ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКЕ – 2014 (муниципальный этап, 17.11.2013) Задача 7-1

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО ФИЗИКЕ – 2014 (муниципальный этап, 17.11.2013)
Задача 7-1
Автобус, на котором Виталий ездит в школу, проезжает расстояние 8 км за 23 минуты.
Скорость автобуса 40 км/ч. Сколько времени этот автобус тратит на остановки?
Решение
На движение автобус потратил (8 км) : (40 км/ч) = 0,2 ч = 12 мин. Следовательно, на
остановки было потрачено 23 мин. − 12 мин. = 11 мин.
Ответ: на остановки автобус тратит 11 минут.
Задача 7-2
Школьницы Алиса и Василиса бегут в одну сторону по кругу на спортивной площадке.
Каждые 12 минут Алиса обгоняет Василису. Навстречу школьницам бежит пес Рекс, который
каждые 3 минуты встречается с Василисой. Через какой промежуток времени происходят встречи
Рекса с Алисой?
Решение
Пусть L – длина круга на стадионе, VА, VВ и VР – скорости Алисы, Василисы и Рекса
соответственно. По условию, за время TАВ = 12 мин. Алиса пробегает расстояние, на L большее,
чем Василиса. Отсюда (VА − VВ)TАВ = L. Также известно, что за время TВР = 3 мин. Василиса и Рекс
пробегают вместе расстояние L, то есть (VР + VВ)TВР = L. Требуется определить, за какое время T
Алиса и Рекс вместе пробегают расстояние L; при этом (VР + VА)T = L. Из записанных уравнений
L
L
L
T T

 , откуда T  АВ ВР  2,4 мин.
находим:
TАВ TВР T
TАВ  TВР
Ответ: встречи Рекса с Алисой происходят каждые 2,4 мин.
Задача 7-3
Вещество графен представляет собой плоский слой атомов углерода,
расположенных в вершинах одинаковых шестиугольников (на рисунке
атомы углерода показаны кружками). Площадь одного такого
шестиугольника составляет 0,00524 квадратных нанометра. Найдите
количество атомов углерода в квадратном образце графена размером 10
нанометров на 10 нанометров. В одном метре миллиард нанометров.
Решение
Поскольку в каждой вершине сходятся три шестиугольника, можно считать, что в каждом
шестиугольнике в одной вершине сосредоточена 1/3 атома. Таким образом, на каждый
шестиугольник приходится 2 атома.
В исследуемом образце 1010/0,00524  19000 шестиугольников, или 190002 = 38000 атомов.
Ответ: в исследуемом образце 38 тысяч атомов.
Задача 7-4
Если полностью открыть только горячий кран, то ведро объёмом 10 литров наполняется за
100 секунд, а если полностью открыть только холодный кран, то банка объёмом 3 литра
наполняется за 24 секунды. Определите, за какое время наполнится водой кастрюля ёмкостью 4,5
литра, если полностью открыть оба крана.
Решение
Расход воды из горячего крана составляет (10 л)/(100 с) = 0,1 л/с, а из холодного крана
(3 л)/(24 с) = 0,125 л/с.
Следовательно, общий расход воды равен 0,1 л/с + 0,125 л/с = 0,225 л/с. Поэтому кастрюля
емкостью 4,5 л наполнится водой за время (4,5 л)/(0,225 л/с) = 20 с.
Ответ: кастрюля наполнится водой за 20 с.
Задача 8-1
Школьницы Алиса и Василиса бегут в одну сторону по кругу на спортивной площадке.
Каждые 12 минут Алиса обгоняет Василису. Навстречу школьницам бежит пес Рекс, который
каждые 3 минуты встречается с Василисой. Через какой промежуток времени происходят встречи
Рекса с Алисой?
Решение
Пусть L – длина круга на стадионе, VА, VВ и VР – скорости Алисы, Василисы и Рекса
соответственно. По условию, за время TАВ = 12 мин. Алиса пробегает расстояние, на L большее,
чем Василиса. Отсюда (VА − VВ)TАВ = L. Также известно, что за время TВР = 3 мин. Василиса и Рекс
пробегают вместе расстояние L, то есть (VР + VВ)TВР = L. Требуется определить, за какое время T
Алиса и Рекс вместе пробегают расстояние L; при этом (VР + VА)T = L. Из записанных уравнений
L
L
L
T T
находим:

