Решение задач повышенной сложности для учащихся 11 класса

МОУ «Судогодская средняя общеобразовательная школа «2»
«Утверждаю»:
Решение педагогического
совета протокол №
от
Директор школы:
«Согласовано»:
на заседании методического
кабинета управления
образования администрации
Судогодского района
протокол №
от
Бирюкова Н.В
Заведующая РМК:
Климова Н.Г.
Программа
спецкурса по математике
«Решение задач повышенной сложности»
для учащихся 11-х классов
(1 час в неделю. Всего 34 часа)
Составитель программы:
Жукова Надежда Владимировна,
учитель высшей квалификационной категории
г. Судогда
1.Пояснительная записка
Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное
овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в
повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества,
достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Наряду с
решением основной задачи углубленное изучение математики предусматривает
формирование у школьников устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их
математических способностей, подготовку к итоговой аттестации в новой форме,
поступлению и обучению в вузе, ориентацию на профессии существенным образом
связанных с математикой.
Cпецкурс «Решение задач повышенной сложности» рассчитан на 34 часа и
предназначен для учащихся 11 классов, желающих систематизировать, углубить и
расширить знания по темам школьной программы через совершенствование техники
решения задач повышенной сложности. Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны
и часто непросты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и
проверить свои способности к математике. Вместе с тем, содержание курса позволяет
ученику активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить
себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя
вопросы, доступные и интересные всем учащимся.
Преподавание спецкурса строится, как углубленное изучение вопросов,
предусмотренных программой основного курса. Актуальность данной программы
объясняется тем, что углубление реализуется на базе обучения методам и приемам
решения математических задач, требующих применения высокой логической и
операционной культуры, развивающих научно-теоретичаское и алгоритмическое
мышление. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их
трудности - повышенный. Среди них встречаются задачи с параметрами. Практика работы
в школе показывает, что задачи с параметрами представляют для школьников
наибольшую трудность, как в логическом, так и в техническом плане и, поэтому, умение
их решать во многом определяет успешную сдачу экзаменов. На сегодняшний день нет ни
одного школьного учебника по математике, который бы имел систему подготовки
учащихся к решению задач с параметрами. Поэтому учащимся необходимы
дополнительные занятия для изучения такого материала. Кроме того, решение задач, а
точнее, уравнений и неравенств с параметрами, открывает перед учащимися значительное
число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития
личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале.
Преимущество данной программы заключается в том, что она позволяет учащимся
выйти за рамки школьного курса математики.
Цель: повышение учебных достижений школьников через решение задач повышенной
сложности.
Задачи спецкурса:
- расширение и углубление курса математики по основным программным вопросам;
- формирование исследовательских умений при решении задач;
- развитие потенциальных творческих способностей учащихся, математического
мышления, выражающегося в изобретательности, логичности и доказательности;
- формирование способности быстро принимать адекватное решение через анализ
проблемных ситуаций и поиск рациональных путей выхода из них;
- развитие личностных качеств, таких как: целеустремленность, самостоятельность,
аккуратность, честность, трудолюбие, умение доводить начатое дело до конца.
Требования к уровню подготовки учащихся.
В результате изучения курса учащиеся должны знать:
- классификацию видов задач;
- методы и приемы решения задач;
-
-
существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;
как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их
применения для решения математических и практических задач;
смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности
математическими методами.
В результате изучения курса учащиеся должны уметь:
точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать
собственные рассуждения при решении задач;
правильно пользоваться математической символикой и терминологией;
применять рациональные приемы вычислений и тождественных преобразований;
решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности;
применять аппарат алгебры для решения прикладных задач.
Административной проверки усвоения курса не предполагается. Контроль знаний
производится при проверке домашних заданий, самостоятельных работ и творческих
работ. Ребятам предлагается составить итоговые тестовые работы в виде
экзаменационных КИМов, обменяться ими и решить их на заключительных занятиях.
Тематическое планирование
№
Разделы и учебные
темы
1.
Введение.
Назначение, цели и
задачи курса. Виды
задач, поиск их
решения и
моделирование.
Задачи на
преобразование.
2.
3.
Организационные формы
взаимодействия учителя с
учеником
лекция
Теоретичес
кие занятия
1
Практиче
ские
занятия
-
1
2
1. Задачи на
упрощение
выражений
практикум
-
1
2.Дифференцирование выражений.
практикум
-
1
Задачи нахождения
искомого.
1.Рациональные
уравнения.
2.Рациональные
неравенства.
3.Иррациональные
уравнения и
неравенства.
4.Показательные и
логарифмические
уравнения и
неравенства.
5.Тригонометричес
кие уравнения и
неравенства.
6.Системы
уравнений.
7.Неравенства
смешанного типа.
Всего
24
практикум
-
2
практикум
-
1
-
3
-
4
практикум
-
4
практикум
-
2
практикум
-
1
практикум
практикум
8.Задачи на
исследование
функции и
применение
производной.
9.Геометрические
задачи.
4.
5.
Задачи на
доказательство.
1.Доказательство
тождеств.
2.Доказательство
неравенств.
3.Метод полной
математической
индукции.
Принцип Дирихле.
Итоговое занятие
(защита КИМов)
практикум
-
4
практикум
-
3
3
практикум
-
1
1
-
1
1
лекция
1
-
1
семинар
-
4
4
ИТОГО
2
32
34
практикум
Содержание
Раздел 1. Введение (1 час).
Назначение, цели и задачи курса. Связь курса с другими темами школьной программы.
Виды задач. Поиск плана решения задачи. Моделирование в процессах решения задач.
