...2 ссылки из Риоу ...полную ссылку на 2 Летохова, Кука. ...ссылку
advertisement
...2 ссылки из Риоу
...полную ссылку на 2 Летохова, Кука.
...ссылку на электроны над поверхностью гелия
...Лёша Гагарский проверяет главу о системе позиционирования и о подготовке оптических
элементов
...Костя и Лёша: альтернативные модели описания взаимодействия нейтронов с
шероховатым поглотителем
...замечания от Лёши Воронина к теоретической части статьи
Исследование
квантовых
состояний
гравитационном поле Земли над зеркалом.
нейтронов
в
В.В.Несвижевский, Х.Г.Бёрнер, А.К.Петухов (Институт Лауэ-Ланжевена,
Гренобль, Франция)
Т.А.Баранова, А.М.Гагарский, Г.А.Петров (Петербургский Институт
Ядерной Физики, Гатчина, Россия)
К.В.Протасов (Лаборатория Суб-атомной Физики и Космологии, Гренобль,
Франция)
А.Ю.Воронин (Физический Институт Академии Наук, Москва, Россия)
Ш.Бэсслер (Университет Майнца, Германия)
Н.Абеле (Университет Гайдельберга, Германия)
А.Вестфаль (ДЕЗИ, Гамбург, Германия)
Л.Люковак (Университет Жозефа Фуррье, Гренобль, Франция)
Абстракт.
Исследовано явление квантования состояний нейтронов в потенциальной
яме, образованной гравитационным полем Земли и горизонтальным зеркалом.
Оценены характерные размеры волновых функций нейтронов в двух нижних
квантовых состояниях. Они соответствуют ожидаемым величинам в пределах
погрешности ~25 %. Измерено пространственное распределение плотности
нейтронной стоячей волны над зеркалом для смеси нескольких нижних квантовых
состояний при помощи нейтронного детектора высокого пространственного
разрешения 1-2 μm, разработанного специально для этой задачи. Настоящий
эксперимент позволил получить верхнее ограничение на интенсивность
гипотетического
дополнительного
фундаментального
взаимодействия,
связывающего нейтрон и нижнее зеркало на характерном масштабе 1 nm – 10 μm,
причём в области нескольких нанометров настоящее ограничение немного
улучшает существовавшие до этого пределы. Изучены систематические ошибки,
присущие использованному «проточному» методу измерения, а также способы
дальнейшего увеличения точности этого эксперимента.
PACs Codes : 03.65, 28.20
Keywords : Neutrons, Quantum Mechanics, and Gravitation
Corresponding author : Valery Nesvizhevsky, Institute Laue-Langevin, 6 rue Jules
Horowitz, BP156, F-38042, Grenoble Cedex 9, France; phone: (+33)476207795; fax: (+33)-476207777, E-mail: nesvizhevsky@ill.fr
1
Введение.
Квантовая механика предполагает, что элементарая частица, или любой
другой материальный объект, находится в связанных квантовых состояниях в
достаточно глубокой потенциальной яме, независимо от природы удерживающего
потенциала. Это означает, что набор величин разрешённых энергий определён
массой частицы и формой удерживающего её потенциала, а вероятность
нахождения частицы в любой точке пространства равна квадрату её собственной
волновой функции в соответствующем квантовом состоянии. А удерживающий
частицу потенциал может быть любым из четырёх известных типов: электромагнитным, сильным, слабым или гравитационным. Естественным примером
квантовых состояний материи в электро-магнитном поле являются состояния
электронов в атомах [1], а в сильном ядерном поле – состояния нейтронов и
протонов в ядрах [2]. Наблюдение аналогичного явления в гравитационном поле
осложнено чрезвычайной слабостью гравитационного взаимодействия в
лабораторных условиях. Однако, оно всё-таки возможно, если гравитационное поле
Земли создаёт одну из стенок потенциальной ямы, а второй её стенкой является
горизонтальное зеркало, отражающее частицу и тем самым ограничивающее
область, в которой она может двигаться. Уравнение Шредингера, описывающее
квантовые состояния частицы с массой m , движущейся в гравитационном поле
Земли с ускорением свободного падения g над идеальным горизонтальным
зеркалом решено аналитически в общем виде в учебниках по квантовой механике
[3, 4, 5, 38]. Для макроскопических объектов в обычных условиях
соответствующие квантовые эффекты пренебрежимо малы, однако они могут быть
существенны для тел с малой массой: для элементарных частиц [6], в частности
нейтронов [7], или для атомов [8, 9]. Для заряженных частиц доминирующим
взаимодействием оказывается электро-магнитное, что делает эксперимент по
наблюдению их квантовых состояний в гравитационном поле практически
неосуществивым. Измерения же с нейтронами и с нейтральными атомами
принципиально возможны, хотя и затруднены многими методическими факторами,
как, например, чрезвычайно малой плотностью в фазовом пространстве нейтронов
низкой энергии (эффективная температура нейтронов в нижнем квантовом
состоянии ~20 nK !) или трудностью создания идеального зеркала для нейтральных
атомов. Метод измерения квантовых состояний нейтральных атомов в
гравитационном поле разрабатывался, например, в работах [43, 34, 35],
использующих в качестве зеркала для атомов стоячую лазерную волну [40, 41, 42],
экспоненциально затухающую на границе раздела двух сред, или градиент
магнитного поля от проводника с током [35], имеющего периодическую форму с
близкорасположенными проводниками, по которым течёт ток во встречных
направлениях. Схема эксперимента с нейтронами была предложена в работе [7]. На
основе развития идеи этого эксперимента [10] в институте Лауэ-Ланжевена был
построен прецизионный гравитационный спектрометр нейтронов [11], первое же
измерение с которым позволило обнаружить низшее стационарное квантовое
состояние нейтронов в гравитационном поле Земли [12, 13] над зеркалом. В этом
эксперименте измерялось пропускание нейтронов сквозь узкий зазор между
горизонтальным зеркалом снизу и поглотителем/рассеивателем сверху (для
2
краткости далее будем называть его просто рассеивателем, если это не оговорено
особо). Такой зазор был непрозрачен для нейтронов, если его размер был меньше
высоты, приблизительно равной характерному размеру волновой функции
нейтрона в низшем квантовом состоянии. Эта работа явилась первым
экспериментальным наблюдением квантового состояния материи в потенциальной
яме, образованной гравитационным полем. Родственное явление сдвига фазы
нейтронов под действием гравитационного поля Земли было измерено при помощи
нейтронного интерферометра в работе [14]. Другие схемы наблюдения квантовых
эффектов, связанных с движением нейтронов в гравитационном поле, обсуждались,
например, в работах [15, 16, 17]. Методически наиболее удобной частью
нейтронного спектра в таких экспериментах обычно являются ультрахолодные
нейтроны (УХН) со скоростью ~5 m/s и энергией ~10-7 eV, самая мягкая часть
нейтронного спектра в источниках холодных нейтронов. УХН интенсивно
используются в фундаментальной физике с первых экспериментов по их хранению
в ловушках [18], что обусловило значительный прогресс за прошедшие 35 лет в
методах их спектрометрии и детектирования, в знании особенностей их
взаимодейстрия с веществом. В заметной части работ с УХН использовался канал
[19] УХН высокопоточного реактора Института Лауэ-Ланжевена в Гренобле.
Свойства УХН и области их применения представлены в многочисленных
публикациях, в частности, в работах [20, 21, 22].
В настоящей работе более подробно изучается явление квантования
состояний нейтронов в гравитационном поле Земли над горизонтальным зеркалом,
измеренное ранее в работе [12, 13]. Как экспериментальная установка, так и метод
измерения аналогичны тем, что использовались в предыдущем эксперименте.
Однако, в настоящей работе приборное разрешение спектрометра улучшено за счёт
усовершенствования системы позиционирования рассеивателя. Кроме того,
статистическая точность увеличена за счёт оптимизации транспорта нейтронов
перед входом в экспериментальную установку и за счёт более эффективного
использования пучкового времени благодаря полной автоматизации эксперимента.
Подробнее изучены систематические ошибки использованного метода измерения и
пути их преодоления. Оценено сверху время хранения нейтронов в квантовых
состояниях, что важно для изучения возможности применения «накопительного»
метода, предусматривающего длительное удержание нейтронов в закрытой
зеркальной ловушке и их резонансный переброс из одного квантового состояния в
другое, например, при помощи метода осцилляций отражающей поверхности, по
аналогии с работой [23], или даже при помощи вариации гравитационного поля за
счёт осциляции массы вблизи от экспериментальной установки. Такой
прецизионный эксперимент мог бы быть использован, например, для проверки
электро-нейтральности нейтрона; для проверки слабого принципа эквивалентности,
применительно к движению квантовой частицы [24, 25], или для поиска
гипотетических
дополнительных
короткодействующих
фундаментальных
взаимодействий [26, 32, 37, 33, 36, 39], наличие которых привело бы к нарушению
слабого принципа эквивалентности.
Статья построена следующим образом: Сначала указаны особенности
экспериментальной установки, отличающие её от той, что была использована в
предыдущей работе [13], а также описаны измерение спектра горизонтальных
3
составляющих скорости нейтронов и оценка качества нейтронных зеркал. Затем
рассмотрены факторы, определяющие пространственное разрешение спектрометра
и предложено модельное описание зависимости счёта детектора от величины
зазора между зеркалом и рассеивателем. После этого представлены измерения,
выполненные с разными горизонтальными составляющими скорости нейтронов и с
разными рассеивателями нейтронов. Далее – измерение с двумя последовательно
расположенными рассеивателями, первый из которых формирует спектр нейтронов
(выделяет 3-4 нижних квантовых состояния), а второй – анализирует полученное
распределение. Затем представлены предварительные результаты прямого
измерения вероятности нахождения нейтронов над зеркалом в зависимости от
высоты над зеркалом, полученные при помощи позиционно-чувствительного
детектора с высоким пространственным разрешением 1-2 μm. Наконец, в качестве
примера использования результатов этого эксперимента, представлено верхнее
ограничение
на
интенсивность
дополнительного
короткодействующего
взаимодействия.
