Lekciya4
advertisement
Лекция 4 Матрицы операторов. Унитарные преобразования базиса. Соотношения коммутации. Одновременная измеримость физических величин. Соотношение неопределенностей Гейзенберга Рассмотрим некоторый линейный оператор  :  . Выберем в рассматриваемом линейном пространстве дискретный ортонормированный базис. Так как каждому элементу этого пространства соответствует набор его координат в выбранном базисе, то оператору  соответствует закон, связывающий координаты элементов линейного пространства. Можно доказать, что для любого линейного оператора закон, позволяющий найти координаты элемента по координатам элемента , можно представить в виде произведения некоторой матрицы из чисел на столбец, составленный из координат 1 , 2 , 3 , … элемента a11 a12 ... 1 1 a21 a22 ... 2 2 ... ... ... ... ... (1) где под умножением матрицы на столбец понимается принятое в линейной алгебре правило матричного умножения («строка на столбец»): i aij j (2) j Числа aij , которые являются характеристикой оператора, но не зависят от элемента , составляют матрицу оператора  . Очевидно, размерность матрицы оператора совпадает с размерностью пространства, в котором оператор действует. В частности, операторам, действующим в бесконечномерных пространствах отвечают бесконечные матрицы. Можно доказать, что сумме и произведению операторов отвечает сумма и произведение их матриц: ˆ ˆ) mn = g ml hln ( gh ( gˆ hˆ)mn = gmn hmn (3) l Матричные элементы матрицы оператора можно связать с результатом его действия на базисные элементы. Действительно, пусть ei - ортонормированный базис. Разложим элементы и в определении оператора  по базису ei : e i i i Aˆ i ei (4) i 1 где i и i - координаты элементов и . Умножим скалярно равенство (4) на ek и, пользуясь ортонормированностью базиса, линейностью оператора и скалярного произведения, получим ˆ ) k (ek , Ae i i (5) i Сравнивая (4) с определением матрицы оператора, заключаем, что ˆ ) aki (ek , Ae i (6) Из формулы (6) можно получить ряд следствий. 1. Если в качестве базиса выбрать собственные функции оператора, его матрица является диагональной ˆ ) (e , a e ) a aki (ek , Ae i k i i i ki (7) причем на диагонали размещаются собственные значения оператора ai . 2. Матрицы сопряженных операторов транспонированы и комплексно сопряжены друг по отношению к другу: * gˆ ( g ) mn = g nm gˆ g mn (8) 3. При комплексном сопряжении и транспонировании матрицы эрмитова оператора получается та же матрица * если gˆ = gˆ то g mn = g nm (9) 4. При изменении базиса матрица изменяется. Остановимся на этом пункте более подробно. Пусть выбрано два ортонормированных базиса ek и f k . Каждый базисный элемент ek можно разложить по базису f : ek Sik fi (10) i где Sik - некоторые числа, которые образуют квадратную матрицу (удобнее выполнять суммирование по первому индексу матрицы Sik - так, как это сделано в (10)). Матрицу Sik принято называть матрицей перехода от одного базиса к другому. Очевидно, матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является унитарной. Действительно, из ортонормированности обоих базисов имеем ij (ei , e j ) Ski f k , Smj f m Ski* Smj ( f k , f m ) Ski* Smj km Ski* Skj k m km Но так как Ski* S , из (11) имеем ik 2 km k (11) S S I (12) где I - единичная матрица, что и означает, что матрица перехода унитарна (равенство (12) есть определение унитарного оператора). Чтобы установить связь между матрицами одного и того же оператора при разных выборах базиса воспользуемся формулой (7) и формулой связи базисов ˆ ) S f , Aˆ S f S * f , Af ˆ S S a f S aije (ei , Ae k j m mj ki k mj m ki k ik km mj m k k (13) где aije и akmf - матрицы оператора  в базисе ek и f k соответственно. С помощью правил матричного умножения формулу (13) можно записать в виде a e S a f S S 1a f S (14) Из формулы (14), в частности, следует, что шпур матрицы оператора (сумма диагональных элементов) не зависит от выбора базиса или, как говорят, является инвариантным относительно выбора базиса (это связано с тем, что если под знак шпура входит произведение матриц, матрицы в нем можно циклически переставлять). Поэтому при любом выборе базиса шпур матрицы эрмитового