Виды задач: задачи на преобразование и построение, задачи нахождения искомого, задачи
на доказательство.
Поиск плана решения задачи: свести задачу к ранее решенным.
Пример: решите систему уравнений
lg2х - lg2у = 7,
lg х/у = 2
Используя формулу логарифма частного и учитывая область определения
логарифмической функции, получаем
lg2х - lg2у = 7,
lg х - lg у = 2
х >0
у>0
Наличие в обоих уравнениях одних и тех же логарифмов приводит к мысли произвести
замену переменных, а именно обозначить lg х =m, lg у = n. Тогда данная система
сведется к хорошо знакомой системе:
m2 - n2 = 7,
m–n =2
Решив эту систему и найдя значения m и n, найдем затем х и у.
m=11/4, n =3/4, тогда х = 4√1011
у = 4√103
Моделирование в процессах решения задач (переформулирование задачи).
Пример. Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы
ее за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров съели бы всю траву за 96 дней?
Введем переменные. Пусть р – первоначальное количество травы, к –количество травы,
выращенное на лугу ежедневно, с - количество травы, съеденное одной коровой за 1 день.
Тогда за 24 дня вырастет (р + 24 к) травы, которую съедят 70 коров. Они съедают 24•70с =
1680с. Получаем: р + 24к = 1680с
Аналогично, если 30 коров съедают всю траву за 60 дней, то р + 60к = 1800с
Тогда, если х коров съедают всю траву за 96 дней, то р + 96к = 96хс
Получаем систему из трех уравнений - алгебраическую модель задачи:
р + 60к = 1800с,
р + 96к = 96хс,
р + 24к = 1680с.
Решаем ее относительно х. Получаем, что х = 20. Значит, 20 коров съедят всю траву за 96
дней.
Раздел 2. Задачи на преобразование (2 часа).
Тема 1. Задачи на упрощение выражений (1 час).
Виды выражений и сущность их преобразований. Задачи на приведение выражений к
стандартному виду. Правила тождественных преобразований. Разложение многочлена на
множители. Теорема Безу.
Числовые и буквенные выражения. Буквенные выражения: одночлены, многочлены,
целые рациональные выражения, дробные выражения, рациональные выражения,
иррациональные выражения, логарифмические выражения, показательные выражения,
тригонометрические выражения.
Сущность преобразований – замена данного выражения тождественно равным
выражением.
Стандартный вид числа: a•10n, где 1≤ а <10, n € N
Правила тождественных преобразований: законы сложения, умножения; определения и
свойства вычитания и деления; свойства дробей; определение и свойства степеней;
тождества сокращенного умножения; определение и свойства корней; свойства
тригонометрических функций; определение и свойства логарифмов.
Разложение многочлена на множители: вынесение общего множителя, способ
группировки, формулы сокращенного умножения, разложение квадратного трехчлена на
множители.
Теорема Безу: если многочлен Рn(х) = а0хn + а1хn-1 + а2хn-2 +…+аn разделить на двучлен
х – а, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при х = а, т.е.
R = Рn(а).
Задачи для решения.
1.Преобразовать выражение ( 2х – 5у)3 – х(6х – 5у)2 к стандартному виду.
2.Вычислите: (17 - √46)1/5 • (17 + √46)1/5.
3
3.Найдите х, если
√√5 + 2 - 3√√5 – 2 = х
4.Найдите значение числового выражения: 4√ 7 - 4√3 • √ 2 +√3
5. Разложите на множители: 2х5 + 3х4 – 5х3 – 5х2 + 3х +2.
6. Найдите значение выражения: х –1,8 + 8√ (х2 +4х +4)4 ,
если – 1,8 ≤ х ≤1,5
7.Вычислите х, если log1/12 х = log2 √3/3 (2sin π/6) + log2 √3/3 cos π/6.
8. Вычислите: ( log3 2 + log2 3 +2)( log3 2 – log6 2) log2 3 - log3 2.
9. Вычислите: 132 sin(2arccos 12/13);
25sin(2 arcsin 3/5);
15tg(2 arcctg 4);
5
3
4
1
65 cos(arcсos /13 - arcsin /5); 25sin( arcsin /5 + arcсos /√5).
Тема 2. Дифференцирование выражений (1 час).
Правила и формулы дифференцирования. Задачи на нахождение производной функции
и значения производной функции в точке.
Задачи для решения.
1.Найти производные функций: у = log3х;
у =ln(х/3 + 2)
у = х sin х + ln( 1 + х2);
у = log2( х3 + 2√х + 5); у = (х +1)sin х – х cos2х;
у = ( 8х + 4)3;
у = 3(3 – 2х)4; у = 5/(√3х –6);
у = ех+3•х4; у = (3-х)2 •е2х; у = cos(0,5х +3); у = sin(4х-7)
0,5
у =√2х + 1 ; у = - ( -8х -1)
2.Найти значение производной функции в точке f(х) = е sinх + е cosх, х0=π/2.
3. Найти значение производной функции в точке f(х) = х3 – 9lnх, х0=1.
4.Найдите скорость изменения функции у = √3 sin х + х sin π/6 в точке х0= π/6.
5.Найдите скорость изменения функции у = cos х + х cos π/6 +х2/π в точке х0= π/3.
6.Вычислите f '(1), если f(х) =( х2 +1)(х3-х).
7. Вычислите f '(0,5), если f(х) =(2 – х) / е2х.