Измерение
с
нейтронным
детектором
высокого
пространственного разрешения, процедура извлечения верхнего ограничения на
дополнительные короткодействующие силы, а также более точное и
последовательное теоретическое описание взаимодействия нейтронов с
шероховатым рассеивателем представлены более подробно в работах [28, 29, 30].
Экспериментальная установка.
Установка и метод измерения были аналогичны тем, что использовались в
работе [11, 12, 13]. Поэтому мы отметим (где это будет уместно) только
особенности нового эксперимента, а подробное изложение метода измерения и
описание экспериментальной установки могут быть найдены в предыдущих
публикациях.
Принципиальная схема эксперимента показана на Рис. 1.
4
1
6
2
5
3
Рис. 1. Принципиальная схема эксперимента. Слева направо:
вертикальными сплошными отрезками показаны верхняя и нижняя пластины
входного коллиматора (1); сплошными стрелками показаны классические
траектории нейтронов (2) от коллиматора до входа в зазор между зеркалом (3,
светлый прямоугольник снизу) и рассеивателем (4, чёрный прямоугольник сверху).
Штриховые горизонтальные стрелки иллюстрируют квантовое движение
нейтронов над зеркалом (5), а чёрный квадрат – детектор нейтронов (6).
4
Величина зазора между зеркалом и рассеивателем может быть изменена и
измерена.
Эксперимент заключается в измерении потока нейтронов, проникающих
сквозь зазор между зеркалом и рассеивателем, в зависимости от величины этого
зазора, которая может быть плавно изменена и точно измерена. Поток нейтронов
на входе в экспериментальную установку (на Рис. 1 слева) однороден по высоте и
изотропен по углам в диапазонах, превышающих на порядок величины размер
зазора и угловой аксептанс спектрометра. Спектр горизонтальных составляющих
скорости нейтронов задаётся при помощи входного коллиматора, обе пластинки
которого могут быть независимо друг от друга установлены на требуемую высоту.
Низкофоновый детектор измеряет поток нейтронов на выходе из спектрометра.
В идеальном случае горизонтальное и вертикальное движения нейтронов
независимы. Это справедливо, если отражение нейтронов от зеркала не
перемешивает горизонтальную и вертикальную составляющие их скорости, если
влиянием рассеивателя на движение нейтронов, проникающих сквозь зазор, можно
пренебречь и если на нейтрон действуют только гравитационное поле Земли и
отражающий потенциал зеркала, а влиянием остальных сил можно пренебречь. В
этом случае горизонтальное движение нейтронов подчинено классическим законам
(со средней скоростью ~5 m/s), а вертикальное движение – квантовое, с
вертикальной составляющей скорости несколько сантиметров в секунду и
энергией, соответствующей вертикальному движению, равной несколько peV (10-12
eV). Степень справедливости каждого из этих условий не очевидна заранее и
должна быть проверена экспериментально. В квазиклассическом приближении [3,
4, 5], которое выполняется с высокой точностью в настоящей задаче, энергия
нейтрона в квантовых состояниях En (n 1,2,3...) , в соответствии с формулой БораЗоммерфельда, равна:
2
1
9m
En 3
(1)
g n
4
8
Как видно из выр. (1), величина энергии зависит только от массы нейтрона, от
ускорения свободного падения и от постоянной Планка 6.6 10 16 eV s , и не
зависит от параметров зеркала, представляющего из себя бесконечно высокую и
резкую потенциальную ступеньку относительно характерных параметров задачи.
Для сравнения: энергия нейтронов в нижнем квантовом состоянии ~10-12 eV много
меньше Ферми-потенциала зеркала ~10-7 eV, а область нарастания Фермипотенциала ~1 nm много короче длины волны нейтрона в нижнем квантовом
состоянии ~10 μm. Строгое решение соответствующего уравнения Шредингера
приведено, например, в работах [3, 4, 5]. Выражение для значений энергии En , в
отличие от выр. (1), записывается лишь с использованием специальных функций
(Эйри) и поэтому более громоздко; однако, оно обладает теми же свойствами:
зависит только от значений m , g , , n .
Основные изменения экспериментальной установки по сравнению с
предыдущим измерением заключаются в следующем: 1) Значительно увеличена
точность и воспроизводимость позиционирования рассеивателя за счёт применения
5
ёмкостного метода измерения величины зазора между зеркалом и рассеивателем
(сама система его позиционирования осталась прежней); 2) Увеличена
статистическая чувствительность эксперимента за счёт оптимизации транспорта
нейтронов перед входом в спектрометр, а также за счёт полной автоматизации
измерения; 3) Разработан новый нейтронный детектор с ещё более низким
собственным фоном. 4) Изготовлены новые оптические элементы (зеркала и
рассеиватели), которые будут описаны ниже, по мере того как это будет нужно для
представления результатов эксперимента.
Измерение спектра горизонтальных составляющих скорости нейтронов
вдоль оси нейтронного пучка.
Спектр горизонтальных составляющих скорости детектируемых нейтронов
измерялся тем же способом, что и в работе [13], основанным на значительном
параболическом искривлении траектории свободного нейтрона в гравитационном
поле Земли. Пролётная база, то есть расстояние между входным коллиматором и
зеркалом составляло l 10.5 см. Длина зеркала вдоль нейтронного пучка была
равна 12 см. Длина рассеивателя по направлению вдоль оси нейтронного пучка
составляла 10 см. Размер зазора между зеркалом и рассеивателем при измерении
спектра горизонтальных составляющих скорости нейтронов был равен 150 μm.
Макроскопическая плоскостность рассеивателя была <0.5 μm. Полный профиль
рассеивателя измерялся стандартными способами, в частности при помощи
микроскопа атомных сил. Пример такого измерения в одной небольшой области
рассеивателя показан на Рис. 19.
3.0µm
3.0µm
Рис. 2. Профиль поверхности рассеивателя с медным покрытием,
измеренный при помощи микроскопа атомных сил. Разница между самой глубокой
и самой высокой точкой на рисунке равна 2 μm.
Поверхность рассеивателя была покрыта слоем меди толщиной 0.2 μm
методом магнетронного напыления, служащим верхним электродом в ёмкостном
методе измерения расстояния между зеркалом и рассеивателем. Средняя
шероховатость поверхности рассеивателя составляла 0.7 μm, что достаточно для
того, чтобы нейтроны эффективно рассеивались в незеркальном направлении с
6
увеличением вертикальной составляющей скорости и, вследствие этого, с бóльшей
частотой бились о поверхности рассеивателя и зеркала, и быстро поглощались в
них. Интегральный метод измерения спектра горизонтальных составляющих
скорости нейтронов по направлению вдоль оси нейтронного пучка схематически
проиллюстрирован на Рис. 2. Как видно из этого рисунка, нейтроны, способные
проникнуть в щель между зеркалом и рассеивателем, движутся, в классическом
приближении, по параболам, которые в верхней точке своей траектории не
поднимаются выше рассеивателя и, естественно, проходят выше нижнего зеркала.
Это условие, а также малость размера щели между зеркалом и рассеивателем
относительно размера щели во входном коллиматоре, однозначно связывают
горизонтальную составляющую скорости нейтрона вдоль оси нейтронного пучка
Vhor с разностью l высоты верхней точки параболической траектории нейтрона и
высоты этой траектории вблизи входного коллиматора. Время пролёта l между
коллиматором и зеркалом составляет:
l
l
(2)
Vhor
А разность по вертикали между высотой параболической траектории нейтрона
вблизи входного коллиматора и высотой рассеивателя равна:
g l2
l
(3)
2
Таким образом, очевидно:
g
(4)
Vhor l
2 l
3
1
∆l
4
l
2
Рис. 2. Схема интегрального метода измерения спектра горизонтальных
составляющих скорости нейтронов вдоль оси нейтронного пучка и схема метода
дискриминации этого спектра. Чёрные вертикальные отрезки слева показывают
верхнюю (1) и нижнюю (2) пластинки входного коллиматора, каждая из которых
может быть независимо установлена на нужную высоту. Чёрный обрезанный
сверху прямоугольник обозначает рассеиватель (3); светлый обрезанный снизу
7
прямоугольник – зеркало (4). Расстояние по горизонтали от входного коллиматора
до зеркала равно l . Траектория нейтрона поднимается по вертикали на l при
перемещении по горизонтали на длину l . Траектория нейтрона в точке касания
рассеивателя – горизонтальна.
Результаты измерения спектра горизонтальных составляющих скорости
нейтронов вдоль оси нейтронного пучка показаны на Рис. 3.
Рис. 3. Измерение спектра горизонтальных составляющих скорости
регистрируемых нейтронов. Кружками показаны результаты измерения спектра,
выполненного при помощи перемещения верхней пластинки входного коллиматора
(нижняя пластинка в самом нижнем положении). Звёздочками показаны
результаты измерения, выполненного при помощи перемещения нижней пластинки
входного коллиматора (верхняя пластинка в самом верхнем положении).
Сплошные кривые фитируют экспериментальные данные зависимостью
Больцмана (для наглядности) в обоих случаях.
Как видно из Рис. 3, два способа измерения спектра горизонтальных
составляющих скорости нейтронов – при помощи верхней и нижней пластинок
входного коллиматора – дают одинаковый результат. При этом, очевидно,
статистически более точными в мягкой части спектра являются измерения при
помощи верхней пластинки входного коллиматора, а в жёсткой части спектра – при
помощи нижней пластинки входного коллиматора.
8
Измерение степени зеркальности отражения нейтронов от зеркал.
Степень зеркальности отражения нейтронов от зеркал оценивалась
несколькими способами. Крупномасштабная волнистость поверхности зеркал,
которая могла бы привести к малоугловому рассеянию нейтронов, измерялась
методом дифракции света. Микро-шероховатость поверхности, которая могла бы
привести к рассеянию нейтронов на большие углы, оценивалась методом
отражения рентгеновских лучей. Оба измерения показали, что качество
изготовления зеркал было достаточно высоко для того, чтобы соответствующие
эффекты не мешали проведению эксперимента на требуемом уровне точности.
Однако, наиболее прямым и легко интерпретируемым является
эксперимент, в котором поверхность исследуется при помощи отражения
нейтронов приблизительно той же длины волны, что и в основном эксперименте.
