Гидравлика - Механико-машиностроительный факультет

Министерство Образования и Науки РФ
Псковский государственный университет
О. В. Ворожцов
ГИДРАВЛИКА
С ПРИМЕРАМИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Учебно - методическое пособие
Рекомендовано к изданию кафедрой «Теория машин и механизмов»
Псковского государственного университета
Псков
Издательство ПсковГУ
2014
1
УДК 556.556
ББК 30.123
В 751
Рекомендовано к изданию кафедрой «Теория машин и механизмов»
Псковского государственного университета
Рецензенты:
- зав. кафедрой «Технология машиностроения», к. т. н.,
доцент С. И. Дмитриев;
- главный механик ОАО «Псковкабель» Ю. А. Кириллов.
В 751
Ворожцов О. В.
Гидравлика с примерами решения задач: Учебно - методическое
пособие. - Псков: Издательство ПсковГУ, 2014. - 144 стр.
Учебно - методическое пособие по дисциплине «Гидравлика и гидропневмопривод» предназначено для студентов всех форм обучения
технических специальностей.
В пособии изложены основы физических свойств жидкости и газа,
гидростатики и гидродинамики. Рассмотрены вопросы гидравлических
сопротивлений, истечение жидкости через отверстия и насадки, гидродинамического воздействия жидкости на твёрдую преграду.
Значительное внимание уделено практическому применению законов гидравлики. Представлены примеры решения задач.
УДК 556.556
ББК 30.123
© Ворожцов О. В.
© Псковский государственный университет, 2014
2
Содержание
Введение ……………………………………………………................
1. Жидкости и их физические свойства ………………………………..
1.1. Жидкость. Основные понятия …………………………………..
1.2. Силы, действующие в жидкости ………………………………..
1.3. Основные механические характеристики жидкости …………..
1.4. Основные физические свойства жидкостей и газов …………...
1.5. Воздух и его параметры …………………………………………
1.6. Модели жидкостей ……………………………………………….
1.7. Примеры решения задач ………………………………………...
2. Гидростатика ………………………………………………………….
2.1. Гидростатическое давление и его свойства ……………………
2.2. Основное уравнение гидростатики …………………………….
2.3. Избыточное, вакуумметрическое и абсолютное давление ……
2.4. Приборы для измерения давления ……………………………...
2.5. Относительный покой жидкости ……………………………….
2.6. Давление покоящейся жидкости на ограничивающие
её поверхности …………………………………………………..
2.7. Примеры решения задач ………………………………………..
3. Гидродинамика ……………………………………………………….
3.1. Гидравлические элементы потока ………………………………
3.2. Расход и средняя скорость. Уравнение неразрывности ……….
3.3. Уравнение Бернулли для установившегося движения ………...
3.4. Применение уравнения Бернулли ………………………………
3.5. Измерение скорости потока и расхода жидкости ……………...
3.6. Режимы течения жидкости ……………………………………...
3.7. Течение жидкости в узких щелях ……………………………….
3.8. Примеры решения задач ………………………………………...
4. Потери напора при движении жидкости ……………………………
4.1. Потери напора по длине потока ………………………………...
4.2. Потери напора в местных сопротивлениях …………………….
4.3. Примеры решения задач ………………………………………...
5. Истечение жидкости из отверстий и через насадки ………………..
5.1. Истечение жидкости из малого отверстия в малой стенке ……
5.2. Истечение через насадки ………………………………………...
5.3. Гидродинамическое воздействие струи
на твёрдую преграду ………………………….........................................
5.4. Примеры решения задач ………………………………………...
6. Расчёт трубопровода …………………………………………………
6.1. Потребный напор ………………………………………………...
6.2. Последовательное соединение трубопровода ………………….
6.3. Параллельное соединение трубопровода ………………………
6.4. Разветвлённый трубопровод …………………………………….
3
5
6
6
6
8
9
19
22
23
28
28
30
32
35
38
40
44
58
59
60
62
64
65
69
72
75
79
80
82
86
90
90
93
97
100
104
105
107
108
109
6.5. Трубопровод с насосной подачей жидкости …………………...
6.6. Кавитационный расчёт насоса …………………………………..
6.7. Гидравлический удар …………………………………………….
6.8. Примеры решения задач ………………………………………...
7. Основы работы гидропневмопривода ……………………………….
7.1. Работа пневмосистем …………………………………………….
7.2. Объёмный гидропривод …………………………………………
7.3. Гидродинамические передачи …………………………………..
7.4. Характеристика объёмного и динамического насоса ………….
Список рекомендуемой литературы …………………………………...
4
111
113
115
117
131
133
134
139
142
144
Введение
Гидравлика - это наука, изучающая законы равновесия и движения
жидкостей, а также законы взаимодействия жидкостей с окружающими их граничными поверхностями и с твердыми или упругими телами, погруженными (частично или полностью) в жидкость.
Название «гидравлика» произошло от греческих слов «хюдор» –
вода и «аулос» – труба, желоб. В настоящее время почти во всех областях
техники применяют различные гидравлические устройства, основанные на
использовании гидравлических законов. Основные области применения
гидравлики – гидротехника, мелиорация и водное хозяйство, гидроэнергетика, водоснабжение и канализация, водный транспорт, машиностроение,
авиация и т. д.
Гидравлика делится на две части: гидростатику и гидродинамику.
Гидростатика рассматривает законы равновесия жидкостей, находящихся
в состоянии покоя. Гидродинамика изучает законы движения жидкостей и
их взаимодействие с покоящимися или движущимися телами.
Данное учебное пособие предназначено для студентов технических
направлений подготовки. Большое внимание уделено решению задач, основанных на практическом применении законов гидравлики. Пособие может быть полезно студентам заочной формы обучения, доля самостоятельной работы которых особенно велика.
Знание и эффективное применение законов гидравлики необходимо
для решения практических задач, встречающихся в инженерной практике.
Тем более, что гидросистемы различного назначения находят все бόльшее
применение. Для лучшего понимания законов гидравлики и предназначено
это пособие.
5
1. Жидкости и их физические свойства
1.1. Жидкость. Основные понятия
Жидкость – это физическое тело, обладающее текучестью. С точки зрения гидравлики как науки различают жидкость капельную (несжимаемую) и газообразную (сжимаемую).
Капельная жидкость представляет собой жидкость в обычном, общепринятом понимании этого слова (вода, нефть, керосин, и т. д.). Капельную жидкость считают практически несжимаемой. Газообразная жидкость представляет собой газ (пропан, азот) или смесь газов (воздух). Газы в отличие от жидкостей заполняют всё предоставленное им пространство без образования свободной поверхности и легко изменяют свой объём
в зависимости от изменения температуры и давления. Не смотря на существенные различия между жидкостями и газами, законы гидравлики применимы и к газам в случае их движения с дозвуковой скоростью.
Поскольку жидкость обладает свойством текучести, она не может
воспринимать растягивающие усилия. Однако при создании определенных
условий вода может выдержать растягивающие усилия до 28∙106 Н/м2
(например, при попытке «растянуть» жидкость в закрытом гидроцилиндре,
то есть при создании особых условий). Будем считать, что жидкость в
обычных условиях испытывает только сжимающие усилия.
1.2. Силы, действующие в жидкости
Поскольку жидкость легко деформируется под действием самых минимальных внешних сил, то в жидкости не могут действовать сосредоточенные силы, а возможно существование лишь сил, распределённых по
объёму (массе) или по поверхности. По характеру действия внешние, распределённые по всему объёму жидкости силы, можно разделить на две категории: массовые (объёмные) и поверхностные.
Выделим в жидкости частицу с некоторой элементарной (бесконечно
малой) массой ∆m (рис. 1.1). Рассмотрим на примере этой частицы жидкости действие массовых (объёмных) и поверхностных сил.
Рис. 1.1. Действие массовых (объёмных) и поверхностных
сил на частицу жидкости
6
Массовые (объёмные) силы – это силы, действующие на каждую частицу жидкости с массой ∆m. К массовым силам относят:
- силу тяжести G = ∆m∙g;
- центробежную силу Fц = ∆m∙aц = ∆m∙ω2∙R;
- силу инерции переносного движения Fи = ∆m∙a,
где ∆m – масса частицы жидкости;
ω – угловая скорость вращения частицы жидкости вокруг некоторой оси;
R – радиус оси вращения.
Сила тяжести является наиболее распространённой среди массовых
сил, действующих на жидкость. Центробежная сила возникает при вращении жидкости вокруг некоторой оси (например, вращение масла в центробежном фильтре системы смазки грузового автомобиля, движение жидкости в центробежном насосе). Сила инерции возникает в случае относительного покоя жидкости (например, при прямолинейном перемещении
жидкости в резервуарах автомобиля – бензобаке или цистерне).
Для определения поверхностных сил выделим на поверхности частицы жидкости элементарную площадку ∆S, и рассмотрим действие силы
∆F на эту площадку. Сила ∆F в данном случае вызвана действием окружающей жидкости, и вектор этой силы может быть направлен под любым углом к выделенной площадке. Силу ∆F можно разложить на нормальную
∆Р (действующую по нормали к площадке) и касательную ∆Т (действующую по поверхности площадки) составляющие. Ввиду малости площадки
∆S будем считать её плоской.
Касательная составляющая ∆Т называется силой трения и вызывает в
жидкости касательные напряжения. Среднее напряжение трения τср, действующее по площадке ∆S, будет равно:
τср = ∆𝑇 ⁄∆𝑆 .
Среднее касательное напряжение τср не даёт точного значения касательного напряжения в любой точке площадки ∆S. Поэтому касательное
напряжение в данной точке равно пределу, к которому стремится отношение силы трения ∆Т к площади ∆S, касательно к которой она действует,
при уменьшении ∆S до нуля, то есть при стягивании её к размерам точки:
𝜏 = lim ∆𝑇 ⁄∆𝑆.
(1.1)
∆𝑆→0
Выражение (1.1) можно назвать плотностью распределения касательных сил (сил трения) по площади ∆S. Единицей измерения касательных напряжений в системе СИ является паскаль (Па) – ньютон, отнесенный к квадратному метру (1 Па = 1 Н/м2).
Сила ∆Р, действующая по нормали (перпендикулярно) к площадке
∆S, называется силой давления и вызывает в жидкости нормальные напряжения сжатия. Если сила давления ∆Р равномерно распределена по площадке ∆S, то среднее (единичное) давление рср будет равно:
рср = ∆𝑃 ⁄∆S .
7
Плотность распределения давления по площадке ∆S равно пределу, к
которому стремится отношение силы давления ∆Р к площади ∆S при
уменьшении ∆S до нуля, т. е. при стягивании её к размерам точки:
р = lim ∆𝑃 ⁄∆S .
(1.2)
∆𝑆→0
Итак, под действием внешних сил в жидкости возникают напряжения, называемые давлением р и касательным напряжением τ. Следует
различать такие понятия, как давление и сила давления. Согласно выражению (1.2), давление – это сила, отнесенная к единице площади, на которую
она действует.
Поверхностные силы - это силы, действующие на каждый элемент
поверхностей, ограничивающих жидкость, и на каждый элемент поверхностей, проведённых произвольно внутри жидкости; величина этих сил пропорциональна площади, ограничивающей выделенный объём жидкости. К
числу поверхностных сил относят силу трения, действующую по поверхности, и силу давления.
За единицу давления в системе СИ принят паскаль (1 Па = 1 Н/м2).
Раньше давление измерялось в кгс/см2 (1 кгс/см2 = 1 атмосфера). Поскольку при применении единицы «паскаль» получаются большие цифровые
значения, её заменяют на бары: 1 Бар = 100 000 Па. Соотношения между
различными единицами измерения давления следующие:
1 кгс/см2 = 1 ат = 1 Бар = 0,1 МПа.
Часто давление измеряют в миллиметрах ртутного столба (мм. рт.
ст.). В этом случае 1 мм. рт. ст. = 133,3 Па.
Манометры некоторых агрегатов (например, компрессор автомобиля) имеют измерительную шкалу, цена деления которой выражена в единицах psi (pound-force per square inch). Такая цена деления используется в
США и Англии. Связано это с использованием таких единиц, как фунт и
дюйм:
𝑝𝑠𝑖 =
фунт−сила
, 1 psi ≈ 6,9 кПа.
кв.дюйм
1.3. Основные механические характеристики жидкости
К основным механическим характеристикам жидкости относят плотность и удельный вес.
Плотность ρ – это отношение массы жидкости m к её объёму W:
𝜌 = 𝑚⁄𝑊 .
(1.3)
Единицей измерения плотности ρ в системе СИ является кг/м3.
Удельный вес γ (Н/м3) – это отношение веса жидкости к её объёму:
𝑚g
𝛾 = 𝐺⁄𝑊 =
⁄𝑊 = 𝜌g .
(1.4)
Плотность жидкостей и газов зависит от температуры и давления.
Все жидкости, кроме воды, характеризуются уменьшением плотности с
увеличением температуры. Плотность воды максимальна при t = 4 ºС и
8
уменьшается как с уменьшением, так и с увеличением температуры от этого значения. В этом проявляется одно из аномальных свойств воды.
Плотность дистиллированной воды при t = 4º С составляет 1000
3
кг/м ; морской воды - 1020 … 1030 кг/м3; воды из Мёртвого озера (Израиль) - 1300…1400 кг/м3; нефти и нефтепродуктов – 650 … 900 кг/м3; чистой ртути – 13600 кг/м3. Величины плотности газов меньше плотности
жидкости примерно на три порядка. Например, плотность воздуха при атмосферном давлении и температуре t = 0 ºС составляет ρв = 1,293 кг/м3.
Плотность жидкости можно определить непосредственным взвешиванием, или с помощью ареометра, который действует на основе закона
Архимеда. Существуют также различные автоматические анализаторы
плотности жидкости. Плотность газов определяют с помощью различных
плотномеров (ареометрические, вибрационные, акустические и т. д.), или
косвенным методом (измерением параметров состояния среды, определения её состава и проведения соответствующих расчётов).
1.4. Основные физические свойства жидкостей и газов
Сжимаемость. При изменении давления в жидкости изменяется её
объём, следовательно, изменяется и плотность. Это свойство называется
сжимаемостью жидкости, которое характеризуется коэффициентом объёмного сжатия βр, 1/Па, представляющим собой относительное изменение
объёма жидкости при изменении давления на единицу:
βр = −
1 ∆𝑊
𝑊1 ∆𝑝
=
1 (𝑊2 − 𝑊1 )
𝑊1 (𝑝2 − 𝑝1 )
,
(1.5)
где W1 – первоначальный объём жидкости;
W2 – конечный объём жидкости;
∆W– изменение объёма жидкости при изменении давления на величину ∆р.
Знак ″–″ в формуле (1.5) указывает на то, что при увеличении давления объём жидкости уменьшается (W2 < W1).
Поскольку сжимаемость жидкости очень незначительна, то в большинстве случаев при инженерных расчетах сжимаемостью пренебрегают.
Однако при эксплуатации гидравлических систем возможны ситуации, когда давление в жидкости значительно увеличивается (например, вследствие резкого закрытия или открытия запорного устройства в трубопроводе). В таких случаях сжимаемость жидкости нужно учитывать. Если бы
вода в Мировом океане (средняя глубина 3700 м) была несжимаемой, её
уровень повысился бы на 27 м. Объём лёгкого минерального масла, применяемого в жидкостных амортизаторах шасси самолётов при нормальной
температуре, уменьшается при повышении давления от 0 до 35 МПа на 1,7
%, а керосина – на 0,8 %.
После снятия внешней нагрузки ∆р на жидкость её первоначальный
объём восстановится. Это свойство характеризует упругие свойства жидкости. Выражение (1.5) по существу, представляет собой известный закон
9
Гука для модели объёмного сжатия. В качестве меры упругого сжатия
жидкости принимают величину, обратную коэффициенту объёмного сжатия – модуль объёмной упругости жидкости Е0, Па:
Е0 = 1⁄𝛽 .
(1.6)
𝑝
Физический смысл объёмного модуля упругости можно представить,
если считать, что первоначальный объём W1 = 1 м3, изменение давления
∆р = 1 Па. Тогда согласно (1.5) и (1.6) выражение для Е0 будет равно:
Е0 = 1⁄∆𝑊 ,
то есть модуль упругости можно представить как величину, обратную изменению одного кубического метра жидкости при изменении давления на
одну единицу.
Различают изотермический и адиабатный модуль упругости. Обычно
при расчетах используют изотермический модуль упругости Е0т, применяемый при анализе медленных процессов, при которых успевает завершиться теплообмен с окружающей средой. Адиабатный модуль упругости несколько больше изотермического и используется при быстротечных процессах, например, при гидравлическом ударе в трубах. Модуль упругости
зависит от температуры и давления, и обычно при расчётах гидравлических систем используют среднее значение изотермического модуля упругости (средние значения Е0т для некоторых жидкостей приведены в табл.
1).
Таблица 1
Значения изотермического модуля упругости Е0т для некоторых жидкостей
Жидкость
Ртуть
Глицерин
Глинистые
растворы
Изотермический
модуль упругости
Е0т, МПа
32373
4464
2500
Жидкость
Вода
Керосин
Силиконовая
жидкость
Изотермический
модуль упругости
Е0т, МПа
2060
1275
1030
Плотность жидкости при увеличении давления изменяется незначительно, и обычно это изменение не учитывают. Например, при увеличении
давления с 0,1 МПа до 10 МПа (в 100 раз) плотность воды увеличится на
0,5 %. Таким образом можно считать, что плотность жидкости практически не зависит от давления.
Как уже отмечалось ранее, сжимаемость газов очень значительна, и
её необходимо учитывать при расчёте газовых систем. Закон, связывающий между собой давление и объём газа, носит название закона Бойля –
Мариотта (сначала этот закон был открыт Р. Бойлем в 1662 году, а затем
независимо от Бойля еще раз Э. Мариоттом в 1679 году): при постоянной
10
температуре и массе идеального газа произведение его давления р и объёма W постоянно:
р1W1 = р2W2 = const .
Например, если некоторое количество газа сжимается до половины
своего объёма, то давление в газе увеличивается в два раза, и наоборот.
Этот закон, как было отмечено в формулировке, справедлив для идеальных газов. Идеальный газ – это математическая модель газа, которая предполагает, что молекулы газа обладают лишь кинетической энергией. При
этом силы притяжения или отталкивания между молекулами отсутствуют,
время взаимодействия между молекулами пренебрежительно мало, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги.
Однако при сжатии газа выделяется теплота, и если газу не будет
предоставлено время для выравнивания разности температур (будет происходить адиабатный процесс), то очевидно, что увеличение давления будет происходить в бόльшем отношении, чем уменьшение объёма. В этом
случае закон Бойля – Мариотта имеет вид:
р1𝑊1𝑛 = p2𝑊2𝑛 ,
(1.7)
где n – степенной показатель, равный отношению удельной теплоёмкости
при постоянном давлении к удельной теплоёмкости при постоянном объёме (для сухого атмосферного воздуха n = 1,405).
При изотермическом процессе n = 1. На практике обычно процесс
изменения состояния газа происходит между двумя границами (изотермический и адиабатный процессы) и называется политропным. Степенной
показатель n (показатель политропы) для сухого атмосферного воздуха изменяется в пределах 1 < n < 1,405. Процесс изменения состояния газа в
трубопроводах систем газоснабжения с достаточной точностью можно
считать изотермическим.
Температурное расширение. Это свойство жидкостей изменять
свой объём при изменении температуры; характеризуется температурным
коэффициентом объёмного расширения βt (1/ ºС), представляющим собой
изменение объёма жидкости при изменении температуры на одну единицу
(1 ºС) при постоянном давлении:
βt =
1 ∆𝑊
𝑊1 ∆𝑡
=
1 𝑊2 − 𝑊1
𝑊1 𝑡2 − 𝑡1
,
(1.8)
где W1 – первоначальный объём жидкости;
W2 – конечный объём жидкости;
∆W – изменение объёма жидкости при изменении температуры на ∆t.
Иными словами, βt – это число, выражающее относительное увеличение объёма жидкости при увеличении температуры на 1/ ºС. Для воды
при разных давлениях и температуре коэффициент βt изменяется в пределах: βt ≈ 0,00014 … 0,00066 (1/ ºС). Изменение объёма жидкости при увеличении температуры незначительно, и обычно учитывается при значи11
тельных перепадах температуры. Для большинства жидкостей коэффициент объёмного расширения βt с увеличением давления уменьшается.
Изменение плотности жидкости при изменении температуры определим, исходя из логического предположения, что масса m жидкости при
изменении температуры не изменяется, изменяются её объём и плотность:
m = ρ0 ∙W1 = ρt ∙ (W1 + ∆W),
(1.9)
где ρ0 – плотность при начальной температуре t1;
ρt – плотность при температуре t2 = t1 + ∆t (∆t – изменение температуры).
Выразим из уравнения (1.9) плотность ρt , а из (1.8) – изменение объёма ∆W:
∆W = βt ∙W1∙∆t; ρt =
ρt = ρ0
𝑊1
𝑊1 +𝛽𝑡 ∙𝑊1 ∙∆𝑡
𝜌0 ∙𝑊1
𝑊1 + ∆𝑊
1
= ρ0
;
1+𝛽𝑡 ∙∆𝑡
.
Поскольку плотность жидкости незначительно, но зависит от давления, то в последнем выражении при определении ρt её значение можно
установить лишь приближённо:
ρt ≈ ρ0
1
1+𝛽𝑡 ∙(𝑡2 −𝑡1 )
.
(1.10)
Зависимость плотности жидкости от температуры широко используется для создания естественной циркуляции в отопительных системах, для
удаления продуктов сгорания и т.д.
Зависимость объёма газа от температуры математически выражается
уравнением, которое называют законом Гей – Люссака (закон был впервые
опубликован в 1802 году):
W = W0(1 + κt),
(1.11)
где W0 – объём газа при 0 ºС;
t – действительная температура;
κ – коэффициент расширения, равный увеличению объёма газа на 1⁄273 того объёма, который этот газ занимал при 0 ºС при увеличении температуры
на 1 ºС (κ = 1⁄273).
Закон Гей – Люссака справедлив при условии, что давление газа при
изменении температуры остаётся неизменным. Следует, однако, иметь
ввиду, что этот закон не оправдывается, когда газ сильно сжат или
настолько охлажден, что он приближается к состоянию сжижения. В этом
случае пользоваться формулой (1.11) нельзя.
Вязкость. Это свойство жидкости оказывать сопротивление действию внешних сил, вызывающих перемещение её частиц или слоёв.
Вязкость проявляется в том, что при относительном перемещении
слоёв жидкости на поверхностях их соприкосновения возникают силы сопротивления сдвигу, называемые силами внутреннего трения или силами
вязкости. Благодаря этим силам слой жидкости, движущийся медленнее,
12
«тормозит» соседний слой, движущийся быстрее. Силы внутреннего трения проявляются вследствие наличия межмолекулярных связей между
движущимися слоями и хаотическим тепловым движением молекул.
Силы внутреннего трения в жидкости впервые были обнаружены
Ньютоном в 1686 г., а затем экспериментально обоснованы проф. Н. П.
Петровым в 1883 г. Для выяснения физической сущности понятия вязкости
рассмотрим следующую схему (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Схема к определению вязкости жидкости
Выделим в движущейся жидкости два соседних слоя, один из которых движется со скоростью u1, а другой - со скоростью u2. Молекулы жидкости этих слоёв могут иметь как направленное движение, совпадающее с
направлением движения потока жидкости (молекулы А и В), так и хаотическое движение со своей собственной скоростью (молекулы С и D). Между
молекулами А и В действуют силы взаимного притяжения, и молекула А,
движущаяся медленнее, будет «тормозить» движение молекулы В. В то же
время молекула С, попадая в верхний слой, будет тормозить его движение.
Очевидно, что между слоями появятся силы внутреннего трения, направленные против движения жидкости по отношению к верхнему слою.
Рис. 1.3. Профиль скорости в потоке вязкой жидкости
Силы внутреннего трения возможны только в движущейся жидкости,
то есть вязкость жидкости проявляется лишь при её течении. Движение
слоёв жидкости с разными скоростями возникает при её движении вдоль
твёрдых поверхностей, так как скорость движения жидкости у твёрдой поверхности равна нулю. Частицы жидкости как бы «прилипают» к поверхности, сцепляясь с ней. Поэтому скорость движения жидкости увеличива13
ется от нуля у твёрдой поверхности до скорости основной массы жидкости
(рис. 1.3).
Ньютоном было высказано предположение, впоследствии подтверждённое опытом, что силы внутреннего трения Fтр пропорциональны площади соприкосновения слоёв S и относительной скорости перемещения
слоёв du (скорости скольжения):
Fтр = μ S
𝑑𝑢
𝑑𝑛
,
где du/dn – градиент скорости (скорость деформации сдвига), то есть величина изменения скорости в направлении, нормальном к направлению вектора самой скорости;
μ – коэффициент пропорциональности, учитывающий особенности конкретных жидкостей и называемый коэффициентом динамической вязкости жидкости (или просто динамической вязкостью жидкости).
Если отнести силу трения Fтр к единице поверхности, то получим не
что иное, как касательное напряжение τ:
τ =μ
𝑑𝑢
𝑑𝑛
.
(1.12)
В память французского учёного Пуазейля единица динамической
вязкости была названа «пуаз»: 1П = 1 г/(см·с) в системе СГС. В системе
СИ единицей динамической вязкости является 1 Па·с = 1 кг/(м·с); 1 Па·с =
10 П.
В гидравлических расчётах кроме динамической вязкости наиболее
часто используют понятие кинематической вязкости, равное отношению
динамической вязкости μ к плотности жидкости ρ:
𝜇
ν = ⁄𝜌 .
(1.13)
Название «кинематическая вязкость» отражает тот факт, что в размерность входят только кинематические (а не динамические) величины.
Единицей кинематической вязкости в системе СИ является м2/с. В системе
СГС принята единица см2/с, названная в честь английского учёного Стокса
«стокс»; 1 м2/с = 104 Ст. Сотая доля стокса называется сантистоксом (сСт).
Жидкости, для которых справедлив закон внутреннего трения Ньютона (1.12), называются ньютоновскими.
Существуют жидкости (коллоидные суспензии, растворы полимеров,
гидросмеси из глины, цемента, строительные растворы, донные осадки
сточных вод, сапропели, краски и т.п.), для которых связь между касательным напряжением τ и скоростью деформации сдвига du/dn будет выражаться соотношением:
τ = τ0 + μ
𝑑𝑢
𝑑𝑛
.
(1.14)
Такие жидкости относятся к неньютоновским и называются вязкопластичными, аномальными или бингамовскими. Опытами установлено,
что в подобных жидкостях движение наступает только после того, как за
14
счёт внешних сил, действующих на жидкость, будет преодолено некоторое
значение касательного напряжения, обычно называемого начальным
напряжением сдвига τ0. Таким образом, вязкопластичные жидкости отличаются от ньютоновских наличием касательного напряжения в состоянии
покоя τ0.
Вязкость капельных жидкостей зависит от температуры и уменьшается с увеличением последней. При увеличении температуры капельной
жидкости коэффициенты её вязкости (как динамический, так и кинематический) резко снижаются в десятки и сотни раз, что обусловлено увеличением внутренней энергии молекул жидкости по сравнению с энергией
межмолекулярных связей в жидкости. Вязкость жидкостей зависит также
и от давления, однако эта зависимость существенно проявляется лишь при
относительно больших изменениях давления (в несколько десятков МПа).
С увеличением давления вязкость большинства жидкостей возрастает. Исключением является вода, для которой при температуре до 32 ºС с увеличением давления вязкость уменьшается.
В отличие от капельных жидкостей, вязкость газов увеличивается
при увеличении температуры, так как с увеличением температуры газа
возрастает скорость теплового движения молекул, что делает газ более
вязким. Зависимость вязкости газа от давления ничем не отличается от
аналогичной зависимости для капельных жидкостей.
Изучению методов измерения вязкости посвящён целый раздел физики - вискозиметрия. Вязкость жидкостей измеряют при помощи вискозиметров. Существующее разнообразие методов измерения вязкости и
конструкций вискозиметров обусловлено как широким диапазоном значений вязкости (от 10-5 Па∙с для газов до 1012 Па∙с для ряда полимеров), так и
необходимостью измерения вязкости в условиях низких или высоких температур и давлений (например, сжиженных газов, расплавленных металлов, водяного пара при высоких давлениях и т. д.). Наиболее распространены три метода измерения вязкости жидкостей и газов: капиллярный, ротационный, и метод падающего шара.
В капиллярном вискозиметре вязкость определяют по времени истечения заданного объёма жидкости через калиброванное отверстие (капилляр). Как правило, определяют кинематическую вязкость. Предварительно
вязкость определяют в секундах истечения, а затем рассчитывают по формуле ν = κt, где κ – постоянная вискозиметра, приведённая в паспорте,
мм2/с2; t - среднее арифметическое время истечения, сек. В различных
странах для определения вязкости используют вискозиметры Энглера (в
Европе), Сейболта (в США), Редвуда (в Великобритании). При использовании вискозиметра Энглера вязкость определяют в градусах Энглера °Е
(отношение времени истечения испытуемой жидкости объёмом 200 см3 ко
времени истечения воды того же объёма при температуре 20 °С), а затем
вычисляют по соответствующей формуле.
15
В ротационных вискозиметрах определяют динамическую вязкость
по крутящему моменту с установленной скоростью ротора или по скорости
вращения ротора при заданном крутящем моменте (например, вискозиметр
Брукфильда). Ротационный метод вискозиметрии заключается в том, что
исследуемая жидкость помещается в малый зазор между двумя телами, который необходим для сдвига исследуемой среды. Одно из тел на протяжении всего опыта остаётся неподвижным, другое, называемое ротором ротационного вискозиметра, совершает вращение с постоянной скоростью.
Очевидно, что вращательное движение ротора визкозиметра передаётся к
другой поверхности посредством движения вязкой среды. Отсюда следует
вывод - момент вращения ротора ротационного вискозиметра является мерой вязкости.
Метод падающего шара основан на зависимости скорости свободного падения твёрдого шарика в вязкой жидкости и значением вязкости жидкости (например, вискозиметр Гепплера с падающим шариком).
Вязкость определяют также по затуханию периодических колебаний
пластины, помещённой в исследуемую среду (ультразвуковой метод). Существуют автоматические системы измерения кинематической и динамической вязкости.
Растворение газов. Все жидкости в той или иной мере поглощают и
растворяют газы. Относительное количество газа, которое может раствориться в жидкости до её насыщения, прямо пропорционально давлению на
поверхности раздела. Объём газа Wг, растворённого в капельной жидкости
до её полного насыщения, вычисляют по формуле:
Wг = kгWж
𝑝2
𝑝1
,
(1.15)
где Wж – объём жидкости;
p1 и p2 – соответственно начальное и конечное давление на поверхности
раздела жидкости и газа;
kг – коэффициент растворимости газа в жидкости (объём газа, растворяющегося при атмосферном давлении и при t = 0 ºС в единице объёма жидкости).
Растворимость воздуха в реальной жидкости до её насыщения зависит от её вида и плотности. Предельные значения коэффициента растворимости kг могут достигать 0,12…0,2. При температуре 20 ºС и атмосферном
давлении в воде содержится 1,6% растворённого воздуха по объёму. При
повышении температуры коэффициент растворимости уменьшается. При
уменьшении давления из жидкости выделяется объём газа в соответствии с
формулой (1.15). Процесс выделения газа протекает интенсивнее, чем растворение.
Испарение. Это свойство капельной жидкости изменять свое агрегатное состояние, в частности превращаться в пар. Интенсивность испарения (парообразования), происходящего на свободной поверхности жидко16
сти, зависит от рода самой жидкости и условий, в которых она находится.
Одним из показателей, характеризующих испаряемость жидкости, является температура её кипения при нормальном атмосферном давлении – чем
выше температура кипения, тем меньше испаряемость. Кипение – это процесс перехода жидкости в газообразное состояние, происходящий внутри
жидкости. Температура кипения с повышением давления на её поверхности увеличивается.
Если испарение происходит в свободном пространстве, то почти все
молекулы, перешедшие при испарении в паровую фазу, удаляются с поверхности жидкости и обратно не возвращаются. Если жидкость находится
в замкнутом пространстве, то после достижения в нём определенной концентрации паров устанавливается равновесие между процессами испарения и конденсации, и давление пара становится постоянным. Такой пар,
находящийся в замкнутом пространстве в термодинамическом равновесии
с жидкостью (число молекул, вырывающихся в единицу времени из жидкости и переходящих в паровую фазу, равно числу молекул, возвращающихся в жидкость за то же время), называют насыщенным. А его давление
- давлением насыщенного пара при данной температуре. При этом давление пара и жидкости будет одинаковым.
В гидравлике наибольшее значение имеет условие, при котором
начинается интенсивное парообразование по всему объёму жидкости.
Обычно при понижении давления жидкости до давления насыщенных паров рнп (при данной температуре) в жидкости образуются пузырьки газа,
т.е. происходит так называемое «холодное кипение».
Зависимость рнп воды от температуры приведена в таб. 2.
Таблица 2
Значения давления насыщенного пара для воды
в зависимости от температуры
t, ºС
рнп , МПа
t, ºС
рнп , МПа
0
10
20
30
40
50
0,0006
0,0012
0,0024
0,0043
0,0075
0,0126
60
70
80
90
100
150
0,0202
0,0317
0,0482
0,0714
0,1033
0,4850
Из данных, приведенных в таблице видно, что вода закипает при t =
100 ºС и атмосферном давлении (рнп = рат). Однако, если давление на поверхности воды понизить до р = 12,6 кПа, а это значит, что давление внутри жидкости понизится до такого же значения (это давление будет меньше
атмосферного в 8 раз), то вода закипит при температуре t = 50 ºС.