8. .Найти значение производной функции в указанной точке:
а) f(х) = (3√х2 +3√х – 1)( 3√х – 1), х0=20; б) f(х) = (х-5)( √х - √5) , х0=0,25; в) f(х) = х0,5 – 9 ,
х + 5 - 2√5х
х0,25 -3
х0=1/16
Раздел 3. Задачи нахождения искомого (24 часа)
Тема 1. Рациональные уравнения (2 часа).
Линейные и квадратные уравнения. Уравнения с модулем и параметром.
1.Найдите рациональные корни уравнения: х3 – х2 – 8х + 12 =0. Используем схему
Горнера.
Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые числа, которые могут быть
корнями уравнения, являются делителями свободного члена: ±1;±2; ±3; ±4; ±6; ±12.
Находим целые корни по схеме Горнера.
1
-1
-8
12
1
1
0
-8
4
не корень
-1
1
-2
-6
18
не корень
2
1
1
-6
0
корень
2
2
(х –2)( х + х – 6) = 0, т.к. х + х – 6 =( х –2)(х – 3),
( х –2)2(х – 3) = 0, отсюда х = 2, х =3
2. Дано уравнение:
х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0.
Найти все значения а, при которых разность между корнями уравнения равна 2.
Решение:
х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0
D≥0,
х1-х2 =2,
если х1 > х2
D≥0 при а € (- ∞; 1]Ụ[ 6; +∞)
х1+х2= - 2(а + 1),
х1 - х2 =2,
х1•х2=9а – 5.
2х1 = 2 – 2( а+ 1)
х1 = - а
х2 = - а – 2
- а(- а – 2) = 9а – 5,
а2 + 2а – 9а + 5 = 0,
2
а – 7а + 5 =0,
D= 49 – 20 = 29.
7 - √29
7 + √29
а1 =
2
;
а2 =
2
Оба значения а удовлетворяют условию D≥0.
Ответ: (7 - √29)/2;
(7 + √29)/2
3. Решите уравнения с модулем: х2 - 5х │х - 6 │ +9 = 0 . В ответе укажите разность
корней.
Решение: х2 - 5х │х - 6 │ +9 = 0
х - 6 ≥ 0,
или
х - 6 < 0,
х2 - 5х │х - 6 │ +9 = 0 ;
х2 - 5х │х - 6 │ +9 = 0 ;
х ≥6,
х2 – 6х + 15 = 0;
х=3
Разность корней равна 2..
х <6,
х2 – 4х + 3 = 0;
х=1
Задачи для решения.
1.Найдите рациональные корни уравнения: х3 – 6х2 +15х - 14 =0.
Используем схему Горнера.
2.Решите уравнения методом введения новой переменной:
9х4 – 37 х2 + 4 = 0;
(2х –1)4 – (2х – 1)2 – 12 = 0;
(х +2)4 + 2х2 + 8х – 16 = 0;
(х +1)(х+3)(х+5)(х+7)+15 = 0.
Найдите больший корень. Найдите сумму корней. Найдите меньший корень.
3.Найдите целые корни уравнения: (6 –х)(х-2)(х+3)(х + 9) = 24 х2.
4. Дано уравнение
х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0.
а)при каких значениях параметра а уравнение имеет два различных отрицательных
корня?
б)найти все значения параметра а, при которых сумма квадратов корней равна 10.
5.Решите уравнения с модулем: │х + 4 │=2х;
│х2 + х - 1 │= 2х – 1;
х2 + 4х +│х + 3 │ +3 = 0; │х + 5 │=│4х + 10 │; │х – х2 - 1 │=│2х – х2 - 3 │
Тема 2. Рациональные неравенства (1 час).
Линейные и квадратные неравенства. Метод интервалов. Неравенства с модулем.
Решите неравенство с модулем, возведя обе части в квадрат: │х - 1 │ ≤ │2х + 1 │
Решение: │х - 1 │ ≤ │2х + 1 │
( х – 1)2≤ (2х + 1)2
х2- 2х + 1 ≤ 4х2 + 4х +1
- 3х2 – 6х ≤ 0
3х( х + 2) ≥ 0
+
-2 - 0
+
Ответ: ( - ∞ ; -2 ] Ụ [ 0; + ∞)
Задачи для решения.
1.Решите неравенство 19х + (х-2)(х+2) > (х +3)2 и укажите наименьшее целое решение.
2. Найдите сумму целых решений неравенства: 2х2 – 5х – 3 < 0.
3. Найдите наименьшее натуральное решение неравенства:
(х2 – 6х + 8)(х2 – 4) / (х3 -8 ) ≥ 0
4. Решите неравенства:
│2х - 7 │≤ 3; │х2 - х - 4 │ < 2; │х - 2 │+ │х + 2 │≤4 ;
│х│(х +1) > 0; │х - 5│(2х –7)≤ 0;
│х2 - 16│(3 –х) ≥ 0
Тема 3. Иррациональные уравнения и неравенств (3 часа).
Методы решения иррациональных уравнений. Методы решения иррациональных
неравенств.
Методы решения иррациональных уравнений: возведение в степень обеих частей;
введение новой переменной; выделение полного квадрата под знаком радикала;
умножение на сопряженный множитель.
1.Решите уравнение 3√х + 34 - 3√ х – 3 = 1
несколькими способами,
ответьте на поставленные вопросы и составьте дополнительно свои.
Вопросы:
1).Найдите сумму корней уравнения.
2).Запишите модуль разности корней уравнения.
3).Укажите в ответе разность модулей корней уравнения.
4).Найдите произведение корней уравнения.
5).Найдите наибольший рациональный корень уравнения.
6).Найдите наибольший по модулю корень уравнения.
7).Запишите разность квадратов корней уравнения.
8).Найдите квадрат суммы корней уравнения.
