Дорогие ребята, заочная школа юных математиков в рамках “Школы юных” Гомельского государственного университета имени Франциска Скорины начинает свою работу. Ниже представлен набор задач, некоторые из которых предлагались на вступительных экзаменах в различные вузы, а некоторые носят олимпиадный характер (хотя это разделение условно). Присылайте ваши подробные решения на наш email ( ………) независимо от количества решённых задач. Активные участники нашей школы будут приглашаться на лекции и практические занятия по различным разделам школьной математики, которые будут читаться профессорами и доцентами математического факультета нашего университета. Приглашаем Вас к сотрудничеству и желаем успехов! 1 уровень 1. Решить неравенство (физич. факульт., МГУ, 1992 г.) 8x 1 4 x 2 ( 2 балла) 2. Решить уравнение (физич. факульт., МГУ, 1992 г.) 5 3 cos 2x 8 sin x ( 3 балла) 3. Решить уравнение (МИЭТ) 2 x 3 11 ( 2 балла) 2 уровень 1. Решить уравнение (МГУ, геолог. факульт.) x 1 2x 5 x 2 ( 4 балла) 2. Четвёртый член арифметической прогрессии равен 16, а сумма седьмого и десятого 5. Найдите сумму первых восемнадцати членов этой арифметической прогрессии. (МГУ, геолог. факульт.) ( 4 балла) 3. Решить систему уравнений (МГУ, эконом. факульт.) 3x 2 2 xy 9 x 4 y 6 0 2 5 x 2 xy 12 x 4 y 4 0 ( 5 баллов) 3 уровень 1. В треугольнике ABC BAC 45 , BCA 30 , AB=4. Найти S ABC . ( 6 баллов ) 2. Решить неравенство 5 8x 2 x 1 ( 6 баллов) 3. Решить неравенство (МГУ, эконом. факульт.) 2 x x x 3 1 2 ( 7 баллов) 4 уровень 1. Найти сумму корней уравнения x 2 3x 2 5 x 7 x 12 2 ( 8 баллов) 2. Найти сумму корней уравнения x 2 2x 25 10 13 2 x x ( 8 баллов) 3. Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С. Окружность радиуса 15 проходит через точки A, C, D и пересекает AB в AF 3 . Найти S ABC . точке F так, что ( 9 баллов) AB 5 5 уровень 1. Известно, что некоторая нечётная функция при x 0 определяется формулой 1 . Найти, какой формулой определяется функция f (x) при x 0 . f ( x) 1 x 1 Решить уравнение f ( x) . (11 баллов) 2 2. f ( x) 1 1 . Вычислить f ( f ...( f ( ))) . 3 1 x3 2 (13 баллов) 2009 ðàç 3. x 0, y 0, z 0. xy yz zx 4 , xyz 1. Доказать, что x y z 2 2 2 2 2 2 x y y z z x2 (12 баллов)