Глава XII

Глава 7. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛА ЧАСТИЦ
В данной главе в разделе 7.1 выведем в общем виде уравнения и
формулы для вычисления среднего значения числа свободных электронов,
изменяющегося в процессах ионизации и рекомбинации.
В разделе 7.2 найдем формулы для вычисления коэффициентов кинетических уравнений, в частности сечений ионизации и рекомбинации.
7.1.Вывод формул для среднего значения числа фермиевских
частиц
7.1.1 Разложение по базисным функциям на группе
Как ранее было указано (раздел 1.7.2.) , если система многих частиц
характеризуется вектором состояния φ, то средние значения физических величин, представленных операторами F̂ , даются формулой
F    I FˆJI  J    F̂ .
(7.1)
I ,J
Введем нормированные базисные функции на группе
eJ u, w  eI u e w.
В общем случае волновая функция
(7.2)
 g  системы частиц и поля, ха-
рактеризующая состояние системы, разлагается по базисным функциям
(7.2) и может быть записана в виде суммы
    g     I ,  eI ,   g     J e J  g ,
I ,
(7.3)
J
где eI u , e w  базисные функции для частиц и для электромагнитного
поля,
 I ,   числовые коэффициенты I, χ – сложные индексы для задания базисных состояний фермиевских частиц и электромагнитного поля,
I  i1 ... ...iM , где i1 ,... ..., iM , числа заполнения состояний.
Множество всех возможных сложных индексов запишем в виде последовательности
(7.4)
J 0 , J1 ,.......J k ,.... ,
где
J k  I k ,  k – первый индекс нумерует частицы, второй – поле.
Базисные фермиевские состояния будем задавать когерентными состояниями с целыми числами заполнения, которые определены
матрицей μ0
eI u   N11 uu01 .
127
Волновые функции частиц задаются столбцом в матрице  0 , элементы группы задаются матрицей (см. (4.7)):



 , y 0   0
u 0  y 0  0
0 
 s 0

s 0 
,
0 
где 0 ,  0 – диагональные матрицы.
Занятые состояния отдельных частиц указываются индексом im в
сложном индексе
I  i1 ... ...iM .
Стационарные базисные состояния между столкновениями в представлении взаимодействия можно получить действием операторов рождения
частиц на вакуумное состояние или в виде когерентного состояния
(сравни с формулой (4.24))
ei1 ......iM u   eI u   a~ i1 ...a~iM 0  N11 u~u~01 ,
(7.5)
~  , определены формулой (5.61).
где операторы a
ik
С целью упрощения задачи преобразуем формулу (7.1), определяющую среднее значение величины, представленной оператором F̂ .
7.1.2. Волновая функция системы, полученная в результате эволюции
Разложим волновую функцию  (t ) , полученную в результате эволюции системы за время
по ортонормированному базису eJ (t )
t,
в
пространстве состояний системы
 t     J eJ t  .
(7.6)
J
Базисные элементы выберем так, чтобы их совокупность составляла
полный набор состояний и была возможность задать любую необходимую в данной задаче неоднородность.
Подставляя (7.6) в (7.1), получим
Fˆ     I  J FJ , I t ,
I
(7.7)
J
где матричные элементы оператора F̂ имеют вид FJ , I t   e J t Fˆe I t  .
Пусть задано начальное состояние
 0g    0 I eI u e w   0J eJ .
I
(7.8)
J
Эволюция системы частиц и поля описывается действием линейного
128
оператора на начальное состояние (на функцию на группе)  1 K 0
Преобразованная функция,  1  1g  разлагается по тем же базисным
элементам
 1 K 0   ( Ke J 0 ) 0J 0   1J e J  g  ,
(7.9)
J
J0
где индексы J  I пробегают некоторое множество, определяющее занятые состояния.
Разложим преобразованные оператором эволюции базисные элементы
e1, J 0  Ke J 0 по исходным базисным элементам, получим (см (7.5 ))
e1, J 0  Ke J 0   K JJ0 e J .
J
Матричные элементы оператора эволюции между базисными функциями получим вычислением скалярного произведения (интегрированием по
группе) элементов дуального базиса e J g  и преобразованных базисных
элементов
K JJ0  e J e1, J  e J ( Ke J 0 )   dge J ( g )e1, J ( g ) .
0
0
Результат эволюции начального состояния
щим образом
(7.8)
запишется следую-
 1 K 0   ( Ke J 0 ) 0J 0    K JJ0 e J  0J 0    1J e J .
J0
J0 J
J
Таким образом, компоненты преобразованного вектора получаются из
начальных (старых) компонент с помощью матричных элементов оператора эволюции.
Итак, преобразованная волновая функция
 1 1 g    1J eJ u, w ,
(7.10)
J
где
 1J   K JJ0  0J 0 .
J0
Выберем начальное состояние  0 g  , таким образом, что в начальный
момент времени
t  t0 система находится в базисном состоянии, кото-
рому соответствует первый индекс J 0  I 0 ,  0 последовательности (7.4)
 0 g   eJ 0 u, w  eI0 u e0 w,
129
где индексы I 0 ,  0 нумеруют, соответственно, состояние частиц и поля
при t  t 0 . В частности начальное состояние фермиевских частиц (электронов) дается базисным элементом eI 0 u  , где распределение занятых
состояний задано сложным индексом
I 0  i1 ... ...iM .
Базисные фермиевские состояния являются состояниями связанных в
атоме частиц и состояниями свободных электронов.
7.1.3. Операторы
Будем искать среднее значение операторов вида
Hˆ   Bi ai ai ,
(7.11)
i
которые запишем, согласно (4.14), в групповой форме
1
Hˆ  T C   SpB ,
2
  B 0 
 .
C  
0
B