9).Укажите корень уравнения, принадлежащий промежутку (-10π; 10π).
10).Выделите корень уравнения, принадлежащий решению неравенства
х2 + 59х –122 ≤ 0.
Решение: 1 способ.
3
√х + 34
-
3
(3√х + 34)3 - 3 (3√х + 34)2 3√ х – 3
√х–3 =1
+ 3 (3√х + 34) ( 3√ х – 3)2 - ( 3√ х – 3)3 = 1
(х + 34) - 3 (3√х + 34) 3√ х – 3 (3√х + 34) 37 – 3 3√(х +34)(х-3) = 1
3
√ х2 + 31х – 102 = 12
√ х – 3) – ( х – 3) = 1
3
х2 + 31х – 102 =1728
х2 + 31х - 1830 = 0
х1= 30; х2= - 61
Ответ: 30; - 61
Проверка показывает, что оба числа являются корнями уравнения.
2 способ.
3
√х + 34 - 3√ х – 3 = 1
3
√х + 34 = 1 + 3√ х – 3
( 3√х + 34)3 = (1 + 3√ х – 3)3
х +34 = 1 + 33√х – 3 + 3( 3√ х – 3)2 + х – 3
√ х – 3 =а, то 3а2 + 3а – 36 = 0
а2 + а – 12 = 0
а1=3, а2=-4
3
√ х – 3 =3,
х=30
3
√ х – 3 = -4,
х = - 61
3 способ.
3
Ответ: 30;
- 61
√х + 34 - 3√ х – 3 = 1
х + 34 =у3,
х – 3 =а3
х + 34 =у3,
х – 3 =а3,
у–а=1
3
37 = у3 – а3 ;
у3 – а3= (у – а)(у2 +уа +а2)= (у – а)((у – а)2 +3уа)
37 = 1(1 + 3уа); уа =12.
Получаем,
уа =12,
у=4, а= 3 или у =-3, а = -4
у–а=1
Откуда,
х – 3 = 27,
х1=30
х – 3 = -64,
х2 = - 61
Ответ: 30;
- 61
2.Решите неравенство методом введения новой переменной: х - √х – 2 ≤ 0
Решение: √х =а, а2 – а – 2≤ 0,
+
+
-1
2
- 1 ≤ а ≤ 2,
- 1 ≤ √х ≤ 2,
0≤х≤4
3. Решите неравенство по алгоритму:
g(х)≥0
√f(х) ≤ g(х) ↔ f(х) ≥0
f(х) ≤ g2(х)
√х2 – 3х – 18 < 4 – х,
4 – х ≥0,
х2 – 3х – 18 ≥0
х2 – 3х – 18 < 16 – 8х + х2
х≤4
х2 – 3х – 18 ≥0
х < 6,8
Ответ: (-∞; - 3]
4. Решите неравенство по алгоритму:
g(х)≥0
√f(х) ≥ g(х) ↔ f(х) ≥ g2(х)
f(х) ≥0
g(х) < 0
√ х – 2 < х – 4,
х – 4>0
х – 2 > х2 – 8х + 16
или
х – 4 ≤0
х - 2≥0
х € (4;6)
х € [2; 4]
Ответ: [2; 6)
Задачи для решения.
1. Решите уравнения, используя свойство корня n-ой степени: √ 11 + 3х – 5х2 = 3 ;
5
√ х4 - 49 = 2 ; √ х2 –16 = - √ х – 4;
(х2 – 4) √х + 1 = 0; √ 7 + 3√( х2 +7) = 3.
Найдите целый корень. Найдите произведение корней. Найдите сумму корней.
2. Решите уравнение методом введения новой переменной: х2 + √ х2 +20 = 22.
3.Решите уравнение методом умножения на сопряженное выражение:
√ 2х2 + 8х +7 - √ 2х2 – 8х +7 = 2х.
4. Решите уравнение методом разложения подкоренного выражения на множители:
√ 2х2+ 5х +2 - √ х2 + х – 2 = √ 3х + 6 .
5. Решите уравнение методом выделения полного квадрата в подкоренном выражении:
√ х + 5 + 2√ (х +4) - √ х + 8 - 4√( х +4) = √ х +4 .
7. Решите неравенства:
√ - х2 – 3х +4 >2;
5
√х5 +х2 – 4
> х;
5х – 17 √х+5 + 31 <0 ;
√х +4 ≥ 5 - √9 - х ; √х- 3 • 5√ 5 – х ≥0 ; √ х2 – 3х – 18 < 4 – х;
√ х2 + 3х – 18 > 2х +3.
Тема 4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства (4 часа).
Показательные уравнения, неравенства и методы их решения. Логарифмические
уравнения, неравенства и методы их решения.
Методы решения показательных уравнений:
1) метод уравнивания показателей (он основан на теореме о том, что уравнение аf (х)=аg (х)
равносильно уравнению f(х) =g(х), где а>0; а ≠1);
2) метод введения новой переменной;
3) метод разложения на множители;
4) функционально-графический метод (он основан на использовании графических
иллюстраций или каких-либо свойств функции);
5) метод логарифмирования.
Методы решения показательных неравенств:
1) по алгоритму:
аf (х) >аg (х) ↔
а>1
или
0 < а<1
f(х) > g(х)
f(х) < g(х)
f (х)
g (х)
а <а
↔ а>1
или
0 < а<1
f(х) < g(х)
f(х) > g(х)
2) метод введения новой переменной;
3) метод разложения на множители;
Методы решения логарифмических уравнений:
1) по определению: lоgа f(х) = b ↔ f(х) = аb, где а >0, а ≠1, f(х) >0;
2) по алгоритму: lоgа f(х) = lоgа g(х) ↔ f(х) =g(х),
f(х) >0 ( либо g(х) >0)
3) метод логарифмирования обеих частей уравнения;
4) метод потенцирования;
5) метод введения новой переменной;
6) метод разложения на множители;
7) функционально-графический метод (он основан на использовании графических
иллюстраций или каких-либо свойств функции).