Как отмечалось, ожидаемая вероятность потери нейтрона с зеркальной траектории
мала, и поэтому её трудно было бы измерить при однократном отражении
нейтронов от поверхности. Чтобы увеличить наблюдаемый эффект выбывания
нейтронов с зеркальных траекторий, нейтронам было позволено многократно
последовательно отразиться от исследуемых поверхностей. Это достигалось
пропусканием нейтронного пучка в небольшой зазор между двумя параллельными
зеркалами под углом к плостости зеркал. Принципиальная схема измерения
показана на Рис. 4.
4
1
3
2
1
4
Рис. 4. Схема измерения вероятности потери УХН с зеркальной
траектории при отражении от поверхности зеркал. Светлые прямоугольники
показывают два параллельных зеркала (1), стрелки – направление оси нейтронного
пучка (2), а квадрат – нейтронный детектор (3), находящийся на расстоянии 4 см
от зеркал и защищённый горизонтальной щелевой диафрагмой (4) с размером щели
по вертикали ±2 mm, расположенной на высоте зазора между зеркалами.
Вероятность потери УХН с зеркальной траектории оценивалась методом
измерения полного потока нейтронов, проходящих в зазор между двумя
параллельными зеркалами, в зависимости от расстояния между этими зеркалами,
как показано на Рис. 4. Нижнее зеркало – это полированное стекло, использованное
в основном эксперименте. Верхнее зеркало – это идентичное стекло, но покрытое
слоем меди толщиной 0,2 μm методом магнетронного напыления. Расстояние
между зеркалами измерялось ёмкостным методом и устанавливалось при помощи
9
пьезо-элементов, как и в основном эксперименте (подробнее процедура измерения
расстояния описана ниже). Наклон оси нейтронного пучка относительно плоскости
зеркал составлял 2.5·10-2 радиан и обеспечивал многократное отражение нейтронов
от противоположных поверхностей. Результаты этого измерения показаны на Рис.
5.
Рис. 5. Измерение потока нейтронов F (z ) , проникающих под средним
углом ~2.5·10-2 rad сквозь зазор между двумя параллельными зеркалами в
зависимости от расстояния между ними. Одно зеркало – полированное стекло,
другое – аналогичное стекло, покрытое слоем меди. Кружками показаны
экспериментальные данные, а сплошной линией – результат их фитирования
зависимостью F (z ) z (1 K loss ) L / z .
Рассмотрим результаты измерения, представленного на Рис. 5. Если бы
вероятность зеркального отражения была равна единице, то поток нейтронов был
бы пропорционален размеру зазора (в пренебрежении квантовыми эффектами в
такой системе). Однако, потери нейтронов при отражении уменьшают поток
нейтронов, проникающих сквозь зазор по зеркальным траекториям, особенно если
размер зазора мал и, следовательно, нейтроны испытывают много
последовательных отражений. В первом приближении нейтронный поток равен:
F (z ) z (1 K loss ) L / z ,
(5)
10
где K loss – вероятность потери нейтрона с зеркальной траектории, не зависящая от
угла падения и скорости нейтронов, L - длина зеркал, - средний угол наклона
нейтронного пучка по отношению к плоскости зеркал, - нормировочный
коэффициент, а z - расстояние между зеркалами.
Если бы вероятности потери нейтронов с зеркальной траектории при
отражении от стеклянной и медной поверхностей Kloss совпадали, то эта величина
составляла бы (6±1)·10-3 на один удар. Разумно предположить, что зеркальность
стеклянной поверхности выше, поэтому Kloss для неё ещё меньше. И уж во всяком
случае Kloss не превышает (1.2±0.2)·10-2 на удар даже в предположении
идеальности зеркала с медным покрытием. При малых размерах зазора поток
нейтронов систематически превышает фитирующую кривую, потому что
усреднённым коэффициентом Kloss в выр. (5) нельзя пользоваться, если число
ударов достаточно велико для того, чтобы изменить угловое распределение
нейтронов в зазоре. В любом случае результирующая вероятность потери
нейтронов с зеркальной траектории <1%.
Аналогичное измерение было проведено для оценки потери нейтронов с
зеркальных траекторий при отражения от стеклянного зеркала с покрытием антиотражающим сплавом Ti-Zr-Gd в пропорции 54%-11%-35% толщиной 0.2 μm,
который обычно используется при производстве поляризаторов холодных
нейтронов [27]. Для этого измерения зеркало с медным покрытием было заменено
на другое зеркало с таким анти-отражающим покрытием. Результат показан на Рис.
6.
11
Рис. 6. Измерение потока нейтронов проникающих под средним углом
~2.5·10-2 rad сквозь зазор между двумя параллельными зеркалами в зависимости
от расстояния между ними. Одно зеркало – полированное стекло, другое зеркало –
аналогичное стекло, покрытое слоем Ti-Zr-Gd. Кружками показаны
экспериментальные данные, а сплошной линией – результат их фитирования
зависимостью F (z ) z (1 K loss ) L / z .
Если бы вероятности потери нейтронов с зеркальных траекторий при
отражении от стеклянной и гадолиниевой поверхностей были равны, то величина
Kloss составляла бы (1.5±0.3)·10-2 на один удар. Однако, как ясно из сравнения
результатов этого измерения с результатами предыдущего, основные потери
нейтронов с зеркальных траекторий во втором измерении обусловлены их
неполным отражением от зеркала с анти-отражающим покрытием, то есть
вероятность выбывания нейтронов с зеркальной траектории при ударе об антиотражающее покрытие составляет ~3% на удар. Сравним нормальную
составляющую скорости нейтронов в этом измерении и граничную скорость
поверхности. Средний угол падения нейтронов на зеркало составлял 2.5·10-2, а
средняя продольная составляющая скорости нейтронов была равна ~6.5 m/s. Таким
образом, средняя нормальная к поверхности составляющая скорости нейтронов
была равна ~15 cm/s. Потенциального барьера 0,15 neV было бы достаточно для
полного отражения таких нейтронов. Это в ~103 раз меньше, чем величины
12
потенциального барьера для чистых веществ (Ti, Zr, Gd), из которых состоит антиотражающее покрытие. Хотя их пропорции были выбраны так, чтобы приблизить
суммарный потенциальный барьер к нулю, однако степень компенсации
начального барьера лучше, чем в 102 раз, сомнительна по технологическим
причинам, что означает, что остаточный небольшой потенциальный барьер был,
по-видимому, достаточен для отражения нейтронов от недокомпенсированного
потенциального барьера анти-отражающего покрытия. Кроме того, даже в случае
полной компенсации вещественной части потенциала, нейтроны отражались бы
эффективно от мнимой его части, ответственной за так называемое металлическое
отражение от сильнозахватывающих материалов.
Пространственное разрешение спектрометра.
Наш прибор является прецизионным однокомпонентным гравитационным
спектрометром нейтронов. Что ограничивает его пространственное разрешение в
режиме сканирования нейтронной плотности рассеивателем?
1) Такие фундаментальные факторы, как конечная проницаемость
гравитационного барьера (т.е. фактор, определяющий вероятность обнаружить
нейтрон выше, чем классически разрешённая высота), или, другими словами,
конечная резкость спада с высотой Эйри-функций, задающих собственные
состояния нейтронов в квантовых состояниях; а также конечное время наблюдения
нейтронов в спектрометре; 2) Неточность модельного описания взаимодействия
нейтрона с рассеивателем, включающая, в частности, деформацию волновых
функций нейтронов рассеивателем; 3) Такие (принципиально преодолимые)
приборные ограничения, как, например, неточность позиционирования
рассеивателя над зеркалом, или степень монохроматизации пучка нейтронов.
Рассмотрим эти ограничения.
Фундаментальные ограничения пространственного разрешения и
модельное описание взаимодействия нейтронов с рассеивателем.
Рассмотрим две похожие модели взаимодействия нейтронов с шероховатым
рассеивателем. Первая модель предполагает пропорциональность вероятности
уничтожения нейтронов в каждом квантовом состоянии невозмущённой
рассеивателем вероятности нахождения нейтрона в этом состоянии на высоте
рассеивателя. Вторая модель рассматривает потерю нейтрона в случае, когда
рассеиватель расположен над зеркалом выше, чем максимальная классически
разрешённая высота для нейтрона данной энергии zcl E / mg , как следствие его
тунелирования сквозь гравитационный барьер, отделяющий классически
разрешённую область от рассеивателя.
Причиной
основного
ограничения
простанственного
разрешения
спектрометра в режиме сканирования нейтронной плотности рассеивателем
является недостаточно резкое уменьшение проницаемости гравитационного
барьера с увеличением высоты рассеивателя (модель тунелирования сквозь
13
гравитационный барьер) или недостаточно резкий спад собственных волновых
функций нейтронов от высоты (модель невозмущённых волновых функций).
Оценим величину этого эффекта.
Невозмущённая рассеивателем вероятность нахождения нейтрона в n ом
квантовом состоянии на высоте z равна квадрату волновой функции нейтрона
n2 ( z ) в этом квантовом состоянии и, строго говоря, отлична от нуля на сколь
угодно большой высоте. Однако, как только высота z превышает некоторую
критическую величину z n , характерную для n -ого квантового состояния, и
соответствующую классической точке перегиба траектории нейтрона с энергией
En , так вероятность найти нейтрон начинает экспоненциально быстро стремиться к
нулю.
Ассимптотическое поведение собственных волновых функций нейтрона
n (z ) на высотах z zn следующее [5]:
1
1
2 32
4
n ( ( z )) Cn
Exp[ ] , при ,
4
3
где C n - известные нормировочные константы порядка единицы;
z
n ;
z0
а z0 - характерный масштаб длины гравитационных состояний, равный
(6)
(7)
2
.
(8)
2 m2 g
Для нейтрона у поверхности Земли эта величина составляет 5.87 μm.
Значения n определяют квантовые уровни энергии En mgz0n . Для 10 нижних
квантовых состояний они равны:
(9)
n : {2.34, 4.09, 5.52, 6.79, 7.94, 9.02, 10.04, 11.01, 11.94, 12.83 ...}.
