Flashcards: Математика, алгебра и геометрия 1 курс.
Вектор
элемент линейного векторного пространства.
Скаляр
число.
Сложение двух векторов
внутренний закон композиции над линейным векторным пространством, удовлетворяющий четырем аксиомам сложения действительных чисел (коммутативность, ассоциативность, существование нуля, существование противоположного числа).
Умножение вектора на скаляр
внешний закон композиции на линейном векторным пространством над полем скаляров. удовлетворяющий специальному набору из пяти аксиом.
Основное поле
поле скаляров, над которым определена операция умножения вектора на скаляр.
Линейные операции векторного пространства
операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр.
Линейная комбинация векторов
сумма векторов, умноженных на скаляры.
Линейно зависимая система векторов
система векторов, содержащая вектор, являющийся линейной комбинацией остальных.
Линейно независимая система векторов
система векторов, ни один из которых не является линейной комбинацией остальных.
Полная система векторов
такая система векторов, что любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов.
Базис
такая система векторов, что любой вектор пространства может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов единственным образом.
Координаты вектора в базисе
коэффициенты линейной комбинации базисных векторов, представляющей данный вектор.
Координатный вектор
арифметический вектор, состоящий из координат вектора в данном базисе.
Матрица перехода
матрица, связывающая два координатных вектора произвольного вектора в разных базисах.
Конечномерное пространство
линейное пространство, в котором число линейно независимых векторов ограничено.
Размерность конечномерного пространства
максимальное число линейно независимых векторов в этом пространстве.
Замкнутость множества векторов относительно сложения
множество векторов, содержащее вместе с любыми двумя векторами их сумму.
Замкнутость множества векторов относительно умножения на скаляр
множество векторов, содержащее вместе с любым вектором его произведение на произвольный скаляр.
Подпространство линейного пространства
непустое подмножество линейного пространства, замкнутое относительно линейных операций этого пространства.
Линейная оболочка
совокупность всевозможных линейных комбинаций выделенной системы векторов.
Ранг системы векторов
максимальное число линейно независимых векторов этой системы.
Ранг матрицы
наивысший порядок ненулевого минора матрицы.
Ядро СЛАУ
подпространство решений однородной СЛАУ.
Образ СЛАУ
множество правых частей неоднородной совместной СЛАУ.
Скалярное произведение векторов
отображение декартова квадрата вещественного линейного векторного пространства в поле R, удовлетворяющее условиям аддитивности, однородности, симметричности и положительности скалярного квадрата.
Скалярный квадрат вектора
скалярное произведение вектора на себя.
Евклидово пространство
вещественное линейное векторное пространство со скалярным произведением.
Длина вектора
корень квадратный из скалярного квадрата.
Угол между двумя ненулевыми векторами
угол, косинус которого равен отношению скалярного произведения векторов к произведению их длин.
Ортогональные векторы
ненулевые векторы, скалярное произведение которых равно нулю.
Ортогональная система векторов
система попарно ортогональных векторов.
Нормированный вектор
вектор, имеющий единичную длину.
Ортонормированная система векторов
ортогональная система векторов единичной длины.
Ортонормированный базис
базис из попарно ортогональных векторов единичной длины.
Линейное отображение
отображение линейного векторного пространства, переводящее линейную комбинацию векторов в линейную комбинацию их образов с теми же коэффициентами.
Условие линейности
условие, которому удовлетворяет линейное отображение.
Линейный функционал
отображение линейного векторного пространства в основное поле, удовлетворяющее условию линейности.
Билинейный функционал
отображение декартова квадрата линейного векторного пространства в основное поле, удовлетворяющее условию линейности по каждой переменной.
Квадратичный функционал
сужение билинейного функционала на диагональ декартова квадрата линейного векторного пространства.
Квадратичная форма
запись квадратичного функционала в базисе исходного линейного векторного пространства.
Канонический вид квадратичной формы
вид квадратичной формы, в которой отсутствуют произведения переменных.
Нормальный вид вещественной квадратичной формы
канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах равны плюс единице, минус единице или нулю.
Ранг квадратичной формы
число квадратов ее нормального вида с ненулевыми коэффициентами.
Положительный (отрицательный) индекс инерции вещественной квадратичной формы
число квадратов ее нормального вида с положительными (отрицательными) коэффициентами.
Положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма
квадратичная форма, которая при всех одновременно ненулевых значениях своих переменных принимает положительное (отрицательное) значение.
Положительно (отрицательно) полуопределенная квадратичная форма
квадратичная форма, которая при всех значениях своих переменных принимает неотрицательное (неположительное) значение.
Линейный оператор
линейное отображение, областями определения и действия которого являются линейные векторные пространства над одинаковым полем.
Ядро линейного оператора
множество векторов области определения оператора, отображаемых последним в нулевой вектор области действия.
Образ линейного оператора
множество векторов области действия оператора, обладающих прообразом в области определения этого оператора.
Эндоморфизм линейного векторного пространства
линейный оператор с одинаковыми областями определения и действия.
Собственный вектор эндоморфизма
ненулевой вектор, который отображается линейным оператором в произведение этого вектора на скаляр из основного поля.
Собственное число эндоморфизма
скаляр, описанный в предыдущем определении.
Спектр эндоморфизма
совокупность всех его собственных чисел.
Инвариантное подпространство эндоморфизма
подпространство в области определения эндоморфизма, векторы которого оператор отображает в это же подпространство.