Методы решения логарифмических неравенств:
1) по алгоритму: lоgа f(х) >b ↔ а>1
f(х) > аb
lоgа f(х) < b ↔ f(х) > 0,
f(х) < аb
lоgа f(х) >b ↔
0 < а<1
f(х) >0
f(х) < аb
lоgа f(х) < b ↔ 0 < а<1
f(х) > аb
2) метод введения новой переменной;
3) используя тождество: а lоgа f(х) = f(х), f(х) >0;
4) метод разложения на множители.
Задачи для решения.
1. Решите уравнения: (4/9)х · (27/8)х-1 = 2/3;
253-2х = 0,008 · (25√5)-х;
8-1 · √16х = 2х/2 ; 7(2+х)/х · 22/х = 98; 2· 3х+1 - 6· 3х-1 – 3х = 9;
6х-2 – (1/6)3-х + 36(х-1)/2 = 246;
5√х +2 = (0,2)-х ;
30(2/5)х+1 - 2(2/5)х-2 + (2/5)х-1=2;
5х+2 + х2 · 5х = 0; 32х+5 – 22х+7 +32х+4 – 22х+4 = 0;
6 · 5-2х+3 – 1 = 5-х+1 ; 10· 81х + 9· 225х - 9· 625х = 0; 29х+9 · 37х+3 · 56х = 720х+3.
2. Решите уравнения: log1/3 3√х+1 = -1;
logх+1(х2 +х –6)2 = 4;
log2 (log3 √3 - log1/9(х+2)) = 0; log20,5(1-х2) = 4;
log9х2 (6 + 2х – х2) = 0,5;
logх+19(2х2 +36х +1) = log48 + cos2 5π/4;
lg (2х2 +3х) = lg(6х +2); log16х + log4х + log2х = 7; log4х + log9х 1/16 = 1; хlg х –3 = 0,01;
12х3 + 8х2 = 3· 5 log5х +2.
3.Решите неравенства: 0,2х(х+2)/5 > 0,040,3; 32х-1 + 32х-2 >4; (√7 - √6)(х-1)/ (х-3) ≥ х√13 +2√ 42;
√16 – 20,5х < 2х +4; (х2 - 5х) · 2√х ≤ 0,5-3-√х - 2√х +1.
4.Найдите наименьшее целое решение неравенства: 9х – 3х+3 – 28 ≤ 0; 3х( 3х +31-х –4) ≤ 0.
5.Укажите количество целых решений неравенства: 11√х – 10 ≤ 111-√х.
6.Найдите наименьшее целое решение неравенства: 5х+2 – 5х+1 >2 х+2 +2 х+4.
7. Решите неравенства: log1/3(0,3х +1) ≥ -1; log√2(х2 – 12) >4; logsin π/6 (5 +4х – х2) > log3 1/27
log2х ≥ 2 / ( log2х – 1); 8 log 2х +3х2 > 6х +8; (3- √10)( log1/3(2х +5) +2)≥0; log lg2 (2х –3) >0
8.Укажите количество целых решений неравенства: 2 log1/5 (х-2) +3 log5 (х-2) <1.
9.Найдите наименьшее целое решение неравенства: log3 (х+4) < log3 (х2+2х -2).
10.Решите неравенство методом введения новой переменной и укажите наименьшее целое
решение: log20,5 х2 - log0,5 х – 3 <0.
Тема 5. Тригонометрические уравнения и неравенства (4 часа).
Виды тригонометрических уравнений и методы их решения.
Виды тригонометрических уравнений: простейшие; однородные; сводящиеся к
квадратным, относительно одной функции; равенство одноименных тригонометрических
функций; правая и левая части – квадраты.
Методы решения: замена переменной; переход к тангенсу половинного аргумента;
понижение степени; разложение на множители; функционально-графический метод (он
основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции).
Задачи для решения.
1. Решите уравнения: 3cos2х – 2 sinх = 3 – 3 sin2х; cos6х •cos5х + sin6х •sin5х = -1;
sin2х + sin6х =3 cos2х; 2 sin2 х/2 +1/2 sin2х =1; 8 sinх •cosх •cos2х = -1;
3 cos2х - sin2х - sin2 х =0;
2.Вычислите сумму большего и меньшего корней уравнения 2 sin х + tgх •сtg х= 0 на
промежутке (- π ; π).
3. При каких значениях х числа sin2х, 2 cos2х и -4
являются последовательными
арифметическими прогрессиями?
4. При каких значениях х числа 1- sin4х, sin6х и 1 + sin4х
являются
последовательными геометрическими прогрессиями?
5. Решите уравнения: ln(cosх - cos3х )= ln(sin2х); log3(sin2х) = log3(-sinх)
6. Решите уравнения: √ 8 – 17 sinх = - 2 cosх; √ cos2х = 1+2 sinх
7. Найдите число корней уравнения tgх cos3х + sin3х = sin4х на отрезке [π/4; 7π/4]
8. Решите уравнения: sin2х +1 = sin2х +6 сtg х ;
7 tgх + cos2х +3 sin2х = 1
9. Решите уравнения: 144sinх = (√5 - 2√6 + √5 + 2√6 )2; 9cosх = (3√5 - 3√2)( 3√4 + 3√10+3√25)
10. Решите уравнения: cos2х + │сosх│ - 2 = 0; sin2 х – 2 = √ 1 - cos2х
11. Решите неравенства: tgх > сosх;
sinх > sin3х;
√ х2 +1 ≤ - cos х; √ х2 +1 ≥ sinх
Тема 6. Системы уравнений (2 часа).