17
Представим, что жидкость течёт по трубопроводу, и попадает в зону
пониженного давления, причём это давление будет ниже давления насыщенных паров жидкости при данной температуре. При этом растворённый
в жидкости газ будет выделяться, образуя газовые полости (то есть произойдет процесс «холодного кипения»). Это явление получило название
кавитация (от лат. «кавитас» – полость, введённое в обращение В. Фрудом).
Кавитация - это нарушение сплошности движущейся жидкости
вследствие местного понижения давления ниже давления насыщенного
пара при данной температуре.
В трубопроводе пузырьки, перемещаясь с потоком жидкости, попадают в область с высоким давлением или низкой температурой и мгновенно смыкаются. В этот момент пар конденсируется и газы снова растворяются в жидкости. В образовавшиеся пустоты с большими скоростями
устремляются частицы жидкости, что приводит к местным гидравлическим ударам (резкому и значительному повышению давления в этих местах) и звуковым импульсам. Кавитация в обычных случаях является нежелательным явлением и приводит к:
- увеличению сжимаемости жидкости;
- уменьшению плотности;
- уменьшению пропускной способности трубопровода;
- повышению температуры жидкости;
- кавитационной коррозии металла.
Впервые с явлением кавитации встретились в судостроении в 1893
году при испытании английского миноносца «Дэринг». На режимах полного хода гребной винт резко изменял свои характеристики, что приводило к
падению скорости корабля. С подобной проблемой столкнулись несколькими годами позже при испытании первого турбинного корабля «Турбиния».
Давление насыщенных паров жидкости является важным параметром, который необходимо учитывать, например, при расчётах систем водоснабжения с лопастными насосами. Определяют это давление с помощью различных автоматических анализаторов, термостатов. Большинство
подобных аппаратов работает по принципу Рейда. Жидкостную камеру аппарата наполняют охлаждённой пробой испытуемого продукта и подсоединяют к воздушной камере при температуре 37,8 ºС. Аппарат погружают
в баню с температурой (37,8 ± 0,1 ºС) и периодически встряхивают до достижения постоянного давления, которое показывает манометр, соединенный с аппаратом. Показание манометра, скорректированного соответствующим образом, принимают за давление насыщенных паров по Рейду.
1.5. Воздух и его параметры
18
Воздух используют в качестве рабочего тела в пневмосистемах, где
он подвергается очистке от загрязнений и сжатию для создания рабочего
давления. К загрязнениям относят загрязнения атмосферного воздуха,
представляющие собой атмосферную пыль и некоторое количество водяного пара, и загрязнения, возникающие при сжатии. Сжатие воздуха сопровождается двумя видами загрязнений – водой (в жидком виде) и маслом. Загрязнение воздуха маслом существенно зависит от конструкции,
качества и состояния компрессора.
Смесь сухого воздуха и водяного пара называется влажным воздухом. Воздух, содержащий максимальное количество водяного пара, называется насыщенным. Предельное содержание влаги в воздухе отображено
на графике (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Предельное содержание влаги в воздухе
в зависимости от температуры
Степень насыщенности воздуха влагой характеризует относительная влажность воздуха φ:
𝑑
𝜑 = 𝑎⁄𝑑 ,
(1.16)
н
где dа – действительная влажность воздуха при некоторой температуре;
dн – влажность насыщенного воздуха при той же температуре.
Если действительное содержание влаги dа в воздухе остаётся неизменным, а температура воздуха снижается, то, согласно графику, представленному на рис. 1.4, уменьшается влажность насыщенного воздуха dн,
и относительная влажность φ возрастает. Когда φ достигает уровня 100 %,
воздух становится насыщенным. Температура, при которой это происхо19
дит, называется точкой росы. Дальнейшее снижение температуры сопровождается образованием конденсата. Зависимость точки росы от температуры и давления представлена на рис. 1.5.
Рис. 1.5. Зависимость точки росы воздуха от температуры и давления
Максимальное содержание влаги в воздухе для широкого диапазона
температур и давлений приведены на рис. 1.6.
Рис. 1.6. Максимальное содержание водяного пара в 1 кг воздуха
в зависимости от температуры и давления
20
При сжатии воздуха и дальнейшем его охлаждении в ресивере происходит выпадение конденсата. Количество выпадающего конденсата при
расчётах пневмосистем определяют следующим образом:
- определяют исходные данные, к которым относят производительность компрессора, степень сжатия воздуха, температуру и действительную влажность атмосферного воздуха, температуру воздуха в ресивере;
- учитывая, что масса одного кубического метра воздуха составляет
1,205 кг, определяют массу воздуха, сжимаемого в течение определённого
времени работы компрессора
𝑚к = 1,205 ∙ 𝑇к ∙ 𝑡к ,
где Tк – производительность компрессора, м3/мин;
tк – время работы компрессора, мин;
- при известной относительной влажности φ и температуре tв определяют действительное содержание влаги в 1 кг атмосферного воздуха, предварительно определив по графику, изображённому на рис. 1.6, максимальное содержание влаги 𝑚н в 1 кг воздуха при известной температуре tв и
атмосферном давлении
𝑚д = 𝑚н ∙ 𝜑;
- определяют содержание влаги mсж в 1 кг сжатого до рабочего давления и охлаждённого до рабочей температуры tр воздуха при φ = 100 % по
графику, изображённому на рис. 1.6;
- так как mсж < mд, то остальная влага выпадает в виде жидкого конденсата mж
𝑚ж = (𝑚д − 𝑚сж )𝑚к .
Для измерения количества воздуха обычно используют объёмные
единицы – литры или метры кубические. Учитывая, что объём, занимаемый одним и тем же количеством воздуха, может быть различным в зависимости от температуры и давления, его определяют при единых, или нормальных условиях. К нормальным условиям относят:
- атмосферное давление рат = 101325 Па (760 мм. рт. ст.);
- температура 20 ºС (293,15 К);
- относительная влажность φ = 65 %.
Если объём рассчитан при нормальных условиях, то к его обозначению размерности добавляется слово «норм» (норм. л., норм. м3). Так, масса
воздуха, содержащаяся в одном кубическом метре при нормальных условиях, составляет 1,205 кг. Если известно, что данное количество воздуха
занимает некоторый объём W при давлении p и температуре t, то объём
Wнорм, занимаемый этим же количеством воздуха при нормальных условиях, определяют по формуле:
𝑊норм = 2,89 ∙ 10−3 𝑊
𝑝
.
𝑡
(1.17)
Давление р в формуле (1.17) выражено в Паскалях, температура – в
Кельвинах (1 К = – 273 ºС).
21
1.6. Модели жидкостей
Движение жидкости – это достаточно сложное перемещение отдельных её частиц, и вывести законы, описывающие это движение, для аналитической гидравлики оказалось очень сложной задачей. К тому же жидкость обладает различными физическими свойствами, изменение параметров которых от точки к точке может изменяться как угодно. Поэтому в
гидравлике широко используют различные упрощённые модели жидкостей
и отдельных явлений.
При построении математической модели жидкости учитывают только те физические свойства, которые являются определяющими при решении данной задачи. Другие малозначимые свойства этой жидкости игнорируются. Это значительно упрощает математическое описание движения
жидкости.
Основой для большинства выведенных закономерностей в гидравлике послужили две наиболее значимые модели реальной жидкости:
- модель идеальной (невязкой) несжимаемой жидкости. Эта модель
характеризуется отсутствием касательных напряжений (сил вязкости), отсутствием какой - либо теплопроводности (теплообмена) и абсолютно несжимаема, то есть при течении такой жидкости выполняется закон сохранения энергии потока жидкости. Эта модель была предложена Д. Бернулли
и Л. Эйлером. Следствием этого было сформулированное Д. Бернулли в
1738 году уравнение движения жидкости, связывающее между собой давление и скорость потока, названное позднее его именем. Уравнение Бернулли является основным в гидродинамике, и применяется при расчётах
трубопроводов, насосов, турбин, компрессоров, при решении вопросов,
связанных с фильтрацией и т. д. На основе такой модели Л. Эйлер вывел
уравнение для течения жидкости в межлопаточном пространстве лопастного колеса (турбины), предложил способ описания движения жидкости;
- модель вязкой несжимаемой жидкости. Такая модель очень близка
к реальной жидкости, и позволяет получить систему дифференциальных
уравнений, описывающих её поведение. Поскольку жидкость считается
несжимаемой, то её плотность неизменна и распределена равномерно по
объёму. Эта модель была предложена А. Навье в 1822 году и Д. Стоксом в
1845 году. Результатом этого явилось сформулированное уравнение,
названное уравнением Навье – Стокса, являющееся одним из важнейших в
гидродинамике. Оно применяется в моделировании многих природных явлений и технических задач, в частности:
- описание течения в мантии Земли («проблема динамо» – взаимодействие между крутящимся вихревым потоком расплавленного материала
во внешнем ядре Земли и магнитным полем);
- описание воздушных масс атмосферы, в частности, при формировании прогноза погоды;
- поведение многокомпонентных смесей жидкости;
- описание конвективного тепломассообмена и т. д.
22
Для описания движения газов используется модель идеальной (невязкой) сжимаемой жидкости. При рассмотрении явлений, протекающих в
жидкости и при решении практических задач, прибегают к различным видам моделей жидкости на основе идеальной или вязкой модели. Так, для
описания движения потока жидкости вводят понятие струйной модели,
при рассмотрении турбулентного потока – двухслойной модели потока,
для каналов, имеющих достаточную протяжённость – модель одномерного
потока, прибегают к математическому моделированию работы гидротехнических сооружений (например, моделирование работы водопропускных
труб и малых мостов) и т. д.
1.7. Примеры решения задач
Решение задач по определению параметров жидкости, основанных
на её физических свойствах, не представляет больших трудностей. Решение подобных задач основано на понимании сущности свойств жидкости и
применении формул, используемых при определении параметров жидкостей. В том случае, если необходимо определить плотность жидкости при
изменении давления, предлагается самостоятельно вывести формулу для
определения изменения плотности по аналогии с (1.10).
Достаточно часто встречается случай, когда давление жидкости в
полностью заполненном резервуаре, ёмкости или трубопроводе повышается вследствие повышения температуры (например, нагревание полностью
заполненной водой ёмкости на солнце) или при подаче дополнительного
объёма жидкости (например, при опрессовке трубопровода или при гидроударе - при резком закрытии крана или задвижки). В этом случае с учётом
того, что конструкция резервуара, ёмкости или трубопровода принимается
абсолютно жёсткой (отсутствует деформация корпуса), то такие задачи
при применении формул (1.5) и (1.8) не имеют решения, так как при неизменных начальном и конечном объёмах (W1 = W2) коэффициенты βр и βt
будут равны нулю. Для решения подобных задач введём понятие «условного объёма».
а)
б)
Рис. 1.7. Схема для определения физических
свойств жидкости при неизменном объёме:
а) - температурное расширение; б) - объёмное сжатие
23
Рассмотрим абсолютно жёсткий резервуар объёмом W1, в котором
жидкость находится при температуре t1 (рис. 1.7, а). Будем считать, что
при увеличении температуры до значения t2 объём жидкости увеличился
до некоторого условного объёма W2 = W1 + ∆W. В этом случае в формуле
(1.8) существует первоначальный объём W1 и конечный объём W2.
Увеличение объёма на величину ∆W вызовет увеличение давления на
величину ∆р. Поскольку конструкцию будем считать абсолютно жёсткой,
то в данном случае увеличение давления будет происходить за счёт
уменьшения условного объёма (W1 + ∆W) на величину ∆W (рис. 1.7, б). Поэтому первоначальный объём – это условный объём (W1 + ∆W), конечный это реальный объём W1. В связи с этим формула (1.5) примет несколько
иной вид:
𝛽𝑝 = −
1
∆𝑊
.
𝑊1 +∆𝑊 ∆𝑝
(1.18)
Задача 1.7.1. При гидравлическом испытании трубопровода диаметром d = 200 мм и длиной L = 250 м давление в трубе было повышено до 3
МПа. Через час давление снизилось до 2 МПа. Сколько воды вытекло через неплотности, если модуль объёмной упругости Е0 = 2060 МПа?
Первоначальный объём воды в трубопроводе:
2
𝜋𝑑
3,14×0,22 ×250
𝑊1 =
𝐿=
= 7,85 м3.
4
4
Изменение давления за час составит ∆р = 3 – 2 = 1 МПа.
Пользуясь формулами (1.5) и (1.6), определим уменьшение объёма
воды ∆W, которое вызвало уменьшение давления (знак «–» в формуле отбросим, учитывая, что объём воды уменьшается):
𝑊1 ∆𝑝 7,85×1×106
3
∆𝑊 =
=
6 = 0,00381 м = 3,81 л.
𝐸0
2060×10
Задача 1.7.2. Трубопровод диаметром d = 500 мм и длиной L = 1 км
наполнен водой при давлении 0,4 МПа и температуре воды 5 ºС. Определить, пренебрегая деформациями и расширением стенок трубы, давление в
трубопроводе при нагревании воды в нём до 15 ºС, если модуль объёмной
упругости Е0 = 2060 МПа, а коэффициент температурного расширения βt =
0,15∙10-3 1/ ºС.
Объём воды в трубопроводе:
2
2
𝜋𝑑
3,14×0,5 ×1000
𝑊=
𝐿=
= 196,25 м3.
4
4
Увеличение объёма воды ∆W при изменении температуры на величину ∆t = 15 – 5 = 10 ºС находим из (1.8):
∆𝑊 = 𝛽𝑡 𝑊∆𝑡 = 0,00015 × 196,25 × 10 = 0,294 м3.
Найдём увеличение давления ∆р в связи с увеличением объёма воды
∆W, пользуясь понятием условного объёма, так как в реальности увеличе24
ние давления происходит без изменения объёма, с помощью формул (1.6) и
(1.18):
6
∆𝑝 =
∆𝑊
0,294×2060×10
𝐸0 =
= 3081447,4 Па = 3,08 МПа.
𝑊+∆𝑊
196,25+0,294
Найдём давление в трубопроводе рt после увеличения температуры
на 10 ºС:
рt = р0 + ∆р = 400000 + 3080000 = 3,48 МПа.
Задача 1.7.3. Сосуд заполнен водой, занимающей объём W = 2 м3. На
сколько уменьшится и чему будет равен этот объём при увеличении давления на величину 200 бар при температуре 20 ºС? Модуль объёмной упругости для воды при данной температуре Е0 = 2110 МПа.
Изменение объёма жидкости определим из уравнения (1.5):
∆𝑊 = −𝛽𝑝 𝑊∆𝑝 .
Коэффициент объёмного сжатия определим из уравнения (1.6):
1
𝛽𝑝 = 1⁄𝐸 =
= 4,74·10−10 1/Па.
6
0
2110×10
Увеличение давления ∆р = 200 бар = 20·106 Па. Тогда:
∆𝑊 = 4,74 × 10−10 × 2 × 20 × 106 = 0,019 м3.
Искомый конечный объём будет равен:
Wкон = W – ∆W = 1,981 м3.
Задача 1.7.4. Канистра, заполненная бензином и не содержащая воздуха, нагрелась на солнце до температуры 50 ºС. На сколько повысилось
бы давление бензина внутри канистры, если бы она была абсолютно жёсткой? Начальная температура бензина 20 ºС. Модуль объёмной упругости
бензина принять равным Е0 =1300 МПа, коэффициент температурного
расширения βt = 8∙10−4 1/град.
Из уравнения (1.8) находим относительное изменение объёма бензина при увеличении температуры ∆t на 30 ºС (∆t = t2 – t1 = 30 ºС):
∆𝑊
𝑊
= 𝛽𝑡 ∆𝑡 = 8 × 10−4 × 30 = 0,024;
∆W = 0,024W.
Найдём увеличение давления ∆р при увеличении температуры ∆t на
30 ºС, пользуясь понятием условного объёма, так как увеличение давления
происходит без изменения объёма, с помощью формул (1.6) и (1.18):
∆𝑝 =
∆𝑊 1
0,024𝑊
0,024
=
𝐸0 =
× 1300 × 106 = 30,48 МПа.
𝑊+∆𝑊 𝛽р 𝑊+0,024𝑊
1+0,024
25
Задача 1.7.5. Плотность масла АМГ-10 при температуре 20 ºС составляет 850 кг/м3. Определить плотность масла при повышении температуры до 60 ºС и увеличении давления с атмосферного р1 = 0,1 МПа до р2 =
8,7 МПа. Модуль объёмной упругости масла Е0 =1305 МПа, температурный коэффициент βt = 0,0008 (1/град).
Плотность масла ρI при повышении температуры до значения t2 = 60
ºС вычислим по формуле (1.10):
𝜌𝐼 =
𝜌1
850
=
= 823,6 кг/м3.
1+𝛽𝑡 ∆𝑡 1+0,0008×(60−20)
Плотность масла при повышении давления до значения p2 = 8,7 МПа
определим, исходя из утверждения, что при уменьшении объёма масса
жидкости mж не изменяется:
𝑚ж = 𝜌𝐼 𝑊1 = 𝜌𝐼𝐼 (𝑊1 − ∆𝑊), откуда 𝜌𝐼𝐼 =
𝜌І 𝑊 1
,
𝑊1 −∆𝑊
(1.19)
где W1 - объём масла при повышении температуры до значения t2 = 60 ºС;
∆W - объём, на который уменьшится объём W1 до значения W2 = W1 – ∆W.
Подставив в уравнение (1.19) выражение для ∆W (из формулы 1.5
∆W = βрW1∆р), получим:
𝜌𝐼𝐼 =
𝜌𝐼
=
1−𝛽𝑝 ∆𝑝
1−
𝜌𝐼
(𝑝2 −𝑝1 )
=
⁄
𝐸0
823,6
= 829 кг/м3.
6
1−8,6×10 ⁄
1305×106
Задача 1.7.6. Определить объёмный модуль упругости жидкости, если под действием груза А массой 250 кг поршень прошел расстояние ∆h =
5 мм. Начальная высота положения поршня (без груза) H = 1,5 м; диаметр
поршня d = 80 мм и резервуара D = 300 мм; высота резервуара h = 1,3 м.
Весом поршня пренебречь. Резервуар считать абсолютно жёстким.
Рис. 1.8. Схема к задаче 1.7.6
Сила тяжести, создаваема грузом А, будет равна:
26
F = mg = 2450 Н.
Давление, создаваемое этой силой (т.е. приращение давления ∆р),
определим как:
∆𝑝 =
𝐹
4𝐹
4∙2450
= 2=
2 = 490 кПа.
𝑆п 𝜋𝑑
3,14×0,08
Первоначальный объём W1 жидкости равен:
2
𝜋𝐷2
𝜋𝑑
𝑊1 = 𝑆1 ℎ + 𝑆2 (𝐻 − ℎ) =
ℎ+
(𝐻 – ℎ) = 0,093 м3.
4
4
Изменение объёма равно:
2
𝑛𝑑
∆𝑊 = 𝑆2 ∆ℎ =
∆ℎ = 2,5 × 10−5 м3.
4
Модуль объёмной упругости определим, используя формулы (1.5) и
(1.6):
𝐸0 = 𝑊1
∆𝑝
490×103
10
= 0,1 ×
−5 = 0,1814 × 10 Па =1814 МПа.
∆𝑊
2,5×10
Задача 1.7.7. Компрессор, имеющий производительность Tк = 1,8
норм. м3/мин, сжимает воздух до 8 бар. Температура атмосферного воздуха
на входе в компрессор составляет tв = 20 ºС, относительная влажность равна φ = 70 %. В ресивере сжатый воздух охлаждается до 25 ºС. Сколько воды выпадает в ресивере в течение часа?
Учитывая, что 1 норм. м3 воздуха имеет массу 1,205 кг, масса воздуха, сжимаемого в течение часа
𝑚к = 1,205 ∙ 𝑇к ∙ 𝑡к = 1,205 ∙ 1,8 ∙ 60 = 130 кг.
По графику (рис. 1.6) находим, что содержание влаги в 1 кг насыщенного воздуха при атмосферном давлении (на графике это линия при
0,00 МПа) и температуре 20 ºС составляет 15 г. При относительной влажности φ = 70 % содержание влаги в 1 кг воздуха составит
𝑚д = 𝑚н ∙ 𝜑 = 15 ∙ 70 = 10,5 г.
Содержание влаги в 1 кг воздуха, сжатого до 8 бар и охлаждённого
до 25 ºС при относительной влажности φ = 100 %, согласно графику (рис.
1.6), составляет 2,4 г. Отсюда следует, что «лишняя» влага выпадает в виде
конденсата. Количество конденсата, выпадающего из 1 кг сжатого воздуха
𝑚д − 𝑚сж = 10,5 − 2,4 = 8,1 г.
Количество конденсата, выпадающего в течение часа, составит
𝑚ж = (𝑚д − 𝑚сж )𝑚к = 8,1 ∙ 60 = 1053 г.
2. Гидростатика
27
2.1. Гидростатическое давление и его свойства
Гидростатика – это раздел гидравлики, в котором рассматривают
жидкости, находящиеся в состоянии покоя, то есть выполняется условие
равновесия жидкости.
Равновесие – это состояние покоя жидкости по отношению к некоторой системе координат, то есть скорости всех её частиц в любой момент
времени равны нулю в той системе координат, в которой они рассматриваются.
Для равновесия системы необходимо, чтобы сумма сил, приложенных к каждой частице жидкости массой ∆m, была равна нулю, то есть равна нулю сумма всех внешних сил, приложенных к данному объёму жидкости. Для выбранной системы координат сумма проекций сил на координатные оси равна нулю:
∑ 𝐹𝑥 = 0; ∑ 𝐹𝑦 = 0; ∑ 𝐹𝑧 = 0.
Внешние силы, действующие на данный объём жидкости, вызывают
в этом объёме нормальные напряжения сжатия, так как жидкость не воспринимает растягивающие усилия. Так как жидкость находится в равновесии, то касательные напряжения τ, действующие только в движущейся
жидкости (неньютоновские жидкости рассматривать не будем), не существуют. Основной задачей гидростатики является определение нормальных напряжений сжатия в жидкости.
Рис. 2.1. Схема к определению нормального напряжения сжатия
Рассмотрим некоторый объём жидкости, находящийся в равновесии
(рис. 2.1), причём на этот объём действует какая-то внешняя сила (например, сила тяжести), вызывающая нормальные напряжения сжатия, распределённые по всему объёму жидкости. Для определения этих напряжений
применим способ сечения.
Способ сечения широко применяют в гидравлике в том случае, если
необходимо исследовать напряжённое состояние внутри жидкости. Этот
способ допускает рассечение или «вырезание» с помощью нескольких сечений некоторого объёма жидкости в виде любой правильной или произвольной фигуры. Дело в том, что напряжённое состояние внутри жидкости
28
– это действующие между мельчайшими частицами жидкости во всех точках и направлениях внутренние силы. Отбрасывая от «вырезанного» объёма жидкости окружающую жидкость, необходимо заменить действие
внутренних сил отброшенной жидкости внешней силой, определение которой и является одной из основных задач гидравлики.
Рассечём некоторый объём жидкости произвольной плоскостью на
две части, содержащие соответственно массы m1 и m2, и отбросим одну из
них (например, верхнюю). Чтобы сохранить равновесие оставшейся массы
m2, необходимо приложить к ней силу, эквивалентную действию отброшенной массы m1, причём эта сила будет равномерно распределена по
площади сечения S. Сечение S можно представить состоящим из n-го количества элементарных площадок ∆S, к каждой из которых приложена эквивалентная отброшенной массе m1 сила ∆Р, действующая по нормали к
площадке.
Согласно (1.2), плотность распределения давления по площадке ∆S
равно пределу, к которому стремится отношение силы давления ∆Р к площади ∆S при уменьшении ∆S до нуля, т. е. при стягивании её к размерам
точки А:
𝑝A = lim ∆𝑃 ⁄∆S .
(2.1)
∆𝑆→0
Гидростатическое давление – это предел отношения силы гидростатического давления к площадке, на которую эта сила действует, при
стремлении (стягивании) этой площадки к размерам точки.
Силой гидростатического давления называют результирующую силу
Р, действующую на сечение площадью S:
𝑃 = 𝑝𝑆,
где 𝑃 = ∑𝑛0 ∆𝑃, 𝑆 = ∑𝑛0 ∆𝑆.
Свойства гидростатического давления:
1. Гидростатическое давление направлено по нормали к площадке
действия и является сжимающим. Это свойство следует из условия равновесия жидкости;
2. Величина давления в данной точке не зависит от ориентации в
пространстве площадки действия. Давление р в точке А (рис. 2.2) будет
неизменным независимо от расположения в пространстве площадки, на
которую действует давление жидкости;
Рис. 2.2. Схема к определению свойств гидростатического давления
29
3. Гидростатическое давление в данной точке зависит от её расположения в пространстве, то есть от координат в выбранной системе
отсчёта, и от плотности жидкости:
р = f (х, у, z, ρ).
Зависимость гидростатического давления в некоторой точке жидкости от её координат (x, y, z) и плотности ρ определяется основным уравнением гидростатики.
2.2. Основное уравнение гидростатики
Рассмотрим случай равновесия жидкости, когда на неё действует
лишь одна массовая сила - сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого
объёма жидкости.
Пусть на свободную поверхность жидкости, находящуюся в сосуде,
действует давление р0 (рис. 2.3). Свободная поверхность – это поверхность
жидкости, которая граничит с газовой средой. Все точки такой поверхности испытывают одинаковое внешнее давление. В данном случае поверхность горизонтальна, поскольку жидкость находится в состоянии покоя, и
на неё действует только сила тяжести.
Рис 2.3. Схема для вывода основного уравнения гидростатики:
p0 - давление, действующее по свободной поверхности жидкости;
p - давление, действующее в т. А; P0 - сила давления, действующая на
верхнее основание прямоугольника; h, z и z0 - геометрические высоты
Определим давление р в произвольно выбранной точке А, которая
находится на глубине h. Для этого методом сечений выделим в жидкости
прямоугольник с основанием dS, причём высота прямоугольника h совпадает с глубиной погружения точки А. На этот прямоугольник будут действовать следующие поверхностные и массовые силы:
- силы, заменяющие действие отброшенной жидкости, причём силы
давления на боковые поверхности прямоугольника будут уравновешивать
друг друга и на дальнейшие рассуждения никакого влияния оказывать не
будут. Остаётся только сила давления Р жидкости на нижнее основание
прямоугольника, направленная по нормали вверх:
𝑃 = 𝑝 ∙ 𝑑𝑆;
30
- сила давления Р0, действующая на верхнее основание прямоугольника:
𝑃0 = 𝑝0 ∙ 𝑑𝑆;
- сила тяжести G жидкости в объёме выделенного прямоугольника:
𝐺 = 𝑚g = 𝜌 ∙ g ∙ ℎ ∙ 𝑑𝑆.
Запишем сумму сил, действующих на выделенный объём в проекции
только на вертикальную ось, поскольку сумма проекций сил на горизонтальную ось равна нулю:
𝑝 ∙ 𝑑𝑆 − 𝑝0 ∙ 𝑑𝑆 − 𝜌 ∙ g ∙ ℎ ∙ 𝑑𝑆 = 0.
После сокращения выражения на dS и перегруппировки членов уравнения, получим:
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌gℎ
(2.2)
Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики, оно позволяет вычислить давление в любой точке покоящейся жидкости.
Из уравнения (2.2) видно, что давление р0, действующее на свободной поверхности жидкости, будет передаваться в любую точку внутри
жидкости по всем направлениям одинаково (последнее утверждение вытекает из свойства гидростатического давления). Это позволяет сформулировать закон Паскаля: давление, приложенное к жидкости, передаётся
внутри жидкости по всем направлениям без изменения.
Величину ρhg называют весовым давлением, т.к. она равна весу столба жидкости при единичной площади основания и высоте h.
Основное уравнение гидростатики можно записать иначе. Определим давление р в точке А на уровне высоты z относительно некоторой
плоскости 0 - 0 (рис. 2.3). Плоскость 0 – 0 называют плоскостью сравнения. Подставив в уравнение (2.2) значение высоты h = z0 – z, получим:
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌g(𝑧0 − 𝑧).
После несложных преобразований получим основное уравнение гидростатики для двух точек одного и того же объёма покоящейся жидкости
(одна точка находится на высоте z0 от плоскости сравнения, другая – на
высоте z):
𝑧0 +
𝑝0
𝑝
=𝑧+ .
𝜌g
𝜌g
(2.3)
Поскольку точка A взята произвольно, то можно утверждать, что для
всего рассматриваемого неподвижного объёма жидкости (для любой точки
в этом объёме):
𝑝
𝑧 + = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
(2.4)
𝜌g
Таким образом, согласно формуле (2.2) в покоящейся жидкости в
точке, находящейся на глубине h под свободной поверхностью, давление
равно сумме внешнего давления р0, действующего на свободную поверхность жидкости, и весового давления ρhg.
31
Уравнение (2.4) является полной удельной (то есть отнесённой к
единице веса) потенциальной энергией жидкости, где:
𝑧 – удельная потенциальная энергия положения;
𝑝
𝜌g
– удельная потенциальная энергия давления.
Все члены уравнения (2.3) имеют линейную размерность:
Н⁄
2 1
𝑝
[z] = м; [ ] = кг м м = м.
𝜌g
⁄м3 ⁄с2
Давление, действующее по свободной поверхности жидкости, неизменно в любой её точке. Соответственно, давление в любой плоскости,
проведённой параллельно свободной поверхности жидкости, будет также
неизменно.
Поверхность, в любой точке которой давление неизменно (p = const),
называется поверхностью равных давлений, или поверхностью уровня.
2.3. Избыточное, вакуумметрическое и абсолютное давление
Рассмотрим закрытый резервуар, в котором жидкость образует свободную поверхность (рис. 2.4, а). Подсоединим к боковой поверхности резервуара изогнутую стеклянную трубку, открытую в атмосферу. Если на
свободной поверхности действует атмосферное давление (р0 = рат), то по
закону сообщающихся сосудов для однородной жидкости в резервуаре и в
стеклянной трубке поверхности жидкостей будут находиться на одном
уровне. По уровню жидкости в стеклянной трубке можно определить значение давления на уровне подсоединения трубки, а также значение давления, действующего на свободной поверхности жидкости. Такая стеклянная
трубка носит название пъезометр.
Пъезометр - это прибор жидкостного типа, предназначенный для
измерения давления.
а)
б)
в)
Рис. 2.4. Схема к определению давления
Подадим некоторое количество воздуха в закрытый резервуар (рис.
2.4, б). В этом случае давление на свободной поверхности жидкости превысит атмосферное (р0 > рат), уровень жидкости в пъезометре превысит
уровень жидкости в резервуаре. Плоскость M – N, к которой подсоединён
32
пъезометр, является поверхностью равных давлений, то есть рM = рN. Согласно основному уравнению гидростатики (2.2):
𝑝𝑀 = 𝑝0 + 𝜌gℎ,
𝑝𝑁 = 𝑝ат + 𝜌gℎп ,
𝑝0 + 𝜌gℎ = 𝑝ат + 𝜌gℎп , откуда
𝑝0 − 𝑝ат = 𝜌g(ℎп − ℎ).
(2.5)
Из уравнения (2.5) видно, что давление, на которое давление р0 превышает атмосферное, уравновешивается давлением, создаваемым столбом
жидкости (hп – h) в пъезометре.
Давление, превышающее атмосферное, называют избыточным или
манометрическим давлением. Избыточное (манометрическое) давление
измеряется механическим прибором – манометром, и не учитывает атмосферное давление. Для случая, изображённого на рис. 2.4, б, манометрическое давление:
𝑝м = 𝜌g(ℎп − ℎ).
Давление р0 из уравнения (2.5) будет равно:
𝑝0 = 𝜌g(ℎп − ℎ) + 𝑝ат = 𝑝м + 𝑝ат .
Давление, определяемое с учётом атмосферного, называют абсолютным давлением.
Откачаем некоторое количество воздуха из закрытого резервуара
(рис. 2.4. в), в результате чего уровень жидкости в пъезометре будет ниже
уровня жидкости в резервуаре. Составим основное уравнение гидростатики аналогично предыдущему случаю. С учётом того, что р0 < рат, получим:
𝑝ат − 𝑝0 = 𝜌g(ℎ − ℎп ).
(2.6)
Из уравнения (2.6) видно, что недостаток давления до атмосферного
уравновешивается весом столба жидкости (h – hп) в резервуаре.
Давление, характеризующее недостаток давления до атмосферного,
называется вакуумметрическим давлением.
Взаимосвязь между манометрическим, вакуумметрическим и абсолютным давлением изображена на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Взаимосвязь между манометрическим, вакуумметрическим
и абсолютным давлением
33
Существуют две системы отсчёта давления:
- если за начало отсчёта принимается атмосферное давление, то в
этом случае давление может быть как положительным (избыточным), так и
отрицательным (вакуумметрическим). Весовое давление столба жидкости
p = ρgh является избыточным;
- если за начало отсчёта принимается абсолютный ноль давлений, то
в этом случае давление называют абсолютным, и оно может быть только
положительным.
Высота столба жидкости в пъезометре hп называется пъезометрической высотой, с помощью которой определяют избыточное давление в
точке подключения пъезометра:
ℎп =
𝑝изб
.
