ЕН.Ф.1 Математикаx (новое окно)
реклама
1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ В г. АРСЕНЬЕВЕ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИКА»
Специальность 080502.65 Экономика и управление на предприятии (по отраслям)
Шифр и название специальности (направления) подготовки
Форма обучения очная
Филиал ДВФУ в г. Арсеньеве
Курс _1,2__ семестр _1,2,3__
Лекции __102_ (час.)
Практические занятия_108__час.
Лабораторные работы__90___час.
Консультации
Всего часов аудиторной нагрузки__300__час.
Самостоятельная работа __300___ час.
Реферативные работы Контрольные работы Зачет _____-_____ семестр
Экзамен___1,2,3__семестр
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования, утверждённого
17.03.2000, регистрационный № 238 эк/сп.
Учебно-методический комплекс обсужден на заседании учебно-методической комиссии
филиала, протокол от «13» июня 2011 № 1 .
Составитель: ст. преподаватель О.В. Егорова
2
Оглавление
Рабочая учебная программа………………………………………………………………….
3
Конспекты лекций……………………………………………………………………………
22
Материалы для организации самостоятельной работы студентов………………………..
35
Контрольно-измерительные материалы…………………………………………………….. 80
Список литературы…………………………………………………………………………… 102
Глоссарий……………………………………………………………………………………… 106
3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ В г. АРСЕНЬЕВЕ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«МАТЕМАТИКА»
Специальность 080502.65 Экономика и управление на предприятии (по отраслям)
Шифр и название специальности (направления) подготовки
Форма обучения очная
Филиал ДВФУ в г. Арсеньеве
Курс _1,2__ семестр _1,2,3__
Лекции __102_ (час.)
Практические занятия_108__час.
Лабораторные работы__90___час.
Консультации
Всего часов аудиторной нагрузки__300__час.
Самостоятельная работа __300___ час.
Реферативные работы Контрольные работы Зачет _____-_____ семестр
Экзамен___1,2,3__семестр
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования, утверждённого
17.03.2000, регистрационный № 238 эк/сп.
Рабочая программа обсуждена на заседании учебно-методической комиссии филиала,
протокол от «13» июня 2011 № 1 .
Составитель: ст. преподаватель О.В.Егорова
4
I. Рабочая программа пересмотрена на заседании учебно-методической комиссии
филиала:
Протокол от «_____» _________________ 20 г. № ______
Директор филиала _______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
II. Рабочая программа пересмотрена на заседании учебно-методической комиссии
филиала:
Протокол от «_____» _________________ 20 г. № ______
Директор филиала _______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
5
Выдержка
требований
к
дисциплине
из
государственного
образовательного стандарта: аналитическая геометрия и линейная алгебра;
последовательности и ряды; дифференциальные и интегральные исчисления;
векторный
анализ
и
элементы
теории
поля;
гармонический
анализ;
дифференциальные уравнения; численные методы; функции комплексного
переменного; элементы функционального анализа; вероятность и статистика;
теория вероятностей, случайные процессы, статистическое оценивание и
проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных
данных.
6
Цели и задачи дисциплины
Учебная программа написана в соответствии с государственным
стандартом и имеет своей целью:
–
ознакомить
студентов
с
основами
математического
аппарата,
необходимого для решения теоретических и практических инженерноэкономических задач;
–
привить умение самостоятельно изучать учебную литературу по
математике и её приложения;
–
развить
логическое
мышление
и
повысить
общий
уровень
математической культуры, расширение их математического кругозора;
–
выработать навыки
математического
исследования прикладных
вопросов.
Начальные требования к освоению дисциплины
Для успешного освоения дисциплины необходимы знания школьного
курса математики.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины
Для данной специальности курс математики имеет важное значение для
успешного изучения специальных дисциплин, предусмотренных учебным
планом.
Специалист в области авиастроения должен:
1. иметь представление:
–
о математике как особом способе познания мира, общности понятий и
представлений;
–
о применении математических методов в отраслевых исследованиях
(в области экономики);
2. знать и уметь использовать:
7
–
алгебры,
основные понятия и методы
математического анализа, линейной
аналитической геометрии, теории вероятностей и математической
статистики;
3. иметь опыт:
– употребления
математической
символики
для
выражения
количественных и качественных отношений объектов;
– использования основных приемов обработки экспериментальных
данных;
– аналитического и численного решения аналитических уравнений;
– исследования, аналитического и численного решения обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Объем дисциплины и виды учебной работы
По учебному плану объем курса составляет 493 часа. Во время учебного
процесса для студентов организуются лекции, практические занятия и
консультации. Дисциплина читается в первом и втором и третьем семестрах, в
конце семестров проводятся экзамены, на котором оцениваются усвоение всех
теоретических и практических вопросов программы.
Число
часов,
отведенных
на
лекции,
практические
занятия
самостоятельную работу, указаны в таблице:
Очная форма обучения.
Вид учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины
Лекции
Практические занятия
Лабораторные занятия
Всего самостоятельная работа
Вид итогового контроля
Всего
часов
600
102
108
90
300
Распределение по семестрам
1
2
3
200
200
200
34
34
34
51
23
34
34
28
28
81
115
104
экзамен экзамен
экзамен
и
8
Содержание дисциплины
№
п/п
Наименование раздела
дисциплины
Распределение часов по видам работ
практика
лаборато
рные.
СРС
16
24
20
44
1
2
2
2
1
2
лекции
1 СЕМЕСТР
РАЗДЕЛ 1. Линейная алгебра и
аналитическая геометрия.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Основные сведения о матрицах.
Операции над матрицами.
Определители,
вычисление
определителей, основные свойства
определителей.
Обратная матрица, ранг матрицы.
Система линейных уравнений: метод
Крамера, метод обратной матрицы,
метод Гаусса
Векторы
на
плоскости
и
в
пространстве.
Операции
над
векторами.
Векторное пространство, базис и
размерность векторного пространства.
Евклидово пространство. Переход к
новому базису.
Линейные операторы. Собственные
векторы и собственные значения
линейного оператора.
Квадратичная форма.
Уравнение линии на плоскости.
Уравнение
прямой.
Условие
параллельности и перпендикулярности
прямых. Расстояние от точки до
прямой.
Понятие об уравнении плоскости и
прямой в пространстве
Линии второго порядка (окружность,
эллипс, гипербола, парабола).
Исследование поверхностей второго
порядка методом сечений.
РАЗДЕЛ 2. Последовательность
14. Понятие множества. Окрестность
точки.
предел
15. Последовательность,
последовательности.
Предел
функции,
непрерывность
16. функции. Основные теоремы
о
пределах.
2
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
2
2
4
4
2
2
4
2
4
2
2
4
2
2
2
4
2
4
2
2
6
2
2
2
2
2
2
2
2
9
РАЗДЕЛ 3. Дифференциальное и
интегральное исчисления
10
19
8
25
17.
Производная
функции.
Её
геометрический и физический смысл.
2
2
2
18.
Связь между дифференцируемостью и
непрерывностью.
2
2
2
Основные
правила
19. дифференцирования.
Производная
сложной и обратной функций.
2
2
2
20. Дифференциал функции.
2
2
4
21. Приложения производной.
2
2
3
22.
Понятие неопределенного интеграла и
его свойства.
2
2
2
23.
Основные методы интегрирования
неопределенного интеграла.
2
2
2
24. Определенный интеграл.
25.
2
Некоторые приложения определенного
интеграла.
2
26. Несобственный интеграл.
РАЗДЕЛ 4. Дифференциальные уравнения
Основные
понятия
о
дифференциальных
уравнениях.
27.
Классификация
дифференциальных
уравнений.
уравнения
28. Дифференциальные
первого порядка и их решение.
29. Дифференциальные уравнения второго
порядка и их решение.
ИТОГО
2
4
2
1
2
2
4
6
2
6
2
2
2
2
1
2
1
2
34
51
34
81
8
6
10
20
2
1
2
4
2
1
2
4
2
1
2
4
1
1
2
4
1
2
2
4
4
4
4
20
2
2
2 СЕМЕСТР
РАЗДЕЛ 5. Ряды
Понятие числового ряда. Признаки
30. сходимости рядов с положительными
членами.
ряды
и
их
31. Знакопеременные
сходимость.
32. Функциональные ряды.
33. Степенные ряды и их сходимость.
34. Разложение функций в степенные
ряды. Приложения степенных рядов.
РАЗДЕЛ 6. Функции нескольких
переменных.
10
Основные
понятия
функции
35. нескольких переменных. 1 Предел и
непрерывность.
производные. Дифференциал
36. Частные
2
функции.
Производная
по
направлению.
37. Градиент. Эмпирические формулы.
Метод наименьших квадратов.
38. Двойной интеграл.
1
1
5
1
1
5
1
1
5
1
1
5
8
6
6
26
39. Сведения о комплексных числах.
2
1
1
4
Основные
понятия,
предел
и
40. непрерывность функции комплексного
переменного.
2
1
1
4
Дифференцирование
функции
41. комплексного переменного. Условие
Эйлера-Даламбера.
2
1
РАЗДЕЛ 7. Функции комплексного
переменного.
42.
2
Интегрирование
функции
комплексного интегрирования.
43. Ряды в комплексной плоскости.
1
45.
Ряды
Фурье,
разложение
периодических функций в ряд Фурье.
46. Интеграл Фурье.
2
4
2
1
8
1
4
2
4
5
25
2
1
2
6
2
1
1
6
44. Вычет функции.
РАЗДЕЛ 8.Гармонический, векторный
анализы. Элементы теории поля.
4
5
47.
Основные понятия теории поля.
Скалярное поле. Векторное поле.
2
1
0
8
48.
Ряды
Фурье,
разложение
периодических функций в ряд Фурье.
2
1
1
5
РАЗДЕЛ 9 Численные методы.
6
3
4
24
2
1
2
8
2
1
0
8
2
1
2
8
Приближенное значение величины.
Абсолютная погрешность,
относительная погрешность, верные,
49. сомнительные, значащие цифры.
Погрешности арифметических
действий.
Приближенное решение систем
50. линейных уравнений: метод итераций,
метод Зейделя.
51. Приближенное вычисление
11
интегралов. Численное решение
обыкновенных дифференциальных
уравнений: метод Эйлера, уточненная
схема Эйлера.
ИТОГО
34
23
28
115
18
18
16
55
2
5
3 СЕМЕСТР
РАЗДЕЛ 10. Теория вероятности
Классификация
Классическое,
52.
геометрическое
вероятности.
событий.
статистическое,
определение
2
53. Элементы комбинаторики.
2
2
Теоремы сложения и умножения
54. вероятностей. Условная вероятность.
Независимые события.
2
2
2
5
2
2
2
5
2
2
2
5
55.
Формула
полной
Формула Байеса.
вероятности.
Повторные независимые испытания.
56. Формула
Бернулли.
Локальные
предельные теоремы.
Понятие
случайной
величины.
Функции распределения плотность
57.
функции распределения случайной
величины.
58.
Математическое
свойства.
ожидание
и
его
59. Дисперсия и его свойства.
60.
62.
2
Теорема Чебышева. Закон больших
чисел.
5
2
2
2
5
2
2
2
5
2
2
5
Мода и медиана. Моменты случайных
величин.
61. Основные законы распределения.
5
2
5
2
2
2
5
16
16
12
49
Предмет и задачи математической
статистики. Генеральная совокупность
63. и выборка. Вариационный ряд.
Эмпирическая
функция
распределения. Полигон, гистограмма.
2
2
2
7
Точечные
статистические оценки
параметров
распределения.
64.
Несмещенные,
эффективные
и
самостоятельные оценки
2
2
РАЗДЕЛ 11. Математическая статистика.
6
12
Метод
моментов
в
получении
65. точечных
оценок.
Метод
максимального правдоподобия.
2
2
66.
Интервальные оценки. Доверительный
интервал.
2
2
67.
Проверка статистических гипотез.
Гипотезы о законах распределения.
2
2
2
6
68.
Однофакторный
анализ.
2
2
2
6
корреляционная
Коэффициент
2
2
2
6
Уравнения
линейных
регрессий.
Коэффициенты линейной регрессии.
2
2
2
6
ИТОГО
34
34
28
116
ВСЕГО
102
108
90
300
Функциональная
69. зависимости.
корреляции.
70.
дисперсионный
и
2
6
6
Самостоятельная работа студентов
№ п/п
1
Наименование
формы контроля
Самостоятельные
работы
Наименование
разделов и тем
программы
Определители и
матрицы
(Раздел 1)
Дифференциальное и
интегральное
исчисление
2
Учебно-методические материалы
С.р. №1 «Выполните действия над
матрицами, вычислить
определитель»
С.р. №2 «Приложение
производной».
(Раздел 3)
Ряды
3
(Раздел 5)
4
Тесты
Алгебра и геометрия
С.р. №3 «Числовые и степенные
ряды»
Тест №1 «Векторы»
(Раздел 1)
5
Теория вероятности
(Раздел 9)
Тест №2 «Классическое
определение. Повторные
независимые испытания.
Случайные события»
13
6
Индивидуальные
домашние задания
Дифференциальное и
интегральное
исчисление
Индивидуальное задание №1
«Производная первого и высшего
порядков для различных функций»
(Раздел 3)
Дифференциальные
уравнения
7
Индивидуальное задание №2
«Дифференциальные уравнения»
(Раздел 4)
Теория вероятностей
8
(Раздел 10)
Математическая
статистика
9
(Раздел 11)
Математическая
статистика
10
Индивидуальное задание №3
«Элементы теории вероятностей»
Индивидуальное задание №4
«Основные методы математической
статистики»
Индивидуальное задание №5
«Проверка статистических гипотез»
(Раздел 11)
Экзаменационные вопросы.
1 семестр
1. Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами.
2. Определители,
вычисление
определителей,
основные
свойства
определителей.
3. Обратная матрица, ранг матрицы.
4. Система линейных уравнений: метод Крамера, метод обратной
матрицы, метод Гаусса
5. Векторы на плоскости и в пространстве. Опереции над векторами.
6. Векторное
пространство,
базис
и
размерность
векторного
пространства.
7. Евклидово пространство. Переход к новому базису.
8. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора.
9. Квадратичная форма.
14
10. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой. Условие
параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
11. Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве
12. Линии второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола).
13. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.
14. Понятие множества. Окрестность точки.
15. Последовательность, предел последовательности.
16. Предел функции, непрерывность функции. Основные теоремы
о
пределах.
17. Производная функции . Её геометрический и физический смысл.
18. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью
19. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и
обратной функций.
20. Дифференциал функции.
21. Приложения производной.
22. Понятие неопределенного интеграла и его свойства.
23. Основные методы интегрирования неопределенного интеграла
24. Определенный интеграл.
25. Некоторые приложения определенного интеграла.
26. Несобственный интеграл.
27. Основные понятия о дифференциальных уравнениях. Классификация
дифференциальных уравнений.
28. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение.
29. Дифференциальные уравнения второго порядка и их решение.
1. Понятие
числового
2 семестр
ряда. Признаки
положительными членами.
2. Знакопеременные ряды и их сходимость.
3. Функциональные ряды.
сходимости
рядов
с
15
4. Степенные ряды и их сходимость.
5. Разложение функций в степенные ряды. Приложения степенных
рядов.
6. Основные понятия функции нескольких переменных. 1 Предел и
непрерывность.
7. Частные производные. Дифференциал функции.
8. Производная по направлению. Градиент. Эмпирические формулы.
Метод наименьших квадратов
9. Двойной интеграл.
10. Сведения о комплексных числах.
11. Основные понятия, предел и непрерывность функции комплексного
переменного.
12. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условие
Эйлера-Даламбера.
13. Интегрирование функции комплексного интегрирования.
14. Ряды в комплексной плоскости.
15. Вычет функции.
16. Ряды Фурье, разложение периодических функций в ряд Фурье.
17. Интеграл Фурье.
18. Основные понятия теории поля. Скалярное поле. Векторное поле.
19. Оператор
Гамильтона. Некоторые свойства основных
классов
векторных полей.
20. Приближенное
относительная
значение
погрешность,
величины.
верные,
Абсолютная
сомнительные,
погрешность,
значащие
цифры.
Погрешности арифметических действий.
21. Приближенное
решение
систем
линейных
уравнений:
метод
итераций, метод Зейделя.
22. Приближенное
вычисление
интегралов.
Численное
решение
обыкновенных дифференциальных уравнений: метод Эйлера, уточненная схема
Эйлера.
16
3 семестр
событий.
Классическое,
1. Классификация
статистическое,
геометрическое определение вероятности.
2. Элементы комбинаторики.
3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.
Независимые события.
4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Локальные
предельные теоремы.
6. Понятие случайной величины. Функции распределения плотность
функции распределения случайной величины.
7. Математическое ожидание и его свойства.
8. Дисперсия и его свойства.
9. Мода и медиана. Моменты случайных величин.
10. Основные законы распределения.
11. Теорема Чебышева. Закон больших чисел.
12. Предмет
совокупность
и
и
задачи
выборка.
математической
Вариационный
статистики.
ряд.
Генеральная
Эмпирическая
функция
распределения. Полигон, гистограмма.
13. Точечные
статистические
оценки
параметров
распределения.
Несмещенные, эффективные и самостоятельные оценки
14. Метод
моментов
в
получении
точечных
оценок.
Метод
максимального правдоподобия.
15. Интервальные оценки. Доверительный интервал.
16. Проверка статистических гипотез. Гипотезы о законах распределения.
17. Однофакторный дисперсионный анализ.
18. Функциональная
и
корреляционная
зависимости.
Коэффициент
корреляции.
19. Уравнения линейных регрессий. Коэффициенты линейной регрессии.
17
Основная литература
1. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1 : учеб. пособие для
вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова и др. – 7-е изд., испр. – М.
: ОНИКС, 2009. – 368 с.
2. Высшая математика для экономистов : учебник для вузов / под ред. Н.Ш.
Кремера. – 3-е изд. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
3. Высшая математика для экономистов: Практикум : учеб. пособие / под ред.
Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2011.
4. Григорьев, В.П. Сборник задач по высшей математике : учеб. пособие / В.П.
Григорьев, Т.Н. Сабурова. – М. : Академия, 2010. – 160 с.
5. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс /
Д.Т. Письменный. – 9-е изд. – М. : Айрис-пресс, 2009. – 608 с. : ил.
6. Шипачев, В.С. Высшая математика : учебник для вузов / В.С. Шипачев. – 8-е
изд., стереотип. – М. : Высшая школа, 2011. – 479 с. : ил.
Дополнительная литература
1. Абчук, В.А. Экономико-математические методы / В.А. Абчук. – СПб. :
Союз, 2005.
2. Апатенок, Р.Ф. Сборник задач по линейной алгебре / Р.Ф. Апатенок, А.М.
Маркина. – Киев : Высшая школа, 2001.
3. Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу : учебник / Г.И.
Архипов, В.Н. Садовничий, В.Н. Чубариков; под ред. В.Н. Садовничего. –
М. : Высшая школа, 1999. – 695 с.
4. Беклемешев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В.
Беклемешев. – М. : Наука, 2003.
5. Бортаковский, А.С. Практикум по линейной алгебре и аналитической
геометрии : учеб. пособие / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. – М. :
Высшая школа, 2007. – 352 с. : ил.
18
6. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике / В.Е. Гмурман. – М. : Высш. школа, 2007. – 404
с.
7. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб.
пособие / В.Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. – М. : Высш. образование,
2008. – 479 с. : ил.
8. Замков, О.О. Математические методы в экономике / О.О. Замков. – М. :
ДИС, 2004.
9. Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических ВУЗов. Ч. 1-2. /
А.И. Карасев. – М. : Высшая школа, 2006.