Методы решения систем: метод подстановки; метод сложения; метод замены переменных;
метод почленного умножения и деления.
Задачи для решения.
1. Найдите наименьшее целое значение а, при котором решение системы
5х + 3у = 4,
у – 2х = 2а
удовлетворяет неравенству х > - у .
2. Найдите все значения а, при которых система имеет единственное решение
(а +1)х – у = а,
(а – 3)х +ау = - 9.
3. Найдите все значения а, при которых система имеет бесконечно много решений
2х – ау = а +2,
(а+1)х +2ау = 2а + 4.
4.Решите систему уравнений и в ответе укажите х0 + у0.
√ 25 – 10х + х2 + у = 4,
у – 3х +11 = 0.
5. Решите систему уравнений и в ответе укажите х0 + у0.
√ х + √у = 10,
4
√ х + 4√у = 4.
6.Решите системы уравнений методом почленного умножения и деления
х5 у7 = 32,
(х + у)ху = 6,
х7 у5 = 128.
(х - у)ху = 2.
7. Решите систему уравнений и в ответе укажите х0 • у0.
2у – х + 4 = 0,
5х – у + 2 = 125.
8. Решите систему уравнений и в ответе укажите х0 - у0.
ln (х – 4у) = 0,
lg 2х + lg у = 1.
9. Решите системы уравнений:
у – log3 х = 1,
log5 х + 3 log3 у = 7,
у
12
х =3 .
ху = 512.
у√х = 16,
log4 х - log2 у = 0,
log3 2 + log3 (3х - у +1) = 4 log5 √5 ,
2
2
√х - 2 log2 у = 2.
х – 2у – 8 = 0.
log0,5 (3х +2у) – log 1/√5 (2у +1) = 1.
Тема 7. Неравенства смешанного типа.(1 час).
Задачи для решения.
1.Найдите наименьшее целое х, удовлетворяющее неравенству х • 41+х – х2 • 4х > 0.
2.Решите неравенство методом интервалов. В ответе укажите целое решение
( х – 6)(8х –6 – 64) < 0.
3. Решите неравенство методом интервалов. В ответе укажите наименьшее целое решение
2х – 1
< 0.
log3 х - 2
4.Решите неравенство методом интервалов. В ответе укажите длину промежутка.
( х + 2) • log1,5( 4 – х) ≥ 0.
5. Решите неравенство методом интервалов. В ответе укажите количество целых
отрицательных решений.
( х + 4) • log0,5 (2х2 - 5х + 3) < 0.
6. Решите неравенство:
( 22х + 1 - 9 •2х + 4) •lg2 ( х + 3) ≤ 0.
7. Решите неравенство. В ответе укажите длину отрезка. (0,2(3))8 – х2 ≥ 4 2/7.
Тема 8. Задачи на исследование функции и применение производной (4 часа).
Область определения функции. Возрастание, убывание функции. Точки экстремума
функции. Нули функции. Периодичность функции. Промежутки знакопостоянства.
Нахождение значений функции. Физический и геометрический смысл производной.
Задачи для решения.
1.Найдите наименьшее целое число, входящее в область определения функции
у = √ 6 + 7х – 3х2.
2. Найдите область определения функции. В ответе укажите сумму целых значений.
у = √ log3 (6х2 + х –1)
3.Укажите наименьшее целое число из области определения функции у = 4√34 -│3х - 5│
4.Найдите наибольшее целое число, не входящее в область определения функции
у = (│х + 2│ - │х – 3│) √5
5.Найдите наименьшее целое число, входящее в область определения функции
у = log7(х│3х +4│+ 4х +5)
6.Найдите число нулей функции у = (х –1)lg(х2 – 2х –2)
7.Найдите нули функции g(х) = 2│х│ - 1, если х≤3,
sin х + 3, если х>3
8.Нечетная функция у = f(х) определена на всей числовой прямой и имеет период 6.
Найдите значение выражения f(-17) + f(0) + f(9), если f(-3) = 2.
9.Найдите произведение всех значений параметра а, при которых наименьший
положительный период функции у = tg( ( 5а + 8)х) равен π/3.
10.Найдите все значения аргумента, при которых функция у =│х│(х + 3)
принимает
положительные значения.
11.Найдите наименьшее значение функции f(х) = log0,25(60 + 4х – х2).
12. При каком значении а функция у = f(х) имеет максимум в указанной точке?
у = ( 2(х – 5))(а – х) ,
х0 = 0,5
13. При каком значении а функция у = f(х) имеет минимум в указанной точке?
у = 3√ 4х2 – ах – 3 + 5а , х0 = -1,5 .
14.Найдите наименьшее значение функции у = log0,5 sin (π/4 - х2) на промежутке [-1;1].
15. Найдите наибольшее целое значение функции у = 2,5 √40 + 9cos2х – 9cos2х.
16. При торможении маховик за t секунд поворачивается на угол φ(t) = 8t – t2 радиан.
Через сколько секунд после начала движения угловая скорость вращения маховика ω
будет равна 4 рад/сек?
17.Ракета движется прямолинейно по закону х = 0,25 е4t + 12 ( где х – расстояние от
поверхности Земли в метрах, t -время в секундах). С какой скоростью стартовала ракета?
