C 2 № 1. В правильном тетраэдре плоскостью Решение. найдите угол между медианой Пусть, ребро тетраэдра — высота грани средняя линия треугольника Тогда вательно, — искомый. Кроме того, грани — центр треугольника значит, и — и, следо- откуда Далее имеем: Ответ: C 2 № 2. В правильном тетраэдре дианой боковой грани . Решение. , значит, найдите угол между высотой тетраэдра Пусть и — средняя линия треугольника и, следовательно, . Кроме того, . Пусть длина ребра тетраэдра равна , тогда имеем: и ме- . Тогда Ответ: . C 2 № 3. В кубе мой Решение. Проведем отрезок все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки до пря- и опустим перпендикуляр Искомое расстояние равно высоте на прямоугольного треугольника с прямым углом Ответ: C 2 № 4. Дан куб ны отрезка до плоскости Решение. Длина ребра куба равна Найдите расстояние от середи- Пусть — середина — середина значит, Кроме того, следовательно, плоскость Опустим перпендикуляр из точки на прямую кроме этого, (так как лежит в плоскости ), следовательно, и является искомым расстоянием. Искомый отрезок углом Поэтому является высотой прямоугольного треугольника с прямым Ответ: C 2 № 5. Точка ми и . Решение. — середина ребра Примем ребро куба за единицу. Тогда Прямая параллельна прямой Из прямоугольного треугольника куба . Найдите угол между прямы- . , значит, искомый угол равен углу . с прямым углом имеем: , тогда Ответ также может быть представлен в следующем виде: или Ответ: . C 2 № 6. Точка — середина ребра куба куба плоскостью , если ребра куба равны 2. Решение. мая стью пересекает ребро . Прямая пересекает прямую в точке . Пряв его середине — точке . — сечение куба плоско- В равнобедренный треугольник подобен треугольнику и высота Поскольку . Найдите площадь сечения , . — средняя линия треугольника , получаем: Ответ: 4,5. C 2 № 7. На ребре куба дите угол между прямыми Решение. отмечена точка так, что и . . Най- Примем ребро куба за . Тогда Поскольку Проведем через точку причем треугольники ним). , получаем: и . . прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке , и равны. Искомый угол равен углу (или смежному с В прямоугольном треугольнике В прямоугольном треугольнике с прямым углом с прямым углом В треугольнике откуда Тогда Ответ может быть представлен и в другом виде: Ответ: или . C 2 № 8. На ребре куба дите угол между прямыми Решение. отмечена точка так, что и Най- Примем ребро куба за Поскольку Проведем через точку причем треугольники ним). получаем: В прямоугольном треугольнике откуда и прямую, параллельную Она пересекает ребро в точке и равны. Искомый угол равен углу (или смежному с В прямоугольном треугольнике В треугольнике Тогда с прямым углом с прямым углом тогда Ответ может быть представлен и в другом виде: или Ответ: C 2 № 9. Точка — середина ребра ми и . Решение. через точку , причём куба . Найдите угол между прямы- Примем ребро куба за единицу. Тогда . Проведём прямую, параллельную . Она пересекает продолжение ребра в точке . Искомый угол равен углу В прямоугольном треугольнике (или смежному с ним). с прямым углом В прямоугольном треугольнике с прямым углом В треугольнике откуда а тогда . Ответ: . C 2 № 10. Точка — середина ребра куба куба плоскостью если ребра куба равны Решение. Найдите площадь сечения Прямая костью пересекает ребро В равнобедренном треугольнике Прямая пересекает прямую в точке . в его середине — точке — сечение куба плос- имеем и высота Поскольку Ответ: — средняя линия треугольника получаем: C 2 № 11. Длины ребер равны соответственно Решение. как угольника то откуда и и прямоугольного параллелепипеда Найдите расстояние от вершины до прямой Опустим из точки перпендикуляр на прямую Так а, значит, отрезок ― высота прямоугольного треДалее находим: Ответ: 12. C 2 № 12. Длины ребер BC, BB1 и BA прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 8, 12 и 9. Найдите расстояние от вершины D1 до прямой A1C. Решение. как то угольника A1CD1, откуда Ответ: Опустим из точки D1 перпендикуляр D1E на прямую A1C. Так а, значит, отрезок D1E ― высота прямоугольного треДалее находим: