XI Международная дистанционная олимпиада «Эрудит» Математика 9 класс I тур

XI Международная дистанционная олимпиада «Эрудит»
Математика
9 класс
I тур
Максимальное количество баллов – 30
Ответы
Задание №1. (2 балла) Даны два числа x и y. Про эти числа известно, что x=y+1.
Может ли оказаться так, что x4=y4? Ответ объясните.
Ответ: Да, может. Пусть
,
, тогда х4 = у4 = . Можно доказать, что этот
пример – единственный. Действительно, х4 = у4 , |х| = |у|. Случай х = у невозможен,
случай х= -у дает указанный пример.
Задание №2. (3 балла) На фруктовом рынке продаются арбузы, большие и
маленькие. Сегодня три больших арбуза и один маленький стоят вместе столько
же, сколько пять больших арбузов вчера. А два больших арбуза и один маленький
сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и один маленький вчера.
Выясните, можно ли по этим данным сказать, что дороже: один большой арбуз и
два маленьких сегодня или пять маленьких арбузов вчера? Ответ поясните.
Ответ: Введем обозначения – пусть вчера большой арбуз стоил - b1, а маленький m1, сегодня большой арбуз стоит - b2, а маленький - m2. Согласно условий задачи
получаем, что 3b2+m2=5b1, 2b2+m2=3b1+m1.
Тогда 5m1=5(2b2+m2-3b1)=10b2+5m2-3(3b2+m2)=b2+2m2. Получаем, что пять
маленьких арбузов вчера стоили столько же, сколько один большой и два
маленьких сегодня.
Задание №3. (3 балла) Решите в натуральных числах уравнение
Ответ объясните.
ab+1=(a+1)2.
Ответ: Любая пара вида (t, t-2), где t N, t≥3.
Очевидно, что при а=1 и b=1 уравнение решений не имеет. Преобразуем
уравнение
,
,
. Т.к. так как a
и b – натуральные, то a≠0, получаем a+2-b=0,
a=b-2 и так как a и b– натуральные, то b≥3. Ответ: любая пара вида (t, t-2), где t N,
t≥3.
Задание №4. (4 балла) В трапеции MNPK известно, что MN=PK и MK=3NP. Угол
при большем основании равен 450. Покажите, как разрезать эту трапецию на три
части и сложить из них квадрат. Обоснуйте решение.
Ответ:
Задание №5. (5 баллов) У девятиклассника Саши на столе стоят два графина, в
одном из них 1 литр сока, второй графин пустой. Саша последовательно проводит
переливания из первого графина во второй, из второго в первый и т.д., причем доля
отливаемого сока составляет последовательно: , , и т.д. от количества сока в
графине, из которого сок отливается. Сколько будет сока в графинах после 2007
переливаний? Ответ объясните.
Ответ: 0,5 л сока. После первого, третьего, пятого переливаний в обоих графинах
будет по ½ л сока (это можно заметить, рассмотрев несколько первых переливаний
сока). Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным
номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в графинах было по
0,5 л сока, то при следующем переливании из второго графина берется 1/(2k + 1)
часть, так что в первом графине оказывается – 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) л
сока. При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k +
2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после
седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в графинах будет по
0,5 л сока.
Задание №6. (6 баллов) Найдите все пары чисел (m, n) такие, что каждое из
уравнений x2-mx+n=0 и x2-nx+m=0 имеет два различных натуральных корня.
Ответ объясните.
Ответ: m=5, q=6; m=6 q=5. Пусть х1 и х2 - корни 1-го уравнения, а у1 и у2 – корни
второго уравнения. По теореме Виета из 1-го уравнения следует, что
, из 2 – го уравнения следует, что
Следовательно,
преобразования,
. Сложив почленно эти равенства и выполнив
получим
равенство
.
Каждое слагаемое левой части этого равенства равно 1, либо одно из них равно 2, а
другое 0 (т.к. х1, х2 и у1, у2 - натуральные числа).
1) Если каждое слагаемое левой части равно 1, то х1 = х2 = у1 = у2 =2. Это не
соответствует условию задачи.
2) Если одно из слагаемых равно 2 (если это первое слагаемое, то х1 =2, х2 =3, или
наоборот), тогда
, т.е. у1 =5, у2 =1 (или наоборот). По найденным
значениям х1, х2 и у1, у2 найдем, что m=5, q=6; m=6 q=5.
Задание №7. (7 баллов) Две окружности, радиусы которых равны
и
, касаются в точке M. Касательная, проведенная к окружности с радиусом
из точки N окружности радиуса , касается окружности радиуса
в точке Р.
Найдите MN, если
.
Ответ:
и
. Возможны два варианта расположения окружностей.
Пусть O1 и O2 – центры окружностей радиусов R 1 и R 2 соответственно. Пусть Т –
вторая точка пересечения прямой MN с окружностью радиуса R2, тогда
NP2=NM·NT=16. Углы MTK и MNL равны ПО 900 (как вписанные и опирающиеся
на диаметры). Треугольники MTK и MNL подобны, т.к. углы T и N равны по 900 ,
углы TMK и NML (как вертикальные).
.
Пусть MN=7x MT=3x,
1) Тогда в первом случае NT=MN-MT=4x, тогда 7x·4x=16, x=
MN=7x=
.
, следовательно,
2) Во втором случае: NT=NM+MT=10x, тогда 7x·10x=16, x=
MN=7x=
.
,
следовательно,