Комбинаторные задачи на нахождение числа

У р о к 78
КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА
ПЕРЕСТАНОВОК ИЗ п ЭЛЕМЕНТОВ, СОЧЕТАНИЙ
И РАЗМЕЩЕНИЙ ИЗ п ЭЛЕМЕНТОВ по k (k ≤ п)
Цель: продолжить формирование умений находить число перестановок, сочетаний и
размещений из п элементов по k.
Ход урока
I. Организационный урок.
II. Проверочная работа.
Вариант 1
Найдите значение выражения:
Р6  Р4
Р5 ;
а)
А84  А83
3
2
б) А7  А7 ;
С63  С62
А62 .
в)
Вариант 2
Р7  Р5
Р6 ;
а)
А73  А72
4
3
б) А8  А8 ;
С74  С73
А74 .
в)
Решение
Вариант 1
Р6  Р4
6!  4! 4! · 5 · 6  4! 4! · 29 29




 5,8
Р5
5!
4! · 5
4! · 5
5
а)
;
8! 8!
8!
8!
8!5  8!


А84  А83
4!5  4 · 8!  8
 4! 5!  4! 4!5 
3
2
7! 7! 7!
7!
7!5  7! 4 · 7!
А7  А7


4! 5!
4! 4!5
4!5
б)
;
6!
6!
6!
6!


С63  С62
3!3!
2!4!
2!3!3
2!3!4  (6!4  6!3) · 4! 


2
6!
6!
2!3!12 · 6!
А6
4!
4!
в)

4!
3! 4
1


2!3!12
2!3!12
6.
Вариант 2
Р7  Р5
7!  5! 5! · 6 · 7  5! 41
5



6
Р6
6!
5! · 6
6
6;
а)
7! 7!
7!5  7!

А А
7! · 4 1
 4! 5!  4! 5 

8!
8!
8!5

8!
8!
·
4
8
А А

4!
5!
4!
·
5
б)
;
3
7
4
8
2
7
3
8
7!
7!

С74  С73
 4!3! 3!4!  0
4
7!
А7
3!
в)
.
III. Формирование умений и навыков.
1. В сильном классе можно предложить учащимся доказать два свойства сочетания из
п элементов по k (п ≥ k) (или в качестве дополнительного задания интересующимся
математикой учащимся):
Cnk  Cnn  k
Cnn  k 
:
П р и м е р:
– первое свойство;
n!
n!

 Cnk
(n  (n  k ))! · ( n  k )! k !( n  k )!
C62  C64 .
Cnk 11  Cnk  1  Cnk , k  n
Cnk  1  Cnk 
:

– второе свойство;
n!
n!


( n  k  1)!( k  1)! ( n  k )!k !
n!
(n  1)!
 n  k k 1
·

 Cnk 11

(k  1)!(n  k )!  1
1  (n  1  (k  1))!(k  1)!
П р и м е р: C12  C11  С11 .
2. Следующие задачи решаются с применением формул нахождения числа
перестановок, сочетаний и размещений.
№ 776. Р е ш е н и е
а) Фиксируем один элемент «в». Количество перестановок из пяти оставшихся
элементов: Р5 = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.
б) Фиксируем два элемента «а» и «т». Количество перестановок из 4 оставшихся
элементов: Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
О т в е т: а) 120 анаграмм; б) 24 анаграммы.
№ 777.
Решение
Мальчики и девочки должны чередоваться, то есть девочки могут сидеть только на
четных местах, а мальчики только на нечетных. Поэтому девочки могут меняться местами
только с девочками, а мальчики – только с мальчиками. Четырех девочек можно
рассадить: Р4 = 4! = 24 способами, а пятерых мальчиков Р5 = 5! = 120 способами.
Каждый способ размещения девочек может сочетаться с каждым способом
размещения мальчиков, поэтому по правилу произведения общее число способов равно:
Р4 · Р5 = 24 · 120 = 2880.
О т в е т: 2880 способов.
№ 778 (а; в). Р е ш е н и е
Выбираем три элемента из 12, порядок выбора не имеет значения (все трое идут в
наряд).
а) Иванов и Петров идут в наряд, еще одного нужно выбрать из других 10 солдат;
8
8
количество способов выбора:
7
1
С10
= 10.
в) Иванов идет в наряд, а Петров остается. Еще двоих, идущих в наряд с Ивановым,
нужно выбрать из других 10 солдат (Иванова и Петрова не считаем); количество способов:
С102 
10! 9 · 10

 45
2!8! 1 · 2
.
О т в е т: а) 10 способов; в) 45 способов.
№ 779.
Решение
а) Выбираем 4 шахматистов из 16 без указания порядка; количество способов:
С164 
16! 13 · 14 · 15 · 16

 1820
4!12!
1 ·2 ·3 ·4
.
б) Выбираем 4 шахматистов из 16 с указанием порядка их расположения в команде;
количество способов:
А164 
16!
12! = 13 · 14 · 15 · 16 = 43680.
О т в е т: а) 1820 способов; б) 43680 способов.
№ 780. Р е ш е н и е
Выбираем (без повторений) 2 буквы из 5 и 3 цифры из 10; порядок выбора
учитывается (например: 213 кт и 321 тк – разные).
Количество способов выбора:
5!
 4 · 5 = 20
3!
(для букв);
10!
А103 
 8 · 9 · 10 = 720
7!
(для цифр).
А52 
Каждый вариант выбора букв может сочетаться с каждым вариантом выбора цифр,
поэтому, по комбинаторному правилу умножения, общее число способов равно:
А52 · А103  20 · 720  14400
О т в е т: 14400 способов.
№ 782. Р е ш е н и е
Выбираем из группы туристов в п человек четырех дежурных (порядок выбора
значения не имеет); число способов
Сп4 . Затем выбираем из группы туристов в п человек
двух дежурных – число способов Сп . Так как число способов выбора четырех дежурных
в 13 раз больше, чем двух, получаем уравнение:
4
Сп4 = 13 · Сп2 ;
п!
13 · п!

4!(п  4)! 2!(п  2)! ;
п!
13 · п!

2! · 3 · 4 · ( п  4)! 2!( п  4)!( п  3) ( п  2) ;
1
13

12 (п  3)(п  2) ;
п2 – 5п – 150 = 0;
п1 = 15, п2 = –10. Так как п  , то п2 = –10 – не удовлетворяет условию, значит, п = 15.
О т в е т: 15 туристов.
IV. Итоги урока.
Ответить на контрольные вопросы на с. 187 учебника.
Домашнее задание: № 778 (б), № 781, № 844