оператора равен сумме его собственных значений. Также инвариантным является детерминант матрицы оператора. Исследуем теперь вопрос о существовании общих собственных функций у разных операторов. Справедлива следующая теорема: Для того чтобы два оператора F̂ и Ĝ имели полную систему общих собственных ˆ ˆ = 0. функций необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали: FG Необходимость: Пусть ( f , g ) - полная система общих собственных функций. Тогда любую функцию можно разложить по ( f , g ) : C f , g ( f , g ) . Подействуем на это равенство f ,g коммутатором ˆ ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ GF FG ˆ ˆ C f , g ( f , g ) = C f , g ( FG ( f , g ) = C f , g ( fg gf ) ( f , g ) 0 = FG f ,g где f (15) ˆ ˆ и g собственные значения. Так как произвольна, то FG = 0. ˆ ˆ = 0 . Подействуем на уравнение на собственные функции оператора Достаточность: FG F̂ 3 Fˆ f f f (16) где f , f - собственное значение и собственная функция оператора F̂ , оператором Ĝ ˆ ˆ Gf ˆ GF f f (17) Благодаря коммутации операторов и линейности оператора Ĝ , имеем из (17) Fˆ Gˆ f f Gˆ f (18) ˆ Таким образом, функция G f также является собственной для оператора F̂ . Если у оператора F̂ невырожденный спектр, то собственному значению f отвечает единственная собственная ˆ функция. Поэтому функция G f может отличаться от f некоторым множителем: Gˆ f g f (19) где буквой g обозначен указанный множитель. Уравнение (19) и означает, что функция f является собственной и для оператора Ĝ . Если спектр оператора F̂ вырожден, то есть одному собственному значению отвечают ˆ несколько собственных функций, то функция G f , вообще говоря, не сводится к функции f . В этом случае, однако, выбор собственных функций является неоднозначным и можно построить такие линейные комбинации собственных функций оператора F̂ , которые будут также и собственными для оператора Ĝ . Теорема доказана. Так как операторы координаты и импульса не коммутируют, они не имеют полной системы общих собственных функций. На самом деле у этих двух операторов нет ни одной общей собственной функции. Поэтому нет состояний, в которых и координата и импульс одновременно имели бы определенные значения (именно поэтому в квантовой механике нет понятия траектории). Всегда существует либо разброс координат, либо разброс импульсов, либо и то и другое. Рассмотрим утверждение, связывающее эти величины и которое является одним из основополагающим законов квантовой механики. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Исходя из коммутатора оператора координаты и импульса ˆ ˆ = i px докажем, что 4 (20) ( p ) 2 ( x ) 2 2 т.е. неопределенности координаты и импульса не могут быть одновременно уменьшены до сколь угодно малых величин. Для доказательства рассмотрим произвольное состояние ( x) . Пусть в этом состоянии: x = 0 и p = 0 (этого всегда можно добиться выбором системы координат). Тогда: (x)2 = ( x x)2 = x 2 (p)2 = ( p p)2 = p 2 (21) Рассмотрим некоторый функционал от действительной переменной : I ( ) = ( xˆ i 2 pˆ ) ( x) dx (22) Очевидно, что I ( ) 0 , как интеграл от четной неотрицательной функции. Учитывая, что x-действительная величина и что действие оператора координаты в собственном представлении сводится просто к умножению на значение координаты x, получим: i i I ( ) = ( xˆ pˆ * ) * ( x) ( xˆ pˆ ) ( x) dx = = 2 x 2 i i dx ( pˆ * * ) x dx ( x * ) pˆ dx 2 1 2 ( pˆ * * )( pˆ )dx = i 1 ˆ ˆ xp ˆˆ ) dx) 2 p 2 = = 2 x 2 * ( px ˆ ˆ ]= [ px = 2 1 2 i p 2 0, (23) Полученное выражение как функция переменной , представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Чтобы выполнялось неравенство (23) при любых необходимо, чтобы D 0 . Получим: 1 4 x2 p2 1 2 0 Или x2 p2 Поскольку x = 0 и p = 0 , то: 5 2 (24) ( p ) 2 ( x ) 2 2 Мы получили точную формулировку соотношения неопределенностей Гейзенберга. Замечание: 1. Если бы операторы x̂ и p̂ коммутировали, то мы не смогли бы получить этого соотношения. 2. Состояние, которое «минимизирует» соотношение неопределенностей: ( x) = 1 4 i 2 e p0 x ( x x0 )2 2 2 Это состояние представляет собой гауссовский волновой пакет. В нем: x = x0 , p = p0 , (x) = 2 6 2 2 , (p) = 2 2 2 2