где
Состояния и операторы рождения и уничтожения частиц берутся в
представлении взаимодействия или самосогласованного поля. Тогда для
оператора числа частиц B  Bi
является диагональной матрицей, индексы
i пробегают в общем случае полное множество значений, каждый индекс
i обозначает индивидуальное состояние отдельного электрона.
7.1.4. Среднее значение числа частиц
ниями.
между когерентными состоя-
Будем в дальнейшем вычислять среднее N  1 Nˆ 1 , когда базисные функции
eI u  , задающие распределение частиц когерентные со-
стояния вида (4.4) и являются собственными функциями для усредняемого оператора Nˆ eI u   N I eI u  или точнее
Nˆ e I u e  w  N I e I u e  w , где бозевская базисная функция является
числовым множителем. Тогда
Nˆ 1    J Nˆ eJ    J N I eI e .
J
J
130
(7.12)
Рассмотрим, в частности, среднее значение оператора числа электронов между когерентными состояниями вида (4.4). Записывая оператор
числа частиц в групповой форме, как сумму числового слагаемого и оператора вида Nˆ i  ai ai , где
i –
индекс индивидуального состояния,
найдем, что матрица B в этом случае диагональна и ненулевые элементы, равные единице находятся на пересечении i - ой строки и i- го
столбца.
Ранее (см. (4.30))
для оператора типа числа частиц (см. (7.11))
нашли, что среднее значение определяется формулой
2
Nˆ   Bi 0ki 0ki  0 k ,
(7.13)
i ,k
где параметры  0 i матрицы  0 i определяют числа заполнения,
индекс k пробегает все возможные состояния фермионов.
Ненулевые числа  0 k выбирают те состояния, которые нас интересуют.
Сумма
k  02k 
тогда будет суммой для распределения электронов
по энергиям и по другим квантовым числам. Эти параметры войдут в
выражения для среднего значения числа частиц, для токов перехода,
для напряженности электрического поля и т. п.
Замечание. Задание оператора Ĥ матрицей B есть задание интересующей нас величины или , другими словами , области интересов. Например, требуется знать среднее число частиц в заданном объеме.
Множество ненулевых значений диагональной матрицы  0
можно
рассматривать как множество значений аргументов, значения которых
определяют область, в которой задана интересующая нас величина.
Если когерентное состояние описывает один электрон, то в матрице  0
имеем не равный нулю элемент только для какого-то одного значения j . В
этом случае (7.13) является обычной величиной числа частиц для одного
электрона. В общем случае каждая строка в матрице
ствует одной частице и j-я строка в этой матрице
функцию j-го электрона.
131
   ij соответ-
определяет волновую
7.1.5. Основная формула для среднего значения числа фермиевских
частиц
Потребуем, чтобы базисные элементы eI были собственными векторами оператора, соответствующего усредняемой физической величине. Для определенности пусть Fˆ  Nˆ есть оператор числа частиц с
некоторыми свойствами, например, оператор числа частиц, находящихся
в заданном макроскопическом объеме.
Собственные векторы оператора N̂ образуют полную ортонормированную систему базисных векторов пространства состояний. Таким образом,
Nˆ eI t   N I t eI t ,
(7.14)
где N I t   eI Nˆ eI ,
N I t  – собственное число оператора N̂ числа частиц, которое можно
рассматривать как среднее значение этого оператора между базисными,
состояниями. Индекс I нумерует состояния системы частиц и поля.
Используя (7.7) , (7.14), получим среднее значение
2
Nˆ    I N I .
(7.15)
I
Итак, пусть базисные функции являются собственными функциями
для усредняемого оператора. Используя ортогональность базисных
функций и среднее значение оператора между когерентными состояниями, получим формулу среднего значения оператора числа частиц
2
N  1 N 1
 