 , откуда T  АВ ВР  2,4 мин.
TАВ TВР T
TАВ  TВР
Ответ: встречи Рекса с Алисой происходят каждые 2,4 мин.
Задача 8-2
Вещество графен представляет собой плоский слой атомов углерода,
расположенных в вершинах одинаковых шестиугольников (на рисунке
атомы углерода показаны кружками). Площадь одного такого
шестиугольника составляет 0,00524 квадратных нанометра. Найдите
количество атомов углерода в квадратном образце графена размером 10
нанометров на 10 нанометров. В одном метре миллиард нанометров.
Решение
Поскольку в каждой вершине сходятся три шестиугольника, можно считать, что в каждом
шестиугольнике в одной вершине сосредоточена 1/3 атома. Таким образом, на каждый
шестиугольник приходится 2 атома.
В исследуемом образце 1010/0,00524  19000 шестиугольников, или 190002 = 38000 атомов.
Ответ: в исследуемом образце 38 тысяч атомов.
Задача 8-3
Если полностью открыть только горячий кран, то ведро объёмом 10 литров наполняется за
100 секунд, а если полностью открыть только холодный кран, то банка объёмом 3 литра
наполняется за 24 секунды. Определите, за какое время наполнится водой кастрюля ёмкостью 4,5
литра, если полностью открыть оба крана.
Решение
Расход воды из горячего крана составляет (10 л)/(100 с) = 0,1 л/с, а из холодного крана
(3 л)/(24 с) = 0,125 л/с.
Следовательно, общий расход воды равен 0,1 л/с + 0,125 л/с = 0,225 л/с. Поэтому кастрюля
емкостью 4,5 л наполнится водой за время (4,5 л)/(0,225 л/с) = 20 с.
Ответ: кастрюля наполнится водой за 20 с.
Задача 8-4
Школьник Станислав проводит опыт с однородным цилиндром массой M = 1 кг и длиной
L = 1 м. Прикрепив при помощи тонких легких нитей к одному концу цилиндра гирю массой
M = 1 кг, а к другому – груз массой 3M = 3 кг, Станислав уравновесил цилиндр на пальце. На
каком расстоянии от гири должен находиться палец?
Решение
Пусть x – расстояние от пальца до гири (см. рис.). Запишем
правило рычага относительно оси, совпадающей с пальцем:
3Mg(L − x) = Mg(x − L/2) + Mgx.
Отсюда x = 0,7L = 0,7 м.
Ответ: палец находится на расстоянии 0,7L = 0,7 м от гири.
Задача 9-1
Под настольной лампой, находящейся на высоте h = 1 м над поверхностью стола, по столу
проложены прямые рельсы (проходящие строго под лампой). По ним со скоростью V = 1 м/с
катится маленькая тележка с лежащим на ней горизонтально зеркальцем. С какой скоростью u
бежит светлое пятнышко по потолку? Высота потолка над поверхностью стола H = 2 м.
Решение
Изобразим ход лучей на рисунке. Координата светлого пятна x1
связана с координатой тележки x соотношением подобия
x1 : x = (H + h) : h. Принимая в качестве начала отсчета времени момент
прохождения тележки под лампой, запишем зависимость координаты x
тележки от времени t: в силу равномерности движения эта зависимость
H h
Vt . Следовательно, скорость пятна
имеет вид x = Vt. Отсюда x1 
h
x
H h
u 1 
V  3 м/с.
t
h
H h
Ответ: скорость движения светлого пятнышка по потолку составляет u 
V  3 м/с.
h
Задача 9-2