Соответственно, классически допустимые высоты
(10)
zn n z0 ,
по достижении которых волновые функции n (z ) начинают экспоненциально
быстро стремиться к нулю, для 10 нижних квантовых состояний равны:
(11)
zn = {13.7, 24.0, 32.4, 39.9, 46.6, 53.0, 58.9, 64.6, 70.1, 75.3 ...} μm.
z0 3
Вероятность n2 ( ( z )) найти нейтрон на высоте z равна квадрату волновой
функции нейтрона, заданной выр. (6):
1
3
Cn2
4 2
2
2
n ( )
Exp[ ] , при
(12)
4
3
Невозмущённая вероятность найти нейтрон на высоте, на которой
расположен рассеиватель, и определяет в первом приближении ту скорость, с
которой соответствующее квантовое состояние уничтожается рассеивателем. Она
пропорциональна обратному времени уничтожения нейтрона в n -ом квантовом
состоянии ( nabs ) 1 :
14
4 3
Exp 2 , при z
(13)
3
Значение коэффициента пропорциональности , отвечающего за эффективность
рассеивателя, одинаково для всех квантовых состояний; ассимптотическая
зависимость волновых функций n ( ( z zn )) от параметра ( z zn ) одинакова.
Очевидно, вероятности уничтожения равны при одинаковых значениях параметра
(z zn ) для разных квантовых состояний с точностью до нормировочного
( nabs ( (z ))) 1 Cn2
1
2
коэффициента Cn , слабо изменяющегося от одного квантового состояния к
другому.
Вероятность Pn (z,Vhor ) прохождения нейтрона в n ом квантовом
состоянии с горизонтальной составляющей скорости вдоль оси пучка Vhor в зазор
между зеркалом и рассеивателем, разделёнными расстоянием z , определяется
соотношением между временем прохождения нейтрона под рассеивателем
pass (Vhor ) и временем nabs (z ) , необходимым для поглощения n го квантового
состояния рассеивателем, установленным на высоте z :
pass (V )
(14)
Pn (z,Vhor ) Exp[ abs hor ] .
n (z )
Время прохождения нейтрона между зеркалом и рассеивателем равно:
L
pass (Vhor )
,
(15)
Vhor
где L - длина зазора между зеркалом и рассеивателем по направлению вдоль оси
нейтронного пучка.
Поскольку в нашем эксперименте при значениях z zn и z zn время
уничтожения квантового состояния abs (z ) (выр. (13)) много меньше времени
прохождения нейтронов под рассеивателем pass (выр. (15)), то вероятность
прохождения нейтронов Pn (z,Vhor ) (выр. (14)) в таком случае мала и точная
зависимость abs (z ) в области z zn не имеет значения, например, можно
просто аналитически продолжить выр. (13) в эту область. Тогда вероятность
прохождения нейтрона в n - ом квантовом состоянии в зазор между зеркалом и
рассеивателем равна:
1
4 32
L
2
2
Pn (z,Vhor ) Exp
Cn Exp ,
(16)
V
hor
3
где - коэффициент пропорциональности, отвечающий за эффективность
рассеивателя.
Для совокупности квантовых состояний поток проникающих сквозь зазор
нейтронов F (z,Vhor ) равен:
L
z zn
F (z ,Vhor ) n Exp
Cn2
Vhor
z0
n
15
1
2
3
4 z zn 2
,
Exp
3 z0
(17)
где n – заселённость n -ого квантового состояния.
Перейдём к рассмотрению второй модели. Когда высота рассеивателя
превышает классически допустимую для состояния данной энергии высоту,
вероятность проникновения нейтрона в рассеиватель D( ) с точностью до
коэффициента порядка единицы определяется [4] выражением:
3
4 2
D( ) Exp[ ], 1
(18)
3
и экспоненционально уменьшается, но не обращается точно в нуль, как это было
бы в классической теории. Т.о. состояния нейтрона в гравитационном поле Земли в
присутствии зеркала и рассеивателя становятся квазистационарными, поскольку с
течением времени эти состояния «распадаются» за счёт просачивания нейтронов в
рассеиватель.
Время жизни таких состояний, или вероятность распада состояния в
единицу времени можно оценить в квазиклассическом приближении, умножив
частоту столкновений нейтрона с гравитационным барьером n на вероятность
проникновения сквозь барьер:
(19)
n ( ) n D( )
Частота n равна:
n ( En 1 En ) /
(20)
Очевидно, при достаточно высокой эффективности рассеивателя вероятность D( )
следует принять равной 1, если высота рассеивателя меньше критической, и равной
выр. (18), если высота больше критической:
1, 0
3
D( )
(21)
4 2
An Exp[ ], 0
3
здесь An - поправочный коэффицент порядка единицы, уточняющий
квазиклассическое приближение.
Уменьшение
вероятности
обнаружить
нейтрон
в
заданном
квазистационарном состоянии с течением времени определяется выражением:
Pn ( ) Exp(n ( ) )
(22)
В частности, через время, равное времени пролёта нейтрона через щель
вероятность обнаружить нейтрон в заданном состоянии в детекторе равна (выр.
(15)):
L
Pn ( ) Exp(n ( )
)
(23)
Vhor
Легко показать, что выр. (23) в модели туннелирования нейтронов сквозь
потенциальный барьер приводит к почти такому же выражению, как выр. (17) в
модели невозмущённых волновых функций нейтронов с точностью до множителя
z zn
z0
1
2
.
16
Резкость зависимости Pn (z ) (выр. (16), (23)) от величины z превышения
высоты щели над критической для данного состояния высотой и определяет
максимально достижимую величину пространственного разрешения спектрометра
(см. Рис. 7).
Рис. 7. Факторы, определяющие пространственное разрешение
спектрометра в режиме сканирования нейтронной плотности по высоте в модели
1
3
4 z zn 2
z zn 2
Exp
и в модели
невозмущённых волновых функций
z
3
z
0
0
3
4 z zn 2
.
тунелирования нейтронов сквозь гравитационный барьер Exp
3 z0
Как
видно
из
Рис.
7,
вблизи
высот
zn
3
3
z zn 2
4 z zn 2
убывают
Exp
Exp
и
3
z
z
0
0
приблизительно на половине характерной длины z0 5.87 m .
z zn
z
0
1
2
17
оба
в
фактора
e
раз
«Размытость» функции Pn (z ) определяется (выр. (23)), только
проницаемостью гравитационного барьера, или – в модели невозмущённых
волновых функций (выр. (16)) – формой собственных волновых функций нейтрона,
определяемых только гравитационным полем. Как видно из Рис. 7, зависимость
ширины уровня от z тем резче, чем больше z . Такому режиму измерения
соответствуют большие времена нахождения нейтронов под рассеивателем, то есть
более длинная пара зеркало-рассеиватель или меньшая горизонтальная
составляющая скорости нейтронов. Однако, экспериментальные возможности как
уменьшения скорости нейтронов, так и заметного увеличения длины рассеивателя
и зеркала ограничены. Это означает, что в рамках данного эксперимента
разрешающая
способность
спектрометра
ограничена
фундаментальным
физическим явлением – квантовым тунелированием нейтронов сквозь
гравитационный барьер, а не характеристиками прибора, которые можно было бы
легко изменить.
Пространственное разрешение спектрометра могло бы быть значительно
улучшено лишь при увеличении времён хранения нейтронов в спектрометре на
несколько порядков величины при использовании накопительного режима
измерения, как обсуждалось в работе [12, 13]. Эта возможность будет рассмотрена
в последующей работе [30]. Другое радикальное решение проблемы существенного
улучшения разрешения спектрометра состоит в использовании резонансных
переходов между квантовыми состояниями и в измерении резонансных частот этих
переходов.
Модельные зависимости (17) и (23) следует сравнивать с
экспериментальными результатами. При этом эффективная высота шероховатого
рассеивателя определена (с точностью ~1 μm) как средневзвешенная по
шероховатостям высота. Суммарная модельная неопределённость оценивается
нами приблизительно как ±1.5 μm. Точность теоретической интерпретации может
быть повышена в более адекватной модели взаимодействия нейтронов с
шероховатым рассеивателем.
Интересно оценить минимальную неопределённость энергии нейтронов в
квантовых состояниях в настоящем эксперименте, следующую из принципа
неопределённостей. Для этого надо сравнить время пребывания нейтронов в
pass (Vhor )
экспериментальной установке
(выр. (15)) с характерным
квантовомеханическим интервалом времени QM , равным отношению
постоянной Планка к энергии нейтрона в нижнем квантовом состоянии:
QM
0.47ms
(24)
E1
Для средней горизонтальной составляющей скорости 6.5 m/s (см. Рис. 3)
отношение этих времён равно QM / pass (6.5m / s) 3% , что означает, что время
наблюдения в проведённом измерении было достаточно велико для того, чтобы
соответствующей неопределённостью можно было пренебречь.
Неточность позиционирования рассеивателя.
18
Для того чтобы пространственное разрешение спектрометра определялось
фундаментальными причинами, а не приборными ошибками, неопределённость
разрешения из-за неточности позиционирования рассеивателя должна быть меньше
~3 μm, что соответствует резкости спада хвостов волновых функций нейтронов в
квантовых состояниях или резкостью зависимости от высоты проницаемости
гравитационного барьера.
Расстояние между зеркалом и рассеивателем измерялось ёмкостным
методом. Несколько металлических электродов (каждый электрод размером 2.0 см
на 1.5 см и толщиной 0.2 μm) нанесены магнетронным напылением на стеклянную
плоскую поверхность нижнего зеркала. Верхним электродом служит сплошное
металлическое покрытие нижней шероховатой поверхности рассеивателя, также
нанесённое магнетронным напылением толщиной 0.2 μm.
Высота шероховатой поверхности рассеивателя z определена как
средневзвешенная высота по профилю поверхности рассеивателя. Высоты z
порядка амплитуды шероховатостей плохо определены ёмкостным методом,
однако, это несущественно, так как такой зазор непрозрачен для нейтронов. Более
того, выставлению самых малых высот в автоматическом режиме препятствуют
трудноустранимые частички пыли между зеркалом и рассеивателем. На слишком
больших расстояниях (>1 mm) паразитной ёмкостью уже нельзя пренебречь по
сравнению с ёмкостью между электродами. Однако, измерение таких расстояний
не требуется для данного эксперимента. Таким образом, для 2 μm < z < 1 mm
частота колебаний электрического контура, включающего такую ёмкость,
однозначно связана с расстоянием зависимостью, хорошо апроксимируемой
полиномом второй степени, что позволяет прецизионным образом измерять
расстояние.