10.Колеснеков, А.Н. Краткий курс математики для экономистов / А.Н.
Колеснеков. – М. : ИНФРА-М., 2006.
11.Красс, М.С. Математика для экономических специальностей / М.С. Красс. –
М. : ИНФРА-М, 2005.
12.Луппова, Е.П. Математический анализ. Ч.1 : учеб.-метод. комплекс / Е.П.
Луппова, Н.Ю. Василенко, Д.А. Тряпкин. – Владивосток : Изд-во ДВГТУ,
2008. – 160 с.
13.Любимова, О.Н. Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учеб.-метод.
комплекс / О.Н. Любимова, Н.Е. Дегтярева. – Владивосток : Изд-во ДВГТУ,
2008. – 167 с.
14.Митченко, А.Д. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии :
учеб. пособие / А.Д. Митченко. – Владивосток : Изд-во Дальневост. ун-та,
2005. – 210 с.
15.Митченко, А.Д. Элементы математического анализа Ч.1 : учеб. пособие /
А.Д. Митченко. – Владивосток : Изд-во Дальневост. ун-та, 2003. – 182 с.
16.Румшинский, Л.З. Элементы теории вероятностей / Л.З. Румшинский. – М. :
Наука, 2002.
17.Солодовников А.С. Линейная алгебра с элементами аналитической
геометрии / А.С. Солодовников. – М. : Высшая школа, 2003.
19
18.Солодовников А.С. Математика в экономике. Ч. 1-2. / А.С. Солодовников. –
М. : Финансы и статистика, 2005.
19.Теория вероятностей : учеб. пособие / И.Л. Елисеенко. и др. – Владивосток :
Изд-во ДВГУ, 2003.
20.Фадеев, Д.К. Задачи по высшей алгебре / Д.К. Фадеев, Н.С. Соминский. –
СПб., 2004.
21.Шипачев, В.С. Математический анализ : учеб. пособие для вузов / В.С.
Шипачев. – М. : Высшая школа, 2001. – 176 с. : ил.
22.Шипачев, В.С. Основы высшей математике / В.С. Шипачев. – М.: Высшая
школа, 2004.
23.Шипачев, В.С. Сборник задач по высшей математике / В.С. Шипачев. – М. :
Высшая школа, 2004.
Интернет-ресурсы
1. Балдин, К.В. Высшая математика : учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков,
А.В. Рукосуев. – М. : Флинта: МПСИ, 2010. – 360 с. http://znanium.com/bookread.php?book=217321
2. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры :
учебник / Д.В. Беклемишев. – 12-е изд., испр. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2009. –
312 с. - http://e.lanbook.com/view/book/2109/
3. Злобина, С.В. Математический анализ в задачах и упражнениях : учеб.
пособие / С.В. Злобина, Л.Н. Посицельская. – М. : Физматлит, 2009. – 360 с. http://www.iprbookshop.ru/12887.html
20
График изучения дисциплины
1 семестр
Вид учебных
занятий
№ недели
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Лекции
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
ПЗ
3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3
3
3
3
3
3
3
ЛЗ
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
Аттестация
(промежуточная)
+
+
2 семестр
Вид учебных
занятий
Лекции
ПЗ
№ недели
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
ЛЗ
2 2 2 2 2 2 2
2
Аттестация
(промежуточная)
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
+
3 семестр
Вид учебных
занятий
№ недели
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Лекции
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
ПЗ
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
ЛЗ
2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
Аттестация
(промежуточная)
+
+
21
Рейтинговая оценка по дисциплине
Распределение баллов по видам учебных работ
Оценка
отлично
хорошо
удовлетворительно
неудовлетворительно
Количество баллов
85-100
71-84
60-70
менее 60
22
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ В г. АРСЕНЬЕВЕ
КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ
по дисциплине «МАТЕМАТИКА»
080502.65 «Экономика и управление на предприятии (по отраслям)
Арсеньев
2011
23
Перечень тем лекционных занятий
1 семестр
Тема 1. «Определители. Матрицы»
Понятие определителя, минора и алгебраического дополнения. Свойства
определителей. Единичные, диагональные, треугольные определители. Теорема
Лапласа. Методы вычисления определителей (метод понижения порядка,
приведение к треугольному виду). Диагональная, единичная, квадратная,
вырожденная (невырожденная), транспонированная матрицы. Матрица-строка,
матрица –
умножение
столбец,
матрицы
нулевая
на
матрица.
число.
Сложение
Произведение
(вычитание)
матриц.
матриц,
Элементарные
преобразования матриц. Обратная матрица. Необходимое и достаточное
условие существования обратной матрицы. Методы вычисления обратной
матрицы
(метод
присоединенной
матрицы,
метод
элементарных
преобразований). Ранг матрицы. Нахождение ранга матрицы. Теорема о
базисном миноре. Теорема о ранге матрицы. Понятие линейной комбинации
строк (столбцов) матрицы. Линейно зависимые и линейно независимые строки
(столбцы) матриц.
Тема
2.
«Системы
линейных
алгебраических
уравнений»
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Метод Гаусса для
решения систем m линейных уравнений с n неизвестными. Случаи
определенной, неопределенной и несовместной СЛАУ. Понятие базисных и
свободных переменных. Однородные СЛАУ. Свойства однородных СЛАУ.
Фундаментальная и общая система решений. Представление любой системы
векторов в виде однородной СЛАУ и проверка ее на линейную зависимость или
независимость.
Тема
3.
«Метод
Гаусса.
Формулы Крамера»
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Метод Гаусса для
решения систем m линейных уравнений с n неизвестными. Случаи
24
определенной, неопределенной и несовместной СЛАУ. Понятие базисных и
свободных переменных. Формулы Крамера. Однородные СЛАУ. Свойства
однородных
СЛАУ.
Фундаментальная
и
общая
система
решений.
Представление любой системы векторов в виде однородной СЛАУ и проверка
ее на линейную зависимость или независимость.
Тема 4. «Линейные операторы»
Понятие
линейного
оператора
(преобразование).
Представление
линейного преобразования матрицей. Собственные векторы и собственные
значения линейного оператора. Понятие квадратичной формы. Приведение
квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных
форм. Знакоположительные и знакоотрицательные квадратичные формы.
Тема 5. «Элементы векторной алгебры»
Скалярные и векторные величины. Определение длины (модуля) вектора,
определение
нулевого,
коллинеарного,
компланарного
вектора,
противоположных и равных векторов. Линейные операции над векторами
(сложение векторов, умножение вектора на число, вычитание векторов).
Единичный вектор. Проекция вектора на ось и составляющая вектора по оси.
Основные теоремы о проекциях. Арифметическое n--мерное векторное
пространство
R
n
.
Тема 6. «Линейная зависимость векторов. Базис»
Линейно
Определение
зависимые
линейной
и
линейно
комбинации
независимые
векторов.
системы
векторов.
Определение
линейной
зависимости и линейной независимости векторов. Свойства линейно зависимых
систем векторов. Необходимое и достаточное условие линейной независимости
векторов. Базис на плоскости и в пространстве. Лестничная система векторов.
Теорема о линейной независимости любой лестничной системы векторов.
Прямоугольный декартов базис. Разложение любого вектора по ортам
координатных осей. Необходимое и достаточное условие коллинеарности
векторов.
25
Тема 7. «Координаты вектора»
Линейные операции над векторами в координатной форме. Модуль
вектора.
Расстояние
между
двумя
точками.
Направляющие
косинусы
(определение, свойства).Скалярное произведение векторов. Экономический
пример. Свойство скалярного произведения. Скалярное произведение в
координатной форме. Ортогональная и ортонормированная система векторов.
Векторное
произведение
векторов.
Экономический
пример.
Свойства
векторного произведения. Векторное произведение в координатной форме.
Геометрический смысл векторного произведения. Смешанное произведение
векторов. Свойства смешанного произведения. Смешанное произведение
векторов
в
произведения.
координатной
Условия
форме.
Геометрический
коллинеарности
двух
смысл
векторов.
смешанного
Условие
компланарности трех векторов.
Тема 8. «Прямая на плоскости»
Уравнение линии на плоскости. Уравнения прямых. Уравнение прямой,
проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.
Понятие нормального вектора. Общее уравнение прямой, уравнение прямой в
отрезках. Геометрический смысл параметров в уравнении прямой в отрезках.
Каноническое уравнение прямой. Понятие направляющего вектора. Уравнение
прямой, проходящей через две заданные точки. Уравнение прямой, проходящей
через данную точку в заданном направлении. Пучок прямых. Уравнение
прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие
параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
Плоскость в пространстве. Прямая в пространстве. Общее уравнение прямой в
пространстве. Построение прямой в пространстве. Каноническое уравнение
прямой в пространстве. Уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки. Прямая и плоскость. Условие параллельности и перпендикулярности
прямой и плоскости. Пересечение прямой и плоски в пространстве.
26
Тема 9. «Кривые и поверхности второго порядка»
Определение
окружности.
Каноническое
уравнение
окружности.
Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Гипербола, парабола,
их канонические уравнения. Поверхности второго порядка: сфера, эллипсоид,
конус, цилиндрические поверхности.
Тема 10. «Плоскость и прямая в пространстве»
Общее уравнение плоскости в пространстве, его частные случаи.
Уравнение плоскости в отрезках. Построение плоскости по ее уравнению. Угол
между двумя плоскостями, условия параллельности перпендикулярности
плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Общее уравнение прямой в
пространстве.
Канонические
и
параметрические
уравнения
прямой
в
пространстве. Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Прямая и плоскость в
пространстве.
Условия
параллельности
перпендикулярности
прямой
и
плоскости. Пересечение прямой и плоскости в пространстве.
Тема 11. «Понятие функции»
Понятие множества. Понятие функциональной зависимости. Важнейшие
функции, встречающиеся в экономике. Окрестность точки.
Тема 12. «Предел функции»
Абсолютная
величина
действительного
числа.
Предел
функции,
определение и примеры. Признак существования предела. Основные теоремы о
пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.
Сравнение порядков бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Определение пределов дробно – рациональных функций, функций, содержащих
иррациональность,
тригонометрических
функций.
Первый
и
второй
замечательные пределы. Теорема о переходе к пределу в показателе степени.
Односторонние пределы. Теорема о равенстве односторонних пределов.
Тема 13. «Непрерывность функции в точке»
Классификация точек разрыва. Теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность функции на отрезке. Другое определение непрерывности.
27
Тема 14. «Производная функции в точке»
Задачи,
приводящие
к
понятию
производной.
Физический,
геометрический, экономический смысл производной. Производная слева и
справа. Дифференцируемость функции и связь ее с непрерывностью. Понятие
суммарных, средних и предельных величин в экономике. Эластичность
функции.
Геометрическая
интерпретация
эластичности.
Свойства
эластичности. Эластичность элементарных функций. Экономический смысл
эластичности.
Эластичность
спроса
относительно
цели
(предложения).
Эластичность предложения относительно цели. Эластичность полных и
средних издержек, эластичность выпуска по ресурсам.
Тема
15.
«Основные
свойства
производной.
Дифференциал функции»
Производная
сложной
функции.
Производные
высших
порядков.
Дифференцирование неявной функции. Логарифмическое дифференцирование.
производная
степенно –
показательной
функции.
Теоремы
о
дифференцируемых функциях. Дифференциал функции и его свойства.
Теорема единственности дифференциала. Связь дифференциала с производной.
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал
сложной
функции.
Свойство
инвариантности
формы
дифференциала.
Дифференциалы высших порядков.
Тема 16. «Приложение производной к исследованию функций»
Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условие
монотонности,
Необходимое
геометрический
условие
смысл.
существования
Понятие
экстремума
экстремума
(теорема
функции.
Ферма).
Критические точки первого рода. Первое и второе достаточные условия
экстремума функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Выпуклости функции вверх (вниз). Точки перегиба. Достаточное условие
выпуклости
вверх
(вниз)
графика
функции.
Необходимое
условие
существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки
28
перегиба. Асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные,
наклонные). Общая схема исследования графика функции.
Тема 17. «Понятие первообразной функции»
Неопределенный
Геометрический
интеграл.
смысл
Свойства
неопределенного
неопределенного
интеграла.
интеграла.
Основные
методы
интегрирования (непосредственное интегрирование, интегрирование по частям,
метод замены переменной, интегрирование тригонометрических функций,
интегрирование простейших рациональных дробей, интегрирование по частям).
Тема 18. «Определенный интеграл»
Геометрический и экономический смысл определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интеграл с
переменным верхним пределом. Основные правила интегрирования. Замена
переменной в определенном интеграле. Интегрирование по
частям в
определенном интеграле.
Тема 19. «Геометрические приложения определенного интеграла»
Площадь плоской фигуры. Длина дуги плоской кривой. Объем тела
вращения. Некоторые приложения определенного интеграла в экономике.
Тема 20. «Несобственные интегралы»
Геометрический
смысл
несобственных
интегралов.
интегралы
с
бесконечными пределами интегрирования. Интегралы от неограниченных
функций. Признаки сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и
условная сходимость несобственных интегралов.
2 семестр
Тема 1. «Функции нескольких переменных»
Основные понятия. Пример функции двух переменных. Линии уровня.
Частные производные функции двух переменных. Геометрический смысл
частных производных. Полных дифференциал функции двух переменных.
Связь
дифференциала
и
частных
производных.
Достаточное
условие
дифференцируемости. Производная сложной функции. Понятие производной
по направлению. Градиент функции. Частные производные высших порядков.
29
Тема 2. «Экстремум функции двух переменных»
Локальный экстремум функции двух переменных. Необходимое и
достаточное условие локального экстремума. Условный экстремум. Функция
Лагранжа.
Тема 3. «Дифференциальные уравнения первого порядка»
Дифференциальные
уравнения.
Задачи,
приводящие
к
дифференциальным уравнениям. Модель естественного роста при постоянном
темпе. Логический рост. Неоклассическая модель роста. Дифференциальные
уравнения первого порядка. Определение, теорема о существовании и
единственности решения. Геометрический смысл уравнения первого порядка.
Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные
уравнения с разделяющимися переменными. Методы их решения.
Тема 4. «Однородные и линейные дифференциальные уравнения
первого порядка»
Методы решения однородных и линейных дифференциальных уравнений
первого порядка. Метод вариации постоянной. Метод замены переменной.
Тема 5. «Дифференциальные уравнения второго порядка»
Основные понятия. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные однородные уравнения второго порядка. Линейные неоднородные
уравнения второго порядка. Методы их решения.
Тема 6. «Числовые ряды»
Основные понятия. Свойства сходимости рядов. Числовые ряды с
неотрицательными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости
ряда. Признаки сравнения. Другие признаки сходимости. Сходимость
произвольных числовых рядов. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная
сходимость ряда.
Тема 7. «Степенные ряды.»
Основные определения. Область сходимости степенного ряда. Свойства
степенных рядов. Разложение функций в степенные ряды. Разложение
некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.
30
Тема 16. «Применение степенных рядов к приближенным вычислениям»
Вычисление
значений
показательной
функции,
логарифмические
функции, синуса, косинуса. Приближенное нахождение интегралов.
Тема 17. «Функции комплексного переменного»
Сведения о комплексных числах. Основные понятия, предел и
непрерывность функции комплексного переменного. Дифференцирование
функции
комплексного
переменного.
Условие
Эйлера-Даламбера.
Интегрирование функции комплексного интегрирования. Ряды в комплексной
плоскости. Вычет функции.
Тема 18. «Гармонический , векторный анализы. Элементы теории поля.
Ряды Фурье, разложение периодических функций в ряд Фурье. Интеграл
Фурье. Основные понятия теории поля. Скалярное поле. Векторное поле.
Тема 19. «Численные методы»
Приближенное
относительная
значение
погрешность,
величины.
верные,
Абсолютная
сомнительные,
погрешность,
значащие
цифры.
Погрешности арифметических действий. Приближенное решение систем
линейных
уравнений:
метод
итераций, метод
Зейделя.
Приближенное
вычисление интегралов. Численное решение обыкновенных дифференциальных
уравнений: метод Эйлера, уточненная схема Эйлера.
3 семестр
Тема 1. «Основные понятия теории вероятностей»
Элементы
комбинаторики:
размещения,
сочетания,
перестановки.
Основные понятия теории вероятностей. Испытания и события. Виды
случайных событий. Классическое определение вероятностей. Примеры
непосредственного
вычисления
вероятностей.
Относительная
частота.
Статистическая вероятность. Геометрические вероятности. Аксиомы теории
вероятностей. Алгебра событий: сумма и произведение событий.
Тема 2. «Теоремы сложения и умножения вероятностей»
Противоположные события. Теорема о вероятности суммы двух
несовместных событий. Теорема о сумме вероятностей событий, образующих
31
полную группу событий. Независимость событий. Определение условной
вероятности. Теорема о вероятности совместного появления двух событий
нескольких событий. Теорема о вероятности суммы двух совместных событий.
Вероятность появления хотя бы одного из n независимых в совокупности
событий. Следствие.
Тема 3. «Полная вероятность»
Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса. Последовательность
независимых испытаний.
Тема 4. «Повторные испытания»
Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Формула Пуассона. Вероятность отклонения относительной частоты от
постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Тема 5. «Случайные величины»
Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения
вероятностей дискретной случайной величины. Способы задания закона
распределения.
Многоугольник
распределения
вероятностей.
Функция
распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.
Тема 6. «Числовые характеристики случайных величин»
Математическое ожидание случайной
величины
и
его
свойства.
Вероятностный смысл математического ожидания. Отклонение случайной
величины от ее математического ожидания. Дисперсия случайной величины и
ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. Начальные и центральные
моменты k-го порядка, мода, медиана.
Тема
7.
«Законы
распределения
вероятностей
дискретных
случайных величин»
Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики.
Закон Пуассона. Простейший поток событий. Свойства стационарности,
ординарности и отсутствия последействия. Интенсивность потока.
32
Тема 8. «Законы распределения непрерывных случайных величин»
Функция распределения и плотность распределения непрерывной
случайной величины. Нахождение функции распределения по известной
плотности распределения вероятностей. Закон равномерного распределения
вероятностей, его функция распределения и числовые характеристики. Закон
показательного распределения, его функция распределения и числовые
характеристики.
Тема
9.
«Нормальный
закон
распределения
вероятностей
непрерывной случайной величины»
Числовые характеристики нормального распределения. Кривая Гаусса и
ее исследование. Влияние параметров a и σ на вид кривой Гаусса. Вероятность
попадания нормально распределенной случайной величины в заданный
интервал. Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм.
Тема 10. «Закон больших чисел»
Неравенство Чебышева для дискретных и непрерывных случайных
веичин. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных
величин. Теорема Чебышева. Предельные теоремы. Центральная предельная
теорема для суммы одинаково распределенных случайных величин. Теорема
Ляпунова.
Тема 11. «Математическая статистика»
Предмет математической статистики. Основные задачи математической
статистики.
Генеральная
бесповторная
выборки.
и
выборочная
Репрезентативная
Статистическое
распределение
характеристики.
Полигон
выборки.
частот
совокупности.
выборка.
Способы
Вариационный
(относительных
Повторная
ряд
и
отбора.
и
его
частот).Эмпирическая
функция распределения и ее свойства. Гистограмма частот (относительных
частот).
Тема 12. «Статистические оценки параметров распределения»
Точечные
оценки
параметров
и
их
свойства:
несмещенность
эффективность, состоятельность. Генеральная средняя, выборочная средняя.
33
Оценка генеральной средней по выборочной средней. Генеральная дисперсия,
выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по исправленной
выборочной дисперсии. Методы расчета
статистических характеристик
выборки. Равноотстоящие варианты, условные варианты. Начальные и
центральные эмпирические моменты k-го порядка.