𝜌g
В гидравлике удельную энергию жидкости называют напором. Так
как напор измеряют в метрах, его называют высотой – геометрическая высота, пъезометрическая высота. В случае действия вакуумметрического
давления разницу между уровнем свободной поверхности жидкости и
уровнем жидкости в пъезометре называют вакуумметрической высотой:
ℎвак =
𝑝вак
.
𝜌g
Сумму геометрической и пъезометрической или вакуумметрической
высоты называют пъезометрическим напором Нп:
𝑝изб
;
𝜌g
𝑝
𝐻п = 𝑧 − вак .
𝜌g
𝐻п = 𝑧 +
(2.7)
(2.8)
Если используют абсолютное давление рабс, напор Н называют гидростатическим:
𝐻=𝑧+
𝑝абс
.
𝜌g
(2.9)
Давление насыщенного пара рнп является абсолютным давлением
(рис. 2.6). Предельное вакуумметрическое давление, при котором в жидкости возникает кавитация, равно 𝑝вак ≤ 𝑝ат − 𝑝нп .
Рис. 2.6. Схема к определению давления насыщенного пара
34
2.4. Приборы для измерения давления
Для измерения давления в жидкости служат приборы различной конструкции: жидкостные, механические, электрические, комбинированные.
Наибольшее распространение получили приборы первых двух типов. И
жидкостные, и механические приборы (манометры, вакуумметры или
дифференциальные манометры) служат для измерения только избыточного
(манометрического) или вакуумметрического давления.
Пъезометр. Самым простым прибором жидкостного типа является
пъезометр, рассмотренный ранее. Измерения по пьезометру проводят в
единицах длины, поэтому иногда давление выражают в единицах столба
определенной жидкости. Рассмотрим схему, изображенную на рис.2.7.
Рис.2.7. Всасывание жидкости поршнем
В трубке, нижний конец которой находится в жидкости, плотно подогнанный поршень постепенно поднимается вверх. Жидкость вслед за
поршнем поднимается на некоторую высоту h от свободной поверхности,
на которую действует атмосферное давление. Жидкость будет подниматься до тех пор, пока весовое давление столба жидкости не уравновесит атмосферное:
𝑝ат = 𝜌gℎ𝑚𝑎𝑥 , откуда ℎ𝑚𝑎𝑥 =
𝑝ат
.
𝜌g
(2.10)
При нормальном атмосферном давлении высота hmax равна: для воды
– 10,33 м; для бензина (ρ = 750 кг/м3 ) – 13,8 м; для ртути – 760 мм. Итак,
атмосферное давление, равное 760 мм. рт. ст., соответствует высоте ртутного столба, равном hmax = 760 мм. Подставив это значение в уравнение
(2.10) при ρрт = 13600 кг/м3, получим атмосферное давление, равное 1,013·
105 Па. Эта величина называется физической атмосферой и обозначается
тремя буквами – атм. Она отличается от технической атмосферы (обозначается двумя буквами - ат), которая составляет 736 мм. рт. ст. (техническая
атмосфера равна давлению, возникающему при действии силы в 1кгС на
площадь размером 1см2: 1 ат = 1 кгС/см2).
35
Ртутные манометры. Пьезометр является очень чувствительным и
точным прибором, однако он удобен для измерения небольших давлений
(1 … 10 кПа); при больших давлениях трубка пьезометра получается чрезмерно длинной. Так, для измерения давления в 1 ат понадобится трубка
длиной более 10 м. В этих случаях применяют жидкостные манометры, в
которых давление уравновешивается жидкостью бόльшей плотности.
Обычно такой жидкостью является ртуть (рис. 2.8). Обозначим давление
р0, действующее на свободной поверхности жидкости, как абсолютное
давление.
Рис. 2.8. Ртутный манометр
Выберем плоскость А как плоскость уровня. Согласно основному
уравнению гидростатики (2.2), абсолютное давление рА по плоскости А:
𝑝𝐴 = 𝑝0 + 𝜌ж gℎ = 𝑝ат + 𝜌рт gℎрт , откуда
𝑝0 = 𝑝ат − 𝜌ж gℎ + 𝜌рт gℎрт ,
где ρж – плотность жидкости в резервуаре;
ρрт – плотность ртути.
В тех случаях, когда необходимо измерить не давление в резервуаре,
а разность давлений в двух резервуарах или в двух точках жидкости в одном и том же резервуаре, применяют дифференциальные манометры
(рис.2.9, а).
а)
б)
Рис. 2.9. Ртутный манометр:
а) - дифференциальный; б) - вакуумметр
36
По основному закону гидростатики для плоскости А:
𝑝𝐴 = 𝑝1 + 𝜌ж gℎ1 = 𝑝2 + 𝜌рт gℎрт + 𝜌ж gℎ2 , откуда разность давлений
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌ж g(ℎ1 − ℎ2 ) + 𝜌рт gℎрт .
Для измерения давления вакуума применяют ртутные манометры
(вакуумметры), которые принципиально ничем не отличаются от обычных
(рис.2.9, б). В этом случае для плоскости А в абсолютной системе измерения давлений (рабс = рат – рвак) давление будет равно:
𝑝𝐴 = (𝑝ат − 𝑝вак ) + 𝜌рт gℎрт = 𝑝ат , откуда
𝑝вак = 𝜌рт gℎрт .
Механические манометры. Для измерения давлений более 0,2…0,3
МПа применяют механические манометры - пружинные или мембранные.
Наибόльшее распространение получили пружинные манометры.
а)
б)
Рис. 2.10. Манометр:
а) - пружинный; б) - мембранный
Основной частью пружинного манометра (рис. 2.10, а) является чувствительный элемент в виде изогнутой полой эллиптической трубки 1.
Один её конец запаян и соединён тягой 2 с механизмом 3, имеющим рычажно – зубчатую передачу с показывающей стрелкой. Другой конец трубки герметично соединён с гидросистемой, где измеряется давление. Под
действием давления ризб трубка 1 выпрямляется и приводит в действие рычажный механизм со стрелкой. В зависимости от жёсткости эллиптической
трубки зависит диапазон давлений, измеряемый манометром.
Основным элементом мембранного манометра (рис. 2.10, б) является
диафрагма 2, закреплённая в корпусе датчика 1 указателя давления масла
автомобиля. При увеличении давления под диафрагмой она прогибается, а
вместе с ней перемещается по реостату 3 подвижный контакт, изменяя со37
противление. Стрелка указателя закреплена на оси вместе с постоянным
магнитом 6, находящимся под действием результирующего поля катушек
5. Для создания магнитного поля катушки подключены к АКБ 4.
2.5. Относительный покой жидкости
Жидкость находится в относительном покое при её движении вместе
с резервуаром как единое целое. Различают относительный покой жидкости в цилиндрическом сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси
(центробежный фильтр грубой очистки – центрифуга), при движении резервуара горизонтально и прямолинейно с постоянным ускорением, при
движении резервуара вертикально с постоянным ускорением.
Например, при движении автомашины, оснащённой резервуаром для
перевозки жидкостей, при расчёте резервуара на прочность необходимо
учитывать увеличение давления на стенки резервуара как при прямолинейном движении автомашины, так и при повороте.
Цилиндрический сосуд, равномерно вращающийся относительно
вертикальной оси. Рассмотрим цилиндрический сосуд радиусом R, вращающийся с постоянной угловой скоростью ω (рис. 2.11, а). Через некоторое время жидкость под действием сил трения будет вращаться с той же
скоростью, что и сосуд.
а)
б)
Рис. 2.11. Относительный покой жидкости во вращающемся сосуде
На любую частицу жидкости с массой ∆m во вращающемся с постоянной угловой скоростью ω сосуде действуют:
- сила тяжести G = ∆mg;
- центробежная сила Fц =
∆𝑚𝜐2
𝑟
= ∆m𝜔2 r.
38
В данном случае давление в любой точке покоящейся жидкости
определяется двумя координатами - по вертикали высота z, по горизонтали
радиус r. Поверхностью равного давления будет являться поверхность параболоида вращения, уравнение поверхности которого:
𝑧 = 𝑧0 +
𝜔2 𝑟2
,
2g
где z – координата любой точки, лежащей на поверхности параболоида (на
поверхности равного давления), например, z1;
z0 – координата вершины параболоида.
Давление в любой точке рассматриваемой жидкости:
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌g(𝑧0 − 𝑧) + 𝜌
𝜔2 𝑟2
.
2
(2.11)
Повышение давления в жидкости, возникающее вследствие её вращения:
∆𝑝 = 𝜌
𝜔2 𝑟2
.
2
(2.12)
В случае, когда сила тяжести пренебрежительно мала в сравнении с
центробежной силой (𝐹ц ≫ 𝐺), поверхностями равного давления будут поверхности, параллельные боковым стенкам сосуда (рис. 11, б). Давление,
оказываемое на боковые стенки сосуда:
𝑝𝑅 = 𝑝0 + 𝜌
𝜔2 (𝑅2 −𝑟2 )
2
.
(2.13)
Прямолинейное движение резервуара с постоянной скоростью.
Рис. 2.12. Прямолинейное движение резервуара
Рассмотрим прямолинейное движение резервуара с жидкостью по
наклонной поверхности (рис. 2.12), особенностями которого являются:
- поверхностью уровня является множество плоскостей, параллельных свободной поверхности жидкости;
39
- любая из поверхностей уровня наклонена к поверхности горизонта
под углом α;
- сумма единичных сил в проекции на ось z равна 𝐹𝑧 = g ± 𝑎 ∙ sin 𝛼
(«–» при движении вверх по наклонной поверхности, «+» при движении
вниз);
- сумма единичных сил в проекции на ось х равна 𝐹𝑥 = 𝑎 ∙ cos 𝛼.
Давление в любой точке покоящейся жидкости (например, в т. М):
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑎𝑥 ∙ cos 𝛽 + 𝜌(g ± 𝑎 ∙ sin 𝛽)(𝑧0 − 𝑧).
(2.14)
Из уравнения (2.14) видно, что максимальное давление будет в точке
с координатами x = 0, z = 0 (точка А) при β = max. При движении по горизонтальной поверхности (β = 0):
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑎𝑥 + 𝜌g(𝑧0 − 𝑧).
(2.15)
2.6. Давление покоящейся жидкости на ограничивающие её поверхности
Распределение давления по поверхности отражают в виде эпюр давления, построение которых основано на свойствах гидростатического давления. Эпюра давления - это графическое изображение распределения гидростатического давления в жидкости в зависимости от высоты столба жидкости. Давление представляется вектором, направление которого нормально к ограничивающей жидкость поверхности, а его значение определяется
избыточным или абсолютным значением давления в точке приложения
данного вектора.
Рис. 2.13. Действие гидростатического давления
на горизонтальную плоскость
Давление жидкости на ограничивающие её горизонтальные поверхности определяется основным уравнением гидростатики (рис. 2.13):
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌gℎ .
Силу давления жидкости вызывает только избыточное давление:
𝑃 = 𝑝изб 𝑆 = 𝜌gℎ𝑆,
(2.16)
где S - площадь поверхности, ограничивающей жидкость.
Из формулы (2.16) видно, что сила давления на горизонтальную поверхность, ограничивающую жидкость, зависит от плотности жидкости ρ,
высоты столба жидкости h, площади поверхности S, но не зависит от формы сосуда (рис. 2.14). В этом заключается так называемый гидростатический парадокс.
40
Рис. 2.14. Гидростатический парадокс
Определение силы давления жидкости на боковую поверхность в ряде случаев необходимо для прочностного расчёта конструкции. Боковая
поверхность может быть плоской (вертикальной или наклонной) или цилиндрической формы.
Сила давления жидкости на плоскую стенку. Задача по определению силы давления на плоскую стенку (поверхность, ограничивающую
жидкость), сводится к определению равнодействующей силы давления (по
величине и направлению), а также нахождению точки её приложения. Давление, действующее на боковую стенку, увеличивается по мере погружения (рис. 2.15). Характерной особенностью действия давления на боковую
стенку является наличие центра тяжести и центра давления.
Рис. 2.15. Схема действия жидкости на плоскую стенку
Центр тяжести (точка С) - точка приложения давления р, вектор
которого направлен по нормали к плоской стенке. Центр тяжести таких
плоских фигур, как прямоугольник или круг, находится в центре их симметрии, то есть ℎ𝐶 = ℎ⁄2 . Если свободная поверхность жидкости открыта
в атмосферу (р0 = рат), то избыточное давление:
𝑝изб = 𝜌gℎ𝐶 = 𝜌g𝑙𝐶 sin 𝛼 .
Центр давления (точка D) - точка приложения силы давления Р, вектор которой также направлен по нормали к плоской стенке. Для определения координаты центра давления рассмотрим фигуру, образованную эпю41
рой давления. При действии на прямоугольную стенку эпюра давления
представляет собой объёмную фигуру – призму. Сила давления на стенку
равна весу жидкости в объёме фигуры, то есть сила давления определяется
массой жидкости в объёме фигуры, построенной с помощью эпюры давления. Точка приложения силы давления при действии на плоскую стенку
будет находиться на линии центра тяжести объёмной фигуры.
Так как основанием призмы является прямоугольный треугольник,
то центр тяжести призмы отстоит от вершины треугольника на 2/3 его высоты. Координата центра давления площадки hD:
2
3
ℎ𝐷 = ℎ = 𝑙𝐷 sin 𝛼.
(2.17)
Координата центра давления необходима для выполнения прочностных расчётов конструкций, ограничивающих жидкость. Cила давления:
𝑃 = 𝑝изб 𝑆,
(2.18)
где S – площадь плоской стенки.
Таким образом, центр тяжести hС и центр давления hD не совпадают.
Глубина погружения центра давления плоской стенки зависит от её конфигурации. Для некоторых различных плоских фигур выражения для определения центра тяжести hС и центра давления hD приведены в таб. 3.
Таблица 3
Координата центра тяжести и центра давления
для некоторых плоских фигур
Схема
Площадь
стенки, S
Координата центра тяжести
площадки, hC
Координата
центра давления, hD
bh
ℎ
2
2
ℎ
3
ℎ 𝑎 + 2𝑏
×
3 𝑎+𝑏
ℎ 𝑎 + 3𝑏
×
2 𝑎 + 2𝑏
𝑑
2
5
𝑑
8
(𝑎 + 𝑏)
ℎ
2
𝜋𝑑 2
4
42
Сила давления покоящейся жидкости на цилиндрическую поверхность. Определение силы давления жидкости на цилиндрическую поверхность имеет следующие особенности:
- векторы сил давления, распределённые по криволинейной поверхности, не параллельны друг другу;
- силу давления Р, приложенной к любой точке криволинейной поверхности (кроме направления вектора силы, действующей только по вертикали или только по горизонтали), можно разложить на две составляющие - горизонтальную Рх и вертикальную Рz
𝑃 = √𝑃𝑥2 + 𝑃𝑧2 ;
(2.19)
- горизонтальная сила Pх численно равна силе избыточного давления,
приложенной к плоской вертикальной проекции криволинейной
поверхности;
- вертикальная сила Pz равна весу тела давления в объёме W
𝑃𝑧 = 𝜌g𝑊.
Рис. 2.16. Схема действия силы давления жидкости
на криволинейную поверхность
Рассмотрим цилиндрический резервуар для перевозки жидкости
(рис. 2.16). Вертикальной проекцией цилиндрической поверхности будет
прямоугольник со стороной |𝐴𝐵| и некоторой длиной (на схеме не
показано). Сила Pх будет равна:
𝑃𝑥 = 𝑝изб 𝑆 ,
𝑝изб = 𝜌gℎ𝐶 = 𝜌g
𝑑
,
2
где S – площадь плоской проекции.
Объём жидкости, ограниченный криволинейной поверхностью, вертикальной проекцией криволинейной поверхности и свободной поверхностью жидкости при её наличии, называется телом давления. Иными словами, тело давления – это объём жидкости, опирающийся своим весом на
криволинейную поверхность.
43
Объём тела давления, изображённого на рис. 2.16, равен половине
объёма цилиндра:
2
1 𝜋𝑑
𝑊=
𝐿,
2 4
где L – длина цилиндра.
Горизонтальная составляющая Px приложена к центру давления с
вертикальной координатой hD = 2⁄3 |𝐴𝐵|, а вертикальная составляющая Pz
– через центр тяжести тела давления.
2.7. Примеры решения задач
При решении задач по гидростатике необходимо различать такие понятия, как давление р и сила давления Р. Если давление р зависит только от
высоты столба жидкости, то сила давления Р определяется площадью поверхности S, на которое по нормали действует давление жидкости:
Р = рS.
Применяя основное уравнение гидростатики, нужно помнить, что
второй член в правой части уравнения может быть как положительным,
так и отрицательным. Необходимо твёрдо различать давления абсолютное,
избыточное (манометрическое) и вакуумметрическое, а также весовое давление столба жидкости ρgh. Очевидно, что при увеличении высоты столба
жидкости давление увеличивается, а по мере подъёма к свободной поверхности жидкости - уменьшается. Необходимо четко представлять, что пъе𝑝
зометрическая высота изб⁄𝜌g – это высота столба жидкости в пъезометре
(пъезометр – это стеклянная трубка, манометр жидкостного типа для измерения избыточного давления).
При решении задач, в которых даны поршни или системы поршней,
следует составить уравнение равновесия, то есть равенство нулю суммы
всех сил, действующих на поршень или систему поршней. В задачах на относительный покой жидкости следует учитывать повышение давления за
счёт силы инерции переносного движения. Положение свободной поверхности жидкости в сосуде при заданной угловой скорости вращения определяется объёмом находящейся в ней жидкости. При этом используется
формула объёма параболоида вращения Wп:
1
2
𝑊п = 𝜋𝑅 2 ℎ ,
(2.20)
где R – радиус основания параболоида;
h – высота параболоида.
Если угловая скорость вращения достаточно большая, то силой тяжести жидкости можно пренебречь и повышение давления следует определять по формуле (2.13).
Сила давления жидкости на плоскую стенку зависит от положения
центра тяжести hС и центра давления hD площадки. Численное значение
44
силы давления жидкости на плоскую стенку определяют по формуле
(2.18). В случае необходимости определения какой – либо внешней силы
необходимо составить уравнение моментов всех действующих сил, правильно учитывая плечи этих сил относительно выбранного центра. Если
стенка находится в жидкости на некоторой глубине, то глубина погружения центра тяжести будет определяться как сумма собственно центра тяжести площадки и высоты столба жидкости от верхней точки площадки до
свободной поверхности жидкости. Глубину погружения центра давления в
этом случае определяют по соответствующим формулам, приводимым в
учебниках и справочниках по гидравлике. В данном пособии этот вопрос
не рассмативается.
При определении силы давления жидкости на криволинейную поверхность необходимо помнить, что значение этой силы складывается из
горизонтальной (сила давления жидкости на вертикальную проекцию данной стенки) и вертикальной (вес жидкости в объёме, заключенном между
данной криволинейной стенкой, свободной поверхностью жидкости и вертикальной проекции стенки) составляющих, и определяется по формуле
(2.19).
Задача 2.7.1. В цилиндрический бак диаметром d = 2 м до уровня h =
1,5 м налиты вода и бензин. Уровень воды в пьезометре, открытом в атмосферу, ниже уровня бензина на hп = 300 мм. Определить объём находящегося в баке бензина, если плотность бензина ρб = 700 кг/м3, плотность воды
ρв = 1000 кг/м3.
Рис. 2.17. Схема к задаче 2.7.1
Исходя из схемы подключения пъезометра, можно утверждать, что
давление на дне бака и в нижней части пъезометра (точки А и В, рис. 2.17)
будет одинаковым: рА = рВ. Составим основное уравнение гидростатики,
где весовое (избыточное) давление воды и бензина в баке будет равно весовому давлению воды в пьезометре:
𝜌в gℎв + 𝜌б gℎб = 𝜌в g(ℎ − ℎп ),
где hв и hб - высота воды и бензина в баке соответственно.
Поскольку в этом уравнении два неизвестных (высоты hв и hб), выразим hв = h – hб, и подставим:
45
𝜌в g(ℎ − ℎб ) + 𝜌б gℎб = 𝜌в g(ℎ − ℎп ).
После сокращения получим:
ℎб (𝜌в − 𝜌б ) = 𝜌в ℎп , откуда высота бензина в баке
ℎб =
𝜌 в ℎп
1000×0,3
=
= 1м.
(𝜌в −𝜌б )
1000−700
Объём находящегося в баке бензина:
2
2
𝜋𝑑
3,14×2
𝑊б =
ℎб =
× 1 = 3,14 м3.
4
4
Задача 2.7.2. Определить абсолютное давление р0 воздуха на свободной поверхности воды в напорном баке по показанию ртутного манометра. Какой высоты hп должен быть уровень воды в пьезометре для измерения того же давления р0? Высоты h = 2,6 м; h1 = 1,8 м; h2 = 0,6 м. Плотность ртути ρ = 13600 кг/м3, воды ρ = 1000 кг/м3. Атмосферное давление
составляет 765 мм. рт. ст.
Рис. 2.18. Схема к задаче 2.7.2
Составим основное уравнение гидростатики в абсолютных величинах давлений. Из анализа схемы, изображённой на рис. 2.18, видно, что
давление в ртутном пъезометре на линии А, образованное за счёт весового
давления столба ртути (h1 – h2) и атмосферного давления, будет уравновешено весовым давлением воды ρвg(h – h2) и абсолютным давлением р0,
действующим на свободной поверхности воды в баке:
𝑝𝐴 = 𝑝0 + 𝜌в g(ℎ − ℎ2 ) = 𝑝атм + 𝜌рт g(ℎ1 − ℎ2 ), откуда
𝑝0 = 𝑝атм + 𝜌рт g(ℎ1 − ℎ2 ) − 𝜌в g(ℎ − ℎ2 ) = 765 × 133,3 +
+13600 × 9,8 × (1,8 − 0,6) − 1000 × 9,8 × (2,6 − 0,6) =
= 101974,5 + 159936 − 19600 = 242310,5 Па = 0,24 МПа.
Для нахождения высоты hп рассуждаем аналогично: весовое давление воды ρвgh в баке и абсолютное давление р0, действующее на свободной
поверхности, будут уравновешены весовым давлением ρвghп воды в пъезометре и атмосферным давлением:
𝑝0 + 𝜌в gℎ = 𝑝ат + 𝜌в gℎп , откуда
46
ℎп =
𝑝0 +𝜌вgℎ−𝑝атм 242310,5+1000×9,8×2,6−101974,5
=
= 16,92 м.
𝜌в g
1000×9,8
Задача 2.7.3. Определить силу F, действующую на шток гибкой
диафрагмы гидроцилиндра, если её диаметр d = 200 мм, показание манометра рм = 0,27 МПа, высота h = 1 м. Площадью штока пренебречь. Найти
абсолютное давление в левой полости, если haт = 740 мм. рт. ст. Плотность
жидкости составляет ρ = 850 кг/м3.
Рис. 2.19. Схема к задаче 2.7.3
Сила F, действующая по оси гидроцилиндра, создаёт избыточное
давление ризб, действующее на стенки гидроцилиндра. Давление определим
по показанию манометра с учётом высоты столба жидкости h:
𝑝изб = 𝑝м + 𝜌gℎ = 270000 + 850 × 9,8 × 1 = 278330 Па.
Сила, действующая на шток диафрагмы:
𝜋𝐷²
3,14×0,22
𝐹 = 𝑝м
= 278330 ×
= 8740 Н = 8,74 кН.
4
4
Атмосферное давление составляет:
𝑝атм = 740 × 133,3 = 98642 Па.
Абсолютное (с учётом атмосферного)давление в левой полости:
𝑝абс = 𝑝атм + 𝑝изб = 98642 + 278330 = 376972 Па = 0,377 МПа.
Задача 2.7.4. Система из двух поршней, соединенных штоком, находится в равновесии. Определить силу, сжимающую пружину. Жидкость,
находящаяся между поршнями и в бачке - масло с плотностью ρ = 870
кг/м3. Диаметры D = 80 мм; d = 30 мм; высота h = 1000 мм; избыточное
давление р0 = 10 кПа.
Избыточное давление, действующее на кольцевую поверхность
поршней, будет равно:
𝑝изб = 𝑝0 + 𝜌gℎ = 10000 + 870 × 9,8 × 1 = 18526 Па.
47
Рис. 2.20. Схема к задаче 2.7.4
Силы F1 и F2, действующие на кольцевые площади поршней с диаметрами D = 80 мм и d = 30 мм, будут равны:
2
𝐹1 = 𝑝изб
𝐹2 = 𝑝изб
𝜋(𝐷2 −𝑑ш)
4
2
2
𝜋(𝑑 −𝑑ш)
4
,
.
Сила, сжимающая пружину, будет равна:
𝐹 = 𝐹1 − 𝐹2 = 𝑝изб
𝜋(𝐷2 −𝑑
4
2
)
= 18526 ×
3,14×(0,082 −0,032 )
4
= 79,87 Н.
Задача 2.7.5. Определить силу F, необходимую для удержания в
равновесии поршня, если труба под поршнем заполнена водой плотностью
ρ = 1000 кг/м3. Размеры трубы d = 100 мм, h1 = 4 м, h2 = 0,5 м. Длина рычага а = 0,2 м, b =1 м. Собственным весом поршня пренебречь.
Рис. 2.21. Схема к задаче 2.7.5
48
Логично предположить, что сила F, необходимая для удержания
поршня в равновесии, должна соответствовать избыточному давлению под
ним, то есть весовому давлению столба жидкости:
𝑝изб = 𝜌g(ℎ1 + ℎ2 ) = 1000 × 9,8 × (4 + 0,5) = 44100 Па.
Сила на штоке Fш, необходимая для его удержания в равновесии:
2
𝜋𝑑²
3,14×0,1
𝐹ш = 𝑝изб
= 44100 ×
= 346,2 Н
4
4
Сила F в соответствии с длинами плеч рычага равна:
𝐹 = 𝐹ш
𝑎
0,2
= 346,2 ×
= 69,24 Н.
𝑏
1
Задача 2.7.6. Автомобиль движется с ускорением а = 3,27 м/с2.
Определить минимальное количество топлива в баке, обеспечивающее его
подачу без подсоса воздуха. Считать, что бензопровод установлен на расстоянии L = 0,45 м от задней стенки бака, диаметр бензопровода мал по
сравнению с длиной бака, высота h = 10 мм. Ширина бака b = 0,5 м, плотность бензина ρ = 750 кг/м3. Определить избыточное давление, оказываемое на заднюю стенку бензобака.
а)
б)
Рис. 2.22. Схема к задаче 2.7.6
Изобразим положение бензина в баке с минимальным объёмом (рис.
2.22, б). Обозначим стороны прямоугольного треугольника как (x + L) и z.
Тогда:
tg 𝛼 =
𝑎 3,27
=
= 0,33367, α = 18,45 град.
g
9,8
ℎ
0,1
𝑥=
=
= 0,3 м,
tg 𝛼 0.33367
𝑧 = (𝑥 + 𝐿) tg 𝛼 = (0,3 + 0,45) × 0,33367 = 0,25 м.
Объём минимального количества бензина в баке, обеспечивающего
его подачу без подсоса, будет равно:
49
𝑊 = 𝑆тр 𝑏 =
𝑧(𝑥+𝐿)
0,25×(0,3+0.45)
𝑏=
× 0,5 = 0,047 м3 = 47 л.
2
2
Давление, оказываемое на заднюю стенку бензобака, определим по
формуле (2.15):
𝑝 = 𝜌𝑎𝑥 + 𝜌g𝑧 = 750 × 3,27 × 0,3 + 750 × 9.8 × 0,25 = 2573,25 Па.
Задача 2.7.7. На рисунке показана одна из возможных схем гидроусилителя сцепления автомобиля. Масло под давлением р0 = 0,5 МПа подводится внутри вала и затем через отверстие - в полость между двумя совместно вращающимися цилиндром 1 и поршнем 2, который может скользить вдоль вала. Давление масла, увеличенное благодаря действию центробежных сил, заставляет поршень перемещаться вправо и обеспечивает
этим силу нажатия, необходимую для выключения сцепления. Определить
силу давления масла на поршень 2, если его диаметр D =120 мм, диаметр
вала d = 20 мм, частота вращения n = 6000 об/мин, плотность масла ρ = 920
кг/м3.
Рис. 2.23. Схема к задаче 2.7.7
Определим угловую частоту вращения:
𝜔=
2𝜋𝑛 2×3,14×6000
=
= 628 рад/с.
60
60
Увеличение давления за счет центробежной силы будет увеличиваться пропорционально увеличению расстояния от центральной оси элемента. В этом случае за увеличение давления примем его среднее значение
в соответствии с формулой (2.13):
2
2
2
2
2
0,12 ⁄ −0,02 ⁄ )
𝜔2 𝜌(𝐷 ⁄2−𝑑 ⁄2) 628 ×920×(
2
2
∆𝑝 =
=
= 635 кПа.
2
2
Давление в полости элемента с учётом увеличения давления за счёт
действия центробежной силы будет равно:
𝑝 = 𝑝0 + ∆𝑝 = 500000 + 635000 = 1135000 Па.
Сила, с которой действует давление р на поршень, будет равна:
𝐹 = 𝑝𝑆п = 𝑝
𝜋(𝐷2 −𝑑
2
2
)
= 1135000 ×
50
3,14×(0,122 −0,022 )
2
=7945 Н.
Задача 2.7.8. В сосуд диаметром d = 100 мм и высотой h2 = 0,3 м залита жидкость до уровня h1 = 0,2 м. Определить, до какой угловой скорости ω можно раскрутить сосуд, с тем, чтобы жидкость не выплеснулась из
него.
Рис. 2.24. Схема к задаче 2.7.8
При ω = ωmax свободная поверхность жидкости займёт положение,
изображённое на рис. 2.24. Уравнение свободной поверхности жидкости в
виде поверхности параболоида имеет вид:
𝜔2 𝑟2
,
2g
ℎ2 = 𝑧0 +
где z0 - вертикальная координата вершины параболоида. Объём параболоида вращения Wп согласно формуле (2.20) равен:
1
2
𝑊п = 𝜋𝑅2 (ℎ2 − 𝑧0 ) .
Выразим объём жидкости Wж, находящейся в сосуде объёмом Wс,
учитывая объём параболоида Wп:
2
2
𝜋𝑑
1
1 𝜋𝑑
(ℎ2 + 𝑧0 ) .
𝑊ж = 𝑊с − 𝑊п = ℎ2
− 𝜋𝑅2 (ℎ2 − 𝑧0 ) =
4
2
2 4
Поскольку можно вычислить объём жидкости Wж в сосуде, находя2
𝜋𝑑
щегося в состоянии покоя (𝑊ж = ℎ1
), то можно записать:
4
2
2
𝜋𝑑
1 𝜋𝑑
(ℎ2 + 𝑧0 ),
ℎ1
=
4
2 4
1
ℎ1 = (ℎ2 + 𝑧0 ) , откуда
2
ℎ = 2ℎ1 − ℎ2 = 2 × 0,2 − 0,3 = 0,1 м.
Угловую скорость ω можно выразить из уравнения свободной поверхности жидкости в сосуде:
𝜔=√
(ℎ2 −𝑧0 )2g
𝑅2
=√
(0,3−0,1)×2×9,8
0,052
51
= 39,6 рад/с.
Задача 2.7.9. Резервуар заполнен жидкостью плотностью ρ = 870
кг/м , высота столба жидкости h = 0,65 м. Основания трапеции боковой
стенки а = 0,6 м, b = 0,35 м, длина х = 1,2 м. Определить усилие, действующее на каждый болт крепления боковых стенок и дна резервуара на глубине h, если количество болтов по длине х равно nх = 8 шт., по длине b
равно nb = 3 шт. Определить диаметр болтов, если допустимое напряжение
на разрыв стального болта [σ] = 7000 Н/см2.
3
Рис. 2.25. Схема к задаче 2.7.9
Для решения задачи необходимо определить высоты центров тяжести hС и центров давления hD боковых стенок. Для наглядности графически
отобразим положения центров тяжести и давления (рис. 2.25):
1
- центр тяжести прямоугольной боковой стенки hС1 = ℎ = 0,325 м;
2
2
- центр давления прямоугольной боковой стенки hD1 = ℎ = 0,43 м;
- центр тяжести трапеции hC2 =
ℎ 𝐵+2𝑏
3
= 0,3 м;
3 𝐵+𝑏
ℎ 𝐵+3𝑏
- центр давления трапеции hD2 =
2 𝐵+2𝑏
= 0,4125 м.
Определим весовые давления, действующие в центре тяжести боковой стенки и трапеции:
- давление рпр, действующее в центре тяжести прямоугольной боковой стенки
𝑝пр = 𝜌gℎ𝐶1 = 870 × 9,8 × 0,325 = 2771 Па;
- давление, действующее в центре тяжести трапеции
𝑝тр = 𝜌gℎ𝐶2 = 870 × 9,8 × 0,3 = 2527,8 Па.
Определим силы давления, действующие на боковые стенки.
52
Для определения сил давления, действующих на боковые стенки,
необходимо определить их площади:
- площадь прямоугольной боковой стенки
𝑆пр = 𝑥𝑦 = 𝑥
ℎ
0,65
= 1,2 ×
= 0,794 м2,
sin 𝛼
sin 79,1
где угол α определим как tg 𝛼 = ℎ⁄(𝐵−𝑏) = 5,2; α = 79,1 º;
2
- площадь трапеции
1
2
𝑆тр = ℎ(𝑎 + 𝑏) =
1
× 0,65 × (0,6 + 0,35) = 0,31 м2.
