Основное уравнение для релятивиски вращающегося

Основное уравнение для релятивистки вращающегося электронного или позитронного
слоя.
Автор в серии статей строит теорию элементарных частиц, основанную на идее
релятивистки вращающихся электронных и позитронных слоев. Слова электронный и
позитронный означают лишь знак электрического заряда слоя, проекция спина слоя на ось
кратна ½ в единицах постоянная планка. Масса релятивистских вращающихся слоев
релятивистки больше масс электрона или позитрона. Масса слоя в единицах массы
электрона составляется из суммы по трем осям проекций спинов умноженных на
половину от величины обратной постоянной тонкой структуры, что равно 68.5. Например,
для мюона, который по мнению автора представляет релятивистки вращающийся в трех
плоскостях электрон, это 3*1/2*68.5=207 масс электрона.
Это было получено в предыдущих работах из условий для стоячей материальной волны
релятивистки вращающегося слоя[1].
Составим уравнение, которому подчиняется вещество релятивистки вращающегося слоя.
Лучше это сделать в системе центра сферы-слоя.
Для энергии содержащейся в релятивистки вращающемся слое можно было записать
E  c p 2  m0 с 2  e, где
p  импульс вещества слоя;
2
m0 
px
масса электрона; с  скорость света;
e  заряд слоя;  - потенциал элекромагн итного поля слоя,
который создает сам вращающийс я заряд слоя.
Рассмотрим одну из плоскостей вращения слоя.
Поскольку вращение релятивистское, то длина окружности слоя
py
pz
вдоль линии вращения будет сокращена в 1 -  2 раз. Здесь   v/c; v - линейная скорость
вращения слоя. Поэтому удельная плотность заряда на единицу длины возрастет
во столько же раз, т.е. составит e  e0 / 1 -  2 , где e0  заряд
Потенциал  отрицателен и
зависит от
электрона (позитрона).
расстояния и от
линейной скорости
вращения и выражается формулой   e0 /( r 1 -  2 ) [1]. Подставляя последние
выражения для выражения энергии получаем
E  c p 2  m0 с 2  (e0 / 1 -  2 )( e0 /( r 1 -  2 ))
2
или
E  c p 2  m0 с 2  (1 / r )(e0 / 1 -  2 ) 2 .
2
Избавимся от 
Вместо 1 / 1 -  2
перейдя к
можно
р вспомнив , что
записать 1 / 1 -  2 
E  c p 2  m0 с 2  (1 / r )(e0 / m0 с) 2 ( p 2  m0 с 2 ) 2
2
2
p 2  m0 с 2 / m0 с и следовательно
2
(1).
По сути это и есть основное уравнение для
Чтобы получить волновое уравнение нужно
сделать традиционную для квантовой механики
p  ( / i ) .
Вид полученного волнового
его решение.
р  m v  (m0 / 1 -  2 )v  (m0 / 1 -  2 )с .
релятивистского слоя.
замену
Е  ( / i ) / t ,
уравнения будет содержать корень, что явно
затруднит
Исследуем возможные пути его решения.
Нас прежде всего интересуют релятивистские случаи, т.е. когда p>>m0c.
Тогда без потери точности(1) можно будет переписать
E  cp  (1 / r )(e0 / m0 с) 2 p 2
(2).
И после традиционной для квантовой механики замены получим
( / i ) / t  c( / i )   (1 / r )(e0 / m0 с) 2 ( / i ) 2  2
(3).
Исследуем его решения.
Перейдем к стационарному уравнению.
Это можно сделать поскольку потенциальная энергия не зависит от
времени явно.
 ( r , t )  e  ( i /  ) Et ( r )
(  / i )e
 ( i /  ) Et
в
(3)
( (i /  )) E ( r )  с ( / i )e  ( i /  ) Et   ( r ) 
 (1 / r )( e0 / m0с ) 2 ( / i ) 2 e  ( i /  ) Et 2 ( r )
получим
E ( r )  с ( / i )  ( r )  (1 / r )( e0 / m0с ) 2  2 2 ( r )
Подставляя
Это и есть стационарное волновое уравнение вещества слоя.
Умножим уравнение на r.
rE (r )  с( / i )r  (r )  (e0 / m0 с) 2  2  2 (r ).
Перепишем уравнение
 2 (r )  1 /(( e0 / m0 с) 2  2 )(с( / i )r  (r )  rE (r ))  0 (5)
Или
 2 (r )  (( m0 с / e0 ) 2 )(с( / i)r  (r )  rE (r ))  0 (6)
эдесь надо вспомнить, что
( / i)r  (r )  rp (r ),
поэтому можно переписать(5)
 2 (r )  (( m0 с / e0 ) 2 )(сrp  rE ) (r )  0 (7).
( 4).
Что такое оператор rp?
rp  r 2 p 2  x 2  y 2  z 2
p x  p y2  p z2  ( 1 x   2 y   3 z )( 1 p x   2 p y   3 p z ),
2
 0 1
0  i
1 0 
,  1  
 это матрицы Паули.
где  1   ,  2  
1 0 
i 0 
 0  1
Продолжим преобразовывать
rp   1 x 1 p x   1 x 2 p y   1 x 3 p z   2 y 1 p x   2 y 2 p y   2 y 3 p z   3 z 1 p x 
 3 z 2 p y   3 z 3 p z   1 2 xpx   2 2 yp y   3 2 zp z  ( 1 x 2 p y   2 y 1 p x )  ( 1 x 3 p z 
 3 z 1 p x )  ( 2 y 3 p z   3 z 2 p y )   1 2 xpx   2 2 yp y   3 2 zp z   1 2 ( xp y  yp x ) 
 1 3 ( xpz  zp x )   2 3 ( yp z  zp y )   1 2 xpx   2 2 yp y   3 2 zp z  i ( 3 ( xp y  yp x ) 
 2 ( xpz  zp x )   1 ( yp z  zp y )) (8),
здесь
мы воспользов ались свойствами
матриц
Паули[1,2],
 1   2   3  I это единичная матрица,
 1 2   2 1  i 3 ,  2 3   3 2  i 1 ,  3 1   1 3  i 2 .
2
2
2
Выражение получило название полного произведения векторов r , p [3].
Рассмотрим решение “трехмерный ротатор”. Представим, что вещество слоя вращается по
сфере радиуса а в трех плоскостях одновременно.
Из принципа неопределенности Гейзенберга известно, что нельзя одновременно знать
координату х и импульс рх, поэтому[2-4]
 1 2 xpx   2 2 yp y   3 2 zp z  3 * (1 / 2) *  (9).
А мнимая часть полного произведения векторов r и p равна моменту количества движения
L  ( 3 ( xpy  yp x ) 
 2 ( xpz  zp x )   1 ( yp z  zp y )) (10),
Известно, что квантовое число l характеризует собственное значение
оператора L=[rp] .
Подставив в уравнение (7) выражения (8),(9) получим
 2 (r )  (( m0 с / e0 ) 2 )((3 / 2)с  iсL  аE ) (r )  0 (11).
Перейдем к сферическим координатам
x  r sin  cos  ,
y  r sin  sin  ,
z  r cos  .
1
2
  , 
2
r
1  2 
1 1 