Тема 13. «Интервальные оценки параметров. Критерий согласия»
Точность
оценки.
Доверительная
вероятность(надежность).
Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального
распределения
при
известном
и
неизвестном
среднем
квадратичном
отклонении. Статистическая гипотеза. Нулевая и конкурирующая, простая и
сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий
проверки нулевой гипотезы. Критерий Пирсона. Наблюдаемое значение
критерия. Критическая область. Область принятия гипотез. Критические точки.
Правило использования критерия Пирсона.
Тема 14. «Элементы теории корреляции»
Основные задачи теории корреляции. Функциональная, статистическая и
корреляционная зависимости. Уравнения регрессии. Условные средние.
Корреляционная таблица. Определение параметров методом наименьших
квадратов. Теснота связи и ее оценка по коэффициенту корреляции.
Тема 15. «Корреляционное отношение»
Анализ статистической значимости коэффициентов линейной регрессии.
Выборочное
корреляционное
корреляционного
отношение.
отношения.
Корреляционное
Свойства
выборочного
отношение
как
мера
корреляционной связи. Сравнение истинных и оцененных зависимостей на
примере экономической задачи.
Тема 16. «Понятие о множественной корреляции»
Выборочный
выборочные
совокупный
коэффициенты
коэффициент
корреляции.
корреляции.
Понятие
Частные
двухфакторных
и
многофакторных уравнений регрессии. Применение мат. статистики в
34
экономике.
Статистическое
изучение
связей
между
явлениями
и
использованием для управления социально – экономическими процессами.
их
35
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ В г. АРСЕНЬЕВЕ
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
по дисциплине «МАТЕМАТИКА»
080502.65 «Экономика и управление на предприятии (по отраслям)
г. Арсеньев
2011
36
Методические указания по самостоятельному выполнению
практических заданий
При выполнении индивидуальных домашних заданий необходимо
использовать теоретический материал, ссылаясь на соответствующие теоремы,
формулы, формулировки. Решения предлагаемых задач должны излагаться
подробно и сопровождаться необходимыми пояснительными ссылками.
Контрольные вопросы
для самостоятельной оценки качества освоения дисциплины
1 семестр
1. Определители второго и третьего порядков.
2. Свойства определителей.
3. Методы вычисления определителей.
4. Понятие матрицы. Виды матриц.
5. Невырожденная матрица.
6. Линейные операции над матрицами.
7. Свойства линейных операций.
8. Произведение матриц. Свойства.
9. Необходимое и достаточное условие существования матрицы, обратной
данной.
10. Алгоритм нахождения матрицы, обратной данной.
11. Определители взаимно-обратных матриц.
12. Ранг матрицы (два определения).
13. Система линейных алгебраических уравнений. Решение системы.
14. Матричное уравнение и его решение.
15. Правило Крамера.
16. Метод Гаусса решения системы уравнений.
17. Однородные системы уравнений. Тривиальное решение.
18. Совместные (несовместные) системы. Определенные (неопределенные)
системы.
19. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
37
20. Теорема Кронекера-Капелли.
21. Векторные и скалярные величины.
22. Векторы. Основные определения.
23. Равенство векторов. Орт.
24. Линейные операции над векторами.
25. Линейно зависимые (независимые) векторы.
26. Базис на плоскости и в пространстве.
27. Разложение вектора по базису.
28. Линейные операции над векторами в координатной форме.
29. Деление отрезка в данном отношении.
30. Направляющие косинусы вектора.
31. Проекция вектора на ось.
32. Угол между вектором и осью.
33. Скалярное произведение векторов. Свойства.
34. Векторное произведение векторов и его свойства.
35. Смешанное произведение векторов и его свойства.
36. Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.
37. Понятие линейного оператора. Представление линейного оператора.
38. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
39. Квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к каноническому
виду.
40. Знакоположительные и знакоотрицательные квадратичные формы.
41. Модель Леонтьева. Линейная модель оптимизации.
42. Задачи аналитической геометрии.
43. Различные способы задания прямой на плоскости.
44. Угол между двумя прямыми на плоскости.
45. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние
от точки до прямой.
46. Общее уравнение плоскости. Частные случаи.
47. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
38
48. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Угол
между плоскостями.
49. Прямая в пространстве. Способы задания.
50. Прямая и плоскость в пространстве. Условия параллельности и
перпендикулярности прямой и плоскости.
51. Пересечение прямой и плоскости в пространстве.
52. Каноническое уравнение окружности.
53. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса.
54. Определение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы.
55. Определение параболы. Каноническое уравнение параболы.
56. Функция, область определения. Способы задания функции.
57. Окрестность точки.
58. Понятие предела функции в точке.
59. Односторонние пределы функции.
60. Теоремы о пределах.
61. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
62. Первый замечательный предел.
63. Второй замечательный предел.
64. Правила раскрытия неопределенностей.
65. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
66. Свойства функций, непрерывных в точке.
67. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
68. Второе определение непрерывности функции.
69. Определение производной функции в точке.
70. Геометрический смысл производной функции в точке.
71. Правила нахождения производной функции.
72. Таблица производных сложных функций.
73. Производная функции, заданной параметрически, неявно.
74. Логарифмическое дифференцирование.
75. Критические точки первого рода.
39
76. Точки экстремума, экстремальные значения функции.
77. Необходимое условие существования экстремума функции в точке.
78. Достаточное условие существования экстремума функции в точке.
79. Критические точки второго рода.
80. Точки перегиба графика функции.
81. Достаточное условие существования перегиба графика функции в точке.
82. Асимптоты графика функции.
83. Общая схема исследования функции.
84. Условия максимизации прибыли, условие уровня наиболее экономичного
производства.
2 семестр
1. Дифференциал функции.
2. Геометрический смысл дифференциала функции.
3. Правила нахождения дифференциала.
4. Инвариантность формы дифференциала.
5. Первообразная функции.
6. Неопределенный интеграл и его свойства.
7. Таблица интегралов.
8. Метод непосредственного интегрирования.
9. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
10. Интегрирование по частям.
11. Интегрирование рациональных дробей.
12. Метод неопределенных коэффициентов.
13. Интегрирование иррациональных функций.
14. Тригонометрические подстановки.
15. Задача о площади.
16. Определенный интеграл.
17. Свойства определенного инт6грала.
18. Криволинейная трапеция.
19. Геометрический смысл определенного интеграла.
40
20. Формула Ньютона-Лейбница.
21. Метод замены переменной в определенном интеграле.
22. Интегрирование по частям.
23. Вычисление площадей плоских фигур.
24. Объем тела вращения плоской фигуры.
25. Длина дуги гладкой кривой.
26. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
27. Сходящиеся несобственные интегралы.
28. Функция нескольких переменных, область определения.
29. Частное и полное приращение функции нескольких переменных.
30. Частные производные функции нескольких переменных.
31. Градиент функции нескольких переменных.
32. Производная функции по направлению вектора.
33. Локальный экстремум, необходимое и достаточное условие локального
экстремума.
34. Условный экстремум. Функция Лагранжа.
35. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.
36. Предельные
величины,
эластичность
функции
двух
переменных.
Эластичность замещения.
37. Дифференциальные уравнения. Основные понятия.
38. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общее и частное решения.
39. Уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
40. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, общее решение.
41. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
42. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами.
43. Характеристическое уравнение.
44. Однородные
уравнения.
Теорема
однородного уравнения 2-го порядка.
о
структуре
общего
решения
41
45. Общее решение однородного уравнения в зависимости от корней
характеристического уравнения.
46. Неоднородные уравнения 2-го порядка. Теорема о структуре общего
решения.
47. Подбор частного некоторого решения по виду данной правой части
неоднородного уравнения.
48. Дифференциальные уравнения в экономической динамике.
49. Числовые ряды. Сходимость числовых рядов.
50. Необходимый признак сходимости.
51. Гармонический ряд. Обобщенный гармонический ряд.
52. Два признака сравнения числовых рядов.
53. Два признака Коши.
54. Признак Даламбера.
55. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
56. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных числовых рядов.
57. Степенные
ряды.
Область
сходимости
степенного
ряда.
сходимости.
58. Свойства степенных рядов.
59. Разложение функции в ряд Тейлора.
3 семестр
1. Предмет теории вероятностей.
2. Число перестановок, сочетаний, размещений.
3. Классификация событий.
4. Относительная частота появления события и его вероятность.
5. Основные определения теории вероятностей.
6. Классическое определение вероятности появления события.
7. Аксиомы вероятностей.
8. Алгебра событий.
9. Теоремы сложения вероятностей (формулировки и формулы).
10. Теоремы умножения вероятностей (формулировки и формулы).
Радиус
42
11. Вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий.
Следствие.
12. Формула полной вероятности.
13. Формулы Байеса, следствие.
14. Повторные испытания. Формула Бернулли.
15. Локальная и интегральная функции Муавра-Лапласа.
16. Формула Пуассона.
17. Случайные величины, классификация случайных величин.
18. Ряд распределения, многоугольник распределения.
19. Закон распределения и способы его задания.
20. Функция распределения вероятностей, плотность распределения.
21. Числовые характеристики случайных величин и их вероятностный смысл.
22. Свойства числовых характеристик.
23. Биномиальный закон распределения вероятностей и его числовые
характеристики.
24. Простейший поток событий. Интенсивность потока.
25. Закон Пуассона.
26. Показательный закон распределения, его функция распределения и
числовые характеристики.
27. Равномерный закон распределения, его функция распределения числовые
характеристики.
28. Нормальный закон распределения.
29. Кривая Гаусса.
30. Влияние параметров на вид кривой Гаусса.
31. Понятие о законе больших чисел.
32. Математическая статистика и ее основные задачи.
33. Генеральная совокупность, выборка.
34. Полигон частот, гистограмма.
35. Статистический ряд. Статистическая совокупность.
36. Эмпирическая функция и ее свойства.
43
37. Точечные оценки параметров. Свойства точечных оценок.
38. Доверительная вероятность (надежность).
39. Интервальные оценки параметров.
40. Доверительные интервалы.
41. Понятие критерия согласия.
42. Критерий Пирсона.
43. Соотношение между экономическими переменными.
44. Понятие корреляции.
45. Основные задачи теории корреляции.
46. Линия регрессии.
47. Коэффициент корреляции.
48. Корреляционное отношение. Теснота связи.
49. Методы определения параметров в уравнении выравнивающей линии.
50. Метод наименьших квадратов.
51. Линия регрессии.
52. Парная
линейная
регрессия.
Анализ
статистической
коэффициентов линейной регрессии
Индивидуальные домашние задания
по теме «Производная»
вариант №1
I. Найти производные указанных функций:
1. y
3x 2 6 x 7
4x
2. y x x 2 x 1
3. y
arctgx
x3
4. y sin( 2 x 1)
значимости
44
5. y ln
6. y
5x 3
2x 7
ctg 2 x
2 32 x
7. y x sin2 x
II. Найти производную третьего порядка от функции: y
x
6( x 1)
III. Найти производную y x от неявной функции x 2 cos y y 2 2 y 0
вариант №2
I. Найти производные указанных функций:
1. y
6 x 4 7 x 3 x 2 5x 3
2x3
2. y
9x 1
9x 1
3. y 84 x arcctgx
4. y cos( 3x )
6
5. y ln 3
x
x 1
3
1
1
6. y arccos ln( x 2 2 x )
x
4
7. y x
tg 2 x
1
2
II. Найти производную третьего порядка от функции: y ln 2 x
III. Найти производную y x от неявной функции
вариант №3
I. Найти производные указанных функций:
5
1
1. y 4 x x 2 2 x 2 4
5
3
x2 y2
1
4
9
45
2. y 83 x 2 3 ln x
3. y
93 tg 2
arcsin x
4. y arcsin
1 x
1 x
5. y log 6 sin 4 x
6. y
7.
ln( 5 x 2 1)
3
(11 2 x) 2
y sin 3x
ln x
II. Найти производную второго порядка от функции: y
x4 8
x2
III. Найти производную y x от неявной функции x3arctgy y 2 x 2 y
вариант №4
I. Найти производные указанных функций:
7
2
5
2
1. y 4 x 9 x 2 x
3
2
2. y 84 x 3 3 log 9 x
3. y
93 x 2 2
arccos x
4. y arcctg 2 x
5. y 1 x
6. y
ln( 2 x 1)
3
(5 x ) 2
7. y sin 3x x 1
2
II. Найти производную второго порядка от функции: y
x3 8
x
III. Найти производную y x от неявной функции x3arctgy y 3 8
46
вариант №5
I. Найти производные указанных функций:
1
3
2
3
1. y 6 x 3x 1
2. y x 2 log 4 x
3. y x arccos x
2
arcsin x
4. y 3 x 1
5. y ln(arcsin x x )
6. y ln
3
x 2 3x
2x 1
7. y cos 2 x sin x
II. Найти производную второго порядка от функции:
y x
III. Найти производную y x от неявной функции xy ctgy
вариант №6
I. Найти производные указанных функций:
1
2
2
3
1. y 5x 2 x 3x 1
x 2
2. y
ln x
2
3. y
sin x
x 3 cos x
x2
4. y ln 3 x
5. y 5x 3x 2 x
3
2
6. y cos5 x
7. y arctgx
x 2 1
II. Найти производную второго порядка от функции: y 5
x
2
47
III. Найти производную y x от неявной функции x arctg ( x y )
вариант №7
I. Найти производные указанных функций:
1. y 5 x 3x 3 x 4 x
2. y
log 2 x 1
3
x
4
5
3. y x ctgx
tgx
x
4. y ln( 3x 2 2 x 5)
5. y 7 x
2
6. y sin 2 x
1
7. y
x
6
arcsin x
II. Найти производную второго порядка от функции: y arctg 3x
III. Найти производную y x от неявной функции x 3 y 3 x 2 y 2
вариант №8
I. Найти производные указанных функций:
1. y 5 x 3x 3 x 4 x
2. y
log 2 x 1
3
x
4
3. y x 5 ctgx
tgx
x
4. y ln( 3x 2 2 x 5)
5. y 7 x
2
6. y sin 2 x
6
48
1
7. y
x
arcsin x
II. Найти производную второго порядка от функции: y arctg 3x
III. Найти производную y x от неявной функции x3 y5 sin y x 2
вариант №9
I. Найти производные указанных функций:
1. y 24 x 9 x 2 3 x 2 3x 5 x 3
2. y
7
x2
tgx
x
x
x2
3. y
ctgx 1
3
4. y
4
x
5. y 2 ln(ln x ) ln 2 x
6. y cos x sin x
2
2
7. y tg3x sin6 x
II. Найти производную второго порядка от функции: y ln( x 1 x 2 )
x y
y
x y
III. Найти производную y x от неявной функции 8 8 8
вариант №10
I. Найти производные указанных функций:
2
7
1. y x 3 x
x cos x
2. y
1 ln x
4 5
2
x x x7 x
11
15
49
3. y
4 cos x
tgx 2 x
4. y 24 arcsin 3 x
5. y x ln x
2
6. y
1 ln sin 2 x
sin 2 x
7. y x 2 1 x
1
II. Найти производную второго порядка от функции: y ln tgx
III. Найти производную y x от неявной функции x 3 y 3 3xy 0
вариант №11
I. Найти производные указанных функций:
1. y
4
8
6
3
x
x
2. y
tgx ln x
5x
3. y
1 4 sin x
2 3 cos x
4. y log 3 2 x 2 5x 1
5. y 3tgx cos x
6. y
4 tg
x
x
7. y x x 2 x x 2
II. Найти производную второго порядка от функции: y x cos x
III.Найти производную y x от неявной функции
x 2 sin y y 3 cos x 2 x 3 y 1 0
Индивидуальные домашние задания
50
по теме «Дифференциальные уравнения»
Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ
представить в виде x, y C .)
1.1. 4 xdx 3 ydy 3x ydy 2 xy dx.
2
2
1.2. x 1 y yy 1 x 0.
2
2
1.3.
4 y 2 dx ydy x 2 ydy.
1.4.
3 y 2 dx ydy x 2 ydy.
1.5. 6 xdx 6 ydy 2 x ydy 3xy dx.
2
2
1.6. x 3 y dx y 2 x dy 0.
2
2
1.7. e 5 dy y e dx 0.
2x
2x
1 x2
1.8. yy
1 0.
1 y2
1.9. 6 xdx 6 ydy 3x ydy 2 xy dx.
2
2
1.10. x 5 y dx y 4 x dy 0.
2
1.11. y 4 e
1.12.
x
dy e
2
x
dx 0.
4 x2 y xy 2 x 0.
1.13. 2 xdx 2 ydy x ydy 2 xy dx.
2
2
51
1.14. x 4 y dx y 1 x dy 0.
2
2
1.15. e 8 dy y e dx 0.
x
x
5 y 2 yy 1 x 2 0.
1.16.
1.17. 6 xdx ydy yx dy 3xy dx.
2
2
1.18. y ln y xy 0.
1.19. 1 e
x
y y e
x
.
1 x2 y xy 2 x 0.
1.20.
1.21. 6 xdx 2 ydy 2 yx dy 3xy dx.
2
2
1.22. y 1 ln y xy 0.
1.23. 3 e
1.24.
x
yy e
x
.
3 y 2 1 x 2 yy 0.
1.25. xdx ydy yx dy xy dx.
2
2
1.26.
5 y 2 dx 4 x 2 y y dy 0.
1.27.
1 e yy e
x
x
.
1.28. 3 x y y dy 2 y dx 0.
2
2
1.29. 2 xdx ydy yx dy xy dx.
2
2
52
1.30. 2 x 2 xy 2 x y 0.
2
2
1.31. 20 xdx 3 ydy 3x ydy 5xy dx.
2
2
Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
y2
y
2.1. y 2 4 2.
x
x
2.3. y
x y
.
x y
y2
y
2.5. 2 y 2 6 3.
x
x
2.7. y
x 2y
.
2x y
3 y 3 2 yx 2
.
2.2. xy
2 y2 x2
2.4. xy
x 2 y 2 y.
3 y 3 4 yx 2
.
2.6. xy
2 y2 2x2
2.8. xy 2 x y y.
2
2
y2
y
2.9. 3 y 2 8 4.
x
x
3 y 3 6 yx 2
.
2.10. xy
2 y 2 3x 2
x 2 xy y 2
.
2.11. y
x 2 2 xy
2.12. xy
y2
y
2.13. y 2 6 6.
x
x
3 y 3 8 yx 2
.
2.14. xy
2 y 2 4x2
x 2 2 xy y 2
.
2.15. y
2 x 2 2 xy
2.16. xy 3 x y y.
y2
y
2.17. 2 y 2 8 8.
x
x
3 y 3 10 yx 2
.
2.18. xy
2 y 2 5x2
2 x 2 y 2 y.
2
2
53
x 2 3 xy y 2
.
2.19. y
3 x 2 2 xy
2.20. xy 3 2 x y y.
y2
y
2.21. y 2 8 12.
x
x
3 y 3 12 yx 2
.
2.22. xy
2 y 2 6 x2
x 2 xy 3 y 2
.
2.23. y
x 2 4 xy
2.24. xy 2 3x y y.
y2
y
2.25. 4 y 2 10 5.
x
x
3 y 3 14 yx 2
.
2.26. xy
2 y 2 7 x2
x 2 xy 5 y 2
.
2.27. y
x 2 6 xy
2.28. xy 4 x y y.
y2
y
2.29. 3 y 2 10 10.
x
x
2
2
2
Задача 3. Найти решение задачи Коши.
3.1. y y x x , y(1) 0.
2
3.2. y y ctg x 2 x sin x, y 2 0.