2
Определим силы давления, действующие на боковую прямоугольную стенку и в форме трапеции:
- на прямоугольную стенку
𝑃пр = 𝑝пр 𝑆пр = 2771 × 0б794 = 2198 Н;
- на стенку в форме трапеции
𝑃тр = 𝑝тр 𝑆тр = 2527,8 × 0,31 = 783,6 Н.
Определим силы F, действующие на болты крепления боковых стенок и дна резервуара по линии b и х на глубине h со стороны жидкости.
Эти силы будут равны по значению и противоположны по знаку силам реакции со стороны болтов крепления. Обозначим их как Fх (сила, действующая по длине х) и Fb (сила, действующая по длине b). Составим уравнение моментов относительно точки, расположенной на оси симметрии площадок (прямоугольной и трапеции) в верхней точке (точки А и Б).
Уравнение моментов сил, действующих на прямоугольную стенку
относительно точки А:
ℎ𝐷1
ℎ
= 𝐹𝑥
,
sin 𝛼
sin 𝛼
2
2
hD1 = ℎ, тогда 𝑃пр ℎ = 𝐹𝑥 ℎ ,
3
3
2
𝐹𝑥 = 𝑃пр = 1465,3 Н.
3
𝑃пр
Сила, действующая на каждый болт по длине х, будет равна:
𝐹𝑥𝑛 =
𝐹𝑥 1465,3
=
= 183,2 Н.
𝑛
8
Уравнение моментов сил, действующих на стенку в форме трапеции
относительно точки Б:
𝑃тр ℎ𝐷2 = 𝐹𝑏 ℎ , откуда
𝐹𝑏 =
𝑃трℎ𝐷2 783,6×0,4125
=
= 497,3 Н.
ℎ
0,65
Сила, действующая на каждый болт по длине b, будет равна:
𝐹𝑏𝑛 =
𝐹𝑏 497,3
=
= 165,76 Н.
𝑛
3
53
Поскольку сила, действующая на каждый болт по длине х, несколько
больше, чем по длине b, то диаметр болтов определим исходя из силы Fхn.
Определим площадь сечения одного крепежного болта Sn из формулы:
[𝜎] =
𝐹𝑥𝑛
𝐹
183,2
, откуда 𝑆𝑛 = [ 𝑥𝑛] =
= 0,0262 см2,
𝑆𝑛
𝜎
7000
𝑑𝑛 = √
4𝑆𝑛
4×0,0262
=√
= 0,1826 см.
𝜋
3,14
Диаметр крепежного болта будет не менее dn = 2 мм.
Задача 2.7.10. Горизонтальная металлическая цистерна круглого сечения диаметром d = 2 м и длиной L = 10 м полностью заполнена минеральным маслом (удельный вес масла 9∙103 Н/м3). Давление на поверхности масла равно атмосферному. Определить силу давления масла на внутреннюю криволинейную поверхность цистерны. Определить координаты
центра тяжести тела давления.
Рис. 2.26. Схема к задаче 2.7.10
Определим плотность масла исходя из формул (1.3) и (1.4):
𝛾
ρ = ⁄g = 9000⁄9,8 = 918,37 кг/м3.
Центр координат расположим в центре сечения цистерны, ось ОХ
направим по горизонтали, ось ОZ - по вертикали по оси симметрии цистерны (рис. 2.26). Сила давления масла на внутреннюю криволинейную
поверхность цистерны определим по формуле (2.19) как корень из суммы
квадратов силы Px (сила давления масла на вертикальную проекцию оси
ОZ цилиндрической поверхности цистерны) и силы Pz (сила тяжести тела
давления, ограниченного осью ОZ и цилиндрической поверхностью), то
есть:
𝑃 = √𝑃𝑥2 + 𝑃𝑧2 .
Для определения силы Px по формуле необходимо определить площадь проекции цилиндрической поверхности Sz на ось ОZ и центр тяжести
hC этой проекции для определения давления:
54
𝑆𝑧 = 𝑑𝐿 = 10 × 2 = 20 м2;
ℎ𝐶 =
𝑑
= 1 м,
2
𝑃𝑥 = 𝜌gℎ𝐶 𝑆𝑧 = 918,37 × 9,8 × 1 × 20 = 180 кН.
Сила Pz определим как половину веса масла:
2
2
𝑚g 𝜌g𝑊
𝜋𝑑
3,14×2
𝑃𝑧 =
=
= 𝜌g𝐿
= 918,37 × 9,8 × 10 ×
= 141,3 кН.
2
2
8
8
Сила давления масла на внутреннюю криволинейную поверхность
цистерны:
𝑃 = √1800002 + 1413002 = 228835,5 Н.
Определим координаты центра тяжести тела давления. Центр тяжести будет находиться на линии действия силы давления Px, то есть координата по оси ОZ будет равна
𝑑
5
𝑑
1
𝑧 = (ℎ𝐷 − ) = ( 𝑑 − ) = 𝑑.
2
8
2
8
Координату хц по оси ОХ определим, составив уравнение моментов
относительно т. А:
1
8
𝑃 𝑑 180000×2
𝑥ц = 𝑥 =
= 032 м.
8𝑃𝑧 8×141300
𝑃𝑥 𝑑 = 𝑃𝑧 𝑥ц , откуда
Задача 2.7.11. Определить диаметр dр резервуаров - накопителей
(ресиверов) 2 автоматической системы тормозов автомобиля, при котором
будет обеспечиваться шесть торможений (n = 6) за счёт сжатого воздуха
без включения компрессора 1. Последний включается и начинает нагнетать воздух в систему при избыточном давлении р2 = 0,4 МПа и выключается при р1 = 0,6 МПа. Кран управления 3 после каждого торможения выпускает воздух из тормозных цилиндров 4 в атмосферу. Принять: диаметр
поршня тормозных камер dп = 180 мм, ходы поршней Lп = 0,06 м, длины
резервуаров Lр = 0,8 м, атмосферное давление составляет 749,5 мм. рт. ст.
Процесс расширения воздуха считать изотермическим. Объёмом трубопроводов пренебречь. Определить, сколько полных торможений без включения компрессора могут обеспечить эти резервуары, если автомобиль
въехал на горный перевал (где атмосферное давление составляет 400 мм.
рт. ст.) без использования тормозной системы.
55
Рис. 2.27. Схема к задаче 2.7.11
Изменение объёма газа связано с изменением его давления. Для решения задачи воспользуемся уравнением Бойля – Мариотта (1.7):
р1𝑊1𝑛 = p2𝑊2𝑛 ,
где n – степенной показатель, равный при изотермическом процессе единице, то есть
𝑝1 𝑊1 = 𝑝2 𝑊2 .
Обозначим объём одного ресивера W1, объём одной тормозной камеры 4 при одном рабочем ходе – W2. Учитывая количество ресиверов и тормозных камер, а также количество торможений (n = 6), можно записать:
𝑝1 3𝑊1 = 𝑝2 (3𝑊1 + 4𝑛𝑊2 ) ,
2
2
2
𝜋𝑑р
𝜋𝑑р
𝜋𝑑п
𝑝1 3
𝐿 = 𝑝2 (3
𝐿 + 4𝑛
𝐿 ),
4 р
4 р
4 п
2
2
𝜋𝑑р
𝜋𝑑
где 𝑊1 =
𝐿р , 𝑊2 = п 𝐿п .
4
4
После некоторых математических преобразований и сокращений получим:
3
4
𝑑р2 𝐿р (𝑝1 − 𝑝2 ) = 𝑝2 𝑛𝑑п2 𝐿п , откуда
2
4𝑝2 𝑛𝑑п𝐿п
4×400 000×6×0,182 ×0,06
√
=
= 0,197 м ≈ 200 мм.
3𝐿р (𝑝1 −𝑝2 )
3×0,8×(600 000−400 000)
𝑑р = √
Определим, сколько полных торможений может обеспечить тормозная система автомобиля на горном перевале. Для этого определим разность
нормального и пониженного (на горном перевале) атмосферных давлений:
𝑝доп = (749,5 − 400) × 133,3) = 46588,35 Па.
Эту разность давлений обозначим как дополнительное давление рдоп,
поскольку именно на эту разность повысится избыточное давление в ресиверах 2 из-за понижения атмосферного давления ( ризб = рабс – рат), так как
56
абсолютное давление до въезда автомобиля на горный перевал и на нём
при неработающем компрессоре будет одинаковым. Тогда избыточное
давление в ресиверах ррес составит:
ррес = р1 + рдоп = 600 000 + 46 588,35 = 646 588,35 Па.
Запишем повторно:
𝑝рес 3𝑊1 = 𝑝2 (3𝑊1 + 4𝑛𝑊2 )
pрес 3W1 = р2(3W1 + 4nW2),
2
2
2
𝜋𝑑р
𝜋𝑑р
𝜋𝑑п
𝑝рес 3
𝐿 = 𝑝2 (3
𝐿 + 4𝑛
𝐿 ),
4 р
4 р
4 п
𝑛=
3 2
4𝑑р 𝐿р (𝑝рес −𝑝2 )
2
𝑝2 𝑑п𝐿п
=
2
3
4×0,2 ×0,8×(646 588,35−400 000)
2
400 000×0,18
×0,06
= 7,61.
Количество полных торможений при въезде на горный перевал составит n = 7.
57
3. Гидродинамика
Гидродинамика – это раздел гидравлики, в котором изучают законы
движения жидкостей в зависимости от приложенных к ним сил. Движение
жидкости может быть разделено на два основных вида - установившееся и
неустановившееся.
Движение жидкости называется установившимся, если каждая частица жидкости характеризуется определённой скоростью течения и давлением, неизменными во времени по величине и направлению. Неустановившимся называется такое движение, при котором скорость и давление в
любой точке пространства, занятого жидкостью, изменяются с течением
времени.
В гидравлике потоком жидкости называют движущуюся массу
жидкости, ограниченную твёрдыми поверхностями, поверхностями раздела жидкостей или свободными поверхностями. В зависимости от характера
и сочетания ограничивающих поток поверхностей потоки делят на безнапорные, напорные и гидравлические струи.
Безнапорные потоки ограничены сочетанием твёрдых поверхностей
и свободной поверхностью жидкости, на которую действует атмосферное
давление (например, поток в реке или канале, а также в трубе, работающей
неполным сечением).
Напорные потоки ограничены твёрдыми поверхностями, испытывающими давление со стороны жидкости, отличного от внешнего атмосферного давления (например, поток масла в трубопроводах гидросистем).
Гидравлические струи ограничены только жидкостью или газовой
средой (например, струя жидкости, истекающая в атмосферу из пожарного
брандспойта).
Рис. 3.1. Линия тока:
u1 … u2 - векторы местных скоростей частиц жидкости
в точках 1 … 4 в данный момент времени
Для создания математической модели поток жидкости рассматривают как совокупность элементарных струек, движущихся с различными
скоростями. Каждая частица жидкости, обладающая элементарной массой,
движется с определённой скоростью и за определённый промежуток времени пройдёт ряд точек пространства с различными скоростями (точки 1,
2, 3, рис. 3.1). В каждой точке частица имеет разную скорость (u1 ≠ u2 ≠ u3).
58
Действительная скорость, с которой движется частица жидкости в
любой точке пространства, занятого жидкостью, называется местной скоростью.
Кривая, проведённая внутри потока так, что векторы местных скоростей направлены по касательной к ней, называют линией тока. Линии тока,
проведённые через все точки замкнутого элементарного контура, образуют
трубку тока. Часть потока, заключённая внутри трубки тока, называют
элементарной струйкой (рис. 3.2).
Рис. 3.2. Элементарная струйка
При установившемся движении:
- элементарная струйка не меняет своей формы и ориентации в пространстве, трубку тока рассматривают как жёсткую трубку различного сечения с непроницаемыми стенками;
- ввиду малости поперечного сечения струйки местные скорости во
всех точках этого сечения считают одинаковыми, местные скорости изменяются при переходе от одного сечения струйки к другому. Местную скорость принимают за скорость элементарной струйки в данном сечении.
3.1. Гидравлические элементы потока
Гидравлическими элементами потока являются живое сечение потока, смоченный периметр и гидравлический радиус.
а)
б)
Рис. 3.3. Смоченный периметр для круглого (а) и прямоугольного (б)
поперечного сечения потока
59
Живое сечение потока – это поверхность, проведённая нормально к
линиям тока. Для напорного трубопровода живым сечением потока является круг площадью S =
𝜋𝑑2
4
, где d - диаметр живого сечения.
Смоченным периметром χ (хи) называется линия соприкосновения
жидкости с твёрдыми ограничивающими поверхностями. При напорном
движении жидкости смоченный периметр равен полному периметру живого сечения (рис. 3.3, а). В случае безнапорного потока смоченным периметром является часть периметра, смоченного жидкостью (рис. 3.3, б).
Гидравлический радиус R представляет собой отношение площади
живого сечения S потока к его смоченному периметру χ:
𝑅 = 𝑆⁄χ .
(3.1)
2
𝜋𝑑
Для напорного потока 𝑅 = 4 ⁄𝜋𝑑 = 𝑑⁄4 ,где d - диаметр напорного
𝑏ℎ
потока. Для безнапорного потока 𝑅 =
,где b и h - геометрические
𝑏+2ℎ
размеры потока.
3.2. Расход и средняя скорость. Уравнение неразрывности
Расходом Q называют количество жидкости, протекающее через живое сечение потока в единицу времени. Различают объёмный Q, весовой
QG и массовый расходы Qm:
𝑊 3
, м /с,
𝑡
𝐺 𝜌g𝑊
- весовой расход 𝑄𝐺 = =
, Н/с,
𝑡
𝑡
𝑚 𝜌𝑊
- массовый расход 𝑄𝑚 = =
, кг/с,
𝑡
𝑡
- объёмный расход 𝑄 =
где W – объём жидкости, протекающей через живое сечение за время t.
При проведении гидравлических расчётов чаще всего используют
объёмный расход. В общем виде объёмный расход жидкости для всего потока:
𝑄 = 𝑉ср 𝑆,
(3.2)
где Vср – средняя скорость потока.
При движении жидкости местные скорости в любой точке живого
сечения различны вследствие сил вязкости. Скорость частиц увеличивается от твёрдой стенки, ограничивающей поток, к центру потока (рис. 3.4).
Для упрощения определения расхода потока жидкости вводится понятие
средней скорости.
60
Рис. 3.4. Схема к определению средней скорости:
АВ - живое сечение, u - местная скорость, Vср - средняя скорость
Средняя скорость – фиктивная скорость, с которой все частицы
жидкости проходят через живое сечение потока. При этом расход, определяемый средней скоростью, равен расходу, определяемому при действительных местных скоростях, неравномерно распределённых по живому сечению. В дальнейшем среднюю скорость будем обозначать одной буквой
V.
Рис. 3.5. Схема к определению уравнения неразрывности потока
Для неразветвлённого трубопровода, имеющего по длине различные
площади живых сечений (рис. 3.5), объёмный расход при установившемся
движении будет неизменен по всей длине. В этом заключается уравнение
неразрывности потока, или уравнение постоянства расхода:
𝑉1 𝑆1 = 𝑉2 𝑆2 = ⋯ = 𝑉𝑛 𝑆𝑛 = 𝑄,
(3.3)
𝑄1 = 𝑄2 = ⋯ = 𝑄𝑛 = 𝑄.
Для различных сечений потока согласно (3.3) получим соотношение
скоростей в живых сечениях:
𝑉1
𝑉2
=
𝑆2 𝑉2
,
𝑆1 𝑉3
=
𝑆3
𝑆2
.
(3.4)
Если живое сечение потока представляет собой круг диаметром d, то
соотношения (3.4) примут вид:
𝑉1
𝑉2
=
𝑑22 𝑉2
,
𝑑12 𝑉3
61
=
𝑑32
𝑑22
.
(3.5)
3.3. Уравнение Бернулли для установившегося движения
Рассмотрим движение элементарной частицы идеальной жидкости из
точки 1 в точку 2, причём параметры частицы (высота положения z, давление р и местная скорость u) в точках 1 и 2 будут различны (рис. 3.6).
Рис. 3.6. Движение частицы идеальной жидкости
Обладая различными параметрами в точках 1 и 2, можно утверждать,
что частица обладает разной по значению удельной потенциальной и кинетической энергией относительно произвольно выбранной плоскости 0 – 0,
называемой плоскостью сравнения:
- удельная потенциальная энергия Еп определяется высотой положения z (удельная энергия положения) и давлением р (удельная энергия давления)
𝑝
𝐸п = 𝑧 + ;
𝜌g
- удельная кинетическая энергия Ек определяется значением скорости движения частицы жидкости (в данном случае местной скоростью u)
𝐸к =
𝑢2
.
2g
Так как рассматривается движение идеальной жидкости (отсутствуют силы вязкости, соответственно, отсутствуют потери энергии при перемещении частицы из точки 1 в точку 2), значение полной энергии Е:
Е = Е1 = Е2,
𝐸п1 + 𝐸к1 = 𝐸п2 + 𝐸к2 .
(3.6)
Уравнение (3.6) выражает закон сохранения энергии в идеальной
жидкости: сумма удельной энергии положения z, удельной энергии давле2
𝑝
ния ⁄𝜌g и удельной кинетической энергии 𝑢 ⁄2g для любой частицы идеальной жидкости есть величина постоянная при её перемещении из точки 1
в точку 2:
𝑧1 +
𝑝1 𝑢21
𝑝
𝑢2
+ = 𝑧2 + 2 + 2 .
𝜌g 2g
𝜌g 2g
62
(3.7)
Уравнение (3.7) называют уравнением Бернулли для элементарной
струйки идеальной жидкости. Как уже отмечалось в п. 2.3, удельную энергию называют напором. Сумма гидростатического Нp (или пъезометрического, если р = ризб) и скоростного HV напоров называется гидродинамическим напором Hd:
𝑧+
𝑝
𝑢2
+ = 𝐻𝑑 .
𝜌g 2g
Все составляющие уравнения Бернулли (3.7) имеют метрическую
размерность, поэтому их можно рассматривать как высоты:
- геометрическая высота z, м;
𝑝
- гидростатическая (или пъезометрическая) высота ⁄𝜌g , м;
2
- скоростная высота 𝑢 ⁄2g , м.
Для потока реальной жидкости необходимо учесть потери энергии
по пути движения жидкости, и переход от местной скорости к средней.
Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости примет вид:
2
2
𝑝1 𝛼1 𝑉1
𝑝2 𝛼2 𝑉2
𝑧1 + +
= 𝑧2 + +
+ ℎпот ,
𝜌g
2g
𝜌g
2g
(3.8)
где hпот – потери напора по длине потока;
α1 и α2 – коэффициент Кориолиса.
Потери напора hпот возникают вследствие сил сопротивления движению, обусловленных внутренним трением в вязкой жидкости и вихреобразованию. Потери напора выражают в метрах.
Коэффициент Кориолиса α учитывает неравномерность распределения скоростей по живому сечению при переходе от действительных местных скоростей к фиктивной средней скорости потока.
Рис. 3.7. Графическое представление уравнения Бернулли
для реальной жидкости
63
Поскольку все составляющие уравнения Бернулли имеют метрическую размерность, уравнение можно интерпретировать графически. Рассмотрим участок трубопровода переменного сечения (рис. 3.7). Выделим
два живых сечения 1 – 1 и 2 – 2, в центре которых установим пъезометры,
высота столба жидкости в которых будет пъезометрической высотой - мерой избыточного давления в сечениях. Высоты z1 и z2 от центров тяжести
сечений до плоскости сравнения 0 – 0 будут геометрическими высотами.
Значение скоростной высоты, не определяемой визуально, отложим от
пъезометрической высоты. Гидродинамический напор Hd1 и Hd2 будет равен сумме геометрической, пъезометрической и скоростной высоты в сечениях 1 и 2. В соответствии с уравнением (3.8) и графическим представлением уравнения:
𝐻𝑑1 = 𝐻𝑑2 + ℎпот .
3.4. Применение уравнения Бернулли
С помощью уравнения Бернулли можно рассчитать любой участок
неразветвлённого трубопровода. Как правило, основной задачей расчёта
является определение напора на входе в трубопровод или участок трубопровода при заданном давлении или скорости потока жидкости на выходе.
При применении уравнения Бернулли следует придерживаться следующего порядка действий:
- выбирают плоскость сравнения с привязкой геометрическими высотами к предполагаемым сечениям. Плоскость сравнения выбирают только горизонтально. Для удобства составления уравнения плоскость выбирают так, чтобы геометрические высоты были положительны (геометрические высоты, отложенные вниз от плоскости сравнения, в уравнение 3.8
подставляются со знаком «–»);
- выбирают два сечения, для которых и составляют уравнение Бернулли. Так как уравнение может содержать много неизвестных, сечения
выбирают таким образом, чтобы исключить некоторые неизвестные составляющие, и включить в уравнение максимальное количество известных.
Сечения выбирают по ходу движения жидкости горизонтально или
вертикально. При горизонтальном выборе сечения составляющие уравнения Бернулли могут быть определены в любой точке сечения, при вертикальном - только в центре тяжести сечения. При этом учитывают, что:
- выбор сечения по свободной поверхности жидкости исключает
среднюю скорость потока (V ≈ 0, рис. 3,8, а);
- выбор сечения на выходе из трубопровода (рис. 3.8, б) определяет
давление как атмосферное, скорость находят из уравнения расхода;
- выбор сечения в месте подключения манометра или пъезометра
определяет манометрическое давление или высоту столба жидкости в пъезометре (рис. 3.8, в), скорость находят также из уравнения расхода.
64
а)
б)
в)
Рис. 3.8. Схема к выбору сечений
При составлении уравнения Бернулли необходимо помнить, что:
- потери напора hпот всегда стоят в правой части уравнения со знаком
«+»;
- давление в левой и правой части уравнения должно быть в одной
системе отсчёта – избыточным (вакуумметрическим) или абсолютным;
- вакуумметрическое давление стоит со знаком «–».
При расчётах гидравлических систем уравнение Бернулли (3.8) применяют вместе с уравнением неразрывности потока (3.3).
3.5. Измерение скорости потока и расхода жидкости
Рассмотрим применение уравнения Бернулли для измерения скорости потока с помощью таких несложных приборов, как трубка Пито –
Прандтля, расходомер Вентури.
Для определения скорости безнапорного потока (например, в канале)
используют трубку Пито, которая представляет собой изогнутую под прямым углом трубку небольшого диаметра, устанавливаемую в потоке открытым нижним концом навстречу движению жидкости (рис. 3.9).
Рис. 3.9. Трубка Пито
65
Плоскость сравнения 0 – 0 расположим по оси горизонтальной части
трубки. Выберем сечение 1 – 1 на некотором расстоянии от трубки, и сечение 2 – 2 на входе в трубку. Геометрические высоты центра тяжести сечений z1 и z2 равны нулю. В центре тяжести сечения 1 – 1 жидкость обладает
2
𝑝
кинетической энергией 𝑉 ⁄2g и потенциальной ⁄𝜌g за счёт высоты столба
жидкости h1, где р – гидростатическое давление.
При попадании частиц жидкости в трубку их скорость становится
равной нулю, кинетическая энергия переходит в потенциальную, и жидкость в трубке поднимется над свободной поверхностью на высоту h2, равной скоростному напору. В центре тяжести сечения 2 – 2 жидкость обладает потенциальной энергией высоты столба жидкости h1, и потенциальной
энергией, равной кинетической. Составим уравнение Бернулли без учёта
потерь напора hпот:
𝑝
𝑉2
𝑝
0+ +
= 0 + ( + ℎ2 ) + 0 , откуда
𝜌g 2g
𝜌g
𝑉2
ℎ2 =
.
2g
Скорость движения жидкости 𝑉 = √2gℎ2 . В действительности скорость будет несколько меньше, так как вычисления были произведены без
учёта потерь напора. Для определения действительной скорости потери
напора учитывают коэффициентом скорости φ, который определяют экспериментально. С учётом коэффициента:
𝑉 = 𝜑√2gℎ ,
(3.9)
где h – высота столба жидкости в трубке над уровнем свободной поверхности.
Давление в трубке на уровне свободной поверхности создано за счёт
кинетической энергии потока жидкости:
𝑝д 𝑉2
ℎ2 =
=
, откуда
𝜌g 2g
𝑉2
𝑝д = 𝜌 ,
2g
(3.10)
где рд – гидродинамическое давление.
Давление жидкости, создаваемое скоростным напором, называется
гидродинамическим давлением.
Для определения скорости напорного потока рассмотрим применение трубки Пито – Прандтля, которая представляет собой совмещённые в
один прибор трубку Пито и обычный пъезометр (рис. 3.10). Высота столба
жидкости в трубке Пито образована за счёт гидростатического и гидродинамического давления, в пъезометре – только гидростатического.
66
Рис. 3.10. Трубка Пито - Прандтля
Разность уровней жидкости в трубках ∆h даёт значение скоростного
2
напора 𝑉 ⁄2g , откуда и определяется скорость потока с учётом поправочного коэффициента скорости φ:
𝑉 = 𝜑√2g∆ℎ .
(3.11)
Расходомер Вентури представляет собой плавно сужающуюся и
расширяющуюся цилиндрическую вставку устанавливаемой в трубе (рис.
3.11). В расширенной и в суженной частях расходомера установлены пъезометры.
Рис. 3.11. Расходомер Вентури
Составим уравнение Бернулли относительно плоскости сравнения,
совпадающей с осью расходомера. Сечения выберем в местах подключений пъезометров. Так как центр тяжести сечений лежит в плоскости сравнения, геометрические высоты z1 и z2 равны нулю.
67
Для идеальной жидкости без учёта потерь напора hпот уравнение
Бернулли примет вид:
𝑝1 𝑉21
𝑝2 𝑉22
0+ +
=0+ + ,
𝜌g 2g
𝜌g 2g
𝑝1 𝑝2 𝑉22 𝑉21
∆ℎ = − =
−
, откуда
𝜌g 𝜌g 2g 2g
2g∆ℎ = 𝑉22 − 𝑉12 .
Из уравнения неразрывности потока:
(3.12)
2
𝑆
𝑑
𝑉1 𝑆1 = 𝑉2 𝑆2 , откуда 𝑉2 = 𝑉1 1 = 𝑉1 12 .
𝑆2
𝑑2
(3.13)
Подставим значение скорости V2 из уравнения (3.11) в уравнение
(3.12):
4
2g∆ℎ =
𝑑
𝑉12 14
𝑉1 =
𝑑2
− 𝑉12 , откуда
2g∆ℎ
.
4
√ 𝑑1
( ⁄
𝑑2
−1
)
Так как скорость V1 – это скорость потока идеальной жидкости, то
расход, определённый с этой скоростью, будет теоретическим:
𝑄т = 𝑉1 𝑆1 = 𝐶т √∆ℎ ,
𝐶т = 𝑆1
2g
√ 𝑑1
( ⁄
,
4
𝑑2
)
−1
где Ст – теоретическая постоянная расходомера.
Действительный расход жидкости:
𝑄 = 𝐶√∆ℎ ,
𝐶 = 𝑘𝑆1
2g
√ 𝑑1
( ⁄
𝑑2
,
4
)
(3.14)
−1
где С – действительная постоянная расходомера;
k – коэффициент, который учитывает потери напора при движении жидкости в расходомере, определяется опытным путём.
68
3.6. Режимы течения жидкости
Существуют два режима течения жидкости – ламинарный и турбулентный.
Движение жидкости, при котором отсутствуют изменения (пульсации) векторов местных скоростей, называют ламинарным (от латинского
слова «lamina» – слой). Жидкость при этом рассматривается как совокупность отдельных слоёв, движущихся с разными скоростями, не перемешиваясь друг с другом. Движение жидкости, при котором происходят изменения (пульсации) векторов местных скоростей, приводящие к перемешиванию жидкости, называют турбулентным (от латинского слова «turbulentus» – беспорядочный, хаотичный).
Исследование течений жидкости в круглой трубе провёл О. Рейнольдс в 1883 году на установке, изображённой на рис. 3.12. В начале
стеклянной трубы он поместил тонкую трубку с подкрашенной жидкостью, плотность которой была равнозначна плотности основного потока
жидкости. При небольшой скорости течения струйка подкрашенной жидкости двигается практически прямолинейно и горизонтально, что доказывает слоистое (ламинарное) течение жидкости (рис. 3.12, а).
а)
б)
в)
Рис. 3.12. Режимы течения жидкости:
а) - ламинарный; б) - переходный; в) - турбулентный
69
При увеличении скорости течения основного потока струйка приобретает волнистый характер, у неё появляются разрывы, что характерно для
неустойчивого, переходного режима (рис. 3.12, б). При дальнейшем увеличении скорости основного потока подкрашенная струйка полностью смешивается с жидкостью, что доказывает беспорядочное (турбулентное) течение (рис. 3.12, в).
Для характеристики режима течения жидкости принят безразмерный
критерий – число Рейнольдса Re. Для круглых труб диаметром d:
𝑅𝑒 =
𝑉𝑑
,
𝜈
(3.15)
где ν – коэффициент кинематической вязкости.
На основании опытов для круглых труб при напорном течении критическое число Рейнольдса, при котором турбулентный режим переходит в
ламинарный, равно Re = 2300. Скорость потока жидкости, соответствующая смене режима течения, называется критической скоростью.
Для практических расчётов принято считать:
- при Re < 2300 существует ламинарный режим течения;
- при Re > 2300 существует турбулентный режим течения.
Вместо диаметра в число Рейнольдса может входить другой линейный параметр, характерный для данного живого сечения. Для труб некруглой формы или для безнапорного потока, образующего свободную поверхность, характерным линейным размером является гидравлический радиус R, определяемый соотношением (3.1):
𝑅𝑒 =
𝑉𝑅
.
𝜈
(3.16)
Критическое число Рейнольдса, записанное по гидравлическому радиусу, равно Re ≈ 580.
Рис. 3.13. Эпюра скоростей при ламинарном режиме
Для ламинарного режима течения эпюра местных скоростей по живому сечению имеет вид параболы (рис. 3.13), средняя скорость V потока в
два раза меньше максимальной (𝑉 = 0,5𝑢𝑚𝑎𝑥 ). Коэффициент Кориолиса
для ламинарного режима движения жидкости α = 2.
Турбулентный режим движения характеризуется непрерывным перемешиванием частиц жидкости. Скорости частиц в любой точке потока
70
непрерывно и постоянно изменяются во времени, то есть пульсируют по
величине и направлению относительно среднего значения. Для турбулентного режима характерны такие понятия, как мгновенная и осреднённая
скорость.
Мгновенная скорость u – это скорость частицы жидкости в данной
точке в данный момент времени. Так как мгновенная скорость хаотична во
времени, её можно разложить в трёхмерной системе координат на продольную ux, поперечные uy и uz (𝑢 = √𝑢𝑥2 + 𝑢𝑦2 + 𝑢𝑧2 ). Мгновенное изменение величины и направления скорости частицы называют пульсацией.
Осреднённая скорость 𝑢̅ – это средняя во времени скорость частицы
в данной точке, полученная за достаточно большой промежуток времени.
Рис. 3.14. График пульсации мгновенной местной скорости:
𝑢𝑥 – мгновенная скорость; 𝑢̅𝑥 – осреднённая скорость;
𝑢𝑥′ – пульсационная скорость
Рассмотрим график изменения продольной мгновенной скорости ux
во времени (рис. 3.14). Величина осреднённой (во времени) скорости 𝑢̅𝑥 в
любой момент времени равна мгновенной скорости с учётом пульсационной скорости 𝑢𝑥′ :
𝑢̅𝑥 = 𝑢𝑥 − 𝑢𝑥′ .
В живом сечении при турбулентном режиме различают ядро потока,
в котором местные осреднённые скорости изменяются незначительно, и
вязкий подслой потока толщиной δ (дельта), (рис. 3.15). Средняя скорость
потока равна 𝑉 = (0,75 … 0,92)𝑢𝑚𝑎𝑥 , коэффициент Кориолиса α = 1.
Рис. 3.15. Схема течения жидкости при турбулентном течении
71
Вязкий подслой потока иначе называют ламинарным подслоем. Соотношение высоты шероховатости внутренних стенок трубопровода и ламинарного подслоя потока характеризует ограничивающие жидкость поверхности как гидравлически гладкие, или гидравлически шероховатые. За
высоту шероховатости стенок принимают среднюю высоту ∆ср.
а)
б)
Рис. 3.16. Шероховатость поверхности при турбулентном движении:
а) - гидравлически гладкая; б) - гидравлически шероховатая
Если толщина ламинарного подслоя значительно больше, чем средняя высота шероховатости (δ > ∆ср), то такую поверхность называют гидравлически гладкой (рис. 3.16, а). В этом случае шероховатость не влияет
на сопротивление движению жидкости.
Если толщина ламинарного подслоя меньше выступов средней шероховатости (δ < ∆ср), то такую поверхность называют гидравлически шероховатой (рис. 3.16, б). В этом случае при обтекании выступов шероховатости усиливается турбулизация потока, что приводит к увеличению сопротивления движения жидкости и потерь напора.
3.7. Течение жидкости в узких щелях
Щелевые зазоры являются элементами гидравлических устройств, в
которых скорость жидкости не достигает значений, вызывающих её турбулентность. В щелевых зазорах течение жидкости является ламинарным.
Как правило, плотность соединения подвижных пар гидроагрегатов обеспечивается выполнением малого (микронного) зазора. Плотность щелевых
уплотнений основано на физических свойствах реальных жидкостей оказывать сопротивление деформациям сдвига.
