - сторона многоугольника), для n = 3 –
к многогранникам, площадь поверхности которых численно равна объему, и площадь
поверхности каждой грани является целым числом. На основе этого определения во второй
части работы рассмотрены некоторые проблемы для трехмерных и n-мерных совершенных
фигур.
1. Совершенные треугольники.
Найдем все совершенные треугольники.
Известно, что SABC = pr, где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр. Поэтому
условие совершенности a + b + c = SABC можно записать в виде:
(a + b + c) = ½(a + b + c)*r,
1 = ½r,
r = 2.
Таким образом, совершенными являются те и только те треугольники, которые:
- описаны вокруг окружности радиуса 2;
- длины их сторон выражаются целыми числами.
На рисунке ниже M, L, K – точки касания сторон треугольника ABC вписанной в него
окружностью,
|AM| = |AK| = l; |MB| = |BL| = k; |LC| = |KC| = m.
B
k
k
L
M
2
l
A
2
O
m
2
l
C
m
K
Из равенств k + m = a; l + m = b; k + l = c получаем, что:
k = ( a – b + c)/2,
l = (-a + b + c)/2,
m = ( a + b – c)/2;
Таким образом, каждое из чисел k, l и m является либо натуральным, либо рациональным –
дробью со знаменателем 2.
Рассмотрим ΔA`B`C`, подобный ΔABC с коэффициентом 2. Тогда в него вписана
окружность радиуса 4, а его площадь численно больше периметра в 2 раза.
B`
k`
k`
L`
M`
4
l`
A`
O`
4
m`
4
l`
C`
K`
m`
Особенность этого треугольника в том, что l`, m`, k` - целые числа.
Пусть известны величины k` и m`. Тогда из соотношений
^
A`^
O`K` = 180° - (K`^
O`C` + M`^
O`B`),
l` = 4tgA` O`K`,
выражая синусы и косинусы углов K`O`C` и M`O`B` через треугольники соотв. KOC и
MOB, получаем соотношение
l`=16*(m`+k`)/(k`m` – 16), откуда
k`l`m`/16 = k` + l` + m`. (1)
Отсюда видно, что хотя бы одно из чисел k`, l`, m` должно быть четным. Но это значит, что
хотя бы одно из чисел k, l, m является натуральным. Пусть это будет число k. Тогда из
равенства k + l = c получаем, что, т.к. k и c – натуральные, то и l должно быть
натуральным. Аналогично из k + m = a выясняется, что и m – натуральное число. Таким
образом, (1) можно переписать в виде
klm/4 = k + l + m (1`)
(ведь k`=2k, l`=2l, m`=2m)
1.1 Решение уравнения (1`).
Из уравнения (1`) видно, что хотя бы одно из чисел k, l, m делится на 4 или хотя бы два из
них четны.
1.1.1 Пусть число k делится на 4.
При k = 4 имеем
lm = 4 + l + m; после преобразований - (l - 1)(m - 1) = 5.
Решение в натуральных числах: l = 6, m = 2 (или наоборот).
Тогда стороны треугольника (k + l) = 4 + 6 = 10, (m + l) = 2 + 6 = 8, (k + m) = 4 + 2 = 6.
Треугольник (10, 8, 6) упоминается в статье «Нет предела совершенству» и является одним
из двух прямоугольных совершенных треугольников.
При k = 8 имеем
2lm = 8 + l + m; после преобразований – (2l – 1)(2m – 1) = 17.
Решение в натуральных числах: l = 9, m = 1 (или наоборот).
Тогда стороны треугольника (k + l) = 8 + 9 = 17, (m + l) = 1 + 9 = 10, (k + m) = 8 + 1 = 9.
Вот найден и треугольник (17, 10, 9), также упомянутый в статье «Нет предела
совершенству».
Для дальнейших вычислений удобно ввести обозначение: k = 4t. Тогда, после несложных
преобразований, из (1`) получаем равенство
(1``) (tl – 1)(tm – 1) = 1 + 4t2
t = 1 и 2 – уже рассмотренные нами случаи.
При t = 3 в правой части равенства получаем число 37, которое является простым. Но
множители в левой части 3m – 1 и 3l – 1 каждый больше единицы при натуральных m, l.
Значит, у этого уравнения нет решений в натуральных числах.
При t = 4 получаем в правой части число 65 = 5*13. Но если 4m – 1 = 13, то 4m = 14 и m =
7/2, что невозможно. Оба множителя в левой части, конечно же, снова не равны единице,
так что t = 4 также не дает решений в натуральных.
При t = 5 получаем в правой части число 101. Оно простое => снова нет решений.
При t = 6 имеем
(6l – 1)(6m – 1) = 145 = 5*29.
Решение в натуральных числах: l = 5, m = 1 (или наоборот).
Тогда стороны треугольника (k + l) = 24 + 5 = 29, (m + l) = 1 + 5 = 6, (k + m) = 24 + 1 = 25.
Найден треугольник (29, 25, 6).
При t = 7 в правой части получаем 197 – простое число.
