1.8 Расстояние L между зарядами ... напряженность E поля, созданного этими ...

1.8 Расстояние L между зарядами Q = ± 2 нКл равно 20 см. Определить
напряженность E поля, созданного этими зарядами в точке, находящейся на
расстоянии R1 = 15 см от первого и
R2 = 10 см от второго заряда.
Дано:
q1 =210-9 Кл
q2 =-210-9 Кл
R1=0.15 м
R2=0.1 м
L=0,2 м
Е=?
Е1
O


R1
Е
R2
Е2
q1
+
L
-
q2
Напряженность, создаваемая зарядом q в точке О на расстоянии r от него:
Е
1 q
40 r 2
Для зарядов 1 и 2 запишем модули напряженности :
Е
1 | q1 |
40 R 12
E2 
1 | q2 |
40 R 22
По принципу суперпозиции полей : Е  Е1  Е 2
По теореме косинусов определим косинус угла :
cos  
R12  R 22  L2 0.152  0.12  0.22

 -0,25
2R1R 2
2  0.15  0.10
Тогда cos  0.25
E  E1  E 2  2E1E 2 cos 
2
2
2
2
 1 q1   1 q 2 
1 | q1 |
1 | q2 |
  
 2
E  

cos  
2 
2 
2
40 R 1 40 R 22
 40 R 1   40 R 2 

|q|
1
1 2 cos 
1
1
2  0.25
 4  2 2  2 10 9  8,9875 109
 4

4
4
40 R 1 R 2 R 1 R 2
0.15 0.1 0.152  0.12
=2.14103 В/м
Ответ: 2,14 кВ/м
1.25 На кольце с внутренним радиусом 80 см и внешним 1 м равномерно
распределен заряд 10 нКл. Определить потенциал в центре кольца.
Дано:
R1=0.8 Кл
R2=0.1 м
Q=10-8 Кл
=?
R1
R2
Разобьем кольцо на малые бесконечно тонкие концентрические кольца
площадью dS и радиусом r
Площадь такого кольца dS=2rdr
Каждый из таких элементов несет заряд 2rdr и создает потенциал, численное
значение которого равно:
d 
dS   2r  dr   dr


40 r
40 r
2 0
где  – поверхностная плотность заряда

  dr

R 2  R1 
R

 r R2 
1
2 0
2 0
2 0
R1
R2


Площадь всего кольца R 22  R12   R 22  R12

Тогда Q   R 22  R12

Q
 R  R12

2
2



Подставляя в формулу потенциала, получим

QR 2  R1 
Q
108
104



 100 В
2 0  R 22  R12
2 0  R 2  R1
2  8.85  3.14  1012 1  0.8 2  8.85  3.14  1  0.8




Проверка размерности:
[Кл]
[Кл]

 [B]
[Ф/м]  [м] [Ф]
ОТВЕТ: 100 В
1.42 Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено
парафином (ε = 2). Расстояние между пластинами d = 8,85 мм. Какую разность
потенциалов необходимо подать на пластины, чтобы поверхностная плотность
связанных зарядов на парафине составляла 0,1 нКл/см2?
Дано:
СИ:
d=8,85 мм
d=8,8510-3 м
=2
=10-6 Кл/м2
/=0,1 нКл/см2
U =?
Напряженность поля конденсатора E=U/d, откуда разность потенциалов равна
U=Ed
Поверхностная плотность связанных зарядов определяется по формуле /=0Е
Где  - диэлектрическая восприимчивость вещества
Таким образом, Е=//0, подставив в формулу напряженности получим:
U
/ d
/ d
106  8.85  103


 1000 В =1 кВ
0 (  1)0 (2  1)  8.85  1012
Ответ: 1 кВ.
1.61Две концентрические проводящие сферы радиусами R1 = 20 см и R2 = 50 см
заряжены соответственно одинаковыми зарядами Q = 100 нКл. Определить
энергию электростатического поля, заключенного между этими сферами.
Дано:
R1 = 0,2 м
R2 = 0,5 м
Q=10-7 Кл
W =?
R1
R2
Определим энергию W поля между сферами . Выделим в сфере элементарный
сферический слой радиусом r (R1<r<R2) и толщиной dr. В этом слое
сосредоточена энергия dW=wdV, где w – объемная плотность энергии. Объем
слоя равен: dV=4r2dr. Тогда dW=4r2wdr
Объемная плотность энергии электрического поля в шаре w=0.50E2, где Е –
напряженность поля,  - диэлектрическая проницаемость среды.
Напряженность поля, создаваемого заряженным шаром в точке на расстоянии r
от центра шара определяется выражением Е 
Получаем:
Q
40 r 2
2
1  Q 
Q2