I ,
I , 2
1
eI ,
Nˆ eI ,    K II0 0   0 N I ,
I , 0
(7.16)
2
N I  eI , Nˆ eI ,   Bi  i .
i
Если в начальный момент времени t  t 0 система находится в базисном состоянии e J 0 , которому соответствует первый индекс J 0  I 0 ,  0 последовательности (7.4), то согласно (7.9)
1 u, w   K JJ0 e J u, w .
(7.17)
J
Матричные элементы Bi ,  i
диагональных матриц, задающих оператор
числа частиц и множество занятых индивидуальных ( отдельных ) состоя-
132
ний в когерентном состоянии можно рассматривать как две функции от
индекса i, нумерующего состояния в системе частиц.
Сложный индекс I 0 задает матрицей y I 0 начальные числа заполнения
всех электронов свободных и связанных в атомах. Сложный индекс
пробегает все возможные состояния системы электронов
I
7.1.6. Волновая функция системы
Волновая функция 1 u, w системы частиц и поля, характеризующая
состояние системы в конечный момент времени, разлагается по ортонормированным базисным функциям ( 7.2 ), (см. (7.5)) .
Если в начальный момент времени t  t 0 система находится в указанном выше базисном состоянии e J 0 , то имеем разложение (7.17), которое перепишем в следующем виде
1 u, w   K II0C,,0 eIC ,   K II0A,,0 eI A ,   K II0B,,0 eI B , ,
IC ,
I A ,
I B ,
(7.18)
где
I ,
 K I 0C,0
IC ,
2
  K II0A,,0
2
I A ,
  K I 0B,,0
I
I B ,
2
 1.
(7.19)
В разложении (7.18) волновой функции по базисным элементам в
первой сумме собраны слагаемые , полученные из начального состояния,
когда в результате столкновений или под действием поля число свободных
электронов в объеме V не изменяется. Вторая сумма описывает ионизацию , когда в результате столкновений происходит увеличение числа
свободных электронов на одну частицу больше, третья сумма описывает
рекомбинацию, прилипание, уменьшение числа свободных электронов на
одну частицу.
7.1.7. Среднее число свободных электронов
Применим формулу (7.15) для вычисления и обсуждения среднего
значения числа свободных электронов в заданном объеме.
Согласно разделу 7.1.4 (см. (7.11)) оператор числа свободных
электронов имеет вид
Nˆ   Bi ai ai ,
i
где индекс i нумерует состояния свободных электронов
133
Выберем в качестве базисных элементов собственные векторы оператора N̂ .
Пусть в начальный момент времени t  t 0 система находит-
ся в базисном состоянии (раздел 7.1)
eJ 0 g   eI0 u e0 w,
которому соответствует
индекс J 0  I 0 ,  0 последовательности
(7.4),
согласно (7.9) волновая функция системы  1u, w дается формулой
(7.17). Тогда из (7.15) получим
N e   K II ,,
0
0
I ,
2
2
e I N e e I   K II , 
N e, I ,
0 ,0
I ,
(7.20)
где
2
N e, I  eI ,  Nˆ e eI ,    Be,i  I , i ,
(7.21)
i
Be,i ,  i  матричные элементы диагональных матриц, задающих оператор
числа частиц и матрицу чисел заполнения , индекс
можные состояния электронов.
Здесь
i пробегает все воз-
eI ,  Nˆ eI ,   eI Nˆ eI , так как оператор числа частиц не
содержит переменных электромагнитного поля.
N e , I – собственное число оператора N̂ числа частиц, которое можно
рассматривать как среднее значение этого оператора между базисными,
состояниями.
Сложный индекс I  i1 im  нумерует состояния системы частиц,
K II0, ,  0 – коэффициенты разложения волновой функции в конечный
момент времени по базисным элементам.
7.1.7.1. Матрица интересов
Будем называть диагональную матрицу B в формуле (7.11) матрицей
интересов, учитывая, что равны единице матричные элементы Bi для
тех состояний, которые нас интересуют, в данном случае для свободных электронов, находящихся в выбранном объеме и равны нулю, если электрон в этом объеме является связанным или состояние не занято
электроном. Задание оператора Nˆ   Bi ai ai диагональной матрицей B
i
определяет область интересов.
134
7.1.7.2. Матрица возможностей
Аналогично будем называть диагональную матрицу μ I матрицей
возможностей, учитывая, что матричные элементы диагональной матрицы μI, являющейся, матричным параметром когерентного состояния
(см. раздел 4.6. ) равны единицы для всех состояний, занятых связанными и свободными электронами, для электронов, находящихся во всем
трехмерном пространстве, в том числе в той области, которая нас не
интересует. Множество ненулевых значений диагональной матрицы μI
есть множество значений аргументов, значения которых определяют область всех состояний. Распределение состояний занятых электронов
определяется индексом I, который нумерует элементы матрицы возможных состояний. Матрица μI есть матрица всех занятых состояний,
для всех имеющихся в наличии электронов для распределения, заданного сложным индексом I.
Сравним (7.20) с формулой (1.6) среднего, полученного с помощью
матрицы плотности. Мы видим, что базисные элементы имеют такой
же смысл как набор состояний, в которых может находиться система.
Квадрат модуля матричного элемента оператора эволюции можно понимать как вероятность нахождения системы в базисном состоянии.
7.1.8. Обсуждение формулы для вычисления средних значений физических величин
Итак, для вычисления средних значений интересующих нас величин
по допустимому в данной задаче набору состояний сначала, в случае
электронов, по формуле (7.21а) находим средние значения между заданными базисными состояниями, которые можно выбрать собственными
векторами оператора усредняемой величины. Можно выбрать базис для
оператора числа частиц или энергии или для оператора потока. Затем
выполняем суммирование по состояниям системы, т. е. усредняем с ве2
сом K II0,, 0 , что дает формулу (7.20).
Из этой формулы следует, что среднее значение оператора числа
свободных электронов
принимает ненулевые значения, если диагональные матрица интересов и матрица возможностей имеют общие
ненулевые значения и, если при этом не равны нулю матричные элементы перехода системы из начального состояния в те состояния, ко-
135
торые нас интересуют, в данном случае мы рассматриваем свободные
электроны.
Этот результат согласуется со здравым смыслом. Для того, чтобы
иметь ненулевое среднее значение оператора числа свободных электронов нужно, чтобы, во-первых, наши интересы совпадали с нашими возможностями и, во-вторых, чтобы в рассматриваемой системе с достаточной интенсивностью происходили процессы перехода в те состояния, которые нас интересуют.
Учитывая
ортогональность базисных функций (7.1) , используя
среднее между когерентными состояниями (между базисными состояниями), получим по формуле (7.20) среднее значение числа свободных электронов N e  N e t  в конечный момент времени t
N e t   
IC
IC 2
K I N IC
0

