Различные способы решения тригонометрического уравнения

Различные способы решения тригонометрического уравнения
Глухова В.В., п. Красный Текстильщик Саратовской области,
ученица 10 класса МОУ «СОШ п. Красный Текстильщик
Саратовского района Саратовской области»
Научный руководитель – Свириденко О.В.
п. Красный Текстильщик Саратовской области,
учитель физики и математики
Актуальность
Уравнение есть равенство, которое
еще не является истинным,
но которое стремится сделать истинным,
не будучи уверенными, что этого можно достичь.
Фуше А.
выбранной мною темы
заключается в том, что
тригонометрические уравнения из года в год встречаются среди заданий
Единого государственного экзамена, однако в школьной программе отводится
мало времени на изучение данной темы, поэтому уравнения повышенной
сложности
изучаются
в
основном
на
факультативных
занятиях
в
ознакомительном порядке.
При решении тригонометрических уравнений остаются в силе общие
правила решения алгебраических уравнений. Если при этом использованы
неравносильные преобразования уравнений, то на конечном этапе решения
необходимо проверить: принадлежат ли найденные значения неизвестного к
корням данного уравнения или нет.
Каждое конкретное уравнение может быть решено различными
способами, что при безошибочности выполняемых действий приведет к одному
и тому же окончательному результату. Однако следует иметь в виду, что из-за
различия методов решения результат может быть получен в разных формах
(приводимых друг к другу тождественными преобразованиями).
Основополагающий вопрос работы: возможно ли решить одно и тоже
тригонометрическое уравнение различными способами?
Цель работы: рассмотреть различные способы решения одного и того же
тригонометрического уравнения
Задача работы: рассмотреть восемь
различных способов решения
тригонометрического уравнения sin2x+cos2x=1:
1. Приведение уравнения к однородному уравнению.
2. Разложение левой части уравнения на множители.
3. Введение вспомогательного угла.
4. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в
произведение.
5. Приведение к квадратному уравнению.
6. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
7. Универсальная подстановка.
8. Графический способ
Первый способ. Приведение уравнения к однородному уравнению.
sin2x+cos2x=1
2sinxcosx + cos 2 𝑥- sin2 𝑥= sin2 𝑥 + cos 2 𝑥
2sinxcosx+cos 2 𝑥-sin2 𝑥-sin2 𝑥 - cos 2 𝑥=0
2sinxcosx - 2sin2 𝑥 =0
2sinx (cosx – sinx) = 0
cosx – sinx = 0 / cosx
sinx = 0
𝒔𝒊𝒏𝒙
x = 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
𝒄𝒐𝒔𝒙
-
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
=0
tgx - 1= 0
tgx = 1
x = 𝜋4 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
Ответ: 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧;
𝜋
4
+ 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
Второй способ. Разложение левой части уравнения на множители.
sin2x – cos2x = 1
2sinxcosx + cos 2 𝑥 - sin2 𝑥 = sin2 𝑥 + cos 2 𝑥
2sinxcosx +cos 2 𝑥 - sin2 𝑥 - sin2 𝑥 - cos 2 𝑥 = 0
2sinxcosx – 2 sin2 𝑥 = 0
2sinx (cosx – sinx) = 0
cosx – sinx = 0 / cosx
𝑐𝑜𝑠𝑥
=0
𝒄𝒐𝒔𝒙 𝑐𝑜𝑠𝑥
tgx =1
𝜋
x = 4 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
𝜋
Ответ: 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧; 4 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
sinx = 0
x = 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑧
𝒔𝒊𝒏𝒙
Третий способ. Введение вспомогательного угла.
sin2x +cos2x=1/√2
1
1
sin2x + cos2x =
√2
√2
𝜋
𝜋
1
√2
cos sin2x + sin cos2x =
4
𝜋
sin(2x + ) =
1
4
1
√2
4
√2
𝜋
2x + = (−1)𝑘 +𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑧
4
4
𝜋
𝑘𝜋
2x = - + ( −1) + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈
4
4
𝜋
𝑘 𝜋 𝜋𝑘
x= - + (−1) + , k∈ 𝑧
8
8
2
𝜋
𝑘 𝜋 𝜋𝑘
Ответ: x= - + (−1) + , k∈ 𝑧
8
8
2
𝜋
𝑧
Четвертый
способ.