Однако, однозначность связи между частотой колебаний электрического
контура, включающего соответствующую ёмкость, и расстоянием между
электродами позволяет лишь обеспечить высокую воспроизводимость измерения
расстояния (<< 1 μm), но не абсолютную точность. Абсолютная калиброка этой
процедуры была проведена тремя независимыми способами: 1) При помощи
проволочек-прокладок известной толщины, устанавливаемых между зеркалом и
рассеивателем; 2) При помощи длиннофокусного микроскопа, дающего оптическое
изображение участка зазора одновременно с ёмкостным измерением расстояния; 3)
При помощи прецизионного механического устройства (компаратора),
измеряющего относительное перемещение точки на верхней поверхности
рассеивателя.
Результаты калибровочных измерений расстояния между зеркалом и
рассеивателем показаны на Рис. 8. Все способы калибровки дают
непротиворечивые результаты. Однако, их точности различны и они могут
содержать разные систематические ошибки, поэтому рассмотрим их раздельно. 1)
Измерение расстояния при помощи проволочек-прокладок, по-видимому, является
наиболее точным и надёжным способом. Оно воспроизводится с точностью 0.3 μm
от измерения к измерению и от проволочки к проволочке. Проволочки в процессе
измерения не деформируются. Таким образом измеряется расстояние от плоскости
нижнего зеркала до вершин шероховатостей рассеивателя. Наличие небольшого
19
количества частичек пыли между зеркалом и рассеивателем не вносит
дополнительной погрешности в измерение, потому что вероятность их попадания
под проволочку мала и такое событие легко было бы установить, повторив
измерение несколько раз и проверив его воспроизводимость. Самосогласованность
этого метода проверялась «раздавливанием» капли жидкости известного объёма
между зеркалом и рассеивателем. Площадь пятнышка жидкости, зажатой между
зеркалом и рассеивателем, позволяла измерить расстояние от зеркала до
средневзвешенной по шероховатостям плоскости рассеивателя. В результате, этот
способ калибровки позволяет получить абсолютное значение высоты рассеивателя
с погрешностью <1 μm. 2) Измерение расстояний при помощи длиннофокусного
микроскопа так же, как и измерение с калибровочными проволочками, позволяет
абсолютную калибровку, так как непосредственно фиксирует момент касания
рассеивателя и зеркала. Однако, погрешность такого измерения много выше, что
было обусловлено, в частности, необходимостью дополнительной фокусировки
микроскопа при каждом перемещении рассеивателя. Как видно из Рис. 8, оба
результата совпадают в пределах экспериментальной погрешности. 3) Измерение
при помощи механического компаратора даёт относительную точность ~1 μм,
однако абсолютная калибровка таким методом ненадёжна, так как факт касания
зеркала рассеивателем не проверяется из-за наличия трудноустранимых частичек
пыли между зеркалом и рассеивателем, и для абсолютной калибровки требуется
привлечение других методов.
20
Рис. 8. Участок измерения частоты колебаний электрического контура,
включающего калибруемую ёмкость, от расстояния между зеркалом и
рассеивателем, в диапазоне, представляющем интерес для проведённого
эксперимента с нейтронами. Кругами показаны измерения с проволочкамипрокладками известной толщины. Звёздочками показаны измерения с
длиннофокусным микроскопом. Квадратами показаны измерения одной из
ёмкостей при помощи механического компаратора. Сплошная линия показывает
результирующую калибровочную зависимость, определяемую измерением с
проволочками-прокладками известной толщины, как наиболее точным способом.
Применение указанных методов позволяет провести абсолютную
калибровку измерения высоты с точностью ~0.5 μm. Однако, калибровочные
измерения показали, что разные ёмкостные датчики дают эквивалентные показания
на одинаковых расстояниях с точностью не лучше 5-7 %. Для упрощения же
процедуры измерения датчики считались эквивалентными, что привело к
нестрогой параллельности плоскостей зеркала и рассеивателя. Для проведённого
эксперимента это было допустимо, а в будущих, более точных измерениях степень
параллельности между плоскостями зеркала и рассеивателя может быть улучшена
во много раз. Результирующая погрешность измерения абсолютного расстояния
21
между зеркалом и рассеивателем составляла 1.0 μm при z ~ 15 μm и 1.6 μm при
z ~ 25 μm.
Измерение потока нейтронов сквозь зазор
рассеивателем в зависимости от размера этого зазора.
между
зеркалом
и
Зависимость потока нейтронов сквозь зазор между зеркалом и
рассеивателем в зависимости от размера этого зазора измерялась тем же методом,
что и в работе [12, 13], но с более высокой точностью позиционирования
оптических элементов и с более высокой статистической точностью. Кроме того, в
настоящей работе более детально исследовалась зависимость потока нейтронов
F (z,Vhor ) (выр. (17)) от величины горизонтальной составляющей скорости
нейтронов, а также от типа поглотителя/рассеивателя. Однако, зависимость
эффективности рассеивателя от средней величины шероховатости его поверхности
не была исследована. В настоящем эксперименте она составляла 0.7 μm, что в 1.5
раза меньше, чем в работе [12, 13]. По-видимому, уменьшение величины
шероховатости уменьшает эффективность рассеивателя и ухудшает разрешение
спектрометра. Однако, количественное влияние этого фактора не полностью ясно и
будет исследовано в последующих экспериментах.
Результаты измерения с максимально широким нейтронным спектром и
шершавым медным рассеивателем представлены на Рис. 9.
22
Рис. 9. Зависимость нейтронного потока сквозь зазор между зеркалом и
медным шершавым рассеивателем от размера этого зазора. Круги показывают
результаты измерений. Сплошная кривая соответствует классичекому
ожиданию, отнормированному так, чтобы при больших размерах зазора она
совпадала с экспериментальными данными. Пунктирная кривая показывает
упрощённую квантово-механическую зависимость, предполагающую наличие
только одного нижнего квантового состояния. Горизонтальные прямые
указывают уровень фона детектора и неопределённость его измерения. Спектр
горизонтальных составляющих скорости нейтронов вдоль оси нейтронного пучка
(Рис.3) имеет широкое распределение со средней величиной 6.5 m/s.
Та же зависимость, что и на Рис. 9, но измеренная только с наиболее мягкой
частью полного спектра горизонтальных составляющих скорости нейтронов,
представлена на Рис. 10. Смягчение и монохроматизация спектра горизонтальных
составляющих скорости улучшают пространственное разрешение спектрометра.
23
Рис. 10. Зависимость нейтронного потока сквозь зазор между зеркалом и
медным шершавым рассеивателем от размера этого зазора. Звёздочки
показывают результаты измерений. Сплошная кривая соответствует
классичекому ожиданию, отнормированному так, чтобы при больших размерах
зазора эта кривая совпадала с экспериментальными данными. Пунктирная кривая
показывает упрощённую квантово-механическую зависимость, предполагающую
наличие только одного нижнего квантового состояния. Горизонтальные прямые
указывают уровень фона детектора и неопределённость его измерения. Средняя
величина горизонтальной составляющей скорости нейтронов вдоль оси
нейтронного пучка составляет 4.9±0.2 m/s.
На Рис. 11 сравниваются результаты аналогичных измерений, в которых
различными были только средние горизонтальные составляющие скорости
нейтронов.
24
Рис. 11. Зависимость нейтронного потока сквозь зазор между зеркалом и
медным шершавым рассеивателем от размера этого зазора. Красные ромбы
показывают результаты измерений со средней величиной горизонтальной
составляющей скорости нейтронов 7.8±0.3 m/s; зелёные круги – 6.5±0.2 m/s; синие
звёздочки – 4.9±0.2 m/s. Красная сплошная, зелёная пунктирная и синяя штриховая
кривые показывают соответственно упрощённые квантово-механические
зависимости, предполагающие наличие только одного нижнего квантового
состояния, или, другими словами, апроксимируют соответствующие
экспериментальные данные на малых высотах зависимостью F (z ) ~ (z X )3 / 2 .
Первый и третий наборы данных (коллимированный нейтронный пучок)
отнормированы так, чтобы счёт детектора, усреднённый по всем измерениям,
совпадал с аналогичным счётом, полученным со вторым набором данных,
соответствующим полному спектру горизонтальных скоростей нейтронов.
Горизонтальные прямые указывают уровень фона детектора и неопределённость
его измерения.
Как видно из Рис. 11, чем жёстче спектр горизонтальных составляющих
скорости нейтронов вдоль оси нейтронного пучка, тем меньше величина сдвига X .
Три кривые на Рис. 11, фитирующие экспериментальные данные на малых высотах
рассеивателя, при нулевой высоте стремятся соответственно к величинам X :
13.1±0.2 μm для Vhor =4.9±0.2 m/s; 12.20±0.15 μm для Vhor =6.5±0.2 m/s; и 11.90±0.25
25
μm для Vhor =7.8±0.3 m/s. Это соответствует сдвигу
X
0.4±0.1 μm/(m/s)
(Vhor )
X
=0.16±0.04 μm/(ms) вблизи pass =15 ms.
( (Vhor ))
Интересно сравнить это измеренное значение с теоретическим ожиданием.
Для этого достаточно оценить резкость зависимости F1 (z,Vhor ) от параметра Vhor ,
( F1 (z , Vhor ))
то есть величину
. Из анализа выр. (17) следует, что результат мало (Vhor )
чувствителен к параметрам задачи и соответствует сдвигу кривой пропускания
X
=0.2 μm/(ms). Таким образом, модельный расчёт согласуется с
( pass )
вышеприведённым измерением.