1
sin 2 x, y 0 0.
2
3.4. y y tg x cos x, y 4 1 2.
2
3.5. y
y
x 2 2 x, y 1 3 2.
x2
2
2
2.30. xy 4 2 x y y.
x 2 2 xy 5 y 2
.
2.31. y
2 x 2 6 xy
3.3. y y cos x
2
2
2
54
3.6. y
1
y e x x 1 , y 0 1.
x 1
3.7. y
y
x sin x, y 1.
x
2
3.8. y
y
1
sin x, y .
x
3.9. y
y
x 2 , y 1 1.
2x
2x
2 x2
2
3.10. y
y
,
y
0
.
1 x2
1 x2
3
3.11. y
2x 5
y 5, y 2 4.
x2
3.12. y
y x 1 x
e , y 1 e.
x
x
3.13. y
y
ln x
2
, y 1 1.
x
x
3.14. y
y
12
3 , y 1 4.
x
x
3.15. y
2
y x 3 , y 1 5 6.
x
3.16. y
y
3 x, y 1 1.
x
3.17. y
2 xy
1 x 2 , y 1 3.
2
1 x
55
3.18. y
1 2x
y 1, y 1 1.
x2
3.19. y
3y 2
, y 1 1.
x x3
3.20. y 2 xy 2 x , y 1 e .
1
3
3.21. y
xy
x
2
,
y
0
.
3
2 1 x 2 2
3.22. y xy x , y(0) 3.
3
3.23. y
2
2
y e x x 1 , y 0 1.
x 1
3.24. y 2 xy x e
3.25. y 2 y
x2
sin x, y 0 1.
x 1 x 1
3
, y 0 1 2.
3.26. y y cos x sin 2 x, y 0 3.
3.27. y 4 xy 4 x , y 0 1 2.
3
3.28. y
y
ln x
, y (1) 1.
x
x
3.29. y 3 x y x 1 x
2
2
3
3, y 0 0.
3.30. y y cos x sin 2 x, y 0 1.
3.31. y y x 2 x , y 1 1.
2
Задача 4. Найти решение задачи Коши.
56
4.1. y xy 1 x e x y 2 , y 0 1.
4.2. xy y 2 y ln x, y 1 1 2.
2
4.3. 2 xy y xy , y 1 2.
2
4.4. y 4 x y 4 x 1 e
3
4.5. xy y y
2
3
4 x
y 2 , y 0 1.
ln x 2 ln x,
4.6. 2 y xy 1 x e
4.7. 3 xy y y ln x,
x
y 1 1.
y 2 , y 0 2.
y 1 3.
2
4.8. 2 y y cos x y cos x 1 sin x , y 0 1.
1
4.9. y 4 x y 4 y e
3
2
4x
1 x , y 0 1.
3
4.10. 3 y 2 xy 2 xy e
2
2 x2
, y(0) 1.
4.11. 2 xy 3 y 5 x 3 y , y 1 1
2
3
2.
4.12. 3 xy 5 y 4 x 5 y , y 1 1.
4
4.13. 2 y 3 y cos x e
2x
2 3cos x y 1 ,
y 0 1.
4.14. 3 xy y xy , y 1 3.
2
4.15. y y 2 xy , y 0 1 2.
2
4.16. 2 xy 3 y 20 x 12 y , y 1 1 2 2.
2
3
57
4.17. y 2 xy 2 x y , y 0
3
3
2.
4.18. xy y y ln x, y 1 1.
2
4.19. 2 y 3 y cos x 8 12cos x e
4.20. 4 y x y x 8 e
3
3
2x
y 1 , y 0 2.
y 2 , y 0 1.
2 x
4.21. 8 xy 12 y 5 x 3 y , y 1
2
3
2.
4.22. 2 y y xy , y 0 2.
2
4.23. y xy x 1 e y , y 0 1.
x
4.24. 2 y 3 y cos x e
2
2 x
2 3cos x y 1 ,
y 0 1.
4.25. y y xy , y 0 1.
2
4.26. 2 xy y y ln x, y 1 2.
2
4.27. y y xy , y 0 1.
2
4.28. y 2 y cth x y ch x, y 1 1 sh1.
2
4.29. 2 y xy x 1 e y , y 0 2.
x
2
4.30. y y tg x 2 3 y sin x, y 0 1.
4
4.31. xy y xy , y 1 1.
2
Задача 5. Найти решение задачи Коши.
5.1. 4 y y y 1, y 0
3
4
2, y 0 1 2 2 .
58
5.2. y 128 y 3 , y 0 1, y 0 8.
5.3. yy 64 0, y 0 4, y 0 2.
3
5.4. y 2sin y cos y 0, y 0 0, y 0 1.
3
5.5. y 32sin 3 y cos y, y 1 2, y 1 4.
5.6. y 98 y , y 1 1, y 1 7.
3
5.7. yy 49 0, y 3 7, y 3 1.
3
5.8. 4 y y 16 y 1, y 0
3
4
2 2, y 0 1
2.
5.9. y 8sin y cos y 0, y 0 0, y 0 2.
3
5.10. y 72 y , y 2 1, y 2 6.
3
5.11. yy 36 0, y 0 3, y 0 2.
3
5.12. y 18sin y cos y, y 1 2, y 1 3.
3
5.13. 4 y y y 16, y 0 2 2, y 0 1
3
4
2.
5.14. y 50 y , y 3 1, y 3 5.
3
5.15. yy 25 0, y 2 5, y 2 1.
3
5.16. y 18sin y cos y 0, y 0 0, y 0 3.
3
5.17. y 8sin y cos y, y 1 2, y 1 2.
3
5.18. y 32 y , y 4 1, y 4 4.
3
59
5.19. yy 3 16 0, y 1 2, y 1 2.
5.20. y 32sin y cos y 0, y 0 0, y 0 4.
3
5.21. y 50sin y cos y, y 1 2, y 1 5.
3
5.22. y 18 y 3 , y 1 1, y 1 3.
5.23. yy 9 0, y 1 1, y 1 3.
3
5.24. y y 4 y 1 , y 0
3
4
2, y 0 2.
5.25. y 50sin y cos y 0, y 0 0, y 0 5.
3
5.26. y 8 y , y 0 1, y 0 2.
3
5.27. yy 4 0, y 0 1, y 0 2.
3
5.28. y 2sin y cos y, y 1 2, y 1 1.
3
5.29. y y y 16, y 0 2 2, y 0 2.
3
4
5.30. y 2 y , y 1 1, y 1 1.
3
5.31. yy 1 0, y 1 1, y 1 1.
3
Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения.
6.1. y 2 y 4e
x
sin x cos x .
6.2. y 4 y 4 y e sin 6 x.
2x
6.3. y 2 y 2e
x
sin x cos x .
60
6.4. y y 2cos7 x 3sin 7 x.
6.5. y 2 y 5 y sin 2 x.
6.6. y 4 y 8 y e
5sin x 3cos x .
x
6.7. y 2 y e x sin x cos x .
6.8. y 4 y 4 y e sin3x.
2x
6.9. y 6 y 13 y e
3 x
cos4 x.
6.10. y y 2cos3x 3sin3x.
6.11. y 2 y 5 y 2sin x.
6.12. y 4 y 8 y e
6.13. y 2 y 10e
x
x
3sin x 4cos x .
sin x cos x .
6.14. y 4 y 4 y e sin5x.
2x
6.15. y y 2cos5x 3sin5x.
6.16. y 2 y 5 y 17sin 2 x.
6.17. y 6 y 13 y e
3 x
6.18. y 4 y 8 y e
3sin x 5cos x .
6.19. y 2 y 6e
x
x
cos x.
sin x cos x .
6.20. y 4 y 4 y e sin 4 x.
2x
6.21. y 6 y 13 y e cos5x.
3x
61
6.22. y y 2cos7 x 3sin 7 x.
6.23. y 2 y 5 y cos x.
6.24. y 4 y 8 y e
x
2sin x cos x .
6.25. y 2 y 3e x sin x cos x .
6.26. y 4 y 4 y e sin 4 x.
2x
6.27. y 6 y 13 y e
3 x
cos8x.
6.28. y 2 y 5 y 10cos x.
6.29. y y 2cos4 x 3sin 4 x.
6.30. y 4 y 8 y e
x
sin x 2cos x .
6.31. y 4 y 4 y e sin 6 x.
2x
Индивидуальное задание по теории вероятности.
Задание 1 : Выразить в алгебре событий события B1 и B2 через Ak .
1.Стрелок делает три выстрела по мишени. События Ak -попадание при ктом выстреле, к = 1, 2, 3. B1 - произошло одно попадание; В2 - произошло хотя
бы одно попадание.
2. Отдел по контролю за качеством продукции отобрал на проверку три
готовых изделия. События Ak - к-ое изделие оказалось с дефектом, к =1,2, 3. B1 два изделия оказались с дефектом; В2 - все изделия оказались годными.
3. Трое друзей пошли вместе на прогулку. События Ak -у к-го друга есть
при себе зонтик, к = 1, 2, 3. B1 - ни у кого нет зонтика; В2-у одного есть зонтик.
62
4. Три фирмы взяли в банке кредит. События Ak - к-ая фирма вернет
кредит в срок, к = 1, 2, 3. B1 , - не менее двух фирм вернут кредит в срок; В2 одна фирма вернет кредит в срок.
5. Человек купил три лотерейных билета. События Ak - к-ый билет
выигрышный, к = I, 2, 3. B1 - один билет окажется выигрышным; В2 - менее
трех билетов окажутся выигрышными.
6. Налоговая инспекция проверила три предприятия. События Ak - к-ое
предприятие неправильно уплатило налоги, к = 1, 2, 3. B1 - обнаружено не более
одного нарушения; B2 - обнаружено не более двух нарушений.
7. В магазин зашло три покупателя. События Ak - к-ый покупатель
совершит покупку, к = 1, 2, 3. B1 - ни один не сделает покупки; В2 - хотя бы два
сделают покупки
8. В автопарке три грузовых автомобиля. События Ak - к-ый автомобиль
сломаемся в течение месяца , к = 1,2,3. B1 - все три останутся исправными; В2 все три окажутся в ремонте.
9.В экзаменационном билете три вопроса. Студент отвечает по одному
билету. События Ak - студент отвечает на к-ый вопрос, к = 1, 2, 3. B1 - студент
ответил не менее чем на два вопроса; В2 - студент ответил на все вопросы.
10.На пульте прибора имеются три кнопки. События Ak - выйдет из строя
к-ая кнопка, к = 1, 2, 3. B1 -хотя бы одна кнопка будет в рабочем состоянии; В2 все кнопки будут исправны.
Задание 2:
Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы
полной вероятности и Бейеса.
1. Имеется три партии деталей: в первой партии 15% бракованных
деталей, во второй партии - 5%, а в третьей все детали годные. Наудачу
извлечена одна деталь из наудачу взятой партии. Найти вероятность того, что
извлечена бракованная деталь.
63
2. Наборщик пользуется двумя кассами. В первой кассе 95%, а во второй 97% отличного шрифта. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная
литера из наудачу взятого шрифта окажется с дефектом.
3. В каждой из двух урн содержится 3 черных и 6 белых шаров. Из II урны
наудачу извлечен один шар и переложен в I урну, после чего из I урны наудачу
извлечен шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из I урны,
окажется белым.
4. Имеются две урны. В I урне содержится 2 черных и 8 белых шаров, во
II урне 8 черных и 2 белых шара. Из I урны наудачу извлечен один шар и
переложен во II урну, после чего из II урны наудачу извлечен шар. Найти
вероятность того, что шар, извлеченный из II урны, окажется белым.
5. Две машинистки напечатали одинаковое число страниц. Вероятность
того, что первая машинистка допустит ошибку,
равна 0,06, для второй
машинистки эта вероятность равна 0,07. При сверке текста обнаружена ошибка.
Найти вероятность того, что ошиблась первая машинистка.
6. Кинескоп, поставленный в телевизор, может принадлежать к одной из
трех партий с вероятностью р, = 0,25, р2 = 0,5, р3 = 0,25. Вероятность того, что
кинескоп проработает определенное количество часов, равна для этих партий
соответственно 0, 175; 0, 185; 0, 195. Определить вероятность того, что
кинескоп проработает заданное число часов.
7. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии
отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с
вероятностями 0, 12; 0, 13, 0, 15 к одному из трех типов, для которых
вероятность срабатывания при нарушении нормального режима работы линии
равна соответственно 1; 0, 175; 0, 16. От индикатора получен сигнал. К какому
типу вероятнее всего принадлежит индикатор?
8. Два автомата изготавливают детали, которые поступают на общий
конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате
равна 0,06, а на втором 0,08. Производительность второго автомата вдвое
64
больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера
деталь - нестандартная.
9. На базе имеются электрические лампочки, изготовленные на двух
заводах. Среди них 60% изготовлены первым заводом, а 40% - вторым.
Известно, что из 100 лампочек, изготовленных первым заводом, 90
соответствуют стандарту, а из 100 штук, изготовленных вторым заводом,
соответствуют стандарту 80. Определить вероятность того, что лампочка,
наудачу взятая с базы, будет соответствовать стандарту.
10.Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит
выстрел. Цель поражена. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,6, для третьего - 0,9. Найти
вероятность того, что выстрел произвел второй стрелок.
Задание 3
Задачи на повторные независимые испытания.
1. В магазин вошли п покупателей. Вероятность совершить покупку для
каждого из них р = 0,1. Пусть m - число покупателей, совершивших покупку.
Найти вероятности
P(k1 m k 2 ) , P(k1 m) , P(m k 2 ) ):
а)по формуле Бернулли при n = 8; k1 =1; k 2 = 3.
б)по формуле Лапласа при n = 100; k1 =5; k 2 = 20.
2. Для освещения магазина используется п электрических лампочек.
Вероятность перегореть в течение года для каждой лампочки р = 0,4. Пусть m число перегоревших в течение года лампочек. Найти вероятности P(k1 m k 2 )
, P(k1 m) , P(m k 2 ) :
а)по формуле Бернулли при n = 6; k1 =2; k 2 = 4.
б)по формуле Лапласа при n = 600; k1 =200; k 2 = 300.
3. В парке посажено n молодых деревьев. Вероятность того, что дерево
приживется, р = 0,8. Пусть m - число прижившихся деревьев. Найти
вероятности P(k1 m k 2 ) , P(k1 m) , P(m k 2 )
65
а)по формуле Бернулли при n = 7; k1 =4; k 2 = 6.
б)по формуле Лапласа при n = 400; k1 =300; k 2 = 350.
4. В соревнованиях по ловле рыбы участвуют n рыбаков. Вероятность
поймать рыбу для каждого рыбака p = 0,3. Пусть m число рыбаков, поймавших
рыбу. Найти вероятности P(k1 m k 2 ) , P(k1 m) , P(m k 2 )
а) по формуле Бернулли при n = ;6 k1 =3; k 2 = 5.
б)по формуле Лапласа при n = 120; k1 =90; k 2 = 100.
5. Банк выдал кредит n предприятиям. Вероятность своевременного
возвращения кредита
р = 0,8. Пусть m- число предприятий вернувших деньги вовремя. Найти
вероятности P(k1 m k 2 ) , P(k1 m) , P(m k 2 )
а) по формуле Бернулли при n = 5; k1 =2; k 2 = 4.
б) по формуле Лапласа при n = 100; k1 =60; k 2 = 90.
6. Монета брошена n раз. Вероятность выпадения орла р = 0,5. Пусть mчисло выпаданий орла. Найти вероятности P(k1 m k 2 ) , P(k1 m) , P(m k 2 ) :
а) по формуле Бернулли при n = 6; k1 =3; k 2 = 5.
б) по формуле Лапласа при n = 84; k1 =50; k 2 = 60.
7. Торговой сетью продано n телевизоров. Вероятность того, что
телевизор выйдет из строя в течение гарантийного срока, р = 0,2. Пусть m число телевизоров, требующих гарантийного ремонта. Найти вероятности
P(k1 m k 2 ) , P(k1 m) , P(m k 2 )
а) по формуле Бернулли при n = 7; k1 =2; k 2 = 4;
б) по формуле Лапласа при n = 100; k1 =15; k 2 = 30.
8. Контролер проверяет партию из n
деталей. Вероятность того, что
деталь соответствует стандарту, р = 0,6. Пусть m- число стандартных деталей.
Найти вероятности P(k1 m k 2 ) , P(k1 m) , P(m k 2 )
а) по формуле Бернулли при n = 6; k1 =1; k 2 = 4.
б) по формуле Лапласа при n = 225; k1 =130; k 2 = 160.
66
9. Налоговая инспекция проверяет n юридических лиц. По статистике
вероятность неуплаты налогов р = 0,4. Пусть m- число юридических лиц, не
уплативших налоги, из числа проверенных. Найти вероятности P(k1 m k 2 ) ,
P(k1 m) , P(m k 2 ) :
а) по формуле Бернулли при n = 5; k1 =1; k 2 = 3.
б) по формуле Лапласа при n = 216; k1 =80; k 2 = 120.
10. Машинистка должна напечатать n страниц текста. Вероятность того,
что на странице будет обнаружена ошибка, р = 0,2. Пусть m число страниц с
ошибками. Найти вероятности P(k1 m k 2 ) , P(k1 m) , P(m k 2 ) :
а) по формуле Бернулли при n = 7; k1 =1; k 2 = 4.
б) по формуле Лапласа при n = 100; k1 =15; k 2 = 30.
Задание 4
Вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин.
1. Кафе обслуживают четыре автоматические установки. Каждая из них в
течение дня может выйти из строя с вероятностью р = 0.3. Пусть х- число
установок
проработавших до конца дня. Составить ряд распределения
случайной величины Х. Найти М(Х), D{X).
2. Ткачиха обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение
часа станок не потребует внимания ткачихи, равна для первого станка - 0,7, для
второго - 0,7, для третьего - 0,8, для четвертого - 0,8. Пусть х - число станков, не
потребовавших внимания ткачихи в течение часа. Составить ряд распределения
случайной величины X. Найти М(Х), D{X).
3. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать
не более четырех выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле равна 0,6. Пусть х- число выстрелов, произведенных охотником.
Составить ряд распределения случайной величины X. Найти М(Х), D(X).
4. Из четырех одинаково упакованных ящиков только один содержит
изделие нужного вида. Ящики вскрывают один за другим до обнаружения
67
нужного изделия. Пусть х - число вскрытых ящиков. Составить ряд
распределения случайной величины X. Найти М(Х), D(X).
5. В партии из 20 радиоприемников имеется два неисправных. Для
проверки случайным образом отбираются три приемника. Пусть х - число
исправных приемников среди трех отобранных. Составить ряд распределения
случайной величины X. Найти М(Х), D(X).
6. Студент записан в четыре библиотеки. Вероятность того, что в какойто из библиотек свободна необходимая студенту книга, равна 0,4. Пусть х число библиотек, которые посетит студент. Составить ряд распределения
случайной величины X. Найти М(Х), D(X).
7. Партия из 50 изделий содержит 5 бракованных. Из партии наугад взято
3 изделия. Пусть х - число бракованных изделий среди трех взятых. Составить
ряд распределения случайной величины X. Найти М(Х), D(X).
8. Вероятность брака в данной партии деталей р = 0,2. Пусть х - число
бракованных изделий среди трех, выбранных из партии наугад. Составить ряд
распределения случайной величины X. Найти М(Х), D(X).
9. Батарея состоит из трех орудий. Вероятности попадания из первого,
второго и третьего орудия равны соответственно 0,6, 0,7 и 0,9. Каждое орудие
стреляет по цели один раз. Пусть х - число попаданий в мишень. Составить ряд
распределения случайной величины X. Найти М(Х), D(X).