Из танка, двигающегося со скоростью u =15 м/с, в направлении его движения выпускают
снаряд. Начальная скорость снаряда относительно Земли направлена под таким углом α к
горизонту, что tg α = 0,2. К моменту падения снаряда на Землю танк проехал 1/20 дальности полета
снаряда. Определите максимальную высоту h, на которую поднялся снаряд во время полета.
Ускорение свободного падения считать равным g = 10 м/с2.
Решение
Направим ось X горизонтально, ось Y вертикально. Движение снаряда вдоль оси X является
равномерным. По условию, за одно и то же время снаряд проходит вдоль оси X расстояние, в 20
раз большее, чем танк. Следовательно, скорость снаряда вдоль оси X в 20 раз больше скорости
танка и равна Vx = 20u.
Поскольку вначале снаряд двигался относительно Земли под углом к горизонту, тангенс
которого был равен 0,2, начальная скорость снаряда Vy0 вдоль оси Y выражается через Vx
соотношением Vy0 = 0,2Vx и Vy0 = 4u.
Движение снаряда вдоль оси Y является равноускоренным с
ускорением g, направленным вниз. График зависимости скорости снаряда
Vy вдоль оси Y от времени t до момента достижения максимальной
высоты изображен на рисунке. Максимальная высота h является
площадью под данным графиком: h = (1/2)∙(4u)∙(4u/g) = 8u2/g = 180 м.
Тот же результат можно получить, записав кинематические
соотношения для движения снаряда вдоль оси Y:
g2
h  Vy 0  
, и V y  V y 0  g  0 ,
2
где  = 4u/g – время подъема снаряда на максимальную высоту.
Также можно воспользоваться законом сохранения механической энергии.
Ответ: максимальная высота h, на которую поднялся снаряд во время полета, составляет
h = 8u2/g = 180 м.
Задача 9-3
Школьник Станислав проводит опыт с однородным цилиндром массой M = 1 кг и длиной
L = 1 м. Прикрепив при помощи тонких легких нитей к одному концу цилиндра гирю массой
M = 1 кг, а к другому – груз массой 3M = 3 кг, Станислав
уравновесил цилиндр на пальце. На каком расстоянии от гири
должен находиться палец?
Решение
Пусть x – расстояние от пальца до гири (см. рис.). Запишем
правило рычага относительно оси, совпадающей с пальцем:
3Mg(L − x) = Mg(x − L/2) + Mgx.
Отсюда следует ответ: палец находится на расстоянии x = 0,7L = 0,7 м от гири.
Задача 9-4
Если полностью открыть только горячий кран, то ведро объёмом V1 = 10 л наполняется за
1 = 100 с, а если полностью открыть только холодный кран, то банка объёмом V2 = 3 л
наполняется за 2 = 24 с. Температура горячей воды t1 = 70 °C, а холодной воды t2 = 20 °C.
Определите, за какое время  наполнится водой кастрюля ёмкостью V = 4,5 л, если оба крана
открыты полностью. Определите температуру t воды, вытекающей из смесителя, если оба крана
открыты полностью и тепловое равновесие устанавливается, пока вода находится в смесителе.
Решение
Расход воды из горячего крана составляет u1 = V1/τ1, а из холодного крана u2 = V2/τ2.
Следовательно, общий расход воды равен u1 + u2. Поэтому кастрюля емкостью V наполнится водой
V
V
V12



