7. Электрический диполь

§7. Электрический диполь
Простейшей системой точечных зарядов является электрический
диполь (двойной полюс). Так называется совокупность равных по величине,
но противоположных по знаку двух точечных зарядов (+q) и (-q), сдвинутых
друг относительно друга на некоторое расстояние (рис. 1.11).
Рис.1.11. Электрический диполь
Пусть l - радиус-вектор, проведенный от отрицательного заряда к
положительному. Вектор p  q  l называется электрическим моментом диполя
или дипольным моментом. Если длина l пренебрежимо мала по сравнению с
расстоянием от диполя до точки наблюдения, то диполь называется
точечным.
Вычислим электрическое поле точечного диполя. В окончательных
формулах, которые мы получим, безразлично (в пределах принятой точности
расчета), от какой точки диполя отсчитывается расстояние r до точки
наблюдения.
Рассмотрим сначала случай, когда точка наблюдения А лежит на
продолжении оси диполя (рис. 1.12).
Рис.1.12.
Напряженность электрического поля в этой точке будет:
(1.11).
В векторной форме:
(1.12).
Допустим теперь, что точка наблюдения А лежит на перпендикуляре,
восстановленном к оси диполя из его центра О (рис. 1.13).
Вектор Е получается геометрическим сложением полей E1 и Е2,
возбуждаемых точечными зарядами (+q) и (-q).
Рис.1.13.
Как видно из рисунка, вектор Е перпендикулярен р, а его длина (для
точечного диполя) равна:
(1.13.).
В векторной форме:
(1.14).
Не обязательно, чтобы перпендикуляр АО проходил через центр
(точечного) диполя. В принятом приближении формула 1.14) остается верной
и тогда, когда за О принята любая точка диполя. Ее можно выбрать даже вне
диполя. Важно только, чтобы ее расстояние до центра диполя было
пренебрежимо мало по сравнению с расстоянием до точки наблюдения.
Общий случай сводится к разобранным частным случаям. Опустим из
заряда +q перпендикуляр CD на линию наблюдения ВА (рис. 1.14).
Рис.1.14.
Поместим в точке D два точечных заряда: +q и -q. Это не изменит поля.
Но полученную систему четырех зарядов можно рассматривать как
совокупность
двух
диполей
с
дипольными
моментами
p1
и
р2,
изображенными на рис. 9. Вообще, при вычислении напряженности поля, а
также сил, действующих на диполь, последний всегда можно заменить
системой любого числа диполей, геометрическая сумма моментов которых
равна моменту рассматриваемого диполя. Применяя теперь к диполям p 1 и р2
формулы (1.12) и (1.14), получим:
или, исключая р2 с помощью соотношения p1 + р2= р,
или, наконец,
(1.15).
Рассмотрим теперь силы, действующие на диполь в электрическом
поле. Если поле однородно, то результирующая сила F равна нулю, так как
силы F1 и F2, действующие на отрицательный и положительный заряды
диполя, равны по модулю и противоположны по направлению (рис. 1.15).
Рис. 1.15.
Момент этих сил M  l  F2   q  l  E , или
M   p  E (1.16)
Момент М стремится повернуть ось диполя в направлении поля Е.
Существуют два положения равновесия диполя: когда диполь параллелен
электрическому полю и когда он антипараллелен ему. Первое положение
устойчиво, второе — неустойчиво.
Формула (1.16) верна также для точечного диполя в неоднородном
поле. Если поле неоднородно, то сила F = F1 + F2, вообще говоря, не
обращается в нуль. В этом случае F  qE2  E1  , где E1 и Е2 - напряженности
поля в точках нахождения зарядов + q и -q. Для точечного диполя разность
(Е2 - E1) можно приближенно заменить дифференциалом
(1.17).
В этом приближении
(1.18).
В целях сокращения письма введем оператор «набла», или оператор
Гамильтона (1805-1865):
(1.19).
Скалярным умножением р на
получаем оператор
(1.20).
С помощью этого оператора формула (1.18) записывается так:
(1.21.)
Смысл этой формулы раскрывается при сравнении ее с выражением
(1.18). В частности, если ось X направить вдоль вектора р (рх = р, ру = рz = 0),
то
(1.22).
§8. Вектор электрической индукции (электрического смещения)
В
диэлектриках
электрической индукции
электрическое

D
поле
характеризуется
вектором
, связанной с напряженностью электрического
поля для изотропной среды соотношением:


D     0  E . (1.23)
Из формул (1.9) и (1.23) следует, что для поля точечного заряда

D

q r

, (1.24).
4r 2 r
и
D
q
, (1.25).
4r 2
В СИ единица измерения электрического смещения D  
Кл
.
м2
Из формулы (1.25) следует, что электрическая индукция D не зависит
от диэлектрической среды.