Преобразование
разности
тригонометрических функций в произведение.
sin2x + cos2x = 1
𝜋
sin2x + sin( -2x) = 1
2
𝜋
𝜋
2sin cos(2x - ) = 1,
4
4
𝜋
√2cos( 2x - ) = 1
4
𝜋
1
4
√2
cos(2x - ) =
𝜋
1
4
√2
2x - = ±arccos ( )+ 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
𝜋
1
4
√2
2x = ±arccos( ) + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
𝜋 𝜋
х= ± + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
8 8
𝜋 𝜋
Ответ: х= ± + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
8 8
𝜋
1
4
√2
𝑠𝑖𝑛 =
1
𝜋
√2
4
arcsin( ) =
(или
суммы)
Пятый способ. Приведение к квадратному уравнению.
sin2x + cos2x = 1
cos2x =± √(1 − sin2 2𝑥)
sin2x±√(1 − sin2 2𝑥) = 1
±√(1 − sin2 2𝑥) =1 - sin2x возведем обе части в квадрат
1 − sin2 2 𝑥= 1 – sin2x +sin2 2𝑥
2sin2 2𝑥 - 2sin2x = 0
2sin2x(sin2x – 1)= 0
Sin2x = 0
2x = 𝜋𝑛
х=
𝜋𝑛
2
sin2x-1 = 0
sin2x= 1
𝜋
,n∈𝑧
2x = + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
2
𝜋
х = + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
𝜋𝑛
Ответ: х =
2
4
𝜋
, n ∈ 𝑧; х = + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
4
Шестой способ. Возведение обеих частей уравнения в квадрат.
sin2x + cos2x = 1
sin2 2𝑥+2sin2xcos2x +cos 2 2 𝑥 = 1
2sin2xcos2x + 1 = 1
2sin2xcos2x = 0
Sin2x = 0
cos2x = 0
𝜋
2x = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
2x = + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
2
𝜋 𝜋𝑛
𝜋𝑛
x= , n ∈ 𝑧
x= + ,n∈𝑧
2
4
𝜋𝑛
Ответ: x= , n ∈ 𝑧 ;
𝜋
2
𝜋𝑛
4
2
x= + ,n∈𝑧
2
Седьмой способ. Универсальная подстановка.
sin2x +cos2x = 1
sin2x =
2𝑡𝑔𝑥
1+𝑡𝑔 𝑥
2𝑡𝑔𝑥
1+𝑡𝑔 𝑥 2
+
2
1−𝑡𝑔 𝑥 2
1+ 𝑡𝑔 𝑥 2
cos2x =
1−𝑡𝑔 𝑥 2
1+ 𝑡𝑔 𝑥 2
=1
2𝑡𝑔𝑥+ 1 -𝑡𝑔 𝑥 2 - 1 - 𝑡𝑔 𝑥 2 =0
2 𝑡𝑔 𝑥 2 - 2tgx =0
1+ 𝑡𝑔 𝑥 2 ≠0
2𝑡𝑔𝑥(tgx-1) = 0
tgx = 0
tgx- 1 = 0
sin2x = 0
x= + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
x=
𝜋𝑛
2
𝜋
4
,n∈𝑧
Ответ: x =
𝜋𝑛
2
𝜋
, n ∈ 𝑧; x= + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑧
4
Восьмой способ. Графический способ
sin 2x = - cos2x +1
На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих
левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков
являются решением данного уравнения,
у = sin 2х - график синусоида, полученная из графика функции у = sin х
сжатием к оси Х в 2 раза.
у = - соs2х + 1 – синусоида у = sin 2х, смещённая на единицу вверх при
симметрии относительно оси ОХ.
Заключение
В
данной
работе
были
рассмотрены
основные
методы
решения
тригонометрических уравнений, причем, как специфические, характерные только
для тригонометрических уравнений, так и общие функциональные методы
решения уравнений, применительно к тригонометрическим уравнениям.
Указано,
что
используются
при
решении
тождества,
тригонометрических
выражающие
уравнений
соотношение
широко
между
тригонометрическими функциями одного и разных аргументов. Для успешного
решения
уравнений
необходимо
знать
формулы
корней
простейших
тригонометрических уравнений, значение тригонометрических функций для
основных
углов
и
значение
обратных
тригонометрических
функций,
универсальные правила решения уравнений. Рассмотрено решение элементарных
тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы
сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим.
Литература:
1. Стройк Д. Я. «Краткий очерк истории математики».
М., «Наука», 1984г.
2. Выгодский М. Я. «Справочник по элементарной математике». М., «Наука», 1982г.
3. Г. И. Глейзер История математики в школе. Москва «Просвещение» 1983г.
4. Сост. Гряда Н. Н. и др. Обобщающее повторение в системе подготовки к ЕГЭ по теме
«Тригонометрические уравнения»,
Армавир, 2005г.
5. Челомбитько В. П. «Математика: весь курс. Теория, задачи, решения».
2009г
М., «Эксмо»,