 20
u

u
V
/


V
/

V


V

1
2
1
1
2
2
1
2
2
1
за время
с.
Пусть ρ – плотность воды, c – ее удельная теплоемкость. За время τ0 вытекающая из горячего
крана масса воды ρu1τ0 при охлаждении от температуры t1 до температуры t отдает количество
теплоты cρu1τ0∙(t1 − t). За это же время вытекающая из холодного крана масса воды ρu2τ0 при
нагревании от температуры t2 до температуры t получает количество теплоты cρu2τ0∙(t − t2).
Следовательно,
cρu1τ0∙(t1 − t)=cρu2τ0∙(t − t2)
и
u1t1  u2t2 t1 (V1 / 1 )  t2 (V2 / 2 ) t1V12  t2V2 1
t



u1  u2
(V1 / 1 )  (V2 / 2 )
V12  V2 1
42 °C.

Ответ: кастрюля емкостью V = 4,5 л наполнится водой за время
tV t V 
t 1 1 2 2 2 1
V1 2  V2 1
температура вытекающей из смесителя воды составляет
42 °C.
V12
 20
V12  V2 1
с;
Задача 9-5
В калориметр с водой и льдом погрузили проволоку сопротивлением R = 800 Ом и стали
пропускать ток силой I = 1 А. На графике приведена зависимость температуры t в калориметре от
времени . Определите начальную массу льда m1 и начальную массу воды в жидком состоянии m2.
Удельная теплота плавления льда λ = 336 кДж/кг, удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг·°C).
Решение
Как следует из графика, за время τ1 = 10 мин. = 600 с в калориметре плавится лед, а еще за
время τ2 = 3 мин. = 180 с вся вода нагревается от 0 °C до 10 °C, на Δt = 10 °C. На первом этапе
получено количество теплоты λm1, на втором этапе – количество теплоты c(m1 + m2)Δt. Поскольку
мощность электронагревателя составляет I2R, составим уравнения: I2Rτ1 = λm1 и
I2Rτ2 = c(m1 + m2)Δt. Следовательно, m1 = I2Rτ1/λ  1,43 кг и m2 = I2Rτ2/(cΔt) − m1  2 кг.
Ответ:
начальная
масса
льда
m1 = I2Rτ1/λ  1,43 кг,
начальная
масса
воды
2
m2 = I Rτ2/(cΔt) − m1  2 кг.
Задача 10-1
Под настольной лампой, находящейся на высоте h = 1 м над поверхностью стола, по столу
проложены прямые рельсы (проходящие строго под лампой). По ним со скоростью V = 1 м/с
катится маленькая тележка с лежащим на ней горизонтально зеркальцем. С какой скоростью u
бежит светлое пятнышко по потолку? Высота потолка над поверхностью стола H = 2 м.
Решение
Изобразим ход лучей на рисунке. Координата светлого пятна x1 связана с координатой
тележки x соотношением подобия x1 : x = (H + h) : h. Принимая в
качестве начала отсчета времени момент прохождения тележки
под
лампой, запишем зависимость координаты x тележки от времени
t: в
силу равномерности движения эта зависимость имеет вид x = Vt.
H h
x1 
Vt .
Отсюда
Следовательно,
скорость
пятна
h
x
H h
u 1 
V  3 м/с.
t
h
Ответ: скорость движения светлого пятнышка по потолку
H h
составляет u 
V  3 м/с.
h
Задача 10-2
Из танка, двигающегося со скоростью u =15 м/с, в направлении его движения выпускают
снаряд. Начальная скорость снаряда относительно Земли направлена под таким углом α к
горизонту, что tg α = 0,2. К моменту падения снаряда на Землю танк проехал 1/20 дальности полета
снаряда. Определите максимальную высоту h, на которую поднялся снаряд во время полета.
Ускорение свободного падения считать равным g = 10 м/с2.
Решение
Направим ось X горизонтально, ось Y вертикально. Движение снаряда вдоль оси X является
равномерным. По условию, за одно и то же время снаряд проходит вдоль оси X расстояние, в 20
раз большее, чем танк. Следовательно, скорость снаряда вдоль оси X в 20 раз больше скорости
танка и равна Vx = 20u.
Поскольку вначале снаряд двигался относительно Земли под углом к горизонту, тангенс
которого был равен 0,2, начальная скорость снаряда Vy0 вдоль оси Y выражается через Vx
соотношением Vy0 = 0,2Vx и Vy0 = 4u.
Движение снаряда вдоль оси Y является равноускоренным с
ускорением g, направленным вниз. График зависимости скорости
снаряда Vy вдоль оси Y от времени t до момента достижения
максимальной высоты изображен на рисунке. Максимальная
высота h является площадью под данным графиком:
