task_17658x

1. Какую функцию f(x) вычисляет машина Тьюринга со следующей
программой:
0q1 ! Rq2, 1q1 ! 1q0, 0q2 ! 1q3, 1q2 ! Rq2, 0q3 ! 0q0, 1q3 ! Lq3?
2.
Пусть машина Тьюринга T имеет следующую программу: 0q1 !
0q0. Какие функции f(x), f(x1, x2), . . . , fn(x1, . . . , xn), . . .
вычисляет эта машина?
3.
Построить машину Тьюринга, которая правильно вычисляет
функцию o(x) = 0.
4. Построить машины Тьюринга A, Б°, В, К, Л, R.
5. Построить
машины Тьюринга для правильного вычисления функций
(а) x° ̇ 1; (б) sg(x); (в) sg(x); (г) x° ̇ y; (д) x ° y; (е) x/2; (ж) [x/2].
6.
Доказать,чтоеслиf(x1,...,xn)ПРФ,тоследующиефункциипримитив
но рекурсивны: (а) f1(x1, x2, x3, . . . , xn) ≠ f(x2, x1, x3, . . . , xn)
(перестановка аргументов);
(б) f2(x1, x2, . . . , xn) ≠ f(x2, . . . , xn,
x1) (циклическая перестановка аргумен- тов);
(в) f3(x1, . . . , xn,
xn+1) ≠ f(x1, . . . , xn) (введение фиктивного аргумента); (г) f4(x1, . .
. , xn°1) ≠ f(x1, x1, x2, . . . , xn°1) (отождествление аргументов).
7.
Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны:
(а)f(x)=x+n; (в)f(x)=x!,где0!≠1, (б)f(x)=n; (г)f(x,y)=xy,где00 ≠1.
109
00
(x) < log (t 2 T
0
(x)) <
8.
Записать аналитическое выражение для функции R(f, g), если (а)
f(x,y,z) = zx, g(x) = x; (б) f(x,y,z) = xz, g(x) = x.
9.
Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны:
(a) sg(x);
(б) sg(x);
(в) x° ̇ 1;
(г) x° ̇ y;
(д) |x ° y|; (е) max(x, y); (ж)
min(x, y); (з) [x/y];
(и) x © y (сумма по модулю 2); (к) rest(x, y);
(л) px (x-е простое
число);
(м) ex(x, y);
£ p §
(н) long(x); (о) x 2 ; (п) [ex].
10. Доказать, что:
(а) множество всех частично рекурсивных
функций счетно; (б) существует частичная числовая функция,
не являющаяся частично ре- курсивной; (в) существует всюду
определенная числовая функция, не являющаяся общерекурсивной.
11. Доказать, чт о частично рекурсивны следующие функции:
Ω
x°y, еслиx∏y,
не определена в противном случае;
Ω
(а) f(x,y) =
x/y, если y делит x,
Ω
не определена в противном случае;
(б) f(x,y) =
12. Доказать, что если f(n+1) и g(n+1) ЧРФ, то частично рекурсивны
следую- щие функции: (а) μy (f(x, y) = g(x, y)); (в) μy (f(x, y) <
g(x, y));
(б) μy (f(x,y) 6= g(x,y)); (г) μy (f(x,y) = 0 и g(x,y) = 0).
13. Доказать, что следующие предикаты примитивно рекурсивны:
(а)x+y=z; (в)xчетно; (б) x · y = z; (г) x и y взаимно просты.
14. Доказать, что любое конечное множество натуральных чисел
примитивно рекурсивно.
15. Доказать, что существует множество X Ω N, не являющееся
рекурсивно перечислимым. 110
z, если x = zy,
не определена в противном случае;
(в) f(x,y) =
(г) функция с конечной областью определения.
После изучения главы 3 выполняются задачи 7 и 8
контрольной ра- боты. Задача 7 решается написанием
программы, аналогичной про- грамме машин Тьюринга Б+
и Сложение из п.1 параграфа 3.1, а задача 8 аналогично
примеру 3.2.1.