w  0 

2  40 r 2  3220 r 4
dW  4r 2 
Q2
Q2
dr

dr
3220 r 4
80 r 2
R2


2
Q2
Q2
Q2
Q2
10 7
1 
 1
W 
dr








2
12 
80 r
80 r R
80 R 2 80 R1 8  8.85  10  0.2 0.5 
R1
R2
1
 1.349  10
4
Дж  135 мкДж
Ответ: 135 мкДж
2.8 Электрическая плитка мощностью 1 кВт с нихромовой спиралью
предназначена для включения в сеть с напряжением 220 В. Сколько метров
проволоки диаметром 0,5 мм надо взять для изготовления спирали, если
температура нити составляет 900° С? Удельное сопротивление нихрома при
0° С ρ0 = 1 мкОм·м, а температурный коэффициент сопротивления α = 0,4·10-3
К-1.
Дано:
Р =103 Вт
U= 220 В
d=0.510-3 м
t=9000C
ρ0 = 1 мкОм·м
α = 0,4·10-3 К-1
 =?
Сопротивление проводника находится по формуле:
R  c

S
Зависимость удельного сопротивления от температуры: с= 0(1+t)
где 0 – удельное сопротивление при 00С, для никелина 0=10-6 Омм,
 - температурный коэффициент
t – температура по шкале Цельсия
Получаем:
Площадь поперечного сечения проводника S  r 2 
d 2
4
Полезная мощность электрической цепи (мощность, выделяемая на внешнем
сопротивлении) равна
P  IU 
U2
R
Подставим все найденные величины в формулу мощности:


2
U2
U 2 d 2
U 2 d 2
2202    0.5  103
P



 6.99 м
6
3
3



4


4

1


t
P
4

10
1

900

0
.
4

10

10
c
0
c 2
d / 4


Ответ: 6,99 м.
2.15В цепь, состоящую из батареи и резистора сопротивлением R = 8 Ом,
включают вольтметр, сопротивление которого
RV = 800 Ом, один раз
последовательно резистору, другой раз — параллельно. Определить внутреннее
сопротивление батареи, если показания вольтметра в обоих случаях одинаковы.
Дано:
R=8 Ом
RV = 800 Ом
Uv1=Uv2
r=?
R
V
При последовательном соединении сопротивление вольтметра и резистора
Rобщ =RV+R
При параллельном соединении: Rобщ =
Напряжение на вольтметре: UV1 
R VR
RV  R
R v
R V

R общ  r R V  R  r
R VR
R общ
RV  R


R
R общ  r
VR
r
RV  R

UV2
R VR
R V
RV  R

R VR
 r RV  R  r
RV  R

R
1

R V R  r R V  R  R V  R  r
8
1

800  8  r 800  8 800  8  r
8808  r   6400  808r
r  0.08
Ответ: 0,08 Ом
3.6 Определить температуру, соответствующую средней кинетической энергии
поступательного движения электронов, равной работе выхода из вольфрама,
если поверхностный скачок потенциала для вольфрама 4,5 В.
Дано:
=4.5 В
Т=?
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы:
3
  n   kT
2
Работа выхода электронов определяется по формуле: А=е
Где - поверхностный скачок потенциала
е - заряд электрона
Приравнивая выражения, получим:
3
kT  е
2
2е 2  4,5  1,6  1019
T

 34783 К  34,8 кК
3k
3  1,38  10 23
Ответ: 34,8 кК.
4.3 В однородном магнитном поле с индукцией B = Tл находится квадратная
рамка со стороной d = 10 см, по которой течет ток I = 4 А. Плоскость рамки
перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить работу A, которую
необходимо затратить для поворота рамки относительно оси, проходящей через
середину ее противоположных сторон: 1) на 90°; 2) на 180°; 3) на 360°.
n2
Дано:
n1
В