10. Три баскетболиста должны произвести по одному броску мяча,
вероятности попадания мяча в корзину для первого, второго и третьего
баскетболиста равны соответственно 0,95, 0,85 и 0,7. Пусть х - число попаданий
мяча в корзину. Составить ряд распределения случайной величины X. Найти
М(Х), D(X).
Индивидуальные домашние задания
по теме «Основные методы математической статистики»
Задача 1. По данным выборки
1) построить статистический ряд распределения;
2) изобразить гистограмму;
68
3) вычислить выборочное среднее;
4) вычислить выборочную дисперсию.
Задача 2. Используя метод наименьших квадратов, найти параметры
зависимости y = f(ax + b) :
а) в предположении, что эта зависимость линейна;
б) в предположении, что зависимость нелинейна, выбрав по форме
данных ее наиболее вероятный вид. В ответе требуется указать:
1) коэффициенты a и b для линейной зависимости;
2) форму нелинейной зависимости;
3) коэффициенты a и b для нелинейной зависимости;
4) величины средних квадратических отклонений для линейного и
нелиней-ного случая.
Задача 3. По данным выборки, удовлетворяющей нормальному закону
распределения, вычислить:
1) выборочное среднее;
2) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение;
3) доверительный интервал для математического ожидания при
доверитель-ной вероятности γ;
4) доверительный интервал для среднего квадратического отклонения
для того же значения γ.
Задача 4. По данным выборки, удовлетворяющей нормальному закону
распределения со средним квадратическим отклонением s , вычислить
1) выборочное среднее;
2) доверительный интервал для математического ожидания при
доверительной вероятности γ.
Задача 5. По данным выборки двумерной случайной величины
определить:
1) вектор математического ожидания;
2) вектор дисперсии;
3) выборочный коэффициент корреляции;
69
4) выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X в виде Y = aX
+ b.
Задача 6. По данным двух выборок вычислить коэффициенты ранговой
корреляции Спирмена и Кендалла.
Варианта ИДЗ
Вариант №1
Задача 1.
2.0 4.8 5.2
3.3 2.8 2.5
2.2 3.1 2.1
2.3 2.4 2.9
3.3 1.4 2.6
2.3 5.4 3.3
3.8
1.4
2.1
2.2
2.6
3.1
3.5
3.2
3.2
3.6
1.8
2.8
3.2
3.5
2.5
2.1
4.3
2.7
3.2
2.2
2.1
3.2
1.8
2.7
3.9
2.3
2.9
2.3
0.7
1.8
4.9
3.5
2.8
2.9
4.6
2.8
2.8
3.5
3.1
2.0
3.0
4.6
3.7
4.1
4.3
4.7
1.9
2.7
Задача 2.
X
2.0 3.0
4.0 5.0 6.0
7.0 8.0
Y 16.9 19.5 24.5 31.0 35.2 41.3 48.2
1.8
4.4
2.8
3.5
3.7
1.4
3.4
2.3
4.0
2.8
3.2
3.9
2.3
1.9
2.3
3.0
2.6
3.7
3.2
2.2
2.7
-0.2
2.6
2.5
4.5
3.8
2.4
3.6
4.2
0.5
3.4
2.4
3.1
2.9
9.0 10.0 11.0
57.0 64.6 72.3
Задача 3.
γ = 0.95
18.3 15.5 24.5 24.7 18.0 13.3 15.4 10.1 23.1 19.3 5.7 11.6 14.3 -4.5 20.3 32.3
Задача 4.
s = 9, γ = 0.99
38.3 26.1 10.5 26.9 25.4 12.1 12.3 15.1 14.0 21.6 23.5 13.0 21.4 24.1 26.6
25.8 12.7 15.2 32.9 22.1 25.7 13.6 27.8 22.8 10.1 27.8 23.8 19.8 24.7 29.2
24.4 5.6 19.4 30.1 15.3 8.4 14.2 22.8 30.8 36.2 22.0 20.5 14.1 18.6 14.7
24.1 26.9 26.2 8.8 22.5 26.3 37.0 37.3 25.1 17.4 37.1 29.6 27.9 30.1 6.2
20.8 27.0 19.2 20.9 28.0 22.2 12.7 15.5 19.6 24.5 24.2 35.4 34.7 25.1 14.1
19.6 40.8 18.4 30.1 26.1 43.0 40.3 27.4 20.1 29.2 25.0 31.5 34.7 5.1 24.6
8.1 33.7 32.2 10.3 29.0 12.6 26.0 28.4 11.1 33.4
Задача 5.
( 41.2, 116.5) (48.1, 124.6) ( 53.2, 153.9) ( 39.1, 99.0) ( 50.2, 191.6) ( 39.0, 94.9) (
39.4, 100.2) ( 50.2, 178.6) ( 48.3, 118.7) ( 39.6, 117.0) ( 41.3, 81.7) ( 35.2, 88.0)
( 47.9, 159.4) ( 34.6, 124.4) ( 33.2, 103.4) (35.7, 94.9) ( 36.8, 90.8) ( 50.8, 180.5) (
44.5, 152.0) ( 46.3, 167.6) ( 34.8, 84.6) ( 39.2, 124.5) ( 36.8, 131.7) ( 46.0, 99.8)
( 40.4, 144.8) ( 41.5, 120.6) ( 44.5, 109.7) ( 38.9, 93.5) ( 49.8, 136.8) ( 45.6, 107.6) (
33.0, 102.9) (47.6, 102.9) (32.5, 116.7) ( 42.0, 134.0) ( 54.1, 157.9) ( 35.4, 109.1)
70
( 37.9, 92.4) ( 38.6, 120.7) ( 35.6, 96.1) ( 33.6, 73.2) ( 27.7, 61.5) ( 47.1, 95.0)
( 29.9, 82.8) ( 50.1, 110.5)
Задача 6.
Выборка 1: 63 28 92 36 90 40 7 75 53 12 14 30 17 93 86 64
Выборка 2: 58 31 4 60 30 92 59 27 82 56 52 95 54 8 49 36
Вариант №2
Задача 1.
34.0 36.1
34.5 34.6
34.4 34.3
34.1 34.4
34.5 34.8
34.9 35.0
35.2 34.6
Задача 2.
X
2.0
Y
1.1
34.3
34.2
34.0
34.2
34.1
35.8
34.3
3.0
0.7
34.4
34.4
34.0
34.6
36.2
35.1
34.9
34.1
34.2
36.4
35.0
34.0
35.5
34.1
4.0
3.1
35.6
34.8
34.1
34.1
34.2
34.8
34.2
35.9
35.0
35.1
35.0
34.7
34.8
35.1
34.4
34.8
34.7
34.6
35.8
36.4
37.5
35.2
37.7
34.1
34.3
35.1
34.9
35.1
34.2
34.3
34.1
34.3
35.3
34.5
34.0
35.8
36.0
34.2
34.3
34.4
34.5
35.2
36.0
34.2
34.1
35.2
34.6
34.3
35.1
34.6
36.5
35.9
34.4
34.8
34.2
35.0
34.2
35.7
35.0
35.1
34.2
36.5
34.8
34.7
34.1
5.0 6.0 7.0
8.0
9.0
10.0
11.0
6.9 19.8 55.2 147.4 404.2 1096.8 2981.5
Задача 3.
γ = 0.999
8.0 -1.1 13.5 10.0 2.4 4.1 20.0 12.4 13.4 4.8 7.8 0.0 10.9 13.7 6.6
Задача 4.
s = 7, γ = 0.99
13.4 8.6 22.1 2.3 14.6 13.0 11.1 29.4 23.3 1.7 13.6 2.1 21.6 6.1 8.6 6.6
16.0 11.6 16.6 1.6 15.8 18.9 10.6 11.9 0.1 10.7 3.8 -3.6 15.4 7.9
4.5 17.7 10.8 19.6 18.5 15.5 9.3 21.7 6.6 10.5 10.4 8.2 16.0 22.6 20.5 11.6
23.2 23.0 9.5 11.3 14.9 19.9 13.4 13.9 19.5 19.8 21.0 3.2 14.0 19.1
17.9 8.6 11.2 16.2 13.9 16.2 17.1 7.7 12.5 2.7 16.5 20.2 15.5 14.5 5.6
16.5 12.3 9.9 11.9 17.6 6.6 20.3 9.7 13.2 17.4 5.1 13.0 23.3 6.8 9.8
15.5 16.2 18.4 9.2 5.7 10.9 8.8 7.4 16.2 9.9
Задача 5.
( 50.0, -92.8) ( 27.4, -49.5) ( 47.7,-105.8) ( 35.1, -67.0) ( 30.5, -55.7) ( 39.5, -67.3) (
54.8, -89.1) ( 57.3,-134.2) (43.0,-109.1) ( 43.7, -68.7) ( 34.6, -74.6) ( 47.2,-105.6)
( 42.4,-106.2) ( 57.6,-164.1) ( 38.8, -59.7) ( 37.3, -81.7) (35.5, -67.2) ( 41.9,-119.3) (
23.0, -64.2) ( 45.3, -96.5) ( 51.5,-148.9) ( 50.9,-118.5) (58.6,-151.8) ( 33.6, -65.7)
( 31.2, -83.0) ( 35.3, -68.9) ( 49.8, -87.0) ( 38.5, -58.9) ( 32.9, -71.8) ( 54.4,-103.4) (
39.3, -58.7) ( 46.0,-107.7) ( 25.0, -43.4) ( 31.6, -70.0) ( 29.0, -76.4) ( 27.4, -56.9)
71
( 46.4,-111.0) ( 35.0, -71.5) ( 39.5,-104.4) ( 27.1, -47.6)
Задача 6.
Выборка 1: 93 70 90 61 14 79 60 50 39 6
Выборка 2: 64 61 58 54 24 42 5 19 45 7
Вариант №3
Задача 1.
12.8 12.3
14.4 13.0
14.4 15.7
13.6 12.0
14.1 12.5
14.0 12.9
12.6 13.1
Задача 2.
X
1.0
Y
0.8
14.7
12.3
12.2
16.4
13.8
12.7
12.9
2.0
0.2
12.2
12.3
12.2
12.3
19.1
16.2
12.2
13.2
15.1
15.0
14.2
15.8
14.5
12.9
3.0
3.6
12.0
14.2
12.4
14.1
13.8
19.0
15.3
15.2
12.5
12.5
12.2
14.8
20.0
13.7
13.2
15.9
12.9
13.3
15.1
13.5
12.6
12.3
12.0
13.6
12.4
12.0
13.3
12.3
4.0 5.0 6.0
7.0
7.3 19.2 53.7 147.6
13.7
14.8
12.2
12.6
13.3
13.1
18.8
14.3 12.5 12.2 13.9 16.2
12.1 19.9 12.8 12.8 12.8
13.4 12.1 13.1 12.6 14.2
13.5 14.8 12.6 21.8 12.9
17.5 15.8 13.3 12.3 12.8
12.7 13.0 17.0 18.7 17.0
8.0
9.0
10.0
404.2 1096.2 2981.2
Задача 3.
γ = 0.95
31.6 34.9 46.9 42.8 36.0 26.2 28.6 48.5 27.7 45.8 32.0 41.2 39.8 33.1 36.3
53.5 43.9 35.8 32.9 34.4
Задача 4.
s = 6, γ = 0.95
23.1 10.3 0.1 4.9 6.3 5.4 8.6 5.1 5.2 0.7 1.9 7.1 4.8 9.3 2.3 6.8 -4.2
4.5 3.2 8.2 2.2 -0.3 13.0 1.6 7.3 2.4 -1.0 3.0 9.9 0.9 1.1 5.0 12.7 6.0
8.9 -5.8 12.2 -0.3 10.3 7.3 7.7 8.3 4.5 1.2 7.8 -2.9 -5.7 9.1 4.3 -4.3 -1.0
-6.6 1.4 4.7 9.0 4.5 16.7 -1.6 1.3 6.5 12.4 0.4 8.1 6.5 6.8 13.0 7.6 0.7 11.9 9.9 11.6 15.2 1.0 11.1 5.7 11.2 0.3 4.7 8.3 1.6
0.5 5.7 0.0 3.0 4.7 10.4 -4.8 5.2 2.2 -4.8 3.0 5.5 10.4 0.2 -3.8 0.7 11.2
4.8 10.3 8.2
Задача 5.
( 62.1, -89.2) (17.3, -40.6) ( 36.8, -81.4) ( 31.3, -50.0) ( 33.7, -56.3) ( 36.0, -49.6)
( 48.5, -65.2) ( 16.3, -22.2) ( 22.3, -47.2) ( 32.2, -70.4) ( 48.0, -87.9) ( 27.0, -45.5)
( 36.1, -49.7) ( 35.6, -65.8) ( 39.7, -84.2) ( 23.9, -53.5) ( 49.2, -83.7) ( 22.4, -27.8)
( 23.4, -51.7) (35.7, -83.6) ( 46.0,-101.2) ( 52.4,-109.1) ( 43.9,-106.1) ( 44.5, -68.3)
( 28.0, -47.8) ( 52.3, -72.5) ( 27.7, -63.7) ( 30.8, -41.7) ( 38.5, -75.4) ( 44.2, -55.9)
( 21.5, -49.9) ( 32.3, -71.8) ( 81.7,-110.2) ( 31.1, -52.8) ( 48.0, -63.8) ( 34.1, -82.2)
72
( 41.6, -58.1) ( 41.1, -73.4) ( 34.5, -65.4) ( 52.3, -78.1) ( 51.5,-121.0) ( 27.5, -58.8)
Задача 6.
Выборка 1: 61 85 36 80 53 71 65 83 18
Выборка 2: 51 25 89 32 85 37 62 47 43
Вариант №4
Задача 1.
40.2 31.8
50.9 41.3
29.8 28.5
28.2 42.1
28.9 26.4
24.1 26.7
41.6 24.6
31.2
46.0
28.8
39.2
46.4
31.0
47.4
29.1
33.8
33.4
42.0
35.4
33.3
25.7
Задача 2.
X
2.0
Y
3.0
3.0
3.7
4.0
4.2
25.7
28.0
32.5
24.0
36.6
30.8
31.2
5.0
4.8
37.5
30.9
46.6
24.2
36.6
32.2
38.2
49.1
34.5
39.4
28.1
29.3
29.3
42.5
6.0
4.8
28.9
48.8
38.6
48.4
33.7
36.2
40.3
7.0
5.3
36.7
32.3
41.6
37.7
25.0
45.8
26.6
8.0
5.0
30.6
40.9
41.4
36.4
33.3
26.6
39.8
44.1
35.8
36.1
38.9
28.0
45.2
31.1
43.8
31.8
35.3
46.2
49.9
44.9
28.1
47.6
38.9
28.0
33.6
40.0
27.0
34.0
44.1
41.7
46.1
31.0
33.0
28.2
45.3
31.3
47.8
9.0 10.0 11.0
6.3 7.2 6.8
Задача 3.
γ = 0.999
25.4 31.1 13.2 23.0 19.1 26.5 23.2 29.2 24.8 26.6 29.3 21.4 28.2 38.2 19.9
30.6 24.5 23.2
Задача 4.
s = 6, γ = 0.95
35.5 11.9 17.0
38.7 19.2 18.8
19.6 16.4 26.3
25.2 23.0 29.0
19.7 21.5 25.9
29.7 22.1 32.5
24.9 22.3 30.2
19.6
28.3
23.2
19.7
17.6
26.7
26.7
20.4
25.9
35.1
20.2
24.7
23.3
21.9
23.7
28.5
22.5
27.0
13.1
39.6
35.1
20.8
22.6
29.1
29.1
22.9
17.7
16.7
23.6
21.4
23.7
32.5
25.8
20.7
31.0
20.6 27.5 24.6 29.1 20.8 30.0 17.2
18.1 26.3 10.5 22.6 22.5 28.2 27.2
22.8 19.9 30.8 33.6 20.5 17.3 34.5
25.7 18.5 31.6 23.1 26.2 17.4 32.2
25.8 27.2 30.8 28.7 16.9 21.7 20.6
9.6 21.5 24.8 28.0 26.2 28.4 26.8
20.5 29.1
Задача 5.
( 40.2,-135.8) (48.5,-145.2) (56.4,-128.6) (53.3,-119.6) (44.1,-134.1) ( 46.4,-129.0) (
42.9,-129.7) (47.1,-123.1) (57.5,-153.4) (50.5,-153.6) ( 40.4, -77.5) ( 43.2,-124.7)
( 59.6,-148.4) (54.8,-159.3) (45.2, -88.2) (39.4,-109.7) ( 37.9,-123.5) ( 45.4,-165.9) (
41.5, -85.9) ( 34.3,-109.3) (47.6,-129.4) (47.6,-167.8) ( 57.1,-202.7) ( 35.0, -66.6)
( 35.6, -69.1) (53.5,-147.7) (47.7,-171.0) (41.3,-132.0) ( 53.4,-134.8) ( 47.0,-132.3)
(39.7, -74.7) ( 36.7,-120.6) ( 48.6, -91.7) ( 43.6,-102.1) ( 38.8,-135.7) ( 39.8, -90.6)
73
( 43.2,-156.7) ( 39.5, -80.0) ( 42.0,-105.3) ( 51.7,-177.1)
Задача 6.
Выборка 1: 3 26 29 15 11 23 81 86 80 46 10 34
Выборка 2: 37 97 45 14 95 27 75 99 24 23 60 2
Вариант №5
Задача 1.
14.6 15.2
15.5 15.5
14.4 16.3
15.1 14.4
14.8 14.4
14.4 14.0
14.0 14.1
Задача 2.
X
1.0
Y
0.1
14.1
14.2
14.1
16.0
15.8
14.1
15.7
2.0
1.5
14.1
14.4
14.1
16.3
14.1
15.4
14.8
15.0
14.4
14.6
15.5
15.4
15.4
14.1
3.0
2.8
14.0
14.4
14.2
15.8
14.8
14.4
14.6
15.0
16.4
14.9
18.3
14.2
15.5
14.0
15.1
15.7
14.7
14.2
14.0
14.8
14.1
15.5
14.4
14.8
16.0
14.4
15.7
15.5
15.9
14.1
15.5
14.9
16.2
14.1
15.4
15.5
15.5
16.4
14.0
14.6
14.7
14.2
14.9
14.6
14.2
14.0
14.6
14.0
15.1
14.5
14.2
17.4
14.4
14.5
15.1
14.9
14.2
15.9
14.2
14.7
14.8
14.2
14.9
15.3
16.6
4.0 5.0 6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
8.2 20.2 55.4 147.5 403.0 1097.6 2980.0
Задача 3.
γ = 0.95
10.5 5.5 12.6 27.0 25.0 31.2 15.9 15.3 17.4 32.8 30.3 9.5 17.7 16.4 15.9
Задача 4.
s = 5, γ = 0.95
41.9 34.5 38.3
36.3 41.7 33.6
38.4 38.1 34.5
37.1 31.7 36.2
35.4 32.2 42.6
51.8 42.3 35.2
40.2 40.9 35.5
35.0
37.9
37.0
35.5
40.1
38.2
31.6
31.0
40.0
39.8
29.6
35.8
45.3
39.1
38.5
35.9
33.7
38.3
44.8
29.9
36.8
36.4
43.4
37.2
42.2
32.9
34.6
34.9
36.8
43.3
41.1
34.2
31.4
38.7
41.1
38.8
31.3
37.0
40.5
41.9
29.0
41.4
37.0
26.9
41.8
28.6
48.4
31.9
40.6
45.4
40.4
39.0
32.1
45.0
28.6
39.3
40.5
42.6
37.9
38.1
36.6
46.2
37.9
32.7
36.2
43.0
37.4
42.9
32.4
45.3
43.0
31.1
32.5
35.0
35.2
40.9
31.7
42.5
32.3
Задача 5.