Различают плоские и кольцевые зазоры.
72
Рис. 3.17. Схема течения жидкости через плоский зазор
Рассмотрим случай плоского зазора, когда течение жидкости через
него возникает под действием перепада давления ∆р (рис. 3.17). Расход
жидкости в зазоре между пластинами будет равен:
3
𝑄=
∆𝑝𝛿 𝐵
,
12𝜇𝐿
(3.17)
где ∆р – перепад давлениий, под действием которого происходит течение
жидкости в зазоре, ∆𝑝 = 𝑝1 − 𝑝2 ;
δ, В и L – высота, ширина и длина зазора;
μ – коэффициент динамической вязкости.
2
𝑄
𝑄
∆𝑝𝛿
Скорость течения жидкости в зазоре 𝑉 = =
=
.
𝑆 𝛿𝐵 12𝜇𝐿
Если одна из стенок, образующих зазор, перемещается параллельно
другой с некоторой скоростью Vст, течение жидкости рассматривают как
сумму двух течений:
- так называемого фрикционного течения, образованного перемещением верхней стенки;
- напорного течения, образованного перепадом давлений ∆р.
а)
б)
Рис. 3.18. Распределение скоростей в плоском зазоре
с движущейся стенкой и перепадом давления
73
Распределение скоростей при движении одной из стенок будет зависеть от направления движения стенки (рис. 3.18). В этом случае расход будет учитывать скорость перемещения и направление движения стенки:
3
∆𝑝𝛿 𝐵 𝑉ст𝛿𝐵
𝑄=
±
.
12𝜇𝐿
2
(3.18)
Первое слагаемое уравнения (3.18) определяет напорное течение под
действием перепада давления ∆р, второе – фрикционное течение, учитываемое со знаком «+» при совпадении направлений движения жидкости и
стенки, со знаком «–» при разнонаправленном движении.
Рис. 3.19. Схема соосного (а) и эксцентричного (б)
расположения цилиндрических поверхностей
Кольцевые зазоры образованы двумя соосно расположенными цилиндрическими поверхностями, например, цилиндр – поршень, золотник –
внутренняя поверхность корпуса гидрораспределителя. Расход через кольцевой зазор определяют по формуле (3.18), где B = πD:
3
𝑄=
𝜋𝐷∆𝑝𝛿
𝑉 𝛿
± ст .
12𝜇𝐿
2
(3.19)
Для определения расхода жидкости в кольцевом зазоре, образованном эксцентричными цилиндрическими поверхностями, пользуются зависимостью:
3
𝑄э = 𝑄(1 + 1,5𝜀
2)
𝜋𝑑∆𝑝𝛿 (1+1,5𝜀2 ) 𝑉ст𝛿
=
±
,
12𝜇𝐿
2
(3.20)
где Q – расход в зазоре при соосном расположении цилиндрических поверхностей;
d – диаметр внутренней цилиндрической поверхности;
𝜒
ε – относительный эксцентриситет, 𝜀 = ⁄𝛿 ;
χ – величина эксцентриситета;
δ – номинальный зазор.
Ламинарное движение вязкой жидкости в малом зазоре толщиной δ
является основой гидродинамической теории смазки между трущимися
поверхностями, в частности, создание смазочного слоя в подшипниках
скольжения.
74
3.8. Примеры решения задач
В данном разделе представлены примеры решения простейших задач, связанных с определением параметров движущейся идеальной жидкости. Основными уравнениями, позволяющими определить скорость, расход и давление движущейся идеальной жидкости, являются:
- уравнение постоянства расхода (3.3) 𝑉1 𝑆1 = 𝑉2 𝑆2 = ⋯ = 𝑉𝑛 𝑆𝑛 = 𝑄;
- уравнение Бернулли для идеальной жидкости без учёта потерь
напора hпот и коэффициента Кориолиса α (3.8)
𝑝1 𝑉21
𝑝2 𝑉22
𝑧1 + +
= 𝑧2 + + .
𝜌g 2g
𝜌g 2g
Правила применения уравнения Бернулли рассмотрены в п. 3.5.
Уравнение Бернулли рекомендуется вначале записать в общем виде, затем
переписать его с учётом действующих в выбранных сечениях геометрического, гидростатического (или пъезометрического) и скоростного напора
относительно плоскости сравнения. Члены уравнения, равные нулю, следует исключить. Также необходимо чётко представлять разницу между избыточным, вакуумметрическим и абсолютным давлением.
Рис. 3.20. Ртутный пъезометр
Если сечение выбирается в месте подключения ртутного пъезометра
(рис. 3.20), то пъезометрическая высота будет равна:
𝑝изб
𝜌ж g
= ℎж +
𝜌рт ℎрт
𝜌ж
,
где ρж и ρрт – плотность жидкости в трубопроводе и ртути в пъезометре;
hж и hрт – высота столба жидкости и ртути в пъезометре.
Задачи, связанные с течением жидкости в узких щелях, решают по
формулам, представленным в п. 3.8.
75
Задача 3.9.1. Поршень диаметром dп = 8 см перемещается со скоростью Vп под действием силы F = 0,4 кН. Жидкость плотностью ρ = 870
кг/м3 под действием поршня из правой части гидроцилиндра перемещается
в бак, открытый в атмосферу. Определить скорость перемещения поршня
Vп, если высота h = 9,4 м.
Рис. 3.21. Схема к задаче 3.9.1
Плоскость сравнения 0 – 0 выбираем по оси гидроцилиндра. Сечение
1 – 1 выбираем по живому сечению жидкости в гидроцилиндре, причём
параметры уравнения, относящиеся к этому сечению, относятся к центру
тяжести сечения. Сечение 2 – 2 выбираем по свободной поверхности жидкости, где давление – только атмосферное (избыточное ризб = 0), скорость
жидкости V2 ≈ 0. Составим уравнение Бернулли, где давление будем учитывать в избыточной системе отсчёта.
Для сечения 1 – 1:
- геометрическая высота z1 = 0, так как центр тяжести сечения совпадает с плоскостью сравнения;
- избыточное давление создаётся силой 𝐹 = 𝑝1 𝑆п , откуда
𝑝1 =
𝐹
4𝐹
4×400
= 2=
= 80 кПа;
𝑆п 𝜋𝑑п 3,14×0,082
- жидкость в сечении движется с той же скоростью, что и поршень
(V1 = Vп), поэтому скоростной напор запишем как
𝑉п2
2g
.
Для сечения 2 – 2:
- геометрическая высота z2 = h;
- избыточное давление р2 = 0;
- скорость V2 = 0.
Составим уравнение Бернулли:
𝑝1 𝑉2п
0+ +
= ℎ + 0 + 0, откуда
𝜌g 2g
𝑉п = √2gℎ −
2𝑝1
2×80000
= √2 × 9,8 × 9,4 −
= 0,576 м/с.
𝜌
870
76
Задача 3.9.2. Определить вакуумметрическое давление в баке рвак,
при котором скорость течения потока жидкости в трубопроводе составит
Vтр = 1,2 м/с. Высота h = 3,2 м, плотность жидкости ρ = 870 кг/м3. Высота
уровня жидкости в пъезометре составляет hп = 0,64 м.
Рис. 3.22. Схема к задаче 3.9.2
Плоскость сравнения 0 – 0 выберем по оси трубопровода в нижней
его части. Сечение 1 – 1 выберем по установленному в нижней части трубы пъезометру, сечение 2 – 2 выберем по свободной поверхности жидкости в баке. Составим уравнение Бернулли, где давление будем учитывать в
избыточной системе отсчёта.
Для сечения 1 – 1:
- геометрическая высота z1 = 0, так как центр тяжести сечения совпадает с плоскостью сравнения;
- пъезометрическая высота в сечении
𝑝1
𝜌g
= ℎп ;
- скорость течения жидкости в трубопроводе V1 = Vтр.
Для сечения 2 – 2:
- геометрическая высота z2 = h;
- вакуумметрическая высота (−
𝑝вак
);
𝜌g
- скорость V2 = 0.
Составим уравнение Бернулли:
𝑝
𝑉2тр
0 + ℎп +
= ℎ − вак + 0 , откуда
2g
𝜌g
𝑝вак
𝑉2тр
1,22
= 𝜌g(ℎ − ℎп ) − 𝜌
= 870 × 9,8(3,2 − 0,64) − 870
= 21,2 кПа.
2
2
77
Задача 3.9.3. Определить утечки через радиальные зазоры в шестерённом насосе вследствие разности давлений в нагнетательной и всасывающей полости. Высота каждого зазора δ = 0,09 мм, длина зазора L = 2 мм,
ширина В = 30 мм, перепад давлений ∆р = 1,32 МПа, наружный диаметр
шестерни D = 62 мм, частота вращения n = 1450 об/мин, вязкость масла μ =
0,012 Па∙с.
Рис. 3.23. Схема к задаче 3.9.3
Считаем, что число зубьев, образующих радиальные зазоры слева и
справа, одинаковы, и равны N = 7 с каждой стороны, размеры зазоров также одинаковы. Поэтому величина утечек слева и справа одинакова. Перепад давлений, приходящийся на один зазор, равен
∆𝑝
∆𝑝𝛿 = .
𝑁
Общий расход через зазоры равен сумме расходов слева и справа
𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 = 2𝑄1 .
Расход через зазоры слева или справа равен согласно (3.18)
3
∆𝑝𝛿 𝐵 𝑉ст𝛿𝐵
𝑄1 = 𝑄2 =
−
.
𝑁12𝜇𝐿
2
𝜋𝑛 𝐷 3,14×1450×0,062
Окружная скорость 𝑉ст = 𝜔𝑅 =
=
= 4,7 м/с.
30 2
60
Тогда
3
𝑄1 =
∆𝑝𝛿 𝐵 𝑉ст𝛿𝐵
−
=
𝑁12𝜇𝐿
2
1,32×106 ×0,093 ×10−9 ×0,03 4,7×0,09×10−3 ×0,03
=
−
= 7,974 × 10−6 м3/с.
−3
2
7×12×0,012×2×10
Общий расход через зазоры вследствие утечек
𝑄 = 2𝑄1 = 2 × 7,974 × 10−6 = 15,9 × 10−6 м3/с ≈ 0,016 л/с.
78
4. Потери напора при движении жидкости
Потери напора при движении реальной жидкости связаны с силами
вязкостного трения и инерционными силами, возникающими из-за вихреобразования частиц. Различают потери напора, связанные с сопротивлением движению жидкости по длине потока и в местных сопротивлениях.
Потери напора по длине hдл – это потери энергии, которые возникают в прямых трубах постоянного сечения и обусловлены силами вязкостного трения между слоями жидкости и у стенок трубопровода.
Потери напора в местных сопротивлениях hм – это потери энергии,
возникающие в результате деформации потока, связанные с вихреобразованием при обтекании фасонных частей арматуры трубопровода. К местным сопротивлениям относят поворот, расширение и сужение трубопровода, вентильный и пробковый кран, задвижку и диафрагму, течение жидкости в гидроаппаратах.
Общие потери напора hпот складываются из потерь по длине и потерь
в местных сопротивлениях, расположенных на этой длине:
ℎпот = ℎдл + ∑𝑛1 ℎм ,
(4.1)
где n – количество местных сопротивлений.
Потери напора как по длине, так и в местных сопротивлениях, связаны с потерей избыточного давления, выраженного в перепаде высот пъезометров (рис. 4.1).
а)
б)
Рис. 4.1. Потери напора:
а) – по длине потока; б) – в местных сопротивлениях
Составим уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2 относительно плоскости сравнения 0 – 0, совпадающей с осью симметрии трубопровода. Центры тяжести сечений лежат в плоскости сравнения, поэтому z1 и
z2 равны нулю. Диаметр трубопровода неизменен в выбранных сечениях,
поэтому скоростные напоры равны. Уравнение Бернулли примет вид:
𝑝1 𝑉2
𝑝2 𝑉2
𝑝 −𝑝
0+ +
= 0 + + + ℎпот , откуда ℎпот = 1 2 = ∆ℎ .
𝜌g 2g
𝜌g 2g
𝜌g
79
Потери напора как по длине, так и в местных сопротивлениях, выражают в количестве потерянных скоростных напоров:
ℎпот
𝑉2
=ζ
,
2g
(4.2)
где ζ (дзета) – коэффициент потерь.
Формулу (4.2) называют формулой Вейсбаха. Коэффициент ζ показывает, сколько (какое количество) скоростных напоров потеряно на данном участке. Потери напора измеряют в метрах.
4.1. Потери напора по длине потока
Потери напора по длине hдл потока зависят от режима течения жидкости, диаметра d и длины L трубопровода, скорости течения и шероховатости внутренней поверхности трубопровода. В общем виде для ламинарного и турбулентного режима потери напора по длине равны:
ℎдл
𝐿 𝑉2
=𝜆
,
𝑑 2g
(4.3)
где λ (ламбда) – коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси).
Формулу (4.3) называют формулой Дарси – Вейсбаха. Коэффициент
λ зависит от режима течения жидкости и эквивалентной шероховатости.
Эквивалентная шероховатость ∆Э – это высота выступов равнозернистой шероховатости, при которой потери напора и значение коэффициента λ такие же, как и для реальной шероховатости.
Для ламинарного режима коэффициент λ равен:
𝜆=
𝐴
64𝜈
=
,
𝑅𝑒
𝑉𝑑
(4.4)
где А – коэффициент формы живого сечения (для круглых труб А = 64).
Если выражение для коэффициента λ (4.4) подставить в (4.3), учитывая, что 𝑉 =
𝑄
4𝑄
= 2 , получим выражение для определения потерь напора
𝑆 𝜋𝑑
по длине при ламинарном режиме течения жидкости (формула Пуазейля):
ℎдл =
128𝜈𝐿
𝜋g𝑑
4
𝑄,
ℎдл = 𝐾л 𝑄, где 𝐾л =
(4.5)
128𝜈𝐿
𝜋g𝑑
4
.
Из уравнения (4.5) видно, что потери напора при ламинарном режиме от расхода зависят линейно (ℎдл ~𝑄𝑚 , где m = 1), (рис 3.18).
При турбулентном режиме течения жидкости коэффициент λ определяют в зависимости от характера поверхности:
- для гидравлически гладких труб (формула Блазиуса)
𝜆=
0,3164
𝑅𝑒0,25
80
;
(4.6)
- для гидравлически шероховатых труб, если число Рейнольдса находится в пределах 20
𝑑
𝑑
< 𝑅𝑒 < 500 (формула Альтшуля)
∆Э
∆Э
68 ∆Э 0,25
𝜆 = 0,11 ( + ) ;
𝑅𝑒
𝑑
(4.7)
- для гидравлически шероховатых труб, если число Рейнольдса 𝑅𝑒 >
𝑑
500 (формула Шифринсона)
∆Э
0,25
∆
𝜆 = 0,11 ( Э⁄𝑑 ) .
(4.8)
Потери напора для турбулентного режима определяют по формуле
(4.3), где коэффициент λ определяют по формулам (4.6), (4.7) или (4.8). С
учётом того, что 𝑉 =
𝑄
4𝑄
=
, формула (4.3) примет вид:
𝑆 𝜋𝑑2
8𝐿
2
ℎдл = 𝜆
5
𝜋2 𝑑 g
𝑄 ,
ℎдл = 𝐾т 𝑄2 , где 𝐾т = 𝜆
8𝐿
5
𝜋2 𝑑 g
(4.9)
.
Из уравнения (4.9) видно, что потери напора при турбулентном режиме от расхода имеют квадратичную зависимость (ℎдл ~𝑄𝑚 , где m = 2),
(рис 4.2). Отсюда следует, что при увеличении расхода потери напора при
турбулентном режиме растут в бόльшей степени, чем при ламинарном.
Рис. 4.2. Потери напора при ламинарном и турбулентном режимах
81
4.2. Потери напора в местных сопротивлениях
Потери напора в местных сопротивлениях зависят главным образом
только от конструкции местного сопротивления. Например, при прохождении потока через вентильный кран образуется больше завихрений, следовательно, происходит больше потерь напора (энергии), чем при прохождении через пробковый кран (рис. 4.3).
а)
б)
Рис. 4.3. Вихреобразование при протекании жидкости:
а) - в вентильном кране; б) - в пробковом кране
Потери напора в местных сопротивлениях hм определяют по формуле Вейсбаха:
𝑉2
ℎм = ζм
,
2g
(4.10)
где ζм – коэффициент местного сопротивления.
Коэффициент ζм определяют опытным путём. В справочниках приведены полученные экспериментально значения коэффициентов для различных типов местных сопротивлений. Теоретически получена формула
при внезапном расширении или сужении потока.
Рис. 4.4. Внезапное расширение потока
82
Особенностями внезапного расширения потока (рис. 4.4) являются:
- пъезометр в сечении 2 – 2 устанавливают на расстоянии а от зоны
расширения для определения коэффициента ζвр (коэффициент сопротивления при внезапном расширении) опытным путём, так как действительная
пъезометрическая высота будет только в безвихревой зоне трубопровода (в
зоне сформированного основного потока);
- пъезометрическая высота в сечении 2 – 2 будет больше, чем в сечении 1 – 1 (ℎ2 > ℎ1 ).
Для пояснения последнего утверждения составим уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2 относительно плоскости сравнения 0 – 0 для
идеальной жидкости (то есть без учёта потерь напора), учитывая, что пъе𝑝
зометрическая высота ℎ = :
𝜌g
ℎ1 +
𝑉21
𝑉2
= ℎ2 + 2 .
2g
2g
(4.11)
Так как скорость 𝑉1 > 𝑉2 (из-за разницы в площадях сечений), логично утверждать, что для сохранения равенства левой и правой частей
уравнения пъезометрическая высота h2 должна быть больше высоты h1. В
этом заключается закон сохранения энергии для идеальной движущейся
жидкости – полная энергия в сечениях неизменна. Если кинетическая
энергия жидкости уменьшается при переходе от одного сечения к другому, потенциальная энергия увеличивается, и наоборот.
Потери напора hвр при внезапном расширении равны скоростному
напору, соответствующему потерянной скорости (формула Борда):
ℎвр =
(𝑉1 –𝑉2 )
2g
2
,
(4.12)
где (V1 – V2) – потерянная скорость.
Используя уравнение неразрывности потока (V1S1 = V2S2 =…= VnSn),
можно выразить V1 через V2 (или наоборот), после чего формула (4.12)
примет вид:
ℎвр
2 2
𝑆1 2 𝑉21
𝑆2
𝑉
= (1 − )
= ( − 1) 2 .
𝑆2 2g
𝑆1
2g
(4.13)
Отсюда видно, что коэффициент сопротивления при внезапном расширении потока, отнесённый к скорости V1 или V2 в соответствии с формулой (4.13), будет равен:
2
𝑆1 2
𝑆2
ζвр1 = (1 − ) или ζвр2 = ( − 1) .
𝑆2
𝑆1
ℎвр
𝑉21
𝑉22
= ζвр1
= ζвр2
.
2g
2g
83
(4.14)
Учитывая, что потери напора рассматриваются в круглоцилиндрической трубе, формулу (4.14) можно переписать в виде:
2 2
2
2
𝑑
𝑑
ζвр1 = (1 − 12) или ζвр2 = ( 22 − 1) .
𝑑2
𝑑1
Особенностями внезапного сужения потока (рис. 4.5) являются:
- образование двух вихревых зон;
- для измерения пъезометрических напоров в сечениях пъезометры
необходимо установить на расстоянии а и b от границы сужения (в зоне
сформированного основного потока).
Рис. 4.5. Внезапное сужение потока
Коэффициент сопротивления ζвс при внезапном сужении трубы, отнесённый к скорости V2 (скорость после сопротивления), определяют по
формуле Идельчика:
2
𝑆2
𝑑2
ζвс = 0,5(1 − ) = 0,5(1 − 2).
(4.15)
𝑆1
𝑑1
Для уменьшения сопротивления, связанного с расширением или
сужением потока, применяют конусный переход от одного диаметра к другому.
Рис. 4.6. Поворот трубопровода
84
Потери при повороте трубопровода зависят от угла поворота α и радиуса закругления R (рис. 4.6). Особенностью течения является поперечная
циркуляция потока, в котором линии тока частиц становятся винтообразными.
Все гидроаппараты являются местными сопротивлениями. Для удобства расчётов потери напора в гидроаппаратах выражают в потерях давления ∆р, значение которого указывают в паспортных данных.
Рис. 4.7. Течение жидкости в гидрораспределителе
Рассмотрим течение жидкости через гидрораспределитель, основным
элементом которого является золотник (рис. 4.7). Под действием пружин
золотник занимает центральное положение, при котором гидролинии, подключённые к гидрораспределителю, перекрыты. Под действием внешней
силы F золотник перемещается, открывая линии для течения жидкости.
Образующиеся при этом завихрения жидкости снижают давление с р1 до
р2. Уравнение Бернулли в этом случае примет вид:
𝑝1 = 𝑝2 + ∆𝑝.
В большинстве случаев течение жидкости является турбулентным.
При ламинарном режиме потери в местных сопротивлениях могут быть заданы эквивалентной длиной.
Эквивалентная длина Lэк – это фиктивная длина, потери напора по
которой будут равнозначны потерям в рассматриваемых местных сопротивлениях. Тогда общие потери напора определяют по формуле Пуазейля:
ℎпот =
128𝜈(𝐿+𝐿эк )
𝜋g𝑑
4
𝑄.
(4.16)
Структурная схема определения общих потерь напора в трубопроводе представлена на рис. 4.8.
85
Рис. 4.8. Структурная схема к определению потерь напора
по длине и в местных сопротивлениях
4.3. Примеры решения задач
Задачи данного раздела решают с помощью уравнения расхода и
уравнения Бернулли для реальной жидкости с учётом потерь напора hпот.
Необходимо помнить, что коэффициент Кориолиса для ламинарного течения жидкости равен α = 2, при турбулентном α = 1. Потери напора по
длине зависят от коэффициента λ, который определяют в зависимости от
соотношения толщины вязкого подслоя потока δ и эквивалентной шероховатости ∆Э по формулам (4.6), (4.7) или (4.8). Для трубопроводов гидропривода используют формулу Блазиуса (4.6). Формулу Шифринсона (4.8)
используют реже формулы Альтшуля (4.7), так как она предполагает значительный скоростной напор. Коэффициент внезапного расширения при
втекании жидкости в бак ζвр = 1, так как 𝑆2 ≫ 𝑆1 . Коэффициент внезапного
сужения при втекании жидкости из бака в трубопровод ζвс = 0,5, так как
𝑆1 ≫ 𝑆2 . Правила применения уравнения Бернулли приведены в п. 3.5.
86
Задача 4.3.1. Вода под напором движется в бак, расположенный на
высоте h от оси трубопровода. Определить высоту h до уровня воды в баке,
открытом в атмосферу, если вязкость воды ν = 0,01 Ст, диаметр трубопровода d = 10 мм, длина L = 20 м, пъезометрический напор в сечении 1 – 1
принять Hп = 20 м. Расход воды в трубопроводе составляет Q = 0,072 л/с.
Коэффициенты сопротивления крана ζкр = 4, поворота ζпов = 1. Трубу считать гидравлически гладкой.
Рис. 4.9. Схема к задаче 4.3.1
Составим уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2 относительно плоскости сравнения 0 – 0. Центр тяжести сечения 1 - 1 лежит в плоскости сравнения, поэтому z1 = 0. Пъезометрический напор в сечении 1 – 1 является пъезометрической высотой в этом сечении:
𝑝1
𝜌g
= 𝐻п .
В сечении 2 – 2 скорость течения воды V2 = 0, избыточное давление
ризб = 0. Давления в сечениях определим в избыточной системе отсчёта.
Коэффициент Кориолиса α = 1.
Потери напора hпот будут равны сумме потерь напора:
2
- по длине ℎдл = 𝜆
𝐿 𝑉1
, где V1 – скорость течения воды в трубопро𝑑 2g
воде;
𝑉21
𝑉21
𝑉21
- местных сопротивлений ∑ ℎм = ζкр + ζпов + ζвр .
2g
2g
2g
Учитывая, что ζвр = 1, сумма местных сопротивлений будет равна
𝑉21
∑ ℎм = (ζкр + ζпов + 1)
.
2g
Скорость в трубопроводе определим из формулы расхода:
𝑄
4𝑄
4×0,072×10−3
𝑉1 = = 2 =
= 0,917 м/с.
𝑆 𝜋𝑑
3,14×0,012
Определим коэффициент гидравлического трения λ по формуле Блазиуса (4.6):
87
𝜆=
0,3164
𝑅𝑒
0,25
=
0,3164
𝑉 𝑑
( 1 ⁄𝜈)
0,25 =
0,3164
(0,917×0,01⁄
Уравнение Бернулли примет вид:
0 + 𝐻п +
0,01×10
0,25
= 0,0323.
−4)
𝑉21
𝑉2
𝐿
= ℎ + 0 + 0 + (𝜆 + ζкр + ζпов + 1) 1 , откуда
2g
𝑑
2g
𝑉21
𝑉21
𝐿
ℎ = 𝐻п + − (𝜆 + ζкр + ζпов + 1) =
2g
𝑑
2g
2
2
0,917
20
0,917
= 20 +
− (0,0323
+ 4 + 1 + 1)
= 17 м.
2×9,8
0,01
2×9,8
Задача 4.3.2. Поршень диаметром D = 200 мм движется равномерно
вверх, всасывая воду. Диаметр трубопровода d = 50 мм, его длина L = 12 м,
коэффициент гидравлического трения λ = 0,03, коэффициент местного сопротивления (поворота) ζпов = 0,5. При высоте h = 2 м сила, необходимая
для перемещения поршня вверх, равна F = 2,35 кН.
Определить скорость перемещения поршня. Найти, до какой высоты
hmax можно поднять поршень без возникновения кавитации, если давление
насыщенного пара рнп = 4,25 кПа, плотность воды ρ = 1000 кг/м3. Атмосферное давление принять рат = 98,7 кПа. Весом поршня и трением пренебречь.
Рис. 4.10. Схема к задаче 4.3.2
Составим уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2, плоскость
сравнения 0 – 0 и сечение 1 – 1 совпадают. Давления в сечениях определим
в избыточной системе отсчёта.
В сечении 1 – 1 избыточное давление ризб = 0, скорость V1 = 0. Движение жидкости примем турбулентным, коэффициент Кориолиса α = 1.
88
Под поршнем (в сечении 2 – 2) создаётся вакуумметрическое давление рвак, за счёт чего жидкость поднимается вверх. Давление р2 = рвак будет
определяться силой F и площадью поршня Sп:
𝑝вак =
𝐹
4𝐹
4×2350
=
=
= 74840 Па.
𝑆п 𝜋𝐷2 3,14×0,22
Потери напора hпот будут равны сумме потерь напора:
2
- по длине ℎдл
𝐿 𝑉тр
=𝜆
, где Vтр – скорость течения воды в трубо𝑑 2g
проводе;
𝑉2тр
𝑉2тр
𝑉2тр
- местных сопротивлений ∑ ℎм = ζвр
+ 2ζпов
+ ζвс
.
2g
2g
2g
Учитывая, что ζвр = 1, ζвс = 0,5, сумма местных сопротивлений будет
𝑉2тр
равна ∑ ℎм = (1,5 + 2ζпов )
. Уравнение Бернулли примет вид:
2g
2
𝑝вак 𝛼2 𝑉2
𝑉2тр
𝐿
0+0+0=ℎ−
+
+ (𝜆 + 1,5 + 2ζпов )
.
𝜌g
2g
𝑑
2g
С помощью уравнения расхода выразим скорость в трубопроводе:
𝑉тр 𝑆тр
𝑆п
𝐷2
= 𝑉2 𝑆п , откуда 𝑉тр = 𝑉2
= 𝑉2 2 .
𝑆тр
𝑑
Подставим выражение для скорости Vтр в составленное уравнение
Бернулли:
𝑝вак 𝑉22
𝑉22 𝐷4
𝐿
0=ℎ−
+ + (𝜆 + 1,5 + 2ζпов )
4 ,
𝜌g
2g
𝑑
2g𝑑
𝑉22
𝐷4
𝐿
[1 + (𝜆 𝑑 + 1,5 + 2ζпов ) 𝑑4 ] =
2g
𝑉2 = √
2𝑝вак
𝜌 −2gℎ
4
1+(𝜆𝑑𝐿+1,5+2ζпов)𝐷4
𝑑
=
𝑝вак
𝜌g
− ℎ , откуда
2×74840
1000 −2×9,8×2
4
√
12
1+(0,030,05
+1,5+2×0,5) 0,2 4
0,05
= 0,21 м/с.
Наибольшую допустимую высоту подъёма поршня hmax определим из
условия падения под поршнем абсолютного давления до давления насыщенного пара рнп. Составим уравнение Бернулли в абсолютных давлениях:
𝑝ат
𝜌g
= ℎ𝑚𝑎𝑥 +
𝑉22
𝐿
𝑝нп
𝜌g
+
𝑉22
2g
+ (𝜆
𝐷4
𝐿
𝑑
+ 1,5 + 2ζпов )
[1 + (𝜆 𝑑 + 1,5 + 2ζпов ) 𝑑4 ] =
2g
ℎ𝑚𝑎𝑥
𝑝ат −𝑝нп
𝜌g
𝑉22 𝐷4
2g𝑑4
,
− ℎ𝑚𝑎𝑥 , откуда
𝑝ат−𝑝нп 𝑉22
𝐿
𝐷4
=
− [1 + (𝜆 + 1,5 + 2ζпов ) 4 ] =
𝜌g
2g
𝑑
𝑑
98700−4250 0,212
12
0,24
=
−
[1 + (0,03 0,05 + 1,5 + 2 × 0,5)
4 ] = 4 м.
1000×9,8
2×9,8
0,05
89
5. Истечение жидкости из отверстий и через насадки
Истечение жидкости может происходить при постоянном или переменном напоре в газообразную среду или в жидкость (истечение через затопленное отверстие под уровень). Истечение может происходить через
отверстие в тонкой или толстой стенке. Истечение через отверстие в толстой стенке в гидравлическом отношении аналогично истечению через
насадки.
Основной задачей при истечении жидкости является определение
скорости истечения и расхода вытекающей жидкости.
5.1. Истечение жидкости из малого отверстия в тонкой стенке
Рассмотрим истечение жидкости через отверстие диаметром d в
стенке бака, расположенное на глубине h, в газовую среду. Свободная поверхность жидкости в баке находится под давлением р0 (рис. 5.1).
а)
б)
Рис. 5.1. Истечение жидкости из малого отверстия в атмосферу:
а) – схема истечения; б) – сжатие струи при истечении
Уровень жидкости в баке по плоскости 1 – 1 поддерживается постоянным (количество жидкости, вытекающей из крана Qкр, равно количеству
жидкости Q, истекающей из отверстия в боковой стенке бака), то есть истечение происходит при постоянном напоре.
Скорости истечения на верхней и нижней границах истекающей из
отверстия струи можно считать равными, если истечение происходит из
малого отверстия.
Малым называется отверстие, если при истечении из него распределение скоростей в живом сечении струи можно считать равномерным. При
этом должно выполняться условие:
𝑑 ≤ 0,1ℎ.
Боковая стенка не оказывает влияние на характер истечения, если
толщина стенки не превышает половины диаметра отверстия (δ ≤ 0,5d). В
90
этом случае потери напора аналогичны потерям при внезапном сужении
потока, а сама стенка будет называться тонкой.
Частицы жидкости, приближаясь к отверстию, двигаются из всего
близлежащего объёма по различным траекториям. Многие из них при попадании в отверстие должны изменить свою траекторию на 90º. Поскольку
каждая частица имеет свою массу, то мгновенно изменить направление
своего движения она не может. Следствием этого является сжатие струи
жидкости при истечении (сечение С – С, рис. 5.1, б). Формирование сжатого сечения струи диаметром dc заканчивается на расстоянии примерно 0,5d.
Для оценки степени сжатия струи используют коэффициент сжатия ε
(эпсилон), равный отношению площади струи в сжатом сечении Sс к площади отверстия S. Для круглого отверстия:
2
𝑆
𝑑
𝜀 = С = С2 ,
𝑆
𝑑
(5.1)
где SС и dС – площадь сжатого сечения и диаметр струи в сжатом сечении;
S и d – площадь и диаметр отверстия, через которое происходит истечение.
Для определения скорости истечения и расхода жидкости составим
уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и С – С относительно плоскости
сравнения 0 – 0, проходящей через центр сжатого сечения:
2
𝑝0
𝑝С 𝛼С 𝑉С
ℎ+ +0=0+ +
+ ℎм ,
𝜌g
𝜌g
2g
(5.2)
где рС – давление в сжатом сечении;
αС и VC – коэффициент Кориолиса и средняя скорость жидкости в сжатом
сечении;
hм – местные потери напора при истечении.
Местные потери при истечении:
𝑉2С
ℎм = ζт.с.
,
2g
(5.3)
где ζт.с. – коэффициент потерь при истечении через отверстие в тонкой
стенке.
С учётом (5.3) уравнение Бернулли (5.2) примет вид:
𝑝0 −𝑝С
𝑉2С
ℎ+
= (𝛼С + ζт.с. )
.
𝜌g
2g
Выражение в левой части уравнения является статическим напором
Нст, под действием которого происходит истечение:
𝐻ст = ℎ +
𝑝0 −𝑝С
.
𝜌g
Тогда средняя скорость VС в сжатом сечении струи равна:
𝑉С = 𝜑√2g𝐻ст ,
где φ – коэффициент скорости, 𝜑 =
1
√𝛼С +ζт.с.