Рассмотрим теперь снова общее уравнение.
klm/4 = k + l + m  tlm –4 t = l + m.
При t > 7... t(lm – 4) > 7(lm – 4). Поэтому должно выполняться неравенство
7(lm – 4) < l + m,
(2) 7lm – 28 < l + m,
В приложении 1 доказано по индукции, что неравенство (2) не выполняется, а значит, этот
случай полностью разобран.
1.1.2. Пусть числа l и m делятся на 2
Тогда
klm/4 = k + l + m  kpq = k + 2q + 2p,
после преобразований
(qp – 1)(kp – 2) = 2(1 + p2) (3)
Пусть p = 1. Тогда (q – 1)(k – 2) = 4.
Возможны случаи:
1. k – 2 = 1, q – 1 = 4;  k = 3, q = 5. Тогда k = 3, l = 2, m = 10. Получаем треугольник
со сторонами (13, 12, 5). Это второй совершенный прямоугольный треугольник.
2. k – 2 = 4, q – 1 = 1;  k = 6, q = 2. Тогда k = 6, l = 2, m = 4. Получаем треугольник
со сторонами (10, 8, 6). Он уже был получен нами.
3. k – 2 = 2, q – 1 = 2;  k = 4, q = 3. Тогда k = 4, l = 2, m = 6. Получаем в который раз
треугольник (10, 8, 6).
Пусть p = 2. Тогда (2q – 1)(k – 1) = 5.
Возможны случаи:
1. 2q – 1 = 5, k – 1 = 1;  q = 3, k = 2. Тогда k = 2, l = 4, m = 6. Получаем снова
треугольник (10, 8, 6).
2. 2q – 1 = 1, k – 1 = 5;  q = 1, k = 6. Тогда k = 6, l = 4, m = 2. Опять то же самое.
Пусть p = 3. Тогда (3q – 1)(3k – 2) = 20.
Возможны случаи:
1. 3q – 1 = 4, 3k – 2 = 5;  3q = 5, 3k = 7. Нет решений в натуральных числах.
2. 3q – 1 = 5, 3k – 2 = 4;  q = 2, k = 2. Тогда k = 2, l = 6, m = 4. Известный результат.
3. 3q – 1 = 2, 3k – 2 = 10;  q = 1, k = 4. Тогда k = 4, l = 6, m = 2. -“4. 3q – 1 = 10, 3k – 2 = 2;  3q = 11, 3k = 4. Решений нет.
5. 3q – 1 = 1, 3k – 2 = 20;  3q = 2, 3k = 22. Решений нет.
6. 3q – 1 = 20, 3k – 2 = 1; q = 7, k = 1. Тогда k = 1, l = 6, m = 14. Получаем
треугольник со сторонами (7, 20, 15).
По-видимому, это последний совершенный треугольник.
p = 4 => (4q – 1)(2k – 1) = 17. Либо 2k = 0, 4q = 18 – нельзя, либо 4q = 0, 2k = 18 – нельзя.
p = 5 => (5q – 1)(5k – 2) = 2*2*13. Ни 14, ни 3, ни 27 не делятся на 5, следовательно,
рассматривать случаи 5q – 1 = соотв. 13, 2 и 26 не имеет смысла. Остался случай 5q – 1 = 4
=> q = 1; тогда 5k – 2 = 13 => 5k = 15 => k = 3. Тогда l = 2, m = 10. Получаем треугольник
(5, 12, 13) – уже известный.
p = 6 => (6q – 1)(3k – 1) = 37. Снова нет решений, т.к. 37 – простое => один из множителей
должен равняться 1, что невозможно.
p = 7 => (7q – 1)(7k – 2) = 2*2*5*5. Возможны следующие случаи: 7q = 2 + 1 = 3 –
невозможно, 7q = 4 + 1 = 5 – невозможно, 7q = 5 + 1 = 6 – невозможно, 7q = 5*2 + 1 = 11 –
невозможно, 7q = 5*5 + 1 = 26 – невозможно, 7q = 5*5*2 + 1 = 51 – невозможно и 7q =
2*2*5 + 1 = 21 – возможно. Перед рассмотрением этого случая заметим, что последний
случай 7q = 2*2*5*5 + 1 = 101 невозможен.
При 7q = 21 имеем q = 3 => l = 6; 7k – 2 = 5 => k = 1; m = 2p = 14. Получаем треугольник
(15, 7, 20), уже известный нам.
Пусть p > 7. Тогда pkq – 2p > 7(kq – 2), должно выполняться неравенство
7(kq – 2) < k + 2q. (4)
В приложении 2 доказано по индукции, что неравенство (4) не выполняется, а значит, этот
случай полностью разобран.
Таким образом, в данной работе из одной формулы (1`) найдены все совершенные
треугольники (которые уже были найдены в статье «Нет предела совершенству», но
другими способами) и доказано, что других не существует.