IA
IA 2
KI N IA
0

IB
IB 2
K I N IB ,
0
(7.22)
где
2
N I D  e I D Nˆ e eI D   Be,i  D,i ,
D  A, B, C
(7.23)
i
При вычислении средних значений по формуле (7.20) приближенно
считаем, что начальное и конечное состояния поля совпадают (излучением пренебрегаем ) и можно опустить суммирование по конечным состояниям поля. Коэффициенты N I D являются средними значениями оператора числа свободных электронов между, базисными функциями (когерентными состояниями), заданными диагональными матрицами
 D,i ,
D  A, B, C .
Учитывая, что в результате столкновений число состояний , занятых свободными электронами изменяется не более чем на единицу и
вычисляя средние значение числа свободных электронов по формуле
(7.23), найдем, что указанные коэффициенты
являются постоянными величинами , не зависят от индексов , по которым производится суммирование в (7.22 ) и эти коэффициенты можно вынести за знак суммы в формуле
(7.22):
(7.24)
N IC  N e t 0 , N I A  N e t 0   1, N I B  N e t 0   1 .
Волновая функция системы нормирована на единицу, поэтому, учитывая
(7.24) , из формулы (7.22) получим рекуррентное уравнение для вычис-
136
ления среднего значения
N e  N e t  в конечный момент времени, если
задано начальное среднее значение и суммы квадратов амплитуд переходов
I
N e t   N e t 0  K I C
IC
0
2
 ( N e t 0   1) K II A
IA
2
0
2
 (Net0 1) K II B N I B , (7.25)
IB
0
откуда, учитывая нормировку (7.19) волновой функции (7.18), получим
N e t   N e t 0   
IA
IA 2
KI
0

IB
IB 2
KI
0
.
(7.26)
Так как базисные функции ортогональны, то при расчете числа свободных электронов можно учитывать слагаемые для ионизации и рекомбинации независимо. Слагаемые второго приближения содержат базисные
элементы, между которыми число свободных электронов за счет рекомбинации на одну частицу меньше, а второго приближения на одну частицу
(на один свободный электрон) больше. Индекс А обозначает, что в результате столкновения или вообще реакции падающий (первый) электрон
испытывает неупругое столкновение, когда связанный электрон переходит в свободное состояние. Индекс В обозначает поглощение свободного электрона молекулой.
7.2. Ионизация и рекомбинация
Уравнение (7.26) определяют в общем виде изменение со временем
среднего числа свободных электронов в газовом разряде в заданном объеме. При решении конкретных задач необходимо выразить правую часть
уравнения (7.26) через коэффициенты волновой функции (через амплитуды разных процессов), отвечающие совместным одновременно протекающим процессам ионизации, рекомбинации, ускорения и другим. В этом
разделе рассмотрим изменение числа свободных электронов в процессе
ионизации и рекомбинации. После подстановки матричных элементов
оператора эволюции получим ниже уравнения (7.48), (7.49). Наибольший
вклад в ионизацию и рекомбинацию дают матричные элементы второго
порядка вида (7.27), где основными являются слагаемые для продольного
электромагнитного поля.
137
7.2.1. Матричные элементы оператора эволюции
7.2.1.1 Процесс ионизации
Процесс ионизации будем описывать с помощью матричных элементов
второго порядка как столкновение первого электрона, падающего на молекулу, со вторым электроном, связанным в молекуле. Необходимо вычислить амплитуды коэффициентов перехода связанных электронов в состояния свободных электронов. Исходная волновая функция и матричные
элементы для подстановки в (7.26) (см. (6.35), (6.36)) имеют вид
f f 
K 2 i mi p
m p
n
k q r 1
F, ks qr
где
n
 q , f p
k , f
 с     r   s j i ,s m Fks qr j i ,r
m
p
2
 2 Dw e
s 1