(25.0, 101.1) ( 46.4, 123.7) ( 44.8, 131.2) ( 40.7, 143.4) (17.5, 59.9) ( 27.8, 96.8) (
35.0, 71.2) ( 37.1, 99.0) (47.1, 135.5) ( 23.2, 63.7) ( 38.8, 85.4) ( 29.2, 105.4)
(39.8, 131.1) ( 34.9, 115.1) ( 59.1, 149.8) ( 30.9, 62.9) (38.3, 150.5) ( 38.8, 151.8) (
58.1, 205.8) (50.9, 110.8) ( 65.7, 253.4) ( 35.3, 111.3) ( 49.8, 162.4) ( 23.3, 83.1)
( 31.6, 126.7) ( 37.9, 91.8) ( 26.1, 67.9) ( 37.3, 108.7) (31.5, 96.9) ( 66.0, 134.9)
( 41.4, 164.0) ( 46.9, 120.0) ( 45.2, 93.4) ( 50.3, 155.0) ( 26.1, 72.9) ( 46.8, 96.8)
74
( 41.5, 103.5) ( 28.9, 110.6) ( 20.5, 51.4) ( 35.9, 87.9) ( 28.8, 102.4) ( 45.0, 118.9) (
47.3, 176.6)
Задача 6.
Выборка 1: 95 64 66 88 63 57 5 89 61 58 87 93 14
Выборка 2: 90 36 65 16 7 94 1 93 12 11 44 92 13
Вариант №6
Задача 1.
40.6 29.8
31.0 32.2
32.5 29.3
34.7 30.0
32.1 25.5
33.2 27.7
33.9 32.6
27.6
37.4
32.1
29.2
30.9
33.6
31.4
32.5
32.4
30.1
31.7
31.6
32.1
28.8
36.1
31.5
36.5
30.4
29.8
35.4
35.5
28.4
32.2
27.2
36.6
33.9
32.2
28.8
30.2
32.8
34.0
28.5
29.0
27.7
36.6
32.0
34.4
30.9
30.6
32.9
31.1
28.2
31.2
25.5
30.9
36.6
30.9
31.6
33.2
28.6
31.0
27.6
37.8
29.6
33.2
29.5
34.2
36.3
34.4
33.6
30.7
30.1
35.3
30.8
36.3
30.2
33.3
29.6
34.2
34.3
28.9
29.9
36.3
29.1
32.5
30.2
28.4
27.4
29.7
26.1
37.6
33.2
32.3
34.2
39.1
31.7
Задача 2.
X 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0
Y 6.3 5.4 5.4 6.3 6.5 8.0 7.3 8.2 7.9 7.7 9.3 8.5 9.6
Задача 3.
γ = 0.999
13.5 10.7 25.2 10.8 21.6 0.8 1.4 17.1 0.6 12.0 -4.5 2.2 11.0 22.9 4.7 9.5
Задача 4.
s = 8, γ = 0.90
13.7 32.5 11.0
21.7 20.3 23.2
16.1 26.2 20.2
19.8 17.4 29.2
14.5 27.7 25.5
23.2 -1.1 14.8
11.2 14.1 26.1
11.0
14.5
24.1
17.6
14.5
28.5
20.5
Задача 5.
( 28.4, 45.3) ( 19.4,
( 41.0, 82.3) ( 21.9,
( 26.0, 41.8) ( 39.1,
( 33.6, 79.6) ( 17.8,
( 21.4, 42.5) ( 48.1,
20.1
16.3
23.5
27.0
11.1
32.3
14.5
1.6 29.6 37.9 35.1 45.5 21.6 21.1 4.8 13.9 25.6
21.6 19.3 24.4 16.3 11.6 33.9 7.5 16.5 4.4 32.1
13.9 28.1 19.2 34.8 14.3 7.4 9.4 30.1 14.2 6.9
16.8 9.2 26.5 25.5 41.9 22.4 14.3 25.8 19.9 6.9
26.2 20.5 23.7 12.0 23.4 12.8 17.5 24.1 32.0 21.1
13.5 13.4 8.0 12.8 27.0 9.5 25.5 15.0 22.9 26.4
27.3 17.9 24.4 16.5 23.2
26.3) ( 36.2,
26.8) ( 32.2,
53.4) ( 40.4,
28.6) ( 35.2,
98.5) ( 29.4,
58.9) ( 29.2,
64.8) ( 39.0,
64.5) ( 38.6,
64.3) ( 39.1,
56.8) ( 22.1,
59.6) ( 29.8,
81.2) ( 24.6,
75.2) ( 33.7,
72.8) ( 39.0,
35.6) ( 28.1,
64.8) ( 31.0, 47.6)
35.1) ( 22.7, 32.7)
46.6) (41.6, 64.1)
59.9) ( 30.9, 58.7)
61.0) ( 38.3, 78.0)
75
( 29.7, 55.1) ( 62.2, 110.4) ( 39.6, 73.1) ( 27.1, 58.3) ( 40.0, 73.3) ( 30.2, 47.2)
( 17.4, 22.6) ( 36.2, 49.7) ( 28.1, 38.3) ( 30.2, 53.5) ( 19.5, 43.7) ( 31.1, 73.7)
Задача 6.
Выборка 1: 32 35 74 29 53 3 41 18 56
Выборка 2: 32 99 70 78 46 10 36 12 64
Вариант №7
Задача 1.
28.1 31.9
28.6 30.6
26.1 22.7
23.6 38.6
25.5 24.5
36.0 25.9
36.1 24.2
26.2
27.6
28.4
23.0
24.9
22.2
28.0
31.2
25.0
35.4
22.4
30.6
32.5
37.3
26.3
28.0
29.6
34.6
27.8
25.2
33.7
23.8
26.4
25.1
31.2
23.0
28.2
29.0
22.9
26.8
26.1
38.3
33.3
30.9
41.4
23.1
28.9
25.6
24.5
32.5
25.2
24.1
34.1
27.4
28.2
27.9
28.5
43.1
27.2
26.8
24.4
35.3
25.3
24.0
27.0
22.8
28.6
22.7
33.0
22.6
22.2
23.5
31.5
23.0
39.1
34.2
25.6
26.2
27.5
24.9
29.5
24.2
23.1
22.4
33.9
25.7
36.2
25.9
35.7
27.0
24.9
23.5
24.7
30.9
28.6
35.3
Задача 2.
X 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0 20.0
Y 25.6 35.1 48.7 63.2 81.5 99.2 120.2 143.9 168.1 196.3 225.6 256.9 288.6
Задача 3.
γ = 0.999
9.4 21.2 9.3 9.7 14.4 5.8 18.7 8.2 13.4 6.5 17.2 5.9 2.2 5.0 3.3 15.6
Задача 4.
s = 6, γ = 0.99
42.9 33.4 34.7
37.4 48.8 48.2
31.4 41.1 41.4
33.3 39.7 38.3
36.0 49.0 48.0
33.8 43.9 33.6
38.9 33.6 36.7
37.7
46.3
46.1
39.9
30.6
38.5
45.1
37.6
37.8
41.3
43.1
44.6
34.3
34.8
32.3
37.2
44.4
42.8
36.3
41.5
40.5
50.1
36.0
47.6
39.9
44.7
45.8
41.4
42.7
46.0
40.5
48.1
35.9
37.0
27.3
41.6
38.9
34.8
29.9
42.7
47.9
36.4
39.0
35.5
37.5
37.2
38.5
43.9
41.8
29.4
42.8
37.4
30.6
42.4
35.9
38.5
40.8
46.1
40.3
33.5
43.9
28.6
41.8
40.2
37.0
31.3
46.7
44.5
29.3
39.0
47.5
53.1
41.0
41.2
34.5
41.2
36.3
49.4
45.0
Задача 5.
( 43.0,-122.1) (61.7,-203.7) (36.9,-112.6) (62.5,-134.8) ( 40.9,-117.7) ( 38.2, -78.0)
(47.5,-138.2) (62.8,-137.8) ( 42.1, -81.5) ( 67.2,-143.9) ( 42.7, -85.2) ( 48.2,-110.3)
(35.1, -91.5) ( 47.3,-165.1) ( 38.0,-123.0) ( 37.1, -95.2) ( 39.3, -96.9) ( 54.4,-148.5)
(32.8,-108.4) (51.3,-118.6) (44.8,-110.5) (52.4,-152.5) ( 76.2,-242.1) ( 57.0,-180.0)
76
(44.2, -91.3) (46.8,-128.0) (61.6,-163.5) ( 52.8,-114.0) ( 63.9,-195.8) ( 43.7,-114.5)
(67.4,-224.4) (44.0,-103.8) (54.1,-105.8) ( 39.4,-135.4) ( 52.6,-155.6) ( 51.5, -95.1)
(54.6,-153.7) (55.8,-145.3) (52.5,-173.9) ( 74.4,-195.9) ( 34.5, -97.5) ( 57.2,-179.3) (
46.1,-145.1)
Задача 6.
Выборка 1: 99 53 48 2 80 56 72 17 49 27
Выборка 2: 100 54 33 14 67 6 21 10 97 27
Вариант №8
Задача 1.
25.6 29.3
27.5 31.5
30.6 24.1
24.2 33.6
37.1 27.9
30.1 25.3
27.7 30.9
24.0
25.7
26.0
24.5
25.4
24.2
36.6
26.5
26.5
25.4
24.4
26.1
28.9
26.7
27.1
24.1
26.6
24.1
25.7
25.9
32.4
25.2
28.4
24.4
28.3
30.5
24.9
26.3
29.1
24.2
25.2
24.7
27.3
25.8
24.6
24.0
28.4
24.4
25.0
28.0
27.3
39.6
29.6
24.2
24.5
26.4
26.3
25.4
24.2
27.6
25.3
25.4
27.4
29.3
25.4
25.8
30.3
24.4
26.0
24.4
26.4
28.2
25.1
25.0
25.9
29.5
27.6
25.7
26.1
28.6
24.0
27.2
33.5
24.0
24.2
24.9
27.4
25.0
24.8
29.4
25.9
29.3
24.4
26.0
24.6
24.2
Задача 2.
X
9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0
Y 80.5 100.6 120.0 144.3 169.0 195.2 224.5 255.6 289.9 323.3 361.4
Задача 3.
γ = 0.99
18.6 30.6 29.4 32.1 23.1 32.5 32.9 27.7 32.5 38.4 27.9 19.6 27.5 31.9 42.9
32.9 33.6 25.8 39.9 48.9
Задача 4.
s = 7, γ = 0.90
-0.1 -2.9 -1.1 -1.7 9.6 11.6 9.1 1.3 10.1 1.1 8.8 12.8 -6.9 14.5 5.8 5.9
18.1 20.4 6.0 -0.3 6.8 10.0 17.8 -0.4 17.3 16.3 12.3 9.8 0.3 8.9 10.8 24.6
5.4 8.0 7.9 4.3 5.3 0.2 -1.0 11.7 14.3 29.2 7.1 9.4 7.5 -12.8 13.5 15.0
5.2 11.5 1.9 12.6 6.8 6.9 7.5 -6.0 4.7 17.5 18.2 13.3 17.5 6.6 -0.4 7.4
7.6 14.9 18.8 8.3 3.1 -3.7 3.3 -2.6 3.9 7.6 7.5 20.9 16.3 12.7 7.8 0.5
2.6 14.1 -2.4 1.5 -4.1 2.5 4.7 -2.5 3.2 1.5 2.3 2.3 9.0 2.1 -5.2 22.2 4.7
17.2 3.2 2.6
Задача 5.
(38.4,-115.7) (52.6,-113.5) ( 38.8,-126.5) ( 12.1, -34.6) ( 44.9,-164.8) ( 21.4, -51.1) (
26.0, -85.3) ( 24.9, -84.7) ( 34.7, -91.3) ( 35.3,-124.1) ( 17.5, -36.6) ( 25.0, -72.3)
77
( 15.4, -47.6) ( 31.6, -68.4) ( 35.3, -71.9) ( 19.6, -63.7) ( 41.5,-110.4) ( 47.0,-108.3)
(36.2,-128.4) (25.5, -92.9) ( 39.9,-136.0) ( 33.7, -91.1) ( 34.8,-114.5) ( 29.8,-100.4)
( 27.9, -65.7) ( 36.5, -71.4) ( 19.3, -37.8) ( 13.6, -38.6) ( 32.2,-117.6) ( 22.6, -82.4) (
33.4, -79.5) ( 16.0, -39.0) ( 23.6, -63.8) ( 35.8, -94.1) ( 33.2, -80.0) ( 36.4,-101.8)
( 34.3,-117.3) ( 44.7,-170.2) ( 51.0,-143.3) ( -0.7, 7.9) ( 19.9, -41.2) ( 24.8, -79.7) (
29.0, -75.3) ( 43.8,-166.4)
Задача 6.
Выборка 1: 60 25 76 17 95 9 1 57 94
Выборка 2: 54 42 7 46 26 62 69 20 16
Вариант №9
Задача 1.
33.3 42.2
38.8 30.1
30.9 67.5
35.7 66.1
31.8 33.7
35.6 44.9
30.0 37.9
35.1
32.3
30.9
31.2
34.3
32.4
33.0
35.8
34.5
31.6
31.0
47.0
40.9
30.8
Задача 2.
X
2.0
Y
0.6
3.0
0.0
4.0
0.8
46.1
42.8
30.8
40.9
30.2
46.4
30.5
5.0
0.9
37.6
31.2
41.1
36.7
32.0
30.6
31.7
40.1
39.4
35.5
40.3
41.4
32.8
37.0
6.0
3.4
30.5
38.7
33.6
33.1
30.9
30.1
47.1
34.3
40.9
32.0
30.6
33.6
69.2
34.2
31.6
49.2
33.5
39.3
38.9
34.4
37.4
31.9
33.1
30.0
31.5
50.9
32.2
50.9
30.3
50.8
32.9
68.5
55.3
30.7
38.1
60.8
38.4
30.7
42.6
43.4
49.2
30.6
47.2
32.6
35.2
40.1
39.4
42.7
34.4
40.8
74.3
7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0
7.4 19.6 54.1 147.8 403.5 1097.3
Задача 3.
γ = 0.99
33.4 34.7 39.3 30.9 25.9 40.2 32.7 44.1 36.1 41.7 37.0 28.6 44.4 33.2 41.7
35.3 41.5 43.6
Задача 4.
s = 5, γ = 0.99
37.8 42.0 29.6
40.8 34.3 32.8
30.5 31.4 34.0
37.5 31.9 38.0
36.6 32.4 35.1
32.1 34.0 27.9
30.2 38.0 33.0
Задача 5.
33.2
43.4
37.7
38.0
33.0
36.1
38.2
39.6
37.3
37.9
42.8
38.6
37.7
34.6
36.9
29.2
36.5
45.2
36.1
38.7
28.0
35.9
37.2
41.6
37.6
40.0
38.5
35.7
32.6
51.1
37.1
32.2
28.3
33.6
37.9
27.8
42.1
30.0
39.6
38.1
31.0
33.7
43.3
30.4
36.4
30.3
37.5
35.5
36.8
34.9
41.4
42.2
32.3
31.5
35.4
34.2
33.3
34.8
39.1
39.6
41.0
38.0
23.6
40.6
36.5
38.5
28.3
36.9
32.3
37.8
29.4
38.8
39.0
40.1
37.4
39.4
35.7
37.4
39.2
78
(30.5, -68.6) ( 37.7,-103.2) ( 39.6,-136.6) ( 36.7,-120.7) ( 38.6, -92.5) ( 28.2, -87.6) (
37.4, -95.6) ( 28.3, -83.1) ( 40.0,-133.4) ( 31.9, -58.6) ( 27.3, -62.8) ( 25.7, -81.2)
( 30.8, -65.7) ( 38.3, -70.1) ( 34.8,-113.6) ( 26.3, -86.7) ( 35.7, -89.5) ( 40.2,-128.0) (
29.6, -92.4) ( 30.9, -94.7) ( 39.7,-132.5) ( 38.8, -87.3) ( 30.1, -61.1) ( 35.4, -89.0)
(38.2, -75.5) ( 44.4,-116.1) ( 34.2, -99.5) ( 41.3,-142.5) ( 36.4,-124.5) ( 30.2, -66.1) (
35.9, -93.3) ( 34.1, -96.5) ( 30.0,-101.6) ( 29.3, -82.6) ( 32.2,-111.9) ( 38.7, -77.9)
(35.5,-109.5) ( 40.5,-130.4) ( 33.9, -96.1) ( 33.5, -58.8) ( 36.7, -96.8) ( 38.6,-130.2) (
37.0,-109.1)
Задача 6.
Выборка 1: 26 41 6 12 23 8 91 20 90
Выборка 2: 98 53 9 21 3 5 93 38 47
Вариант №10
Задача 1.
0.8 -0.1 -2.5 -1.0
-4.3 -6.1 -2.7 9.2
0.8 0.2 2.4 -3.4
2.2 -3.2 -8.1 -4.4
0.2 5.7 0.4 -0.7
-1.2 -2.1 -8.2 1.8
1.8 -11.3 -3.5 -2.5
-0.8
-3.4
1.9
-8.8
-5.2
-1.4
1.9
-2.7
0.7
3.5
-1.7
1.6
-2.1 0.3 3.5 0.5 -1.0 0.9
-1.9 -5.2 -12.8 -2.5 3.7 -2.6
-1.1 1.9 -5.0 0.0 10.2 3.7
-5.7 -12.1 0.1 -0.8 1.4 -0.4
4.6 0.8 0.6 -7.1 6.8 -0.5
1.7 -0.3 -0.2 -4.2 -2.0 5.3
4.2
-1.5
-0.6
3.0
0.3
6.7
-3.2
0.3
-6.1
-4.2
-2.0
1.0
-1.0
0.7
-0.6
1.0
-4.0
-4.2
-5.4
-1.6
0.1
-0.0
1.0
-3.6 -
Задача 2.
X 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0 20.0 21.0
Y 0.9 1.4
2.9
3.7
5.1
7.2
9.6 10.2 14.3 15.8 19.0 22.6 24.4
Задача 3.
γ = 0.99
24.0 13.4 22.4 -1.2 19.3 1.3 22.7 16.7 10.9 28.1 23.3 28.5 22.6 3.4 2.4
Задача 4.
s = 7, γ = 0.90
-2.1 -1.1 2.0 12.2 20.7 4.6 27.3 0.3 8.3 -0.8 8.2 7.8 -3.6 20.8 19.2 12.2
14.8 9.5 15.2 4.6 0.7 4.3 -8.1 7.7 21.9 2.9 13.3 5.7 11.2 6.5 10.8 15.4
2.1 10.1 12.0 -0.5 2.9 20.7 15.0 0.5 12.6 11.1 3.7 -8.8 -5.8 -1.3 -0.7 13.2
11.3 19.4 21.9 17.6 -4.0 6.4 -0.6 11.1 1.7 2.4 10.2 3.5 4.7 14.6 17.1 7.7
1.9 2.7 6.5 16.7 18.8 11.1 20.0 1.6 27.4 1.7 12.4 6.3 10.1 2.9 -2.6 15.5
3.8 12.7 5.0 8.1 15.7 9.2 13.6 -3.1 2.0 2.3 12.1 24.2 19.0 -4.7 11.6 12.0
10.3 2.7 0.7 10.2
79
Задача 5.