91
.
Коэффициент скорости φ отражает влияние распределения местных
скоростей в сжатом сечении αС и потерь напора ζт.с..
Определим расход с учётом формулы (5.1):
𝑄 = 𝑉С 𝑆С = 𝜀𝑆𝑉С = 𝜀𝜑𝑆√2g𝐻ст ,
𝑄 = 𝜇р 𝑆√2g𝐻ст ,
где μр – коэффициент расхода, 𝜇р = 𝜀𝜑.
Если высоту столба жидкости h определить как ℎ =
(5.4)
𝑝ℎ
, где рh – дав𝜌g
ление, создаваемое высотой столба жидкости на глубине h, то статический
напор Нст будет равен:
𝐻ст = ℎ +
𝑝0 −𝑝С 𝑝ℎ +𝑝0 −𝑝С 𝑝2 −𝑝С
=
=
,
𝜌g
𝜌g
𝜌g
∆𝑝
𝐻ст =
,
𝜌g
(5.5)
где ∆р – перепад давления (как правило, избыточного) до и после отверстия, под действием которого происходит истечение жидкости;
р2 – давление в центре тяжести сечения 2 – 2.
С учётом (5.5) уравнение для определения расхода жидкости при истечении из малого отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре примет вид:
𝑄 = 𝜇р 𝑆√
2∆𝑝
.
𝜌
(5.6)
На рис. 5.2 показана зависимость коэффициентов расхода μр, скорости φ и сжатия ε от числа Рейнольдса, подсчитанного для идеальной скорости истечения, то есть истечение при отсутствии сжатия струи и сопротивления. При числах Рейнольдса Re > 105 коэффициенты можно считать постоянными: ε = 0,64; φ = 0,97; μр = 0,62.
Рис. 5.2. Зависимость коэффициентов расхода μр, скорости φ и сжатия ε от
числа Рейнольдса для круглого отверстия в тонкой стенке при полном совершенном сжатии
92
Согласно рис. 5.2, графики функций для определения коэффициентов μр, φ и ε составлены для полного совершенного сжатия.
При полном сжатии происходит сжатие струи со всех сторон. Если
же с одной или нескольких сторон сжатие отсутствует, сжатие струи будет
неполным. Под совершенным понимается такое полное сжатие, при котором отверстие достаточно удалено от ограничивающих поверхностей, и
они не влияют на условия сжатия струи. Согласно опытным данным, это
расстояние должно быть не менее 3d для круглого отверстия, или утроенного соответствующего линейного размера – для прямоугольного.
При несовершенном сжатии, а тем более при неполном, коэффициенты истечения имеют бόльшие значения.
Рис. 5.3. Истечение через затопленное отверстие
Большинство гидравлической аппаратуры работает по типу отверстий в тонкой или толстой стенке, где истечение происходит через затопленное отверстие. Например, по типу отверстия в тонкой стенке происходит истечение через дроссельную шайбу (рис. 5.3). Расход при истечении в
жидкость определяют по формуле (5.6), что и для истечения в газообразную среду. Истечение через отверстие диаметром d0 происходит под действием перепада давлений ∆𝑝 = 𝑝1 − 𝑝2 :
𝑄 = 𝜇р 𝑆0 √
2∆𝑝
,
𝜌
(5.7)
где S0 – площадь отверстия, через которое происходит истечение.
5.2. Истечение через насадки
Насадком называется короткая цилиндрическая или нецилиндрическая труба длиной Lн = (3 … 5)d0, присоединённая к отверстию (или отверстие в толстой стенке), работающая на выходе полным сечением. Различают насадки трёх типов – цилиндрические, конические и коноидальные.
Рассмотрим истечение через цилиндрический насадок.
При входе в насадок струя сжимается, образуя сжатое сечение так
же, как и при истечении через отверстие в тонкой стенке (сечение С – С,
рис. 5.4). Затем струя постепенно расширяется до размеров отверстия, и
выходит из насадка полным сечением. Такое движение жидкости в насадке
называется безотрывным.
93
Рис. 5.4. Истечение через насадок
При истечении через насадок возникают следующие потери напора,
отнесённые к скорости V2 на выходе из насадка:
- такие же, как и при истечении через отверстие в тонкой стенке (от
сечения 1 – 1 до сжатого сечения С – С)
ℎт.с.
𝑉22
= (𝛼С + ζт.с. )
;
2g
- местные потери, связанные с внезапным расширением потока от
сечения С – С до живого сечения, в котором поток жидкости будет сформирован
ℎвр
𝑉22
= ζвр
;
2g
- потери напора по длине Lн насадка диаметром d0
2
ℎдл
𝐿 𝑉
=𝜆 н 2 .
𝑑0 2g
Общие потери напора при истечении через насадок будут равны:
ℎн = (𝛼С + ζт.с. + ζвр + 𝜆
2
𝐿н 𝑉2
.
)
𝑑0 2g
Составив уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2, получим ту
же формулу для определения скорости истечения на выходе из насадка,
что и для истечения через отверстие в тонкой стенке:
𝑉 = 𝜑н √
𝜑н =
2∆𝑝
,
𝜌
1
𝐿н
√𝛼С +ζт.с. +ζвр +𝜆
𝑑0
(5.8)
.
где V2 = V – средняя скорость жидкости на выходе из насадка;
φн – коэффициент скорости для истечения через насадок.
94
Расход жидкости при истечении через насадок определяют по той же
формуле, что и для истечения через отверстия в тонкой стенке, но со своими коэффициентами скорости и расхода:
𝑄 = 𝜇н 𝑆0 √
2∆𝑝
,
𝜌
(5.9)
где μн – коэффициент расхода при истечении через насадок, μн = εнφн;
εн – коэффициент сжатия струи, равный отношению площади Sстр струи в
живом сечении на выходе из насадка к площади Sвых самого выходного отверстия насадка, εн =
𝑆стр
𝑆вых
;
φн – коэффициент скорости при истечении через насадок.
Коэффициенты μн и φн определены по результатам экспериментальных исследований.
В сжатом сечении возникает кольцевая зона разряжения, за счёт которых происходит подсос жидкости при истечении через насадок. В результате этого скорость жидкости при истечении через насадок больше,
чем при истечении через отверстие в тонкой стенке.
Недостаток давления (рат – рвак) в зоне разряжения (в сжатом сечении) не должен быть меньше давления рнп насыщенного пара. В противном
случае происходит нарушение сплошности потока жидкости, что приводит
к нарушению нормальной работы насадка. Определим рвак, составив уравнение Бернулли для сечений С – С и 2 – 2 относительно плоскости сравнения 0 – 0, совпадающей с осью насадка:
2
2
2
𝑝вак 𝛼С 𝑉С
𝑝2 𝛼2 𝑉2
𝐿н 𝑉2
0−
+
=0+ +
+ (𝛼С + ζт.с. + ζвр + 𝜆 ) .
𝜌g
2g
𝜌g
2g
𝑑0 2g
Учитывая, что αС = α2 ≈ 1, VC = εV2, потери по длине примерно равны
нулю, получим:
𝑝вак 𝜀2 𝑉22 𝑝2 𝑉22
𝑉22
−
+
= + + (ζт.с. + ζвр ) ,
𝜌g
2g
𝜌g 2g
2g
2
𝑉22
−𝑝вак = 𝑝2 + 𝜌(1 − 𝜀
+ 𝜌 (ζт.с. + ζвр ) .
2
2
2∆𝑝
1
По формуле (5.8) 𝑉2 = 𝜑н √
, 𝜑н =
. Тогда
𝜌
√ζт.с. +ζвр
2 ) 𝑉2
−𝑝вак = 𝑝2 +
1−𝜀2
ζт.с.+ζвр
∆𝑝 + ∆𝑝 .
(5.10)
Коэффициент ζвр при внезапном расширении, отнесённый к скорости
2
2
𝑆2
1
V2, равен ζвр = ( − 1) = ( − 1) . Учитывая, что ∆𝑝 = 𝑝1 − 𝑝2 , выра𝑆С
𝜀
жение (5.10) примет вид:
−𝑝вак = 𝑝1 + 𝐾(𝑝1 − 𝑝2 ) , где 𝐾 =
95
1−𝜀2
2
ζт.с.+(1𝜀− 1)
.
(5.11)
Для маловязких жидкостей (вода, бензин, керосин и т. д.) при значительных числах Рейнольдса (Re ≥ 105), при полном и совершенном сжатии
коэффициент K ≈ 1. Тогда значение вакуумметрического давления рвак в
сжатом сечении С – С:
|𝑝вак | ≤ 2𝑝1 − 𝑝2 , или 𝑝нп ≥ 𝑝ат − (2𝑝1 − 𝑝2 ) .
В случае, если 𝑝ат − 𝑝вак ≤ 𝑝нп , насадок работает неполным сечением по типу истечения через отверстие в тонкой стенке.
Цилиндрический насадок (рис. 5.5) может быть внешним или внутренним. Расход через внешний цилиндрический насадок будет несколько
больше, чем через внутренний, так как коэффициент расхода для внешнего
насадка μвнеш = 0,82, для внутреннего μвнутр = 0,71.
а)
б)
Рис. 5.5. Цилиндрический насадок:
а) - внешний; б) - внутренний
Нецилиндрические насадки могут быть конически сходящиеся, конически расходящиеся и коноидальные (рис. 5.6).
а)
б)
в)
Рис. 5.6. Нецилиндрические насадки:
а) - конически сходящиеся; б) - конически расходящиеся;
в) - коноидальные
96
Конически сходящиеся насадки имеют конусность γ = 13º24′, так как
при таком значении конусности достигается максимальное значение коэффициента расхода μк.с. = 0,94. При таком угле конусности площадь сжатого
сечения примерно равна площади выходного отверстия насадка. Выходящая из конического насадка струя характеризуется большой кинетической
энергией, в связи с чем эти насадки применяют в соплах турбин, гидромониторах и пожарных брандспойтах.
Конически расходящиеся насадки характеризуются бόльшим значением вакуума в сжатом сечении, чем в цилиндрическом. Такие насадки
применяют, если необходимо пропустить относительно большой расход
жидкости при малых скоростях на выходе.
Коноидальные насадки имеют сложную форму, за счёт которой на
входе в насадок отсутствует вакуумметрическое давление, и такие насадки
работают полным сечением при любом перепаде давлений. Коноидальный
насадок обеспечивает наибольшую скорость в выходном сечении, следовательно, максимальную кинетическую энергию.
В табл. 3 приведены значения коэффициентов εн, φн и μн для различных типов насадок.
Таблица 3
Значения коэффициентов истечения через насадки
при совершенном сжатии
Тип насадка
Внешний цилиндрический
Внутренний цилиндрический
Конически расходящийся
(γ = 5 … 7º)
Конически сходящийся (γ = 13º24′)
Коноидальные
εн
1
1
1
φн
0,82
0,707
0,45 … 0,5
0,98
1
0,96
0,98
μн
0,82
0,707
0,45 …0,5 (по Sвых)
1 … 1,05 (по Sвх)
0,94
0,98
5.3. Гидродинамическое воздействие струи на твёрдую преграду
При воздействии струи жидкости на любую твёрдую преграду сила
давления жидкости Р равна произведению гидродинамического давления
на площадь действия. Для определения силы Р используют теорему количества движения – изменение количества движения ∆mV равно импульсу
внешних сил ∆F, приложенных к выделенному участку потока:
∆𝐹 = ∆𝑚𝑉.
Рассмотрим неподвижную плоскую стенку, расположенную под углом α относительно оси струи (рис. 5.7). Струя жидкости вытекает из
насадка площадью S0 с расходом Q0 и скоростью истечения V0. Со стороны
стенки возникает противодействующая сила N, равная силе давления жидкости Р и направленная в противоположную сторону:
𝑃 = −𝑁.
97
Рис. 5.7. Схема воздействия струи на твёрдую преграду
Изменение количества движения (∆mV) за время dt в проекции на ось
ОХ будет равно:
∆𝑚𝑉 = (𝑚1 𝑉1 cos 𝛼 − 𝑚2 𝑉2 cos 𝛼) − 𝑚0 𝑉0 ,
где 𝑚0 𝑉0 , 𝑚1 𝑉1 cos 𝛼 и 𝑚2 𝑉2 cos 𝛼 - проекции количества движения жидкости в сечениях 0 – 0, 1 – 1 и 2 – 2 на ось ОХ.
Импульс внешних сил за время dt равно ∆𝐹 = −𝑁 sin 𝛼 𝑑𝑡. Тогда:
−𝑁 sin 𝛼 𝑑𝑡 = 𝑚1 𝑉1 cos 𝛼 − 𝑚2 𝑉2 cos 𝛼 − 𝑚0 𝑉0 .
Учитывая, что
𝑚
𝑑𝑡
=
𝜌𝑊
𝑑𝑡
= 𝜌𝑄, получим:
𝑁 sin 𝛼 = 𝜌(𝑄0 𝑉0 − 𝑄1 𝑉1 cos 𝛼 + 𝑄2 𝑉2 cos 𝛼).
(5.12)
Расход в сечении 0 - 0 за время dt равен сумме расходов в сечениях
1 – 1 и 2 – 2:
𝑄0 = 𝑄1 + 𝑄2 .
Определим расходы в сечениях 1 – 1 и 2 – 2. Для этого запишем
уравнение количества движения относительно оси х′, проходящей по
наклонной плоской стенке. Учитывая, что силы P и N направлены по нормали к выбранной оси х′, проекция сил на эту ось будет равна нулю. Тогда:
0 = 𝜌(𝑄0 𝑉0 cos 𝛼 − 𝑄1 𝑉1 + 𝑄2 𝑉2 ),
откуда 𝑄0 cos 𝛼 = 𝑄1 − 𝑄2 .
Используя уравнение равенства расходов, получим следующие значения расходов Q1 и Q2:
𝑄 (1+cos 𝛼)
𝑄1 = 0
𝑄0 = 𝑄1 + 𝑄2
2
, откуда {
.
{
𝑄
(
1−cos
𝛼)
𝑄0 cos 𝛼 = 𝑄1 − 𝑄2
0
𝑄2 =
(5.13)
2
Подставим расходы Q1 и Q2 в уравнение (5.12), учитывая, что скорости в сечениях V0 = V1 = V2:
98
𝑁 sin 𝛼 = 𝜌 (𝑄0 𝑉0 −
𝑄0 (1+cos 𝛼)
𝑄 (1−cos 𝛼)
𝑉0 cos 𝛼 + 0
𝑉0 cos 𝛼).
2
2
После математических преобразований получим:
𝑁 sin 𝛼 = 𝜌𝑄0 𝑉0 sin2 𝛼, откуда
𝑁 = 𝜌𝑄0 𝑉0 sin 𝛼.
(5.14)
Учитывая, что 𝑄0 = 𝑉0 𝑆0 , сила давления жидкости на неподвижную
плоскую твёрдую стенку будет равна:
2
𝑄
𝑁 = 𝜌 0 sin 𝛼 = 𝜌𝑆0 𝑉02 sin 𝛼.
𝑆0
(5.15)
Если поверхность, на которую действует струя жидкости, движется в
направлении движения жидкости со скоростью Vпов, сила давления жидкости будет равна:
𝑁 = 𝜌𝑄0 (𝑉0 − 𝑉пов ) sin 𝛼.
(5.16)
Рассмотрим реактивное действие струи, истекающей из сопла центробежного масляного фильтра (рис. 5.8).
Рис. 5.8. Схема двухсопловой центрифуги
с гидрореактивным приводом
Согласно теореме количества движения, реактивная сила при вращении вала фильтра согласно (5.16) с учётом α = 90º, sin 90° = 1:
𝑁 = 𝜌𝑄0 (𝑉0 − 𝑉пов ),
𝑄0
𝜋𝑛
, 𝑉 = 𝜔𝑅 =
𝑅,
𝑆0 пов
30
𝑄
𝜋𝑛
𝑁 = 𝜌𝑄0 ( 0 − 𝑅).
𝑆0 30
𝑉0 =
Вращающий момент на валу фильтра:
𝑀вр = 2𝑁𝑅 = 2𝜌𝑄0 𝑅 (
𝑄0 𝜋𝑛
− 𝑅).
𝑆0 30
Учитывая, что расход масла Q, поступающего в центрифугу, равен
𝑄ц = 2𝑄0 , окончательно получим 𝑀вр = 𝜌𝑄ц 𝑅 (
99
𝑄ц
𝜋𝑛
− 𝑅).
2𝑆0 30
5.4. Примеры решения задач
Задачи на истечение решают без составления уравнения Бернулли с
помощью основного выражения (5.4) или (5.6). При этом следует помнить,
что гидростатический напор Hст определяется разностью давлений до и после отверстия. При расчёте истечения через насадки следует помнить, что
коэффициенты истечения в отличие от истечения через отверстие определяют по табл. 3.
Задача 5.3.1. Определить расход и скорость истечения воды из малого круглого отверстия диаметром d0 = 3 см в боковой стенке резервуара
больших размеров. Напор над центром отверстия h = 1 м, кинематическая
вязкость воды при t = 20 ºС составляет ν = 10-6 м2/с.
Определим число Рейнольдса, характеризующее истечение без учёта
коэффициента скорости φ, то есть для истечения без образования сжатого
сечения и сопротивления:
𝑅𝑒 =
𝑉𝑑0 𝑑0 √2gℎ 0,03√2×9,8×1
=
=
= 133000.
𝜈
𝜈
10−6
Из рис. 5.2 при Rе = 133 000 определим коэффициенты скорости φ и
расхода μр: φ = 0,98; μр = 0,59. Тогда скорость истечения воды из малого
отверстия в тонкой стенке в сжатом сечении будет равна:
𝑉С = 𝜑√2gℎ = 0,98√2 × 9,8 × 1 = 4,3 м/с.
Расход вытекающей из отверстия воды будет равен:
2
𝑄 = 𝜇р 𝑆0 √2gℎ = 0,59
3,14×0,03
√2 × 9,8 × 1 = 1,91 л/с.
4
Задача 5.3.2. Определить расход жидкости, вытекающей из бака через отверстие площадью S0 = 0,01 см2. Показание ртутного манометра hрт =
268 мм, высота h = 2 м, коэффициент расхода отверстия μр = 0,60. Плотность жидкости в баке ρ = 800 кг/м3, плотность ртути ρрт = 13600 кг/м3. Атмосферное давление рат = 0,1 МПа. Напор считать постоянным.
Определить, во сколько раз увеличится расход, если к отверстию
присоединить цилиндрический внешний насадок, конически расходящийся
насадок длиной Lн = 5d0 при угле конусности γ = 7º.
Расход жидкости определим по формуле (5.7): 𝑄 = 𝜇р 𝑆0 √
2∆𝑝
.
𝜌
Перепад давления ∆р с верхней и нижней стороны отверстия определим в абсолютных единицах. Тогда ∆р будет равен разности давления на
дне сосуда (сумма р0 и весового давления 𝜌gℎ) и атмосферного давления,
то есть:
∆𝑝 = 𝑝0 + 𝜌gℎ − 𝑝ат .
100
Рис. 5.7. Схема к задаче 5.3.2
Давление р0 (абсолютное давление) определим по показанию ртутного пъезометра, высота столба ртути в котором уравновесит избыточное
давление, действующее по свободной поверхности жидкости в баке. Тогда
абсолютное давление р0 будет равно:
𝑝0 = 𝑝ат + 𝜌рт gℎ = 100000 + 13600 × 9,8 × 0,268 = 135,72 кПа.
Тогда перепад давления:
∆𝑝 = 𝑝0 + 𝜌gℎ − 𝑝ат = 135720 + 800 × 9,8 × 2 = 51,4 кПа.
Расход жидкости через малое отверстие в тонкой стенке будет равен:
𝑄 = 𝜇р 𝑆0 √
2∆𝑝
2
= 0,6 × 0,0001√
× 51400 = 0,68 л/с.
𝜌
800
Определим расход жидкости при присоединении насадка к отверстию диаметром d0, который равен 𝑑0 = √
4𝑆0
4×0,0001
=√
= 0,011 м:
𝜋
3,14
- цилиндрический внешний насадок (μвнеш = 0,82)
𝑄внеш = 𝜇внеш 𝑆0 √
2∆𝑝
2
= 0,82 × 0,0001√
× 51400 = 0,93 л/с;
𝜌
800
- конически расходящийся насадок (μк.р. = 0,5 по Sвых)
2
2
2
𝜋𝑑0 (1+10 tgγ⁄2)
3,14×0,0112 (1+10 tg 3,5)
𝑆вых =
=
= 0,000247 м2,
4
4
2∆𝑝
2
𝑄к.р. = 𝜇к.р. 𝑆вых √
= 0,5 × 0,000247√
× 51400 = 1,4 л/с.
𝜌
800
Определим, во сколько раз расход через насадки больше, чем через
отверстие в тонкой стенке:
𝑄
- через цилиндрический насадок внеш⁄𝑄 = 1,37 раза;
𝑄
- через расходящийся насадок к.р.⁄𝑄 = 2,06 раза.
101
Задача 5.3.3. Определить направление истечения жидкости с плотностью ρ = 1000 кг/м3 через отверстие диаметром d0 = 5 мм и расход, если
разность уровней h = 2 м, показание вакуумметра соответствует 147 мм. рт.
ст., показание манометра pм = 0,25 МПа, коэффициент расхода μр = 0,62.
Рис. 5.8. Схема к задаче 5.3.3
Разность избыточного давления между баками равна:
∆𝑝 = 𝑝м − (𝜌gℎ − 𝑝вак ) =
= 250000 − (1000 × 9,8 × 2 − 147 × 133,3) = 250 кПа.
Поскольку давление в правой части бака больше, чем в левой, то
направление течения жидкости будет направлено в левую часть емкости
(ответ получили со знаком «+», 𝑝м > 𝜌gℎ − 𝑝вак ).
Тогда расход жидкости через отверстие с диаметром d0 будет равен:
2
2∆𝑝
3,14×0,005
√ 2 × 250000 = 0,27 л/с.
𝑄 = 𝜇р 𝑆0 √
= 0,62 ×
𝜌
4
1000
Задача 5.3.4. Определить диаметр отверстия дросселя d0, установленного на сливе из гидроцилиндра, если шток цилиндра под действием
внешней нагрузки F = 60 кН перемещается вправо со скоростью V = 20
см/с. Диаметры штока dш = 40 мм, поршня D = 80 мм, коэффициент расхода дросселя μр = 0,65, плотность жидкости ρ = 850 кг/м3 , давление на сливе
рс = 0,3 МПа.
Рис. 5.9. Схема к задаче 5.3.4
102
Определим избыточное давление в жидкости, которое создает сила F
в правой части гидроцилиндра. Давление создаётся эффективной площадью поршня (эффективная площадь 𝑆эф = 𝑆п − 𝑆ш ):
𝑝=
𝐹
4𝐹
4×60 000
=
=
= 16 МПа.
2
2
𝑆п −𝑆ш 𝜋(𝐷 −𝑑ш ) 3,14(0,082 −0,042 )
Перепад давлений на дросселе ∆р будет равен:
∆р = р – рс = 15,7 МПа.
Расход жидкости, протекающий через живое сечение дросселя рабочей площадью S0 со скоростью Vдр, будет равен расходу в цилиндре площадью Sэф со скоростью V:
2
𝑄 = 𝑉др 𝑆0 = 𝑉𝑆эф = 𝑉
2
2
𝜋(𝐷2 −𝑑ш )
3,14(0,08 −0,04 )
= 0,2
= 0,75 л/с.
4
4
Площадь рабочего сечения дросселя Sдр будет равна:
𝑆др =
𝑄
𝜇р √2∆𝑝
𝜌
=
0,00075
0,65√2×15700000
850
= 0,6 × 10−5 м2.
Тогда диаметр отверстия дросселя:
𝑑др
=√
4𝑆др
4×0,6×10−5
√
=
= 2,76 мм.
𝜋
3,14
103
6. Расчёт трубопровода
Трубопроводом называют систему напорных труб, предназначенных
для перемещения разнообразных жидкостей и газов. Движение жидкости
или газа по трубопроводу происходит в результате того, что напор в его
начале больше, чем в конце.
а)
в)
б)
г)
Рис. 6.1. Создание напора с помощью:
а) - насоса; б) - давления газа; в) - водонапорной башни;
г) - разности высот уровней жидкости
Пъезометрический напор Hп в трубопроводе может быть создан:
- за счёт работы насосов различного типа (рис. 6.1, а), 𝐻п =
𝑝н
;
𝜌g
- избыточным давлением газа в резервуаре с жидкостью с помощью
компрессора (рис. 1.6, б), 𝐻п = ℎ +
𝑝изб
;
𝜌g
- использованием водонапорной башни (рис. 1.6, в), 𝐻п = ℎ =
𝑝ℎ
;
𝜌g
- за счёт разности высот уровней жидкости в сообщающихся сосудах
(рис. 1.6, г), 𝐻п = ∆ℎ =
𝑝∆ℎ
,
𝜌g
где ph и p∆h - избыточное давление, создаваемое высотой столба жидкости
h и ∆h соответственно.
104
В зависимости от компоновки и технического расположения трубопроводы подразделяют на простые и сложные.
Простым называется трубопровод без ответвлений, состоящий из
труб одного диаметра. Простой трубопровод разделяют на короткий и
длинный. К длинным относят трубопроводы значительной протяжённости,
в которых потери напора по длине являются основными, а местные потери
напора составляют не более 10 % от общих потерь. К таким трубопроводам относят магистральные трубопроводы, газопроводы, трубопроводы
гидротехнических сооружений.
В технических гидроприводах (например, станочные гидроприводы,
гидроприводы автомобильных систем) применяют короткие трубопроводы, в которых местные потери соизмеримы с потерями по длине.
Сложным называется трубопровод, состоящий из труб разного диаметра, соединённых последовательно, параллельно или разветвлено.
6.1. Потребный напор
Рассмотрим простой трубопровод, в котором напор создан избыточным давлением р1 в сечении 1 – 1 (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Схема к определению потребного напора
Составим уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2 относительно произвольно выбранной плоскости сравнения 0 - 0:
2
2
𝑝1 𝛼1 𝑉1
𝑝2 𝛼2 𝑉2
𝑧1 + +
= 𝑧2 + +
+ ℎпот .
𝜌g
2g
𝜌g
2g
(6.1)
Трубопровод не меняет своего диаметра, поэтому V1 = V2 = V. Принимаем течение жидкости в трубопроводе турбулентным, коэффициент
Кориолиса α1 = α2 = 1. Геометрическую высоту поднятия жидкости в трубопроводе обозначим как геометрический напор Hг:
𝐻г = 𝑧2 − 𝑧1 .
Тогда уравнение (6.1) примет вид:
𝑝1
𝜌g
= 𝐻г +
𝑝2
𝜌g
105
+ ℎпот .
(6.2)
Сумма 𝐻г +
𝑝2
представляет собой статический напор Hст жидкости
𝜌g
в сечении 2 – 2:
𝐻ст = 𝐻г +
𝑝2
.
𝜌g
Потери напора hпот выразим через расход Q (п. 4.1, 4.2):
ℎпот = 𝐾𝑄𝑚 ,
где m – показатель степени (m = 1 при ламинарном течении, m = 2 при турбулентном течении);
K – величина сопротивления трубопровода.
Параметр K является размерной величиной, и для турбулентного режима равен:
𝐿
𝑑
𝐾 = (𝜆 + ∑ ζм )
Пъезометрический напор
𝑝1
𝜌g
8
4
𝜋2 𝑑 g
.
(6.3)
в сечении 1 – 1 необходим для обеспе-
чения заданного расхода Q жидкости в трубопроводе. Такой напор называют потребным.
Потребный напор Hпотр – это пъезометрический напор, затрачиваемый на создание статического напора Hст при заданном расходе Q:
𝐻потр = 𝐻ст + 𝐾𝑄𝑚 .
(6.4)
Используя выражение (6.3), можно построить графическую зависимость 𝐻потр = 𝑓(𝑄), которую называют кривой потребного напора (рис.
6.3). Построив кривую, можно определить необходимый потребный напор
для любого заданного расхода (например, т. А и В).
Рис. 6.3. Кривая потребного напора
Зависимость потерь напора hпот от расхода Q называют гидравлической характеристикой трубопровода:
ℎпот = 𝐾𝑄𝑚 .
(6.5)
При ламинарном режиме гидравлическая характеристика трубопровода и кривая потребного напора представляют собой прямую линию (m =
1), при турбулентном течении – параболу второй степени (m = 2).
106
6.2. Последовательное соединение трубопровода
Последовательным называют сложный трубопровод, в котором жидкость течёт по последовательно соединённым простым трубопроводам
разного диаметра (рис. 6.4).
Рис. 6.4. Схема последовательного соединения простых трубопроводов
При последовательном соединении трубопровода расход Q по всей
его длине одинаков, потери напора равны сумме потерь на отдельных
участках трубопровода:
𝑄 = 𝑄2 = 𝑄3 = ⋯ = 𝑄𝑛 = 𝑄;
(6.5)
{ 1
∑ ℎпот = ∑ ℎ1 + ∑ ℎ2 + ⋯ + ∑ ℎ𝑛 ,
где n – количество участков трубопровода.
Такие трубопроводы удобнее всего рассчитывать, пользуясь гидравлической характеристикой трубопровода (рис. 6.5). Сложный трубопровод
разбивают на ряд простых трубопроводов, для каждого простого трубопровода в одной системе координат строят свою гидравлическую характеристику. Так как расход для всех простых трубопроводов одинаков, а потери напора суммируются, производят сложение характеристик трубопроводов по оси ординат. Полученная в результате сложения графическая характеристика является характеристикой всего сложного трубопровода, состоящего из нескольких простых трубопроводов.
Рис. 6.5. Гидравлическая характеристика последовательного соединения
простых трубопроводов для турбулентного режима течения жидкости
107
6.3. Параллельное соединение трубопровода
Параллельным называют сложный трубопровод, имеющий в начале
общую точку разветвления, в конце общую точку соединения (рис. 6.6).
Рис. 6.6. Схема параллельного соединения простых трубопроводов
В таком трубопроводе расходы жидкости Q1, Q2, Q3 … Qn распределяются таким образом, что гидравлические потери во всех параллельных
линиях одинаковы:
𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 + ⋯ + 𝑄𝑛 ;
(6.6)
{
∑ ℎпот = ∑ ℎ1 = ∑ ℎ2 = ⋯ = ∑ ℎ𝑛 ,
где Q – расход в точке разветвления и в точке соединения;
n – количество разветвлений.
Для построения общей гидравлической характеристики сложного
трубопровода в одной системе координат строят характеристики для каждого простого трубопровода. Так как потери напора в трубопроводах равны, а суммируются расходы, сложение производят по оси абсцисс (рис.
6.7).
Рис. 6.7. Гидравлическая характеристика параллельного соединения
простых трубопроводов для турбулентного режима течения жидкости
108
6.4. Разветвлённый трубопровод
Разветвлённым называется сложный трубопровод, состоящий из нескольких простых трубопроводов, имеющих одну точку разветвления (рис.
6.8). Расчёт такого трубопровода выполняют как аналитическим методом,
так и графоаналитическим.
Рис. 6.8. Схема разветвлённого соединения простых трубопроводов
Для определения параметров разветвлённого трубопровода его разбивают на ряд простых. Для каждого из трубопроводов составляют уравнение Бернулли относительно общей плоскости сравнения 0 – 0, сечения
выбирают в начале трубопровода (точка А) в конечных точках (точки С и
Е), и в точке разветвления (точка В). Пъезометрический напор в точке В
разветвления трубопровода будет одинаков для всех простых трубопроводов.
Составим уравнение Бернулли для сечений В и Е:
2
2
𝑝𝐵 𝛼𝐵 𝑉𝐵
𝑝𝐸 𝛼𝐸𝑉𝐸
𝑧𝐵 + +
= 𝑧𝐸 + +
+ ℎ𝐵𝐸 .
𝜌g
2g
𝜌g
2g
(6.7)
Так как трубопровод ВЕ простой, диаметры, а следовательно, скорости течения жидкости в сечениях В и Е одинаковы (VB = VA). Сумма геометрической и пъезометрической высоты есть статический напор в сечении В и Е:
𝐻𝐵 = 𝑧𝐵 +
𝑝𝐵
𝑝
, 𝐻𝐸 = 𝑧𝐸 + 𝐸 .
𝜌g
𝜌g
Тогда уравнение (6.7) с учётом того, что ℎпот = 𝐾𝑄𝑚 , для турбулентного режима движения жидкости примет вид:
𝐻𝐵 = 𝐻𝐸 + 𝐾2 𝑄22 .
Составив по аналогии уравнения для трубопроводов АВ и ВС, получим систему уравнений:
𝐻𝐵 = 𝐻𝐴 − 𝐾𝑄2 ,
𝐻𝐵 = 𝐻𝐶 + 𝐾1 𝑄12 ;
(6.8)
𝐻𝐵 = 𝐻𝐸 + 𝐾2 𝑄22 ;
{ 𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 .
109
Решая совместно систему уравнений (6.8) при необходимых известных параметрах трубопровода (геометрические параметры трубопровода и
давления в сечениях), можно определить неизвестный параметр (например,
расходы Q1 и Q2 в разветвлениях).