 Aks Aqre
i
wn1
S
e

,
w0  .
(7.27)
(7.28)
Требование антисимметричности полной волновой функции системы
частиц учитывается множителями, описывающими спин электронов. Поэтому, поскольку матричный элемент в разложении (6.34) по базисным
элементам содержит два слагаемых, отличающихся перестановкой индексов конечных состояний и знак минус относим к спиновым степеням свободы, то выражение (7.27) содержит координатные компоненты
волновой функции в виде симметричного выражения относительно перестановок частиц.
Для вычисления амплитуды процесса ионизации для падающей частицы используем ток перехода между волновыми функциями свободных
электронов (плоские волны). Амплитуду ионизации для второй частицы
найдем, используя ток перехода между волновыми функциями связанного
и свободного электрона. Будем учитывать закон сохранения энергии в
процессе ионизации для двух электронов для большого интервала времени. Нужно применить в (7.27) явные выражения для токов перехода
j
ks, f m
im
j
qr, f p
ip
и для производных (6.59)
Fks qr

 2 Dw e
 
S
i
1
wn AksAqre  e
w0 
от матричных элементов поля в свернутой форме.
7.2.1.2. Процесс рекомбинации
Процесс рекомбинации будем рассматривать на основе матричных
элементов второго порядка, как столкновение молекулы с падающим на
138
молекулу электроном. Будем считать молекулу первой частицей, а падающий электрон второй частицей. Тогда исходная волновая функция и
матричные элементы оператора эволюции имеют формально тот же вид
(7.27)
f
как в случае ионизации. Величина ji m , в случае рекомбинации,
m
является током перехода первой частицы, молекулы из начального невозбужденного состояния в колебательное состояние и поступательное
f
движение, а величина ji  есть ток перехода второй частицы электрона из

свободного в связанное состояние.
В случае рекомбинации первая частица – молекула переходит при
столкновении с падающим электроном в состояние с более высокой скоростью и энергией, колебания ядра молекулы переходят в состояние с
более высокой энергией. Электрон при столкновении с молекулой притягивает и ускоряет ион или молекулу в различных направлениях в
трехмерном пространстве. При многократных столкновениях при колебаниях электрона вблизи и вокруг иона или молекулы ион или
нейтральная в целом молекула приходит в колебательное движение
7.2.1.3. Скалярные компоненты
Нужно подставить в общее выражение (7.27) скалярные (для индексов
qr, f p
 ,   0 ) компоненты токов перехода j iks, f m j i
m
p
и матричные эле-

менты перехода поля из начального в конечное состояние F k s qr , вы-
раженные в явной свернутой форме для  ,   0 , (см. (6.59 )). Компоненты тока перехода, индексы которых не равны нулю, мы опускаем.
Итак, согласно (6.59) ( см. 6.5.3 )
Fks qr
2F0
 2Ck 2
 42 kq sr
  sk rq  k
2
(7.29)
Подставляя (7.29) в (7.27) получим, в качестве исходных, матричные
элементы
f f
K2i mi p
m p


k , f
  42 2 j ks,i, fm j s,i p ,
m
p
k s c k
(7.30)
в случае рекомбинации формально те же, что в случае процесса ионизации.
Будем далее учитывать приближенно только продольное поле.
139

Преобразуем токи перехода в формуле (7.30) к x  представлению.
Применяя преобразование Фурье, запишем
 ,
 


k , fm
fm 
1/ 2 3
j s,i  V
 d x1 js,im x1 exp  ik x1
m


k , f p
f 
j s,i  V 1/ 2 d 3x2 js,ip x2 exp ik x2
p
p
 
 
(7.31)
Используя (7.31) представим (7.30) в следующем виде
f f
K 2 i mi p
m p
  
4 
k s
c2 k 2
3
 d x1 d
Учитывая формулу
3
  
ik  x2  x1  f m
x2 e
j s, i
m
x1  j fsp,i p x2 
( 7.32)

 
ik  x2  x1 
4

  1 ,
 2 e
x2  x1
k k V
( 7.33)
получим матричный элемент, описывающий взаимодействие токов в

x  представлении
fp 
fm 


j
x
j
1
s
,
i
s
,i p x2 
fm f p
3
3

m
K2i i    2  d x1d x2
.
 
m p
x2  x1
s 1 c
n
( 7.34)
7.2.2. Интегрирование по времени
Выделим в ( 7.32 ) временные множители. Невозмущенное состояние
является стационарным. Поэтому, согласно разделу 5.2.3


t t 

Gs ,xi ,  G0,xi , exp   iEim s 0  ,
m
m
 

t t 

f
f
Gs ,mx ,  G0,mx , exp   iE f m s 0 
 

(7.35)
Учитывая, что основной вклад в процессы ионизации и рекомбина
k
s
ции вносят скалярные токи перехода , j  ecGs Gs , получим для m-ой
молекулы в объеме V ток перехода из начального im -ого состояния, характеризуемого энергией Eim , в конечное fm -ое состояние с энергией E f m .




j sf,mi x1   j 0f,mi x1 exp  im t s  t 0  ,
m
m
(7.36)
где
Ei  E f m

f
f
j 0,mi x1   ecG0 m G0,i ,  m  m
m
m

и аналогичное выражение для тока перехода р-ого электрона в объеме V
140
Ei p  E f p


f
f
j s ,pi  x1   j 0,pi x1  exp  i p t s  t 0  , где  p 
.
p
p



Используя (7.36), запишем (7.31) и (7.33) в виде произведения
f fp
K 2 i mi
f f
m p
m p