( 43.7, 91.4) ( 38.0, 80.3) ( 21.7, 57.5) ( 46.0, 144.2) ( 63.3, 132.6) ( 26.9, 83.2)
( 17.6, 48.5) ( 40.7, 123.5) ( 22.2, 47.5) ( 12.9, 24.2) ( 21.6, 56.3) ( 40.4, 121.7)
( 31.9, 63.7) ( 13.4, 32.5) ( 20.8, 63.2) ( 25.5, 67.5) ( 29.5, 96.6) ( 21.7, 68.0)
( 59.6, 130.9) ( 46.9, 113.4) ( 37.0, 80.3) ( 36.5, 83.4) ( 41.6, 81.2) ( 18.9, 55.7)
( 45.2, 112.0) ( 49.2, 130.9) ( 7.6, 21.4) ( 26.1, 72.5) ( 10.3, 20.3) ( 45.0, 93.1)
( 10.5, 32.7) ( 62.2, 163.8) ( 44.7, 119.3) ( 47.3, 84.5) ( 9.9, 22.4) ( 31.9, 97.8)
( 19.9, 55.7) ( 37.2, 101.4) ( 38.3, 116.1) ( 23.1, 53.0) ( 19.3, 56.6) ( 26.8, 50.2)
( 37.3, 74.7)
Задача 6.
Выборка 1: 62 20 44 75 34 50 76 53 38 99 48 3 12
Выборка 2: 69 58 36 99 86 59 35 3 67 16 14 62 10
80
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ В г. АРСЕНЬЕВЕ
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
по дисциплине «МАТЕМАТИКА»
080502.65 «Экономика и управление на предприятии (по отраслям)
Арсеньев
2011
81
Экзаменационные вопросы.
1 семестр
1. Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами.
2. Определители,
вычисление
определителей,
основные
свойства
определителей.
3. Обратная матрица, ранг матрицы.
4. Система линейных уравнений: метод Крамера, метод обратной
матрицы, метод Гаусса
5. Векторы на плоскости и в пространстве. Опереции над векторами.
6. Векторное
пространство,
базис
и
размерность
векторного
пространства.
7. Евклидово пространство. Переход к новому базису.
8. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора.
9. Квадратичная форма.
10. Уравнение линии на плоскости. Уравнение прямой. Условие
параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
11. Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве
12. Линии второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола).
13. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.
14. Понятие множества. Окрестность точки.
15. Последовательность, предел последовательности.
16. Предел функции, непрерывность функции. Основные теоремы
о
пределах.
17. Производная функции . Её геометрический и физический смысл.
18. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью
19. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и
обратной функций.
20. Дифференциал функции.
21. Приложения производной.
82
22. Понятие неопределенного интеграла и его свойства.
23. Основные методы интегрирования неопределенного интеграла
24. Определенный интеграл.
25. Некоторые приложения определенного интеграла.
26. Несобственный интеграл.
27. Основные понятия о дифференциальных уравнениях. Классификация
дифференциальных уравнений.
28. Дифференциальные уравнения первого порядка и их решение.
29. Дифференциальные уравнения второго порядка и их решение.
2 семестр
1. Понятие
числового
ряда.
Признаки
сходимости
рядов
с
положительными членами.
2. Знакопеременные ряды и их сходимость.
3. Функциональные ряды.
4. Степенные ряды и их сходимость.
5. Разложение функций в степенные ряды. Приложения степенных
рядов.
6. Основные понятия функции нескольких переменных. 1 Предел и
непрерывность.
7. Частные производные. Дифференциал функции.
8. Производная по направлению. Градиент. Эмпирические формулы.
Метод наименьших квадратов
9. Двойной интеграл.
10. Сведения о комплексных числах.
11. Основные понятия, предел и непрерывность функции комплексного
переменного.
12. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условие
Эйлера-Даламбера.
13. Интегрирование функции комплексного интегрирования.
83
14. Ряды в комплексной плоскости.
15. Вычет функции.
16. Ряды Фурье, разложение периодических функций в ряд Фурье.
17. Интеграл Фурье.
18. Основные понятия теории поля. Скалярное поле. Векторное поле.
19. Оператор
Гамильтона. Некоторые свойства основных
классов
векторных полей.
20. Приближенное
относительная
значение
погрешность,
величины.
верные,
Абсолютная
сомнительные,
погрешность,
значащие
цифры.
Погрешности арифметических действий.
21. Приближенное
решение
систем
линейных
уравнений:
метод
итераций, метод Зейделя.
22. Приближенное
вычисление
интегралов.
Численное
решение
обыкновенных дифференциальных уравнений: метод Эйлера, уточненная схема
Эйлера.
3 семестр
1. Классификация
событий.
Классическое,
статистическое,
геометрическое определение вероятности.
2. Элементы комбинаторики.
3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.
Независимые события.
4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Локальные
предельные теоремы.
6. Понятие случайной величины. Функции распределения плотность
функции распределения случайной величины.
7. Математическое ожидание и его свойства.
8. Дисперсия и его свойства.
9. Мода и медиана. Моменты случайных величин.
10. Основные законы распределения.
84
11. Теорема Чебышева. Закон больших чисел.
12. Предмет
совокупность
и
и
задачи
выборка.
математической
Вариационный
статистики.
ряд.
Генеральная
Эмпирическая
функция
распределения. Полигон, гистограмма.
13. Точечные
статистические
оценки
параметров
распределения.
Несмещенные, эффективные и самостоятельные оценки
14. Метод
моментов
в
получении
точечных
оценок.
Метод
максимального правдоподобия.
15. Интервальные оценки. Доверительный интервал.
16. Проверка статистических гипотез. Гипотезы о законах распределения.
17. Однофакторный дисперсионный анализ.
18. Функциональная
и
корреляционная
зависимости.
Коэффициент
корреляции.
19. Уравнения линейных регрессий. Коэффициенты линейной регрессии.
85
Контрольная работа
по теме: «Матрицы. Определители»
вариант 1
1. Вычислить определитель
1 1 2
3 6 2
1 0 6
0
5
4
2 3
1
5
2. Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
2 2 3
А= 1 1 0
1 2 1
5
4
, Е –
3. Вычислить матричное выражение X 2 2 X E , где X
3
8
единичная
вариант 2
1.Вычислить определитель
2 0 1 3
6 3 9 0
0 2 1 3
4 2
0
6
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
4 2 3
А= 1 1 0
3 2 2
1 4
1 3
2
, B
. Найти AB.
3. Даны матрицы: A
12 5
6 2 1
вариант 3
1.Вычислить определитель
86
2 7 2
1 1 1
3 4 0
1
0
2
0 5 1 3
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
2 1 1
А= 4 6 5
3 5 4
3 10
, Е –
3. Вычислить матричное выражение X 2 5 X E , где X
2 0
единичная матрица
вариант 4
1.Вычислить определитель
4 5 1 5
3 2
8 2
5
3
1
3
2
4
6
8
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
2 3 4
А= 1 2 3
1 3 6
1
1
11
, B
3.Даны матрицы: A
1
2 4
7
0
. Найти AB.
2 1
вариант 5
1.Вычислить определитель
3 5
2 4
1 2
5
1
3
1
2
2
0
1
2 4
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
87
1 0 1
А= 0 1 2
1 2 4
3
2
, Е – единичная
3. Вычислить матричное выражение X 2 2 X E , где X
6 1
матрица
вариант 6
1.Вычислить определитель
2 2 0 5
4 3 5 0
1 0 2 3
0 1 3
4
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
17 10 4
А= 1 1 0
2 3 3
1
3
1
, B
3. Даны матрицы: A
12 9
1
6
8
. Найти AB.
3 1
вариант 7
1.Вычислить определитель
2 1 2
3 4 1
2 1 0
1
2
0
2
1
3 2
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
3 3 2
А= 4 3 2
2 2 1
88
1
3. Вычислить матричное выражение X 2 2 X E , где X
7
единичная матрица
5
, Е –
1
вариант 8
1.Вычислить определитель
3
1
4
2 0 2
1 2 3
5 1 0
1
2
3 3
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
2 1 4
А= 3 2 4
2 1 3
10
9
1 3 7
. Найти AB.
4 2
, B
3. Даны матрицы: A
4 4
0
вариант 9
1.Вычислить определитель
0 4 1 1
4 2 1 3
0 1 2 2
1
3 4 3
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
4 2 1
А= 5 3 2
3 2 1
89
3
2
, Е – единичная
3. Вычислить матричное выражение X 2 3 X E , где X
6 1
матрица
вариант 10
1.Вычислить определитель
0
4
10
8
2 1
7
8 2 3
1 5 4
3
1
2
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
1 2 3
А= 3 2 4
2 1 0
6
3.Даны матрицы: A
2
9
1 3 7
, B
. Найти AB.
4
1 4 1
вариант 11
1.Вычислить определитель
5 3 7 1
3 2 0 2
2 1 4 6
3 2 9
4
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
3
1
5
А= 1 5 2
5 2
1
90
2 1
3. Вычислить матричное выражение X 2 2 X E , где X
, Е – единичная
0 3
матрица.
вариант 12
1.Вычислить определитель
4 1 1
0 2 2
3 4
1
4
1
1
5
3
2
2
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
2 3 1
А= 4 5 2
5 7 3
1 3
1 3 0
. Найти AB.
2 1
3.Даны матрицы: A
, B
2 5
1
вариант 13
1.Вычислить определитель
1 8 2 3
3 2 0 4
5 3 7 1
3
2
0
2
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
2 6 3
А= 3 2 3
4 3 4
1 2
, E – единичная
2 3
3. Вычислить матричное выражение X 2 3 X E , где X
матрица.
вариант 14
91
1.Вычислить определитель
2 3 4 1
4 2 3 2
3 0 2 1
3
1 4 3
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
3 1 2
А= 4 3 3
3 0 2
5 2
3 2 9
3.Даны матрицы: A
, B
. Найти AB.
1 1
0 4 6
вариант 15
1.Вычислить определитель
3 1 2 3
4 1 2 4
1 1 1 1
4 1 2 5
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
4 3 3
А= 2 3 2
5 5 4
2 1
3. Вычислить матричное выражение X 2 2 X E , где X
, Е – единичная
1 3
матрица.
вариант 16
1.Вычислить определитель
92
3 1 2 0
5 0 6 1
2 2 1 3
1 3
2
1
2.Найти обратную матрицу для данной. Сделать проверку.
2
7
2
А= 3 2 5
4
3 1
3 1
5 6 2
3.Даны матрицы: A
. Найти AB.
, B
1 7 3
2 1
Контрольная работа
по теме: «Приложения производной»
1 вариант
1. Выполняется ли теорема Ролля для функции
y x x3
на отрезке
1,1 .
2.Определить промежутки монотонности функции
y x ( x 3) .
x3
3. Найти точки экстремума функции y 4 x
.
3
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
3,1 .
y x 3 6x 2 на отрезке
x3 8
5. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции y
.
x
x2
6. Найти асимптоты кривой y
.
x3
2 вариант
93
1. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции
y 1 5 x4
на отрезке
2,2 .
2. Найти предел, пользуясь правилом Лопиталя:
7 x 1
lim
x 0 tg 3 x
3. Найти точки экстремума функции y 1 2 x 2
x4
.
4
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
отрезке
4,4 .
5. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции
y 25 x 2
на
2x 2
y
.
1 x2
x3
6. Найти асимптоты кривой y 2
.
x 1
3 вариант
1. Удовлетворяет ли функции f ( x )
x4 и
( x ) x 9 условиям теоремы Коши
на отрезке
0,16 .
2.Определить промежутки монотонности функции
y 2 3x x 3 .
x 2 6 x 13
3. Найти точки экстремума функции y
.
x3
4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
2,3.
5. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции
y x 3 2x 2 7 x 4
x 12
y
x 2 1 .
94
6. Найти асимптоты кривой
y
x3 4
.
x2
3 вариант
1. Удовлетворяет ли функции f ( x )
x4 и
( x ) x 9 условиям теоремы Коши
на отрезке
0,16 .
2.Определить промежутки монотонности функции
y 2 3x x 3 .
x 2 6 x 13
3. Найти точки экстремума функции y
.
x3
y x 3 2x 2 7 x 4
4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке
2,3.
5. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции
6. Найти асимптоты кривой
y
x 12
y
x 2 1 .
x3 4
.
x2
Контрольная работа
по теме «Ряды»:
1-вариант
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:
5
n 1 (5n 2)(5n 3)
2. Исследовать сходимость ряда, используя признаки сравнения:
(n 1) 2
4
2
n1 n 2n 1
95
3. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
n2
n
n 1 3
4. Исследовать сходимость ряда с помощью радикального признака Коши:
2 n1
n
n1 (3n)
5. Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши:
n
n
n 1
6.Определить, какие из данных рядов являются сходящимися, а какие
расходящимися. Для сходящихся рядов указать тип сходимости:
(1) n n5
2
n1 4n 3
а)
б)
n 1
(1) n1 n 3
n 8 10
7. Найти сумму данного ряда с точностью до 0,0001:
(1) n1
4
3
n
1
n 1
2-вариант
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:
а)
1
(2n 7)( 2n 9)
n 0
2. Исследовать сходимость ряда, используя признаки сравнения:
n 1
n3 1
n2 1
96
3. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
n!
n
n 1 100
4. Исследовать сходимость ряда с помощью радикального признака Коши:
3n
n
n1 n!2
5. Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши:
1
n 1 (3n 6) ln( n 2)
6. Определить, какие из данных рядов являются сходящимися, а какие
расходящимися. Для сходящихся рядов указать тип сходимости:
(1) n1 2 n
3n n
n1
а)
(1) n n 4
4
2
n1 n 3n 1
б)
7.Найти сумму данного ряда с точностью до 0,0001:
(1) n1
5
n1 n 10
3-вариант
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:
1
(n 9)( n 10)
n 1
2. Исследовать сходимость ряда, используя признаки сравнения:
97
1
n
n 1 2 n
3. Исследовать сходимость ряда с помощью признака Даламбера:
n!
n
n 1 n
4. Исследовать сходимость ряда с помощью радикального признака Коши:
2n 1
2
n
5
n 1
n
5. Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака Коши:
(n
3) 3
( n 3 ) 2
n 1
6. Определить, какие из данных рядов являются сходящимися, а какие
расходящимися. Для сходящихся рядов указать тип сходимости:
(1) n1 7 n
n
n
7
2
5
n 1
а)
(1) n n3
4
n
n
3
n1
б)
Найти сумму данного ряда с точностью до 0,0001:
(1) n1 n
6
n 2 n ln n
Контрольная работа
по теме: «Векторы»
вариант №1
1. Даны векторы a e1 2e2 2e3 ; b 2e1 e2 2e3 ; c 2e1 2e2 e3 .
98
Доказать, что векторы a, b, c образуют базис.
Найти координаты вектора d 2e1 e2 e3 .
2. Линейный оператор
~
A
2 3 4
в базисе e1 , e2 , e3 задан матрицей A 1 1 3 .
4 7 1
~
Найти образ y A( x ) , где x e1 2e2 e3 .
1 3
.
3
~
3. В базисе e1 , e2 оператор A имеет матрицу A
2
~
Найти матрицу оператора A в базисе e1* e1 3e2 , e2* 2e1 4e2 .
4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
3 4
.
3 1
оператора, заданного матрицей A
5. Даны точки A, B, C, D. Положим а =
,b=
1) векторы 2а+b и а-2b;
2) модули векторов |2а+b| и |а-2b|;
3) скалярное произведение (2а+b)(a-2b);
4) угол между векторами (2а+b)и (a-2b).
Точки получить у преподавателя.
. Найти:
вариант №2
1. Даны векторы a 3e1 2e2 3e3 ; b 4e1 3e2 5e3 ; c 5e1 e2 e3 .
Доказать, что векторы a, b, c образуют базис.
Найти координаты вектора d 2e1 e2 e3 .
2. Линейный оператор
~
A
4 5 1
в базисе e1 , e2 , e3 задан матрицей A 1 1 1 .
2 1 2
~
Найти образ y A( x ) , где x 2e1 e2 e3 .
99
2
4
~
3. В базисе e1 , e2 оператор A имеет матрицу A
.
3 2
~
Найти матрицу оператора A в базисе e1* 3e1 5e2 , e2* 4e1 7e2 .
4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного
2 1
.
3 4
оператора, заданного матрицей A
5. Даны точки A, B, C, D. Положим а =
,b=
1) векторы 2а+b и а-2b;
2) модули векторов |2а+b| и |а-2b|;
3) скалярное произведение (2а+b)(a-2b);
4) угол между векторами (2а+b)и (a-2b).
Точки получить у преподавателя.
. Найти:
Контрольная работа
по теме «Классическое определение вероятности, повторные
независимые испытания»
вариант№1
1.
В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашены. Сборщик наудачу
выбрал 3 детали. Найти вероятность того, что детали окрашены.
2.
В урне 10 шаров, из которых два белые, а остальные черные.
Поочередно из нее извлекаются по одному шару ( с возвратом и без возврата).
Найти вероятность, что оба шара черные.
3.
При исследовании жирности молока коров все стадо было разбито
на три группы. В первой оказалось 70%, во второй 23% и в третьей 7% всех
коров. Вероятность, что молоко, полученное от отдельной коровы не менее 4%
жирности, для каждой группы коров соответственно равна 0,6; 0,35 и 0,1.
Определить вероятность того, что для взятой наудачу коровы жирность молока
составит не менее 4% .
Взятая наудачу корова дает молоко жирностью не менее 4%. Найти
вероятность того, что эта корова из первой группы.
4. Стрелок выполнил 400 выстрелов. Найти вероятность 325 попаданий,
если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8.
100
Вариант №2
1.
В коробке 5 красных, 3 зеленных и 2 синих карандаша. Наудачу без
возвращения извлекают 3 карандаша. Найти вероятность того, что все
извлеченные карандаши разного цвета.
2.
Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9,
второй -0,9, третий -0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы
а)только второй экзамен; б) три экзамена; в) хотя бы один экзамен.
3.
Команда стрелков состоит из 5 человек, трое из них попадают с
вероятностью 0,8, а двое с вероятностью 0,6 . Наудачу из команды берется
стрелок и производит выстрел
а) Какова вероятность того, что стрелок
попадет? б) Если стрелок попал в цель, то какова вероятность, что это один из
трех (один из двух)?
4.
Всхожесть семян составляет 80%. Какова вероятность того, что из
1000 посеянных семян взойдут от 650 до 760?
Вариант№3
2.
Из 25 студентов группы, 12 занимаются научной работой на
кафедре бухгалтерского учета, 7-экономического анализа, остальные на
кафедре статистики. Какова вероятность того, что два случайно отобранных
студента занимаются научной работой на кафедре статистики?
3.
Среди билетов денежно–вещевой лотереи половина выигрышные.
Сколько лотерейных билетов нужно купить, чтобы с вероятностью, не меньшей
0,999, быть уверенным в выигрыше хотя бы по одному билету?
4.
Некоторый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, он
собирается произвести 10 выстрелов. Найти вероятность того, что он попадет в
три раза.
5.
Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6,
можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба
от вероятности р=0,5 окажется по абсолютной величине не больше 0,01.
101
Вариант№4
1.
Из
30
студентов
10
имеют
спортивные
разряды.
Какова
вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента – разрядники?
2.
Студент разыскивает нужную ему формулу в 3-х справочниках.
Вероятность того, что формула содержится в первом, втором и третьем
справочнике соответственно равна 0,6; 0,7;0,8. Найти вероятность того, что
формула содержится а) во всех трех справочниках б) хотя бы в одном
справочнике; в) ни в одном справочнике.
3.
Что вероятное, выиграть у равносильного противника (ничейный
исход партии исключен): три партии из четырех или пять из восьми.
4.
В некоторой местности
из каждых 100 семей 80 имеют
холодильники. Найти вероятность того, что 300 до 360(включительно) семей из
400 имеют холодильники.