Рис. 6.9. Гидравлическая характеристика разветвлённого соединения
трубопровода для турбулентного режима течения жидкости:
1 – зависимость пъезометрического напора в точке В от расхода в трубопроводе ВС; 2 – зависимость пъезометрического напора в точке В от расхода в трубопроводе ВЕ; 3 – зависимость пъезометрического напора в точке В от расхода в трубопроводе АВ; (1+2) – зависимость пъезометрического напора в точке В от суммарного расхода в трубопроводе ВС и ВЕ;
R – точка пересечения графических характеристик 3 и (1+2), координаты
которой соответствуют полному расходу Q в трубопроводе и напору НВ
Для графоаналитического решения необходимо построить кривую
потребного напора разветвлённого трубопровода. Для определения основных параметров трубопровода необходимо выполнить следующие действия (рис. 6.9):
- построить кривые потребного напора для каждого простого трубопровода (кривые 1 и 2);
- произвести графическое сложение кривых 1 и 2 по оси абсцисс
(расхода) - по принципу сложения графиков функций для параллельного
трубопровода;
- точка пересечения R суммарной графической характеристики (2+3)
трубопроводов, отходящих от точки разветвления, и графической характеристики подводящего трубопровода, даёт значение расхода Q и напора HB
в точке разветвления;
- точки пересечения горизонтальной прямой, проведённой из точки
R, и кривых 1 и 2 (точки R1 и R2), дают значения расходов Q1 и Q2 в разветвлениях.
110
6.5. Трубопровод с насосной подачей жидкости
Для технических гидросистем основным способом принудительного
движения жидкости является применение насоса. Рассмотрим простой
трубопровод, в котором насос Н подаёт жидкость из приёмного бака А в
напорный бак В (рис. 6.10). Трубопровод, идущий от насоса, называют
напорным. Трубопровод, по которому насос всасывает жидкость, называют
всасывающим.
Рис. 6.10. Трубопровод с насосной подачей жидкости
Составим уравнение Бернулли для сечений 3 – 3 и 4 – 4 относительно плоскости сравнения 0 – 0, совпадающей с горизонтальной осью насоса.
Учтём, что на выходе (сечение 3 – 3) из насоса создаётся избыточное давление, скорость течения жидкости в баке В (сечение 4 – 4) примерно равна
нулю (V4 ≈ 0), давление на свободной поверхности жидкости в баке В – избыточное. Течение жидкости будем считать турбулентным, поэтому коэффициент Кориолиса для всего трубопровода α = 1. Диаметры напорного и
всасывающего трубопроводов примем равными, поэтому V1 = V2 = V3 = V.
Тогда уравнение Бернулли примет вид:
𝑝3 𝑉2
𝑝
0+ +
= ℎн + 4 + 0 + ℎ3−4 ,
𝜌g 2g
𝜌g
(6.9)
где hн – высота нагнетания жидкости насосом в напорном трубопроводе;
h3-4 – потери напора в напорном трубопроводе.
Составим уравнение Бернулли для всасывающего трубопровода для
сечений 1 – 1 и 2 – 2 относительно той же плоскости сравнения. Давление
на свободной поверхности жидкости в баке А атмосферное. Давление в сечении 2 – 2 на входе в насос будет избыточным. Тогда уравнение Бернулли
для давлений в избыточной системе отсчёта примет вид:
−ℎв + 0 + 0 = 0 +
𝑝2
𝜌g
+
𝑉2
2g
𝑝2 𝑉2
+ + ℎ1−2 , откуда
𝜌g 2g
= −(ℎв + ℎ1−2 ),
111
(6.10)
где hв – высота всасывания жидкости насосом.
h1-2 – потери напора во всасывающем трубопроводе.
Знак «–» при определении давления на входе в насос указывает на
вакуумметрическое давление.
Полная удельная энергия жидкости в трубопроводе:
𝑝3
- на выходе из насоса (6.9)
- на входе в насос (6.10)
𝜌g
𝑝2
𝜌g
+
+
𝑉2
𝑉2
2g
2g
= ℎн +
𝑝4
𝜌g
+ ℎ3−4 ;
= −(ℎв + ℎ1−2 ).
Приращение удельной энергии жидкости в насосе для единицы её веса называется напором насоса Нн:
𝑝3 𝑉2
𝑝
𝑝
𝑉2
+ ) − ( 2 + ) = ℎн + ℎв + 4 + ℎ1−2 + ℎ3−4 ,
𝜌g 2g
𝜌g 2g
𝜌g
𝑝
𝐻н = 𝐻г + 4 + ∑ ℎтр ,
𝜌g
𝐻н = (
где Нг – полная высота подъёма жидкости насосом, называемая геометрической высотой (𝐻г = ℎн + ℎв ).
Сумма геометрической и пъезометрической высоты есть статический
напор:
𝐻ст = 𝐻г +
𝑝4
.
𝜌g
Потери напора выразим через расход:
𝐿тр
𝑄
4𝑄
8𝑄2
𝑉3 =
=
, тогда ∑ ℎтр = (𝜆
+ ∑ ζм )
4 .
𝑆тр 𝜋𝑑2тр
𝑑тр
g𝜋2 𝑑тр
Тогда напор насоса будет равен:
𝐻н = 𝐻ст + 𝐾тр 𝑄2 ,
𝐾тр = (𝜆
(6.11)
𝐿тр
8
+ ∑ ζм )
4 ,
𝑑тр
g𝜋2 𝑑тр
где Kтр – величина сопротивления всего трубопровода.
Формула (6.11) для определения напора насоса Нн для подачи жидкости на статическую высоту Нст и преодоление гидравлических потерь,
идентична формуле потребного напора трубопровода (6.4):
𝐻н = 𝐻потр .
(6.12)
На полученном равенстве основан метод расчёта насосного трубопровода, который заключается в построении на одном графике напорной
характеристики насоса 𝐻н = 𝑓1 (𝑄) и потребной характеристики трубопровода 𝐻потр = 𝑓2 (𝑄). Точка пересечения этих характеристик называется рабочей точкой, для координат которой справедливо равенство (6.12).
112
Напор насоса Нн является функцией его объёмной подачи, то есть
объёма подаваемой жидкости в единицу времени – расхода Q.
Графическое нахождение рабочей точки для турбулентного режима
течения жидкости с насосной подачей изображено на рис. 6.11.
Рис. 6.11. Графическое нахождение рабочей точки для турбулентного режима течения жидкости с насосной подачей:
Нст – статический напор; 𝐻н = 𝑓1 (𝑄) – напорная характеристика насоса;
𝐻потр = 𝑓2 (𝑄) – потребная характеристика трубопровода; R – рабочая точка; HR и QR – напор и подача насоса в рабочей точке
6.6. Кавитационный расчёт насоса
Для любого насоса возникновение кавитации во всасывающем патрубке приводит к ухудшению характеристик насоса, в частности, значительному снижению напора и к разрушению рабочих органов насоса. Для
предупреждения возникновения кавитации абсолютное давление во входном патрубке насоса должно быть не ниже давления насыщенного пара рнп.
Так как давление рнп является величиной абсолютной, а давление во входном патрубке ниже атмосферного на величину вакуумметрического давления, можно записать условие, при котором будет обеспечиваться нормальная работа насоса:
𝑝ат − 𝑝вак ≥ 𝑝нп ,
(6.13)
где рвак – вакуумметрическое давление на входе в насос;
рнп – давление насыщенного пара при данной температуре.
Рассмотрим насос, расположенный на высоте hвс от свободной поверхности жидкости (рис. 6.12). Составим уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2 относительно плоскости сравнения 0 – 0, совпадающей со
свободной поверхностью жидкости в резервуаре. Уравнение составим для
давлений в абсолютной системе отсчёта, течение жидкости будем считать
турбулентным (α = 1), скорость на входе в насос в сечении 2 – 2 обозначим
как Vвс – скорость потока жидкости во всасывающем патрубке насоса:
𝑝ат
𝑝ат −𝑝вак 𝑉2вс
0+
+ 0 = ℎвс +
+
+ ℎ1−2 ,
𝜌g
𝜌g
2g
113
𝑝вак
𝜌g
= ℎвс +
2
𝑉вс
2g
+ ℎ1−2 ,
(6.14)
где hвс – высота всасывания;
h1-2 – потери напора во всасывающем трубопроводе;
L и d – длина и диаметр всасывающего трубопровода.
Рис. 6.12. Схема всасывающего трубопровода
Согласно (6.14), вакуумметрическая высота Нвак во всасывающем патрубке насоса определяется суммой всасывающей высоты, удельной кинетической энергией (скоростного напора) потока и гидравлических потерь
во всасывающем трубопроводе:
𝐻вак
𝑝вак
𝑉2вс
=
= ℎвс +
+ ℎ1−2 .
𝜌g
2g
(6.15)
Вакуумметрическое давление рвак во входном патрубке насоса не
должно превышать критического вакуумметрического давления рвак.кр, при
котором возможно возникновение кавитации:
𝑝вак ≤ 𝑝вак.кр = 𝑝ат − 𝑝нп , следовательно
𝑝ат −𝑝нп
𝜌g
Выражение
𝑝ат −𝑝нп
𝜌g
≥ 𝐻вак = ℎвс +
2
𝑉вс
2g
+ ℎ1−2 .
(6.16)
назовём критической вакуумметрической высо-
той Нкр.вак. Для обеспечения нормальной работы насоса назначают некоторое превышение критической вакуумметрической высоты на величину ∆h:
𝐻доп.вак = 𝐻кр.вак + ∆ℎ =
𝑝ат −𝑝нп
+ ∆ℎ,
𝜌g
(6.17)
где Hдоп.вак – допустимая вакуумметрическая высота;
∆h – кавитационный запас.
Критическую вакуумметрическую высоту, при которой возникает
кавитация в жидкости, определяют по результатам кавитационных испы114
таний насоса. Кавитационный запас ∆h составляет 20 … 30 % от критической вакуумметрической высоты:
𝐻доп.вак = (1,2 … 1,3)𝐻кр.вак ,
𝑝ат −𝑝вак 𝑉2вс 𝑝н.п
∆ℎ =
+
−
.
𝜌g
2g
𝜌g
Взаимосвязь высот Нкр.вак, Ндоп.вак и кавитационного запаса ∆h представлена на рис. 6.13.
Рис. 6.13. Схема к определению высот Нкр.вак, Ндоп.вак, ∆h
Согласно выражению (6.14), вакуумметрическое давление во входном патрубке насоса зависит от высоты всасывания, диаметра трубопровода и гидравлических потерь:
𝑝вак ~𝑓 (ℎвс ;
1
𝑑
4 ; ℎпот ).
Предельная высота всасывания hвс указывается в паспортных данных
насоса. Для гидроприводов автомобильной техники и машиностроительных гидроприводов характерно расположение насоса в баке, или бак располагают таким образом, что уровень жидкости в баке будет выше входного отверстия в насос. На свободной поверхности жидкости в баке может
быть создано избыточное давление.
Так как давление рвак на входе в насос обратно пропорционально
диаметру входного патрубка в четвёртой степени, диаметр входного отверстия в насос, как правило, больше выходного отверстия. Увеличение диаметра на входе приводит к снижению скорости течения жидкости и снижению значения вакуумметрического давления.
Для технических гидроприводов характерна малая длина всасывающего трубопровода, поэтому гидравлические потери по длине малы и
практически не оказывают влияния на работу гидропривода. Местные сопротивления могут оказывать значительное влияние. В частности, установка фильтра может быть причиной значительного вакуумметрического
давления. Поэтому на входе в насос устанавливают, как правило, фильтры
грубой очистки.
115
6.7. Гидравлический удар
При быстром закрытии запорного устройства (например, задвижки
или клапана) в напорном трубопроводе происходит резкое повышение
давления, связанное с уменьшением скорости движения жидкости до нуля,
и преобразованием кинетической энергии потока в потенциальную. Схема
гидравлического удара в трубопроводе приведена на рис. 6.14. Жидкость
по трубопроводу длиной L и диаметром d движется со скоростью V0, избыточное давление в трубопроводе р0 определяется высотой столба жидкости
h в резервуаре, открытом в атмосферу.
При быстром закрытии затвора давление в трубопроводе повысится
на величину ∆р. В результате жидкость будет сжиматься, диаметр трубопровода в результате деформации увеличится до значения d + ∆d. В трубопроводе образуется фронт ударной волны с давлением р + ∆р, перемещающейся от затвора к резервуару со скоростью С.
Рис. 6.14. Схема гидравлического удара в трубопроводе:
За фронтом ударной волны происходит выравнивание давления и
скорости потока, направленного в обратную сторону - к резервуару, до
начальных значений р0 и V0, стенки трубопровода и жидкость возвращаются в первоначальное состояние.
Так как жидкость движется от задвижки, происходит понижение
давления на величину (– ∆р), расширение жидкости и сжатие трубопровода. После достижения фронтом волны резервуара происходит движение в
прямом направлении (к задвижке) со скоростью V0 и давлением р0. При достижении задвижки возникает ситуация, соответствующая начальному
моменту при закрытии затвора.
В связи с упругими свойствами жидкости и материала стенок трубопровода, а также гидравлическими потерями на трение процесс носит затухающий характер (рис. 6.15).
116
Рис. 6.15. Циклограмма изменения давления при гидравлическом ударе
Время цикла, при котором происходит повышение и уменьшение
давления на величину ∆р, называется фазой гидравлического удара T:
𝑇=
2𝐿
,
𝐶
(6.18)
где L – длина трубы, по которой перемещается фронт ударной волны;
С – скорость перемещения ударной волны.
Если время закрытия задвижки tз < T, то есть трубопровод перекрывается практически мгновенно, происходит так называемый прямой гидравлический удар.
В этом случае повышение давления определяют по формуле Жуковского:
∆𝑝 = 𝜌𝑉0 𝐶,
(6.19)
𝐸
√ ж
𝐶=
𝜌
𝑑𝐸
√1+ ж
𝜌𝐸м
,
где Еж и Ем – модуль упругости жидкости и материала трубопровода;
d – диаметр трубопровода.
Если время закрытия задвижки tз > T, в момент возвращения ударной
волны через не перекрытую часть живого сечения потока успевает пройти
некоторый расход жидкости со скоростью V. Кинетическая энергия потока
уменьшается по сравнению с прямым ударом, и потенциальная энергия
станет меньше. Такой гидравлический удар называют непрямым гидравлическим ударом. В этом случае формула Жуковского преобразуется к виду:
𝐿
𝑡з
∆𝑝н = 2𝜌𝑉0 ,
(6.20)
где ∆рн – повышение давления в трубопроводе при непрямом гидроударе;
tз – время перекрытия живого сечения трубопровода.
При непрямом гидравлическом ударе величина ∆рн не зависит от
скорости С распространения ударной волны. Таким образом, чтобы
уменьшить повышение давления в трубопроводе, необходимо увеличить
время закрытия задвижки или клапана, перекрывающего живое сечение
потока в трубопроводе.
117
6.8. Примеры решения задач
Для сложного трубопровода, состоящего из n-го количества участков, справедливы следующие равенства:
- для последовательного соединения трубопровода (6.5)
𝑄 = 𝑄2 = 𝑄3 = ⋯ = 𝑄𝑛 = 𝑄;
{ 1
∑ ℎпот = ∑ ℎ1 + ∑ ℎ2 + ⋯ + ∑ ℎ𝑛 ;
- для параллельного соединения трубопроводов (6.6)
𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 + 𝑄3 + ⋯ + 𝑄𝑛 ;
{
∑ ℎпот = ∑ ℎ1 = ∑ ℎ2 = ⋯ = ∑ ℎ𝑛 .
На равенствах (6.5) и (6.6) основан способ определения параметров
сложного трубопровода - напора, расхода и геометрических параметров
трубопровода. Неизвестные параметры трубопровода могут быть определены аналитически или графоаналитически, построением характеристики
сложного трубопровода. Для этого необходимо выполнить следующие
действия:
- представить сложный трубопровод в виде соединения простых
участков;
- для каждого простого участка составить уравнение потребного
напора (6.4) или гидравлическую характеристику трубопровода (6.5)
𝐻потр = 𝐻ст + 𝐾𝑄𝑚 ,
ℎпот = 𝐾𝑄𝑚 .
С достаточной точностью можно принять:
- для ламинарного режима
𝐾=
128𝜈𝐿расч
𝜋g𝑑
4
, m = 1, 𝐿расч = 𝐿 + 𝐿экв ,
где Lэкв – длина, эквивалентная всем местным гидравлическим сопротивлениям в трубопроводе;
- для турбулентного режима
𝐿
𝑑
𝐾 = (𝜆 + ∑ ζм )
8
4
𝜋2 𝑑 g
, m = 2.
При аналитическом определении неизвестных параметров трубопровода составляют систему уравнений, где количество неизвестных не превышает количество уравнений, например, система уравнений для разветвлённого трубопровода (6.8).
При графоаналитическом определении неизвестных параметров
необходимо построить характеристику сложного трубопровода. Для этого
необходимо:
- рассчитать и построить характеристики каждого простого участка
трубопровода;
- провести графическое сложение характеристик последовательных
участков по оси расхода, или сложение характеристик параллельных
участков по оси напора (оси ординат).
118
Для разветвлённого трубопровода сложение характеристик проводят
по правилу сложения характеристик параллельного трубопровода.
Задачи на расчёт простого трубопровода можно разбить на три типа:
Первый тип. Даны:
- расход жидкости Q в трубопроводе;
- все геометрические размеры (длина L, диаметр d и геометрическая
высота h);
- эквивалентная шероховатость труб ∆Э;
- давление или напор в конечном сечении (для всасывающих трубопроводов - в начальном);
- параметры жидкости (плотность ρ и кинематическая вязкость ν).
Местные сопротивления либо заданы коэффициентами ζм или эквивалентными длинами Lэкв, либо оцениваются по справочным данным.
Требуется найти потребный напор Нпотр.
В этом случае задачу решают в следующей последовательности:
- по известным значениям Q, d и ν находят число Рейнольдса Rе и
определяют режим течения жидкости;
- при ламинарном режиме течения искомый напор определяют по
формуле (6.4), где коэффициент K определяют по формуле для ламинарного режима;
- при турбулентном режиме задачу решают по той же формуле (6.4),
где коэффициент K определяют по формуле для турбулентного режима.
Коэффициент λ определяют по соответствующим формулам (4.6), (4.7) или
(4.8) в зависимости от соотношения толщины вязкого подслоя потока δ и
размера эквивалентной шероховатости ∆Э.
Второй тип. Даны: напор Нрасп, который будем называть располагаемым, так как он известен, и все величины, перечисленные в первом типе
задач, кроме расхода Q. Так как число Рейнольдса в данной задаче определить нельзя, то необходимо выразить расход Q через критическое число
Рейнольдса Rе = 2300 и определить Нкр, соответствующее смене режима.
Сравнив Нкр и Нрасп, можно легко определить режим течения.
При ламинарном режиме задача решается просто, как и в задаче первого типа. При турбулентном режиме задача решается по формулам (6.3) и
(6.4).
В уравнении (6.4) содержатся два неизвестных - расход Q и коэффициент λт, зависящие от числа Рейнольдса. Для решения задачи задают значение коэффициента λт с учётом шероховатости и определяют его по формуле Альтшуля при Rе → ∞:
∆
𝜆т = 0,11 ( Э)
𝑑
0,25
.
Значение коэффициента λт изменяется в небольших пределах (λт =
0,015 … 0,045).
119
Затем, решая уравнение (6.4), находят расход Q в первом приближении. По найденному расходу Q определяют Rе в первом приближении, а по
Rе – уже более точное значение λт. Обычно бывает достаточно второго
приближения.
Для решения этой же задачи графическим способом строят кривую
потребного (располагаемого) напора для данного трубопровода с учётом
переменности λт, то есть для ряда значений Q подсчитывают V, Rе, λт и
Нпотр. Затем, построив кривую Нпотр = f(Q), и зная ординату Нпотр = Нрасп,
находят соответствующую ей абсциссу, то есть находят расход Q.
Третий тип. Даны: расход Q, располагаемый напор Нрасп, и все величины, перечисленные ранее, кроме диаметра трубопровода d, который и
нужно определить.
Так как число Рейнольдса определить нельзя, то выражают диаметр
через критическое число Рейнольдса Rе = 2300 и определяют Нкр, соответствующее смене режима движения жидкости. Сравнивая Нкр и Нрасп, определяют режим течения.
При ламинарном режиме задача решается просто по соответствующим формулам.
При турбулентном режиме задачу решают графически. При этом задаются рядом значений диаметра d, по которым подсчитывают Нпотр. Затем
строят график Нпотр= f(d) и по нему, зная Нрасп, определяют диаметр d.
Задача 6.8.1. На рисунке показан всасывающий трубопровод гидросистемы. Длина трубопровода L = 1 м, диаметр d = 20 мм, расход жидкости
Q = 0,314 л/с, абсолютное давление воздуха на свободной поверхности
жидкости в баке р0 = 100 кПа, высота h = 1 м, плотность жидкости (масло
индустриальное при 25°С) ρ = 900 кг/м3. Коэффициент сопротивления поворота ζпов = 0,42.
Определить абсолютное давление перед входом в насос при температуре рабочей жидкости t1 = 25°С (ν = 0,2·10-4 м2/с). Определить, как изменится искомое давление в зимнее время, когда при этом же расходе температура жидкости упадет до t2 = –35°С (ν = 10·10-4 м2/с).
Рис. 6.16. Схема к задаче 6.8.1
120
Определим скорость течения жидкости в трубе V2 из уравнения расхода (3.2):
−3
𝑄
4𝑄
4×0,314×10
𝑉2 =
=
=
𝑆тр 𝜋𝑑2
3,14×0,022
= 1 м/с.
Определим число Рейнольдса (3.15):
𝑅𝑒 =
𝑉2 𝑑
1×0,02
=
−4 = 1000.
𝜈
0,2×10
Режим движения жидкости ламинарный (Re < 2300, α = 2), поэтому
потери по длине hдл определим по формуле Пуазейля (4.5):
ℎдл
128𝜈𝐿
−4
128×0,2×10 ×1
−3
=
= 0,163 м.
4 𝑄=
4 × 0,314 × 10
3,14×9,8×0,02
𝜋g𝑑
Потери в местных сопротивлениях определим по формуле Вейсбаха
(4.10). Для местных потерь напора при втекании в бак (внезапное сужение
ζвс = 0,5, так как 𝑆1 ≫ 𝑆2 ), и на повороте:
𝑉22
12
∑ ℎм = (ζвс + ζпов ) = (0,5 + 0,42)
= 0,047 м.
2g
2×9,8
Общие потери напора
ℎпот = ℎдл + ∑ ℎм = 0,163 + 0,047 = 0,21 м.
Составим уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2, проведя
плоскость сравнения 0 - 0 по оси горизонтального участка трубы, откуда
выразим абсолютное давление р2 перед входом в насос:
2
𝑝0
𝑝2 𝛼2 𝑉2
ℎ+ +0=0+ +
+ ℎпот , откуда
𝜌g
𝜌g
2g
𝛼2 𝑉22
𝑝2 = 𝜌g(ℎ − ℎпот ) + 𝑝0 − 𝜌
=
2
2×12
= 900 × 9,8(1 − 0,21) + 100000 − 900
= 106,07 кПа.
2
Подсчитаем потери по длине при t2 = –35°С:
ℎдл
128×10×10−4 ×1
−3
=
= 8,16 м.
4 𝑄=
4 × 0,314 × 10
3,14×9,8×0,02
𝜋g𝑑
128𝜈𝐿
Общие потери напора ℎпот = ℎдл + ∑ ℎм = 8,16 + 0,047 = 8,21 м.
Тогда искомое давление при при t2 = –35°С:
2×12
𝑝2 = 900 × 9,8(8,21 − 0,21) + 100000 − 900
= 28,54 кПа.
2
Давление на входе в сечении 2 – 2 ниже атмосферного на давление
вакуума рвак = р2 – рат = 28540 – 100000 = 71,46 кПа.
121
Задача 6.8.2. По трубопроводу диаметром d = 10 мм и длиной
L = 10 м подаётся жидкость вязкостью ν = 0,0001 м2/с под действием перепада давления ∆р = 4 МПа, плотность жидкости ρ = 1000 кг/м3. Определить
режим течения жидкости в трубопроводе.
Определим расход жидкости в трубопроводе. Поскольку потери в
трубопроводе будут равны разности пъезометрических высот, то с учётом
формулы Пуазейля (4.5):
ℎдл =
128𝜈𝐿
𝜋g𝑑
4
𝑄=
𝑝1 −𝑝2 ∆𝑝
=
, откуда
𝜌g
𝜌g
4
4
∆𝑝𝜋𝑑
4 000 000×3,14×0,01
𝑄=
=
= 0,98 л/с.
128𝜈𝐿𝜌 128×0,0001×10×1000
Теперь определим критический расход Qкр при критическом значении числа Рейнольдса Rе = 2300:
𝑄
4𝑄
= 2 , откуда
𝑆тр 𝜋𝑑
𝜋𝑑𝜈𝑅𝑒кр 2300×3,14×0,01×0,0001
=
=
= 1,8 л/с.
4
4
𝑉=
𝑄кр
Поскольку Q < Qкр, значит, режим течения жидкости - ламинарный.
Задача 6.8.3. Определить потребный напор Нпотр, который необходимо создать в сечении 0 – 0 для подачи в бак воды плотностью ρ = 1000
кг/м3 и вязкостью ν = 0,0157 Cт, если длина трубопровода L = 80 м, его
диаметр d = 50 мм, расход жидкости Q = 15 л/с, высота h = 30 м, избыточное давление в баке р0 = 0,2 МПа, коэффициент сопротивления крана ζкр =
5, поворота ζпов = 0,8, эквивалентная шероховатость внутренних стенок
трубы ∆Э = 0,04 мм. Внутреннюю поверхность трубы считать гидравлически шероховатой.
Рис. 6.17. Схема к задаче 6.8.3
122
Составим уравнение Бернулли для сечений 0 – 0 и 1 – 1 относительно плоскости сравнения, совпадающего с сечением 0 – 0:
2
𝑝0 𝛼0 𝑉0
𝑝
0+ +
= ℎ + 1 + 0 + ℎпот ,
𝜌g
2g
𝜌g
𝑝0
𝐻потр =
,
𝜌g
𝐻потр
2
𝑝1 𝛼0 𝑉0
=ℎ+ −
+ ℎпот .
𝜌g
2g
Определим число Рейнольдса, воспользовавшись уравнениями (3.15)
и (3.2):
−3
𝑉0 𝑑
4𝑄
4×15×10
𝑅𝑒 =
=
=
= 243420.
𝜈
𝜋𝑑𝜈 3,14×0,05×0,0157×10−4
Поскольку режим течения турбулентный (α0 = 1), то потери напора
по длине определим по формуле Дарси – Вейсбаха (4.3):
2
ℎдл
𝐿𝑉
= 𝜆 0.
𝑑 2g
Для определения потерь напора по длине определим скорость V0 течения жидкости и коэффициент гидравлического трения λ:
- скорость течения жидкости 𝑉0 =
4𝑄
𝜋𝑑
2
=
4×15×10−3
3,14×0,05
2
= 7,64 м/с;
- коэффициент λ по формуле Альтшуля (4.7)
68 ∆Э 0,25
68
0,04 0,25
𝜆 = 0,11 ( + )
= 0,11 (
+
) = 0,02.
𝑅𝑒
𝑑
243420
50
80
7,642
Тогда потери по длине ℎдл = 0,02 ×
×
= 95,3 м.
0,05 2×9,8
Местные потери напора (с учетом внезапного расширения ζр = 1) будут равны:
∑ ℎм = (ζкр + 4ζпов + ζвр )
𝑉20
7,642
= (5 + 4 × 0,8 + 1)
= 27,4 м.
2g
2×9,8
Общие потери напора
ℎпот = ℎдл + ∑ ℎм = 95,3 + 27,4 = 122,7 м.
Тогда потребный напор равен:
𝐻потр = 80 +
200000
7,642
−
+ 122,7 = 220 м.
1000×9,8 2×9,8
Избыточное давление, необходимое для создания Нпотр = 220 м, будет
равно:
𝑝0 = 𝜌g𝐻потр = 1000 × 9,8 × 220 = 2,165 МПа.
123
Задача 6.8.4. Определить расход Q в трубе для подачи воды (вязкость ν = 0,01 Ст, плотность ρ = 1000 кг/м3) на высоту h = 16,5 м, если диаметр трубы d = 10 мм, длина L = 20 м, располагаемый напор в сечении 1 –
1 трубы перед краном Нрасп = 20 м, коэффициент сопротивления крана ζкр =
4, поворота ζпов = 1. Трубу считать гидравлически гладкой.
Рис. 6.18. Схема к задаче 6.8.4
Уравнение Бернулли для сечений 1 – 1 и 2 – 2 относительно плоскости сравнения 0 – 0, совпадающей с горизонтальной осью трубы:
2
𝑝1 +𝑝ат 𝛼1 𝑉1
𝑝
0+
+
= ℎ + ат + 0 + ℎпот , или
𝜌g
2g
𝜌g
𝑝1
𝜌g
+
𝛼1 𝑉12
2g
= ℎ + ℎпот .
Располагаемый напор Нрасп будет равен:
𝐻расп =
𝐻расп
𝑝1
,
𝜌g
𝛼1 𝑉21
= ℎ + ℎпот −
.
2g
Выразим скорость V1 через расход Q из уравнения расхода и подставим в скоростной напор
𝛼1 𝑉12
2g
. Тогда:
𝐻расп = ℎ + ℎпот −
8𝛼1 𝑄2
4
𝜋2 𝑑 g
.
Гидростатический напор в данном случае равен геометрической высоте h (Нст = h). Потери напора
ℎпот = 𝐾𝑄𝑚 ,
𝐿
𝑑
𝐾 = (𝜆 + ∑ ζм )
= [𝜆
8
4
𝜋2 𝑑 g
=
20
8
+ (ζкр + ζпов + ζвр )]
=
2
0,01
3,14 ×0,014 ×9,8
= (𝜆 × 2000 + 4 + 1 + 1)8,28 × 106 = 𝜆 × 1,656 × 1010 + 49,7 × 106 .
124
С учётом уравнения для определения располагаемого напора можно
записать:
ℎпот = 𝐾𝑄
𝑚
2
= 𝐻расп − ℎ +
8𝛼1 𝑄
4
𝜋2 𝑑 g
2
= 20 − 16,5 +
2
8𝛼1 𝑄
4
3,14 ×0,01 ×9,8
=
= 3,5 + 𝛼1 𝑄2 × 8,28 × 106 .
Предположим, что режим движения жидкости - турбулентный (α = 1,
m = 2). Тогда в этом уравнении два неизвестных - Q и λт, взаимосвязь между которыми определяется зависимостью:
𝑄2 (𝜆 × 1,656 × 1010 + 49,7 × 106 ) = 3,5 + 𝑄2 × 8,28 × 106 ;
𝑄2 (𝜆 × 1,656 × 1010 + 49,7 × 106 − 8,28 × 106 ) = 3,5 = 𝐻расп − ℎ;
𝑄2 (𝜆 × 1,656 × 1010 + 41,42 × 106 ) = 𝐻расп − ℎ = 3,5.
Решим задачу методом последовательных приближений, задаваясь
значениями коэффициента λт (λт находится в пределах 0,015 … 0,045).
Пусть λт = 0,03. Тогда, выразив число Рейнольдса Rе из формулы Блазиуса
(4.6) для гидравлически гладких труб, получим:
0,3164 4
𝑅𝑒 = (
) = 12310 > 𝑅𝑒кр = 2300.
𝜆т
Предположение о турбулентном режиме движении жидкости верно.
Определим скорость V1 и расход Q при Rе = 12310 (λт = 0,03):
𝑅𝑒𝜈 12310×0,01×10−4
𝑉1 =
=
= 1,23 м/с,
𝑑
0,01
2
𝜋𝑑
3,14×0,012
𝑄 = 𝑉1
= 1,23
= 0,096·10−3 м3/с.
4
4
Тогда:
(0,096 × 10−3 )2 (0,03 × 1,656 × 1010 + 41,42 × 106 ) = 4,96 м,
что не соответствует разности 𝐻расп − ℎ = 3,5 м.
Примем значение λт = 0,032. Тогда:
Rе = 9509; V1 = 0,95 м/с; Q = 0,075·10−3 м3/с,
(0,075 × 10−3 )2 (0,032 × 1,656 × 1010 + 41,42 × 106 ) = 3,21≠ 3,5 м.
Примем значение λт = 0,0316. Тогда:
Rе = 10 000; V1 = 1 м/с; Q = 0,078·10−3 м3/с,
(0,078 × 10−3 )2 (0,0316 × 1,656 × 1010 + 41,42 × 106 ) = 3,5,
что соответствует 𝐻расп − ℎ = 3,5 м.
Итак, методом последовательных приближений значение расхода
Q = 0,078·10−3 м3/с.
Решим эту же задачу графическим методом. Для этого построим зависимость Нрасп = f(Q). Выберем ряд значений для расхода Q. Уравнение
располагаемого напора представим в виде:
125
𝐻расп
𝑉21
= 𝐻ст + 𝐾𝑄 −
,
2g
2
10
𝐻расп = 16,5 + (𝜆т × 1,656 × 10
+ 49,7 × 10
6 )𝑄 2
𝑉21
−
.
2g
Результаты расчётов сведём в таблицу 4.