  V 1M i mi p  E m  E p ,
(7.37)
где
f f
M i mi p
m p

4 
k
c2 k 2
или
f fp
M i mi
m p
3
3
 d x1 d x 2 e
  
ik  x2  x1 
 f 
f
j 0,mi x1  j 0p,i  x2 
m
p
fp 
fm 


x2 
j
x
j
1
0
,
i
0,i p
V
m
3
3
 2  d x1d x2
 
x 2  x1
c


 Em  E p    exp  i t s m   p  .
(7.38)
(7.39)
n
s 1
(7.40)
Здесь индексы m относятся к первой частице, индексы p ко второй частице
Строки матрицы G t  образуют собственные функции невозмущенного
оператора энергии B0. Каждый столбец транспонированной матрицы Gk t 
умножается на exp iEi t /  
G t   G0 exp  i
t
,

где Ei энергетический уровень частицы в i - ом состоянии,
Λ – диагональная матрица уровней энергии стационарных состояний отдельных частиц.
Подставим (7.36) в (7.40) и выполним суммирование, в пределе
  0 , интегрирование по времени. Получим для большого промежутка
времени


 Em  E p   mp     exp  i t s  m   p  

0
 d exp i m p  
 0
n
s 1
2 sin m p 0 
 mp
 2 E m  E p 
 mp  Em  E p , Em  Eim  E fm ,
В случае рекомбинации
141
E p  Ei p  E f p .
 mp  Em  E p  Eim  E f m  Ei p  E f p 
 2 k12  2 k1 2  2 k 22



 E fp .
2 ma
2ma
2me
Первые два слагаемых составляют разность Em  Eim  E f m между
начальной кинетической энергией колебаний ядра молекулы и конечной
( которая больше первоначальной ) кинетической энергией колебаний.
Вторые два слагаемых есть разность E p  Ei p  E f p между кинетической
энергией падающего на молекулу электрона и энергией ионизации с обратным знаком, E f p   E I .
Отсюда
k12  k12  k22  2m
EI
2

Итак, для большого промежутка времени



 Em  E p  2 Em  E p
(7.41)

(7.41а)
7.2.3. Приближение плоской волны для волновых функций
Пусть начальная и конечная волновая функция первой частицы, падающего электрона, в случае ионизации, и молекулы, в случае рекомбинации, является плоской волной. Волновая функция второго электрона является плоской волной с волновым вектором


k 2 в случае иони-
зации и с волновым вектором k 2 в случае рекомбинации. Тогда по формулам (7.36) имеем
 
 




Gim x1  V 1/ 2 exp ik1x1 , Gfm x1  V 1/ 2 exp ik1x1 ,
 

Gip x1   V 1 / 2 exp ik 2 x1 ,


f
j 0,mi x1   exp iq1 x  / V 1 / 2 ,
m



где q1  k1  k1
Формулы (7.39), (7.38)
f f
M i mi p
m p


принимают следующий вид
e d 3 x1d 3 x 2
  fp 
  
 exp  iq1 x1  j 0,i p  x 2 
c x2  x1
Откуда, учитывая (7.32)
142
(7.42)
  
4 e
  fp 
ik  x2  x1 
3
3

e
exp

i
q

d
x
d
x

1 x1  j 0,i  x 2 
2
1
2
p
k cV1 k

Интегрируя (7.43) по x1 , получим
f f
M i mi p
m p
f fp
M i mi
m p
где
f fp
M i mi
m p

4e
cq12


3
p
 d x 2 exp iq1x2  j 0,i p x2  ,
f
(7.43)
(7.44)
 в случае ионизации, матричный элемент энергии взаимо-
действия двух электронов между начальным и конечным состояниями и
матричный элемент энергии взаимодействия падающего на молекулу
электрона и положительного заряда в молекуле в случае рекомбинации
7.2.4. Преобразование уравнений для среднего значения числа электронов
Ранее из общей формулы (7.26) для среднего значения числа электронов получили
I
I
N e t   N e t 0    K I A   K I B ,
2
IA
0
2
IB
0
где, сложный индекс I 0 обозначает начальное состояние системы частиц.
Суммирование
по индексам I A , I B
производится по всем тем ко-
нечным состояниям подсистемы свободных электронов (индекс I A ) и подсистемы связанных электронов ( индекс I B ), в которые переходят электроны в процессе ионизации, находящиеся в начальный момент времени
t 0 в состоянии, характеризуемом сложным индексом I 0 .
Оператор эволюции представим с помощью приближенной формулы
(приближение столкновений) K  K 0  K1  K 2 .
Тогда разложение (7.17) принимает вид
1u, w   K0  K1  K2 IJ,0 eI ,  u, w .
I,
Запишем
где
dN e  N e t   N e t 0   dN eA  dN eB ,
dN eA , dN eB соответственно,
вклад в изменение числа свободных
электронов в процессах ионизации и рекомбинации ( возбуждения колебаний ядер молекул).
143
dN eA   K 2I,AI
IA
dN eB  
IB
2
0
IB 2
K 2, I
0
,
(7.45)
.
(7.46)
7.2.4.1 Преобразование правой части уравнений для среднего значения
числа электронов
В случае ионизации суммирование в (7.45) производится по конечным состояниям, когда в результате столкновения свободные электроны
в объеме V, отмеченные в начальном состоянии индексами
I 0  i1 , i2 ,, im , при столкновении с молекулами отдают часть энергии
и импульса электронам, связанным в молекуле. В результате столкновения
электрон, падающий на молекулу, переходит из начального, индивидуального состояния в конечное состояние с более низкой энергией , а связанный электрон переходит из начального состояния в конечное свободное
состояние с более высокой энергией
В случае рекомбинации суммирование в (7.46) производится по конечным состояниям, когда в результате столкновения свободные электроны в объеме V, отмеченные в начальном состоянии индексами
I 0  i1 , i2 ,, im , при столкновении с молекулами отдают часть энергии
и импульса положительному ядру в молекуле.
Так как пространственное распределение волновой функции молекул
не имеет сферической симметрии , то неупругое столкновение свободного электрона с молекулой зависит от ориентации относительно молеку-