I=4 A
В=1 Тл
d=10 см=0,1 м
1=900
2=1800
3=3600
A=?
Работа внешних сил по перемещению (в рассматриваемом случае -
по
повороту на угол ) контура с током в магнитном поле равна произведению
силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур:
А = -I  Ф = I(Ф1-Ф2),
где Ф1 —магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф2 —то
же, после перемещения.
По определению магнитный поток равен: Ф  ВS cos .
Если контур свободно установился в магнитном поле, то угол между его
нормалью n 1 и вектором магнитной индукции =00
Если контур повернули на =900, то угол между нормалью n 2 к нему и
вектором магнитной индукции 1=900
А1 = I(BScos0-BScos900)=IBd2(1-cos900)= 410.12(1-0) = 0.04 Дж
Если контур повернули на 2=1800, то
А2 =IBd2(cos0-cos1800)= 410.12(1+1) = 0.08 Дж
Если контур повернули на 3=3600, то работа равна сумме работ при
изменении угла от 0 до 1800 и при изменении угла от 1800 до 3600
А 3= А2+ IBd2(cos180-cos3600)= 0.08 -0,08=Дж
Ответ: 1) 0,04 Дж; 2) 0,08 Дж; 3) 0.
4.31 Электрон, обладая скоростью υ = 1 мм/с, влетает в однородное магнитное
поле под углом α = 60° к направлению поля и начинает двигаться по спирали.
Напряженность магнитного поля H = 1,5 кА/м. Определить: 1) шаг спирали; 2)
радиус витка спирали.
Дано:
СИ
υ = 1 Mм/с
v=106 м/с
H = 1,5 кА/м
Н=1,5103 А
α = 60°
h=0,1 м
r,x=?
На заряженную частицу, влетевшую в однородное магнитное поле, действует


сила Лоренца, перпендикулярная векторам магнитной индукции B и скорости v
частицы. Ее модуль равен, по определению:
FЛ  qvB  sin ,
где q - заряд частицы.
Электрон, влетевший в магнитное поле, будет двигаться по окружности в
плоскости, перпендикулярной линиям индукции, со скоростью, равной
поперечной составляющей скорости V ; одновременно он будет двигаться и
вдоль поля со скоростью Vll :
V  V  sin ,
Vll  V  cos  .
В результате одновременного участия в движениях по окружности и по прямой
электрон будет двигаться по винтовой линии.
Определим скорость движения электрона.
Сила Лоренца FЛ сообщает электрону нормальное ускорение а n . По второму
закону Ньютона:
F  man ,
где a n  V2 / r , а F  qV B - сила Лоренца .
Тогда :
qV B 
mV2
,
r
откуда после сокращения на V получаем:
mV sin 
r
mV sin  mV sin 
9.11  10 31  10 6  sin 60 0
r


 2.616  10 3 м
19
3
7
qB
qН 0
1.6  10  1.5  10  4  10
qB 
Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со
скоростью Vll за время, которое понадобится электрону для того, чтобы
совершить один оборот: х  VllТ, где Т – период обращения электрона
T
х
х

VII V cos 
C другой стороны T 
2r
2r

V V sin 
2r
х

V sin  V cos 
2r 2  2.616  10  3
х

 9.49  10  3
tg
tg 60
Ответ: 1) 9,49 мм; 2) 2,62 мм.
4.55 Квадратный проводящий контур со стороной l = 20 см и током I = 10 А
свободно подвешен в однородном магнитном поле с магнитной индукцией
В = 0,2 Тл. Определить работу, которую необходимо совершить, чтобы
повернуть контур на 180° вокруг оси, перпендикулярной направлению
магнитного поля.
n
Дано:
В

I=10 A
В=0,2 Тл
l = 20 см=0,2 м
=1800
A=?
Работа внешних сил по перемещению (в рассматриваемом случае -
по
повороту на угол ) контура с током в магнитном поле равна произведению
силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур:
А = -I  Ф = I(Ф1-Ф2),
где Ф1 —магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф2 —то
же, после перемещения.
По определению магнитный поток равен: Ф  ВS cos .
Если контур свободно установился в магнитном поле, то угол между его
нормалью n и вектором магнитной индукции 00
Если контур повернули на =1800, то
А1 = I(BScos0-BScos1800)=IB l 2(1-cos1800)= 2 IB l 2 =2100,20.22 = 0.15 Дж
Ответ: 0,16 Дж
5.6 В катушке длиной l = 0,5 м, диаметром d = 5 см и числом витков N = 1500
ток равномерно увеличивается на 0,2 А за одну секунду. На катушку надето
кольцо из медной проволоки
(ρ = 17 нОм·м) площадью сечения SK = 3 мм2.
Определить силу тока в кольце.
Дано:
l = 0,5 м
d = 0,05 м
N = 1500
I/t=0.2A/c
ρ = 17 нОм·м=1710-9Ом·м
SK = 3 мм2=310-6 м2
IK=?
Электродвижущая сила самоиндукции s возникающая в замкнутом контуре
при изменении силы тока в нем:
s=-LI/t
Найдем индуктивность катушки
d 2
0 N
0 N 2S  
0 N 2 d 2
2
4
L  0 n V 


