11 класс - комбигеоx

Зимний «Головастик» - 2016
11 класс, комбигеометрия – стандарт из Инета
1. Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин
сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет
отрезан какой-нибудь кусок.
2. а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же
прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты,
причём каждая – только одним гвоздём?
б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.
3. Внутри квадрата отметили несколько точек и соединили их отрезками между собой и с вершинами квадрата так, чтобы отрезки не пересекались друг с другом (нигде кроме концов). В результате квадрат разделился на треугольники, так что все отмеченные точки оказались в вершинах
треугольников, и ни одна не попала на стороны треугольников. Для каждой отмеченной точки и
для каждой вершины квадрата подсчитали число проведённых из нее отрезков. Могло ли так
случиться, что все эти числа оказались четными?
4. Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну
точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр –
это максимальное расстояние между точками множества.)
5. Некоторый треугольник можно вырезать из бумажной полоски единичной ширины, а из любой
полоски меньшей ширины его вырезать нельзя. Какую площадь может иметь этот треугольник?
6. На координатной плоскости нарисованы круги радиусом 1/14 с центрами в каждой точке, у
которой обе координаты — целые числа. Докажите, что любая окружность радиусом 100 пересечёт хотя бы один нарисованный круг.
7. Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника m×n числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.
8. Дан выпуклый n -угольник ( n>3 ), никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя
остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если
она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную
окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых
не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.
9. На плоскости даны два таких конечных набора P1 и P2 выпуклых многоугольников, что любые
два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов P1 и P2 есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.
10. Дана треугольная пирамида. Леша хочет выбрать два ее скрещивающихся ребра и на них, как
на диаметрах, построить шары. Всегда ли он может выбрать такую пару, что любая точка пирамиды лежит хотя бы в одном из этих шаров?