h = (1/2)∙(4u)∙(4u/g) = 8u2/g = 180 м.
Тот же результат можно получить, записав кинематические
соотношения для движения снаряда вдоль оси Y:
g2
h  Vy 0  
, и V y  V y 0  g  0 ,
2
где  = 4u/g – время подъема снаряда на максимальную высоту.
Также можно воспользоваться законом сохранения механической энергии.
Ответ: максимальная высота h, на которую поднялся снаряд во время полета, составляет
h = 8u2/g = 180 м.
Задача 10-3
Приспособление, позволяющее человеку балансировать над поверхностью водоема, состоит
из платформы, к которой снизу подходит шланг. По этому шлангу насос, установленный на
плавающей поблизости лодке, может прокачивать воду с максимальной скоростью V = 7 м/с. Вода
бьет в платформу вертикально вверх, ударяется о платформу и разлетается горизонтально во все
стороны. Внутренний радиус шланга r = 8 см. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2,
плотность воды ρ = 1000 кг/м3. Человека какой массой M способно удерживать это
приспособление? Массой платформы и шлангов можно пренебречь. Предложите и разъясните
способ управления высотой «полета».
Решение
За промежуток времени τ из шланга вытекает объем воды πr2Vτ. Импульс этого объема,
равный ρ∙πr2Vτ∙V, передается платформе. Действующая на платформу с человеком со стороны воды
сила равна переданному за единицу времени импульсу, то есть ρ∙πr2V2. Поскольку она
уравновешивается силой тяжести, действующей на человека, имеем: ρ∙πr2V2 = Mg и
M = ρπr2V2/g  98,5 кг.
Чтобы увеличить высоту полета, можно немного увеличить скорость вытекания воды V
(платформа будет двигаться вверх), а затем вернуться к исходному значению скорости. Для
уменьшения высоты полета надо, наоборот, ненадолго уменьшить скорость вытекания воды.
Ответ: приспособление способно удерживать человека с массой M = ρπr2V2/g  98,5 кг;
способ управления высотой полета предложен в тексте решения.
Задача 10-4
В калориметр с водой и льдом погрузили проволоку сопротивлением R = 800 Ом и стали
пропускать ток силой I = 1 А. На графике приведена зависимость температуры t в калориметре от
времени . Определите начальную массу льда m1 и начальную массу воды в жидком состоянии m2.
Удельная теплота плавления льда λ = 336 кДж/кг, удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг·°C).
Решение
Как следует из графика, за время τ1 = 10 мин. = 600 с в калориметре плавится лед, а еще за
время τ2 = 3 мин. = 180 с вся вода нагревается от 0 °C до 10 °C, на Δt = 10 °C. На первом этапе
получено количество теплоты λm1, на втором этапе – количество теплоты c(m1 + m2)Δt. Поскольку
мощность электронагревателя составляет I2R, составим уравнения: I2Rτ1 = λm1 и
I2Rτ2 = c(m1 + m2)Δt. Следовательно, m1 = I2Rτ1/λ  1,43 кг и m2 = I2Rτ2/(cΔt) − m1  2 кг.
Ответ:
начальная
масса
льда
m1 = I2Rτ1/λ  1,43 кг,
начальная
масса
воды
m2 = I2Rτ2/(cΔt) − m1  2 кг.
Задача 10-5
Над воздухом проводят процесс, изображенный на рисунке.
Участки 12 и 34 представлены на графике горизонтальными прямыми
линиями, участок 14 – наклонной прямой линией. На участке 23
температура воздуха постоянна. Объем воздуха в точке 3 совпадает с
его
объемом в точке 1 и равен V0 = 1 л, а объем в точке 4 совпадает с
объемом в точке 2 и равен 3V0. Минимальное давление в процессе
p0 = 105 Па. Найдите координаты точки А самопересечения на pVдиаграмме.
Решение
Поскольку на участке 23 температура постоянна, давление на этом участке обратно
пропорционально объему, и произведение давления на объем в любой точке участка равно этому
произведению в точке 2. Значит, уравнение процесса 23 имеет вид: pV = p0∙3V0. В частности, в
точке 3 (а значит и в точке 4) давление должно быть равно 3p0. Поэтому прямая 14 проходит через
точки (p0; V0) и (3p0; 3V0). Ее уравнение p/p0 = V/V0. Обозначая давление и объем в точке A через