2

4
2
Подставим в формулу ЭДС:
s  
0 N 2 d 2 I

4
t
s
0 Nd 2 I
Для кольца эдс составит :  K   

N
4
t

Сила тока в кольце : I  K
R
Споротивление кольца его длина  К  d  : R   c
K
d
 c
SK
SK
0 Nd 2SK I
0 NdSK I 4  10  7  1500  0.05  3  10  6
I
 
 
 0.2 
4 c d
t
4 c
t
4  0.5  17  10  9
 1.663  10  4 A
Ответ: 0,166 мА.
Трансформатор с коэффициентом трансформации 0,15 понижает
5.29
напряжение с 220 до 6 В. При этом сила тока во вторичной обмотке равна 6 А.
Пренебрегая
потерями
энергии
в
первичной
обмотке,
определить
сопротивление вторичной обмотки трансформатора
Дано:
U1d=220 В
U2d=6 В
I2d=6 А
k=0,15
k =?
Коэффициент трансформации определяется как отношение
как отношение
числа витков N2 вторичной обмотки к числу витков N1 первичной обмотки
k
N 2 I 2d R 2  U 2d 6  R  6


=0,15
N1
U1d
220
R=4.5 Ом
Ответ: 4,5 Ом.
6.3
В пространство между полюсами электромагнита подвешиваются
поочередно висмутовый и алюминиевый стержни. Оказалось, что при
включении электромагнита алюминиевый стержень располагается вдоль
магнитного поля, а висмутовый — поперек магнитного поля. Объяснить
различие в их поведении.
ОТВЕТ:
Различие в поведении вызвано тем, что алюминий парамагнетик, а висмут
димагнетик.
Образцы из пара- и диамагнетика, помещенные в неоднородное магнитное поле
между полюсами электромагнита, ведут себя по-разному – парамагнетики
втягиваются в область сильного поля, диамагнетики – выталкиваются .
Парамагнетик (1) и диамагнетик (2) в неоднородном магнитном поле:
8.8 Колебательный контур содержит катушку индуктивностью L = 25 мГн,
конденсатор емкостью С = 10 мкФ и резистор сопротивлением R = 1 Ом.
Конденсатор заряжен количеством электричества Qm = 1 мКл.
Определить: 1) период колебаний контура;
2) логарифмический декремент затухания колебаний;
3) уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках конденсатора от
времени.
Дано:
СИ:
С=10 мкФ
С=10-5 Ф
L=25 мГн
L=0,025 Гн
R=1 Ом
qm=1 мКл
qm=10-3 Кл
Т, , U(t) =?
Разность потенциалов на обкладках конденсатора: U 
q q m  t

e cost  
C C
Определим период колебаний Т=2 LC =2 25  10 3  10 5 =2510-5 =10-3 с=
3,14 мс
Определим коэффициент затухания  
R
1

 20
2L 2  0,025
Логарифмический декремент затухания колебаний  = Т=2010-3 с =0,063

2
2

 2000 с 1
3
Т  10
=0
10 3  20 t
U  5 e cos 2000 t  100 e  20 t cos 2000 t
10
Ответ: 1) 3,14мс; 2) 0,063; 3) U = 100e-20tcos2000t, B
8.21 К зажимам генератора присоединен конденсатор емкостью С = 0,15 мкФ.
Определить амплитудное значение напряжения на зажимах, если амплитудное
значение силы тока равно 3,3 А, а частота тока составляет 5 кГц.
Дано:
СИ:
С=0,15 мкФ
С=1,510-7 Ф
Im=3.3 A
=5103 Гц
=5 кГц
Um=?
Собственная циклическая частота колебания 0=2=25103 =104 рад/с
Максимальная сила тока равна Im=0qm
Тогда амплитудное значение заряда: q m 
Im
I
 m
0 2
Максимальное значение заряда можно определить по формуле:
qm=CUm
Следовательно:
Um 
qm
I
3.3
 m 
 700 B
C 2C 2    5  10 3  1.5  10 7
Ответ: 0,7 кВ
9.8 Длина λ электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен
колебательный контур, равна 12 м. Пренебрегая активным сопротивлением
контура, определить максимальный заряд Qm на обкладках конденсатора, если
максимальная сила тока в контуре Im= 1 А.
Дано:
λ =12 м
Im=1 A
Qm=?
Длина волны определяется по формуле λ=сТ
где Т – период колебаний
Максимальная сила тока равна Im=0qm
циклическая частота равна  
Получаем: q m 
2
Т
Im ImT Im
1  12



 0.637  10 8  6.37  10 9 Кл
8
0 2 2c 2  3  10
Ответ: 6,37 нКл.