Для повышения пространственного разрешения спектрометра (при
фиксированном размере рассеивателя/поглотителя) или для уменьшения размера
рассеивателя/поглотителя (при фиксированном пространственном разрешении
спектрометра) важно изучить факторы, определяющие эффективность
рассеивателя/поглотителя. До начала эксперимента рассматривались два
методических подхода: собственно поглотитель, обладающий большим сечением
захвата или неупругого рассеяния нейтронов, как это было предложено в работе
[7]; или рассеиватель, принцип действия которого заключается в выводе нейтронов
с зеркальных траекторий благодаря их упругому, но диффузному рассеянию, как
было предложено в работе [10]. Преимуществом первого метода является
однозначность определения эффективной высоты поглотителя, совпадающей с его
плоской поверхностью. Однако, методически трудно добиться его высокой
эффективности по нескольким причинам: 1) даже в идеальном случае поглотителя
с нулевым потенциалом Ферми, нейтроны самых малых энергий эффективно
отталкиваются от поверхности поглотителя из-за наличия мнимой части
потенциала, ответственной за потери нейтронов (так называемое металлическое
отражение); 2) компенсация потенциала Ферми соответствующим подбором
состава поверхности от начальных значений порядка 10-7 эВ, характерных для всех
веществ, до величины меньше 10-12 эВ, определяемой квантовыми состояниями
нейтронов в гравитационном поле Земли, - практически невозможна. Рассеиватель
же, основанный на упругом диффузном рассеянии нейтронов на его поверхности,
являющейся макроскопически плоской и микроскопически шероховатой, позволяет
преодолеть проблему недостаточной эффективности, поскольку рассеивает
нейтрон в незеркальном направлении с высокой вероятностью, близкой к единице
(в классическом приближении). Это справедливо в том случае, если амплитуда
шероховатостей меньше, но сравнима с длиной волны нейтронов в квантовых
состояниях. Однако, выполнение этого условия порождает проблему: теперь
эффективная высота, на которой расположен рассеиватель, определена с точностью
до амплитуды шероховатостей. Более точное определение высоты требует
построения адекватной модели рассеяния нейтронов на шероховатом рассеивателе
в осложняющей ситуации, когда длина волны нейтрона, соответствующая его
вблизи Vhor =6.5 m/s, или
pass
26
вертикальному движению, сравнима с размером шероховатостей, а влиянием
гравитационного поля на нейтрон нельзя пренебречь.
Мы сравнили экспериментально разные типы рассеивателей/поглотителей.
В частности, на Рис. 12 представлены результаты двух экспериментов: 1) с
шероховатым рассеивателем, покрытым слоем меди; 2) с таким же шероховатым
рассеивателем, покрытым анти-отражающим сплавом Ti-Zr-Gd.
Рис. 12. Зависимость нейтронного потока сквозь зазор между зеркалом и
рассеивателем от размера этого зазора. Звёздочки показывают результаты
измерений с медным шершавым рассеивателем. Окружности показывают
измерения с Ti-Zr-Gd шершавым рассеивателем. Сплошная кривая соответствует
классичекому ожиданию, отнормированному так, чтобы при больших размерах
зазора эта кривая совпадала с экспериментальными данными. Пунктирная кривая
показывает упрощённую квантово-механическую зависимость, предполагающую
наличие только одного нижнего квантового состояния. Горизонтальные прямые
указывают уровень фона детектора и неопределённость его измерения. Средняя
величина горизонтальной составляющей скорости нейтронов вдоль оси
нейтронного пучка составляет 4.9±0.2 m/s.
Как видно из Рис. 12, измерения с шершавыми рассеивателями, покрытыми
медью и слоем Ti-Zr-Gd, совпадают в пределах экспериментальной точности. Это
означает, что поглощающие свойства рассеивателей значения не имеют, а его
доминирующее действие основано на рассеивающих свойствах его шероховатой
27
поверхности. Это обстоятельство даёт основание для объединения статистики этих
двух измерений. Результат суммирования показан на Рис. 13.
Рис. 13. Зависимость нейтронного потока сквозь зазор между зеркалом и
рассеивателем от размера этого зазора. Круги показывают суммарные
результаты измерений с медным и Ti-Zr-Gd шершавым рассеивателеми. Сплошная
чёрная соответствует классичекому ожиданию, отнормированному так, чтобы
при больших размерах зазора она совпадала с экспериментальными данными.
Пунктирная
чёрная
показывает
упрощённую
квантово-механическую
зависимость, предполагающую наличие только одного нижнего квантового
состояния. Горизонтальные прямые указывают уровень фона детектора и
неопределённость его измерения. Средняя величина горизонтальной составляющей
скорости нейтрона вдоль оси нейтронного пучка составляет 4.9±0.2 m/s.
Сплошная красная кривая фитирует результат измерения квантовомеханической
зависимостью (выр. (17)) в модели невозмущённой волновой функции, в которой
положение первого и второго квантового состояния, заселённость первого
квантового состояния, нормировочный множитель и эффективность
рассеивателя являются свободными параметрами. Штриховая зелёная кривая
фитирует результат измерения квантовомеханической зависимостью (выр. (23))
в модели туннелирования нейтронов сквозь гравитационный барьер с такими же
свободными параметрами.
28
Фитирующие кривые на Рис. 13 соответствуют выр. (17) и выр. (23). Они
апроксимируют экспериментальные результаты со значением 2 =1.5 и 0.9
соответственно. В этих расчётах все критические высоты {zn , n 2}
соответствовали расчёту (11) для чистых квантовых состояний, а две нижние
критические высоты z1 и z2 фитировались из экспериментальных данных; все
заселённости квантовых состояний { n , n 1} считались одинаковыми за
исключением заселённости нижнего квантового состояния 1 , которая
фитировалась из экспериментальных данных; эффективность рассеивателя
также фитировалась из экспериментальных данных.
В предположении бесконечно высокого приборного пространственного
разрешения, результат фитирования в рамках этих моделей показывает, что: 1)
заселённость нижнего квантового состояния ( 1 0.7) меньше, чем заселённости
более высоких квантовых состояний, как было измерено и в работе [12, 13]; 2)
первая и вторая критические высоты z1 и z2 равны соответственно 11.2 μm и 19.9
μm. Учёт же потери пространственного разрешения спектрометра из-за перекоса
рассеивателя при его подъёме приводит к сдвигу полученных значений z1 и z2 на
+1.0 μm и +1.4 μm соответственно. Как мы оценили выше, методическая
погрешность определения z1 и z2 – это погрешность абсолютной калибровки (±1.0
μm и ±1.6 μm соответственно) и неточность модели рассеяния нейтронов на
шероховатом рассеивателе (±1.5 μm). Статистическая неопределённость
фитирования этих параметров ±0.7 μm меньше суммарной систематической
неопределённости. Таким образом, средние полученные значения двух нижних
критических высот ( z1exp 12.2 1.8syst 0.7 stat μm) и ( z2exp 21.3 2.2syst 0.7stat μm)
не противоречат ожидаемым величинам (11): ( z1teor 13.7 μm) и ( z2teor 24.0 μm) в
пределах 25 %. Пространственное разрешение спектрометра, как видно из Рис. 13,
хорошо согласуется с экспериментом. Функция пропускания (выр. (17), (23)) слабо
зависит от эффективности рассеивателя, нормировочный множитель тривиален –
поэтому едиственным свободным параметром, по сути дела, является заселённость
нижнего квантового состояния.
Верхняя оценка времени жизни нейтрона в квантовых состояниях.
Измерение пропускания нейтронов сквозь зазор между двумя
параллельными зеркалами позволяет делать заключения о степени зеркальности
отражения нейтронов, но не обладает достаточным угловым разрешением, чтобы
оценить возможность переходов нейтронов между соседними квантовыми
состояниями. Более чувствительным способом контроля переходов между
квантовыми состояниями является эксперимент с длинным нижним зеркалом и
двумя независимыми рассеивателями, установленными так, что первый
рассеиватель формирует желаемый нейтронный спектр, а второй рассеиватель
анализирует спектр, полученный в результате нескольких последовательных
29
отражений нейтронов от нижнего зеркала в области, свободной от рассеивателей.
Схема эксперимента показана на Рис. 14.
2
3
4
1
Рис. 14. Принципиальная схема эксперимента с длинным зеркалом (1,
показан светлым прямоугольником) и двумя рассеивателями (2, 3, показаны
чёрными прямоугольниками). Первый рассеиватель (2, слева) служит для
формирования нейтронного спектра. Он установлен на постоянной высоте 42 μm.
Второй рассеиватель (3, справа) служит для измерения результирующего
нейтронного спектра. Его высота может изменяться. Детектор (4), показанный
на рисунке чёрным квадратом, измеряет полный поток нейтронов, прошедших в
зазор между зеркалом и анализирующим рассеивателем. Длина области между
двумя рассеивателями равна 9 см.
А результаты этого измерения показаны на Рис. 15 и 16 в логарифмическом
и линейном масштабах соответственно.
30
Рис. 15. Круги показывают результат измерения с длинным зеркалом и
двумя рассеивателями в соответствии со схемой, показанной на Рис. 14. Поток
нейтронов измерялся в зависимости от расстояния между зеркалом и вторым
анализирующим рассеивателем. Сплошная и две пунктирные горизонтальные
прямые показывают счёт детектора при большом («бесконечно большом»)
размере зазора. Сплошная вертикальная прямая показывает размер зазора между
зеркалом и первым рассеивателем, формирующим нейтронный спектр (и
соответственно высоту, на которой ожидается перегиб измеренной
зависимости). Две вертикальные пунктирные прямые соответствуют среднему
размаху шероховатостей поверхности рассеивателей. Наклонная сплошная кривая
приблизительно иллюстрирует нейтронный счёт в отсутствие первого
формирующего рассеивателя.
Часть той же зависимости, что показана на Рис. 15, в области перегиба
вблизи 42 μm представлена на Рис. 16 в линейном масштабе.