p = xp0 и V = xV0, из уравнения процесса 23 получим: x2 = 3 и x  3  1,73 . Следовательно,
давление в точке самопересечения составляет 1,73∙105 Па, а объем 1,73 л.
Ответ: давление в точке самопересечения составляет 1,73∙105 Па, а объем 1,73 л.
Задача 11-1
Приспособление, позволяющее человеку балансировать над поверхностью водоема, состоит
из платформы, к которой снизу подходит шланг. По этому шлангу насос, установленный на
плавающей поблизости лодке, может прокачивать воду с максимальной скоростью V = 7 м/с. Вода
бьет в платформу вертикально вверх, ударяется о платформу и разлетается горизонтально во все
стороны. Внутренний радиус шланга r = 8 см. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2,
плотность воды ρ = 1000 кг/м3. Человека какой массой M способно удерживать это
приспособление? Массой платформы и шлангов можно пренебречь. Предложите и разъясните
способ управления высотой «полета».
Решение
За промежуток времени τ из шланга вытекает объем воды πr2Vτ. Импульс этого объема,
равный ρ∙πr2Vτ∙V, передается платформе. Действующая на платформу с человеком со стороны воды
сила равна переданному за единицу времени импульсу, то есть ρ∙πr2V2. Поскольку она
уравновешивается силой тяжести, действующей на человека, имеем: ρ∙πr2V2 = Mg и
M = ρπr2V2/g  98,5 кг.
Чтобы увеличить высоту полета, можно немного увеличить скорость вытекания воды V
(платформа будет двигаться вверх), а затем вернуться к исходному значению скорости. Для
уменьшения высоты полета надо, наоборот, ненадолго уменьшить скорость вытекания воды.
Ответ: приспособление способно удерживать человека с массой M = ρπr2V2/g  98,5 кг;
способ управления высотой полета предложен в тексте решения.
Задача 11-2
Над идеальным одноатомным газом проводят процесс,
изображенный на рисунке. Участки 12 и 34 – изобары, участок 23 –
изотерма, а участок 14 – прямая. Точки 1 и 3, а также 2 и 4 лежат на
одной изохоре. Начальный объем газа V0 = 1 л, начальное давление
p0 = 105 Па, а максимальный объем за весь процесс равен 3V0.
Найдите полученное газом на участке 1-4 количество теплоты,
теплоемкость одного моля газа в процессе 1-4, а также координаты
точки А самопересечения на pV-диаграмме. Универсальная газовая
постоянная R = 8,3 Дж/(моль∙К).
Решение
Поскольку на участке 23 температура постоянна, давление на этом участке обратно
пропорционально объему, и произведение давления на объем в любой точке участка равно этому
произведению в точке 2. Значит, уравнение процесса 23 имеет вид: pV = p0∙3V0. В частности, в
точке 3 (а значит и в точке 4) давление должно быть равно 3p0. Поэтому прямая 14 проходит через
точки (p0; V0) и (3p0; 3V0). Ее уравнение p/p0 = V/V0.
Полученное на участке 14 количество теплоты Q идет на
и на
изменение внутренней энергии U = 1,5∙3p0∙3V0 − 1,5∙p0∙V0 = 12p0V0
совершение работы A, равной площади под графиком 14:
A = 2p0∙2V0 = 4p0V0. Следовательно,
Q = U + A = (12 + 4)p0V0 = 16p0V0 = 1,6 кДж.
Температуры в точках 1 и 4 определяются из соотношений
p0V0 = νRT1 и 3p0∙3V0 = νRT4, где ν – количество вещества.
Следовательно, изменение температуры в процессе 14 определяется
из
соотношения 8p0V0 = νR(T4 − T1) и равно T4 − T1 = 8p0V0/(νR). Теплоемкость одного моля газа в
процессе 14 составляет C = Q/(T4 − T1) = 2R = 16,6 Дж/(моль∙К).
Найдем координаты точки самопересечения. Обозначая давление и объем в точке A через
p = xp0 и V = xV0, из уравнения изотермы 23 получим: xp0∙xV0 = p0∙3V0, откуда x2 = 3 и x  3  1,73 .
Следовательно, давление в точке самопересечения составляет 1,73∙105 Па, а объем 1,73 л.
Ответ: на участке 14 газ получил количество теплоты Q = 16p0V0 = 1,6 кДж, теплоемкость
одного моля газа в этом процессе равно 2R = 16,6 Дж/(моль∙К); давление в точке самопересечения
A составляет 1,73p0  1,73∙105 Па, а объем 1,73V0  1,73 л.
Задача 11-3
