Федорова_НА

УДК 539.3+539.4
Н.А. Федорова, ran@akadem.ru
Сибирский федеральный университет, г. Красноярск
ПОСТРОЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОГО
ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ АРМИРОВАННОЙ СРЕДЫ
Получены разрешающие уравнения осесимметрической задачи для плоской конструкции, армированной вдоль криволинейных траекторий. Разрешающая система формулируется в перемещениях и приводит к обобщенной краевой задаче для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений относительно радиального и окружного перемещений. Построена и исследована численная схема определения решения, учитывающая все особенности задачи рационального проектирования плоских конструкций семействами криволинейных волокон в осесимметрической постановке. В качестве иллюстрации приведены численные решения задачи о предельных деформациях концентрических колец, армированных
вдоль двух семейств траекторий: семейств спиралей Архимеда и семейств траекторий
«спицы велоколеса».
Ключевые слова: армирование, структурная модель, криволинейные траектории армирования
В работах [1--4] решена задача рационального армирования семействами криволинейных волокон осесимметричной кольцевой пластины в полярной системе координат. Поиск криволинейных структур армирования выполнен на основе структурной модели в рамках
плоской неоднородной линейной задачи упругости. Получена разрешающая система дифференциальных уравнений относительно радиального и окружного перемещений. Коэффициенты системы учитывают все структурные параметры (углы армирования, интенсивности
армирования, число семейств армирующих волокон, свойства материалов арматуры связующего). Поставлена краевая задача на внутреннем и внешнем контуре пластины. Особенностью полученной системы является то, что она представляет собой систему дифференциальных уравнений второго порядка, не разрешенных относительно производной.
В настоящей работе рассматриваются вопросы численного решения этой системы, запишем ее в виде
 u (  ) 
d 2  u ( ) 
d  u (  ) 
(1)
B1 (  ) 2  
  B2 (  )

  B3 (  ) 
0,
d   u (  ) 
d   u (  ) 
 u (  ) 
 bi (  ) bi (  ) 
12
 , i  1, 2,3 .
где Bi (  )   11
 bi (  ) bi (  ) 
22
 12

В этой формуле Bi (  )  матрицы коэффициентов, образованные из коэффициентов
aij разрешающей системы. Коэффициенты aij , полученные в [4], учитывают все структурные характеристики армированного материала. В статье их не приводим в виду громоздкости. Например, матрица коэффициентов при производных второго порядка B1 (  ) выглядит
так
a33 (  )
a13 (  )


 a (  )a (  )  a (  ) 2  a (  )a (  )  a (  ) 2 
33
13
11
33
13
 11


a13 (  )

a11 (  )
  a (  )a (  )  a (  ) 2
2 
a11 (  )a33 (  )  a13 (  ) 
33
13
 11
Для таких дифференциальных уравнений через некоторую точку пространства решений, вообще говоря, проходит уже не одна, а несколько интегральных кривых. Пусть в некоторой области определитель функциональной матрицы B1 (  ) не равен нулю, то есть выпол1
 0 . Что всегда выполнено для коэффициентов арняется неравенство
a11 (  )a33 (  )  a13 (  ) 2
мированного материала aij (  ) из [4].
Запишем систему уравнений (1) в виде
 u (  ) 
d 2  u (  ) 
d  u (  ) 
(2)
  M 2 ( ) 

  M3 ( )  
0,
2 
d   u (  ) 
d   u (  ) 
 u (  ) 
где M 2 (  )  B11 (  ) B2 (  ), M 3 (  )  B11 (  ) B3 (  ) .
Согласно [5], система (2) двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго
порядка, разрешенная относительно старших производных, называется канонической системой. Для канонической системы в [5] доказана теорема существования и единственности:
если правые части канонической системы являются непрерывными в некоторой области,
включающей точку ( 0 , u ( 0 ), u ( 0 )) и удовлетворяют в этой области условиям Липшица
по u ( 0 ), u ( 0 ) , то существует одно и только одно решение системы (2), определенное в
некотором интервале  0   , 0    и удовлетворяющее начальным условиям при   0 , а
именно u ( 0 )  u0 , u ( 0 )  u0 .
Рассмотрим решение однородной системы (2) на интервале  [ 1 , 2 ] . Поставим
краевые условия
l1 (   1 )  u  ( 1 )  C1* ,
l2 (    2 )  a11u  (  2 )  a12
u (  2 )

 du (  ) u (  ) 
 a13  

 pn ,
    
 d
2
l3 (   1 )  u ( 1 )  C2* ,
l4 (    2 )  a13u  (  2 )  a23
u (  2 )

(3)
 du (  ) u (  ) 
 a33  

 p .
    