Таблица 4
Значения параметров для построения графической зависимости Нрасп = f(Q)
Q, × 10−3 ,
м3/с
𝑉1 =
4𝑄
𝜋𝑑
м/с
2
,
𝑅𝑒 =
𝑉𝑑
𝜈
𝜆т =
0,3164
𝑅𝑒
0,25
𝐻расп = 𝐻ст +
𝑉21
+𝐾𝑄 −
,м
2g
2
0,05
0,64
6400
0,035
18
0,07
0,89
8900
0,0325
19,34
0,09
1,14
11400
0,03
20,86
0,11
1,40
14000
0,029
22,8
0,13
1,65
16500
0,0278
25
0,15
1,91
19100
0,0269
27,5
Рис. 6.19. Графическая зависимость Нрасп = f(Q)
Из построенного графика видно, что при располагаемом напоре
Нрасп = 20 м расход жидкости составит Q = 0,078 л/с, что соответствует
определению расхода методом подбора.
126
Задача 6.8.5. При каком диаметре трубопровода подача насоса составит Q = 1 л/с, если на выходе из него располагаемый напор Нрасп = 9,6 м,
длина трубопровода L = 10 м, эквивалентная шероховатость ∆Э = 0,05 мм,
избыточное давление в баке р1 = 30 кПа, высота h = 4 м, вязкость жидкости
ν = 0,015 Ст (0,015 × 10−4 м2/с), плотность ρ = 1000 кг/м3. Местными гидравлическими сопротивлениями в трубопроводе пренебречь. Учесть потери при входе в бак.
Рис. 6.20. Схема к задаче 6.8.5
Составим уравнение Бернулли для сечений 0 – 0 и 1 – 1 относительно плоскости сравнения, совпадающей с сечением 0 – 0:
2
𝑝0 𝛼0 𝑉0
𝑝
0+ +
= ℎ + 1 + 0 + ℎпот , где
𝜌g
2g
𝜌g
- потери напора ℎпот
𝑉20
𝐿
= (𝜆 + ζвр ) ;
𝑑
2g
- коэффициент потерь ζвр
𝑆1 2
= (1 − ) = 1, так как S2 ≫ S1;
𝑆2
𝛼0 𝑉20
𝑝0
- располагаемый напор 𝐻расп =
= 𝐻ст + ℎпот −
;
𝜌g
2g
𝑝
30000
- статический напор 𝐻ст = ℎ + 1 = 4 +
= 7 м.
𝜌g
1000×9,8
Уравнение Бернулли примет вид:
𝐻расп
𝑉20
𝐿
= 𝐻ст + (𝜆 + 1 − 𝛼0 ) .
𝑑
2g
Выразим скорость V0 течения жидкости через расход Q:
𝑉=
𝑄
4𝑄
= 2 , тогда
𝑆тр 𝜋𝑑
127
2
𝐿
8𝑄
= (𝜆 + 1 − 𝛼0 )
4 ,
𝑑
𝜋2 𝑑 g
𝐻расп − 𝐻ст
2
ℎпот
𝐿
8𝑄
= (𝜆 + 1 − 𝛼0 )
4 = 9,6 − 7 = 2,6 м.
𝑑
𝜋2 𝑑 g
Определим режим течения жидкости. Для этого определим диаметр
d трубопровода при Rе = 2300. Воспользовавшись формулой Пуазейля
(4.5), сравним получаемую разность напоров с заданной Нрасп – Нст:
4𝑄
4×1×10−3
𝑑=
=
= 0,37 м,
𝜋𝜈𝑅𝑒 3,14×0,015×10−4 ×2300
ℎпот
−4
128𝜈𝐿
128×0,015×10 ×10
=
× 1 × 10−3 = 3,33 × 10−6 м ≠2,6 м.
4 𝑄=
4
3,14×9,8×0,37
𝜋g𝑑
Режим течения, определяемый расходом Q =1 л/с, будет турбулентным (α0 = 1). Тогда потери напора определим по формуле:
ℎпот
𝐿 8𝑄2
= 𝜆т
= 2,6 м,
𝑑 𝜋2 𝑑4 g
68 ∆Э 0,25
𝜆т = 0,11 ( + ) .
𝑅𝑒
𝑑
Решим задачу графически. Для этого, задаваясь значениями диаметра d, определим разность напоров Нрасп – Нст по уравнению:
𝐻расп − 𝐻ст
𝐿
8𝑄2
= 𝜆т ×
.
𝑑 𝜋2 𝑑4 g
Таблица 5
Значения параметров для построения графической зависимости
Нрасп – Нст = f(d)
d, мм
𝑅𝑒 =
4𝑄
𝜋𝑑𝜈
68 ∆Э 0,25
+ )
𝑅𝑒
𝑑
𝜆т = 0,11 (
𝐻расп − 𝐻ст
𝐿
8𝑄2
= 𝜆т ×
𝑑 𝜋2 𝑑4 g
10
85000
0,03
248,1
15
56600
0,0285
31
20
42500
0,0278
7,66
25
34000
0,0276
2,36
30
28300
0,0277
0,95
35
24290
0,028
0,45
Для более точного построения графика зададим дополнительные
значения диаметра d в пределах 21 … 24 мм.
128
d, мм
21
22
23
24
𝑅𝑒 =
4𝑄
𝜋𝑑𝜈
40440
38636
36956
35386
68 ∆Э 0,25
𝜆т = 0,11 ( + )
𝑅𝑒
𝑑
2
𝐻расп − 𝐻ст
0,0277
0,02772
0,02768
0,02767
𝐿
8𝑄
= 𝜆т ×
𝑑 𝜋2 𝑑4 g
5,7
4,4
3,6
2,9
По полученным данным построим график Нрасп – Нст = f(d):
Рис. 6.21. График зависимости Нрасп – Нст = f(d)
При Нрасп – Нст = 2,6 м диаметр трубопровода d = 24,5 мм.
Задача 6.8.6. Трубопровод с расходом жидкости Q = 0,32 л/с в точке М разветвляется на два трубопровода: первый размерами L1 = 1,0 м и
d1 = 10 мм; второй размерами L2 = 2,0 м и d2 = 8 мм. В точке N эти трубопроводы смыкаются. Во втором трубопроводе установлен фильтр, сопротивление которого эквивалентно сопротивлению в трубе длиной Lэ = 200d2.
Определить расход и потери давления в каждом трубопроводе, если плотность жидкости ρ = 900 кг/м3, кинематическая вязкость ν = 1 Ст. Течение
жидкости считать ламинарным.
Рис. 6.22. Схема к задаче 6.8.6
129
Определим расход Q1 и Q2 в каждом трубопроводе по формуле (4.5):
ℎпот1 =
ℎпот2 =
128𝜈𝐿1
4
𝑄1 ,
𝜋g𝑑1
128𝜈(𝐿2 +200𝑑2 )
4
𝜋g𝑑2
𝑄2 .
Так как при параллельном соединении трубопроводов потери в них
равны (hпот1 = hпот2), то после сокращения одинаковых величин получим:
𝐿1
(𝐿2 +200𝑑2 )
𝑑1
𝑑24
4 𝑄1 =
𝑄2 ,
𝑄1 = 8,79𝑄2 .
Сумма расхода в точке М в данном случае будет равна сумме расходов в параллельных трубопроводах:
𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2 = 8,79𝑄2 + 𝑄2 , откуда
𝑄2 =
Потери давления:
∆𝑝1 =
128𝜈𝜌𝐿1
4
𝜋𝑑1
𝑄1 = 8,79𝑄2 = 0,287 л/с.
128×1×10−4 ×900×1
𝑄1 =
× 0,287 × 10−4 = 105 кПа,
4
3,14×0,01
128𝜈𝜌(𝐿2 +200𝑑2 )
∆𝑝2 =
=
𝑄
= 0,0327 л/с,
9,79
4
𝜋𝑑2
128×1×10−4×900×(2+200×0,008)
3,14×0,008
4
130
𝑄2 =
× 0,0327 × 10−4 = 10,54 кПа.
7. Основы работы гидропневмопривода
Гидравлическим (пневматическим) приводом называют совокупность гидравлических или пневматических машин, аппаратов и линий,
служащих для передачи энергии и преобразование движения выходного
звена посредством рабочей среды (жидкости в гидроприводе или воздуха в
пневмоприводе).
Источником энергии в пневмоприводе является компрессор, в гидроприводе - насос. Компрессор или насос преобразуют подводимую к ним
механическую энергию (например, от электродвигателя или двигателя
внутреннего сгорания) в энергию сжатого воздуха или гидравлическую
энергию движущейся жидкости.
Потребителем энергии пневмо- или гидропривода являются пневмоили гидродвигатели, которые преобразуют энергию рабочей среды в механическую энергию.
По назначению различают гидросистемы:
- собственно гидросистемы для создания напора рабочей жидкости
(например, система охлаждения и система смазки автомобиля, система
топливоподачи, работа стеклоочистителя, автомойка);
- гидропривод для преобразования механической энергии входного
звена в механическую энергию выходного звена посредством гидравлической энергии потока рабочей жидкости (например, гидроусилитель руля,
тормозная система автомобиля, гидропривод подъёма кузова автомобиля,
работа гидротрансформатора АКПП).
Гидравлические системы автомобилей и гаражного оборудования,
как и другие гидравлические системы, реализуют свою работу за счёт
энергии потока рабочей жидкости. Удельная энергия потока жидкости
(энергия единицы веса объёма жидкости) определяется уравнением Бернулли. Передачу энергии за счёт жидкости можно осуществить путём изменения любого из членов этого уравнения:
𝑝
𝑉2
𝐻=𝑧+ +
,
𝜌g 2g
где H – полная удельная энергия потока рабочей жидкости (полный
напор);
z – удельная потенциальная энергия положения;
𝑝
𝜌g
𝑉2
2g
– удельная потенциальная энергия давления (пъезометрический напор);
– удельная кинетическая энергия потока рабочей жидкости (скоростной
напор).
В зависимости от вида используемой в гидромашинах энергии гидравлические системы делят на гидростатические (объёмные) и гидродинамические.
131
Гидростатический (объёмный) привод. В этом приводе гидромашины в основе своего действия используют потенциальную энергию потока
𝑝
жидкости (𝜌g), которая легко преобразуется в механическую работу с помощью гидродвигателей (например, гидроцилиндров). Доля геометриче𝑉2
ского напора (z) и кинетической энергии ( ) для этих приводов не пре2g
вышает 1 … 1,5% полной энергии жидкости, и поэтому не учитывается.
Гидравлический привод, использующий потенциальную и кинетическую энергию движения жидкости (
𝑝
𝜌g
𝑉2
+ 2g ), называют гидродинамиче-
ским.
Использование различных видов энергии объёмным и гидродинамическим приводом объясняется применением различных конструкций гидромашин, а также выполняемых задач. В объёмном гидроприводе используют объёмные гидромашины, а в гидродинамическом – лопастные.
Пневматические компрессоры также в зависимости от вида создаваемой энергии (потенциальной энергии давления или кинетической энергии
воздушного потока) различают объёмного или динамического типа.
Например, пневмосистемы тормозного привода грузовых автомобилей,
привода движения дверей автобуса, являются системами объёмного типа.
7.1. Работа пневмосистем
Пневматический привод – это устройство для преобразования энергии сжатого воздуха в механическую энергию. Рабочим телом пневмопривода является сжатый воздух – смесь газов.
Процессы сжатия и расширения газов подчиняются законам Бойля –
Мариотта и Гей – Люссака.
Пневмосистема – это техническая система, состоящая из механических устройств, которые находятся в контакте со сжатым воздухом. В состав пневмосистем входят:
- компрессорная установка;
- блок подготовки сжатого воздуха;
- пневматический привод.
Компрессорная установка включает компрессорный агрегат, состоящий из компрессора с приводом, и дополнительные устройства, обеспечивающие получение сжатого воздуха и размещение его в ресивере с последующим его наполнением в процессе работы пневматического привода.
Блок подготовки сжатого воздуха обеспечивает необходимые условия для работы пневмопривода. К необходимым условиям относят фильтрацию и осушение сжатого воздуха, обеспечение потребителя номинальным давлением, при необходимости увлажнение сжатого воздуха масляным туманом.
132
Один из возможных вариантов схемы пневмопривода представлен на
рис. 7.1.
Рис. 7.1. Схема пневматической системы (вариант):
Ф1 – фильтр с воздухозаборником; КМ – компрессор; АТ – аппарат теплообменный (холодильник); Ф2, Ф3 – фильтр – влагоотделитель; КО – клапан
обратный; РС – ресивер; КП – клапан предохранительный; МН1, МН2 – манометр; ВД – влагоотделитель (конденсатоотводчик); КР – клапан редукционный; МР – маслораспылитель; Р – распределитель; М – пневмомотор;
Г – пневмоглушитель
Компрессор КМ, забирая воздух из атмосферы через воздухозаборник с фильтром Ф1, сжимает его до необходимого давления. При работе
компрессора происходит нагрев сжимаемого воздуха до 100 ºС, поэтому
после компрессора устанавливают теплообменник (охладитель) АТ, где
воздух охлаждается до температуры окружающей сред. Воздух в компрессор поступает загрязнённым. В компрессоре воздух насыщается парами
масла. Для очистки и сушки сжатого воздуха на выходе из компрессора
служит фильтр - влагоотделитель Ф2. Ресивер РС служит для запаса сжатого воздуха и сглаживания пульсаций давления, создаваемых при работе
компрессора. Предохранительный клапан КП ограничивает величину давления сжатого воздуха в ресивере, периодически спуская воздух из ресивера в атмосферу. Электроконтактный манометр М1 автоматически отключает работу компрессора при достижении необходимого давления в ресивере, и включает при падении давления ниже заданного значения. Влаго133
отделитель ВД необходим для слива конденсата, образующегося в ресивере при расширении сжатого воздуха.
Редукционный клапан КР обеспечивает подачу к потребителю сжатого воздуха при постоянном давлении, пониженном (редуцированном) по
сравнению с давлением воздуха в ресивере. Манометр М2 служит для контроля настройки необходимого давления в пневмосети. Так как сжатый
воздух имеет очень низкую смазывающую способность, для предотвращения возможного заклинивания подвижных элементов пневматических
устройств, а также для смазывания резиновых мембран пневмоаппаратов,
на пути сжатого воздуха устанавливают маслораспылитель МР.
При включении распределителя Р сжатый воздух от блока подготовки поступает к потребителю. В изображённом на рис. 7.1 варианте потребителем является пневмомотор М. Глушитель Г необходим для снижения
звуковых импульсов на выходе пневмосистемы, причиной которых является турбулизация потока воздух.
7.2. Объёмный гидропривод
Объёмный гидропривод (ОГП) – это совокупность объёмных гидромашин, гидроаппаратов и вспомогательных устройств, предназначенных
для передачи энергии и преобразования движения выходного звена посредством энергии рабочей жидкости. Структурная схема объёмного гидропривода изображена на рис. 7.2.
Рис. 7.2. Структурная схема объёмного гидропривода
Входным звеном гидропривода является вал насоса, выходным – вал
гидромотора или шток гидроцилиндра, т. е. это звено гидропривода, совершающее полезную работу. Приводящий двигатель (как правило, электродвигатель или ДВС) преобразует механическую энергию вращения вала
в гидравлическую энергию потока рабочей жидкости посредством насоса.
Входными параметрами насоса являются вращающий момент М (Н∙м) и
частота вращения вала n (об/мин), выходными – расход Q (л/мин) и номинальное давление р (МПа).
В качестве гидродвигателя может использоваться гидромотор, выходными параметрами которого являются вращающий момент М и частота
вращения вала n, или гидроцилиндр, выходными параметрами которого
являются усилие F (кН) и скорость перемещения штока V (м/мин). Частота
134
вращения вала насоса или вала гидромотора часто обозначается угловой
скоростью ω (рад/сек или рад-1), связь которой с частотой оборотов n определяется выражением:
𝜔=
2𝜋𝑛 𝜋𝑛
=
.
60
30
(7.1)
Гидроаппаратура служит для управления и регулирования параметров гидропередачи (давления, расхода, направления движения). К вспомогательным устройствам относят:
- устройства для очистки рабочих жидкостей (фильтры, сепараторы);
- аппараты и приборы для контроля давления (манометры, реле давления и переключатели для них);
- теплообменники (нагреватели и охладители жидкости);
- уплотнения (манжеты, сальники, уплотнительные кольца, прокладки);
- гидролинии (жёсткие и гибкие трубопроводы, каналы);
- аккумуляторы (ёмкости, предназначенные для аккумулирования
энергии рабочей жидкости);
- гидробаки (ёмкости, предназначенные для создания запаса рабочей
жидкости).
Принцип действия объёмного гидропривода основан на использовании двух главных свойств рабочей жидкости:
- жидкость практически несжимаема;
- она обладает свойством передавать давление по всем направлениям
без изменения (закон Паскаля).
Работу объёмного гидропривода рассмотрим на примере простейшей
гидропередачи - гидравлического домкрата (рис. 7.3).
Рис. 7.3. Схема гидравлического домкрата:
1 – малый гидроцилиндр (насос); 2 – плунжер; 3 – большой гидроцилиндр
(гидродвигатель); 4 – поршень; 5 – рычаг; 6 – напорная гидролиния
В соответствии с законом Паскаля, пренебрегая при этом гидравлическими сопротивлениями, разностью масс плунжера и поршня, а также
трением плунжера и поршня в уплотнениях цилиндров, заключаем, что
135
давление в цилиндре 1 и в цилиндре 3 согласно свойствам гидростатики
будут одинаковы (p1 = p2 = p):
𝑝=
𝐹1 𝐹2
=
,
𝑆1
𝑆2
(7.2)
где S1 и S2 – рабочая площадь плунжера 2 и поршня 4 соответственно.
Из уравнения (7.2) следует, что 𝐹2 = 𝐹1
𝑆2
, то есть усилие на поршне
𝑆1
4 (на выходном звене гидропривода) будет определяться отношением
площадей поршня и плунжера. Если учесть, что 𝐹1 = 𝐹
поршне
𝐹2 = 𝐹
(𝑎+𝑏) 𝑆2
𝑏
𝑆1
(𝑎+𝑏)
𝑏
, усилие на
.
Поскольку жидкость несжимаема, то вытесненные объёмы жидкости
W и расход жидкости Q в цилиндрах 1 и 3 на основании уравнения неразрывности потока будут равны между собой:
𝑊 = ℎ1 𝑆1 = ℎ2 𝑆2 ,
(7.3)
𝑄 = 𝑉1 𝑆1 = 𝑉2 𝑆2 ,
(7.4)
где h1 и h2 – перемещение плунжера 2 и поршня 4 в цилиндрах;
V1 и V2 – скорость перемещения плунжера 2 и поршня 4.
Полезная мощность, развиваемая при перемещении плунжера 2 в цилиндре 1, равна N1 = F1V1. В идеальном случае (без учёта потерь) она
должна быть равна мощности, передаваемой поршню 4 (N2 = F2V2), то есть:
𝑁 = 𝐹1 𝑉1 = 𝐹2 𝑉2 .
(7.5)
Выразим скорость V1 и V2 из уравнения расхода (7.4) и подставим её
в уравнение (7.5). Тогда мощность данного гидропривода с учётом уравнения (7.2) будет равна:
𝑁=𝑄
𝐹1
𝐹
= 𝑄 2 = 𝑝𝑄.
𝑆1
𝑆2
(7.6)
Как видно из уравнения (7.6), полезная мощность гидропривода пропорциональна давлению р и расходу Q рабочей жидкости, то есть увеличение мощности гидропривода можно произвести либо за счёт роста давления р, либо расхода Q.
Увеличение мощности за счёт расхода жидкости нерационально, поскольку увеличение расхода Q возможно только за счёт увеличения скорости течения жидкости V (7.4). Рост скорости V течения жидкости ведёт к
резкому увеличению потерь давления ∆р. Потери давления ∆р = ρg∆h
определяются разностью пъезометрических высот ∆h, или потерями напора. Потери напора определяются формулой Вейсбаха (4.2), то есть потери
давления ∆р в гидроприводе пропорциональны квадрату скорости, и в конечном итоге – квадрату расхода (в общем случае):
𝑉2
8𝑄2
∆ℎ = ζ = ζ 2 , ∆ℎ~𝑉 2 , ∆ℎ~𝑄2 .
2g
𝜋𝑑 g
136
(7.7)
Увеличение мощности объёмного гидропривода осуществляется
только за счёт увеличения давления, однако это ведёт к удорожанию всей
системы за счёт достаточно сложной конструкции насосов.
В реальности за счёт сил трения в уплотнениях плунжера и поршня,
наличия сил вязкости жидкости и инерции подвижных частей гидропривода, загрязнения рабочей жидкости, её нагрева в процессе эксплуатации,
утечек жидкости, подводимая мощность на входе Nвх и мощность на выходе Nвых гидропривода не равны между собой. Их отношение определяет коэффициент полезного действия η гидропривода:
𝜂=
𝑁вых
𝑁вых
=
< 1,
𝑁вх
𝑁вых +∆𝑁
(7.8)
где ∆N – потери мощности в гидроприводе.
Потери мощности гидропривода определяются следующими видами
потерь (рис. 7.4):
- объёмные потери или потери расхода ∆Q;
- гидравлические потери ∆р;
- механические потери мощности ∆Nм.
Рис. 7.4. Энергетический баланс объёмного гидропривода
Объёмные потери гидропривода ∆Q – это разница между объёмом
Qвх поступающей в гидропривод рабочей жидкости и объёмом Qвых на выходе гидропривода:
∆𝑄 = 𝑄вх − 𝑄вых = ∆𝑄н + ∆𝑄га + ∆𝑄гд ,
(7.9)
где ∆Qн – объёмные потери в насосе, возникающие вследствие значительной разницы давлений на входе и выходе насоса (часть жидкости через зазоры в элементах конструкции насоса перетекает из напорной линии во
всасывающую);
∆Qга – объёмные потери на пути от насоса к гидродвигателю, возникающие
вследствие утечек находящейся под давлением рабочей жидкости через
уплотнения и зазоры элементов конструкций гидроаппаратов и вспомогательных устройств;
∆Qгд – объёмные перетечки в гидродвигателе, возникающие вследствие
значительной разницы давлений на входе и выходе гидродвигателя (часть
жидкости через зазоры в элементах конструкции гидродвигателя перетекает из напорной линии в сливную).
137
Объёмные потери гидропривода оценивают объёмным КПД:
𝜂о =
𝑄вых
= 𝜂о.н 𝜂о.гд ,
𝑄вх
(7.10)
где ηо.н – объёмный КПД насоса;
ηо.гд – объёмный КПД гидродвигателя.
Объёмные потери ∆Qга при расчёте гидропривода не учитывают, поскольку при качественной сборке элементов конструкций гидропривода,
соединении гидролиний и надлежащем техобслуживании эти потери практически равны нулю. При необходимости долю внешних утечек учитывают с помощью коэффициента k, который всегда меньше единицы.
Гидравлические потери ∆р – это потери давления в гидросети, которые обусловлены гидравлическими потерями в трубопроводах и каналах
гидропривода и определяются в соответствии с законами гидравлики. Потери давления ∆р характеризуются гидравлическим КПД:
𝜂г =
𝑝гд
𝑝гд
=
,
𝑝н
𝑝гд +∆𝑝
(7.11)
где рн – давление на выходе из насоса;
ргд – давление на входе в гидродвигатель.
Механические потери мощности ∆Nм – это потери, связанные с механическим трением конструктивных элементов гидромашин (например,
потери, обусловленные трением вала в подшипнике скольжения или в
уплотнениях поршня гидроцилиндра). Механические потери проявляются
в снижении силовых параметров гидропривода и определяются механическим КПД:
𝜂м =
𝑁вх −∆𝑁м
,
𝑁вх
(7.12)
∆𝑁м = ∆𝑁н + ∆𝑁гд ,
где ∆𝑁н – механические потери мощности в насосе;
∆𝑁гд – механические потери мощности в гидродвигателе.
Полный КПД гидропривода – это произведение объёмного ηо, гидравлического ηг и механического ηм КПД. На практике гидравлический и
механический КПД объединяют в одно значение гидромеханического ηгм
КПД. Тогда полный КПД гидропривода:
𝜂 = 𝜂о 𝜂гм .
(7.13)
В объёмном гидроприводе используют объёмные гидромашины, которые по характеру движения вытеснителя рабочей жидкости подразделяются на машины поступательного движения вытеснителя, вращательного и
вращательно – поступательного. Гидромашины поступательного движения
вытеснителя относят к поршневым насосам и гидроцилиндрам, вращательного действия – к роторным насосам и гидромоторам.
В объёмной гидромашине рабочая жидкость перемещается за счёт
периодического изменения объёма занимаемой ею камеры, попеременно
сообщающейся с входом и выходом гидромашины.
138
7.3. Гидродинамические передачи
Гидродинамическими (ГПД) называются передачи, в которых главной составляющей энергии потока жидкости является кинетическая энергия. Главным элементом передачи является лопастной насос (рис. 7.5), в
котором рабочим органом является лопастное колесо 2, на котором установлены профильные лопатки 5. Жидкость движется от подвода 1 насоса к
отводу 4 в форме диффузора 3 со спиральной осью.
а)
б)
Рис. 7.5. Центробежный насос:
а) - принципиальная схема; б) - условное изображение;
1 – подвод; 2 – лопастное колесо; 3 – диффузор; 4 – отвод
Особенностью лопастных насосов является тот факт, что вход и выход насоса не разделены, и вращение рабочего колеса происходит в неразделённом потоке жидкости. Поэтому насосы являются несамовсасывающими, и перед пуском должны быть заполнены жидкостью.
Параметры лопастных насосов, характеризующие их работу, делят
на внешние и внутренние. К внешним параметрам относят:
- частота вращения вала насоса n, об/мин;
- крутящий момент на валу M, Нм;
2𝜋𝑛
- мощность на валу насоса 𝑁вх = 𝑀𝜔, 𝜔 =
.
60
К внутренним параметрам относят:
- расход или подача Q, м3/с;
- давление р, Па;
- напор Н, м.
Напор насоса Н – это энергия, сообщаемая насосом единице веса
жидкости, то есть это разность удельных энергий, которой обладает жидкость между входом и выходом насоса:
𝑝н −𝑝к 𝑉2н−𝑉2к
𝐻 = (𝑧н − 𝑧к ) +
+
,
𝜌g
2g
где индекс н – сечение на выходе колеса;
индекс к – сечение на входе колеса.
139
(7.14)
Мощность потока жидкости на выходе насоса:
𝑁вых = 𝑝𝑄 = 𝜌g𝐻𝑄.
Коэффициент полезного действия насоса:
𝜂=
𝑁вых
< 1.
𝑁вх
(7.15)
(7.16)
Потери мощности ∆𝑁 = 𝑁вх − 𝑁вых так же, как и для объёмных гидромашин, делят на объёмные ∆Nо, гидравлические ∆Nг и механические ∆Nм
потери:
∆𝑁 = ∆𝑁о + ∆𝑁г + ∆𝑁м .
(7.17)
Объёмные потери мощности ∆Nо определяются перетечками жидкости из напорной линии во всасывающую через зазоры, образованные рабочим колесом и внутренней поверхностью лопастного насоса. Гидравлические потери ∆Nг – это потери на трение в подводе, отводе насоса и каналах
рабочего колеса. Механические потери ∆Nм определяются потерями на
трение в подшипниках и в уплотнениях вала насоса. Эти потери составляют значительную часть подводимой мощности:
∆𝑁о = (5 … 10)𝑁вх ,
(7.18)
{ ∆𝑁г = (15 … 30)𝑁вх ,
∆𝑁м = (4 … 7)𝑁вх .
Для преобразования гидравлической энергии потока жидкости,
направляемого от лопастного насоса, в механическую энергию вращения
выходного вала, применяют гидротурбины. Структурная схема гидродинамической передачи (ГДП), включающая лопастной насос и гидротурбину, изображена на рис. 7.6.
Рис. 7.6. Принципиальная схема гидродинамической передачи:
1 - насосное колесо; 2 - турбинное колесо
Гидродинамические передачи состоят из расположенных соосно и
максимально сближенных в общем корпусе рабочих органов лопастного
насоса и гидравлической турбины – насосного и турбинного колеса. В
насосе механическая энергия с параметрами Mн и nн преобразуется в поток
жидкости с параметрами Qн и Hн. На турбинном колесе энергия этого потока преобразуется в механическую энергию Mт и nт. На выходе из тур140
бинного колеса поток жидкости с параметрами Qт и Hт, проходя через реакторное колесо, снова попадает на вход насосного колеса.
Реакторное колесо необходимо для преобразования параметров гидравлической энергии с целью получения определённых характеристик гидродинамической передачи – крутящего момента Mт и частоты вращения nт.
Основываясь на принципиальной схеме гидропередачи с помощью
центробежного насоса и гидротурбины (рис. 7.7, а), немецкий учёный и
инженер Г. Феттингер в 1902 году предложил устранить соединительный
трубопровод 2, а насос 1, турбину 4 и направляющий элемент 3 (реактор)
объединить в одном корпусе.
а)
б)
Рис. 7.7. Схема гидродинамической передачи:
а) - гидропередача с помощью центробежного насоса и гидротурбины;
б) - принципиальная схема гидротрансформатора;
1 – лопастной насос центробежного типа; 2 – соединительный
трубопровод; 3 – направляющий элемент (реактор); 4 – гидротурбина;
5 – сливной патрубок; 6 – всасывающий патрубок; 7 – гидробак;
ПД – приводной двигатель
В таком устройстве рабочая жидкость, проходя последовательно через насосное колесо, реактор и турбинное колесо, обеспечивает не только
передачу крутящего момента от вала насоса к валу турбины, но и его изменение. Изменение крутящего момента обусловлено тем, что жидкость,
проходя через неподвижный реактор, изменяет момент количества движения, и соответственно, передаваемый крутящий момент. Такой гидроаппарат был назван гидродинамическим трансформатором (ГДТ). Уравнение
моментов гидротрансформатора в общем случае:
𝑀т = 𝑀н ± 𝑀р .
(7.19)
141
Для повышения экономичности из гидротрансформатора был изъят
реактор. Так появилась новая гидродинамическая передача, которая получила название гидродинамической муфты (ГДМ). Гидромуфта передаёт
крутящий момент от насосного колеса к турбинному без изменения крутящего момента:
𝑀н = 𝑀т .
(7.20)
7.4. Характеристика объёмного и динамического насоса
Рабочие характеристики насосов определяют при испытаниях на
специальном стенде. При этом выявляют зависимости напора, потребляемой мощности и КПД насоса от подачи Q.
Характеристикой объёмных насосов называют зависимость давления
рн насоса от его подачи Qн при постоянной частоте вращения (nн = const):
𝑝н = 𝑓(𝑄н ).
(7.21)
Теоретическую подачу насоса Qнт, то есть подачу жидкости без утечек q через зазоры насоса из напорной линии во всасывающую, определяют по формуле:
𝑄нт = 𝑊н 𝑛н ,
(7.22)
где Wн – рабочий объём насоса.
Так как теоретическая подача насоса согласно (7.22) определяется
его рабочим объёмом и частотой вращения, теоретическая характеристика
насоса в системе координат рн – Qн изображается вертикальной линией
(рис. 7.8, а). Действительная подача насоса Qнд отличается от теоретической на величину утечек q:
𝑄нд = 𝑄нт − 𝑞.
(7.23)
Действительная характеристика насоса изображается наклонной линией. При этом чем совершеннее насос (чем меньше утечек через зазоры
насоса), тем ближе эта прямая к теоретической характеристике, то есть
больше «жёсткость» характеристики.
а)
б)
Рис. 7.8. Характеристика насоса:
а) - объёмного насоса; б) - лопастного насоса
142
Характеристикой лопастного насоса называется графически выраженная зависимость напора H, мощности N и КПД η. Теоретическая характеристика лопастного насоса представляет собой горизонтальную линию
(рис. 7.8, б). Так как действительная подача насоса согласно выражению
(7.14) зависит от квадрата расхода H = f(Q2), действительная характеристика лопастного насоса представляет собой кривую линию. При совмещении
характеристик насоса и трубопровода рабочая точка R должна соответствовать максимальному значению КПД. Область со значениями КПД ниже максимального на 5 … 10 %, называют рабочей зоной насоса. Нахождение рабочей точки R в рабочей зоне насоса обеспечивает экономичность
насосной установки. Графическую зависимость η = f(Q) строят в тех же координатах.
Если фактическая подача и напор насосной установки не удовлетворяют необходимым условиям, режим работы установки изменяют с помощью изменения характеристики трубопровода или характеристики насосной установки.
143
Список рекомендуемой литературы
1. Башта, Т. М. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы: Учебник
/ Т. М. Башта, С. С. Руднев, Б. Б. Некрасов ; - М.: Машиностроение, 1982. 423 с.
2. Стесин, С. П. Гидравлика, гидромашины и гидропневмопривод:
учеб. пособие для вузов / Т. В. Артемьева, Т. М. Лысенко, А. Н. Румянцева,
С. П. Стесин ; под общ. ред. С. П. Стесина. - М.: Издательский центр "Академия", 2005. - 336 с.
3. Схиртладзе, А. Г. Гидравлика в машиностроении: учебник: в 2 ч.
/ А. Г. Схиртладзе, В. И. Иванов, В. Н. Кареев и др. - Старый Оскол: ТНТ,
2008. - Ч. 1. - 392 с.
4. Ухин, Б. В. Гидравлика: учеб. пособие для вузов / Б. В. Ухин. - М.:
ИНФРА-М, 2009. - 464 с.
5. Артемьева Т. В., Лысенко Т. М., Румянцева А. Н. и др. ; под общ.
ред. С. П. Стесина. - 2-е изд., - М.: Издательский центр «Академия», 2013. 208 с.
144