18.При бурении нефтяной скважины глубина проходки s ( в метрах) изменяется по закону
s = t3 + 12t + 5 ( где t – время проходки в часах). В какой момент времени скорость
проходки будет равна 15 м/ч?
19.Тело массой m = 4 кг движется прямолинейно по закону х = t2 +t + 1 (где х- расстояние
до начала координат в метрах, t – время в секундах). Определите кинетическую энергию
тела ( mv2/2, где m –масса тела, v- скорость движения) через 5 секунд после начала
движения.
20.Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(х) = х2 –7х +3
имеет угловой коэффициент к = 5.
21.В какой точке графика функции f(х) =√3х – 2х2 +1 касательная наклонена к оси Ох под
углом α = π/4?
22.Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(х) =1/8 х2 + 7
параллельна прямой 2у – х + 2 = 0.
23. В какой точке графика функции f(х) =х2 касательная перпендикулярна прямой
х + 2у + 1 = 0?
24. При каком натуральном значении параметра а уравнение х3 +3х2 – 9х – а = 0 имеет
ровно два корня?
25.Найдите все значения р, при котором уравнение 53х+1 + 8 = 3·5х+1 ·(3 +5х) - р имеет
единственный корень.
Тема 9. Геометрические задачи (3 часа).
Задачи для решения.
1.Точка О является центром окружности, описанной около Δ АВС. Найдите площадь
Δ АОС, если известно, что угол АСВ равен 150, угол САВ равен 300 и ВС=6.
2.В параллелограмме АВСD угол В тупой, а высота, проведенная к стороне АВ из
вершины С, пересекает продолжение диагонали ВD в точке К. Найдите площадь
параллелограмма, если АВ = 12, ВD = 10. СК = 9.
3.В равнобедренном треугольнике синус угла при основании равен 0,8, а радиус
вписанной окружности равен 6. Найдите периметр данного треугольника.
4.Биссектрисы углов В и С параллелограмма АВСD пересекают прямую АD в точках Р и
Q соответственно. Угол А равен 600, РQ = 1, ВD =√37. Найдите большую из сторон
параллелограмма, если точка пересечения прямых ВР и CQ лежит вне параллелограмма.
5.Радиус основания цилиндра равен 5, а высота равна 5√6. Отрезки PQ и MN - диаметры
верхнего и нижнего оснований цилиндра, отрезок M M1 – образующая цилиндра. Угол
между прямыми MN и M1Р равен 300. Найдите длину отрезка NQ .
6.Точка М – середина ребра SС правильной четырехугольной пирамиды SABCD с
вершиной S. Высота SН пирамиды равна 12, а расстояние между прямыми SН и АВ равно
4. Найдите тангенс угла между плоскостью АВМ и плоскостью основания пирамиды.
7. Дан конус, высота которого равна 4, а образующая - 5√2. Плоскость α проходит через
вершину конуса и пересекает его основание вдоль хорды АВ, длина которой равна 10.
Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости α.
8. Для оклейки стен гостиной требуется приобрести обои. Ширина гостиной составляет
3м, длина – 4м, высота – 2,8м. В гостиной есть окно размером 2,5м · 2м и дверь размером
0,9м ·2м. Длина рулона обоев равна 10,5м, ширина – 0,6м. До 10% купленных обоев идет в
отходы из-за состыковки рисунка и не использованных узких полос. Найдите
минимальное число рулонов обоев, которые необходимо приобрести для оклейки
гостиной.
9.Зал с бассейном имеет форму прямоугольного параллелепипеда с основанием 30 на 50
метров и высотой 10 метров. В зале имеются 6 окон размером 8м · 5м каждое и четыре
двери размерами 3м · 2,5м каждая. Требуется нанести специальное покрытие на стены
зала. Найдите стоимость этих работ в тысячах рублей, если квадратный метр покрытия
стоит 100 рублей, приобрести покрытие надо с запасом 5%, а стоимость работ по
нанесению покрытия составляет 80% от нанесенного покрытия. Ответ округлите до
целого числа тысяч рублей, отбросив дробную часть.
10.Шкаф для приборов школьного кабинета физики имеет форму правильной
четырехугольной призмы, высота которой в 4 раза больше стороны основания. В этот
шкаф вложили 8 коробок в форме прямоугольного параллелепипеда. Две из них являются
кубом со стороной 40см, а остальные имеют размеры 10см ·20см ·40см. В результате этого
оказалось занято 68,75% объема шкафа. Найдите высоту шкафа (в см).
Раздел 4. Задачи на доказательство (3 часа)
Тема 1. Доказательство тождеств (1 час).
Сущность и методы доказательства. Способы доказательства тождеств.
Сущность доказательства состоит в построении такой последовательности ранее
доказанных и принятых в математике утверждений, прямым логическим следствием
которых является утверждение, которое нужно было доказать.
Методы доказательства:
- прямое доказательство (от условия к требованию);
- обратное доказательство (от требования к условию);
- доказательство от противного (предполагается верным утверждение,
противоположное данному. Из этого предположения делаются логические следствия
до тех пор, пока не приходят к противоречию).
Способы доказательства тождества А = В:
1)преобразуем выражение А на основе правил тождественных преобразований до тех пор,
пока не получим выражение, одинаковое с В;
2) преобразуем выражение В на основе правил тождественных преобразований до тех
пор, пока не получим выражение, одинаковое с А;
3) преобразуем оба выражения А и В до тех пор, пока не получим два одинаковых
выражения А1 и В1;
4) допустим, что равенство А = В тождественно – истинно. Преобразуем его в
равносильное равенство до тех пор, пока не получим равенство А1 = В1, истинность
которого очевидна.