Шкала оценок
Оценка
отлично
хорошо
удовлетворительно
неудовлетворительно
Количество выполненных заданий ( в
процентах)
85%-100%
71%-84%
60%-70%
менее 60%
102
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ В г. АРСЕНЬЕВЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
по дисциплине «МАТЕМАТИКА»
080502.65 «Экономика и управление на предприятии (по отраслям)
г. Арсеньев
2011
103
Основная литература
1.
Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1 : учеб. пособие
для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова и др. – 7-е изд., испр. –
М. : ОНИКС, 2009. – 368 с.
2. Высшая математика для экономистов : учебник для вузов / под ред. Н.Ш.
Кремера. – 3-е изд. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
3. Высшая математика для экономистов: Практикум : учеб. пособие / под ред.
Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2011.
4. Григорьев, В.П. Сборник задач по высшей математике : учеб. пособие / В.П.
Григорьев, Т.Н. Сабурова. – М. : Академия, 2010. – 160 с.
5. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс /
Д.Т. Письменный. – 9-е изд. – М. : Айрис-пресс, 2009. – 608 с. : ил.
6. Шипачев, В.С. Высшая математика : учебник для вузов / В.С. Шипачев. – 8-е
изд., стереотип. – М. : Высшая школа, 2011. – 479 с. : ил.
Дополнительная литература
1. Абчук, В.А. Экономико-математические методы / В.А. Абчук. – СПб. :
Союз, 2005.
2. Апатенок, Р.Ф. Сборник задач по линейной алгебре / Р.Ф. Апатенок, А.М.
Маркина. – Киев : Высшая школа, 2001.
3. Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу : учебник / Г.И.
Архипов, В.Н. Садовничий, В.Н. Чубариков; под ред. В.Н. Садовничего. –
М. : Высшая школа, 1999. – 695 с.
4. Беклемешев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В.
Беклемешев. – М. : Наука, 2003.
5. Бортаковский, А.С. Практикум по линейной алгебре и аналитической
геометрии : учеб. пособие / А.С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. – М. :
Высшая школа, 2007. – 352 с. : ил.
104
6. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике / В.Е. Гмурман. – М. : Высш. школа, 2007. – 404
с.
7. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб.
пособие / В.Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. – М. : Высш. образование,
2008. – 479 с. : ил.
8. Замков, О.О. Математические методы в экономике / О.О. Замков. – М. :
ДИС, 2004.
9. Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических ВУЗов. Ч. 1-2. /
А.И. Карасев. – М. : Высшая школа, 2006.
10.Колеснеков, А.Н. Краткий курс математики для экономистов / А.Н.
Колеснеков. – М. : ИНФРА-М., 2006.
11.Красс, М.С. Математика для экономических специальностей / М.С. Красс. –
М. : ИНФРА-М, 2005.
12.Луппова, Е.П. Математический анализ. Ч.1 : учеб.-метод. комплекс / Е.П.
Луппова, Н.Ю. Василенко, Д.А. Тряпкин. – Владивосток : Изд-во ДВГТУ,
2008. – 160 с.
13.Любимова, О.Н. Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учеб.-метод.
комплекс / О.Н. Любимова, Н.Е. Дегтярева. – Владивосток : Изд-во ДВГТУ,
2008. – 167 с.
14.Митченко, А.Д. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии :
учеб. пособие / А.Д. Митченко. – Владивосток : Изд-во Дальневост. ун-та,
2005. – 210 с.
15.Митченко, А.Д. Элементы математического анализа Ч.1 : учеб. пособие /
А.Д. Митченко. – Владивосток : Изд-во Дальневост. ун-та, 2003. – 182 с.
16.Румшинский, Л.З. Элементы теории вероятностей / Л.З. Румшинский. – М. :
Наука, 2002.
17.Солодовников А.С. Линейная алгебра с элементами аналитической
геометрии / А.С. Солодовников. – М. : Высшая школа, 2003.
105
18.Солодовников А.С. Математика в экономике. Ч. 1-2. / А.С. Солодовников. –
М. : Финансы и статистика, 2005.
19.Теория вероятностей : учеб. пособие / И.Л. Елисеенко. и др. – Владивосток :
Изд-во ДВГУ, 2003.
20.Фадеев, Д.К. Задачи по высшей алгебре / Д.К. Фадеев, Н.С. Соминский. –
СПб., 2004.
21.Шипачев, В.С. Математический анализ : учеб. пособие для вузов / В.С.
Шипачев. – М. : Высшая школа, 2001. – 176 с. : ил.
22.Шипачев, В.С. Основы высшей математике / В.С. Шипачев. – М.: Высшая
школа, 2004.
23.Шипачев, В.С. Сборник задач по высшей математике / В.С. Шипачев. – М. :
Высшая школа, 2004.
Интернет-ресурсы
1. Балдин, К.В. Высшая математика : учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков,
А.В. Рукосуев. – М. : Флинта: МПСИ, 2010. – 360 с. http://znanium.com/bookread.php?book=217321
2. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры :
учебник / Д.В. Беклемишев. – 12-е изд., испр. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2009. –
312 с. - http://e.lanbook.com/view/book/2109/
3. Злобина, С.В. Математический анализ в задачах и упражнениях : учеб.
пособие / С.В. Злобина, Л.Н. Посицельская. – М. : Физматлит, 2009. – 360 с. http://www.iprbookshop.ru/12887.html
106
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ В г. АРСЕНЬЕВЕ
ГЛОССАРИЙ
по дисциплине «МАТЕМАТИКА»
080502.65 «Экономика и управление на предприятии (по отраслям)
г. Арсеньев
2011
107
Матрица — это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк
одинаковой длины.
Квадратная матрица — матрица, у которой число строк равно числу
столбцов.
Невырожденная матрица — квадратная матрица, определитель которой
не равен нулю.
Диагональная матрица — квадратная матрица, у которой все элементы,
кроме элементов главной диагонали, равны нулю.
Треугольная матрица — квадратная матрица, все элементы которой,
расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
Транспонированная матрица — матрица, полученная из данной
заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером.
Эквивалентные матрицы — матрицы, полученные одна из другой с
помощью элементарных преобразований.
Минор
некоторого
элемента
определителя
n-го
порядка
—
определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания
строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент..
Алгебраическое
дополнение
элемента –
минор
этого
элемента,
умноженный на -1 в степени, равной сумме номера строки и номера столбца, на
пересечении которых находится выбранный элемент.
Присоединенная (союзная) матрица — матрица, составленная из
алгебраических дополнений элементов данной квадратной матрицы.
Ранг матрицы — наибольший из порядков миноров данной матрицы,
отличных от нуля.
Определенная система — совместная система, имеющая единственное
решение.
Тривиальное решение — нулевое решение системы.
Совместная
система
уравнений
определяются численным значением.
—
система,
имеющая
хотя
108
Векторные величины — величины, которые определяются не только
числовым значением, но и направлением.
Вектор — это направленный прямолинейный отрезок.
Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной прямой или
на параллельных прямых.
Единичный вектор — вектор, длина которого равна единице.
Орт вектора — единичный вектор, направление которого совпадает с
направлением данного вектора.
Компланарные векторы — три вектора, лежащие в одной плоскости
или в параллельных плоскостях.
Направляющие косинусы вектора — косинусы углов вектора с осями
координат.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов – число, равное
произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Векторное произведение векторов — это вектор.
Смешанное произведение трех векторов — это векторно-скалярное
произведение векторов.
Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество точек,
обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством.
Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое
уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой
точки этой линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на
этой линии.
Основные задачи аналитической геометрии на плоскости: первая — зная
геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая — зная уравнение
кривой, изучить ее форму и свойства.
Окрестность точки – любой интервал, содержащий данную точку.
Функция – это правило или закон, по которому каждому значению одной
переменной ставится в соответствие одно определенное значение другой
109
переменной.
Первая
переменная
является
независимой
и
называется
аргументов, а вторая переменная — зависимой и называется функцией.
График функции – это множество всех точек плоскости Оху, для каждой
из которых абсциссой является значение аргумента, а ординатой —
соответствующее значение функции.
Бесконечно малая — это функция, если при указанном стремлении
аргумента ее предел равен нулю.
Функция, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая.
Функция непрерывна в некоторой точке, если существует предел
функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке.
Функция непрерывна в некоторой точке, если она определена в этой
точке и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента
соответствует бесконечно малое приращение функции.
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, – точки разрыва
этой функции.
Производная функции в точке – это предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к
нулю.
Функция, имеющая производную в каждой точке интервала, является
дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной
функции – дифференцирование функции.
Геометрический смысл производной: производная функции в точке
равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в
этой точке.
Дифференциал функции в точке – это главная часть ее приращения,
равная произведению производной функции на дифференциал независимой
переменной.
Значение
функции
(минимум) функции.
в
точке
максимума
(минимума) –
максимум
110
Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует –
критические точки.
График дифференцируемой функции выпуклый вниз (выпуклый
вверх) на некотором интервале, если он расположен выше (ниже) любой ее
касательной на этом интервале.
Точка графика непрерывной функции, отделяющая его части разной
выпуклости, – точка перегиба.
Асимптота кривой — это прямая, расстояние до которой от точки,
лежащей на этой кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от
начала координат этой точки по кривой.
Дробно-рациональная функция (или рациональная дробь) — это
функция, равная отношению двух многочленов.
Рациональная дробь правильная, если степень числителя меньше
степени знаменателя.
Определенный интеграл от функции на данном отрезке (или в
указанных пределах) – это предел интегральной суммы при условии, что длина
наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю.
Геометрический смысл определенного интеграла: определенный
интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной
трапеции.
Несобственные
интегралы
—
это
определенный
интеграл
от
непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или
определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от
функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.
Несобственный интеграл сходится, если он существует и равен
конечному числу.
Производная функции по направлению вектора – это число, равное
сумме произведений частных производных этой функции, вычисленных в
данной точке, на косинусы углов, образованных данным вектором с
положительным направлением соответствующей оси.
111
Производная по направлению представляет собой мгновенную скорость
изменения функции в направлении вектора в данной точке.
Вектор, координатами которого являются значения частных производных
функции в точке, является градиентом функции.
Градиент
функции
указывает
направление
наибыстрейшего
возрастания функции.
Уравнения, связывающие независимую переменную, искомую функцию
и ее производные, есть дифференциальное (ДУ).
Решение дифференциального уравнения – это функция, которая при
подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное
уравнение, называется порядком этого уравнения.
Процесс отыскания решения ДУ – его интегрирование, а график
решения ДУ — интегральная кривая.
Общее решение ДУ первого порядка – это функция, содержащая одну
произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:
1) функция является решением ДУ при каждом фиксированном значении
константы;
2) каково бы ни было начальное условие, можно найти такое значение
постоянной, что данная функция удовлетворяет данному начальному условию.
Частное решение ДУ первого порядка – любая функция, полученная из
общего решения при конкретном значении постоянной.
Дифференциальные уравнения порядка выше первого – ДУ высших
порядков.
Общее решение ЛНДУ второго порядка равно сумме частного решения
неоднородного уравнения, подобранного по виду данной правой части, и
общего решения соответствующего ему однородного уравнения.
Числовой ряд (или просто ряд) – это бесконечная сумма действительных
чисел, называемых членами ряда, а слагаемое, стоящее на n-ом месте – общий
член ряда.
112
Сумма первых n членов ряда – n-ая частичная сумма ряда.
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм
данного ряда, то этот предел есть сумма ряда и говорят, что ряд сходится. В
противном случае ряд расходится.
Знакопеременный
ряд –
ряд,
содержащий
положительные
и
отрицательные слагаемые.
Ряд, знаки членов которого чередуются, является знакочередующимся.
Знакопеременный ряд абсолютно сходящийся, если ряд, составленный
из модулей его членов, сходится.
Знакопеременный ряд условно сходящийся, если сам он сходится, а ряд,
составленный из модулей его членов, расходится.
Ряд, членами которого являются функции, – функциональный ряд.
Совокупность
числовых
значений
аргумента,
при
которых
функциональный ряд сходится, — область сходимости этого ряда.
Комбинаторика — раздел математики, изучающий, в частности, методы
решения комбинаторных задач — задач на подсчет числа различных
комбинаций.
Перестановки — это множества, составленные из одних и тех же
элементов, отличающиеся порядком расположения этих элементов.
Сочетания — это множества, составленные из n различных элементов по
m в каждом, отличающиеся хотя бы одним элементом.
Размещения — это множества, составленные из n различных элементов
по m в каждом, отличающиеся либо составом, либо порядком выбранных
элементов.
Теория
вероятностей
—
математическая
наука,
изучающая
закономерности случайных явлений.
Испытание
(опыт,
эксперимент)
—
выполнение
определенного
комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется
тот или иной результат.
113
Случайное событие (возможное событие или просто событие) – любой
факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.
Событие — это не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход
результат испытания.
Достоверное событие — событие, которое в результате испытания
обязательно должно произойти.
Невозможное событие — событие, которое в результате испытания не
может произойти.
Несколько событий образуют полную группу, если они являются
единственно возможными и несовместными исходами испытания.
Несовместные (несовместимые) события — если наступление одного из
них исключает наступление любого другого. В противном случае события
совместные.
Элементарные исходы (случаи или шансы) — исходы некоторого
испытания, которые образуют полную группу событий и равновозможны, то
есть единственно возможны, несовместны и равновозможны.
Благоприятствующий (благоприятные) случай некоторому событию —
если появление этого случая влечет за собой появление интересующего
события.
Вероятность
события
—
численная
мера
степени
объективной
возможности наступления события.
Вероятность некоторого события равна отношению числа случаев,
благоприятствующих ему, к общему числу случаев.
Сумма нескольких событий — событие, состоящее в наступлении хотя
бы одного из данных событий (для суммы событий характерен союз «или»).
Произведение
нескольких
событий
—
событие,
состоящее
в
совместном наступлении всех этих событий (для произведения событий
характерен союз «и»).
114
Два события независимы, если вероятность одного из них не меняется от
того, произошло другое событие или нет. В противном случае события
зависимы.
Формула полной вероятности и формула Байеса — следствие двух
основных теорем теории вероятностей — теоремы сложения и теоремы
умножения.
Случайная величина — переменная, которая в результате испытания в
зависимости от случая принимает только одно из возможного множества своих
значений (какое именно — заранее не известно).
Дискретная (прерывная) случайная величина — величина, множество
значений которой конечно, или бесконечно, но счетно (элементы множества
можно перенумеровать натуральными числами).
Непрерывная случайная величина — величина, бесконечное множество
значений которой есть некоторый интервал (конечный или бесконечный)
числовой оси.
Закон распределения случайной величины — всякое соотношение,
устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и
соответствующими им вероятностями.
Многоугольник
распределения
вероятностей
—
ломаная,
соединяющая точки, координатами которых являются возможные значения
случайной величины и соответствующие вероятности их принятия.
Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной
величины – сумма произведений всех ее значений на соответствующие им
вероятности
Дисперсия (рассеяние) случайной величины — это математическое
ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.
Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение или
стандарт) случайной величины – арифметическое значение корня квадратного
из ее дисперсии.
115
Математическое ожидание, дисперсия среднее квдратическое отклонение
и другие числа, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные
черты распределения, – числовые характеристики случайной величины.
Функция распределения случайной величины – функция, выражающая
для каждого значения случайной величины вероятность того, что случайная
величина примет значение, меньшее указанного значения.
Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная
ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих
возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих
значений.
Плотность
вероятности
(плотность
распределения
или
просто
плотность) непрерывной случайной величины – это производная ее функции
распределения вероятностей.
Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией
или дифференциальным законом распределения.
Коэффициент
асимметрии
случайной
величины
характеризует
скошенность распределения.
Эксцесс случайной величины характеризует крутость (островершинность
или плосковершинность) распределения.
Математическая статистика — раздел математики, изучающий методы
сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью
выявления статистических закономерностей.
Вся подлежащая изучению совокупность объектов (наблюдений) есть
генеральная совокупность.
Та часть объектов, которая отобрана для непосредственного изучения из
генеральной совокупности, – выборочная совокупность или выборка.
Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части
генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о ее свойствах в
целом.
116
Важнейшей задачей выборочного метода является оценка параметров
(характеристик) генеральной совокупности по данным выборки.
Оценка параметра – всякая функция результатов наблюдений над
случайной величиной (иначе — статистику), с помощью которой судят о
значении параметра.
Оценка параметра несмещенная, если ее математическое ожидание
равно оцениваемому параметру.
Оценка параметра состоятельная, если она сходится по вероятности к
оцениваемому параметру.
Несмещенная
оценка
параметра
эффективная,
если
она
имеет
наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок
параметра, вычисленных по выборкам одного и того же объема.
Статистическая гипотеза — любое предположение о виде или
параметрах неизвестного закона распределения.
Альтернативная или конкурирующая гипотеза — это гипотеза,
являющаяся
логическим отрицанием проверяемой
(нулевой)
гипотезы.
Проверяемая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности
выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез.
Правило,
по
которому
проверяемая
гипотеза
отвергается
или
принимается, есть статистический критерий.
Вероятность допустить ошибку 1-го рода, то есть отвергнуть нулевую
гипотезу, когда она верна, называется уровнем значимости критерия.
Вероятность не допустить ошибку 2-го рода, то есть отвергнуть нулевую
гипотезу, когда она неверна, – это мощность (или функция мощности)
критерия.
Принцип проверки статистической гипотезы не дает логического
доказательства ее верности или неверности.
Раздел
математической
статистики,
изучающий
(корреляционные) зависимости, — теория корреляции.
статистические
117
Полная корреляция — когда каждый из отобранных элементов
статистической совокупности объектов испытывается сразу по двум признакам.
Две основные задачи в теории корреляции:
1) о форме корреляционной связи между и в виде некоторой
функциональной зависимости, которая хотя бы приближенно изображала
расплывчатую корреляционную зависимость;
2) об оценке тесноты корреляционной связи между признаками, то есть о
степени близости корреляционной зависимости к функциональной.
Задача о форме корреляционной связи решается с помощью регрессий.
Регрессия — это функциональная зависимость между значениями одного
из исследуемых признаков и условными средними значениями другого.
Уравнение сглаживающей линии дает хотя и приближенно, но
аналитическое — в виде формулы — выражение регрессии.
Две задачи отыскания эмпирической формулы:
1) выбор типа линии, выравнивающей ломаную регрессии, то есть типа
линии, около которой группируются экспериментальные;
2) определение параметров, входящих в уравнение линии выбранного
типа таким образом, чтобы из множества линий этого типа взять ту, которая
наиболее близко проходит около точек ломаной регрессии.
Для определения параметров в уравнении выравнивающей линии
выбранного типа существует несколько методов: метод средних, метод проб,
метод выровненных точек и метод наименьших квадратов.
Для
оценки
тесноты
корреляционной
зависимости
служит
корреляционное отношение.
Чем ближе корреляционное отношение к 1, тем теснее корреляционная
зависимость; чем ближе к 0, тем корреляционная зависимость слабее.
В
случае
линейной
корреляции
корреляционное
отношение
и
выборочный коэффициент корреляции совпадают.
Уравнение регрессии считается адекватным, если расхождение между
эмпирической и теоретической линиями регрессии можно объяснить ошибками
118
в определении условных средних, вызванных разбросом (дисперсией)
случайных результатов эксперимента.
В случае полной линейной корреляции возможны два вида регрессии.
Выборочный
коэффициент
корреляции
коэффициента корреляции.
Коэффициент корреляции ограничен: от -1 до 1.
является
оценкой