1
2
 2
(r
) 2 [
(sin 
)
].
r

r r
r sin  
sin 2   2
Тогда
лаплассиан  2   2r 
Известно[2,3], что лаплассиан
  2  ,
2
соответствует также оператору L2, который имеет собственное значение
  l (l  1), здесь мы берем все
решения[4] l  0,1 / 2,1,3 / 2,2,...
и это существенное отличие от электронной оболочки для атома,
где допускались только целочисленные значения.
Подставляя в (11) получим
2
 r  (r )  [(1 / r 2 )( L2 /  2 )  (( m0 с / e0 ) 2 )((3 / 2)с  iсL  аE )] (r )  0 (11).
При движении вещества слоя по сфере радиуса r=a лаплассиан по r равен нулю,
поэтому
[(1 / a 2 )( L2 /  2 )  (( m0 с / e0 ) 2 )((3 / 2)с  iсL  аE )] (r )  0.
При l=0 имеем
((3 / 2)с  аE )] (r )  0.
Полагая, что а равен классическому радиусу электрона, для которого справедливо
е 2 / а  m0 с 2 .
Получим значение
E  (3 / 2)(с / а)  (3 / 2)(с / е 2 )m0 с 2  (3 / 2)(1 /  )m0 с 2  207m0 с 2 ,
где   е 2 / с  1 / 137 постоянная тонкой структуры.
А это и есть энергия-масса мюона.
Литература
1. Водеников С.П. Слоистая теория элементарных частиц, Inauka.ru
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, Москва Наука, 1989.
3. Соколов А.А. и др. Квантовая механика, Москва Наука, 1979.
4. Ферми Э. Квантовая механика, Москва Мир, 1968.