 d
2
Поставив условия на ранг матрицы, составленной на основе граничных условий и используя метод Лагранжа вариации постоянных, можно показать [6,7], что задача с граничными условиями имеет единственное решение.
Для предотвращения возможных последствий большого разброса собственных значений матрицы коэффициентов, приводящих к сильному росту ошибки, в [6,7] предлагается
проводить пошаговую ортогонализацию определяемых разложения многообразий решений,
данный метод называется также ортогональной прогонкой [8].
Пусть
весь
интервал
 1, 2  разбит на n участков точками
1  s1  s2  1  h1  s3  s2  h2  ...  2  sn . Выбираем линейно независимые начальные
данные z 0j   u ( 1 ), u ( 1 ), u ( 1 ), u ( 1 )  , проинтегрировав систему (2) с этими начальными
T
j
данными на интервале  s1 , s2  , получим векторы решений z1 , z2 , z3 . Проортогонализируем и
пронормируем эти векторы в точке s2 , обозначим их orz1 , orz2 , orz3 . Вектор orz1 ( s2 ) получим
вычитая из вектора z1 ( s2 ) его проекцию в пространство, натянутое на векторы z2 (s2 ), z3 (s2 ) .
Вектор orz1 ( s2 ) не нормируется.
С помощью численного интегрирования и проведения ортогонализаций на каждом
шаге строится последовательность систем векторов
z j (s2 )  U (1) N1z j (s1 ) , z j (s3 )  U (2) N 2 z j (s2 ) ,..., z j (sn )  U ( n1) N n1z j (sn1 ) ,
j  1, 2,3 .
Любое решение системы (2), удовлетворяющее граничным условиям на левом конце,
принимает на правом конце значение, представимое в виде
3
z ( 2 )    (j n1) z j ( sn1 ) ,
j 1
где 
 – прогоночные коэффициенты, вычисляемые на каждом шаге и используемые для нахождения значений решения. В промежуточных точках эти значения определяются по рекуррентным формулам.
В этих формулах используются также численные решения системы (2) с начальными
данными. При численном решении системы дифференциальных уравнений, состоящей из
двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с начальными данными
вместо сведения этой системы к четырем дифференциальным уравнениям первого порядка
используется более экономичная расчетная схема типа схемы Рунге – Кутты для решения
системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Для получения расчетной схемы метода Рунге-Кутты проинтегрируем обе части каждого из уравнений (2) от  0 до  0  
( n 1)
j
1


d
d
d
d
u ( 0   ) 
u ( 0 )   f1  0  s ,
u  ( 0  s ),
u ( 0  s ), u  (  0  s ), u (  0  s ) ds
d
d
d
d


0

1


d
d
d
d
u ( 0   ) 
u ( 0 )   f 2  0  s ,
u ( 0  s ),
u ( 0  s ), u  ( 0  s ), u ( 0  s ) ds .
d
d
d
d


0

Введем параметр  , по которому можно проинтегрировать (2) еще раз, и проводя все
выкладки, получим
u ( 0   )  u  ( 0 )  hu ( 0 ) 
1


d
d
u  (  0  s ),
u (  0  s ) ds,
 0  s , u  (  0  s ), u (  0  s ),
d
d


0
u ( 0   )  u ( 0 )  hu ( 0 ) 

2
 (1  s) f
1
1


d
d
  2 (1  s) f 2  0  s , u ( 0  s ), u ( 0  s ),
u ( 0  s ),
u ( 0  s ) ds.
d
d


0

(4)
Экономичность расчетной схемы, получаемой без сведения (2) к системе 4-х уравнений первого порядка, состоит в том, что при вычислении интеграла в (4) за счет множителя
 2 можно применить квадратурную формулу с меньшим числом узлов, чем при вычислении
интеграла в системе четырех уравнений первого порядка. Для данной разрешающей системы
(1) плоской задачи армированной среды полученный метод позволил вычислять численные
решения, сходящиеся при уменьшении шага сетки, с наименьшими вычислительными затратами.
Пример расчета криволинейно армированного кольца.
Численное решение находится для обезразмеренной системы, соответствующей (1).
Траекториями армирования являются семейства спиралей Архимеда и семейства траекторий
«спицы велоколеса» (рис. 1). Фиксируем нагрузку в 2 МПА, в качестве граничных условий
выбрана жесткая заделка. На графиках рассматриваем для указанных структур четыре вари-
анта начальных интенсивностей 10 , 20 выхода арматуры на внутреннем контуре. На рисунке выводим четыре типа графиков: 1 -- сплошная линия ( 10  0,3; 20  0,3 ), 2 -- линия,
состоящая из тире ( 10  0, 05; 20  0,376 ) , 3 -- линия, состоящая из точек ( 10  0,1;
20  0,31 ), 4 -- линия, состоящая из точек-тире (10  0,51; 20  0,18).
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
На рис. 2, рис. 3 показано существенное влияние начальных интенсивностей армирования на значение функции Баландина S ( R) [1,2, 3] . Характер зависимостей S ( R) для двух
видов материалов связующего и арматуры аналогичны, но числовые значения S ( R) для
кольцевой пластинки из титана с керамическими волокнами на порядок меньше, чем пластинки из алюминия со стальными волокнами.
Разрешающая система учитывает способы армирования семействами волокон в
направлении любых криволинейных траекторий, что дает широкое разнообразие структур
армирования и позволяет в рамках единой схемы решения получить конструкцию с заранее
заданными прочностными свойствами.
Библиографический список
1. Немировский Ю. В. Математическое моделирование плоских конструкций из армированных волокнистых материалов / Ю. В. Немировский, Н. А. Федорова -- Красноярск:
СФУ, 2010. 136 с.
2. Немировский Ю. В. Армирование плоских конструкций по криволинейным ортогональным траекториям / Ю. В. Немировский, Н. А. Федорова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та.
Сер. Физ.-мат. наук. -- Самара, 2010. № 5(21)-- С. 96-104.
3. Немировский Ю. В. Предельное деформирование дисков газовых и гидротурбин
при различных структурах армирования / Ю. В. Немировский, Н. А. Федорова // Известия
высших учебных заведений. Физика. -- 2013.-- Т. 56, № 7/3.-- С. 191-196.
4. Немировский Ю. В. Исследование рациональных структур криволинейного армирования в полярной системе координат / Ю. В. Немировский, Н. А. Федорова // Вестн. Сам.
Гос.тех.ун-та. Сер. Сер. Физ.-мат. науки. -- 2013. № 1 (30). -- С. 233-244.
5. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов -- М.: ГИТ-ТЛ,
1961. – 436 с.
6. Бабенко К. И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко – М.: Наука, 1986.
7. Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / С. К. Годунов // Успехи математических наук. -1961. Т. 16, вып. 3(99). – С. 171–174.
8. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков -М.: Наука, 2004.