В калориметр с водой и льдом погрузили проволоку сопротивлением R = 800 Ом и стали
пропускать ток силой I = 1 А. На графике приведена зависимость температуры t в калориметре от
времени . Определите начальную массу льда m1 и начальную массу воды в жидком состоянии m2.
Удельная теплота плавления льда λ = 336 кДж/кг, удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг·°C).
Решение
Как следует из графика, за время τ1 = 10 мин. = 600 с в калориметре плавится лед, а еще за
время τ2 = 3 мин. = 180 с вся вода нагревается от 0 °C до 10 °C, на Δt = 10 °C. На первом этапе
получено количество теплоты λm1, на втором этапе – количество теплоты c(m1 + m2)Δt. Поскольку
мощность электронагревателя составляет I2R, составим уравнения: I2Rτ1 = λm1 и
I2Rτ2 = c(m1 + m2)Δt. Следовательно, m1 = I2Rτ1/λ  1,43 кг и m2 = I2Rτ2/(cΔt) − m1  2 кг.
Ответ:
начальная
масса
льда
m1 = I2Rτ1/λ  1,43 кг,
начальная
масса
воды
2
m2 = I Rτ2/(cΔt) − m1  2 кг.
Задача 11-4
Незаряженный конденсатор заряжается через резистор сопротивлением R от идеального
источника постоянного напряжения (которое неизвестно). Максимальная сила тока во время
зарядки равна I, а максимальный заряд конденсатора равен Q. Каков будет максимальный заряд
конденсатора вдвое большей емкости после зарядки от другого идеального источника с
напряжением V через такой же резистор?
Решение
Пусть U – неизвестное напряжение первого источника. Сила тока в электрической цепи
максимальна, когда конденсатор еще не зарядился и напряжение на нем равно нулю, при этом
I = U/R. Максимальный (установившийся) заряд на конденсаторе емкости C будет достигнут при
нулевом токе в цепи; он будет равен Q = CU. Из полученных соотношений найдем емкость
конденсатора: C = Q/(IR).
Если заряжать конденсатор вдвое большей емкости 2C от источника напряжением V,
установившийся заряд на конденсатор будет равен q = 2CV = 2VQ/(IR).
Ответ: максимальный заряд конденсатора вдвое большей емкости будет равен q = 2VQ/(IR).
Задача 11-5
В пространстве имеется электрическое поле: в области x > L
напряженность поля направлена противоположно оси x и равна по
модулю E, в области –L < x < L напряженность поля равна нулю, а в
области x < –L она направлена в положительном направлении по оси
x и
также равна по модулю E. Положительно заряженной частице
(заряд +q, масса m), находящейся в начале координат, сообщают
начальную скорость v0, направленную вдоль оси x в положительном направлении. Действием силы
тяжести на частицу можно пренебречь. Постройте графики зависимости от времени t:
а) проекции скорости частицы на ось x;
б) координаты частицы x.
Как зависит период колебаний частицы T от ее начальной скорости? При какой начальной
скорости частицы период колебаний минимален? Чему он равен?
Решение
Когда частица находится в области −L < x < L, ее движение равномерное; в областях x > L и
x < −L частица движется с ускорением, равным по модулю a = qE/m. Графики зависимости
проекции скорости vx и координаты x от времени t изображены на рисунке. Период
 L mv 0 
4 L 4v 0
 .

 4 
(негармонических) колебаний частицы равен T 
v0
a
 v 0 qE 
Минимально возможное значение периода можно найти, используя неравенство между
T (4L / v0 )  (4v0 / a)
4 L 4v 0
L
средним арифметическим и средним геометрическим:
,



4
2
2
v0 a
a
L
. В неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим двух
a
4 L 4v 0

чисел равенство достигается только тогда, когда эти числа равны:
, откуда
v0
a
то есть T  8
qEL
L
mL
8
. Период колебаний при этом равен Tmin  8
.
a
qE
m
Эти же результаты можно получить, исследуя зависимость T(v 0 ) на наличие экстремума при
помощи производной.
Ответ: графики изображены на рисунке; период возникающих колебаний равен
 L mv 0 
qEL
mL
 ; его минимальное значение достигается при v0 
T  4 
и равно Tmin  8
.
qE
m
 v 0 qE 
v0  aL 