31
Рис. 16. Круги показывают результат измерения с длинным зеркалом и
двумя рассеивателями в соответствии со схемой, показанной на Рис. 14. Поток
нейтронов измерялся в зависимости от расстояния между зеркалом и вторым
анализирующим рассеивателем. Сплошная и две пунктирные горизонтальные
прямые показывают счёт детектора при большом («бесконечно большом»)
размере зазора. Сплошная вертикальная прямая показывает размер зазора между
зеркалом и первым рассеивателем, формирующим нейтронный спектр (и
соответственно высоту, на которой приблизительно ожидается перегиб
измеренной зависимости). Две вертикальные пунктирные прямые соответствуют
среднему размаху шероховатостей поверхности рассеивателей. Наклонная
сплошная кривая приблизительно иллюстрирует нейтронный счёт в отсутствие
первого формирующего рассеивателя.
Анализ экспериментальных данных, представленных на Рис. 15 и Рис. 16,
позволяет заключить, что 1) На высотах z 42 μm форма нейтронного спектра
после прохождения нейтронами 9-cm промежутка, свободного от рассеивателей, не
отличается от формы спектра, измеренной до этого промежутка, в пределах
экспериментальной точности; 2) На высоте z 42 μm наблюдается перегиб
экспериментальной зависимости, вызванный тем, что нейтроны бóльшей энергии
были устранены первым формирующим рассеивателем (точная высота точки
перегиба определяется формой волновой функции нейтронов в 4-ем квантовом
состоянии – верхнем состоянии, частично разрешённом первым формирующим
32
рассеивателем – выр. (11)); 3) Общее количество нейтронов, регистрируемых
детектором при высоте второго анализирующего рассеивателя z 42 μm
составляет 35 % от количества нейтронов, детектируемых при z 42 μm. Часть
нейтронов в области z 42 μm появилась из-за их рассеяния на малые углы при
их взаимодействии с шероховатым рассеивателем вблизи от выхода из щели
зеркало-рассеиватель. Поэтому мы оцениваем лишь верхний предел на вероятность
перехода нейтронов из квантовых состяний n 4 в квантовые состояния n 4 .
Она не превышает ~10-1 на один (классический) удар о поверхность зеркала, или
~20 s-1, что соответствует времени хранения 102 QM . Происхождение нейтронов
в квантовых состояниях n 4 и надёжная оценка времени хранения нейтронов в
квантовых состояниях требует дальнейшего теоретического и экспериментального
рассмотрения. В частности, важно измерить, как доля таких нейтронов зависит от
расстояния между рассеивателями по горизонтали, что позволит определить вклад
рассеяния нейтронов на рассеивателе и вклад смешивания квантовых состояний в
промежутке между рассеивателями.
Измерение пространственного распределения нейтронной плотности
при помощи позиционно-чувствительного детектора.
Прямое измерение пространственного распределения плотности в стоячей
нейтронной волне над зеркалом предпочтительнее её исследования при помощи
перемещаемого по высоте рассеивателя. Первый метод – дифференциальный, так
как позволяет измерять одновременно вероятность нахождения нейтронов на всех
высотах, представляющих интерес. Второй метод – интегральный, поскольку
информация о вероятности нахождения нейтронов на определённой высоте
получается, по сути дела, путём вычитания потоков нейтронов, измеренных при
двух близких значениях высот рассеивателя. Очевидно, дифференциальный метод
много чувствительнее интегрального метода, и позволяет много быстрее получить
желаемую статистическую точность. Кроме того, рассеиватель, используемый в
интегральном методе, неизбежно искажает измеряемые квантовые состояния,
деформируя собственные волновые функции и сдвигая значения энергий
квантовых состояний. Конечная точность учёта этих искажений приводит к
систематическим погрешностям, в конечном итоге ограничивая достижимую
точность измерения параметров квантовых состояний. По этим и другим причинам
использование позиционно-чувствительного детектора для прямого измерения
вероятности нахождения нейтронов над зеркалом очень привлекательно. Однако,
нейтронного детектора с позиционным разрешением порядка 1 μm, необходимого
для этого эксперимента, не существовало. Поэтому потребовалось разработать
такой детектор и метод измерения: пластиковый трековый ядерный детектор
(CR39) с урановым покрытием (235UF4), описанный в работе [11]. Координаты
вхождения нейтрона в пластиковый детектор восстанавливались после его
химического проявления при помощи оптического микроскопа, позволяющего
сканирование поверхности детектора на участке порядка 10 см с точностью ~1 μm.
Подробное изложение метода измерения и анализ экспериментальных результатов
будут представлены позднее [28]. В настоящей работе мы только
33
продемонстрируем возможность этого метода и предварительный результат
первого прямого измерения нейтронной плотности над зеркалом с разрешением 1-2
μm.
Схема измерения была аналогична той, что показана на Рис. 14.
Заселённости квантовых уровней были имерены при помощи второго рассеивателя.
На место газового нейтронного детектора (счётчика) был установлен позиционночувствительный детектор с урановым покрытием. Измерение проводилось для
проверки пространственного разрешения детектора этого типа и не было
оптимизировано для изучения самого явления квантования состояний нейтронов
над зеркалом. Предварительные результаты, полученные с использованием этого
детектора, показаны на Рис. 17.
Рис. 17. Предварительные результаты измерения вероятности
нахождения нейтронов над зеркалом в гравитационном поле Земли, полученные
при помощи ядерного трекового пластикового детектора с урановым покрытием,
обладающего высоким пространственным разрешением. По оси абсцисс – высота
над зеркалом в микронах (нулевая высота фитируется из экспериментальных
данных). По оси ординат – количество событий в соответствующем интервале
высот. Сплошная линия – теоретическое ожидание в предположении идеального
пространственного разрешения детектора. Заселённости квантовых состояний,
полученные фитированием этих экспериментальных данных, совпадают с
34
заселённостями, измеренными независимым способом при помощи второго
рассеивателя методом, представленным на Рис. 14.
На Рис. 17: 1) волновые функции нейтронов в квантовых состояниях
известны; 2) заселённости квантовых состояний, измеренные при помощи второго
рассеивателя и при помощи пространственно-чувствительного детектора –
совпадают; 3) пространственное разрешение детектора считается бесконечно
высоким; 4) нулевая высота над зеркалом фитировалась из экспериментальных
данных, а не измерялась независимым способом. Как видно из сравнения
экспериментальных данных с теоретическим ожиданием на Рис. 17: 1) измеренное
распределение плотности нахождения нейтронов над зеркалом в целом хорошо
соответствует теоретическому ожиданию; 2) пространственное разрешение
детектора можно оценить, используя наиболее резкий участок зависимости вблизи
нулевой высоты. Оно составляет ~1.5 μm; 3) Даже относительно небольшая
вариация нейтронной плотности порядка 10 %, ожидаемая для смеси нескольких
квантовых состояний, может быть измерена этим метом. Это означает, что
выделение одного-двух квантовых состояний (кроме нижнего квантового
состояния – см. [10]) позволило бы легко их идентифицировать и надёжно
измерить их параметры.
Ограничение на дополнительные короткодействующие силы.
Эксперимент показал, что в пределах точности измерения волновые
функции нейтронов в квантовых состояниях соответствуют их теоретическому
ожиданию, предполагающему, что на нейтрон действуют только гравитационное
поле Земли и горизонтальное зеркало. Если бы между нейтроном и зеркалом
действовали дополнительные, достаточно интенсивные, короткодействующие
фундаментальные силы, такие как предложены, например, в [32, 37], то
собственные волновые функции нейтрона были бы искажены этим
дополнительным взаимодействием. Отсутствие наблюдаемого искажения волновых
функций позволяет получить верхнее ограничение на интенсивность
гипотетических дополнительных фундаментальных взаимодействий на малых
расстояниях порядка 1 nm – 10 μm. Последовательный вывод этого ограничения
представлен в работе [29]. Наименьшее рассматриваемое расстояние определяется
размером шероховатостей нижнего зеркала и, соответственно, областью
нарастания Ферми-потенциала зеркала. Наибольшее расстояние – характерным
размером волновых функций нейтронов в нижних квантовых состояниях.
Общепринятой параметризацией такого дополнительного взаимодействия в
пристутствии гравитации является функция Юкавы :
G m1 m2
V (r12 )
1 G exp( r12 / )
(26)
r12
где λ – характерное расстояние, на котором проявляется дополнительное
взаимодействие, G – амплитуда этого взаимодействия, G – константа
гравитационного взаимодействия, m1 , m2 – массы, а r12 – расстояние между
35
массами. На Рис. 18 показана область параметров G и λ, исключённая настоящим
экспериментом, возможное улучшение точности подобного эксперимента, а также
известное ограничение из других экспериментов, адаптированное из работы [31].
Рис.
18.
Ограничение
на
гипотетическую
притягивающую
короткодействующую силу в представлении Юкавы. По оси ординат G –
амплитуда взаимодействия. По оси абсцисс – характерное расстояние его
проявления. Чёрная сплошная линия (адаптировано из работы [31]) показывает
ограничение на дополнительные взаимодействия, полученные из других
экспериментов. Красная сплошная линия показывает ограничение, полученное в
эксперименте по измерению квантовых состояний нейтронов в гравитационном
поле Земли. Пунктирная синяя кривая соответствует возможному увеличению
точности в этом эксперименте, без изменения метода измерения.
Хотя эксперимент [13] не был предназнаен для поиска дополнительных
короткодействующих взаимодействий и поэтому не был оптимизирован с этой
точки зрения, тем не менее, как видно из Рис. 18, сам факт существования
квантовых состояний нейтрона в гравитационном поле Земли позволил немного
улучшить ограничение в области характерных расстояний порядка нескольких
нанометров. Увеличение точности на порядок величины возможно без изменения
метода измерения [29]. Гораздо более радикальное увеличение точности возможно
при изменении метода измерения и будет представлено позднее.
36
Заключение.
В настоящей работе исследовалось явление квантования состояний
нейтрона в потенциальной яме, образованной гравитационным полем Земли и
горизонтальным зеркалом. Вывод работы [12, 13] о наличии квантования
подтверждён с более высокой методической и статистической надёжностью.