Задачи для решения.
1. Доказать тождество: logа х
1 + logа b
при х>0, х ≠1,
logаb х
2. Доказать тождество: 4 sin3х cos3х + 4cos3х • sin3х = 3sin 4х
3.Доказать, что а3 + b3 +с3 = 3аbc, если а + b + с = 0
а>0, b>0, а≠1, аb≠1
4. Доказать, что для углов х, у, z треугольника справедливо равенство
sin х + sin у + sin z = 4 cos х/2 • cos у/2 • cos z/2
Тема 2. Доказательство неравенств (1 час).
Методы доказательства неравенств:
1) использование правил преобразования неравенств;
2) использование положений: если а – d> 0, то а > d; если а – d< 0, то а < d;
3) использование условия, что четная степень, в частности квадрат, любого
действительного числа есть число неотрицательное.
Задачи для решения.
1.Доказать, что при любых значениях х справедливо неравенство х 12 – х9 + х4 – х +1> 0.
2. Доказать, что если арифметическая прогрессия (аn) с положительной разностью и
геометрическая прогрессия (bn) имеют два равных последовательных члена, то все
последующие члены геометрической прогрессии больше соответствующих членов
арифметической прогрессии.
3. Доказать, что среднее арифметическое нескольких чисел не меньше наименьшего из
них и не больше наибольшего из них.
4.Докажите неравенство: ¼ ≤ sin6х + cos6х ≤ 1.
Тема 3. Метод полной математической индукции. Принцип Дирихле (1 час).
Аксиома полной математической индукции. Аксиома наименьшего числа. Теорема о
принципе математической индукции. Принцип Дирихле.
Аксиома полной математической индукции: если некоторое предложение А(n):
1) справедливо при n = 1,
2) из предположения, что это предложение истинно при n = k, следует истинность этого
предложения и при следующем значении n, то есть при n = k + 1,
то предложение А(n) истинно при всех n € N.
Аксиома наименьшего числа: в любом множестве натуральных чисел всегда имеется
наименьшее число.
Теорема о принципе математической индукции: если некоторое предложение А(n) верно
при n = 1 и из предположения, что оно верно при некотором значении n = k, следует, что
это предложение верно и при следующем значении n = k + 1,
то предложение А(n) верно при всех n € N.
1.Доказать, что неравенство 2n > n2 справедливо при всех натуральных значениях n ≥ 5
Решение: при n = 1 получаем, что 2> 1 - верно;
при n = 2, n = 3, n = 4 неравенство неверно;
при n = 5 получаем, что 25 > 52 – верно.
Допустим, что при некотором n = k > 5 неравенство 2n > n2 верно, то есть при n = k + 1.
Значит, надо доказать, что 2k > k2 . Докажем, что это неравенство верно при следующем
значении n, то есть при n = k + 1. Значит, надо доказать, что 2k+1 >( k + 1)2 .
Преобразуем последнее неравенство: 2• 2k > k2 +2k + 1.
Так как 2k > k2, то 2k+1 > 2k2 = k2 + k2.
(*)
Так как k > 5, то k – 1 > 4, значит, ( k - 1)2> 16, k2 -2k + 1> 16, отсюда k2> 15 +2k>2k + 1.
Заменим в неравенстве (*) одно слагаемое правой части на 2k + 1, что приведет лишь к
усилению неравенства и к тому, что требовалось доказать.
2k+1 > k2 +2k + 1 =( k + 1)2
Принцип Дирихле: «если в n ящиках имеется не меньше n + 1 вещей, то, открывая эти
ящики, мы хотя бы в одном обнаружим не менее двух вещей».
2. Доказать, что из любых 12 натуральных чисел всегда можно выбрать два таких числа,
разность которых делится на 11.
Решение: различных остатков от деления натуральных чисел на 11 имеется всего
одиннадцать: 0,1,….10. Поэтому в соответствии с принципом Дирихле среди любых 12
натуральных чисел найдется не менее двух, при делении которых на 11 получим
одинаковые остатки. Разность этих двух чисел делится на 11.
Задачи для решения.
1.Доказать справедливость неравенства
1
+
1 + ••• + 1
=
n
2
2
2
2 –1
4 –1
(2n) – 1
2n + 1
2. Докажите методом полной математической индукции, что число 11n+1 + 122n-1 при всех
n € N делится на 133.
3.В одной школе 1100 учеников. Доказать, что у каких-то 4 учеников этой школы один и
тот же день рождения.
Раздел 5. Итоговое занятие ( семинар - защита КИМов)
Литература
1. Задачи с параметрами / Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. - М. Илекса,
Харьков, 1998. - 336 с.
2. Математика. ЕГЭ. Решение задач уровня С1 / Жафяров А.Ж. – Новосибирск: Сиб.
унив. изд-во, 2009. – 181 с.
3. Математика. Задачи М.И. Сканави с решениями. Сост. С.М. Марач,
П.В.Полуносик. - Минск: изд. В.М.Скакун, 1997. - 448 с.
4. Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с
ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного
экзаменов/ сост. Ковалева Г.И., Бузулина Т.И, Безрукова О.Л., Розка Ю.А. –
Волгоград: Учитель, 2009. – 494 с.
5. Пособие по математике для поступающих в РТА. Назаров В.А., Назаров В.В.
Москва, 2003. - 450 с.
6. Технология обучения математики на основе деятельностного подхода: Книга для
учителя / Епишева О.Б. - М.: Просвещение, 2003. - 223 с.
7. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи.- М.: Московский психологосоциальный институт; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 1999. - 240 с.
8. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. - М.: Просвещение, 1989. 252 с.
.