лы волнового вектора k1, m плоской волны описывающей соответствующей индивидуальной волновой функции электрона.
Несимметричность волновой функции можно учесть также как в
случае ионизации, записывая волновой вектор падающего электрона в
системе координат жестко связанной с молекулой, что позволяет отождествить амплитуды с одинаковой ориентацией. Сумма в ( 7.30 ) состоит из
слагаемых, которые соответствуют для разных свободных электронов различным волновым векторам, тогда как все молекулы с одинаковой ориентацией электронов относительно молекулы имеют равные матричные элементы , амплитуды перехода. Число молекул одинаково ориентированных
относительно электрона с заданным волновым вектором равно числу молекул N a , так как распределение взаимных ориентаций молекул и падающих
144
электронов равномерно .Поэтому, если объем V, в котором протекают
рассматриваемые реакции столкновения, настолько мал, что можно было
амплитуды вида K 2 соответствующие разным молекулам рассматривать
как постоянные величины , то сумму в правой части формулы (7.45) можно
записать, в виде
K
IA
IA 2
I0
N a Ne
   
p 1 m 1 f m f p
fm f p 2
K2,i i .
m p
(7.47)
Каждый свободный электрон (нумеруется индексом m  1 N e ) взаимодействует в принципе в объеме V с каждым связанным электроном
(индекс
p
 1 N a ) в каждой молекуле , однако необходимо учесть мо-
мент падающего электрона относительно молекулы , квантовый аналог
прицельного расстояния (см. раздел 8.2.2.1).
При фиксированных индексах m, p каждая сумма по индексам f m , f p в
(7.32) берется по состояниям одной пары электронов – свободного электрона падающего на молекулу и электрона связанного, в молекуле.
Индивидуальные индексы, входящие в сложный индекс начального состояния системы электронов I 0  i1 , i2 ,, im , задается волновым вектором

k1  падающего электрона и индексом, который определяет состояние
связанного электрона.
7.2.4.2 Сумма по состояниям
Запишем сумму (7.45), (7.46) по конечным состояниям в виде интеграла по параметрам конечных состояний. Исходная сумма (7.45) , с учетом ( 7.47) в случае ионизации, имеет вид
N a Ne
f f 2
Net   Net0   dNeA     K2,mi ip .
m p
p 1 m 1 f m f p
(7.48)
Здесь суммирование по индексам производится по состояниям, занимаемым двумя электронами в заданном множестве возможных состояний
для их размещения. В случае рекомбинации исходная сумма (7.39 ) имеет
формально такой же вид.
N e t   N e t 0   dNeB   K2I,BI0 .
2
IB
145
(7.49)
Рассмотрим вклад
dN eA , в изменение числа свободных электронов
в процессах ионизации. Чтобы вычислить число состояний, по которым
производится суммирование в (7.48), разобьем пространство волновых
векторов свободного рассеянного электрона на малые элементы d 3 k .
Требование антисимметричности полной волновой функции системы
частиц учитывается множителями, описывающими спин электронов. Поэтому, поскольку матричный элемент в разложении (7.43) по базисным
элементам содержит два слагаемых , отличающихся перестановкой индексов конечных состояний и знак минус относим к спиновым степеням свободы, то выражение (7.17) имеем координатные компоненты
волновой функции в виде симметричного выражения со знаком плюс.
Поэтому число состояний двух рассеянных электронов в элементе
V 2 d 3 k1d 3 k 2
,
Vd k  фазового пространства запишется в виде d 
2 6
3
где, как выше замечали, эффект обмена учитывается спиновыми
множителями. В результате заменим в (7.48) сумму по состояниям 
fm f g
V2
d 3 k1d 3 k 2 . где выполняется интегрирование по всему
интегралом
6 
2 
объему в импульсном пространстве
Из (7.33, 7.37, 7.48) получим
dN eA
d 3k1d 3k2 fm f p 2
   V
K2,i i .
m p
p 1 m 1
(2 )6
N a Ne
2
(7.50)
Подставляя (7.37) в (7.50), получим
dN eA 
fm f p
mi p
где M i


dt
1 Ne N a 3 3
fm f p 2


d
k
d
k
M

E

E



1
2
m
p
imi p

2 6 m 1 p 1
(7.51)
дается формулой (7.44).
7.2.4.3. Закон сохранения энергии
Учитывая закон сохранения энергии, т. е. записывая приближенно, со-