Измерены характерные размеры волновых функций нейтронов z1 и z2 в первом и
втором квантовом состояниях. Полученные значения z1exp 12.2 1.8syst 0.7stat μm
и z2exp 21.3 2.2syst 0.7stat μm согласуются с точностью ~25 % с ожидаемыми
величинами z1teor 13.7 μm и z2teor 24.0 μm, посчитанными в предположении, что
на нейтрон действуют только гравитационное поле Земли и отталкивающий
потенциал горизонтального зеркала. Точность измерения определяется
систематической погрешностью, которая в основном складывается из неточности
позиционирования рассеивателя и погрешности модельного описания
взаимодействия нейтронов с шероховатой поверхностью рассеивателя. Хотя этот
эксперимент
не
был
предназнаен
для
поиска
дополнительных
короткодействующих взаимодействий и поэтому не был оптимизирован с этой
точки зрения, тем не менее, как видно из Рис. 18, сам факт существования
квантовых состояний нейтрона в гравитационном поле Земли позволил установить
верхнее ограничение на гипотетические притягивающие короткодействующие
фундаментальные силы, действующие между нейтроном и зеркалом, в диапазоне
расстояний 1 nm – 10 μm, причём в диапазоне нескольких нанометров это
ограничение немного улучшило существовавший предел. Увеличение точности
подобного ограничения на порядок величины может быть легко достигнуто без
принципиального изменения метода измерения. Измерено слабое смещение
зависимости потока нейтронов сквозь зазор между зеркалом и рассеивателем от
величины этого зазора при изменении горизонтальной скорости нейтронов.
Измеренное смещение (0.16±0.04 μm/ms) соответствует теоретическому ожиданию
0.2 μm/ms при средней длительности нахождения нейтронов между зеркалом и
рассеивателем pass =15 ms. Исследованы систематические ошибки, присущие
использованному методу измерения, а также пути их преодоления. Показано, что
пространственное разрешение спектрометра близко к теоретическому пределу,
определяемому резкостью спадания хвостов волновых функций нейтронов в
квантовых состояниях, или, в другом описании, резкостью зависимости от высоты
проницаемости гравитационного барьера. Точность эксперимента может быть
увеличена в несколько раз при использовании более точной модели
взаимодействия нейтронов с рассеивателем и более точного позиционирования
рассеивателя. Более радикальное увеличение точности подобного эксперимента
может быть достигнуто при длительном удержании нейтронов в квантовых
состояниях и измерении частот резонансных переходов между ними, позволяющих
прямое вычисление соответствующих разностей собственных энергий квантовых
состояний.
37
Авторы благодарны K.Ben-Saidane, F.Descamps, P.Geltenbort, A.Hillairet,
J.F.Marchand,
Т.К.Кузьмину,
В.А.Рубакова,
R.Rusnyak,
И.А.Снигирёву,
С.М.Соловьёва, А.В.Стрелкова, П.Г.Тинякова и М.Е.Шапошникова за совет и
помощь при подготовке и проведении этого измерения. Настоящая работа частично
поддержана грантом ИНТАС 99-705. Мы искренне благодарны всем, кто проявил
интерес к этой работе и способствовал её осуществлению.
References:
[1] M.Born (1969). Atomic Physics. London, Blackie and Son.
[2] A.Bohr, B.R.Mottelson (1969). Nuclear Structure. New York, Benjamin.
[3] I.I.Gol'dman, V.D.Krivchenkov, V.I.Kogan, and V.M.Galitscii (1960).
Problems in Quantum Mechanics. New York, Academic.
[4] L.D.Landau, and E.M.Lifshitz (1976). Quantum Mechanics. Oxford,
Pergamon.
[5] S.Flügge (1974). Practical Quantum Mechanics I. Berlin, Springer.
(З.Флюгге, «Задачи по Квантовой Механике», т.1, стр. 115).
[6] P.W.Langhoff (1971). "Schrödinger particle in a gravitational well."
American Journal of Physics 39: 954-957.
[7] V.I.Luschikov, A.I.Frank (1978). "Quantum effects occurring when
ultracold neutrons are stored on a plane." JETP Letters 28(9): 559-561.
[8] H.Wallis, J.Dalibard, and C.Cohen-Tannoudji (1992). "Traping atoms in
a gravitational cavity." Applied Physics B 54: 407.
[9] A.Peters, K.Y.Chung, and S.Chu (1999). "Measurement of gravitational
acceleration by dropping atoms." Nature 400: 849-853.
[10] V.V.Nesvizhevsky (1996). "On experimental observation of quantum
states of neutron in gravitational field." ILL Internal Report 96NE14T.
[11] V.V.Nesvizhevsky, H.G.Börner, A.M.Gagarsky, G.A.Petrov,
A.K.Petukhov, H.Abele, S.Baessler, T.Stöferle and S.M.Soloviev (2000). "Search
for quantum states of neutron in gravitational field." Nuclear Instruments and
Methods in Physics Research 440A(3): 754-759.
[12] V.V.Nesvizhevsky, H.G.Börner, A.K.Petukhov, H.Abele, S.Baeßler,
F.J.Rueß, Th.Stöferle, A.Westphal, A.M.Gagarsky, G.A.Petrov, and A.V.Strelkov
(2002). "Quantum states of neutrons in the Earth's gravitational field." Nature
415: 297-299.
[13] V.V.Nesvizhevsky, H.G.Börner, A.M.Gagarski, A.K.Petukhov,
G.A.Petrov, H.Abele, S.Baeßler, G.Divkovic, F.J.Rueß, T.Stöferle, A.Westphal,
A.V.Strelkov, K.V.Protasov, A.Yu.Voronin (2003). "Measurement of quantum
states of neutrons in the Earth's gravitational field." Physical Review D 67:
102002(1-9).
[14] R.A.Colella, W.Overhauser, W.A.Werner (1975). "Observation of
gravitationally induced quantum interference." Physics Review Letters 34: 14721474.
[15] H.Rouch, and W.Werner (2000). Neutron Interferometry. Oxford.
38
[16] V.G.Baryshevskii, S.V.Cherepitza, A.I.Frank (1991). "Neutron spin
interferometry." Physics Letters 153A: 299-302.
[17] A.I.Frank (1991). "Modern optics of long-wavelength neutrons."
Sov.Phys.Usp. 34(11): 980-987.
[18] V.I.Luschikov, Yu.N.Pokotilovsky, A.V.Strelkov and F.L.Shapiro
(1969). "Observation of ultracold neutrons." JETP Letters 9: 23-26.
[19] A.Steyerl, S.S.Malik (1989). "Sources of ultracold neutrons." Nuclear
Methods and Instruments in Physics Research A284: 200-207.
[20] V.K.Ignatovich (1990). The Physics of Ultracold Neutrons. Oxford.
[21] R.Golub, D.J.Richardson and S.K.Lamoreaux (1991). Ultracold
Neutrons. Bristol, Adam Higler.
[22] J.M.Pendlebury (1993). Review of Nuclear and Particle Science 43:
687-727.
[23] J.Felber, R.Gähler, C.Rauch, R.Golub (1996). "Matter waves at a
vibrating surface: Transition from quantum-mechanical to classical behavior."
Physical Review A53(1): 319-328.
[24] R.Onofrio, and L.Viola (1996). "Quantum damping of position due to
energy measurements." Physical Review A 53: 3773-3780.
[25] L.Viola, and R.Onofrio (1997). "Testing the equivalence principle
through freely falling quantum objects." Physical Review D 55: 455-462.
[26] O.Bertolami, and F.M.Nunes (2002). "Ultracold neutrons, quantum
effects of gravity and the weak equivalence principle." Classical and Quantum
Gravitation 20(5): 61-66.
[27] O.Scharpf (1989). "Comparison of theoretical and experimental
behaviour of supermirrors and discussion of limitations. Properties of beam
bender type neutron polarizers using supermirrors." Physica B 156: 631-638;639646.
[28] our collaboration, to be published (измерение с пространственным
детектором высокого пространственного разрешения)
[29] V.V.Nesvizhevsky, K.V.Protasov,”A limit on non-Newtonian
gravitational forces from the experiment on neutron quantum states in the Earth’s
gravitational field”, to be published.
[30] our collaboration, to be published (теоретическое описание
взаимодействия нейтронов с шероховатым рассеивателем)
[31] M.Bordag, U.Mohideen, V.M.Mostepanenko (2001), “New
developments in the Casimir effect.” Physics Reports 353: 1-205
[32] N.Arkani-Hamed, S.Dimopoulos and G.Dvali (1998). “The hierarchy
problem and new dimensions at a millimeter.” Physical Letters B 429: 263.
[33] V.A.Rubakov and M.E.Shaposhnikov (1983), “Do we live inside a
domain wall?” Physics Letters B 125: 136-138.
[34] C.G.Aminoff, A.M.Steane, P.Bouyer, P.Desbiolles, J.Dalibard, and
C.Cohen-Tannoudji (1993), “Cesium atoms bouncing in a stable gravitational
cavity.” Physical Review Letters 71: 3083-3086.
[35] T.M.Roach, H.Abele, M.G.Boshier, H.L.Grossman, K.P.Zetie, and
E.A.Hinds (1995), “Realization of a magnetic mirror for cold atoms.” Physics
Review Letters 75: 629-632.
39
[36] A.Frank, P. van Isacker, and J.Gomez-Camacho (2003), “Probing
additional dimentions in the universe with neutron experiments.” arXiv:nuclth/0305029.
[37] N.Arkani-Hamed, S.Dimopoulos and G.Dvali (1999),
“Phenomenology, astrophysics and cosmology of theories with sub-millimeter
dimentions and TeV scale quantum gravity.” Physical Review D 59: 086004.
[38] F.Rioux (2002)
http://www.users.csbsju.edu/~frioux/neutron/neutron.htm
[39] I.Antoniadis, S.Dimopoulos and G.Dvali (1998), “Millimetre-range
forces in superstring theories with weak-scale compactification.” Nuclear Physics
B 516: 70-82.
[40] V.I.Balykin, V.S.Letokhov (1989), “…” Applied Physics B 48: 517.
[41] R.Cooc, R.Hill (1982), “…” Optics Communications 43: 258.
[42] V.I.Balykin, V.S.Letokhov, Yu.B.Ovchinnikov, A.I.Sidorov (1988), “…”
Physical Review Letters 60: 2137.
[43] M.A.Kasevich, D.S.Weiss, and S.Chu (1990), “Normal-incidence
reflection of slow atoms from an optical evanescent wave.” Optics Letters 15(11):
607-609.
40