2. Другие проблемы из области поиска совершенных
фигур
2.1. Другие совершенные описанные многоугольники
Легко установить, что для всех описанных многоугольников формула их площади
аналогична площади треугольника: S = pr. Поэтому все они также описаны вокруг
окружности радиуса 2. С помощью простых вычислений можно установить, что если у
описанного многоугольника более 12 углов, то хотя бы одна его сторона окажется меньше
1. Это значит, что совершенных описанных многоугольников с более, чем 12 углами не
существует.
2.2. Совершенные n-кубы
n-объем n-куба со стороной a равен an, а сумма (n-1)-объемов его (n-1)мерных граней равна
их количеству, т.е. 2n, умноженному на (n-1)-объем каждой грани, т.е. на an-1. Отсюда,
условие совершенства n-куба:
an = an-1*2n,
a = 2n.
Автоматически из этого равенства следует, что (n-1)-объем каждой грани является целым
числом, т.к. отсюда следует, что a – целое число.
Теперь понятно, почему совершенный квадрат имеет сторону, равную именно 4. Это
просто удвоенное число его измерений! Аналогично получаем совершенный 3-куб: его
сторона (ребро) равна 6 и т.д.
2.3. Прямоугольный параллелепипед, площадь поверхности
которого численно равна объему и численно равна сумме длин
его ребер
Такой параллелепипед задается двойным равенством:
4a + 4b + 4c = 2ab + 2ac + 2ca = abc.
Из 2ab + 2ac + 2ca = abc получаем c = 2ab/(ab – 2b – 2a).
Подставляя это в 4a + 4b + 4c = 2ab + 2ac + 2ca, получим
8ab/(ab – 2b – 2a) + 4b + 4a = 2ab + 4ab2/(ab – 2b – 2a) + 4a2b/(ab – 2b – 2a).
После преобразований:
2b2a + 2a2b – 4a2 – 4b2 – 4ab – a2b2 = 0,
2
a (-b2 – 4 + 2b) + a(-4b + 2b2) – 4b2 = 0. (5)
Решим это уравнение как квадратное с неизвестным a.
Его дискриминант:
2 2
(-4b + 2b ) + 16b2(-b2 – 4 + 2b) = 4b2(-3b2 + 4b – 12).
Дискриминант выражения в скобках равен 16 – 4*12*3 < 0. Следовательно, т.к.
коэффициент при b2 отрицателен, выражение в скобках всегда отрицательно. Т.к. 4b2
всегда положительно, Дискриминант (5) отрицателен => (5) не имеет решений.
Таким образом, доказано, что искомого параллелепипеда не существует.
Приложения
Приложение 1
(2) 7lm – 28 < l + m
Докажем по индукции, что это неравенство никогда не выполняется, а значит, при t > 7
равенство (1``) не имеет решений и совершенных треугольников с t > 7 нет.
1. База индукции. При lm > 4 минимальное значение lm = 5: l = 1, m = 5 или наоборот.
Неравенство (2) принимает вид
7*5 – 28 < 6,
7 < 6 – неверно.
2. Шаг индукции. Пусть теперь для данных l,m неравенство (2) неверно. Докажем, что оно
неверно для (l+1),m (индукцию по m можно провести аналогично, т.к. неравенство
симметрично относительно l и m).
7(l+1)m – 28 < l +1 + m,
7lm – 28 + 7m < l + 1 + m,
7lm – 28 < l + 1 - 6m;
Т.к. по условию индукции 7lm – 28 ≥ l + m (неравенство (2) неверно), то
l + m ≤ 7lm – 28 < l + 1 - 6m;
l + m < l + 1 - 6m,
m – 1 < -6m,
1 > 7m – неверно.
Приложение 2
7(kq – 2) < k + 2q. (4)
Докажем по индукции, что это неравенство никогда не выполняется, а значит, при p > 7
равенство (3) не имеет решений и совершенных треугольников с p > 7 нет
1. База индукции. При минимальном значении kq = 3 имеем либо 7 < 5, либо 7 < 7. И то, и
другое неверно.
2. Шаг индукции:
а) шаг индукции по k.
Пусть при данных k,q данное неравенство не выполняется. Тогда для (k+1), q получаем
7(k+1)q – 14 < k + 1 + 2q,
7kq – 14 < k + 1 – 5q,
По условию индукции (4) неверно, следовательно,
7(kq – 2) ≥ k + 2q. Поэтому
k + 2q ≤ 7kq – 14 < k + 1 – 5q,
k + 2q < k + 1 – 5q,
0 < 1 – 3q – это неравенство не выполняется при натуральных q.
б) шаг индукции по q.
Пусть при данных k,q данное неравенство не выполняется. Тогда для k,(q+1) получаем
7k(q+1) – 14 < k + 2q + 2,
7kq – 14 < -6k + 2q + 2,
По условию индукции (4) неверно, следовательно,
7(kq – 2) ≥ k + 2q. Поэтому
k + 2q ≤ 7kq – 14 < -6k + 2q + 2,
0 < -7k + 2,
7k < 2 – снова не имеет решений в натуральных числах.