гласно (7.41а), 2 Em  E p   Em  E p , полагая
и интегрируя (7.51 ) по k 2 2 , получим
146
d
3
k 2 
1
2
 k  d (k 
2
2
2
)
1 Ne N a 3
mek2t
fm f p 2

d
k
d

M
,
(7.52)
1
2
imi p
5  
3
m

1
p

1

2 
2m
где k 2 2  k12  k1 2  2 E I , EI  энергия ионизации, k12 , k1 2 , k 2 2  квадра
dN eA 
ты волновых векторов падающего и рассеянного электронов
 f 
f f
M i mi p  4e2  d 3x2 exp iq1x2  j 0p,i x2  .
p
m p
cq1
Выберем для волновой функции конечного состояния второго свободного электрона приближение плоской волны, распространяющейся в объеме V. Из (7.37), (7.46) получим
f f
M i mi g
mg
где

4e 2

2
1
q
V
 
A2 ,
(7.53)
 

  
A2   d 3 x2 0 x2 exp  i q1  k 2 x2 ,
(7.54)
 0 x2   волновая функция начального состояния второго связанного электрона.
7.2.4.4. Изменение числа свободных электронов в процессе ионизации
Подставляя (7.53) в (7.37) получим из (7.45) формулу для числа
dN eA свободных электронов, полученных в процессе ионизации, когда
учитывается только продольное поле падающего и рассеянного электрона.
В результате для ионизации
dN eA
2
4mee4 Ne N a 3
k2t

d
k
d

A

  1 2 4 2 .
3 3
m
q1
2   V 1 p 1
(7.55)
Для малого объема, когда слагаемые в (7.55) для разных электронов
приблизительно одинаковы, когда выражение под знаком суммирования
однородно
dN eA
2
4mee4 Na
k2t
3

N
d
k
d

A
.


2 33V e 1 2 q14 2
(7.56)
7.2.4.5 Сечение ионизации
Введем среднюю скорость свободных электронов 1e  k1 / m и запишем (7.56) в виде
147
dN eA  na N e1e si dt ,
(7.57)
где сечение ионизации
2
k A
1  e2me  3
si  3  2   d k1d2 2 24 .
2   
k1q
2
(7.58)
7.2.4.6. Изменение числа свободных электронов в процессе рекомбинации
В случае рекомбинации разобьем пространство волновых векторов
соответствующих колебаниям ядра молекулы на малые элементы d 3 k и
запишем число конечных состояний в элементе Vd 3 k  фазового
пространства
Vd 3k1
,
d1 
2 3
(7.59)
Заменим в (7.48) сумму по состояниям  интегралом 2
fm f p
V
d 3 k1
3 
2 
где Г2 – число конечных состояний для электрона в процессе рекомбинации.
Получим вклад в изменение числа свободных электронов
dN eB
Ne N a
dt
1
fm f p 2
3



d
k

M

E

E
.




1 2 imi p
m
p

V 2 3 m 1 p 1
Учитывая закон сохранения энергии, полагая  d 3 k1 
1
2
(7.60)
 k d (k 
1
1
2
) и ин-
тегрируя (7.60) по k1 2 , получим
Ne N a
1
mak1t
fm f p 2
Mi i
,
dNeB 
   d12
m p
3
V 2 2 m 1 p 1
где k1 2  k12  k 22 
2m
2
(7.61)
E I , EI  энергия ионизации.
Волновая функция начального состояния свободного электрона является
плоской волной, распространяющейся в объеме V , поэтому
f f
M i mi p
m p
где
4e2
 2
A2 ,
q1 V
 
(7.62)
 

  
A2   d 3 x2 0 x2 exp  i q1  k 2 x2 ,
148

 0 x2   волновая функция конечного состояния связанного электрона.
Откуда получим из (7.61) следующую формулу для числа связанных
электронов, образованных в процессе рекомбинации,
dN eB
2
4mae4na
k1t
N
N

d

A

g e 2
1 4
2 .
3V
q1
7.2.4.7. Сечение рекомбинации
Запишем (7.63) в виде dN eB  na N e1e sr dt ,
(7.63)
(7.64)
получим в случае рекомбинации для малого объема , когда подинтегральное выражение однородно, сечение рекомбинации
2
2
k1 A2
4ma  e2me 
,
sr 
d
meVe  2   1 k1q4
(7.65)
где Ve  объем молекулы, определяет грубую оценку числа колебательных состояний молекулы
(Ve ~ 1/ 2) .
149